Linea Paola – Cosenza: circolazione rallentata per furto

1
Note di Scienza delle Costruzioni Fabrizio Davì [Nome autore] 2
Illustrazione di copertina:
Manoscritto autografo di Isaac Newton sulle leggi della dinamica.
Cambridge Digital Library (http://cudl.lib.cam.ac.uk)
Queste note sono state interamente redatte dall’autore con il LaTex Document Preparation System,
utilizzando un MacBookPro 17 Retina, OSX.7.5.
Disponibili on-line all’indirizzo:
http://www.univpm.it/Entra/Engine/RAServePG.php/P/320710013994/idsel/185/docname/FABRIZIO%20DAVI%27
Tutti i diritti riservati. Sono vietate la riproduzione e la diffusione, anche parziali, senza l’esplicita autorizzazione
da parte dell’autore.
Note di Scienza delle Costruzioni
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Fabrizio Dav´ı
Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile ed Architettura,
Universitá Politecnica delle Marche
Ancona
Versione 1.2
27 maggio 2014
ii
Introduzione
Queste note di Scienza delle Costruzioni non hanno la pretesa di essere una
dispensa o tantomeno un libro. Sono la trascrizione tipografica delle note manoscritte reperibili da alcuni anni sul mio sito personale e costituiscono una
traccia degli argomenti svolti a lezione seguendone abbastanza fedelmente lo
sviluppo cronologico. Gli studenti sono caldamente invitati a studiare su di un
valido testo di Scienza delle Costruzioni tra i molti reperibili in commercio.
Queste note sono inoltre un lavoro in progress e non hanno una struttura
definitiva: i lettori sono pregati di segnalare ogni errore od inconsistenza rilevate
nel testo.
Queste note sono scaricabili gratuitamente: si diffidano perció i soliti approfittatori della fatica altrui dal rivenderle a scopo di lucro. Se poi ci tenete tanto
fatelo pure, sperando che i soldi cos´ı accumulati vengano spesi in antidiarroici.
Passando alle cose serie, arriviamo come d’uso alle dediche. Queste note
sono dedicate a Paolo, Morton ed Emanuele, senza il cui infaticabile e spesso
frustrato sforzo non saprei nulla di quello che so.
Sono anche dedicate a Cinzia, con l’augurio che un giorno i suoi figli le
possano leggere con la stessa facilitá con cui le leggo io.
Fabrizio Dav´ı, Ancona, 2013
iii
iv
INTRODUZIONE
Indice
Introduzione
iii
1 Cenni di Algebra e Analisi
1.1 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Generalit´
a ed operazioni tra tensori . . . . . . . . .
1.2.2 Componenti di un tensore. Matrici . . . . . . . . . .
1.2.3 Asse. Proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Determinante, Cofattore . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Autovalori e autovettori. Rappresentazione spettrale
1.2.6 Rotazioni. La formula di Rodriguez . . . . . . . . .
1.3 Analisi tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Divergenza, Rotore, Laplaciano . . . . . . . . . . . .
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2 Cinematica
2.1 Deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Analisi locale della deformazione . . . . . . . .
2.2 La decomposizione polare di F . . . . . . . . . . . . .
2.3 Moti Rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Sistemi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Classificazione dei vincoli per corpi rigidi piani
2.5 Deformazioni Infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Il tensore di deformazione infinitesima . . . . .
2.5.2 Le equazioni di compatibilitá . . . . . . . . . .
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3 Statica
3.1 Azioni alla Cauchy . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Il principio delle potenze virtuali . . . . . .
3.2.1 Equilibrio per sistemi rigidi vincolati
3.3 La tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Il teorema di Cauchy: il tensore degli sforzi
3.4.1 Tensioni principali . . . . . . . . . .
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vi
INDICE
3.5
3.4.2 Il cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il tensore degli sforzi di Piola-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . .
4 Relazioni Costitutive
4.1 Materiali elastici lineari . . . .
4.1.1 Restrizioni a priori su C
4.2 Materiali conservativi . . . . .
4.3 Simmetrie materiali . . . . . .
4.3.1 Materiali isotropi . . . .
4.3.2 Le relazioni costitutive .
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5 Il problema elastico
5.1 Lo stato elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Le equazioni di Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Le equazioni di Beltrami-Michell . . . . . . . . . . . . . .
5.4 I principi variazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Il principio di minimo dell’energia potenziale totale
5.4.3 Il principio di minimo dell’energia complementare
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6 Travi I: la teoria tecnica
77
6.1 Curve in R3 . Regioni a forma di trave . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Statica delle Travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.1 Travi ad asse rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.2 Travi reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Le equazioni della linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.1 Le misure di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.2 Travi elastiche lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.3 Travi rettilinee: le equazioni della linea elastica . . . . . . 98
6.3.4 Le condizioni al contorno per l’equazione della linea elastica 98
6.3.5 Gli effetti delle variazioni termiche . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.6 Travi deformabili a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4 Materiali conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.1 L’energia potenziale elastica: il principio di minimo . . . . 105
6.4.2 L’energia complementare: il principio di massimo . . . . . 107
6.5 Le equazioni di M¨
uller-Breslau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7 Travi II: il problema di Saint Venant
7.1 Generalit´
a ed ipotesi . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Materiale . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Il postulato di Saint Venant . . . . . . . . . .
7.3 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Il metodo semi-inverso . . . . . . . . .
7.3.2 La soluzione delle equazioni di bilancio
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131
INDICE
vii
7.3.3
7.3.4
7.3.5
7.3.6
7.3.7
7.3.8
Lo stato di deformazione . . . . . .
Le equazioni di compatibilitá . . .
La determinazione delle costanti .
La determinazione delle funzioni di
Il campo di spostamenti . . . . . .
Le tensioni principali . . . . . . . .
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ingobbamento
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137
8 Saint Venant: casi di sollecitazione
8.1 Forza Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Flessione Semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Forza Normale eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Flessione e Taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 La trattazione rigorosa: cenni . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 La formula di Jourawsky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Il problema di Neumann per la funzione di ingobbamento
8.5.2 La soluzione di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 La formula di Bredt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.4 La soluzione di Saint Venant per le sezioni rettangolari
allungate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 I criteri di sicurezza
9.1 Generalit´
a: materiali duttili . . . . . . . .
9.2 Il criterio di Tresca . . . . . . . . . . . . .
9.3 Il criterio di Huber-Von Mises . . . . . . .
9.4 Le verifiche di sicurezza per il problema di
9.5 Cenni sui materiali fragili . . . . . . . . .
9.5.1 Il criterio di Rankine . . . . . . . .
9.5.2 Il criterio di Mohr-Coulomb . . . .
9.5.3 Il criterio di Drucker . . . . . . . .
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171
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Saint Venant
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10 Il carico critico Euleriano
183
A Geometria delle masse
189
B Profilati
205
C Tabelle ηij ed ηi0
215
Bibliografia
219
viii
INDICE
Capitolo 1
Cenni di Algebra e Analisi
1.1
Vettori
Denotiamo con E lo spazio euclideo tridimensionale e con lettere maiuscole i
punti appartenenti a tale spazio, ad esempio A ∈ E. Dati due punti A ∈ E,
B ∈ E definiamo il vettore v come differenza tra i due punti:
v = B − A;
(1.1)
B
*
A v
Fig.1.1 - Rappresentazione grafica di un vettore
denotiamo con V la collezione di tutti i vettori associati allo spazio euclideo E:
tale collezione é uno spazio essendo chiuso rispetto alle operazioni di somma e
prodotto per uno scalare:
v+w ∈V,
αv ∈ V ,
∀v ∈ V , ∀w ∈ V , ∀α ∈ R ;
(1.2)
definiamo V lo spazio vettoriale associato ad E. Assegnati tre vettori u, v e w
appartenenti a V e tre numeri reali α, β e γ si dice
span{u , v , w} ,
(1.3)
l’insieme delle combinazioni lineari del tipo:
αu + βv + γw .
(1.4)
La dimensione n = dim(V) di uno spazio vettoriale é il numero massimo di
vettori che generano lo spazio; poiché V é associato allo spazio tridimensionale
1
2
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
E si ha n = 3. Si definisce Base una collezione di n = 3 vettori linearmente
indipendenti in V. Sia
{u , v , w} ,
una base in V, allora ogni elemento z ∈ V puó essere rappresentato come una
combinazione lineare degli elementi della base:
(α, , β , γ) ∈ R3 .
z = αu + βv + γw ,
(1.5)
Dati due vettori u ∈ V e v ∈ V, si definisce prodotto scalare l’operazione:
00 00
· : V × V −→ R ,
V × V 3 (u , v) 7→ u · v ∈ R ,
(1.6)
che gode della proprietá commutativa
u·v =v·u
e della propriet´
a distributiva rispetto alla somma:
u · (v + w) = u · v + u · w ,
u ∈ V ,v ∈ V ,w ∈ V .
Si hanno le seguenti definizioni:
i- Due vettori u e v si dicono ortogonali se u · v = 0 ;
√
ii- Si definisce norma di u lo scalare positivo kuk = u · u ;
iii- Si definisce versore un vettore a norma unitaria, i.e. kuk = 1. Dato un
generico vettore v il suo versore é vers(v) = kvk−1 v ;
iiii- L’angolo θ tra due vettori u e v é definito come:
θ = cos−1
u·v
;
kukkvk
(1.7)
Una base {e1 , e2 , e3 } si dice Ortonormale se:
ei · ej = δij ,
i, j = 1, 2, 3 ,
dove l’operatore delta di Kronecker é definito come:
(
1, i = j ,
δij =
0 , i 6= j .
(1.8)
(1.9)
Dato v ∈ V se ne definiscono le componenti nella base ortonormale {e1 , e2 , e3 }
che d’ora in poi indicheremo con {ek }, k = 1, 2, 3 mediante la:
vi = v · ei ,
i = 1, 2, 3 ;
(1.10)
é immediato verificare che il vettore v ammette la seguente rappresentazione in
base:
3
X
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 =
vk ek = vk ek .
(1.11)
k=1
1.1. VETTORI
3
Nell’ultima espressione si é fatto uso della notazione di Einstein che assume
in una espressione binomia la sommatoria tra indici ripetuti. Nel seguito si
assumer´
a sistematicamente che nella sommatoria gli indici latini assumano valori
1 , 2 , 3, mentre gli indici greci assumeranno valori 1 , 2.
Mediante l’introduzione di una base, a ciascun elemento v ∈ V, associamo
un elemento di R3 che rappresentiamo come vettore colonna:


v1
[v] ≡  v2  ,
v3
(1.12)
E’ opportuno ricordare che a ciascun vettore v possono corrispondere diverse
rappresentazioni come vettore colonna in ragione della base scelta.
Mediante la rappresentazione in base possiamo esprimere il prodotto scalare
in termini delle componenti dei vettori. Se u = ui ei e v = vj ej si ha:
u · v = ui ei · vj ej = ui vj δij = ui vi = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .
(1.13)
Dati due vettori u ∈ V e v ∈ V, si definisce prodotto vettoriale l’operazione:
00
×00 : V × V −→ V ,
V × V 3 (u , v) 7→ u × v = w ∈ V .
(1.14)
Si hanno le seguenti definizioni:
i- Due vettori u e v si dicono paralleli se u × v = 0 ;
ii- u × v = −v × u (anticommutativit´
a) ;
iii- L’angolo θ tra due vettori u e v é definito come:
θ = sin−1
ku × vk
;
kukkvk
(1.15)
Il prodotto vettoriale tra gli elementi della base ortonormale {ek } é definito
mediante la relazione:
ei × ej = ijk ek ,
(1.16)
dove il simbolo di Ricci ijk é tale che:
ijk


1 , {ijk} = 123 , 231 , 312 ,
= −1 , {ijk} = 132 , 321 , 213 ,


0 , in tutti gli altri casi .
(1.17)
Osserviamo che questa definizione del simbolo di Ricci corrisponde ad avere
assunto una base ortonormale antioraria.
4
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
e3
6
H
HH
j
H
e1
e2
Fig. 1.2 - Base {e1 , e2 , e3 } antioraria
Mediante la rappresentazione in base possiamo esprimere il prodotto vettoriale
in termini delle componenti dei vettori: se infatti u = ui ei e v = vj ej si ha:
w
=
u × v = ui ei × vj ej = ui vj ijk ek = wk ek
=
(u2 v3 − u3 v2 )e1 + (u3 v1 − u1 v3 )e2 + (u1 v2 − u2 v1 )e3 ,
da cui la rappresentazione come vettore colonna:


u2 v3 − u3 v2
[w] = [u × v] ≡  u3 v1 − u1 v3  .
u1 v2 − u2 v1
1.2
1.2.1
(1.18)
(1.19)
Tensori
Generalit´
a ed operazioni tra tensori
Un tensore del secondo ordine, che indichiamo con una lettera maiuscola in
neretto A, é una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale V in se stesso:
A : V −→ V ,
V 3 u 7→ Au = v ∈ V .
(1.20)
I tensori del secondo ordine appartengono ad uno spazio, che denominiamo Lin,
avente dimensione m = n2 e per il quale valgono le:
A + B ∈ Lin ,
αA ∈ Lin ,
∀A ∈ Lin , ∀B ∈ Lin , ∀α ∈ R ,
(1.21)
poiché n = 3, si ha m = 9. Alcuni tensori significativi sono:
i- Diade o prodotto tensoriale A = a ⊗ b, a ∈ V, b ∈ V:
(a ⊗ b)u = (b · u)v ,
∀u ∈ V .
(1.22)
ii- Tensore Identit´
a I:
Iu = u ,
∀u ∈ V .
(1.23)
0u = 0 ,
∀u ∈ V .
(1.24)
iii- Tensore Nullo 0:
1.2. TENSORI
5
Si definisce Trasposto di un tensore A e lo si indica AT , l’unico tensore tale
che:
Au · v = u · AT v .
(1.25)
Un tensore A si dice Simmetrico se:
A = AT ,
(1.26)
A = −AT .
(1.27)
ed Antisimmetrico se:
Per ciascun tensore A si definiscono la parte simmetrica e la parte antisimmetrica rispettivamente come:
sym A =
1
(A + AT ) ,
2
skw A =
1
(A − AT ) ;
2
(1.28)
chiaramente:
sym A + skw A = A ,
(1.29)
ed indicando con Sym e Skw rispettivamente il sottospazio dei tensori simmetrici
e quello dei tensori antisimmetrici si ha che Lin = Sym ⊕ Skw.
L’identit´
a é simmetrica: per quando riguarda la diade si ha
(a ⊗ b)u · v = (b · u)(a · v) = u · (b ⊗ a)v = u · (a ⊗ b)T v ,
(1.30)
per cui
(a ⊗ b)T = b ⊗ a ,
(1.31)
ed inoltre
Sym(a ⊗ b) =
1
(a ⊗ b + b ⊗ a) ,
2
Skw(a ⊗ b) =
1
(a ⊗ b − b ⊗ a) . (1.32)
2
Se A ∈ Sym definiamo la sua parte sferica, sph A:
sph A =
1
(tr A)I ,
3
(1.33)
e la sua parte deviatorica, dev A:
dev A = A − sph A ;
(1.34)
si ha che
tr(sph A) = tr A ,
tr(dev A) = 0 .
(1.35)
Detti Sph e Dev i sottospazi di Sym dei tensori sferici e deviatorici, si ha Sym ≡
Sph ⊕ Dev.
Definiamo adesso alcune operazioni tra tensori mediante le diadi:
a- Traccia
tr : Lin −→ R ,
tr(a ⊗ b) = a · b ;
6
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
b- Prodotto di composizione
◦ : Lin × Lin −→ Lin ,
(a ⊗ b) ◦ (c ⊗ d) = (b · c)a ⊗ d :
osserviamo che normalmente si omette il simbolo ◦, ovvero A ◦ B = AB,
e che A ◦ A = AA = A2 .
c- Prodotto scalare
00 00
· : Lin × Lin −→ R ,
(a ⊗ b) · (c ⊗ d)
=
tr((a ⊗ b) ◦ (c ⊗ d)T ) =
=
(a · c)(b · d) .
Osserviamo che :
a- Due tensori T e W si dicono ortogonali se T · W = 0 ;
√
b- Si definisce norma di A lo scalare positivo kAk = A · A ;
c- Dalla definizione di prodotto scalare inoltre si ha che tr T = T · I ;
d- ∀T ∈ Sym e ∀W ∈ Skw si ha T · W = 0 ;
e- ∀A ∈ Sph e ∀B ∈ Dev si ha A · B = 0 ;
f- ∀A ∈ Lin si ha kAk2 = k sym Ak2 + k skw Ak2 ;
g- ∀T ∈ Sym si ha kTk2 = k sph Tk2 + k dev Tk2 ;
1.2.2
Componenti di un tensore. Matrici
Consideriamo la trasformazione lineare A ∈ Lin con u ∈ V e v ∈ V:
u = Av ;
se indichiamo con v = vj ej la rappresentazione nella base ortonormale {ek },
possiamo scrivere nella medesima base le componenti di u come:
ui = Aej · ei vj .
(1.36)
Osserviamo che, per la definizione di traccia di una diade e di prodotto scalare
si ha:
Aej · ei = tr(Aej ⊗ ei ) = A · ei ⊗ ej .
(1.37)
Osserviamo che le nove diadi {ei ⊗ ej }, i, j = 1, 2, 3 sono tra di loro ortonormali
e pertanto sono una base di Lin: definiamo allora le Componenti del tensore A:
Aij = A · ei ⊗ ej ,
(1.38)
per modo che la (1.36) si riduce al prodotto righe per colonna tra la matrice
[Aij ] ed il vettore colonna [vj ]:
ui = Aij vj .
(1.39)
1.2. TENSORI
7
La matrice [Aij ] é pertanto la rappresentazione mediante le componenti rispetto
alla base {ei ⊗ ej }, i, j = 1, 2, 3, del tensore A:


A11 A12 A13
[A] ≡  A21 A22 A23  ;
(1.40)
A31 A32 A33
abbiamo:
1- [I] = [(I)ij ] = [δij ] ,
2- [a ⊗ b] = [(a ⊗ b)ij ] = [ai bj ] ,
3- [AT ] = [(AT )ij ] = [Aji ] ,
4- se T ∈ Sym, allora Tij = Tji . Pertanto dim(Sym) = 6 ,
5- se W ∈ Skw, allora Wij = −Wji . Pertanto dim(Skw) = 3 ,
6- [AB] = [(AB)ij ] = [Aik Bkj ] ,
7- tr A = Akk = A11 + A22 + A33 ,
8- A · B = Aik Bik ,
9- [sph A] = [(sphA)ij ] = [( 13 tr A)δij ] . Pertanto dim(Sph) = 1 ,
10- [dev A] = [(devA)ij ] = [Aij − ( 13 tr A)δij ] . Pertanto dim(Dev) = 5 .
1.2.3
Asse. Proiezioni ortogonali
Sia W ∈ Skw un tensore antisimmetrico e sia ω ∈ V. Se:
Wa = ω × a ,
∀a ∈ V ,
(1.41)
diciamo ω asse di W e W tensore assiale di ω; necessariamente Wω = 0.
Assumendo nella base ortonormale {ek } le rappresentazioni in componenti a =
ah eh , ω = ωk ek e W = Wij ei ⊗ ej , Wij = −Wji , abbiamo dalla (1.41):
Wij ei ⊗ ej ah eh = ωk ek × ah eh ,
Wij ah δjh ei = ωk ah khi ei ,
Wih ah ei = ωk ah khi ei ;
dovendo valere l’eguaglianza per ogni a, ovvero per ogni ah , ed essendo khi =
hik si ottiene:
Wih = hik ωk , ,
(1.42)
relazione tra le componenti dell’asse e del suo tensore assiale. In forma matriciale, note le componenti dell’asse:




ω1
0
−ω3 ω2
0
−ω1  ;
[ω] ≡  ω2  , [W] ≡  ω3
(1.43)
ω3
−ω2 ω1
0
8
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
viceversa, note le componenti del tensore assiale:

0
[W] ≡  −W12
−W13
W12
0
−W23

W13
W23  ,
0


−W23
[ω] ≡  W13  .
−W12
(1.44)
Se un tensore antisimmetrico é rappresentato in forma diadica, abbiamo inoltre
la seguente identit´
a, detta dualit´
a di Hodge:
W = a ⊗ b − b ⊗ a , ⇐⇒ ω = b × a .
(1.45)
Consideriamo il tensore P(e) = e ⊗ e, kek = 1. Per ciascun vettore v ∈ V si
ha:
Pv = (e ⊗ e)v = (v · e)e = v|| ;
(1.46)
Il vettore v|| é la proiezione ortogonale di v sulla direzione e: definiamo pertanto
il tensore P(e) il Proiettore ortogonale su e. Denotiamo con v⊥ la proiezione
ortogonale di v sul piano normale ad e; poiché:
v⊥ = v − v|| ,
(1.47)
dalla definizione di Proiettore ortogonale e di Identitá risulta:
v⊥ = Iv − Pv = (I − P)v ;
(1.48)
definiamo P⊥ (e) il Proiettore complementare, ovvero il tensore che proietta il
vettore v sul piano ortogonale a e:
P⊥ (e) = I − P(e) = I − e ⊗ e .
(1.49)
Tra i proiettori ed i tensore assiale associati al medesimo vettore e vale la
relazione:
P⊥ (e) = −W2 (e) .
(1.50)
Osservazione 1 Applicando W e P ad un vettore v:
• W(e) lo proietta sul piano ortogonale ad e e lo ruota di
antiorario intorno ad e ;
π
2
in senso
• W2 (e) lo proietta sul piano ortogonale ad e e lo ruota di π in senso
antiorario intorno ad e ;
• P⊥ (e) lo proietta sul piano ortogonale ad e ;
• P(e) lo proietta lungo la direzione di e ;
1.2. TENSORI
9
P(e)v
6
v
e W2 (e)v 6 Y
H
HH
H
HH
j P⊥ (e)v
W(e)v
Fig. 1.3 - Relazione tra W e P
1.2.4
Determinante, Cofattore
Siano u ∈ V, v ∈ V, w ∈ V tre vettori linearmente indipendenti, ovvero u × v ·
w 6= 0. Definiamo Determinante di un tensore A lo scalare det A:
Au × Av · Aw = (det A)u × v · w ;
(1.51)
se scegliamo come tre vettori linearmente indipendenti i vettori di una base
ortonormale con e1 × e2 · e3 = 1, in componenti si ha:
det A
= Ai1 Aj2 Ak3 ijk
(1.52)
= A11 A22 A33 + A21 A32 A13 + A31 A12 A23
− A31 A22 A13 − A21 A12 A33 − A11 A32 A23 ;
é facile verificare che, per la regola di Sarrus, questo é il determinante della
matrice associata ad A nella base {ek }, ovvero:
det A = det[Aij ] .
Definiamo Cofattore di un tensore A il tensore A? :
Au × Av = A∗ (u × v) ,
(1.53)
A∗ = (det A)(A−1 )T = (det A)(AT )−1 = (det A)A−T .
(1.54)
dove, se det A 6= 0, si ha:
Si hanno le seguenti identit´
a
tr A∗
=
det A∗
=
1
((tr A)2 − kAk2 ) ,
2
(det A)2 .
(1.55)
10
1.2.5
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
Autovalori e autovettori. Rappresentazione spettrale
Sia A ∈ Lin, si cercano, se esistono, le coppie (λ , u), dove λ é un numero
complesso ed u ∈ V tali che:
Au = λu :
(1.56)
si definiscono λ autovalore ed u autovetture di A; come é noto il sistema
omogeneo che deriva dalla (1.56) ammette soluzioni non banali per
det(A − λI) = 0 ,
(1.57)
det(A − λI) = λ3 − λ2 ι1 (A) + λι2 (A) − ι3 (A) = 0 ,
(1.58)
dove:
essendo ιk (A), k = 1, 2, 3 gli invariati ortogonali del tensore A:
ι1 (A)
=
tr A ,
ι2 (A)
=
tr A∗ ,
ι3 (A)
=
det A .
(1.59)
Per il teorema fondamentale dell’algebra la (1.57) ammette tre soluzioni e pertanto il problema agli autovalori (1.56) ammette tre autocoppie (λ1 , u1 ), (λ2 , u2 )
e (λ3 , u3 ).
Se A ∈ Sym ed inoltre é definito positivo, ovvero Au · u > 0, ∀u ∈ V/{0},
allora λk ∈ R+ , k = 1, 2, 3 e gli autovalori formano una base ortonormale
{u1 , u2 , u3 } detta riferimento principale. Nel riferimento principale il tensore
ammette la rappresentazione spettrale:
A = λ1 u1 ⊗ u1 + λ2 u2 ⊗ u2 + λ3 u3 ⊗ u3 ,
e la matrice associata é diagonale:

λ1
[A] ≡  0
0
0
λ2
0

0
0 .
λ3
(1.60)
(1.61)
Osserviamo che la matrice associata al cofattore di A nel riferimento principale
é:


λ2 λ3
0
0
λ1 λ3
0 ,
[A∗ ] ≡  0
(1.62)
0
0
λ1 λ2
e pertanto:
ι1 (A)
=
λ1 + λ2 + λ3 ,
ι2 (A)
=
λ2 λ3 + λ1 λ3 + λ1 λ2 ,
ι3 (A)
=
λ1 λ2 λ3 .
(1.63)
Se A ∈ Lin, dalla (1.58) discende il seguente risultato (Teorema di CayleyHamilton):
A3 − A2 ι1 (A) + Aι2 (A) − ι3 (A)I = 0 .
(1.64)
1.2. TENSORI
1.2.6
11
Rotazioni. La formula di Rodriguez
Definiamo Trasformazioni Ortogonali quegli elementi Q ∈ Lin che preservano
angoli e distanze:
u · u = Qu · Qu ,
u · v = Qu · Qv ,
∀u ∈ V , ∀v ∈ V ;
(1.65)
necessariamente:
Qu · Qu = QT Qu · u = u · u ,
⇐⇒
QT Q = I
(1.66)
T
Qu · Qv = Q Qu · v = u · v ,
(1.67)
Poiché per la definizione di inversa Q−1 :
Q−1 Q = I ,
si ha che le trasformazioni ortogonali hanno:
Q−1 = QT .
(1.68)
Applicando il determinante al primo ed al secondo membro della (1.68) e
ricordando che det Q−1 = (det Q)−1 e che det QT = det Q, si arriva a:
(det Q)2 = 1
ovvero
det Q = ±1 .
(1.69)
Definiamo Rotazioni le trasformazioni ortogonali con det Q = 1 e Riflessioni
quelle con det Q = −1. Ci occupiamo solo delle rotazioni che formano un
sottoinsieme Rot ⊂ Lin detto gruppo delle Rotazioni. Le rotazioni infatti non
sono un sottospazio poiché non sono chiuse rispetto alle operazioni di somma e
prodotto per uno scalare.
Osserviamo che
Q∗ = det Q(Q−1 )T = Q ,
(1.70)
per la (1.68) ed essendo det Q = 1. Ne segue che:
ι1 (Q)
=
tr Q ,
ι2 (Q)
=
tr Q∗ = tr Q = ι1 (Q), ,
ι3 (Q)
=
det Q = 1 ,
(1.71)
e l’equazione caratteristica (1.58) diviene :
λ3 − λ2 ι1 (Q) + λι1 (Q) − 1 = (λ − 1)(λ2 + ι1 (Q)) = 0 ,
(1.72)
che ammette l’autovalore λ = 1: di conseguenza esiste una direzione e tale che
Qe = e che viene detta Asse di rotazione.
Noto l’asse di rotazione, l’altro parametro che consente di caratterizzare la
rotazione é l’angolo di rotazione ϕ: una rotazione pertanto é caratterizzata da
12
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
tre parametri, due che individuano la direzione dell’asse ed uno che descrive
la rotazione, ovvero (e , ϕ). Possiamo dare una rappresentazione esplicita delle
rotazioni in termini di questi due parametri.
Consideriamo la rotazione di un vettore v ∈ V mediante una rotazione di
asse e:
v 7→ Qv ;
decomponendo v nella sua proiezione ortogonale v|| lungo l’asse e v⊥ ortogonalmente all’asse si ha:
Qv
=
Qv|| + Qv⊥ = Q(v · e)e + Qv⊥
=
(v · e)Qe + Qv⊥ = (v · e)Qe + Qv⊥ = v|| + Qv⊥ .
(1.73)
La rotazione Q agisce pertanto solo sulla proiezione del vettore v sul piano
ortogonale all’asse e puó essere studiata in questo piano. Ponendo
v⊥ = kv⊥ ku ,
u=
v⊥
,
kv⊥ k
(1.74)
consideriamo la trasformazione piana u 7→ Qu con u = A − O e Qu = B − O:
l’arco AB pu´
o scriversi esprimendo B − O come
B − O = (B − C) + (C − A) + (A − O).
(1.75)
Poiché:
C −A =
B−C =
sin ϕW(e)u ,
(1 − cos ϕ)W2 (e)u ,
A
(1.76)
-C
6
?
B
ϕ
O
Fig. 1.4 - Rappresentazione della rotazione nel piano ortogonale ad e
dove W(e) é il tensore assiale associato ad e, si ha che dalla (1.75)
Qu = sin ϕW(e)u + (1 − cos ϕ)W2 (e)u + u ,
da cui, moltiplicando per la kv⊥ k ed osservando che W(e)v⊥ = W(e)v:
Qv⊥ = v⊥ + sin ϕW(e)v + (1 − cos ϕ)W2 (e)v .
1.3. ANALISI TENSORIALE
13
Infine, dalla (1.73)
Qv = v|| + Qv⊥ = v|| + v⊥ + sin ϕW(e)v + (1 − cos ϕ)W2 (e)v ,
(1.77)
dalla quale fattorizzando v si arriva all’espressione di Q:
2
Qϕ
e = I + sin ϕW(e) + (1 − cos ϕ)W (e) ,
(1.78)
conosciuta come Formula di Rodriguez.
Esempio 1 Rotazione intorno ad e3
Consideriamo nel riferimento ortonormale {e1 , e2 , e3 } la rotazione antioraria di un angolo ϕ intorno all’asse e3 : le matrici dei tensori W(e3 ) e W2 (e3 )
sono:




0 −1 0
−1 0 0
[W(e3 )] ≡  1 0 0  , [W2 (e3 )] ≡  0 −1 0  ;
(1.79)
0 0 0
0
0 0
applicando la (1.78) otteniamo la ben nota espressione:


cos ϕ − sin ϕ 0
 sin ϕ cos ϕ 0  .
[Qϕ
3] ≡
0
0
1
1.3
1.3.1
(1.80)
Analisi tensoriale
Gradiente
Consideriamo una applicazione V 3 x 7→ φ(x) ∈ R, regolare. Definiamo gradiente di φ(x) in un punto x0 del suo insieme di definizione, la trasformazione
lineare ∇φ(x0 ) tale che:
φ(x) = φ(x0 ) + ∇φ(x0 ) · (x − x0 ) + o(kx − x0 k) ;
(1.81)
le sue componenti in una base ortonormale {ek } sono date dalle:
∇φ · ek = φ,k ,
k = 1, 2, 3 ,
essendo
φ,k =
∂φ
,
∂xk
e la rappresentazione come vettore colonna é:


φ,1
[∇φ] ≡  φ,2  .
φ,2
(1.82)
14
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
Dato un vettore m, kmk = 1, definiamo la derivata di φ nella direzione di m lo
scalare:
∂m φ = ∇φ · m .
(1.83)
In maniera del tutto analoga per V 3 x 7→ v(x) ∈ V, regolare, ne definiamo
il gradiente in un punto x0 del suo insieme di definizione ∇v(x0 ):
v(x) = v(x0 ) + ∇v(x0 )(x − x0 ) + o(kx − x0 k2 ) ;
(1.84)
le componenti di ∇v sono date dalla:
∇v · ei ⊗ ej = vi,j ,
essendo
vi,k =
i, j = 1, 2, 3 ,
(1.85)
∂vi
,
∂xk
e la loro rappresentazione matriciale é:

v1,1 v1,2
[∇v] ≡  v2,1 v2,2
v3,1 v3,2

v1,3
v2,3  .
v3,3
Dato un vettore m, kmk = 1, definiamo la derivata di v nella direzione di m il
vettore:
∂m v = ∇v[m] .
(1.86)
Per φ(x) ∈ R, u(x) ∈ V e v(x) ∈ V ed Ω ⊂ E con frontiera regolare ∂Ω
avente normale esterna n, knk = 1, valgono le seguenti identitá:
∇(u · v)
= ∇T u[v] + ∇T v[u] ;
Z
Z
∇φ
=
Ω
(1.88)
v ⊗ n;
(1.89)
Z
∇v
1.3.2
φn ;
∂Ω
Z
Ω
(1.87)
=
∂Ω
Divergenza, Rotore, Laplaciano
Dato un campo vettoriale V 3 x 7→ v(x) ∈ V, regolare, ne definiamo la
divergenza div v(x) come:
div v(x) = tr ∇v(x) ,
(1.90)
div v = vk,k = v1,1 + v2,2 + v3,3 .
(1.91)
ovvero in componenti:
1.3. ANALISI TENSORIALE
15
Definiamo il rotore curl v(x) del campo vettoriale v(x) come (2 volte) l’asse
della parte antisimmetrica del gradiente:
curl v(x) × a = 2 skw ∇v(x)[a] ,
a = cost. ,
(1.92)
ed in componenti:
curl v = vi,j ijk ek
(1.93)
ovvero


u2,3 − u3,2
[curl v] ≡  u3,1 − u1,3  .
u1,2 − u2,1
Se x 7→ ϕ(x) é un campo scalare ed x 7→ v(x) un campo vettoriale, regolari, si
hanno le indentit´
a:
curl ∇ϕ = 0 ,
curl ∇v = 0 .
(1.94)
Dato un campo tensoriale V 3 x 7→ S(x) ∈ Lin, regolare, ne definiamo la
divergenza div S(x) mediante la:
div(ST a) = a · div S ,
a = cost. ,
(1.95)
ed in componenti:
div S = Sij,j ei ,
i, j = 1, 2, 3 ,
(1.96)
ovvero:


S11,1 + S12,2 + S13,3
[div S] ≡  S21,1 + S22,2 + S23,3  .
S31,1 + S32,2 + S33,3
Definiamo il Laplaciano ∆v(x) di un campo vettoriale v(x) la divergenza
del gradiente:
∆v(x) = div ∇v(x) ,
(1.97)
ed in componenti
∆v(x) = vi,kk ei ,
i, k = 1, 2, 3 ,
ovvero:

 

v1,11 + v1,22 + v1,33
∆v1
[∆v] ≡  v2,11 + v2,22 + v2,33  =  ∆v2  .
v3,11 + v3,22 + v3,33
∆v3
(1.98)
16
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
Per v(x) ∈ V e S(x) ∈ Lin ed Ω ⊂ E con frontiera regolare ∂Ω avente
normale esterna n, knk = 1, valgono le seguenti identitá:
div(Sv)
=
Z
v · div ST + S · ∇T v ,
(1.99)
Z
div v
=
Ω
v · n , teorema della Divergenza ;
(1.100)
Sn ;
(1.101)
v × n, .
(1.102)
∂Ω
Z
Z
div S =
Ω
∂Ω
Z
Z
curl v
=
Ω
∂Ω
(1.103)
Per S un disco in E con frontiera regolare ∂S avente normale esterna n, vale
il teorema di Stokes:
Z
Z
curl v · n =
v · dx .
(1.104)
S
∂S
Infine, se X ∈ Skw é il tensore assiale associato al vettore posizione x, per
S ∈ Lin vale la seguente identitá:
div(XS) = IhS + x × (div S) ,
(IhS)i = jik Sjk .
(1.105)
Esercizi
[1 ] Se A = I + αB, mostrare che:
i)- A−1 = I − αB + o(α2 ) ,
ii)- det A = 1 + α tr B + α2 tr B∗ + α3 det B .
[2 ] Per mezzo del teorema di Cayley-Hamilton mostrare vera l’identitá (1.55)1 .
[3 ] Se Q1 ∈ Rot, Q2 ∈ Rot ed α ∈ R mostrare che (struttura di gruppo di
Rot):
i)- Q1 + Q2 ∈
/ Rot ,
ii)- αQ1 ∈
/ Rot ,
iii)- Q1 Q2 ∈ Rot .
[4 ] Mediante la rappresentazione in componenti mostrare vera l’identitá
(1.45).
[5 ] Mostrare che (idempotenza):
Pn = P ,
(P⊥ )n = P⊥ ,
n = 1, 2, . . . .
1.3. ANALISI TENSORIALE
17
[6 ] Mediante la rappresentazione in componenti mostrare vera la (1.105).
[7 ] Una rappresentazione delle rotazioni alternativa alla formula di Rodriguez é quella in termini degli Angoli di Eulero, ovvero mediante tre
rotazioni Qi di angolo φi intorno ad un’asse wi , i = 1, 2, 3:
Q = Q3 Q2 Q1 .
Nella base ortonormale {ek } i tre assi di rotazione sono rappresentati
come:
w1
= e3 ,
w2
= Q1 e1 ,
w3
= Q2 Q1 e3 ,
ed i tre angoli sono detti:
φ1
= ψ , precessione ,
φ2
= θ , nutazione ,
φ3
= ϕ , rotazione propria .
Determinare, nella base {ek } la matrice della rotazione Q espressa in
termini degli angoli di Eulero.
18
CAPITOLO 1. CENNI DI ALGEBRA E ANALISI
Capitolo 2
Cinematica
2.1
Deformazioni
Consideriamo un sottoinsieme aperto Ω ⊂ E ed identifichiamo i punti X ∈ Ω
mediante il loro vettore posizione x(X) = X − O, con O ∈ E. Definiamo
Deformazione l’applicazione vettoriale:
f
Y = f (X)
f (Ω)
X
Ω
Fig. 2.1 - Deformazione
f :Ω→E,
Ω 3 X 7→ f (X) = Y ∈ E ,
(2.1)
avente una rappresentazione vettoriale ed in componenti (in una opportuna
base):
y = f (x) , yk = fk (x1 , x2 , x3 ) , k = 1, 2, 3 ,
se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
i- f ∈ C 1 (Ω) ;
ii- f localmente iniettiva ;
iii- det ∇f > 0 ,
19
20
CAPITOLO 2. CINEMATICA
dove con il simbolo ∇f si denota il gradiente
matriciale:

f1,1 f1,2
[∇f ] ≡  f2,1 f2,2
f3,1 f3,2
di f (x), avente rappresentazione

f1,3
f2,3  .
f3,3
D’ora in avanti indicheremo con F(x) = ∇f (x) il gradiente di deformazione:
definiamo inoltre Defomazione omogenea una deformazione con F costante.
Identifichiamo Ω con un continuo materiale, di cui Ω é la Configurazione di
riferimento; indichiamo con B = f (Ω) l’immagine di Ω mediante la deformazione
e la chiamiamo Configurazione deformata o corrente .
Osservazione 2 Le ipotesi sulla deformazione implicano che non siano possibili compenetrazioni o fratture per effetto della deformazione stessa e che
l’orientamento locale venga preservato
2.1.1
Analisi locale della deformazione
Consideriamo un punto x0 ∈ Ω: poiché la deformazione é localmente iniettiva,
consideriamo lo sviluppo in serie di Taylor della deformazione in un intorno di
x0 :
f (x) = f (x0 ) + F(x0 )(x − x0 ) + o(kx − x0 k2 ) ;
(2.2)
La deformazione F(x0 ) é omogenea e nel seguito la indicheremo semplicemente
con F. Se poniamo y0 = f (x0 ), abbiamo che a meno di infinitesimi di ordine
superiore:
y − y0 = F(x − x0 ) ,
(2.3)
e pertanto la deformazione di vettori della configurazione di riferimento uscenti
da x0 in vettori della configurazione deformata é totalmente descritta a partire
dalla conoscenza del gradiente della deformazione omogenea F nell’intorno di
x0 .
Deformazione di elementi di linea
Consideriamo una curva γ per x0 e consideriamo il vettore tangente x−x0 = αe,
kek = 1: prima della deformazione la sua lunghezza iniziale é
Li = kx − x0 k = α ;
per effetto della deformazione il vettore tangente a γ si trasforma in:
y − y0 = αFe ,
avente lunghezza:
Lf = ky − y0 k = αkFek .
Se definiamo la variazione Lagrangiana di lunghezza come:
δL =
Lf − Li
,
Li
(2.4)
2.1. DEFORMAZIONI
21
otteniamo
δL = kFek − 1 .
(2.5)
kFek2 = Fe · Fe = FT Fe · e = FT F · e ⊗ e ;
(2.6)
Osserviamo che:
introducendo il tensore destro di deformazione di Cauchy-Green C = FT F,
dalla (2.5) si ha che l’allungamento di un elemento di linea diretto come e viene
determinato tramite le componenti del tensore C mediante la:
√
(2.7)
δL = C · e ⊗ e − 1 .
Il tensore C ha le seguenti proprietá:
a- C ∈ Sym:
(FT F)T = FT (FT )T = FT F ;
b- C é definito positivo:
Cu · u = FT Fu · u = Fu · Fu = kFuk2 > 0 ,
∀u ∈ V/{0} .
In un riferimento ortonormale la matrice associata a C é simmetrica:


C11 C12 C13
C22 C23  ;
[C] ≡  ·
·
·
C33
(2.8)
dalla (2.7) si osserva che le componenti sulla diagonale principale consentano di
determinare le variazioni di lunghezza di elementi di linea diretti come i versori
della base.
Se per un punto x0 consideriamo due curve γ1 e γ2 aventi rispettivamente
versori tangenti g ed e, l’angolo compreso tra le due curve é:
θi = cos−1 (e · g) ;
dopo la deformazione, l’angolo compreso tra le due curve deformate diviene:
θf = cos−1 (
C·g⊗e
Fe · Fg
) = cos−1 (
).
kFekkFgk
kFekkFgk
Se definiamo la variazione di angolo come:
∆θ = θf − θi ,
(2.9)
si ha:
C·g⊗e
) − cos−1 (e · g) ;
kFekkFgk
ad esempio, posti e = e1 e g = e2 , dalla (2.10) si arriva alla:
∆θ = cos−1 (
∆θ12 = cos−1 ( √
C12
π
)− ;
2
C11 C22
(2.10)
(2.11)
gli elementi della matrice di C fuori dalla diagonale principale consentono di
determinare le variazioni di angolo tra le direzioni dei versori della base.
22
CAPITOLO 2. CINEMATICA
Deformazione di elementi di superficie
Consideriamo per un punto x0 due curve aventi rispettivamente vettori tangenti
αe e βg, kek = kgk = 1: definiamo l’elemento di area orientata per x0 avente
normale esterna m:
d(Area) = αe × βg = αβm ,
m = e × g , kmk = 1 ;
dopo la deformazione, l’elemento di area orientata per y0 , avente normale
esterna n é dato dalla:
Fe × Fg
d(area) = αFe × βFg = αβkFe × Fgkn , n =
, knk = 1 ,
kFe × Fgk
che per la (1.53) pu´
o essere riscritta come:
d(area) = αβkF∗ (e × g)kn .
(2.12)
Definiamo la variazione Lagrangiana di area:
δA =
kd(area)k − kd(Area)k
,
kd(Area)k
(2.13)
da cui:
δA = kF∗ (e × g)k − 1 ,
(2.14)
o, in termini del tensore C:
δA =
p
C∗ (e × g) · (e × g) − 1 .
(2.15)
Deformazione di elementi di volume
Consideriamo per un punto x0 tre curve aventi rispettivamente vettori tangenti
αe, βg e σw, kek = kgk = kwk = 1 linearmente indipendenti, ovvero tali che
e × g · w 6= 0: definiamo l’elemento di volume per x0 mediante il prodotto misto
dei tre vettori:
d(V ol) = αe × βg · σw = αβσe × g · w ;
l’elemento di volume per y0 dopo la deformazione é:
d(vol) = αFe × βFg · σFw = αβσFe × Fg · Fw ,
che per la (1.51) pu´
o essere riscritta come:
d(vol) = det F(e × g · w) .
(2.16)
Definiamo la variazione Lagrangiana di volume:
δV =
d(vol) − d(V ol)
,
d(V ol)
(2.17)
da cui:
δV = det F − 1 ,
ed in termini del tensore C:
√
δV =
det C − 1 .
(2.18)
(2.19)
2.2. LA DECOMPOSIZIONE POLARE DI F
2.2
23
La decomposizione polare di F
La conoscenza di (F , F∗ , det F) o delle corrispondenti quantitá espresse in termini di C consente di descrivere completamente la deformazione in un intorno
di x0 . Osserviamo per´
o che possiamo sempre pensare di realizzare una deformazione mediante un moto rigido ed una deformazione propriamente detta. In
particolare, possiamo pensare di deformare il corpo intorno alla configurazione
di riferimento e poi di ruotarla rigidamente nella configurazione corrente oppure
di ruotare la configurazione di riferimento nella configurazione corrente e quindi
deformarla. Ci´
o implica che ogni deformazione f possa essere decomposta in
una rotazione rigida r e due deformazioni pure u e v:
f = r◦u = v ◦r,
Ω
(2.20)
f =r◦u
u(Ω)
@
@
@
r(Ω) @
@
@
@
@
- @
@
f =v◦r
?
@
f (Ω) @
@
@
Fig. 2.2 - La decomposizione polare di f
da cui passando ai gradienti:
∇f = ∇r∇u = ∇v∇r ;
(2.21)
il gradiente della rotazione rigida é un tensore di rotazione R = ∇r ∈ Rot. Per il
Teorema di decomposizione polare (Cauchy), i gradienti di u e v sono due tensori
24
CAPITOLO 2. CINEMATICA
simmetrici e definiti positivi, rispettivamente il tensore sinistro di deformazione
pura V = ∇v ∈ Sym ed il tensore destro di deformazione pura U = ∇u ∈ Sym.
Si ha pertanto che il gradiente di deformazione ammette le due decomposizioni
polari:
F = RU = VR .
(2.22)
In termini della decomposizione polare (2.22)1 , il tensore C diviene:
C = (RU)T RU = URT RU = U2 ,
(2.23)
e non dipende pertanto dalla rotazione rigida R. Analogamente il cofattore C∗
ed il determinante di C dipendono solamente da U:
C∗ = (det U)2 U−2 ,
Esempio 2 Dilatazione semplice
Consideriamo, nel riferimento {ek },
diente F:

ε
[F] ≡  0
0
det C = (det U)2 .
(2.24)
la deformazione avente matrice del gra
0 0
1 0 ;
0 1
per la condizione di conservazione dell’orientamento locale det F = ε > 0.
Studiamo la deformazione mediante il suo effetto sui vettori della base:
Fe1
= εe1 ,
Fe2
= e2 ,
Fe3
= e3 ;
e2 6
e2 6
e1
e1
ε
Fig. 2.3 - Dilatazione semplice
l’elemento di volume cubico in x0 viene deformato in un parallelepipedo a
base quadrata con il lato maggiore diretto come e1 . La variazione di volume
associata a questa deformazione é:
δV = ε − 1
osserviamo che per 0 < ε < 1 si ha una diminuzione di volume, per ε > 1 un’aumento di volume mentre la condizione ε = 1 implica che non ci sia variazione di
volume. Le deformazioni per cui si ha det F = 1 sono dette isocore.
2.2. LA DECOMPOSIZIONE POLARE DI F
25
Il cofattore di F é:


1 0 0
[F∗ ] ≡  0 ε 0  :
0 0 ε
ad esempio, la variazione di area della superficie di normale e3 = e1 × e2 é:
δA3 = kF∗ e3 k − 1 = ε − 1 ,
mentre é immediato verificare che l’area della superficie avente normale e1 resta
invariata.
Il tensore di deformazione C associato ad F é:
 2

ε 0 0
[C] ≡  0 1 0  ,
0 0 1
e l’unica variazione di lunghezza non nulla é quella nella direzione di e1 :
p
δL1 = C11 − 1 = ε − 1 ,
non avendosi variazioni di angolo. In termini della decomposizione polare (2.22)1
si ha che R = I (non si ha rotazione rigida) ed U ≡ F.
Esempio 3 Scorrimento puro
Consideriamo, nel riferimento {e1 , e2 , e3 }, la deformazione avente matrice
del gradiente F:


1 γ 0
[F] ≡  0 1 0  ;
0 0 1
si ha det F = 1, la deformazione é isocora e γ puó assumere segno positivo o
negativo. Applicando il gradiente di deformazione ai vettori della base:
Fe1
=
e1 ,
Fe2
=
γe1 + e2 ,
Fe3
=
e3 ;
γ
e2 6
e1
e2 6
e1
Fig. 2.4. - Scorrimento puro
26
CAPITOLO 2. CINEMATICA
l’elemento di volume cubico in x0 viene deformato in un prisma obliquo a
base quadrata inclinato di un’angolo θ, tan θ = γ rispetto alla direzione di e2 .
Il cofattore di F é:


1 0 0
[F∗ ] ≡  −γ 1 0  :
0 0 1
e l’unica variazione di area non nulla é quella della superficie di normale e2 é:
p
δA2 = kF∗ e2 k − 1 = 1 + γ 2 − 1 .
Il tensore di deformazione C associato ad F é:


1
γ
0
[C] ≡  γ 1 + γ 2 0  ,
0
0
1
e l’unica variazione di lunghezza non nulla é quella nella direzione di e2 :
p
p
δL2 = C22 − 1 = 1 + γ 2 − 1 ,
mentre la variazione di angolo tra la direzione e1 e la direzione e2 é:
π
γ
)− .
(2.25)
∆θ12 = cos−1 ( p
2
2
1+γ
√
Per determinare la deformazione pura U = C e la rotazione R = FU−1
é necessario anzitutto determinare le autocoppie (νk2 , uk ) di C che sono date
dalle:
q
2
2
ν12 = 1 + γ2 + γ 1 + γ4 , u1 = cos θe1 − sin θu2 ,
ν22 = 1 +
γ2
2
−γ
q
1+
γ2
4
ν32 = 1 ,
con:
sin θ = p
u3 = e3
1 − ν12
(1 −
ν12 )2
(2.26)
, u2 = sin θe1 + cos θu2 ,
+
γ2
,
cos θ = p
γ
(1 − ν12 )2 + γ 2
.
Ne consegue che il tensore U:
U = ν1 u1 ⊗ u1 + ν2 u2 ⊗ u2 + u3 ⊗ u3 ,
ammette la rappresentazione nella base {ek }:


ν1 cos2 θ + ν2 sin2 θ sin θ cos θ(ν2 − ν1 ) 0




2
2

[U] ≡ 
·
ν1 sin θ + ν2 cos
0 
;


·
·
1
(2.27)
2.3. MOTI RIGIDI
27
mentre il tensore inverso ha la rappresentazione:


ν1 sin2 θ + ν2 cos2 − sin θ cos θ(ν2 − ν1 ) 0



1 
2
2
,

[U−1 ] ≡
·
ν
cos
θ
+
ν
sin
θ
0
1
2


ν1 ν2 

·
·
1
(2.28)
e la rotazione R ha quindi matrice [R] = [FU−1 ].
2.3
Moti Rigidi
Se U=V=I la deformazione é un’atto di moto rigido, F = R ∈ Rot. Se assumiamo t 7→ R(t), t ∈ [0 , τ ) una traiettoria nello spazio delle rotazioni, la (2.3)
diviene:
y(t) − y0 (t) = R(t)(x − x0 ) ;
(2.29)
osserviamo banalmente che la condizione (2.29) implica che
ky(t) − y0 (t)k = const. , ∀t .
(2.30)
Infatti:
ky(t) − y0 (t)k
= kR(t)(x − x0 )k =
=
=
p
R(t)(x − x0 ) · R(t)(x − x0 ) =
q
RT (t)R(t)(x − x0 ) · (x − x0 ) = kx − x0 k .
(2.31)
Derivando la (2.29) rispetto al tempo, otteniamo la velocitá:
˙
˙
y(t)
− y˙ 0 (t) = R(t)(x
− x0 ) ;
(2.32)
se ricaviamo (x−x0 ) dalla (2.29) e lo sostituiamo nella (2.32), otteniamo l’espres˙ − y˙ 0 (t) riferita ai vettori della configurazione deformata
sione della velocit´
a y(t)
y(t) − y0 (t):
˙
y(t)
− y˙ 0 (t) = W(t)(y(t) − y0 (t)) ,
T
˙
W(t) = R(t)R
(t) ,
(2.33)
con W detto tensore di spin. Si dimostra facilmente che il tensore di spin é
antisimmetrico. Infatti, dalla definizione di rotazione:
R(t)RT (t) = I ,
derivando:
∀t :
T
˙
˙ T (t) = 0 .
R(t)R
(t) + R(t)R
(2.34)
28
CAPITOLO 2. CINEMATICA
Poiché
T
˙
˙ T (t) ,
WT (t) = (R(t)R
(t))T = R(t)R
dalla (2.34) si ha che W(t) = −WT (t).
Se indichiamo con ω(t) il vettore assiale associato al tensore di spin la (2.33)
pu´
o essere riscritta come:
˙
y(t)
= y˙ 0 (t) + ω(t) × (y(t) − y0 (t)) ,
(2.35)
detta Formula di Poisson. Mediante la (2.35) la velocitá di un qualsiasi punto del sistema rigido puó essere determinata a partire dalla conoscenza delle
due funzioni vettoriali, rispettivamente la velocit´
a di traslazione e la velocit´
a
angolare:
t 7→ y˙ 0 (t) , t 7→ ω(t) ,
(2.36)
dette parametri del moto rigido; le due funzioni vettoriali equivalgono a sei
funzioni scalari e pertanto si dice che un moto rigido ha sei gradi di libertá .
Esempio 4 Rotazione intorno ad e3
Considerando la matrice associata alla rotazione Rϕ
e si ha:


− sin ϕ − cos ϕ 0
˙ ≡ ϕ˙  cos ϕ
sin ϕ
0 ,
[R]
0
0
0
e dalla definizione di W e della velocitá angolare ω:




0
0 −ϕ˙ 0
0 0 , ω≡ 0 .
[W] ≡  ϕ˙
ϕ˙
0
0 0
(2.37)
Moti rigidi piani
Un moto rigido si definisce piano se esiste un vettore fisso e tale che le velocitá
di tutti i punti del sistema rigido sono ortogonali ad e:
˙
y(t)
· e = 0 , ∀t ;
(2.38)
ne consegue dalla (2.35) che necessariamente in un moto rigido piano:
ω × e = 0.
(2.39)
Se poniamo e = e3 , dalla (2.37) e dalla (2.35) si ha:
y˙ 1 = y˙ 10 + ϕ(y
˙ 2 − y20 ) ,
y˙ 2 =
y˙ 20
− ϕ(y
˙ 1−
(2.40)
y10 ) ;
le tre funzioni:
t 7→ y˙ 10 (t) ,
t 7→ y˙ 20 (t) ,
t 7→ ϕ(t)
˙ ,
(2.41)
2.4. VINCOLI
29
sono i parametri del moto rigido piano che ha pertanto tre gradi di libertá.
A tale proposito osserviamo che se in un corpo rigido piano identifichiamo due punti A e B, qualsiasi altro punto C resta univocamente determinato
valendo le:
kC − Ak = d1 = cost. ,
kC − Bk = d2 = cost. ,
∀t ;
pertanto possiamo studiare il moto di un corpo rigido piano mediante lo studio
del moto del segmento B − A ed identificare il corpo rigido con l’asta rigida
B − A stessa. D’ora in poi quindi parleremo di aste rigide come sinonimo di
corpi rigidi piani.
C
A
C
B
Ω
A
B
B
A
Fig. 2.5 - Corpo rigido Ω e Asta rigida (B-A)
2.4
Vincoli
I vincoli sono limitazioni imposte al moto t 7→ x(t) dei punti x ∈ E. La trattazione che segue é applicabile sia a sistemi di punti, dove x rappresenta il
vettore posizione di un punto dello spazio euclideo, sia a sistemi il cui moto é
descritto da tre parametri. Ad esempio, se identifichiamo le coordinate di x con
(y1 , y2 , ϕ), la trattazione che segue é applicabile alla descrizione dei moti rigidi
di aste vincolate.
Vincoli semplici
Consideriamo una regione G ⊂ E e la funzione ϕ : G → R, tale che:
ϕ ∈ C 1 (G) ,
k∇ϕk =
6 0,
(2.42)
S0 ≡ {x ∈ G | ϕ(x) = 0}
(2.43)
sull’insieme
che rappresenta una superficie in R3 .
30
CAPITOLO 2. CINEMATICA
∇ϕ(x) ∝ n(x)
6
γ
- x(t)
˙
x(t)
ϕ(x) = 0
Fig. 2.6 - Vincolo semplice
Se in x0 ∈ S0 si ha, ad esempio, ϕ,3 (x0 ) 6= 0, per il teorema della funzione
implicita, ∃δ > 0, una sfera
Bδ (x01 , x02 ) ≡ {(x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 < δ 2 } ,
ed una funzione
g ∈ C 1 (Bδ (x01 , x02 )) ,
tale che la porzione di superficie S0 ∩ Bδ (x01 , x02 ) ammette la rappresentazione
x3 = g(x1 , x2 ) ,
Inoltre
g,1 = −
ϕ,1
,
ϕ,3
(x1 , x2 ) ∈ Bδ (x01 , x02 ) .
g,2 = −
ϕ,2
,
ϕ,3
in Bδ (x01 , x02 ) .
(2.44)
(2.45)
e la superficie di vincolo S0 ammette il piano tangente π in x0 :
π ≡ { (x − x0 ) · m = 0 ,
m=
∇ϕ
(x0 ) } .
k∇ϕk
(2.46)
Sia A un insieme aperto e limitato di R2 , denotiamo con q ≡ (q1 , q2 ) i punti
di A e sia
q 7→ x(q) , (x1 (q), x2 (q)) : A → Bδ (x01 , x02 ) ,
una trasformazione invertibile, il che é assicurato se assumiamo
∂xα
6= 0 , ∀q ∈ A .
det
∂qβ
(2.47)
La (2.44) si pu´
o allora parametrizzare in termini delle coordinate lagrangiane
q ∈ A:
x1
=
x1 (q1 , q2 ) ,
x2
=
x2 (q1 , q2 ) ,
x3
=
g(x1 (q1 , q2 ) , x2 (q1 , q2 )) .
∀q ∈ A
(2.48)
2.4. VINCOLI
31
Il moto di x in V ha 3 gradi di libertá che si riducono a due se é vincolato a
muoversi su di una superficie: le coordinate lagrangiane sono in numero pari ai
gradi di libert´
a. Una rappresentazione del moto di x(q) con q 7→ xj (q) , j =
1, 2, 3 date dalla (2.48) contiene le restrizioni del vincolo; tale rappresentazione
tuttavia é solo locale.
Consideriamo una traiettoria t 7→ x(t): la condizione che durante il moto il
punto si muova sulla superficie di vincolo é:
ϕ(x(t)) = 0 ,
ϕ = ϕ(x(t))
˙
= 0,
∀t ;
(2.49)
poiché:
ϕ(x(t))
˙
= ∇ϕ · x˙ = 0 ,
∀t ,
(2.50)
dalla (2.46) abbiamo che le velocit´
a compatibili con il vincolo sono tangenti alla
˙
superficie di vincolo. Definiamo velocit´
a lagrangiana l’applicazione t 7→ q(t).
Osservazione 3 Vincoli multipli
Per sottolineare l’importanza della condizione k∇ϕk =
6 0, consideriamo la
funzione ϕ(x) = kxk2 : il moto di un punto vincolato a ϕ(x) = 0 consiste solo
del vettore nullo x = 0 ed essendo k∇ϕk = 0, le osservazioni del paragrafo
precedente non sono valide. Tuttavia il moto di x é ben determinato e consiste
in t 7→ x(t) = 0 , ∀t > 0.
Analogamente la funzione ϕ(x) = x21 + x22 permette moti solo lungo l’asse
delle x3 e si ha k∇ϕk = 0. Per un punto x vincolato a muoversi su S0 le
osservazioni precedenti non sono valide e tuttavia S0 determina univocamente
la traiettoria di x, avendo il moto un solo grado di libertá, potendosi prendere
t 7→ q(t) = x3 (t) come coordinata lagrangiana.
Nel primo esempio si pu´
o imporre al punto di soddisfare:
ϕi (x) = xi = 0 ,
i = 1, 2, 3 ,
(2.51)
α = 1, 2 ;
(2.52)
mentre nel secondo esempio si pu´
o imporre
ϕα (x) = xα = 0 ,
il vincolo in (2.51) si dice triplo e quello in (2.52) si dice doppio.
Vincoli doppi
Consideriamo le due superfici di vincolo:
(
ϕ1 (x) = 0
ϕ2 (x) = 0
,
(2.53)
che verificano le seguenti ipotesi
i- ϕα ∈ C 1 (G) , α = 1, 2 ;
ii- L’insieme C ≡ {{ϕ1 = 0} ∩ {ϕ2 = 0}} 6= ∅, (ovvero il sistema (2.53)
ammette soluzioni) ;
32
CAPITOLO 2. CINEMATICA
iii- La matrice jacobiana:
[ϕα,i ] ≡
ϕ1,1
ϕ2,1
ϕ1,2
ϕ2,2
ϕ1,3
ϕ2,3
,
per x ∈ C ha rango massimo, ovvero i due vettori ∇ϕ1 e ∇ϕ2 sono
indipendenti,∀x ∈ C.
L’ipotesi [iii-], che puó essere riscritta in maniera equivalente come:
∇ϕ1 × ∇ϕ2 6= 0 ,
implica che ∀x0 ∈ C fissato, la matrice jacobiana possiede elementi non nulli:
senza perdere in generalitá possiamo assumere che
ϕ1,1 (x0 ) 6= 0 .
Per il teorema delle funzioni implicite, ∃δ > 0, una sfera
Bδ (x02 , x03 ) ≡ (x2 − x02 )2 + (x3 − x03 )2 < δ 2 ,
ed una funzione g ∈ C 1 (Bδ (x02 , x03 ))
x1 = g(x2 , x3 ) ,
(x2 , x3 ) ∈ Bδ (x02 , x03 ) ,
tale che C ∩ Bδ (x02 , x03 ) si puó rappresentare come il grafico di g. Il sistema
vincolare (2.53) si pu´
o riscrivere come
(x2 , x3 ) ∈ Bδ (x02 , x03 ) .
ϕ2 (g(x2 , x3 ) , x2 , x3 ) = f2 (x2 , x3 ) = 0 ,
(2.54)
Se assumiamo, senza perdere in generalitá, che f2 ,2 (x0 ) 6= 0, per il teorema
delle funzioni implicite, ∃ε > 0 ed un intervallo Iε ≡ (x03 − ε , x03 + ε) ed una
funzione h(x3 ) ∈ C 1 (Iε ) tale che l’insieme di livello
{f2 = 0} ∩ C ∩ Bδ (x02 , x03 ) ;
kx3 − x03 k < ε ,
si pu´
o rappresentare come il grafico di
x2 = h(x3 ) ,
x3 ∈ Iε .
(2.55)
Ponendo
k(x3 ) = g(h(x3 ) , x3 ) ,
x3 ∈ Iε ,
(2.56)
si conclude che il vincolo doppio (2.53) determina in un intorno di x0 ∈ C la
traiettoria di x tramite le equazioni parametriche
x1 = k(τ ) ,
x2 = g(τ ) ,
x3 = τ ,
τ ∈ Iε .
(2.57)
Se G é un intervallo di R e q 7→ τ (q) : G → Iε , é regolare ed invertibile, la curva
(2.57) ammette rappresentazione
xi = xi (q) ,
i = 1, 2, 3 ,
q ∈ G,
(2.58)
2.4. VINCOLI
33
in termini del parametro lagrangiano q ∈ G, dove:
x1 (q) = k(τ (q)) ,
x2 (q) = h(τ (q)) ,
x3 = τ (q) .
Tale rappresentazione non é unica ed é solo locale. Il vincolo doppio (2.53)
riduce ad uno i gradi di libert´
a del moto di x.
Consideriamo una traiettoria t 7→ x(t): la condizione che durante il moto il
punto si muova sul vincolo doppio implica che debba valere la (2.50) per ciascuna
superficie di vincolo:
∇ϕα · x˙ = 0 ,
∀t ,
α = 1, 2 ,
(2.59)
che necessariamente implica che la velocitá x˙ debba essere parallela alla direzione
∇1 ϕ × ∇2 ϕ:
x˙ × (∇ϕ1 × ∇ϕ2 ) = 0 .
(2.60)
Vincoli tripli
Consideriamo le tre superfici di vincolo:


ϕ1 (x) = 0
ϕ2 (x) = 0


ϕ3 (x) = 0
,
(2.61)
che verificano le seguenti ipotesi
i- ϕk ∈ C 1 (G) , k = 1, 2, 3 ;
ii- L’insieme C ≡ {{ϕ1 = 0} ∩ {ϕ2 = 0} ∩ {ϕ3 = 0}} =
6 ∅ (ovvero il sistema
(2.61) ammette unica soluzione) ;
iii- La matrice jacobiana:

ϕ1,1
[ϕi,j ] ≡  ϕ2,1
ϕ3,1
ϕ1,2
ϕ2,2
ϕ3,2

ϕ1,3
ϕ2,3  ,
ϕ3,3
per x ∈ C ha det[ϕi,j ] 6= 0 (i.e. i tre vettori ∇ϕ1 , ∇ϕ2 e ∇ϕ2 sono
linearmente indipendenti ∀x ∈ C).
L’ipotesi [iii-], che pu´
o essere riscritta in maniera equivalente come:
∇ϕ1 × ∇ϕ2 · ∇ϕ3 6= 0 ,
implica che ∀x0 ∈ C fissato la matrice jacobiana possiede elementi non nulli.
In questo caso il punto x é univocamente determinato, ovvero x(t) = x0 :
inoltre, avendosi:
∇ϕk · x˙ = 0 , k = 1, 2, 3 , ∀t ,
ed essendo i tre gradienti linearmente indipendenti, necessariamente x˙ = 0, ∀t.
34
CAPITOLO 2. CINEMATICA
2.4.1
Sistemi vincolati
Limitiamo la trattazione ad un sistema di n aste rigide Rn : indichiamo con
zk ≡ (z1k , z2k , z3k ) ≡ (y1k , y2k , ϕk ) le coordinate del moto rigido del k−esimo
corpo. Sia G una regione di R3n i cui punti denotiamo con
(n)
x ≡ (x1 = z11 , x2 = z21 , x3 = z31 , . . . , x3n−2 = z1n , x3n−1 = z2n , x3n = z3 ) ,
supponiamo agenti sul sistema m vincoli:
ϕj (x1 , x2 , . . . , x3n ) = 0 ,
j = 1,2,... ,m.
(2.62)
ed assumiamo che:
i- ϕj ∈ C 1 (G) ;
j = 1,2,... ,m;
ii- l’insieme delle 3n-uple (x1 , x2 , . . . , x3 n) soddisfacenti le (2.62) non é vuoto ∀j = 1 , 2 , . . . , m, i.e.
B≡
m
\
{ϕj = 0} =
6 ∅;
(2.63)
j=1
iii- la matrice Jacobiana [A] ≡ [ϕi,j ], i = 1 , 2 , . . . , m, j = 1 , 2 , . . . , 3n:


ϕ1,1
ϕ1,2
ϕ1,3
...
ϕ1,3n−1
ϕ1,3n
 ϕ2,1
ϕ2,2
ϕ2,3
...
ϕ2,3n−1
ϕ2,3n 




...
...
...
...
...
[A] ≡  . . .

 ϕm−1,1 ϕm−1,2 ϕm−1,3 . . . ϕm−1,3n−1 ϕm−1,3n 
ϕm,1
ϕm,2
ϕm,3
...
ϕm,3n−1
ϕm,3n
abbia rango massimo r, ∀x ∈ G, (r ≤ min{m ; 3n}). Le condizioni di
indipendenza dei vincoli espresse mediante la matrice Jacobiana [A] sono
dette condizioni di F¨
oppl.
Possiamo avere i tre casi seguenti:
1. Sistemi labili (m < 3n). In tal caso la matrice Jacobiana ha rango m ed il
sistema possiede k = 3n−m gradi di libertá. Inoltre localmente si possono
scegliere k parametri lagrangiani q = (q1 , q2 , . . . , qk ) e 3n funzioni q 7→
xj (q), j = 1 , . . . , 3n regolari ed invertibili tali che le coordinate dei punti
del sistema soddisfano
xj = xj (q) ;
j = 1 , . . . , 3n .
2. Sistemi cinematicamente determinati (m = 3n). La configurazione del
sistema resta determinata dai vincoli.
3. Sistemi cinematicamente sovradeterminati (m > 3n). Il sistema non ha
gradi di libert´
a e la configurazione del sistema é determinata dalla scelta
di 3n vincoli indipendenti.
2.4. VINCOLI
2.4.2
35
Classificazione dei vincoli per corpi rigidi piani
Se consideriamo un’asta rigida, i vincoli che possono agire in un suo punto sono quelli riportati nella Tabella 2.1: i primi tre vincoli sono vincoli semplici,
Tabella 2.1: Cinematica dei vincoli per un sistema piano
Nome
Doppio Bipendolo
Simbolo
c c cc
c
c cc
c cc c
c c
Cerniera
c
Carrello, Pendolo
Carrello, Pendolo
Pattino, Bipendolo
Pattino, Bipendolo
y˙ 1
y˙ 2
ϕ˙
0
6=
6=
6=
0
6=
6=
6=
0
0
cc c
cc c
0
cc
c c cc =
6
0
6=
6=
0
0
0
0
0
0
Incastro
i successivi tre sono vincoli doppi e l’ultimo é l’unico vincolo triplo possibile.
Nell’esempio successivo mostreremo come la condizione di isostaticitá del sistema dipenda non solo dal numero dei vincoli che agiscono ma anche dalla loro
disposizione che influenza il rango della matrice Jacobiana.
Esempio 5 Arco a tre cerniere
Consideriamo il sistema formato da due aste rigide AB e BC con kA − Bk =
kB−Ck = L. Nei due punti A e B agisce un vincolo a cerniera, e le due aste sono
collegate tra loro nel punto B mediante una cerniera. Una struttura siffatta é
detta Arco a tre cerniere. Assumiamo e1 diretto come la congiungente dei punti
A e C. Indichiamo con β l’angolo che le due aste formano con la direzione di e1 .
Abbiamo due corpi rigidi, pertanto n = 2, mentre le tre cerniere sono ciascuna
un vincolo doppio per cui m = 6.
e2
6
c -β
A e1
B
c
@
@
@
@
@c
Fig. 2.7 - Arco a 3 cerniere
C
36
CAPITOLO 2. CINEMATICA
Poiché 3n = m la condizione necessaria di isostaticitá é verificata. Se indichiamo con (y11 , y21 , ϕ1 ) le coordinate dell’asta AB e con (y12 , y22 , ϕ2 )quelle
dell’asta BC, la generica funzione di vincolo é data dalla:
ϕk (y11 , y21 , ϕ1 , y12 , y22 , ϕ2 ) = 0 ,
k = 1, 2, . . . 6 .
Abbiamo, assumendo implicitamente che sin ϕ u ϕ e cos ϕ u 0:
Cerniera in A
ϕ1 (y11 , y21 , ϕ1 , y12 , y22 , ϕ2 ) = y11 = 0 ,
ϕ2 (y11
, y21
1
,ϕ
, y12
, y22
2
,ϕ ) =
y21
(2.64)
= 0,
Cerniera in C
ϕ3 (y11 , y21 , ϕ1 , y12 , y22 , ϕ2 ) = y12 = 0 ,
ϕ4 (y11
, y21
1
,ϕ
, y12
, y22
2
,ϕ ) =
y22
(2.65)
= 0,
Cerniera in B
ϕ5 (y11 , y21 , ϕ1 , y12 , y22 , ϕ2 ) = ϕ1 L sin β − ϕ2 L sin β = 0 ,
ϕ6 (y11
, y21
1
,ϕ
, y12
, y22
2
1
(2.66)
2
, ϕ ) = ϕ L cos β + ϕ L cos β = 0 ;
la matrice [A] associata alle sei funzioni di

1 0
0
0
 0 1
0
0

 0 0
0
1

 0 0
0
0

 0 0 L sin β 0
0 0 L cos β 0
vincolo é:
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
−L sin β
L cos β








e si ha:
π
}.
2
Il sistema é isostatico se le tre cerniere non sono allineate: se le cerniere sono
allineate i 6 vincoli non sono linearmente indipendenti ed il sistema risulta labile,
non essendo verificata la condizione sufficiente di isostaticitá.
det[A] = 2L sin β cos β 6= 0 ,
2.5
β 6= {0 ,
Deformazioni Infinitesime
Introduciamo il campo di spostamento u(x) che misura la differenza tra un punto
x ∈ Ω e la sua immagine y = f (x) mediante la deformazione f :
u(x) = f (x) − x ;
(2.67)
2.5. DEFORMAZIONI INFINITESIME
37
da cui, passando ai gradienti:
∇u(x) = F(x) − I ,
(2.68)
e denominando H = ∇u il gradiente di spostamento abbiamo la relazione tra il
gradiente di deformazione e quello di spostamento:
F = I + H,
(2.69)
ed il tensore destro di Cauchy-Green diviene, in termini di H:
C = (I + H)T (I + H) = I + 2 sym H + HT H .
2.5.1
(2.70)
Il tensore di deformazione infinitesima
Consideriamo ora situazioni in cui la deformazione F é prossima all’identitá,
ovvero introduciamo un piccolo parametro α con cui immaginiamo formalmente
di controllare la norma del gradiente spostamento H: ne consegue che:
F(α) = I + αH ,
C(α) = I + 2α sym H + α2 HT H .
(2.71)
Valutando la variazione di lunghezza di elementi di linea mediante la (2.7)
arriviamo alla:
p
(2.72)
δL(α) = 1 + 2α sym He · e + α2 kHek2 − 1 ;
poiché abbiamo supposto α un piccolo parametro, sviluppiamo in serie di Taylor
la (2.72) nell’intorno della configurazione di riferimento, ovvero per α = 0:
δL(α) = δL(0) +
dδL
(0)α + o(α2 ) ,
dα
(2.73)
con
δL(0) = 0 ,
e
dδL
sym He · e + αkHek2
(0) = p
= sym He · e ,
2
2
dα
1 + 2α sym He · e + α kHek α=0
da cui
δL(α) = α sym He · e + o(α2 ) .
(2.74)
A meno di infinitesimi di ordine superiore in α, la variazione degli elementi di
linea viene pertanto descritta mediante il tensore di deformazione infinitesima
E = sym H :
(2.75)
in particolare, le componenti sulla diagonale principale E11 , E22 , E33 esprimono
la variazione di lunghezza nella direzione degli assi coordinati.
In maniera del tutto analoga si puó mostrare che le componenti fuori dalla diagonale principale E12 , E13 , E23 esprimo l’approssimazione lineare delle
variazioni d’angolo tra le direzioni coordinate (2.10).
38
CAPITOLO 2. CINEMATICA
Per quanto riguarda la variazione di volume si ha:
δV (α) = det(I + αH) ,
(2.76)
e rappresentando H nel riferimento principale si ha:


1 + αH11
0
0
 = 1 + α(H11 + H22 + H33 ) + o(α2 ) .
0
1 + αH22
0
det 
0
0
1 + αH33
Ne consegue che poiché tr H = tr(sym H), a meno di infinitesimi di ordine
superiore la variazione di volume infinitesima é espressa dalla:
δV = tr E = E11 + E22 + E33 ;
(2.77)
una deformazione isocora é quindi caratterizzata da:
tr E = 0 .
(2.78)
Infine, per quanto riguarda la variazione di elementi di superficie é sufficiente
osservare che:
F∗ = det(I + αH)(I + αHT )−1 = I + o(α) .
(2.79)
Se invece consideriamo la parte antisimmetrica del gradiente di spostamento:
skw H = skw(F − I) ,
(2.80)
osserviamo che se la deformazione é un’atto di moto rigido F = R, dalla formula
di Rodriguez, per ϕ piccoli, si ha:
F − I = R − I = ϕW + o(ϕ2 ) ,
(2.81)
e di conseguenza la parte antisimmetrica di H rappresenta la deformazione rigida
infinitesima:
skw H = ϕW ;
nel seguito con un abuso di notazione denoteremo skw H = W.
Le misure di deformazione e di rotazione infinitesima dipendono linearmente
dal campo di spostamento:
u 7→ E(u) =
1
(∇u + ∇T u) ,
2
u 7→ W(u) =
1
(∇u − ∇T u) ,
2
(2.82)
ed in una base ortonormale {ek } le loro componenti sono definite mediante le:
Eij = Eji =
1
(ui,j + uj,i ) ,
2
Wij = −Wji =
1
(ui,j − uj,i ) ;
2
(2.83)
2.5. DEFORMAZIONI INFINITESIME
39
in termini di rappresentazione matriciale abbiamo:

u1,1 12 (u1,2 + u2,1 ) 12 (u1,3 + u3,1 )


1
u2,2
[E] ≡ 
2 (u2,3 + u3,2 )
 ·

·
·
u3,3



,


(2.84)

0


[W] ≡ 
 −(·)

−(·)
1
2 (u1,2
− u2,1 )
1
2 (u1,3
0
1
2 (u2,3
−(·)
− u3,1 )



− u3,2 ) 
.

