Programmazione per la classe 3H

Programma svolto per la classe 3a E
disciplina: matematica / docente: prof. Mora Paolo
Unità 1. Ripasso del programma del biennio
a s 2013 – 2014
/ settembre 2013 / (testi del biennio + cap.
1 – 2)
1.1.
Divisibilità tra polinomi (algoritmo della divisione; teorema e regola di Ruffini; radici
di un polinomio)
1.2.
Segno di un trinomio di II grado (disequazioni di II grado: risoluzione e discussione
nel caso di presenza di parametri); equazioni di grado superiore al II (binomie,
trinomie)
1.3.
Generalità su intervalli e disuguaglianze (proprietà e convenzioni grafiche);
disequazioni di grado superiore al II e disequazioni fratte; sistemi di disequazioni
1.4.
Isometrie; criteri di congruenza dei triangoli e dei poligoni
1.5.
Il teorema di Talete (applicazioni a triangoli e trapezi; teorema della bisettrice)
1.6.
Omotetie e similitudini; criteri di similitudine dei triangoli e dei poligoni (e relative
applicazioni); I teoremi di Euclide e Pitagora dimostrati attraverso i criteri di
similitudine dei triangoli (un’interessante questione di teoria dei numeri: le terne
pitagoriche)
1.7.
Quadrilateri e circonferenze (definizioni e proprietà principali)
1.8.
Definizione di funzione e relative proprietà; funzioni iniettive, suriettive e biunivoche
1.9.
Composizione e inversione di funzioni
Unità 2. La funzione modulo ( f  x   x ); equazioni e disequazioni con
moduli / ottobre / (cap. 1)
2.1.
Definizione algebrica e significato geometrico di modulo (valore assoluto) di un
numero reale
2.2.
Equivalenze tra disuguaglianze con moduli ( a  b ; a  b ; a  b ; a  b ) e
relativo utilizzo per la risoluzione di disequazioni con moduli
Unità 3. Equazioni lineari e rette nel piano
/ ottobre – novembre / (cap. 3)
3.1.
Coordinate cartesiane sulla retta; coordinate cartesiane nel piano
3.2.
Primi elementi di calcolo vettoriale in 2 dimensioni (somma, prodotto scalare e
relative proprietà)
3.3.
Distanza tra due punti; punto medio di un segmento; baricentro di un triangolo
3.4.
Corrispondenza tra equazioni lineari in due variabili e rette di un piano
3.5.
Equazione di una retta in forma implicita, esplicita e parametrica; condizioni di
parallelismo e di perpendicolarità
3.6.
Distanza punto-retta / distanza tra due rette
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Programma svolto / matematica / classe 3 E / a.s. 2013 – 2014 / pag. 1 di 3
3.7.
Fasci di rette (classificazione e riconoscimento; verso di crescita di un fascio proprio)
3.8.
Luoghi geometrici significativi: asse di un segmento; bisettrice di un angolo; luogo dei
punti equidistanti da una retta data
3.9.
Traslazioni, simmetrie centrali e simmetrie assiali, (trattazione sintetica e analitica);
centri e assi di simmetria di curve: il caso particolare delle parabole e delle cubiche
3.10.
Risoluzione grafica di disequazioni lineari in due variabili
Unità 4. Equazioni di II grado e circonferenze
/ dicembre – gennaio 2014 / (cap. 4)
4.1.
Circonferenza come luogo geometrico; equazione canonica di una circonferenza
4.2.
Rette tangenti ad una circonferenza (polare di un punto rispetto ad una circonferenza e
relative proprietà; potenza di un punto rispetto ad una circonferenza; asse radicale
riferito a due circonferenze)
4.3.
Condizioni per la determinazione dell’equazione di una circonferenza
4.4.
Fasci di circonferenze (classificazione ed utilizzo)
4.5.
Curve deducibili dalla circonferenza; risoluzione grafica di disequazioni irrazionali
(mediante la rappresentazione grafica di semicirconferenze), anche con presenza di
moduli
4.6.
Discussione di problemi algebrici e geometrici con presenza di parametri
(riconducibili alle circonferenze)
4.7.
Omotetie e relative equazioni (trattazione sintetica e analitica)
Unità 5. Equazioni e disequazioni irrazionali
/ febbraio / (cap. 1)
5.1.
Equazioni irrazionali con radici quadrate; equazioni irrazionali con radici di indice
qualsiasi
5.2.
Disequazioni irrazionali
5.3.
Equazioni e disequazioni con valori assoluti; esercizi di riepilogo sulle disequazioni;
disequazioni in due variabili con presenza di moduli
Unità 6. Equazioni di II grado e parabole
/ febbraio – marzo / (cap. 5)
6.1.
Parabola come luogo geometrico (fuoco, direttrice, distanza focale); proprietà ottiche
della parabola; applicazioni fisiche della parabola; costruzione geometrica di una
parabola a partire dal suo inviluppo
6.2.
Corrispondenza biunivoca tra parabole e particolari equazioni di secondo grado in due
variabili
6.3.
Rette tangenti ad una parabola; condizioni per la determinazione dell’equazione di una
parabola; ripresa del discorso sulle polari per le parabole
6.4.
Fasci di parabole (classificazione ed utilizzo)
6.5.
Curve e funzioni deducibili dalle parabole; risoluzione grafica di disequazioni
irrazionali (mediante la rappresentazione grafica di parabole)
6.6.
Discussione di problemi algebrici e geometrici con presenza di parametri
(riconducibili alle parabole)
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Unità 7. Ellissi, iperboli
/ aprile – maggio / (cap. 6, 7)
7.1.
Ellisse come luogo geometrico; equazione canonica dell’ellisse; proprietà ottiche
dell’ellisse
7.2.
Posizione di un punto rispetto ad un’ellisse; posizione di una retta rispetto ad
un’ellisse; rette tangenti e polari (recupero degli analoghi discorsi già fatti per
circonferenze e parabole)
7.3.
Ellissi con assi paralleli agli assi cartesiani
7.4.
Dilatazioni e relative equazioni; trasformazione di ellissi in circonferenze e viceversa
7.5.
Curve e funzioni deducibili dalle ellissi; risoluzione grafica di disequazioni irrazionali
(mediante la rappresentazione grafica di archi di ellissi)
7.6.
Discussione di problemi algebrici con presenza di parametri (con utilizzo di parabole,
circonferenze, ellissi, fasci di rette)
7.7.
Iperbole come luogo geometrico; equazione canonica dell’iperbole; proprietà ottiche
dell’iperbole
7.8.
Iperbole equilatera riferita agli assi e riferita agli asintoti
7.9.
Posizione di un punto rispetto ad un’iperbole; posizione di una retta rispetto ad
un’iperbole; rette tangenti e polari (recupero degli analoghi discorsi già fatti per
circonferenze, parabole ed ellissi)
7.10.
Iperboli con assi paralleli agli assi cartesiani
7.11.
Iperboli riferite ai propri asintoti e funzione omografica
7.12.
Curve e funzioni deducibili dalle ellissi e dalle iperboli; risoluzione grafica di
disequazioni irrazionali (mediante la rappresentazione grafica di archi di ellissi /
iperboli)
7.13.
Discussione di problemi algebrici con presenza di parametri (con utilizzo di parabole,
circonferenze, ellissi e iperboli, fasci di rette)
 Il testo in adozione è: “Matematica.blu 2.0” – vol. 3, Bergamini, Trifone, Barozzi, ed. Zanichelli
 L’unità 1. tratta argomenti relativi alla programmazione di istituto del biennio che vengono
ritenuti irrinunciabili.
Bergamo, il 05/06/2014
I rappresentanti degli studenti
__________________________
__________________________
Il docente __________________________
(prof. Mora Paolo)
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Programma svolto / matematica / classe 3 E / a.s. 2013 – 2014 / pag. 3 di 3
Lavoro estivo di matematica / classe 3 E / a.s. 2013 – 2014
Esercizio 1. Dimostra il seguente teorema:
Ipotesi: ABC  triangolo  M  AB  MA  MB  N  AC  NA  NC
Tesi: MN e BC sono paralleli.