0
Osservazione 4 Misure di deformazione
Osserviamo che se la deformazione é una rotazione rigida R si ha:
C = I,
E = 0;
si definisce misura di deformazione, una quantitá tensoriale che si annulla se
la deformazione é rigida. Esprimendo C in termini di H e della sua parte
simmetrica abbiamo:
C = I + 2E + HT H ,
da cui:
1
1
(C − I) = E + HT H .
2
2
Definiamo tensore di deformazione di Green-Lagrange la misura di deformazione
D data dalla:
1
D = (C − I) ;
2
osserviamo che a meno di infinitesimi di ordine superiore
D u E.
Osservazione 5 Campi di spostamento solenoidi e irrotazionali
Esprimendo la traccia del tensore E in termini delle componenti del campo
di spostamento abbiamo per la (1.90):
tr E(u) = tr(sym ∇u) = tr ∇u = div u ;
(2.85)
una deformazione isocora é quindi caratterizzata da un campo di spostamenti
a divergenza nulla o solenoidale:
div u = 0 .
(2.86)
Se invece consideriamo la parte antisimmetrica W del gradiente di spostamento abbiamo, per la (1.92):
W(u) = skw ∇u = 0 ⇐⇒ curl u = 0 .
(2.87)
pertanto, una deformazione avente rotazione infinitesima nulla é caratterizzata
da un campo di spostamenti a rotore nullo o irrotazionale.
40
2.5.2
CAPITOLO 2. CINEMATICA
Le equazioni di compatibilit´
a
Consideriamo il problema di verificare se un assegnato tensore simmetrico E
sia la parte simmetrica di un gradiente di spostamento. Tale problema implica
l’esistenza di un campo di spostamenti associato ad E ed ammette soluzione se
le componenti del tensore sono di classe C 2 (Ω) con Ω semplicemente connesso
e si ha:
curl curl E = 0 ;
(2.88)
queste equazioni, dette equazioni di compatibilit´
a cinematica di Saint Venant,
hanno la seguente rappresentazione in componenti:
Eij,hk + Ehk,ij + Eih,jk + Ejk,ih = 0 ,
(2.89)
ovvero, esplicitamente:
E11 ,22 +E22 ,11 −2E12 ,12 = 0 ,
E11 ,33 +E33 ,11 −2E13 ,13 = 0 ,
E33 ,22 +E22 ,33 −2E32 ,32 = 0 ,
(2.90)
E11 ,23 +E23 ,11 −E12 ,13 −E13 ,12 = 0 ,
E22 ,13 +E13 ,22 −E12 ,23 −E23 ,12 = 0 ,
E33 ,12 +E12 ,33 −E13 ,23 −E23 ,13 = 0 .
Se le (2.88) sono verificate, il campo di spostamenti x 7→ u(x) associato al
campo di deformazioni x 7→ E(x) puó essere determinato integrando le (2.82)
lungo una curva di Jordan γ ∈ Ω, ovvero mediante la formula di Cesáro:
Z
Z
u(x) =
E(z)dz + (z − x) × curl E(z)dz ,
(2.91)
γ
γ
ovvero in componenti:
Z
ui (x) = (Eij (z) + (Eij,k (z) − Ekj,i (z))(xk − zk ))dzj .
γ
Esempio 6 Dilatazione semplice
Consideriamo la dilatazione semplice
F = εe1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3 ,
da cui
E = sym(F − I) = (ε − 1)e1 ⊗ e1 ,
W = skw(F − I) = 0 .
e si ha tr E = (ε − 1), mentre la rappresentazione matriciale é:


ε−1 0 0
0 0 .
[E] ≡  ·
·
· 0
(2.92)
2.5. DEFORMAZIONI INFINITESIME
41
Osserviamo che per ε > 1 si ha un’allungamento infinitesimo nella direzione
di e1 mentre per ε < 1 si ha un’accorciamento infinitesimo nella medesima
direzione con corrispondente aumento o diminuzione di volume.
Il tensore E é in forma spettrale e le sue autocoppie sono (ε − 1 , e1 ) e (0 , e),
quest’ultima con molteplicit´
a due essendo e un generico vettore ortogonale ad
e1 . Poiché gli autovalori (detti deformazioni principali) sono caratterizzati da
un’unico autovalore diverso da zero:
ε1 = ε − 1 , ε2 = ε3 = 0
definiamo lo stato di deformazione monoassiale.
L’unica componente di spostamento non nulla é, a meno di un moto rigido:
u1 (x) = (ε − 1)x1 .
Esempio 7 Deformazioni principali e direzioni principali di deformazione
Consideriamo in un base ortonormale {ek } la deformazione avente matrice:


E11 E12
0
E22
0 ,
[E] ≡  ·
·
·
E33
e determiniamo le autocoppie (εk , uk ), k = 1, 2, 3 con gli autovalori e gli autovettori detti rispettivamente deformazioni principali e direzioni principali di
deformazione. Poiché:
2
det(E − εI) = (E33 − ε)((E11 − ε)(E22 − ε) − E12
)=0
abbiamo che (ε3 = E33 , u3 = e3 ) é una autocoppia. Gli altri due autovalori
sono determinati mediante la:
2
2
(E11 − ε)(E22 − ε) − E12
= ε2 − (E11 + E22 )ε + (E11 E22 − E12
) = 0,
le cui soluzioni sono:
ε1,2
E11 + E22
±
=
2
r
(
E11 − E22 2
2 .
) + E12
2
(2.93)
Uno stato di deformazione avente i tre autovalori non nulli é detto triassiale. Poiché gli autovettori formano una base ortonormale, necessariamente
gli autovettori u1 ed u2 saranno ortogonali ad u3 = e3 e pertanto possiamo
rappresentarli come:
u1 = cos θe1 + sin θe2 ,
u2 = − sin θe1 + cos θe2 ;
poiché la:
det(E − ε1 I)u1 = 0 ,
(2.94)
42
CAPITOLO 2. CINEMATICA
ammette soluzione non banale appartenente al kernel di (E − ε1 I), é sufficiente
considerare solo la prima equazione del sistema (2.94):
(E11 − ε1 ) cos θ + E12 sin θ = 0 ,
da cui l’espressione dell’angolo θ:
tan θ =
ε1 − E11
.
E12
(2.95)
Esempio 8 Scorrimento puro
Consideriamo lo scorrimento puro:
F = I + γe1 ⊗ e2 ,
da cui
E = sym(F−I) =
γ
(e1 ⊗e2 +e2 ⊗e1 ) ,
2
W = skw(F−I) =
γ
(e1 ⊗e2 −e2 ⊗e1 ) .
2
In questo caso si ha tr E = 0, la deformazione é isocora e le rappresentazioni
matriciali di E e W sono:


0 γ2 0
[E] ≡  γ2 0 0  .
0 0 0

0
[W] ≡  − γ2
0
γ
2

0
0 .
0
0
0
con scorrimento infinitesimo tra le direzioni di e1 ed e2 dato dalla componente:
E12 = E21 =
γ
;
2
risultato che possiamo ottenere anche linearizzando la (2.25) nell’intorno di γ =
0.
γ
2
e2 6
e1
γ
2
γ
2
````
``
e2 6
`
`
γ
e1```` 2
Fig. 2.8. - Deformazione e rotazione infinitesime nello scorrimento puro
2.5. DEFORMAZIONI INFINITESIME
43
Il campo di spostamenti ha le due sole componenti non nulle, a meno di moti
rigidi:
γ
γ
u1 (x) = x2 , u2 (x) = x1 .
2
2
Dai risultati dell’esempio precedente con E11 = E22 = 0 ed E12 = γ2
abbiamo:
γ
π
γ
ε1 = , ε2 = − , ε3 = 0 , θ = ;
2
2
4
Nel riferimento principale pertanto la deformazione di scorrimento puro tra le
direzioni di e1 ed e2 equivale ad una dilatazione nella direzione
√
√
2
2
u1 =
e1 +
e2 ,
2
2
ed una contrazione nella direzione ortogonale u2 . Uno stato di deformazione
con ε1 6= 0 , ε2 6= 0 ed ε3 = 0 si dice biassiale.
Esercizi
[1 ] Mostrare che l’asse di una rotazione R é il medesimo del tensore di spin
associato.
[2 ] Mostrare che in un moto rigido piano ∀t esiste un punto xC (t) avente
velocit´
a nulla (teorema di Chasles).
[3 ] Dato il tensore di deformazione:
E(x) = Kx2 (e1 ⊗ e3 + e3 ⊗ e1 ) − Kx1 (e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 ) ,
con K costante arbitraria, verificare che é compatibile e determinare l’associato campo di spostamento u(x).
[4 ] Mostrare che le componenti Eij , i 6= j esprimono, a meno di infinitesimi
di ordine superiore, la variazione d’angolo tra le direzioni ei ed ej .
[5 ] Definita la deformazione media di Ω:
¯ =
E
mostrare che:
¯ =
E
1
Vol(Ω)
1
2Vol(Ω)
Z
E,
Ω
Z
u ⊗ n + n ⊗ u,
∂Ω
dove n é la normale esterna alla frontiera ∂Ω.
44
CAPITOLO 2. CINEMATICA
Capitolo 3
Statica
3.1
Azioni alla Cauchy
Consideriamo una regione B ⊂ E con frontiera regolare ∂B. Secondo il modello
di Cauchy, identifichiamo B con la configurazione deformata di un continuo Ω,
ovvero B ≡ f (Ω) ed assumiamo che il mondo esterno interagisca con il continuo
i cui punti occupano la regione B mediante due sole tipologie di azioni:
n(y) s(y)
*
∂f (Ω) = ∂B
y
f (x)
x
e
f (Ω) = B
b(y)
Ω
Fig. 3.1 - Azioni alla Cauchy
• Azioni a distanza: Rappresentano le azioni che il mondo esterno esercita
a distanza su ciascun elemento di volume in B. Le definiamo Azioni di
volume e rappresentano delle densitá di forza per unitá di volume:
y 7→ b(y) ;
(3.1)
• Azioni di contatto: Rappresentano le azioni che il mondo esterno esercita
attraverso ciascun elemento di superficie della frontiera ∂B. Le definiamo
Azioni di superficie e rappresentano delle densitá di forza per unitá di
superficie:
y 7→ s(y) .
(3.2)
45
46
CAPITOLO 3. STATICA
Consideriamo una porzione P ⊂ B e ipotizziamo di poter conoscere le azioni
di superficie s che la porzione BP esercita su P. Dato allora un sistema di
azioni alla Cauchy (b , s) per P definiamo:
• Risultante delle forze agenti su P:
Z
Z
r(P) =
b(y)d(vol) +
P
s(y)d(area) ;
(3.3)
∂P
• Momento Risultante rispetto ad un polo y0 delle forze agenti su P:
Z
Z
m0 (P) =
(y − y0 ) × b(y)d(vol) +
(y − y0 ) × s(y)d(area) . (3.4)
P
∂P
Osservazione 6 Formula di trasposizione dei momenti
Dati due punti y1 ed y0 , consideriamo:
Z
Z
m1 (P) =
(y − y1 ) × b(y) +
(y − y1 ) × s(y) ,
P
∂P
dove per semplicit´
a abbiamo omesso di indicare d(area) e d(vol) cosa che faremo
sistematicamente d’ora in poi. Poiché
y − y1 = (y − y0 ) + (y0 − y1 ) ,
sostituendo si ha:
Z
Z
m1 (P) =
(y−y0 )×b(y)+
P
Z
(y−y0 )×s(y)+(y0 −y1 )×(
P
∂P
Z
b(y)+
s(y)) ,
∂P
da cui la formula di trasposizione dei momenti:
m1 (P) = m0 (P) + r(P) × (y1 − y0 ) .
Osserviamo che:
i- (r(P) = 0 , m0 (P) = 0) =⇒ mk (P) = 0 , ∀yk ,
ii- m(P) = 0 =⇒ mk (P) = r(P) × (yk − y0 ) ;
la relazione [ii-] é nota anche come Teorema di Varignon.
3.2
Il principio delle potenze virtuali
Assegnato un sistema di azioni (b , s) per P, ed assegnata una distribuzione di
˙
velocit´
a t 7→ y(t)
compatibile con eventuali vincoli presenti, definiamo Potenza
Virtuale la quantit´
a scalare:
Z
Z
W (P) =
b · y˙ +
s · y˙ ;
(3.5)
P
∂P
3.2. IL PRINCIPIO DELLE POTENZE VIRTUALI
47
se consideriamo un moto rigido avente parametri (y˙ 0 , ω), dalla (3.5) si ha:
Z
Z
W (P) =
b · (y˙ 0 + ω × (y − y0 ) +
s · (y˙ 0 + ω × (y − y0 ) =
P
Z
Z
Z ∂P
Z
= y˙ 0 · ( b +
s) + ω · ( (y − y0 ) × b +
(y − y0 ) × s) =
P
P
∂P
∂P
= y˙ 0 · r + ω · m0 .
Postulato 1 (Principio delle potenze virtuali) Un continuo B é in equilibrio per un sistema di azioni (b , s) se e solo se ∀P ⊂ B la potenza virtuale
W (P) si annulla per ogni atto di moto rigido:
Condizione necessaria (r ≡ 0 , m0 ≡ 0) ⇒ W (P) = 0 , ∀(y˙ 0 , ω) ;
Condizione sufficiente W (P) = 0 , ∀(y˙ 0 , ω) ⇒ (r ≡ 0 , m0 ≡ 0) .
Definiamo equazioni di Eulero le condizioni necessarie e sufficienti di equilibrio:
r(P) = 0 , m0 (P) = 0 , ∀y0 , ∀P ⊂ B .
(3.6)
Reazioni vincolari
Definiamo reazione vincolare l’azione di contatto sR il cui effetto é quello di
mantenere il punto y(t) sulla superficie di vincolo ϕ(y(t)) = 0 , ∀t.
Definiamo Liscio un vincolo per il quale la potenza delle reazione vincolare
˙
é nulla per ogni velocit´
a y(t)
compatibile con il vincolo:
˙
sR · y(t)
= 0,
˙
∀y(t)
: ϕ(y(t)) = 0 ;
(3.7)
dalla (2.50) segue che in un vincolo liscio la reazione vincolare é parallela al
gradiente della superficie di vincolo, ovvero:
sR = λn ,
λ ∈ R,
n=
∇ϕ
.
k∇ϕk
(3.8)
Definiamo Scabro o con attrito un vincolo per il quale la potenza delle
˙
reazione vincolare é negativa per ogni velocitá y(t)
compatibile con il vincolo:
˙
sR · y(t)
< 0,
˙
∀y(t)
: ϕ(y(t)) = 0 ;
(3.9)
in questo caso la reazione vincolare possiede anche una componente s⊥ tangente
alla superficie di vincolo e diretta come la velocitá:
sR = λn + s⊥ ,
s⊥ = −λ⊥
˙
y(t)
,
˙
ky(t)k
0 ≤ λ⊥ ≤ |λ tan γ| ,
(3.10)
dove l’angolo γ é l’angolo di attrito. Di seguito considereremo solamente vincoli
lisci.
48
CAPITOLO 3. STATICA
3.2.1
Equilibrio per sistemi rigidi vincolati
Le equazioni di Eulero (3.6), condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio
di un sistema rigido vincolato corrispondono a 6 equazioni scalari ed i parametri
del moto rigido (y˙ 0 , ω) corrispondono alla assegnazione di 6 funzioni del tempo.
Possiamo allora avere i seguenti casi:
(a) Il sistema non é vincolato, é in moto rigido e mediante le equazioni di
Eulero (3.6) é possibile determinare un sistema di azioni per le quali il
sistema é equilibrato ,
(b) Sul sistema agiscono m < 6 vincoli indipendenti ϕm = 0 ; il sistema si
dice Labile o Staticamente sottodeterminato e mediante le (3.6) possiamo
determinare le reazioni vincolari λk , k = 1, 2, . . . , m e le coordinate lagrangiane qj , j = 1, 2, . . . , 6 − m che descrivono la configurazione equilibrata,
se esiste ;
(c) Sul sistema agiscono m = 6 vincoli indipendenti ϕm = 0 ; il sistema si dice
Cinematicamente determinato o Isostatico e mediante le (3.6) possiamo
determinare le reazioni vincolari λk , k = 1, 2, . . . , 6 ;
(d) Sul sistema agiscono m > 6 vincoli indipendenti ϕm = 0 ; il sistema si dice
Cinematicamente sovradeterminato o Iperstatico e mediante le (3.6) possiamo determinare ∞m−6 reazioni vincolari equilibrate λk , k = 1, 2, . . . , m >
6.
Sistemi piani
In un sistema piano i parametri del moto sono, in una opportuna base {e1 , e2 , e3 },
le tre funzioni del tempo (y˙ 1 , y˙ 2 , ϕ)
˙ e pertanto la potenza virtuale si riduce alla:
W (P) = r1 y˙ 1 + r2 y˙ 2 + m03 ϕ˙ ,
(3.11)
dove nel computo delle azioni si é tenuto conto delle eventuali reazioni vincolari
presenti. La condizione di equilibrio per un sistema piano puó quindi scriversi:
• r1 = 0 , la somma di tutte le forze nella direzione e1 é nulla ;
• r2 = 0 , la somma di tutte le forze nella direzione e2 é nulla ;
• m03 = 0 , la somma di tutti i momenti rispetto ad un polo arbitrario O é
nulla .
Le reazioni vincolari per i vincoli agenti su di un sistema piano descritti dalla
tabella (2.1) sono determinate a partire dalla (3.11) richiedendo, nell’ipotesi di
vincoli lisci, l’annullamento della potenza virtuale delle reazioni vincolari:
W (P) = 0 ,
∀(y˙ 1 , y˙ 2 , ϕ)
˙ .
Pertanto la tabella (2.1) puó venire completata descrivendo quali reazioni vincolari sono associate a ciascun vincolo, come indicato nella tabella (3.1).
3.2. IL PRINCIPIO DELLE POTENZE VIRTUALI
49
Tabella 3.1: Reazioni vincolari per un sistema piano
Nome
y˙ 1
y˙ 2
ϕ˙
λ1 = r1
λ2 = r2
λ3 = m03
0
6=
6=
6=
0
0
6=
0
6=
0
6=
0
6=
6=
0
0
0
6=
0
cc c
cc c
0
cc
c c cc =
6
0
6=
6=
6=
0
6=
0
6=
0
6=
0
0
0
6=
6=
0
0
0
6=
6=
6=
Doppio Bipendolo
Simbolo
c c cc
c
c cc
c cc c
c c
Cerniera
c
Carrello, Pendolo
Carrello, Pendolo
Pattino, Bipendolo
Pattino, Bipendolo
Incastro
Esempio 9 Asta rigida appoggiata
Consideriamo un’asta AB di lunghezza L vincolata all’estremo A mediante
una cerniera ed all’estremo B mediante un carrello che impedisce le traslazioni
nella direzione ortogonale a (B − A).
e2
6
c A-e1
B
cc
Fig. 3.2 Trave appoggiata
Assumendo B − A = Le1 , i parametri del moto rigido sono, ad esempio, le
componenti della velocit´
a di A e la velocitá angolare dell’asta AB, ovvero
˙ La velocit´
a del punto B é quindi data dalla:
(y˙ 1A , y˙ 2A , θ).
˙ ,
y˙ 1B = y˙ 1A − θL
˙ ,
y˙ B = y˙ A + θL
2
2
e le tre condizioni di vincolo sono:
• Cerniera in A:
ϕ1 (y1A , y2A , θ) = y1A = 0 ,
ϕ2 (y1A , y2A , θ) = y2A = 0 ;
• Carrello in B:
ϕ3 (y1A , y2A , θ) = y2B = y2A + θL .
(3.12)
50
CAPITOLO 3. STATICA
Osserviamo che nello scrivere la condizione in B si é implicitamente supposto
sin θ u θ e 1−cos θ u 0. La matrice Jacobiana [A] associata ai vincoli é pertanto:

1
[A] ≡  0
0
0
1
1

0
0 ,
L
(3.13)
ed essendo det[A] = L 6= 0 i vincoli sono indipendenti.
Se passiamo al problema di equilibrio per le reazioni vincolari, per la la
cerniera in A le due reazioni λ1 = r1A e λ2 = r2A mentre in B abbiamo λ3 = r2B .
Le equazioni di bilancio (3.2.1) risultano:
• somma di tutte le forze nella direzione e1 :
r1A = somma dei carichi esterni nella direzione e1 ;
• somma di tutte le forze nella direzione e2 :
r2A + r2B = somma dei carichi esterni nella direzione e2 ;
• somma di tutte i momenti rispetto ad A:
Lr2B = somma dei momenti dei carichi esterni rispetto ad A .
r1A A
6
r2A
L
B
6
r2B
Fig. 3.3 - Reazioni vincolari
La matrice di equilibrio [S] associata al primo membro delle equazioni di
bilancio é:


1 0 0
[S] ≡  0 1 1  ;
(3.14)
0 0 L
é immediato osservare che:
[S] = [A]T ,
(3.15)
e che di conseguenza la condizione di indipendenza dei vincoli puó essere verificata in termini delle equazioni di bilancio per le reazioni vincolari λk .
3.3. LA TENSIONE
3.3
51
La tensione
Consideriamo un continuo B ed una superficie Σ regolare. Indichiamo con Σ∗
la superficie intersezione tra Σ e B:
Σ∗ ≡ Σ ∩ B ;
in un punto y ∈ Σ∗ indichiamo con n(y , Σ) la normale a Σ∗ , per modo che
denotiamo con B + la parte di B per cui n(y , Σ) é la normale esterna e con B −
quella per cui −n(y , Σ) é la normale esterna essendo:
B+ ∪ B− ≡ B ,
B + ∩ B − = ∅.
B−
B
Σ
Σ∗
y
s(y , −n) * s(y , n)
n(y) 6
y
B+
Fig. 3.4 - Azioni su Σ∗
Assumiamo definita in y ∈ Σ∗ la densitá di azioni superficiali s+ (y , Σ) che
la parte B + esercita su B − e con s− (y , Σ) quella che la parte B − esercita su
B+ .
Assunzione 1 (Cauchy) La densit´
a di azioni superficiali in y dipende dalla
superficie Σ tramite la normale n(y):
s(y , Σ) = s(y , n(y)) .
(3.16)
Assunzione 2 (Newton-principio di azione e reazione) :
s(y , n(y)) = −s(y , −n(y)) .
(3.17)
Per la (3.16) si ha:
s+ (y , Σ) = s(y , n(y)) ,
s− (y , Σ) = s(y , −n(y)) ,
(3.18)
52
CAPITOLO 3. STATICA
e necessariamente per la (3.17) :
s+ (y , Σ) = −s− (y , Σ) .
Definiamo tensione in un punto y su una superficie di normale n(y) la
funzione vettoriale che rappresenta la densitá di azioni superficiali su Σ∗ :
t = t(y , n(y)) .
(3.19)
Osservazione 7 Continui di Cauchy e di Cosserat:
Abbiamo assunto a-priori l’esistenza di una densitá di azioni superficiali su
Σ∗ . In realt´
a é corretto definirla come limite della risultante e del momento
risultante delle azioni di superficie agenti su su di un’area D in y ∈ Σ∗ . Dette
f (D) e c(D) tali risultanti si definiscono la tensione t = t(y , n(y)) e la coppia
di tensione µ = µ(y , n(y)) rispettivamente:
t(y , n(y)) =
lim
f (D) ,
µ(y , n(y)) =
diam(D)→0
lim
c(D) .
(3.20)
diam(D)→0
Nel passaggio al limite, la condizione che sia il diametro di D a tendere a zero
previene definizioni di tensione in cui l’area di D tende a zero in elementi di
linea.
Definiamo Continuo di Cauchy un continuo per il quale µ ≡ 0. Definiamo
Continuo di Cosserat o continuo polare un continuo per il quale µ 6= 0. Notiamo
che le travi della teoria tecnica di cui al Cap. 6 sono il pi´
u semplice esempio di
continuo polare monodimensionale.
3.4
Il teorema di Cauchy: il tensore degli sforzi
Il seguente teorema mostra come la dipendenza della tensione in un punto y
dalla normale n(y) sia lineare e mostra l’esistenza di una tensore detto tensore
degli sforzi o tensore di Cauchy, dipendente dalle azioni (b , s) su B che associa
alla normale la corrispondente tensione.
Teorema 1 (Cauchy-esistenza del tensore degli sforzi) : esiste un tensore T = T(y) tale che ∀y si ha t(y , n(y)) = T(y)n(y) e che verifica:
div T + b =
0 , in B ,
T =
TT , in B ,
Tn =
s , su ∂B ,
(3.21)
La dimostrazione é tecnica. Consideriamo nell’intorno di y un elemento di
volume infinitesimo dP ⊂ B di forma tetraedrica con tre facce aventi normale
esterna n = −ei , i = 1, 2, 3 e la quarta avente normale esterna generica n. Per la
(3.6)1 e la definizione di tensione, avendo indicato con dAk le parti di frontiera
con normale −ek e con dAn quella di normale n:
Z
Z
Z
t(y , −ek ) +
t(y , n) +
b(y) = 0 ;
(3.22)
dAk
dAn
dP
3.4. IL TEOREMA DI CAUCHY: IL TENSORE DEGLI SFORZI
53
t(n)
t(−e1 )
n
bb
I T
@
bb T
@
−e1 H
Y
H@
bb
HT
yXX T t(−e2 )X
T
−e2 T
dAn
y HH
T
H T
HH
T
H
?
t(−e3 ) −e3
poiché l’elemento di volume é infinitesimo, possiamo confondere il valore puntuale con il valore medio e scrivere:
Area(dAk )t(−ek ) + Area(dAn )t(n) + V ol(dP)b = 0 .
(3.23)
Poiché
Area(dAk ) = (n · ek )Area(dAn ) ,
ed essendo t(−ek ) = −t(ek ), arriviamo alla:
((−n · ek )t(ek ) + t(n))Area(dAn ) + V ol(dP)b = 0 ,
(3.24)
da cui dividendo per Area(dAn ):
−(n · ek )t(ek ) + t(n) +
V ol(dP)
b = 0,
Area(dAn )
(3.25)
Se poniamo δ = diam(P) e passiamo al limite:
lim −(n · ek )t(ek ) + t(n) +
δ→0
V ol(dP)
b = 0,
Area(dAn )
(3.26)
poiché Area(dAn ) = O(δ 2 ) e V ol(dP) = O(δ 3 ), arriviamo alla:
t(n) = (n · ek )t(ek ) ,
(3.27)
da cui, per la definizione di prodotto tensoriale e ponendo:
T = t(ek ) ⊗ ek ,
(3.28)
t(n) = (n · ek )t(ek ) = Tn .
(3.29)
si arriva alla tesi:
Per mostrare vere le (3.21), osserviamo che nei punti y ∈ ∂B si ha:
s(y) = t(y) = T(y)n(y) ,
(3.30)
54
CAPITOLO 3. STATICA
da cui la (3.21)3 . Inoltre dalla (3.6)1 , per la (3.30):
Z
Z
Tn +
b = 0,
B
(3.31)
B
e per la (1.99)3 si ha:
Z
div TT + b = 0 ,
(3.32)
B
che dovendo valere ∀P ⊂ B porta, per localizzazione, alla:
div TT + b = 0 .
(3.33)
Resta da mostrare la simmetria di T per verificare le (3.21)1,2 . Consideriamo le
(3.6)2 che, per le (3.21)3 possono scriversi come:
Z
Z
(y − y0 ) × Tn + (y − y0 ) × b = 0 ;
(3.34)
B
∂B
detto Y ∈ Skw il tensore assiale associato al vettore y − y0 abbiamo che per la
(1.99)3
Z
Z
YTn =
div(YT) ,
(3.35)
B
∂B
che per la (1.105) a sua volta diviene:
Z
Z
Z
div(YT) =
Y div TT + IhT = (y − y0 ) × div TT + IhT .
B
B
(3.36)
B
Abbiamo pertanto che dalla (3.6)2 si ha:
Z
(y − y0 ) × (div TT + b) + IhT = 0 ,
(3.37)
B
che per le (3.33) e dovendo valere ∀P ⊂ B si riduce alla:
IhT = 0 ,
(3.38)
ovvero, in componenti:


−T23 + T32
[IhT] ≡  T13 − T31  = [0] ,
−T12 + T21
da cui T ∈ Sym che mostra vera la (3.21)2 e per sostituzione nella (3.33) verifica
la (3.21)1 .
In una base ortonormale la rappresentazione in componenti delle (3.21) é:
Tij,j + bi = 0 ,
Tij = Tji ,
Tij nj = si ;
(3.39)
3.4. IL TEOREMA DI CAUCHY: IL TENSORE DEGLI SFORZI
55
le (3.39)1 sono dette anche equazioni indefinite di equilibrio:
T11,1 + T12,2 + T13,3 + b1 = 0 ,
T12,1 + T22,2 + T23,3 + b2 = 0 ,
(3.40)
T13,1 + T23,2 + T33,3 + b3 = 0 ,
mentre le (3.39)3 sono dette anche equazioni ai limiti:
T11 n1 + T12 n2 + T13 n3 = s1 ,
T12 n1 + T22 n2 + T23 n3 = s2 ,
(3.41)
T13 n1 + T23 n2 + T33 n3 = s3 .
Definiamo tensione normale la componente della tensione t(n) nella direzione n:
Tnn = t(n) · n = Tn · n ;
(3.42)
definiamo inoltre il vettore delle tensioni tangenziali la proiezione di t(n) sul
piano di normale n:
t⊥ = P⊥ (n)t(n) = Tn − Tnn n ,
P⊥ (n) = I − n ⊗ n .
(3.43)
´ immediato verificare che, scelto ad esempio n = e3 , la tensione normale é la
E
componente T33 mentre il vettore delle tensioni tangenziali é:
t⊥ = T13 e1 + T23 e2 ;
le componenti sulla diagonale principale sono pertanto le tensioni normali nelle
direzioni dei versori della base, mentre quelle fuori dalla diagonale rappresentano
le tensioni tangenziali, il primo indice indicando la direzione della tensione ed
il secondo la normale al piano (ovvero la componente Tij , i 6= j rappresenta la
componente nella direzione di ei della tensione tangenziale nel piano ortogonale
ad ej ).
3.4.1
Tensioni principali
Dal problema agli autovalori per il tensore di Cauchy T otteniamo tre autocoppie (σk , uk ) con autovalori reali ed autovettori ortonormali per la simmetria
del tensore degli sforzi. Nella base di autovalori il tensore ha rappresentazione
spettrale


σ1 0
0
T ≡  · σ2 0  ,
·
· σ3
e pertanto lungo le direzioni principali di tensione uk si hanno solamente tensioni normali σk dette tensioni principali. Uno stato di tensione si definisce
monoassiale se due autovalori sono nulli, biassiale se un solo autovalore é nullo,
triassiale se tutti i tre autovalori sono diversi da zero.
56
CAPITOLO 3. STATICA
Esempio 10 (Trazione (compressione)
sore di Cauchy:

σ 0
[T] ≡  0 0
0 0
uniforme) : Consideriamo il ten
0
0 ;
0
lo stato di tensione é monoassiale con
σ1 = σ ,
σ 2 = σ3 = 0 ,
e dalle (3.21)1 abbiamo:
σ,1 +b1 = 0 ,
b2 = b3 = 0 ,
6
n = e2
- σ
- n = e1
-
σ n = −e1 n = −e2
?
Fig. 3.2 - Trazione uniforme
e pertanto se ad esempio σ = cost. il tensore degli sforzi é in equilibrio per
azioni di volume nulle. Se consideriamo un elemento di volume cubico con le
facce ortogonali ai versori della base ortonormale, abbiamo che per le (3.21)3
le azioni di superficie s sono nulle sulle facce di normale n = ±e2 ed n = ±e3 ,
mentre sulle facce di normale n = ±e1 avremo una trazione uniforme se σ > 0
ed una compressione uniforme per σ < 0:
s = ±σe1 .
Esempio 11 (Taglio puro) : Se consideriamo invece il tensore di Cauchy:

0
[T] ≡  τ
0
τ
0
0

0
0 ,
0
τ > 0;
lo stato di tensione é biassiale e dalle (2.93) abbiamo
σ1 = τ ,
σ2 = −τ ,
σ3 = 0 .
Per le (3.21)1 abbiamo:
τ,2 +b1 = 0 ,
τ,1 +b2 = 0 ,
b3 = 0 .
3.4. IL TEOREMA DI CAUCHY: IL TENSORE DEGLI SFORZI
57
6
n = e2
τ
- - τ ?
n = −e1
6τ
6 n = e1
?
?
6
τ
n = −e
2
?
Fig. 3.3 - Taglio puro
In questo caso se τ = cost. il tensore degli sforzi é in equilibrio per azioni
di volume nulle. Se consideriamo un elemento di volume cubico con le facce
ortogonali ai versori della base ortonormale, abbiamo che per le (3.21)3 le azioni
di superficie s sono nulle sulle facce di normale n = ±e3 , mentre sulle facce di
normale n = ±e1 avremo delle azioni di taglio:
s = ±τ e2 ,
mentre su quelle dinormale n = ±e2 avremo delle azioni di taglio:
s = ±τ e1 .
Esempio 12 (L’equazione dell’idrostatica) :
In idrostatica si assume che, su di una superficie di normale n, si abbia
solamente una tensione normale di compressione
t(y , n(y)) = −π(y)n(y) ,
π = π(y) > 0 ,
dove la funzione y 7→ π(y) é detta pressione idrostatica. Il tensore degli sforzi
associato a questa definizione di tensione é il tensore sferico T(y) = −π(y)I, la
cui rappresentazione matriciale é:


−π 0
0
−π 0  , π > 0 ;
[T] ≡  ·
·
·
−π
lo stato di tensione essendo triassiale.
Se consideriamo un fluido che occupa un semispazio infinito B, assumiamo
un riferimento {e1 , e2 , e3 } con i vettori e1 ed e2 nel piano ∂B che rappresenta il
pelo libero della massa fluida ed e3 normale esterna alla massa fluida. Le azioni
di volume e di superficie sono:
b = −ρge3 ,
s(0) = −π0 e3 ,
dove ρ é la densit´
a del fluido, g l’accelerazione di gravitá e π0 la pressione
atmosferica. Le (3.21) divengono, poiché div(πI) = ∇π:
−∇π + ρge3 = 0 ,
−π(0)e3 = π0 e3 ,
58
CAPITOLO 3. STATICA
che in componenti
π,1 = π,2 = 0 ,
π,3 = ρg ,
π(0 , 0 , 0) = π0 .
(3.44)
Integrando le (3.44) si ottiene l’equazione dell’idrostatica:
π(y1 , y2 , y3 ) = π0 + ρgy3 .
3.4.2
Il cerchio di Mohr
Consideriamo uno stato di tensione biassiale,
opportuno dal tensore degli sforzi:

T11 T12
T22
[T] ≡  ·
·
·
rappresentato in un riferimento

0
0 ,
0
(3.45)
i cui autovalori non nulli sono:
r
T11 + T22
T11 − T22 2
2 ,
σ1 =
+ (
) + T12
2
2
r
T11 + T22
T11 − T22 2
2 .
σ2 =
− (
) + T12
2
2
Introduciamo due assi coordinati (σ , τ ), rispettivamente l’asse delle tensioni
normali e l’asse delle tensioni tangenziali. Se consideriamo i due punti:
M ≡(
T11 + T22
, 0) ,
2
si ha che
r
kP − M k =
τ
(
P ≡ (T11 , T12 ) ,
T11 − T22 2
2 .
) + T12
2
P0
P ≡ (T11 , T12 )
!!L
!
!
L
!!
(σ2 , 0) ≡ B !!
Q L A ≡ (σ1 , 0)
!
L
σ
T22
M
T11
T12
Fig. 3.4 - Il cerchio di Mohr
3.5. IL TENSORE DEGLI SFORZI DI PIOLA-KIRCHHOFF
59
La circonferenza di centro M e raggio R = kP − M k é detta cerchio di Mohr:
il punto P é detto polo e l’intersezione P 0 tra la circonferenza e la retta τ = T12
ha coordinate P 0 ≡ (T22 , T12 ). Il cerchio di Mohr ha le seguenti proprietá:
• Ogni coppia di punti P ≡ (T11 , T12 ) e P 0 ≡ (T22 , T12 ) della circonferenza
rappresenta uno stato di tensione ;
• I due punti A = M + R ≡ (σ1 , 0) e B = M − R ≡ (σ2 , 0), intersezione
della circonferenza con la retta τ = 0 rappresentano le tensioni principali ;
• Le due direzioni ortogonali P − A e P − B rappresentano le direzioni
principali: infatti detto Q ≡ (T11 , 0)
tan θ =
σ1 − T11
kA − Qk
=
,
kP − Qk
T12
per la (2.95) fornisce l’angolo del quale la base di autovettori é ruotata
rispetto al riferimento in cui é descritto il tensore (3.45).
Osserviamo che per θ =
π
4
il punto:
S≡(
T11 + T22
, T12 ),
2
individua il massimo valore della tensione tangenziale associata al tensore (3.45),
pari a
T11 + T22
σ1 − σ2
τmax =
=
.
(3.46)
2
2
3.5
Il tensore degli sforzi di Piola-Kirchhoff
Il tensore di Cauchy T é definito sulla configurazione deformata B ≡ f (Ω):
possiamo darne una descrizione nella configurazione di riferimento. Infatti dalla
(3.21)1 :
Z
Z
b d(vol) +
B
Tn d(area) = 0 ,
∂B
per la (2.12) e la (2.16) arriviamo alla:
Z
Z
b(det F)d(V ol) +
Ω
TF∗ m d(Area) = 0 .
(3.47)
∂Ω
Se definiamo il tensore degli sforzi di Piola-Kirchhoff la misura dello sforzo
riferita alla configurazione di riferimento Ω:
S = TF∗ ,
(3.48)
dovendo valere la (3.47) ∀P ⊂ Ω, per la (1.99)3 arriviamo alla
Div S + br = 0 ,
br = (det F)b ,
(3.49)
60
CAPITOLO 3. STATICA
dove Div denota la divergenza rispetto ad x. Chiaramente il tensore di PiolaKirchhoff non é simmetrico e dalla (3.21)2 si ha:
SFT ∈ Sym .
(3.50)
Nel caso di deformazioni infinitesime, poiché F∗ = I + o(α), abbiamo che a
meno di infinitesimi di ordine superiore il tensore di Piola-Kirchhoff e quello di
Cauchy coincidono:
S = T + o(α) ,
ed inoltre essendo y(x) = x + αu(x), assumeremo y u x a meno di infinitesimi di ordine superiore, confondendo la configurazione deformata con quella di
riferimento.
Capitolo 4
Relazioni Costitutive
4.1
Materiali elastici lineari
Un materiale si dice elastico se la misura di sforzo dipende solamente dalla
misura di deformazione:
T = T(F) ;
(4.1)
si dice linearmente elastico o elastico lineare se la misura di sforzo dipende
linearmente della deformazione infinitesima:
T = C[E] ,
(4.2)
dove il tensore del quarto ordine C : Sym → Sym é detto Tensore di Elasticit´
a.
In componenti:
Tij = Cijhk Ehk ,
(4.3)
e per la simmetria di T e di E si hanno le seguenti restrizioni, dette simmetrie
minori
Cijhk = Cjihk = Cijkh ,
(4.4)
che riducono pertanto a 36 le componenti di C, dette Moduli Elastici.
4.1.1
Restrizioni a priori su C
Il tensore di elasticit´
a deve verificare delle restrizioni che gli danno una plausibilit´
a fisica. In particolare richiederemo che C verifichi le seguenti tre restrizioni:
1. Invertibilit´
a: garantisce l’esistenza della relazione costitutiva inversa;
2. Forte ellitticit´
a garantisce che il lavoro compiuto dalla componente di
sforzo lungo la direzione di deformazione che é coniugata nel lavoro sia
positivo;
3. Definita Positivit´
a garantisce l’esistenza di una energia di deformazione
positiva.
61
62
CAPITOLO 4. RELAZIONI COSTITUTIVE
Nel dettaglio abbiamo:
• C deve essere invertibile, ovvero deve esistere il Tensore delle Cedevolezze
K = C−1 tale che:
E = K[T] .
(4.5)
• C deve essere fortemente ellittica, ovvero
C[a ⊗ b] · [a ⊗ b] > 0
∀a ⊗ b ∈ Lin .
(4.6)
• C deve essere definita positiva, ovvero
C[A] · A > 0 ,
∀A ∈ Sym .
(4.7)
Osservazione 8 Moti Rigidi
Essendo C : Sym → Sym, necessariamente C[W] = 0, ∀W ∈ Skw. Di
conseguenza:
T(u) = 0 ,
∀u(x) : u(x) = u0 + Wx ,
W ∈ Skw .
Inoltre il lavoro compiuto da un generico sforzo T é nullo per ogni atto di moto
rigido:
T · W = 0 , ∀u(x) : u(x) = u0 + Wx , W ∈ Skw .
(4.8)
Osservazione 9 Restrizioni a priori su K
Osserviamo che banalmente la definita positivitá di C implica quella del
tensore inverso K e che pertanto:
K[T] · T > 0 ,
4.2
∀T ∈ Sym /{0} .
(4.9)
Materiali conservativi
Indichiamo con dL il lavoro compiuto dallo sforzo T per una variazione di
deformazione dE:
dL = T · dE .
Consideriamo una storia di deformazione, ovvero una curva γ ⊂ Sym che colleghi una deformazione E0 ed una E1 . Definiamo il lavoro speso lungo la curva
γ:
Z E1
Lγ =
T · dE ;
(4.10)
E0
Un materiale linearmente elastico si dice conservativo se é verificata una
delle tre condizioni equivalenti:
• Esiste una funzione ϕ = ϕ(E) ∈ C 1 (Sym), detta densit´
a di energia
potenziale elastica tale che, ∀γ ⊂ Sym:
Lγ = ϕ(E1 ) − ϕ(E0 ) ;
(4.11)
4.2. MATERIALI CONSERVATIVI
63
• Il lavoro compiuto su ogni curva chiusa γ ⊂ Sym é nullo:
I
T · dE = 0 ;
(4.12)
γ
• il lavoro dL é un differenziale esatto:
T(E) =
∂ϕ
(E) .
∂E
(4.13)
Le tre condizioni (4.11)-(4.13) sono delle condizioni necessarie. Se ϕ ∈
C2 (Sym) e Sym é semplicemente connesso, abbiamo la condizione sufficiente
di conservativit´
a:
• Se ϕ ∈ C2 (Sym) e Sym é semplicemente connesso allora:
∂Tij
∂Thk
=
,
∂Ehk
∂Eij
(4.14)
é condizione sufficiente perché il materiale sia conservativo.
Dalla (4.3), per le (4.14) abbiamo la cosiddetta simmetria maggiore:
Cijhk = Chkij ,
C = CT ,
(4.15)
che riduce il numero delle componenti indipendenti di C a 21 moduli elastici.
La densit´
a di energia potenziale elastica tale che:
T=
∂ϕ
= C[E] ,
∂E
(4.16)
pu´
o essere determinata valutando la (4.11) lungo una curva di Jordan γ ∈ Sym
tra E0 e E arrivando alla:
ϕ(E) =
1
C[E] · E > 0 ,
2
(4.17)
positiva per effetto della restrizione a priori (4.7). In componenti la (4.17) si
esprime come:
1
ϕ(Eij ) = Cijhk Eij Ehk .
(4.18)
2
La matrice associata al tensore di elasticitá in

C1111 C1122 C1133 C1112

·
C2222 C2233 C2212


·
·
C3333 C3312
[C] ≡ 

·
·
·
C1212


·
·
·
·
·
·
·
·
un riferimento {e1 , e2 , e3 } é:

C1113 C1123
C2213 C2223 

C3313 C3323 
.
C1213 C1223 

C1313 C1323 
·
C2323
64
CAPITOLO 4. RELAZIONI COSTITUTIVE
Un materiale per il quale esiste una densitá di energia potenziale elastica
Sym 3 E 7→ ϕ(E) ∈ R+ per il quale valgono le (4.16) si dice iperelastico e la
relazione costitutiva é data dalla:
T = C[E] ,
C = CT ,
(4.19)
ovvero in componenti:
Tij = Cijhk Ehk ,
4.3
Cijhk = Cjihk = Cijkh = Chkij .
Simmetrie materiali
Per un materiale elastico lineare definiamo Gruppo delle Simmetrie Materiali in
un punto x ∈ B il sottogruppo G ⊆ Rot tale che:
G ≡ {Q ∈ Rot |QC[E]QT = C[QEQT ] ,
∀E ∈ Sym} ;
(4.20)
osserviamo che, per ∀Q ∈ G:
ϕ(QEQT )
=
=
1
1
C[QEQT ] · QEQT = QC[E]QT · QEQT
2
2
1
C[E] · E = ϕ(E) .
2
(4.21)
Un materiale si dice Anisotropo se G ⊂ Rot ed Isotropo se G ≡ Rot. Il pi´
u
semplice materiale anisotropo é il materiale Triclino, per il quale il gruppo di
simmetrie materiali contiene solamente l’identitá:
G ≡ {I} ;
un materiale triclino é descritto da 21 moduli elastici indipendenti. Maggiore é
il numero delle rotazioni contenute in G, maggiore é la simmetria del materiale
e minore é il numero delle componenti indipendenti. Nel caso del materiale
isotropo si dimostra che le componenti indipendenti sono al massimo 2.
4.3.1
Materiali isotropi
In un materiale isotropo G ≡ Rot e per la (4.21):
ϕ(QEQT ) = ϕ(E) ,
∀Q ∈ Rot ,
(4.22)
la dipendenza dell’energia da E é per tramite degli invariati ortogonali:
ϕ(E) = ϕ(ι1 (E) , ι2 (E) , ι3 (E)) ;
(4.23)
poiché per la (4.17) l’energia dipende in maniera quadratica da E, non potrá
dipendere da ι3 (E) e sará una combinazione lineare del tipo:
ϕ(E) = αι21 (E) + βι2 (E) ,
(4.24)
4.3. SIMMETRIE MATERIALI
65
dipendendo solamente da due parametri α e β che caratterizzano il materiale
isotropo.
Per l’identit´
a (1.55)1 si ha:
ϕ(E) = (α +
β
β 2
)ι (E) − kEk2 ,
2 1
2
(4.25)
e di conseguenza si arriva alla rappresentazione della densitá di energia potenziale elastica per un materiale isotropo in termini delle due costanti di Lamé
(µ , λ):
ϕ(E) =
1
(2µkEk2 + λ(tr E)2 ) ,
2
2µ = −β , λ = 2α + β .
(4.26)
La rappresentazione in componenti della (4.26) é:
ϕ(Eij )
=
=
1
(2µ(Eij Eij + λ(Ekk )2 )
(4.27)
2
1
2
2
2
2
2
(2µ(E11
+ E22
+ E22 + 2E12
+ 2E13
+ 2E23
) + λ(E11 + E22 + E33 )2 ) .
2
Restrizioni a priori: definita positivit´
a
Osserviamo che nella rappresentazione (4.26) le due variabili E e tr E non sono
indipendenti. Infatti se E = 0 si ha tr E = 0. Poiché:
kEk2 = k sph Ek2 + k dev Ek2 ,
k sph Ek2 =
1
1
(tr E)2 kIk = (tr E)2 ,
9
3
la (4.26) pu´
o essere scritta in funzione delle due variabili indipendenti sph E e
dev E come:
ϕ(E) =
1
(2µk dev Ek2 + (2µ + 3λ)k sph Ek2 ) ,
2
(4.28)
e diviene immediato mostrare come per la condizione di definita positivitá si
debba avere:
µ > 0 , 2µ + 3λ > 0 .
(4.29)
Osservazione 10 Energia di volume e di distorsione
Osserviamo che il secondo termine della (4.28) dipendendo solamente da
tr E, tiene conto dell’energia associata alle sole variazioni di volume:
ϕvol (E) =
2µ + 3λ
k sph Ek2 ,
2
mentre il primo termine, detto energia di distorsione terrá conto delle sole
variazioni di forma:
λ
ϕdist (E) = k dev Ek2 ,
2
essendo pertanto ϕ(E) = ϕvol (E) + ϕdist (E).
66
CAPITOLO 4. RELAZIONI COSTITUTIVE
4.3.2
Le relazioni costitutive
Ricordando che tr E = E · I, possiamo derivare la (4.26) rispetto alla deformazione E ed arrivare alla relazione sforzo-deformazione conosciuta come Legge di
Hooke generalizzata:
T(E) = 2µE + λ(tr E)I ,
Tij = 2µEij + λ(Ekk )δij ,
(4.30)
la cui rappresentazione esplicita in componenti é:
T11
=
(2µ + λ)E11 + λ(E22 + E33 ) ,
T22
=
(2µ + λ)E22 + λ(E11 + E33 ) ,
T33
=
(2µ + λ)E33 + λ(E11 + E22 ) ,
T12
=
2µE12 ,
T13
=
2µE13 ,
T23
=
2µE23 .
(4.31)
La rappresentazione matriciale del tensore di elasticitá per materiali isotropi
é:




[C] ≡ 



2µ + λ
·
·
·
·
·
λ
2µ + λ
·
·
·
·
λ
λ
2µ + λ
·
·
·
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2µ 0
0
· 2µ 0
·
· 2µ




.



La relazione costitutiva (4.30) puó facilmente essere invertita. Infatti applicando l’operatore di traccia ad ambo i membri si ha:
tr T = (2µ + 3λ) tr E ,
che, essendo 2µ + 3λ > 0 per la definita positivitá puó essere invertita:
tr E =
1
tr T ;
2µ + 3λ
(4.32)
sostituendo nella (4.30) e ricavando E si arriva alla relazione deformazionesforzo:
E(T) =
1+ν
ν
T − (tr T)I ,
E
E
Eij =
1+ν
ν
Tij − (Tkk )δij ,
E
E
(4.33)
con le due costanti tecniche modulo di Young E e modulo di Poisson ν definite
dalle:
µ(2µ + 3λ)
λ
E=
, ν=
.
µ+λ
2(µ + λ)
4.3. SIMMETRIE MATERIALI
67
La rappresentazione esplicita in componenti della (4.33) é:
E11
=
E22
=
E33
=
E12
=
E13
=
E23
=
1
T11 −
E
1
T22 −
E
1
T33 −
E
1
T12 ,
2G
1
T13 ,
2G
1
T23 ,
2G
ν
(T22 + T33 ) ,
E
ν
(T11 + T33 ) ,
E
ν
(T22 + T33 ) ,
E
(4.34)
(4.35)
con il modulo di elasticit´
a tangenziale G > 0 definito come:
G=
E
= µ.
2(1 + ν)
(4.36)
La condizione di definita positivitá per K, applicata alla (4.33) porta alla:
1+ν
ν
kTk2 − (tr T)2 > 0 ,
(4.37)
E
E
che scritta in termini della parte sferica e della parte deviatorica di T diviene:
K[T] · T = E(T) · T =
1 − 2ν
1+ν
k dev Tk2 +
k sph Tk2 > 0 ,
E
E
da cui le restrizioni a priori su E e ν:
(4.38)
1
.
(4.39)
2
Osservazione 11 Modulo di comprimibilit´
a e modulo di elasticit´
a tangenziale
Poiché dalla (4.32):
E > 0,
−1 < ν <
k sph Tk = (2µ + 3λ)k sph Ek ,
definiamo Modulo di comprimibilit´
a il rapporto:
2µ + 3λ =
k sph Tk
> 0.
k sph Ek
(4.40)
Inoltre, essendo
dev T = 2µ dev E ,
possiamo ridefinire il Modulo di elasticit´
a tangenziale come:
2µ = 2G =
k dev Tk
> 0,
k dev Ek
avendosi infine:
k sph Tk2 = 2ϕvol (E) ,
k dev Tk2 = 2ϕdist (E) .
(4.41)
68
CAPITOLO 4. RELAZIONI COSTITUTIVE
Esercizi
[1 ] Un materiale si dice Trasversalmente isotropo se il gruppo delle simmetrie
materiali contiene le rotazioni di angolo θ intorno ad una direzione e:
G ≡ {Qθe } ;
in questo caso l’energia dipende da 5 invariati,
ϕ(E) = ϕ(ι1 (E) , ι2 (E) , ι3 (E) , ι4 (E) , ι5 (E)) ,
(4.42)
dove:
ι4 (E) = P(e) · E ,
ι5 (E) = kP(e)Ek2 .
Determinare la forma dell’energia, la relazione costitutiva e le restrizioni
a priori associate alla (4.42).
Capitolo 5
Il problema elastico
5.1
Lo stato elastico
Per un continuo B definiamo lo Stato Elastico S associato ad un sistema di
azioni (b , s) la tripletta S ≡ {u , E , T} per la quale valgono le equazioni di
congruenza (2.82)1 , le relazioni costitutive (4.19) e le equazioni di bilancio (3.21).
Assumiamo che la frontiera ∂B di B, avente normale esterna n, sia formata da
due parti disgiunte ∂1 B e ∂2 B, ovvero:
∂B ≡ ∂1 B ∪ ∂2 B ,
∂1 B ∩ ∂2 B ≡ ∅ ,
(5.1)
s = Tn , su ∂1 B ,
u = u0 , su ∂2 B .
(5.2)
ed assumiamo che:
Definiamo il problema elastico, ovvero la determinazione dello stato elastico
S associato a (b , s) rispettivamente:
Problema di trazione: Se ∂1 B ≡ ∂B e ∂2 B ≡ ∅ ;
Problema di posizione: Se ∂2 B ≡ ∂B e ∂1 B ≡ ∅ ;
Problema misto: Se ∂B ≡ ∂1 B ∪ ∂2 B .
5.2
Le equazioni di Navier
Consideriamo il problema misto; rappresentando la deformazione in termini
di spostamento mediante le (2.82)1 e lo sforzo mediante le relazioni costitutive
(4.19): mediante le (3.21) arriviamo quindi alle equazioni di equilibrio in termini
di spostamento:
div C[∇u] + b = 0 , in B ,
C[∇u]n = s , su ∂1 B ,
69
u = u0 , su ∂2 B , (5.3)
70
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA ELASTICO
la cui rappresentazione in componenti é:
in B ,
Cijhk uh,kj + bi
=
0,
Cijhk uh,k nj
=
si , su ∂1 B ,
=
u0k
uk
(5.4)
, su ∂2 B .
Se il materiale é isotropo, poiché:
T(u) = µ(∇u + ∇T u) + λ(div u)I ,
dalle (5.3) si ha:
µ div(∇u + ∇T u) + λ div((div u)I) + b = 0 ,
e poiché per la definizione (1.97) di Laplaciano e per le identitá:
div ∇T u = ∇(div u) ,
div((div u)I) = ∇(div u) ,
e poiché inoltre:
Tn
= µ(∇u + ∇T u)[n] + λ(div u)n
= µ(2∇u + ∇T u − ∇u)[n] + λ(div u)n
=
2µ∂n u + µn × curl u + λ(div u)n ,
dalle (5.3) otteniamo le equazioni di equilibrio in termini di spostamento per un
continuo isotropo B, dette Equazioni di Navier :
µ∆u + (µ + λ)∇(div u) + b
2µ∂n u + µn × curl u + λ(div u)n
u
= 0 , in B ,
= s , su ∂1 B ,
(5.5)
= u0 , su ∂2 B .
Nel caso di materiali incomprimibili, con div u = 0, le (5.5) si riducono alle:
µ∆u + b
2µ∂n u + µn × curl u
u
5.3
= 0 , in B ,
= s , su ∂1 B ,
(5.6)
= u0 , su ∂2 B .
Le equazioni di Beltrami-Michell
Consideriamo il problema di trazione e consideriamo un tensore T ∈ Sym equilibrato, ovvero che verifica le (3.21). Rappresentando la deformazione mediante
le (4.5) ed imponendo la compatibilitá cinematica mediante le (2.88), otteniamo
le equazioni di compatibilit´
a in termini di sforzo:
curl curl K[T]
= 0 , in B ,
div T
= −b , in B ,
Tn
= s , su ∂B .
(5.7)
5.4. I PRINCIPI VARIAZIONALI
71
Se il materiale é isotropo, valendo le (4.33), e per le identitá:
curl curl T
∆T + ∇∇(tr T) − 2 sym ∇(div T) ,
=
∆(tr T)I + ∇∇(tr T) ,
curl curl(tr T)I =
per le (3.21)1 arriviamo alla:
∆T +
1
ν
∇∇(tr T) + 2 sym ∇b −
∆(tr T)I ;
1+ν
1+ν
(5.8)
applicando l’operatore traccia alla (5.8) si ottiene:
1−ν
∆(tr T) = − div b ,
1+ν
che sostituita nuovamente nella (5.8) permette di ottenere le equazioni di compatibilit´
a in termini di sforzo per un continuo isotropo B, dette Equazioni di
Beltrami-Michell :
∆T +
ν
1
∇∇(tr T) + 2 sym ∇b +
(div b)I = 0 ;
1+ν
1+ν
(5.9)
l’equazione (5.9) si riduce alla forma molto pi´
u semplice nel caso b = 0:
∆T +
5.4
5.4.1
1
∇∇(tr T) = 0 .
1+ν
(5.10)
I principi variazionali
Il principio dei lavori virtuali
Consideriamo su B un sistema di azioni (b , s) equilibrate, ovvero che verificano
le (3.21) ed un campo di spostamenti congruente, ovvero che verifica le le (2.82)
e compatibile con i vincoli. Definiamo il lavoro delle azioni esterne:
Z
Z
Lext =
b·u+
s · u.
(5.11)
B
∂B
Poiché per la (3.21)1 e la (1.99)1 :
Z
Z
Z
Z
b · u = − div T · u = − div(Tu) +
T · ∇u ,
B
B
B
ed inoltre per la (1.99)3 e la (3.21)2
Z
Z
div(Tu) =
B
B
Z
Tu · n =
∂B
Tn · u ,
∂B
mentre per la (2.82) e la (4.8):
Z
Z
Z
Z
T · ∇u =
T·E+
T·W =
T · E.
B
B
B
B
72
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA ELASTICO
Di conseguenza
Z
Z
Lext =
T·E+
B
(s − Tn) · u ,
∂B
che per la (3.21)3 fornisce l’eguaglianza tra Lest ed il lavoro interno:
Z
Lint =
T · E.
(5.12)
B
Possiamo pertanto enunciare il principio dei lavori virtuali per continui
deformabili:
Principio 1 (Lavori virtuali per continui deformabili) In un continuo deformabile B il lavoro delle azioni esterne é uguale a quello delle azioni interne
per ogni sistema di azioni (b , s) equilibrate, ed ogni un campo di spostamenti u
congruente:
Z
Z
Z
b·u+
s·u=
T · E(u) .
(5.13)
B
B
∂B
Consideriamo i due stati elastici S1 ≡ {u1 , E1 , T1 } associato al sistema di
azioni (b1 , s1 ) e S2 ≡ {u2 , E2 , T2 } associato al sistema di azioni (b2 , s2 ); dal
principio dei lavori virtuali discendono allora i seguenti teoremi:
Teorema 2 (Betti) Se B é un continuo iperelastico, ovvero C = CT , allora il
lavoro compiuto dalle azioni (b1 , s1 ) per lo spostamento u2 dello stato elastico
S2 é uguale al lavoro compiuto dalle azioni (b2 , s2 ) per lo spostamento u1 dello
stato elastico S1 .
Consideriamo, per la (5.13):
Z
Z
Z
b1 · u2 +
s1 · u2 =
T1 · E2 =
B
∂B
Z
Z
Z B
C[E1 ] · E2 =
CT [E2 ] · E1 =
C[E2 ] · E1 =
B
B
B
Z
Z
Z
T2 · E1 =
b2 · u1 +
s2 · u1 .
B
B
∂B
Teorema 3 (Kirchhoff ) Dato un sistema di azioni (b , s), la soluzione u del
problema di trazione é unica a meno di un moto rigido.
Supponiamo per assurdo, che al medesimo sistema di azioni (b , s) corrispondano due stati elastici S1 6= S2 . Consideriamo allora lo stato elastico differenza
D = {w = u1 − u2 , D = E1 − E2 , S = T1 − T2 }, corrispondente al sistema di
azioni nullo (0 , 0). Per (5.13) abbiamo:
Z
Z
0=
S·D=
C[D] · D :
B
B
5.4. I PRINCIPI VARIAZIONALI
73
per la definita positivit´
a di C, necessariamente:
D = sym(∇u1 − ∇u2 ) = 0 ,
e quindi
∇(u1 − u2 ) = W ∈ Skw .
Ne consegue che
u1 (x) = u2 (x) + Wx ,
e pertanto due soluzioni del problema di trazione possono differire al pi´
u per
un’atto di moto rigido.
5.4.2
Il principio di minimo dell’energia potenziale totale
Per un materiale conservativo dotato di una densitá di energia potenziale elastica
(4.17), definiamo l’Energia potenziale elastica del corpo B:
Z
1
C[∇u] · ∇u ,
(5.14)
Φ(u) =
2 B
dove abbiamo rappresentato la deformazione in termini di spostamento mediante
le equazioni di congruenza (2.82)1 . Se indichiamo con Π(u) l’energia potenziale
delle azioni di volume e delle azioni di superficie prescritte sulla porzione di
frontiera ∂1 B, supposte conservative:
Z
Z
Π(u) =
b·u+
s · u,
(5.15)
B
∂1 B
definiamo Energia potenziale totale del corpo B il funzionale:
u 7→ U(u) = Φ(u) − Π(u) ,
(5.16)
che ad ogni campo di spostamenti B 3 x 7→ u(x) appartenente ad un’opportuno
spazio di funzioni F associa un numero reale:
F 3 u 7→ U(u) ∈ R .
Principio 2 Minimo dell’Energia Potenziale Totale
La soluzione u del problema di equilibrio in termini di spostamenti (5.3)
rende minima l’energia potenziale totale (5.16) tra tutti gli spostamenti v ∈ A,
dove A é lo spazio delle funzioni di spostamento cinematicamente ammissibili,
ovvero sufficientemente regolari e compatibili con i vincoli.
Supponiamo u il minimo del funzionale e consideriamo una perturbazione u +
v con un piccolo parametro e v ∈ A. Definiamo la variazione prima del
funzionale nella direzione della perturbazione v:
δU(u)[v] = lim
→0
U(u + v) − U(u)
;
(5.17)
74
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA ELASTICO
la condizione di minimo del funzionale é:
δU(u)[v] = 0 ,
∀v ∈ A .
Dalla (5.17), passando al limite si ha:
Z
Z
Z
δU(u)[v] =
C[∇u] · ∇v −
b·v−
B
B
s·v,
∂B
dove l’ultimo integrale é valutato su tutta la frontiera poiché v = 0 su ∂2 B. Per
la (1.99)1 , infine:
Z
Z
δU(u)[v] = − (div C[∇u] + b) · v +
(C[∇u] − s) · v = 0 , ∀v ∈ A ,
B
∂B
da cui si ottengono la (5.3)1 e le condizioni al contorno naturali (5.3)2 .
5.4.3
Il principio di minimo dell’energia complementare
Consideriamo la differenza tra il lavoro virtuale (5.13) e l’energia potenziale
totale:
Z
Z
Z
Λ(T) =
T · E(u) −
b·u−
s · u − U(u) ,
(5.18)
B
B
∂B
poiché il lavoro virtuale si annulla per ogni coppia u , E ammissibile (congruente
e compatibile con i vincoli) e per ogni tensore degli sforzi T in equilibrio con le
azioni (b , s), alla condizione di minimo di U(u) corrisponderá una condizione
di massimo per il funzionale Λ(T) cos´ı definito:
Z
Z
T 7→ Λ(T) =
K[T] · T −
Tn · u ,
(5.19)
B
∂2 B
e chiamato Energia Complementare, nel senso che complementa l’energia potenziale totale rispetto al lavoro. Con abuso di linguaggio denominiamo tale
condizione di massimo:
Principio 3 Minimo dell’Energia Complementare
La soluzione T delle equazioni di compatibilitá in termini di tensione (5.7)
rende minima l’energia complementare (5.19) tra tutti i tensori degli sforzi T ∈
D, dove D é lo spazio dei tensori simmetrici staticamente ammissibili, ovvero
sufficientemente regolari e che verificano le equazioni di bilancio:
div T + b = 0 in B ,
Tn = s su ∂1 B .
Supponiamo T il minimo del funzionale e consideriamo una perturbazione T +
¯ con un piccolo parametro e T
¯ ∈ D. Definiamo la variazione prima del
T
¯
funzionale nella direzione della perturbazione T:
¯ = lim
δΛ(T)[T]
→0
¯ − Λ(T)
Λ(T + T)
,
(5.20)
5.4. I PRINCIPI VARIAZIONALI
75
la condizione di minimo del funzionale é:
¯ = 0,
δΛ(T)[T]
¯ ∈ D.
∀T
Dalla (5.20), passando al limite si arriva alla condizione di minimo
Z
Z
¯
¯
¯ · u = 0 , ∀T
¯ ∈ D.
δΛ(T)[T] =
K[T] · T −
Tn
B
∂1 B
Dal principio dei lavori virtuali (5.13) e dalla definizione di energia complementare abbiamo:
Teorema 4 (Clapeyron) Dato uno stato elastico S associato alle azioni (b , s),
il lavoro compiuto da tali azioni per gli spostamenti u ∈ S é il doppio dell’energia
complementare associata a T ∈ S.
Dal principio dei lavori virtuali (5.13), con T · E = T · K[T] = 2Λ(T) si ha:
Z
Z
b·u+
s · u = 2Λ(T) .
B
∂B
76
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA ELASTICO
Capitolo 6
Travi I: la teoria tecnica
6.1
Curve in R3 . Regioni a forma di trave
Una curva in R3 é una applicazione γ : I ≡ (0 , τ ) ⊂ R → E che assumiamo
semplice e regolare, tale che
(0 , τ ) 3 t 7→ P (t) ∈ E .
b(z) = w2 (z)
6 n(z) = w1 (z)
γ
P (z)
@
@
R
@
p(z)
t(z) = w3 (z)
O
Fig. 6.1 - Curva in R3
Assegnata una curva γ definiamo la lunghezza d’arco
Z
z(t) =
0
t
dP
(τ )dτ :
dτ
77
78
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
per modo che z(τ ) − z(0) = L, lunghezza della curva. Se assumiamo di riparametrizzare la curva in termini della lunghezza d’arco, si ha che il vettore:
t(z) = P 0 (z) =
dP
(z) ,
dz
kP 0 (z)k = 1 ,
é il vettore Tangente alla curva γ. Scelto un punto O ∈ E, definiamo il vettore
posizione dei punti della curva:
p(z) = P (z) − O ∈ V .
Si definiscono:
• vettore Normale alla curva il vettore z 7→ n(z):
n(z) =
P 00
,
kP 00 k
knk = 1 ;
(6.1)
• vettore Binormale alla curva il vettore z 7→ b(z):
b(z) = t(z) × n(z) .
(6.2)
Definiamo in z ∈ (0 , L) riferimento intrinseco alla curva γ il riferimento
ortonormale {w1 (z) = n(z) , w2 (z) = b(z) , w3 (z) = t(z)}; si ha che:
wk0 = Lwk ,
k = 1, 2, 3 ,
(6.3)
dove il tensore L ∈ Skw é il tensore di curvatura di γ. Mediante le due funzioni
z 7→ κ(z) e z 7→ τ (z) dette rispettivamente curvatura e torsione di γ, il tensore di
curvatura di γ pu´
o essere rappresentato nel riferimento intrinseco dalla matrice:


0 τ −κ
[L] ≡  −τ 0 0  ,
κ 0 0
e le (6.3) si riducono alle ben note formule di Frenet:
w10
= τ w2 − κw3 ,
w20
w30
= −τ w1 ,
(6.4)
= κw1 .
Definiamo Regione a forma di trave una regione cilindrica Ω ⊂ E, tale che
Ω = S × I con S ⊂ R2 la sezione retta ed i punti dell’asse I siano i punti di
una curve semplice e regolare γ. La frontiera di Ω si decompone pertanto in tre
porzioni disgiunte ∂Ω ≡ S0 ∪ SL ∪ M, dette rispettivamente basi S0 = S × {0},
SL = S × {L} e mantello M ≡ ∂S × I.
SL
6.2. STATICA DELLE TRAVI
79
z=L
S
S0
*
z w3 (z)
x
M
@
R
@
y(z)
p(z)
z=0
Fig. 6.2 - Regione Ω a forma di trave
Per effetto della geometria della regione, il generico punto y ∈ Ω puó
rappresentarsi come:
y(x , z) = p(z) + x ,
(6.5)
dove z 7→ p(z) é il vettore posizione dei punti della curva γ essendo z la lunghezza d’arco, mentre x é il vettore posizione dei punti della sezione retta, essendo
x · w3 = 0.
6.2
Statica delle Travi
Consideriamo una corpo rigido B ≡ Ω che occupa una regione a forma di trave.
Dalla equazione di Eulero (3.6)1 :
Z
Z
Z L Z
Z
Z
Z
0=
b+
s=
( b+
s) +
s+
s;
(6.6)
Ω
∂Ω
0
S
∂S
S0
SL
definiamo la densit´
a di azioni esterne per unit´
a di lunghezza il vettore z 7→ q(z)
Z
Z
q(z) =
b+
s,
(6.7)
S
∂S
e la risultante delle azioni di superficie sulla sezione retta S il vettore z 7→ r(z):
Z
r(z) =
s,
(6.8)
S
per modo che la (6.6) possa essere riscritta come:
Z L
r(L) + r(0) +
q(z)dz = 0 .
0
(6.9)
80
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo riscrivere la (6.9)
come:
Z L
dr
(r0 (z) + q(z))dz = 0 r0 =
,
(6.10)
dz
0
che per localizzazione porta alla Equazione di bilancio delle forze per travi
curvilinee:
r0 (z) + q(z) = 0 .
(6.11)
Dalla equazione di Eulero (3.6)2 :
Z
Z
0 =
y×b+
y×s
Ω
L
∂Ω
Z
Z
Z
=
( p×b+x×b+
p × s + x × s)
0
S
∂S
Z
Z
Z
Z
+ p(0) ×
s+
x × s + p(L) ×
s+
S0
S0
SL
(6.12)
x × s;
SL
se definiamo la densit´
a di coppie esterne per unit´
a di lunghezza il vettore z 7→
k(z):
Z
Z
k(z) =
x×b+
x × s,
(6.13)
S
∂S
e la coppia risultante delle azioni di superficie sulla sezione retta S il vettore
z 7→ c(z):
Z
c(z) =
x × s,
(6.14)
S
possiamo riscrivere la (6.12) come:
Z
L
(p × q + k)dz + p(0) × r0 + p(L) × rL + c(L) + c(0) = 0 ;
(6.15)
0
poiché:
Z
p(0) × r0 + p(L) × rL =
L
0
Z
(p(z) × rz ) dz =
0
L
w3 (z) × rz + p(z) × r0z ,
0
arriviamo alla:
Z L
(p × (q + r0z ) + w3 (z) × rz + k)dz + c(L) + c(0) = 0 ,
(6.16)
0
dalla quale per la (6.11), il teorema fondamentale del calcolo integrale e localizzando, si arriva alla Equazione di bilancio delle coppie per travi curvilinee:
c0 (z) + k(z) + w3 (z) × r(z) = 0 .
(6.17)
Le equazioni di bilancio per le travi curvilinee (6.11) e (6.17) sono un sistema
di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine che, assegnate opportune
6.2. STATICA DELLE TRAVI
81
condizioni al contorno od iniziali in numero di sei, consentono di associare alle
azioni esterne (z 7→ q(z) , z 7→ k(z)) riferite alla curva γ , le azioni interne
(z 7→ r(z) , z 7→ c(z)) anch’esse riferite alla curva γ.
Definiamo le componenti delle azioni interne nel riferimento intrinseco:
r · wα
= Tα ,
Taglio ,
r · w3
= N,
Forza Normale ;
c · wα
= Cα ,
Coppia flettente ,
c · w3
= C3 ,
Coppia torcente ,
α = 1, 2 ;
(6.18)
α = 1, 2 ;
le caratteristiche della sollecitazione riferite ad un punto z della curva γ. La
rappresentazione delle equazioni di bilancio in componenti é data dalle:
ri0 + rj (ej )0 · ei + qi = 0 ,
m0i
(6.19)
0
+ mj (ej ) · ei + 3ki rk + ki = 0 ,
che scritte esplicitamente in termini delle caratteristiche di sollecitazione divengono rispettivamente (Eulero, 1771):

0

T1 − τ T2 + κN + q1 = 0 ,
(6.20)
T20 + τ T1 + q2 = 0 ,

 0
N − κT1 + q3 = 0 ;

0

C1 − τ C2 + κC3 − T2 + k1 = 0 ,
C20 + τ C1 + T1 + k2 = 0 ,

 0
C3 − κC1 + k3 = 0 .
(6.21)
Travi piane
In una trave piana la curva γ é una curva contenuta nel piano ortogonale alla
binormale w2 con τ ≡ 0, per cui le (6.20) e (6.21) si riducono alle:

0

T1 + κN + q1 = 0 ,
(6.22)
T20 + q2 = 0 ,

 0
N − κT1 + q3 = 0 ;

0

C1 + κC3 − T2 + k1 = 0 ,
C20 + T1 + k2 = 0 ,

 0
C3 − κC1 + k3 = 0 .
(6.23)
Se κ = R−1 = cost. la curva é un’arco di circonferenza di raggio R. In questo
caso, scelta la parametrizzazione in lunghezza d’arco z = θR:
f0 =
1
f,θ ,
R
82
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
N (θ)
C2 (θ)
z
@
T1 (θ)
@
R
@
θ
R
Fig. 6.3 - Caratteristiche di sollecitazione in un arco
dalle equazioni (6.22)1,3 e (6.23)2 ricaviamo le equazioni di bilancio degli archi
piani, relative alle sollecitazioni (q1 , q3 , k2 ) nel piano dell’arco ed alle associate
caratteristiche (N , T1 , C2 ):
T1 ,θ +N + Rq1 = 0 ,
N,θ −T1 + Rq3 = 0 ,
(6.24)
C2 ,θ +RT1 + Rk2 = 0 .
6.2.1
Travi ad asse rettilineo
Una trave ad asse rettilineo é caratterizzata da κ = τ = 0, pertanto le (6.20) e
(6.21) divengono:
Tα0 + qα = 0 ,
α = 1, 2 ,
(6.25)
0
N + q3 = 0 ;
C10 − T2 + k1 = 0 ,
C20 + T1 + k2 = 0 ,
C30
(6.26)
+ k3 = 0 .
Osserviamo che se γ é una retta, come in questo caso, i vettori normale e
binormale non sono definiti e pertanto w1 e w2 sono una coppia di vettori
ortogonali nel piano normale a w3 . In tal caso le equazioni di bilancio devono
essere indipendenti dalla scelta del riferimento mentre é evidente che le (6.26)
dipendono dalla scelta del riferimento. Questa ambiguitá puó essere rimossa
introducendo il vettore m dei momenti flettenti tale che:
c(z) = w3 × m(z) ,
(6.27)
le cui componenti Mα = m · wα , α = 1, 2 sono tali che C1 = M2 e C2 = −M1 .
In tal modo le (6.26) possono essere riscritte in termini dei momenti flettenti
e del momento torcente M3 = C3 in una forma indipendente dalla scelta del
sistema di riferimento:
Mα0 − Tα + kα
=
0,
M30 + k3
=
0.
α = 1, 2 ,
(6.28)
6.2. STATICA DELLE TRAVI
83
D’ora in poi assumiamo che le azioni siano interamente contenute in un
piano e che kα = 0. Omettendo gli indici e ponendo come d’uso p = q3 e k = k3
le equazioni di bilancio di una trave piana che forniscono le caratteristiche di
sollecitazione (N , T , M ) in funzione delle azioni (p , q) sono:
N0 + p = 0 ,
T0 + q = 0,
(6.29)
M0 − T = 0 ,
cui si aggiunge l’equazione di bilancio del momento torcente M3 = Mt :
Mt0 + k = 0 .
(6.30)
Il sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine (6.29) puó essere
trasformato in un sistema del secondo ordine ricavando T dalla (6.29)3 :
M0 = T ,
(6.31)
ottenendo le equazioni di bilancio che forniscono le caratteristiche di sollecitazione (N , M ) in funzione delle azioni (p , q):
N0 + p = 0 ,
M 00 + q = 0 .
(6.32)
il sistema (6.29) o la sua versione contratta (6.32) ammettono soluzione se sono
note 3 condizioni iniziali o al contorno.
Le condizioni al contorno per le equazioni di bilancio
Il sistema (6.29) o la sua versione contratta (6.32) ammettono soluzione se sono
note 3 condizioni iniziali o al contorno. Se consideriamo una trave rettilinea di
asse (0 , L) nei punti della frontiera C ≡ {0 , L} sono assegnabili al pi´
u 6 azioni,
ovvero la forza normale, il taglio ed il momento flettente per ciascun estremo.
Si hanno perci´
o tre possibilit´
a:
• Il sistema é labile: si possono avere ad esempio le tre condizioni iniziali in
z = 0 (o l’analoga per z = L):
N (0) = N0
M 0 (0) = T0
M (0) = M0 ;
(6.33)
o l’unica condizione per la (6.32)1 e le 2 condizioni al contorno in z = 0 e
z = L per la (6.32)2 :
N (0) = N0
M (0) = M0
M (L) = ML ,
(6.34)
e le due condizioni ottenibili dalle precedenti sostituendo N (0) = N0 con
N (L) = NL , se e solo se le azioni assegnate al bordo ed i carichi sono
84
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
equilibrati, ovvero, dati (N0 , T0 , M0 ) le azioni (NL , TL , ML ) verificano
le:
Z L
N0 + NL +
p(z)dz = 0 ,
Z
0
L
T0 + TL +
q(z)dz = 0, ,
(6.35)
0
Z L
M0 + ML + TL L +
q(z)zdz = 0 .
0
• Il sistema é isostatico e la (6.35) consente di determinare univocamente
le reazioni vincolari. Le assegnazioni delle condizioni al contorno sono
identiche a quelle del caso precedente con le reazioni vincolari in luogo
delle tre azioni esterne incognite.
• Il sistema é iperstatico. Si hanno k > 3 reazioni vincolari e le (6.35)
forniscono ∞k−3 soluzioni equilibrate. Le assegnazioni delle condizioni al contorno sono identiche a quelle del caso precedente ma consentono di determinare ∞k−3 soluzioni dipendenti da k − 3 reazioni vincolari
incognite.
Pi´
u in generale, dato un sistema di travi S, le equazioni di equilibrio consentono la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione se il sistema é labile
ed é soggetto ad un sistema di carichi esterni in equilibrio oppure se il sistema é
isostatico. Nel caso di sistemi k-volte iperstatici, é possibile la determinazione
di una famiglia di ∞k caratteristiche di sollecitazione soluzione delle (6.32).
I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione
Le soluzioni z 7→ N (z), z 7→ T (z) e z 7→ M (z) vengono rappresentate tracciandone il grafico direttamente sul sistema di aste rigide ed utilizzando le aste
rigide come fondamentale secondo le seguenti convenzioni:
• La Forza Normale ed il Taglio sono positivi se sono diretti come nella
figura ed il diagramma é rappresentato con il segno:
T
N
6
?
T
N
Fig. 6.4 - Convenzioni di segno positivo per N e T
se N > 0 la forza normale si dice di trazione, mentre é di compressione se
N < 0.
6.2. STATICA DELLE TRAVI
85
• Il Momento Flettente viene riportato dalla parte delle fibre tese definite
nella figura dalla linea tratteggiata:
Fig. 6.5 - Fibre tese
ed il diagramma é rappresentato senza segno.
• In presenza di una azione concentrata, il diagramma della caratteristica di
sollecitazione corrispondente ha una discontinuit. Se ad esempio sull’asta
rigida é applicata una forza F ortogonale all’asta, il taglio T subirá un
salto:
F
Ts
6 ?
?
Td
Fig. 6.6 - Definizione di [[T ]]
e per l’equilibrio:
Ts − Td − F = 0 ,
(6.36)
ponendo Ts − Td = [[T ]], dalla (6.36) abbiamo
[[T ]] = F ;
analogamente per una azione concentrata Q diretta come l’asta ed una
coppia concentrata C abbiamo:
[[N ]] = Q ,
[[M ]] = C ;
Esempio 13 Trave appoggiata caricata
Consideriamo la trave dell’esempio 9, e supponiamola caricata con una azione concentrata verticale F = −F e2 nel punto di mezzeria C, ovvero tale che
C − A = L/2e1 :
86
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
F
e2
6
c A-e1
?
C
B
cc
Fig. 6.7 - Trave appoggiata
rimuovendo i vincoli e sostituendoli con le reazioni vincolari incognite
F
r1A A
6
r2A
B
?
C
6
r2B
le equazioni di bilancio dell’esempio 9 divengono:
r1A = 0 ,
r2A
r2B
− F = 0,
FL
r2B L −
= 0,
2
+
la cui soluzione é:
F
.
2
Sostituendo al posto delle reazioni vincolari incognite abbiamo quindi:
r1A = 0 ,
r2A = r2B =
F
A
6
F
2
?
C
B
6
F
2
ed essendo il sistema isostatico, le equazioni (6.32) ammettono soluzione unica
e possiamo tracciare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione. Preliminarmente osserviamo che essendo p = 0 e q = 0, dalle (6.32) i diagrammi di N
e T saranno costanti a tratti, mentre quello di M sará lineare e tratti. Inoltre
poiché in C é applicata una azione concentrata, si avrá [[T ]] = F , il diagramma
di T non sar´
a continuo in C e quello di M non sará derivabile in C.
6.2. STATICA DELLE TRAVI
87
1. Diagramma della forza normale N :
poiché N (0) = r1A = 0, abbiamo N ≡ 0 per 0 ≤ z ≤ L ;
2. Diagramma del taglio T :
poiché T (0) = r2A = F/2, abbiamo T = F/2 > 0 per le convenzioni di
segno adottate per 0 ≤ z < L/2 , mentre essendo T (L) = r2B = F/2,
abbiamo T = −F/2 < 0 per le convenzioni di segno adottate per L/2 <
z ≤ L, ovvero:

L
F

2 , 0≤z < 2 ,
T (z) =

 F
− 2 , L2 < z ≤ L ;
3. Diagramma del momento flettente M :
il momento flettente é lineare in z, ovvero M (z) = a + bz. Nel tratto
0 ≤ z ≤ L/2 le condizioni iniziali sono:
M (0) = 0 ,
M 0 (0) = T (0) =
F
,
2
da cui
F
z.
2
Nel tratto L/2 ≤ z ≤ L le condizioni al contorno sono:
M (z) =
L
FL
M( ) =
,
2
4
da cui
M (z) =
M (L) = 0 ,
F
(L − z) .
2
per cui
M (z) =

F

2z,

F
2
0≤z≤
(L − z) ,
L
2
L
2
,
≤ z ≤ L.
Restano da determinare le fibre tese per poter passare al tracciamento del
diagramma di M . A tale scopo, sezioniamo la trave in un punto immediatamente a sinistra del punto C e rappresentiamo il momento incognito
MC agente in quel punto.
A
6
F
2
MC
C
88
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Per l’equilibrio dei momenti rispetto a C abbiamo:
FL
− MC = 0 ,
2 2
da cui MC = F L/4 ed essendo positivo il verso assunto é quello corretto.
Pertanto le fibre tese sono quelle inferiori. Osserviamo anche che essendo
il momento lineare, per tracciarne il diagramma é sufficiente conoscerne
il valore in due punti. Valutando pertanto MC con una equazione di
equilibrio, conosciamo i valori di M (0) = 0, M (L) = 0 ed MC = F L/4
che consentono l’immediato tracciamento del diagramma.
Il risultato finale é pertanto:
≡0
F
2
N
+
T
−
F
2
M
bb
""
FL
"
bb
4
bb"""
Fig. 6.8 - Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione
Simmetrie
Una sistema piano di travi S si dice simmetrico se esiste un’asse di simmetria
e nel piano della struttura tale che la geometria della struttura é invariate per
rotazioni di π intorno all’asse di simmetria.
asse di simmetria
S
6
e
6.2. STATICA DELLE TRAVI
89
Un sistema di azioni per S (interne ed esterne) si dice simmetrico se é invariate
per rotazioni di π intorno all’asse di simmetria. Se pertanto consideriamo le
caratteristiche di sollecitazione valutate nei punti di ascissa curvilinea ±s rispetto all’asse di simmetria (individuato da s = 0) abbiamo, in ragione delle
convenzioni di segno adottate:
T (−s) = −T (s) ,
N (−s) = N (s) ,
M (−s) = M (s) ,
(6.37)
s=0
@
@ F
R
@
F
6
e
−s M (−s)
6
T (−s) N (−s)
?
s 6 T (s)
N (s)
?
M (s)
da cui si ha che il momento flettente e la forza normale sono funzioni pari,
ovvero simmetriche rispetto all’asse, mentre il taglio é una funzione dispari,
ovvero antisimmetrica rispetto all’asse. Ne consegue che T (0) = 0 ovvero che il
taglio si annulla in corrispondenza dell’asse di simmetria.
In conseguenza di ci´
o possiamo studiare una struttura simmetrica caricata
simmetricamente limitandosi allo studio di metá struttura vincolata in corrispondenza dell’asse di simmetria mediante un pattino, ovvero un vincolo per
cui T ≡ 0. I diagrammi della struttura si otterranno ribaltando intorno all’asse
quelli di N ed M e ribaltando e cambiando di segno quello di T .
c
c
@
@F
R
@
Un sistema di azioni per S (interne ed esterne) si dice antisimmetrico se
cambia di segno per rotazioni di π intorno all’asse di simmetria. Se pertanto
consideriamo le caratteristiche di sollecitazione valutate nei punti di ascissa
curvilinea ±s rispetto all’asse di simmetria abbiamo, in ragione delle convenzioni
di segno adottate:
N (−s) = −N (s) ,
T (−s) = T (s) ,
M (−s) = −M (s) ,
(6.38)
90
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
s=0
@
@ F
R
@
F
6
e
−s M (−s)
6
T (−s) N (−s)
?
s
M (s)
66
T (s) N (s)
da cui si ha che il momento flettente e la forza normale sono funzioni dispari, ovvero antisimmetriche rispetto all’asse, mentre il taglio é una funzione pari,
ovvero asimmetrica rispetto all’asse. Ne consegue che N (0) = 0 ed M (0) = 0 ovvero che la forza normale ed il momento flettente si annullano in corrispondenza
dell’asse di simmetria.
In conseguenza di ció possiamo studiare una struttura simmetrica caricata
antisimmetricamente limitandosi allo studio di metá struttura vincolata in corrispondenza dell’asse di simmetria mediante un carrello, ovvero un vincolo per
cui N ≡ 0 ed M ≡ 0. I diagrammi della struttura si otterranno ribaltando
intorno all’asse quelli di T e ribaltando e cambiando di segno quelli di N ed M .
@
6.2.2
@F
R
@
cc
Travi reticolari
Una trave reticolare (o travatura reticolare), é un’insieme di a aste rettilinee collegate tra loro mediante n cerniere dette nodi e caricate solamente in
corrispondenza dei nodi. Per l’equilibrio di una singola asta B − A abbiamo:
rA + rB = 0 ,
(B − A) × rB = 0 ,
(6.39)
6.2. STATICA DELLE TRAVI
91
c
B
c rB
B
rB
A
rA
c
A
c
rA
Asta pendolare
e di conseguenza le reazioni ai nodi A e B sono dirette come l’asta B − A. L’unica caratteristica di sollecitazione agente sull’asta é pertanto la forza normale
costante N . Si dice asta pendolare un’asta rettilinea caricata alle estremitá e
sollecitata solamente da forza normale.
In una travatura reticolare pertanto tutte le aste sono pendolari e ciascuna
di esse equivale ad un grado di vincolo: la relazione tra il numero di nodi n ed
il numero delle aste a é di conseguenza:
2n − a = 3 ;
(6.40)
tale relazione é solamente una relazione necessaria che garantisce che la travatura
possieda 3 gradi di libert´
a e sia, da un punto di vista cinematico, assimilabile
ad un corpo rigido per il quale valgono le condizioni di labilitá, isostaticitá
ed iperstaticit´
a. La condizione sufficiente, che rende conto della topologia del
sistema, é data dalle condizioni di Föppl. Poiché per una travatura reticolare
infatti, a ciascuna asta di lunghezza ljk corrisponde una condizione di vincolo
di rigidit´
a nelle 2n incognite (xn1 , xn2 ):
ϕh (xn1 , xn2 ) = (xj1 − xk1 )2 + (xj2 − xk2 )2 − ljk = 0 ,
h = 1, 2, . . . a ,
ponendo:
(n)
(x1 = x11 , x2 = x12 , . . . x2n−1 = xn1 , x2n = x2 ) ,
la condizione sufficiente di F¨
oppl prescrive che la matrice Jacobiana:
[A] ≡ [ϕi,j ] ,
i = 1,2,... ,a,
j = 1 , 2 , . . . , 2n = 3 + a ,
debba avere rango r = a.
Le due travature nell’esempio in figura hanno n = 10 ed a = 17, per cui in
ambedue i casi 2n − a = 3, ma nella travatura inferiore la maglia quadrata di
destra é labile per effetto della disposizione delle aste.
92
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
c
@
c
@
@
@
c
@
c
@
@
@
c
@
@
@c
c
c
@
@c
c
c
c
c
@
@c
c
@
@
@
@c
c
c
c
@
@
@
@
@
@c
Un nodo di una travatura reticolare si dice canonico se vi convergono solamente due aste: una travatura reticolare si dice a maglie triangolari se tutte
le aste sono disposte in modo da formare triangoli. In una travatura a maglie
triangolari esiste sempre un nodo canonico.
Per la determinazione delle azioni sulle aste, si puó procedere mediante vari
metodi che ora illustriamo. Si utilizza nel seguito la convenzione di numerare
i nodi ed indicare con Nik lo forza normale sull’asta che collega il nodo i con
il nodo k (ovviamente l’ordine degli indici é irrilevante, ovvero Nik = Nki ).
Supponiamo la travatura isostatica per modo che le reazioni vincolari siano
determinate. A titolo di esempio consideriamo la semplice travatura riportata
in figura:
h
1
c
6
R1
F
F
F
2
c?
@
@
4
c?
@
6
c?
@
@
@ 5
@c
@ 3
@c
a
a
@
@ 7
@c
6
R7
a
Metodo dell’equilibrio al nodo
Con questo metodo si inizia da un nodo canonico nel quale convergendo due
aste, si hanno solamente due incognite, le forze normali agenti sulle due aste che
convergono al nodo. Detta ad esempio R1 l’azione nota applicata al nodo, sia
essa una azione esterna o una reazione vincolare, se nel nodo era applicato un
6.2. STATICA DELLE TRAVI
93
vincolo, per l’equilibrio delle forze al nodo 1 si ha:
N13 + N12 cos α = 0 ,
R1 + N12 sin α = 0 ,
tan α =
2h
,
a
(6.41)
Adottiamo la convenzione di rappresentare le forze normali incognite come trazioni, ovvero uscenti dal nodo, per modo che nella soluzione delle equazioni
un valore negativo della forza normale incognita rappresenta uno sforzo di
compressione.
Si procede quindi al nodo adiacente nel quale convergono tre aste: poiché lo
sforzo in una delle tre aste é stato determinato per l’equilibrio al nodo 1, anche
in questo nodo, nel nostro caso il nodo 2, si hanno solamente due incognite ed
abbiamo:
−N12 cos α + N23 cos α + N24 = 0 ,
N12 sin α + N23 sin α + F = 0 .
(6.42)
Per l’equilibro al nodo 3 abbiamo:
−N13 + N35 − N23 cos α + N34 cos α = 0 ,
N12
N23 sin α + N34 sin α = 0 . (6.43)
F
2 c?
- N24
@α
@ N
N12
R 23
@
1c α N13
6
R1
N23
N34
I
@
@
3 α
- N35
N13 @ c
Si procede in questa maniera sino alla determinazione delle forze normali in
tutte le aste. Osserviamo nell’esempio specifico che per la simmetria delle azioni
esterne, la forza normale é simmetrica e si avrá:
N46 = N42 ,
N45 = N43 ,
N46 = N42 ,
N56 = N23 ,
N57 = N13 ,
riducendosi l’equazione di equilibrio al nodo 4 ad una identitá. Il
equazioni di equilibrio associato alle (6.41), (6.42) e (6.43) diviene




cos α
1
0
0
0
0
N12
0
 sin α
  N13 
 R1
0
0
0
0
0




 − cos α 0



cos α 1
0
0 

  N23  = −  0
 R sin α 0



 F
sin α
0
0
0   N24 






 0
0
−1 − cos α 0 cos α 1
N34
0
0
sin α
0 sin α 0
N35
0
sistema di




,



e la matrice [A ] ha determinante det[A ] = sin3 α 6= 0.
Il medesimo risultato pu´
o essere ottenuto per via grafica decomponendo la
forza F lungo due direzioni e successivamente la forza normale N12 lungo altre
94
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
due direzioni, ripetendo l’operazione di decomposizione di una forza nota lungo
due direzioni per tutti i nodi della struttura.
Un metodo grafico che riunisce tutte le operazioni di successiva decomposizione di una forza lungo due direzioni ed equivale alla risoluzione del sistema di
equazioni di equilibrio al nodo é il diagramma Cremoniano del quale riportiamo
in figura un esempio:
Un esempio di diagramma Cremoniano (fonte: Wikipedia)
Metodo di Ritter
Si dice Sezione di Ritter una immaginaria sezione della travatura ottenuta una
curva Σ che taglia tre aste, due delle quali convergenti nel medesimo nodo. In tal
modo per determinare le tre forze normali incognite disporremo, sulla porzione
P della struttura ottenuta mediante la sezione Σ delle due equazioni di equilibrio
delle forze e della equazione di equilibrio del momento rispetto al nodo nel quale
convergono le due forze. Ad esempio, per la sezione Σ1 che attraversa le aste
1 − 3, 2 − 3 e 2 − 4 abbiamo:
6.3. LE EQUAZIONI DELLA LINEA ELASTICA
F
F
Σ1
Σ0
h
1
c
6
R1
F
Σ2
2 N
c?
-24
@
@
N23
@
@
R
@
@3c
a
95
N13
4
N24
- c?
@
N34 @
@ 5
@c
N35
a
6
c?
@
@
a
@ 7
@c
6
R7
N24 + N13 + N23 cos α = 0 ,
−N23 sin α − F + R1 = 0 ,
a
N13 h − R1 = 0 .
2
(6.44)
Con un numero adeguato di sezioni di Ritter si possono determinano le azioni
in tutte le aste. Un vantaggio del metodo é che permette di determinare la forza
normale in un’asta generica Nik senza dovere determinare le azioni nelle aste
precedenti come invece avviene mediante l’equilibrio al nodo.
Per la travatura reticolare dell’esempio, stante la simmetria, sono necessarie
solamente tre sezioni di Ritter, la prima delle quali é la (6.44), mentre la seconda,
Σ2 fornisce:
N24 + N34 cos α + N35 = 0 ,
N34 sin α − F + R1 = 0 ,
3a
N35 h + F a − R1
= 0.
2
(6.45)
e la sezione Σ0 che taglia le aste 1−2 ed 1−3 equivale all’equazione di equilibrio
al nodo (6.41).
Anche del metodo di Ritter esiste una versione grafica detta metodo di
Culmann.
6.3
6.3.1
Le equazioni della linea elastica
Le misure di deformazione
Consideriamo il campo di spostamenti (u , v) definito in ogni punto z ∈ ( 0 , L )
dalle due funzioni u = u(z) e v = v(z) che rappresentano rispettivamente lo spostamento assiale (ovvero nella direzione dell’asse della trave) e quello trasversale
(ovvero nella direzione ortogonale all’asse della trave).
96
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Possiamo quindi definire il lavoro virtuale compiuto delle azioni esterne equilibrate (p , q) per ogni spostamento congruente (ovvero compatibile con i vincoli
ed infinitesimo) (u , v) come:
Z
L
Lext =
(pu + qv)dz .
(6.46)
0
Poiché le azioni esterne sono equilibrate, per le (6.32) possiamo scrivere la (6.46)
come
Z
Z
L
L
(pu + qv)dz = −
0
0
00
(N u + M v)dz ,
(6.47)
0
che integrata per parti porta alla:
Z
L
0
0
00
0
0 L
(N u − M v )dz − (N u + M v − M v ) .
(6.48)
0
Definiamo le Equazioni di congruenza per una trave rettilinea le equazioni
che forniscono le misure di deformazione (ε , κ) in funzione delle misure di
spostamento (u , v):
u 7→ ε(u) = u0 ,
v 7→ κ(v) = −v 00 .
(6.49)
0
Poiché T = M , otteniamo l’espressione del lavoro virtuale compiuto dalle azioni
interne (le caratteristiche di sollecitazione N ed M ) per le deformazioni ε e κ:
Z
Lint =
0
L
L
(N ε + M κ)dz − (N u + T v − M v 0 ) ,
(6.50)
0
e si ha Lint = Lext :
Z
L
0
00
Z
(N u − M v )dz =
0
0
L
L
(pu + qv)dz + (N u + T v − M v 0 ,
(6.51)
0
per ogni coppia (N , M ) equilibrata (ovvero che verifica le (6.32)) ed ogni coppia
(ε , κ) congruente (ovvero che verifica le (6.49)).
Osservazione 12 Estensione e Curvatura
Se consideriamo due punti z ∈ (0 , L) e z0 ∈ (0 , L) ed i loro spostamenti