Esercizio 2. Assegnato il vettore v   5 , 12  , determina i due versori a e b perpendicolari a
In funzione di un parametro reale k scrivi le componenti del generico vettore

perpendicolare a v .

v.

w



Esercizio 3. Dati i 3 vettori a   1, 4  , b   5 , 2  , c   2 , 2  , verifica la validità della

  

seguente relazione: a  b  c  a  c  b  c . Pensi che possa valere per 3 vettori qualsiasi ?
Come chiameresti questa proprietà ?


Esercizio 4. (*) In un sistema di riferimento cartesiano xOy , dati i due punti di coordinate

A  5 ; 7  e B  1, 2  , scrivi le componenti del generico vettore w perpendicolare alla retta
r passante per A e B . Scrivi l’equazione della retta r . Individua il punto del segmento AB
che soddisfa la relazione: AP : PB  73 : 41 . (E’ richiesta un’accurata rappresentazione
grafica)
Esercizio 5. Dati i tre punti di coordinate A  2, 1  , B  8, 2  , D  3, 4  , determinare le coordinate
del punto C tale che il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma (di lati
AB , BC ,CD , DA ). Calcolare poi l’area del parallelogramma ABCD [ è richiesto un
disegno accurato: unità di misura  1 quadretto ].
Esercizio 6. Data la retta r di equazione 2 x  y  3  0 :

i. scrivere le componenti di un vettore v parallelo ad r ;

ii. scrivere le componenti di un vettore w perpendicolare ad r ;
iii. scrivere l’equazione della retta s , parallela ad r e passante per il punto A  1, 1  ;
iv. scrivere l’equazione della retta t , perpendicolare ad r e passante per il punto A  1, 1  .
(E’ richiesta una rappresentazione grafica).
Esercizio 7. I punti O  0 , 0  , A  3 , 2  , B  1, 1  , C  1, 3  sono vertici consecutivi di un
quadrilatero.
1. dopo aver determinato le distanze dei vertici A e C dalla diagonale OB, calcola l’area del
quadrilatero OABC ;
2. verifica che il quadrilatero ottenuto congiungendo i punti medi dei lati di OABC è un
parallelogramma. (E’ richiesta una rappresentazione grafica).
Esercizio 8. (*) Siano O  0 , 0  , A  2 , 4  , B  5 , 0  i vertici del triangolo ABO :
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Lavoro estivo di matematica / classe 3 E / a.s. 2013 – 2014 / pag. 1 di 9
1. determinare l’ortocentro H , il baricentro G e il circocentro C del triangolo;
2. verificare che H , G e C sono allineati (la retta che li contiene viene chiamata retta di
Eulero);
Esercizio 9. I punti A  0, 3  e B  1, 2  sono vertici del triangolo equilatero ABC il cui vertice
C appartiene al I quadrante. Determina l’equazione dell’asse di AB , determina le coordinate
del punto C . (E’ richiesta una rappresentazione grafica)
Esercizio 10. (*) Dati i punti A  2, 0  , B  0 , 1  , determinare i punti C e D della bisettrice
del I e III quadrante (cioè della retta di equazione x  y  0 ) tali che l’area dei triangoli ABC
e ABD sia uguale a 5 2 . (E’ richiesta una rappresentazione grafica)


Esercizio 11. (*) Dimostra che due vettori v e w di componenti rispettivamente  a , b  e c , d 
sono paralleli se e solo se ad  bc  0 (attenzione ai casi in cui uno o più parametri si
annullano).
Esercizio 12. Dato il fascio di rette di equazione m  5  x  m  3  y  m  1  0 :
i. determina i valori di m corrispondenti a rette parallele agli assi coordinati ;
ii. determina il centro del fascio ;
iii.
determina la retta del fascio a cui non corrisponde alcun valore del parametro (è la “retta
esclusa”) ;
iv.
determina il verso di crescita del fascio (orario o antiorario) ;
v.
determina per quali valori di m le rette del fascio intersecano il segmento di estremi
A  2, 5  , B 6 , 1  .
Esercizio 13. Determina le rette appartenenti al fascio proprio di centro  3 , 1  , che formano con
gli assi coordinati un triangolo di area 2 .
Esercizio 14. Scrivi le equazioni della simmetria assiale di asse x  2 y  0 , esplicitando x  e y 
in funzione di x e y .
Esercizio 15. Risolvi le seguenti equazioni irrazionali:
2.
x3 2 2
1
x
4.
x 1  3 x 1
3
1.
2x  1  2 x  4  3
Esercizio 16. Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali:
3.
x 2  2x  3  3x  1
Esercizio 17. (*) Risolvi la seguente disequazione fratta:
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Lavoro estivo di matematica / classe 3 E / a.s. 2013 – 2014 / pag. 2 di 9
2  x2 1
x 2  4  2x  3
0
Esercizio 18. Risolvi le seguenti disequazioni con moduli:
1.
x 1  x 1
2. x 2  3 x  2  x  0
3.
x 2  8 x  10  3
4.
x 1  x 2 3 0
2
Esercizio 19. (*) Rappresenta la regione di piano evidenziata
nella seguente figura come unioni / intersezioni di
disequazioni lineari in due variabili:
Esercizio 20. (*) Rappresenta graficamente la regione di
piano definita dal seguente sistema:
 x  y  1  3

 y  2 x
Esercizio 21. Siano A e B le intersezioni di due circonferenze secanti e C e D le ulteriori
intersezioni di una retta per B con le due circonferenze. Si traccino le tangenti alle circonferenze
per C e D e sia M il loro punto di intersezione. Dimostra che il quadrilatero CADM è
inscrittibile in una circonferenza (scaletta: disegno rappresentativo, scrittura formale di ipotesi e
tesi, dimostrazione).
Esercizio 22. Dimostra che, a, b   , vale la seguente equivalenza:
a  b  a  b  a  b 
Esercizio 23. Rappresenta in un riferimento cartesiano il luogo geometrico dei punti che soddisfano
la seguente condizione: x  y  1  x  y  1 .
Esercizio 24. (*) Riscrivi senza moduli (come unioni e intersezioni di semipiani) e poi rappresenta
in un riferimento cartesiano il luogo geometrico dei punti che soddisfano la disuguaglianza
2x  y  1  1
Esercizio 25. Siano  1 l’ellisse di equazione x 2  4y 2  4  0 e  2 la parabola di vertice V  2, 0 
, passante per A  0,1  . Dopo aver disegnato le due curve ed aver evidenziato la regione R finita
di piano da esse delimitata, calcola l’area di R.
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Esercizio 26. Dimostra che la distanza tra le due rette parallele:
r : ax  by  c  0
vale
c d
2
a b
2
e
s : ax  by  d  0
(con a e b non entrambi nulli).
2
2
Esercizio 27. Sia  la circonferenza di equazione:  x  2    y  1   5 . Dopo aver verificato
che  passa per l’origine degli assi coordinati, determina le equazioni delle rette tangenti a 
nell’origine e nei punti A e B che  ha in comune rispettivamente con l’asse x e con l’asse y.
Dette C e D le intersezioni delle tre tangenti (prese a due a due), determinare l’area del trapezio
ABCD [è richiesta un’accurata rappresentazione grafica].
Esercizio 28. Scrivere le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta 2 x  y  4  0 nel suo
punto di ascissa 1 e che staccano sull’asse x una corda di misura 4 [è richiesta un’accurata
rappresentazione grafica].
Esercizio 29. (*) Dopo aver scritto l’equazione del fascio di circonferenze tangenti nel punto
 1, 1  alla retta y  x  2 , determina:
1. l’equazione della circonferenza 0 del fascio avente centro nell’origine degli assi
2. l’equazione della circonferenza 1 del fascio tangente alla retta y  x  6
3. l’equazione della circonferenza 2 (non appartenente al fascio) tangente internamente a 1 ,
esternamente a 0 , e avente il centro sulla bisettrice del II-IV quadrante
[è richiesta un’accurata rappresentazione grafica]
Esercizio 30. Dopo aver scritto l’equazione della circonferenza  di centro C  1, 2  e tangente in
T alla retta t di equazione 3 x  y  9 , determina:
30.1. una possibile equazione del fascio F di rette di centro T ;
30.2. le rette del fascio F che staccano sulla circonferenza una corda di lunghezza 4 2 (si
indichi con r quella avente coefficiente angolare positivo) ;
30.3. il punto P in modo che il quadrilatero PTCR sia un rombo, con R  ulteriore
intersezione di r con  .
[è richiesta un’accurata rappresentazione grafica]
Esercizio 31. (*) Scrivere le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta 2 x  y  4  0 nel
suo punto di ascissa 1 e che staccano sull’asse x una corda di misura 4 .
Esercizio 32. Determinare l’equazione della circonferenza tangente nel punto
4,1
alla retta di
equazione 3 x  4 y  8  0 e passante per  5, 3  . Verificare che la circonferenza è tangente
all’asse y .
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Esercizio 33. (*) Una circonferenza passa per l’origine di un sistema di riferimento cartesiano, ha il
centro sulla bisettrice del I quadrante ed è tangente in A alla retta t di equazione x  y  8 . Si
Scriva l’equazione della circonferenza. Indicato con B il punto di t di ordinata 2, si conduca da
l’ulteriore tangente alla circonferenza e si indichi con C il punto di contatto; calcolare la misura
dell’area del triangolo ABC.
Esercizio 34. (*) Determinare le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse x, passanti per i
punti  0,1 e  0,2  e tangenti alla retta di equazione x  y  2 . [non è richiesto il disegno]
Esercizio 35. Determinare l’equazione dell’ellisse con assi di simmetria coincidenti con gli assi
coordinati e tangente nel punto di coordinate  2,3 alla retta di equazione x  6 y  20  0 .
[non è richiesto il disegno]
Esercizio 36. (*) E’ dato il fascio di parabole di equazione:
y   1  m  x 2   1  2m  x  m  6 con m  1
1. provare che tutte le parabole del fascio passano per uno stesso punto A (di cui si chiede di
determinare le coordinate) ;
2. scrivere l’equazione (in forma cartesiana) del luogo geometrico descritto dai vertici delle
parabole del fascio, rappresentare tale luogo precisando di che curva si tratta. [è richiesto il
disegno]
Esercizio 37. Sia  la parabola di equazione y  x 2 e sia A il suo punto di coordinate  2 , 4  .
Indicati con O l’origine del sistema di riferimento e con B il punto di coordinate  2, 4  ,
determina sull’arco AO di  un punto P in modo che valga la relazione:
Area  APB  
15
2
Esercizio 38. (*) Si consideri l’equazione:
x 2  y 2  4 kx  2 y  4 k  0 , con k  
Provare che per ogni valore del parametro k l’equazione rappresenta una circonferenza, di
cui si determini centro e raggio;
ii. Determinare il luogo dei centri delle circonferenze al variare di k in  ;
iii. Provare che tutte le circonferenze sono tangenti tra loro in un punto fisso.
i.
Esercizio 39. Scrivere l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle
ordinate, di vertice V  1,1 e passante per A  2, 2  . Determinare poi le equazione delle
tangenti alla parabola condotte da T  1,0  . [non è richiesta la rappresentazione grafica]
Esercizio 40. Data la parabola di equazione y  x 2  3x  1 individuare il vertice e disegnarne il
grafico; scrivere poi l’equazione della circonferenza con centro sull’asse delle ascisse e ad essa
tangente nel punto P  0,1 .[è richiesta la rappresentazione grafica]
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Esercizio 41. Una circonferenza è tangente alle due rette x  1  0 e x  3  0 , ed il suo centro
appartiene alla retta y  3 x  1 . Determina l’equazione della circonferenza [non è richiesto il
disegno].
Esercizio 42. Dato il fascio di circonferenze di equazione
x 2  y 2   k  6  x  6  k  y  9  3 k  0
dopo averne studiato la natura, determina per quali valori di k le circonferenze del fascio
intersecano la retta di equazione x  y  1  0 .
Esercizio 43. Determinare la parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,
passante per O  0, 0  e tangente alla retta x  y  1 nel suo punto di ascissa 2 .
Rappresentare la parabola determinandone il vertice ed altri 4 punti.
Esercizio 44. Tracciare il grafico della curva di equazione y  1 
4
6 x  x 2 .
3
x2 y2

 1 sapendo che passa per il punto
a2 b2
 3, 0  ed è tangente alla retta di equazione x  y  5 . [non è richiesta alcuna rappresentazione
grafica].
Esercizio 45. Determinare l’ellisse di equazione
Esercizio 46. (*) Disegnare la parabola di equazione x    1 3  y 2  3 , indicando con A e B i
suoi punti di intersezione con l’asse delle y;
1.
determinare l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle x, con il centro coincidente con
l’origine degli assi, passante per A e B e avente eccentricità e  4 5 ( e  c a ) ;
2.
detto P il punto della direttrice della parabola avente ordinata 2, trovare le equazioni delle
tangenti condotte alla parabola da tale punto e verificare che esse sono perpendicolari ;
3.
dimostrare che quanto verificato al punto 1. vale per un generico punto P della direttrice.
Esercizio 47. Scrivi l’equazione del fascio di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle
ascisse e tangenti alla retta y  x  3 nel suo punto di coordinate  2, 5  . [non è richiesta
alcuna rappresentazione grafica]
Esercizio 48. Fornisci una descrizione geometrica del fascio ottenuto dalle due generatrici di
equazioni: y  2 x 2  x  18  0 e 2 x  3  0 . [non è richiesta alcuna rappresentazione
grafica]
Esercizio 49. Risolvere per via grafica la seguente disequazioni irrazionale:
3 4x  x 2  2x
Esercizio 50. Determina le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse x , passanti per i
punti  0 , 1  e  0, 2  e tangenti alla retta di equazione x  y  2 . [non è richiesta alcuna
rappresentazione grafica]
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Lavoro estivo di matematica / classe 3 E / a.s. 2013 – 2014 / pag. 6 di 9
Esercizio 51. Scrivi l’equazione della circonferenza che passa per l’origine, per il punto  1, 1  e
stacca una corda di misura 2 2 sulla retta x  y  2  0 . [è richiesta una rappresentazione
grafica].
Esercizio 52. Determina l’equazione della parabola che ha l’asse parallelo all’asse y , sapendo che
passa per l’origine e per il punto di coordinate A  3 2 , 3  e che la tangente in A è
perpendicolare alla retta 3 x  4 y  0 . Detta B la seconda intersezione della parabola con
l’asse x , determinare sull’arco AB di parabola il punto P la cui distanza dal segmento AB
assume il valore massimo. [è richiesta una rappresentazione grafica]
Esercizio 53. Risolvi per via grafica la disequazione:
1  3x  4x 2 
x 2
2
.
Esercizio 54. (*) Discuti il seguente sistema parametrico:
 4 x 2  3 y 2  16 x  18 y  31  0

 y  kx  3

 2  3  x  2  1  y  4
Esercizio 55. (*) Studiare il fascio di parabole di equazione  1  k  y  x 2  kx  k  1  0 [
esplicita le generatrici, gli eventuali punti base e gli elementi degeneri ]. [non è richiesta alcuna
rappresentazione grafica ]
Esercizio 56. (*) E’ data la parabola  di equazione y  x 2  6 x  5 .
1.
Rappresentarla in un riferimento cartesiano (individuare le coordinate del vertice e di almeno
altri 4 punti di  ) ;
2.
Scrivere l’equazione di   , simmetrica di  rispetto all’asse y e rappresentarla (nello stesso
riferimento di  ) ;
3.
Considerata la retta r : y  k , con k  0 , e indicate con A , B ,C , D le intersezioni di r
con le due parabole (segnando i punti da sinistra a destra, nell’ ordine dato), determinare il
valore del parametro k affinché valga la relazione: AB  BC  CD
[è richiesta una rappresentazione grafica]
Esercizio 57. Discuti il seguente sistema parametrico:
y   1 2  x 2  4 x  6

 2 kx   1  k  y  2 k  2  0
0  x  6

Esercizio 58. Risolvi per via grafica la disequazione: 2 4 x  x 2  x  2 .
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Lavoro estivo di matematica / classe 3 E / a.s. 2013 – 2014 / pag. 7 di 9
Esercizio 59. Scrivi
le
equazioni
delle
tangenti alla circonferenza di equazione
3 
x 2  y 2  9 y  9  0 , condotte dal punto  , 3  , e verifica che sono perpendicolari.
2 
Determina poi le coordinate dei punti di tangenza e la misura della corda che li congiunge.
Esercizio 60. Trova l’equazione della circonferenza  1 , di centro  2 , 1  e tangente alla retta di
equazione 4 x  3 y  0 . Determina poi l’equazione della circonferenza  2 , passante per
l’origine degli assi, per il punto


3 , 1 e con un diametro appartenente alla retta di equazione
y  x  2 . Considera poi il punto P  1, 3  e, indicati con Q ed R i punti di intersezione di
 1 e  2 , determina l’area del triangolo PQR .
Esercizio 61. Risolvi la seguente disequazione irrazionale:
5  x  2x  7
x 2  6 x
Esercizio 62. Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto:
Esercizio 63. (*) Risolvi la seguente disequazione:
0
x 4
4x  7

2
3  2x
3  2x
3 x 2  4  9 x 4  10
6x 2  5x  1
0
Esercizio 64. Risolvi sia algebricamente sia graficamente la seguente disequazione irrazionale:
x 2  25  x 
1
2
Esercizio 65. Discuti graficamente, al variare di k , il numero delle soluzioni del seguente sistema
parametrico:
x 2  y 2  6 x  6 y  9  0

 y  kx  k  6
0  x  3

Esercizio 66. Dati una retta r di equazione ax  by  c  0 ed un suo punto P di coordinate
 x 0 , y 0  scrivi una possibile equazione del fascio di circonferenze tangenti a r in P . Verifica
in modo algebrico che tutte le circonferenze del fascio sono tangenti a r in P [suggerimento:
scrivi il sistema tra la generica circonferenza del fascio e la retta r e verifica che tale sistema
ammette una sola soluzione].
Esercizio 67. Spiega per quale motivo l’equazione di II grado: px 2  qy 2  ax  by  c  0 , con
p e q parametri positivi, non sempre è associata ad un’ellisse nel piano cartesiano [è richiesta
l’esposizione di un ragionamento senza entrare nel dettaglio dei calcoli].
Esercizio 68. (*) Dati una retta r , non parallela agli assi cartesiani, di equazione ax  by  c  0 e
due suoi punti (distinti !) di coordinate A  x 1 , y 1  e B  x 2 , y 2  , scrivi le equazioni dei due
fasci di parabole con punti base A e B e con assi di simmetria paralleli ad uno dei due assi
coordinati [spiega il significato geometrico degli elementi scelti come generatrici].
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2y  1
, mediante opportuni calcoli riscrivila nella
y 2
forma  x  x 0  y  y0   k . Tracciane poi il grafico individuandone il centro, gli asintoti, i
fuochi e i vertici.
Esercizio 69. (*) Assegnata l’equazione x 
Esercizio 70. (*) Traccia il grafico della curva di equazione x  1 
4 2
y  4y  5 ; scrivi le
3
equazioni degli asintoti e dell’asse di simmetria della curva.

 x 2  4x  y  1
Esercizio 71. Discuti il seguente sistema ( h  parametro): 
.

x

4
y

4

5
h

0



Esercizio 72. (*) Determina l’equazione della retta tangente alla curva y   16  x 2 nel punto
in cui essa interseca la retta x  y  2 [è richiesta un’accurata rappresentazione grafica].
Esercizio 73. Determina l’area del triangolo equilatero ABC , con un vertice A coincidente con un
vertice dell’iperbole x 2  y 2  a 2 e gli altri due, B e C, appartenenti al ramo dell’iperbole che
non contiene A [è richiesta una rappresentazione grafica].
Lettura estiva (obbligatoria per tutti):

“Il mistero dell’alef” // Amir D. Aczel // ed. Il Saggiatore // 2000
La ricerca dell’infinito, tra matematica e misticismo
Sulla base di questo testo affronteremo, il prossimo anno, una splendida (!) unità
didattica sul tema dell’infinito (la cardinalità del numerabile, la potenza del continuo, i
tipi di infinità degli insiemi numerici...).
Istruzioni per l’uso: gli studenti che hanno giudizio sospeso in matematica sono
tenuti a svolgere tutti gli esercizi (tale lavoro sarà controllato a settembre 2014,
contestualmente alla prova orale); gli studenti che hanno ricevuto la segnalazione
“aiuto in matematica” sono tenuti a svolgerne almeno la metà; tutti gli studenti sono
tenuti a svolgere gli esercizi contrassegnati dal simbolo (*) [ ad es. : Esercizio 64 (*)
].
auguro a voi e alle vostre famiglie una serena estate,
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