assiali z 7→ u(z) e z0 7→ u(z0 ), possiamo definire la lunghezza iniziale come
li = z − z0 e quella finale, dopo la deformazione come lf = u(z) − u(z0 ). Poiché
u0 (z) = lim
z→z0
u(z) − u(z0 )
,
z − z0
ne consegue che ε rappresenta una misura della estensione assiale:
ε = u0 = lim
lf
li →0 li
,
6.3. LE EQUAZIONI DELLA LINEA ELASTICA
97
Se consideriamo una funzione z 7→ v(z), se ne definisce le Curvatura mediante
la:
κ=
−v 00
3
(1 + (v 0 )2 ) 2
,
che si riduce alla curvatura cinematica (6.49)2 nell’ipotesi che |v 0 (z)| << 1.
Sotto la medesima ipotesi si ha infine che la Rotazione é data dalla:
−v 0 = tan ϕ u ϕ .
6.3.2
Travi elastiche lineari
Il materiale di cui immaginiamo essere formata la trave si dice Elastico (e di
conseguenza parliamo di travi elastiche), se le caratteristiche di sollecitazione
dipendono unicamente dalle misure di deformazione:
N = N (ε , κ) ,
M = M (ε , κ) ;
(6.52)
il materiale si dice Lineare (e di conseguenza parliamo di travi elastiche lineari)
se la dipendenza (6.52) é lineare:
N (ε , κ) = K11 ε + K12 κ ,
(6.53)
M (ε , κ) = K21 ε + K22 κ .
La matrice [K] rappresenta le proprietá elastiche del materiale ed é detta matrice
di rigidezza del materiale. Assumiamo che la trave sia omogenea, ovvero che le
componenti Kαβ siano costanti. Perché le (6.53) abbiano plausibilitá fisica é
necessario che [K] obbedisca alle seguenti restrizioni:
• [K] deve essere invertibile, ovvero deve esistere la matrice delle cedevolezze
[C] = [K]−1 tale che:
ε(N , M ) = C11 N + C12 M ,
(6.54)
κ(N , M ) = C21 N + C22 M .
e pertanto
det[K] 6= 0 .
(6.55)
• [K] deve essere fortemente ellittica, ovvero
N (ε , 0)ε > 0 ,
M (0 , κ)κ > 0 ,
∀(ε , κ) ,
(6.56)
e pertanto
K11 > 0 ,
K22 > 0 .
(6.57)
• [K] deve essere definita positiva, ovvero
∀(ε , κ) ,
(6.58)
det[K] > 0 .
(6.59)
N (ε , κ)ε + M (ε , κ)κ > 0 ,
e pertanto
K11 > 0 ,
K22 > 0 ,
98
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Osservazione 13 Restrizioni a priori
Ciascuna di queste condizioni, dette Restrizioni a priori su [K] ha un preciso
significato fisico: l’invertibilitá implica che le misure di sforzo e di deformazione
possono assumere il ruolo di variabile indipendente, la forte ellitticitá che il
lavoro compiuto da una caratteristica di sollecitazione per la variabile cinematica
duale nel lavoro deve essere positivo e la definita positivitá che la densitá di
lavoro interno deve essere positiva. Chiaramente:
Definita Positivitá ⇒ Forte Ellitticittá ⇒ Invertibilitá .
Osservazione 14 Travi Isotrope
Una trave elastica lineare si dice isotropa se K12 = K21 = 0 ed in questo
caso chiamiamo K11 = EA rigidezza estensionale e K22 = EJ rigidezza flessionale con E una quantitá che descrive le proprietá del materiale ed A e J
rispettivamente l’area e l’inerzia della sezione retta S.
N (ε) = EAε ,
6.3.3
EA > 0 ,
M (κ) = EJκ ,
EJ > 0 .
(6.60)
Travi rettilinee: le equazioni della linea elastica
Assegnato un sistema di azioni (p , q) per la trave, definiamo Stato elastico
la tripletta D = {(u , v) , (ε , κ) , (N , M )} per la quale valgono le equazioni di
congruenza (6.49), le relazioni costitutive (6.60) e le equazioni di bilancio (6.32).
Per determinare lo stato elastico D sostituiamo le (6.49) nelle (6.60):
N = EAu0 ,
M = −EJv 00 ,
(6.61)
e successivamente sostituiamo le (6.61) nelle (6.32) arrivando alle equazioni di
equilibrio in termini di spostamento:
EAu00 + p = 0 ,
−EJv 0000 + q = 0 ,
(6.62)
dette equazioni della linea elastica, rispettivamente estensionale e flessionale,
che associano alle azioni (p , q) il campo di spostamenti (u , v). La soluzione
di queste equazioni richiede la conoscenza di due condizioni per la (6.62)1 e di
quattro condizioni per la (6.62)2 .
6.3.4
Le condizioni al contorno per l’equazione della linea
elastica
Anticipando un risultato che dedurremo rigorosamente nella prossima sezione,
osserviamo che le condizioni al contorno per le (6.62) sono deducibili dall’annullarsi in C ≡ {0 , L} della forma bilineare:
(N − EAu0 )u − (T + EJv 000 )v + (M + EJv 00 )ϕ) = 0 ;
(6.63)
C
Abbiamo ancora una volta tre possibilitá:
6.3. LE EQUAZIONI DELLA LINEA ELASTICA
99
• La trave é labile: si hanno pertanto k vincoli indipendenti con 0 ≤ k ≤ 2
ed avremo k condizioni sugli spostamenti o rotazioni e 6 − k condizioni
statiche sulle forze o coppie, consistenti con la (6.63) e che verificano la
(6.35). La soluzione é determinata a meno di 3 − k parametri di moto
rigido. Se k = 0 il problema si dice di Trazione, mentre se k 6= 0 si dice
misto. Ad esempio se la trave é libera nello spazio k = 0 e le sei condizioni
al contorno sono date dalle:
T0
N0
, v 000 (0) = −
,
EA
EJ
NL
TL
u0 (L) =
, v 000 (L) = −
,
EA
EJ
u0 (0) =
M0
,
EJ
ML
v 00 (L) = −
,
EJ
v 00 (0) = −
essendo (NL , TL , ML ) determinati dalle (6.35). Queste condizioni, che verificano la (6.63), consentono la determinazione del campo di spostamenti
a meno del moto rigido arbitrario:
u(z) = c ,
v(z) = a + bz .
• La trave é isostatica: si hanno pertanto 3 vincoli indipendenti e 3 condizioni cinematiche condizioni cinematiche sugli spostamenti o rotazioni e 3
condizioni statiche sulle forze o coppie, consistenti con la (6.63). La soluzione é determinata univocamente e si ha un problema misto. Ad esempio
se la trave é incernierata in z = 0 ed appoggiata in z = L, per la (6.63)
le uniche azioni esterne applicate sono NL , M0 , ML e le sei condizioni al
contorno sono date dalle:
u(0) = 0 ,
u0 (L) =
NL
,
EA
v(0) = 0 ,
v(L) = 0 ,
M0
,
EJ
ML
v 00 (L) = −
;
EJ
v 00 (0) = −
é immediato constatare che queste condizioni verificano la (6.63).
• La trave é iperstatica: si hanno pertanto k vincoli indipendenti con 4 ≤
k ≤ 6 ed avremo k condizioni sugli spostamenti o rotazioni e 6 − k condizioni statiche sulle forze o coppie che rispettano la (6.63) e la soluzione
é univocamente determinata. Se k = 6 il problema si dice di posizione,
mentre si dice misto negli altri casi. Ad esempio per una trave incastrata
ad ambedue le estremit´
a si ha:
u(0) = 0 ,
v(0) = 0 ,
v 0 (0) = 0 ,
u(L) = 0 ,
v(L) = 0 ,
v 0 (L) = 0 ,
condizioni che verificano (6.63).
100
6.3.5
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Gli effetti delle variazioni termiche
Supponiamo che una trave piana abbia sezione retta di altezza H e che t2 e t1
siano le temperature sulle due superfici della trave. Supponendo che la temperatura vari linearmente lungo l’altezza della sezione, definiamo la temperatura
media t0 ed il salto di temperatura ∆t:
t0 =
t2 + t1
,
2
∆t = t2 − t1 .
(6.64)
Indicato con α il coefficiente di dilatazione lineare del materiale, le deformazioni associate alle variazioni termiche saranno:
εt = αt0 ,
κt = α
∆t
,
H
(6.65)
per cui le deformazioni totali dovute alle variazioni termiche ed alle caratteristiche di sollecitazione, espresse in termini di spostamento mediante le (6.49),
sono:
∆t M (z)
N (z)
, −v 00 (z) = α
+
.
(6.66)
u0 (z) = αt0 +
EA
H
EJ
Osservazione 15 Esistenza e unicit´
a della soluzione
Le equazioni della linea elastica (6.62) sono un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari. Per il teorema di unicitá ed esistenza della soluzione,
assegnate le opportune condizioni al contorno od iniziali, per ogni sistema di
azioni (p = p(z) , q = q(z)), esiste una unica soluzione (u = u(z) , v = v(z))
definita su (0 , L) sotto l’ipotesi che le funzioni p(z) e q(z) siano Lipschitziane
(ovvero abbiano derivata limitata). Nel caso di sistemi labili, l’assegnazione delle condizioni al contorno non garantisce l’unicitá della soluzione che é definita
a meno di un moto rigido:
u(z) = c ,
6.3.6
v(z) = a + bz ,
a, b, c = costanti .
Travi deformabili a taglio
Se consideriamo lo spostamento trasversale v = v(z) come il grafico di una
funzione, la retta tangente al grafico in un punto z ∈ (0 , L) ha inclinazione ϕ
data dalla:
tan ϕ = −v 0 ;
nell’ipotesi che |v 0 | << 1 si ha pertanto che:
tan ϕ u ϕ = −v 0 .
Se per un punto z ∈ (0 , L) consideriamo una fibra materiale AA0 inizialmente
ortogonale alla linea d’asse della trave indeformata, dopo la deformazione questa
fibra materiale avr´
a subito una rotazione θ cui é associata una curvatura (ovvero la quantit´
a cinematica per la quale il momento flettente M compie lavoro)
6.3. LE EQUAZIONI DELLA LINEA ELASTICA
101
definita come κ = θ0 . Nel ricavare le (6.62) abbiamo implicitamente assunto
che:
θ = ϕ = −v 0 , per cui κ = θ0 = −v 00 ,
ovvero che fibre AA0 inizialmente ortogonali alla linea d’asse, rimangano ortogonali alla linea d’asse dopo la deformazione. Conseguenza di questa assunzione é
che il taglio T non compie lavoro interno e viene determinato tramite l’equazione di equilibrio (6.29)3 e la relazione costitutiva (6.61)2 (come appariva anche
dalla (6.63)):
T = M 0 = −EJv 000 .
(6.67)
Un siffatto modello é detto trave di Kirchhoff o trave indeformabile a taglio in
quanto non esiste una quantit´
a cinematica per la quale il taglio compie lavoro
interno.
Nel caso pi´
u generale la rotazione delle fibre AA0 non coincide con l’angolo
ϕ della tangente alla linea d’asse deformata e si ha:
θ = ϕ + γ = −v 0 + γ ,
(6.68)
0
0
e pertanto l’angolo γ = θ+v misura lo scorrimento delle fibre AA . Se scriviamo
il lavoro virtuale delle azioni esterne, mettendo questa volta in conto anche le
coppie kα = µ abbiamo:
Z L
Lext
pu + qv + µθ ;
(6.69)
0
per le equazioni di equilibrio (6.29)1,2 e la
M0 − T + µ = 0 ,
(6.70)
integrando per parti si arriva alla:
Z L
Lint =
N u0 + T (θ + v 0 ) + M θ0 ,
(6.71)
0
e pertanto otteniamo le tre misure di deformazione, in luogo delle due misure
di deformazione (6.49):
ε = u0 ,
γ = θ + v0 ,
κ = θ0 .
(6.72)
Se ipotizziamo le relazioni costitutive lineari ed isotrope:
N = EAε ,
T = κGAγ ,
(6.73)
M = EJκ ,
dove κGA > 0 é la rigidezza a taglio essendo κ il fattore di taglio di Timoshenko,
dipendente dalla forma della sezione, arriviamo mediante le (6.29)1,2 e la (6.70)
alle equazioni per le travi di Reissner-Timoshenko o travi deformabili a taglio:
EAu00 + p
=
0,
00
=
0,
EJθ + GA(θ + v ) + µ =
0.
0
κGA(θ + v ) + q
00
0
(6.74)
102
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Osservazione 16 Vincoli interni
Le equazioni della linea elastica (6.62) possono facilmente essere ricavate
dalle (6.74) ponendo γ = 0 che infatti implica θ = −v 0 . Dalle (6.73) si ha peró
in tal caso che T = 0, risultato inconsistente con la (6.29)2 e la (6.70). In realtá,
la condizione γ = 0 é un vincolo sulle deformazioni del tipo:
φ(ε , γ , κ) = 0 ,
cui é associata una reazione vincolare λ che non compie lavoro per le deformazioni ammissibili (ε , κ), ovvero:
λ=T;
in tal modo il taglio non viene ad essere determinato da una relazione costitutiva, bens´ı viene determinato mediante le equazioni di equilibrio ottenendo
correttamente la (6.67).
In maniera del tutto analoga, sia dalle (6.62) che dalle (6.74) possiamo
ricavare la teoria delle travi inestensibili, ponendo come vincolo:
φ(ε , γ , κ) = ε = 0 ,
avendo in questo caso la forza normale completamente reattiva e determinabile
mediante la (6.29)1 :
λ = N , λ0 + p = 0 ;
nell’ipotesi che p = 0 si ha che in una trave inestensibile N = costante, dipendente pertanto dal valore dalla forza normale al contorno, ad esempio N0 =
N (0).
Esempio 14 Spostamenti in una trave appoggiata caricata
Consideriamo la trave dell’esempio 13, e proponiamoci di determinare gli
spostamenti (u , v) mediante le (6.62).
Iniziamo con il problema per la linea elastica estensionale: essendo p = 0,
dalla (6.62)1 si ha che:
u(z) = a + bz ,
e le condizioni sono di tipo iniziale in quanto, dai risultati dell’esempio 13 e
dalla condizione di vincolo:
u(0) = 0 ,
N (L) = EAu0 (L) = 0 ⇒ u0 (0) = 0 ;
si ha quindi che
u(z) = 0 ,
z ∈ (0 , L) .
Per quanto riguarda il problema della linea elastica flessione, dalla (6.62)2 si ha
che le soluzioni devono avere una forte regolatitá, ovvero v(z) ∈ C 4 (0 , L): dai
risultati dell’esempio 13 invece abbiamo che il taglio T = −EJv 000 non é continuo e pertanto le soluzioni dell’equazione sono al massimo di classe C 2 (0 , L).
6.3. LE EQUAZIONI DELLA LINEA ELASTICA
103
Per rimuovere il problema scegliamo di scomporre la soluzione in due soluzioni distinte v1 e v2 di classe v(z) ∈ C 4 (0 , L) definite rispettivamente sui due
intervalli:
L
L
I1 ≡ (0 , ) , I2 ≡ ( , L) ,
2
2
e di imporre nel punto C le condizioni di salto cinematiche sulla v e sulla v 0 :
[[v]] = 0 ,
[[v 0 ]] = 0 ,
e quelle statiche sul momento M e sul taglio T :
[[M ]] = 0 ,
[[T ]] = F .
Le condizioni di vincolo in A e B implicano separatamente le condizioni al
contorno per ciascuna delle due soluzioni:
v1 (0) = 0 ,
M1 (0) = 0 ,
v2 (L) = 0 ,
M2 (L) = 0 .
Poiché in I1 e in I2 q = 0, dalla (6.62)2 si ha che le due soluzioni hanno la
rappresentazione:
vα (z) = aα + bα z + cα z 2 + dα z 3 ;
e le condizioni al contorno e di salto, mediante le relazioni costitutive forniscono:
v1 (0) = 0 ,
v100 (0) = 0 ,
v2 (L) = 0 , v200 (L) = 0 ,
L
L
v1 ( ) − v2 ( ) = 0 ,
2
2
0 L
0 L
v1 ( ) − v2 ( ) = 0 ,
2
2
00 L
00 L
v1 ( ) − v2 ( ) = 0 ,
2
2
000 L
000 L
−EJ(v1 ( ) − v2 ( )) = −F .
2
2
Determinando le otto costanti di integrazione mediante queste condizioni si
arriva alla soluzione, espressa in termini della variabile adimensionale ζ = z/L:

3

vmax (3ζ − 4ζ ) , 0 ≤ ζ ≤ 0.5 ,
v(z) =


vmax (−1 + 9ζ − 12ζ 2 + 4ζ 3 ) , 0.5 ≤ ζ ≤ 1 ,
dove l’abbassamento massimo é dato dalla:
L
L
F L3
vmax = v1 ( ) = v2 ( ) =
.
2
2
48EJ
104
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
ζ=0
ζ = 0.5
v1 (ζ)
ζ=1
v2 (ζ)
Fig. 6.9 -Grafico dello spostamento v(ζ)
6.4
Materiali conservativi
Consideriamo il lavoro infinitesimo dL compiuto per portare le caratteristiche
(N , M ) e le deformazioni (ε , κ) alle caratteristiche (N + dN , M + dM ) ed alle
deformazioni (ε+dε , κ+dκ); a meno di infinitesimi di ordine superiore abbiamo:
dL =
(N + dN )(ε + dε) + (M + dM )(κ + dκ) − (N ε + M κ) (6.75)
= N dε + M dκ + ε dN + κ dM .
In questa espressione i primi due termini rappresentano il lavoro compiuto
dalle variazioni di deformazione per caratteristiche costanti, mentre gli ultimi due rappresentano il lavoro compiuto dalle variazioni di caratteristiche a
deformazioni costanti. Consideriamo il lavoro associato ai primi due termini:
dL1 = N dε + M dκ ;
(6.76)
nel piano delle deformazioni (ε , κ) consideriamo una regione A di deformazioni
ammissibili e consideriamo una storia di deformazione, ovvero una curva γ ⊂ A
che collega la deformazione (ε0 , κ0 ) alla deformazione (ε1 , κ1 ). Il lavoro speso
lungo la storia di deformazione γ sará dato dalla:
Z
L1γ =
N dε + M dκ .
(6.77)
γ
Un materiale si dice conservativo (una trave si dice conservativa) se é verificata una delle tre condizioni equivalenti:
• Esiste una funzione ϕ = ϕ(ε , κ) ∈ C 1 (A), detta densit´
a di energia potenziale elastica tale che, ∀γ ⊂ A:
L1γ = ϕ(ε1 , κ1 ) − ϕ(ε0 , κ0 ) ;
• Il lavoro compiuto su ogni curva chiusa γ ⊂ A é nullo:
I
N dε + M dκ = 0 ;
(6.78)
(6.79)
γ
• il lavoro dL1 é un differenziale esatto:
N (ε , κ) =
∂ϕ
(ε , κ) ,
∂ε
M (ε , κ) =
∂ϕ
(ε , κ) .
∂κ
(6.80)
6.4. MATERIALI CONSERVATIVI
105
Le tre condizioni (6.78), (6.79) e (6.80) sono delle condizioni necessarie. Se
ϕ ∈ C2 (A) ed il dominio A é semplicemente connesso, abbiamo la condizione
sufficiente di conservativit´
a:
• Se ϕ ∈ C2 (A) ed A é semplicemente connesso allora:
∂M
∂N
=
,
∂κ
∂ε
(6.81)
é condizione sufficiente perché il materiale sia conservativo (la trave sia
conservativa).
Osserviamo che la condizione sufficiente (6.81) implica che per un materiale
descritto mediante le (6.53) la matrice delle rigidezze [K] sia simmetrica:
K12 = K21 ,
e che tale condizione é banalmente verificate dalle relazioni (6.60) per travi
isotrope.
La conservativit´
a implica quindi l’esistenza di una densitá di energia potenziale elastica tale che
∂ϕ
∂ϕ
= EAε ,
= EKκ ,
(6.82)
∂ε
∂κ
e che pu´
o essere determinata valutando la (6.78) lungo una curva di Jordan tra
(ε0 , κ0 ) e uno stato di deformazione generico (ε , κ):
Z
(ε ,κ0 )
ϕ(ε , κ) − ϕ(ε0 , κ0 ) =
Z
(ε ,κ)
EAεdε +
(ε0 ,κ0 )
EJκdκ ,
(6.83)
(ε ,κ0 )
da cui, a meno di una costante, l’espressione della densitá di energia potenziale
elastica:
1
1
ϕ(ε , κ) = EAε2 + EJκ2 > 0 ,
(6.84)
2
2
positiva per effetto delle restrizioni a priori EA > 0 ed EJ > 0.
Osservazione 17 Travi Anisotrope
In una trave anisotropa la densitá di energia potenziale elastica ha espressione:
1
ϕ(ε , κ) = (K11 ε2 + K22 κ2 + 2K12 εκ) > 0 ,
2
positiva per effetto della definita positivitá di [K].
6.4.1
L’energia potenziale elastica: il principio di minimo
Definiamo Energia potenziale elastica di una trave:
Φ(u , v) =
1
2
Z
0
L
(EA(u0 )2 + EJ(v 00 )2 )dz ,
(6.85)
106
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
dove si é espressa la (6.84) mediante le equazioni di congruenza (6.49).
Consideriamo inoltre un sistema di azioni esterne conservative (p , q) e supponiamo che su una parte C1 della frontiera C = {0 , L} siano assegnate delle
azioni esterne (N , T , M ) anch’esse conservative. Possiamo quindi definire una
Energia potenziale dei carichi:
Z L
Π(u , v) =
(pu + qv)dz + (N u + T v − M v 0 ) .
(6.86)
C1
0
Si definisce l’Energia potenziale totale la differenza U(u , v) = Φ(u , v) −
Π(u , v):
U(u , v)
1
2
Z
L
(EA(u0 )2 + EJ(v 00 )2 )dz −
0
+ (N u + T v + M ϕ) ;
=
Z
L
(pu + qv)dz
(6.87)
0
C1
l’energia potenziale totale é un Funzionale che ad ogni coppia di funzioni (z 7→
u(z) , z 7→ v(z)) associa, mediante la (6.87) un numero reale:
F 3 (u , v) 7−→ U(u , v) ∈ R ,
dove F é un’opportuno spazio di funzioni.
Principio 4 Minimo dell’Energia Potenziale Totale
La soluzione (u , v) del problema (6.62) con assegnate condizioni al contorno, rende minima l’energia potenziale totale (6.87) tra tutti gli spostamenti
(u , v) ∈ Fv , essendo Fv uno spazio di funzioni di spostamento cinematicamente
ammissibili (≡ sufficientemente regolari e compatibili con i vincoli).
Supponiamo (u , v) il minimo del funzionale e consideriamo una perturbazione
(u + u0 , v + v0 ) con un piccolo parametro e (u0 , v0 ) ∈ Fv . Definiamo la
variazione prima del funzionale nella direzione della perturbazione (u0 , v0 ):
δU[u0 , v0 ] = lim
→0
Φ(u + u0 , v + v0 ) − Φ(u , v)
;
(6.88)
la condizione di minimo del funzionale é:
δU[u0 , v0 ] = 0 ,
∀(u0 , v0 ) ∈ Fv .
Poiché, dalla (6.88), passando al limite si ha:
Z
δU[u0 , v0 ] =
0
L
(EAu0 u00 + EJv 00 v000 − pu0 − qv0 )dz − (N u0 + T v0 − M v00 )
e poiché integrando per parti si ha:
EAu0 u00 = (EAu0 u0 )0 − EAu00 u0 ,
C1
,
6.4. MATERIALI CONSERVATIVI
107
ed
EJv 00 v000 = (EJv 00 v00 ) − EJv 000 v00 = (EJv 00 v00 − EJv 000 v0 ) + EJv 0000 v0 ,
si arriva alla
Z
δU[u0 , v0 ]
= −
L
((EAu00 + p)u0 (−EJv 000 + q)v0 )dz
0
− (N − EAu0 )u0 − (T + EJv 000 )v0 − (M + EJv 00 )v00 )
C1
= 0.
Localizzando questa espressione e imponendone l’annullamento ∀(u0 , v0 ) ∈ Fv
si ottengono le equazioni della linea elastica (6.62) e le condizioni al contorno
statiche o naturali:
N − EAu0 = 0 ,
T + EJv 000 = 0 ,
M + EJv 00 = 0 ,
in C1 .
(6.89)
6.4.2
L’energia complementare: il principio di massimo
Consideriamo adesso il lavoro compiuto dalle variazioni di caratteristiche di
sollecitazione a deformazioni costanti:
dL2 = ε dN + κ dM ;
(6.90)
nell’ipotesi di materiale conservativo, possiamo ripetere quanto fatto nella sezione precedente e postulare l’esistenza di una funzione ψ(N , M ), detta densit´
a
di energia complementare, tale che:
ε=
∂ψ
(N , M ) ,
∂N
κ=
∂ψ
(N , M ) .
∂M
(6.91)
Se assumiamo la trave isotropa, le relazioni costitutive (6.60) possono essere
invertite ottenendo:
ε(N , M ) =
N
,
EA
κ(N , M ) =
M
,
EJ
(6.92)
e possiamo in piena analogia con quanto fatto per la densitá di energia potenziale
elastica arrivare ad una espressione esplicita della ψ(N , M ):
ψ(N , M ) =
M2
1 N2
(
+
) > 0.
2 EA
EJ
Se definiamo l’Energia Complementare:
Z
1 L N2
M2
Ψ(N , M ) =
(
+
)dz ,
2 0 EA
EJ
(6.93)
(6.94)
osserviamo che:
Lint = Φ(u , v) + Ψ(N , M ) ;
(6.95)
108
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
se inoltre denotiamo con C2 la porzione della frontiera C ≡ {0 , L} sulla quale
sono assegnati gli spostamenti (u , v , ϕ), abbiamo che:
L
(N u + T v + M ϕ) = (N u + T v − M v 0 )
0
C1
+ (N u + M 0 v + M ϕ)
C2
. (6.96)
Ne consegue che se introduciamo il funzionale Energia Complementare, definito come:
Z
1 L N2
M2
Λ(N , M ) =
(
(6.97)
+
)dz − (N u + M 0 v + M ϕ) ,
2 0 EA
EJ
C2
si ha che, dall’espressione (6.51) del lavoro virtuale Lint − Lext = 0:
U(u , v) + Λ(N , M ) = 0 .
(6.98)
Pertanto, la condizione di minimo dell’Energia Potenziale Totale equivale
alla condizione di massimo dell’Energia Complementare (o equivalentemente di
minimo di −Λ(N , M )). Enunciamo quindi:
Principio 5 Massimo dell’Energia Complementare
La soluzione (N , M ) del problema (6.62) con assegnate condizioni al contorno, rende massima l’energia complementare (6.97) tra tutte la caratteristiche si sollecitazione (N , M ) ∈ Fe , essendo Fe uno spazio di caratteristiche
staticamente ammissibili (≡ che verificano le equazioni di bilancio (6.32)).
Supponiamo (N , M ) il minimo del funzionale e consideriamo una perturbazione
¯ , v + M
¯ ) con un piccolo parametro e (N
¯ ,M
¯ ) ∈ Fe . Definiamo la
(N + N
¯ ,M
¯ ):
variazione prima del funzionale nella direzione della perturbazione (N
¯
¯
¯ ,M
¯ ] = lim Λ(N + N , v + M ) − Λ(N , M ) .
δΛ[N
→0
(6.99)
Procedendo come nel caso precedente si arriva alla condizione di minimo del
funzionale:
Z L
¯ MM
¯
NN
¯ ,M
¯] =
¯ u+ M
¯ 0v + M
¯ ϕ) = 0 , ∀(N
¯ ,M
¯ ) ∈ Fe .
δΛ[N
(
+
)dz −(N
EA
EJ
C2
0
6.5
Le equazioni di M¨
uller-Breslau
Consideriamo un sistema di travi iperstatico S e siano (N , T = M 0 , M ) le caratteristiche di sollecitazione soluzione del problema (6.62) per S. La condizione
di estremo dell’energia complementare prescrive che:
Z
¯
¯
NN
MM
¯u + M
¯ 0v + M
¯ ϕ) = 0 ,
(
+
)dz − (N
(6.100)
EJ
C2
S EA
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
109
¯ ,M
¯ ). D’altro canto, in
per ogni assegnazione di caratteristiche equilibrate (N
una struttura k volte iperstatica possiamo determinare ∞k caratteristiche di
sollecitazione equilibrate.
Immaginiamo allora di rendere isostatica la struttura S rimuovendo k vincoli interni od esterni. In tal modo avremo ottenuto una struttura sulla quale
la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione é univoca, detta Sistema
Principale. Per ripristinare la statica della struttura, immaginiamo di applicare
in corrispondenza dei vincoli rimossi, le caratteristiche di sollecitazione o le reazioni vincolari incognite che attraverso questi vincoli si esercitavano. Definiamo
Incognite Iperstatiche Xj , j = 1, 2 . . . k tali caratteristiche o reazioni.
In questo modo il sistema principale viene ad essere caricato dai carichi esterni che agivano sulla struttura S e dalle incognite iperstatiche. Denotiamo con
(N0 , T0 , M0 ) le caratteristiche di sollecitazione dovute alle azioni esterne sul
sistema principale isostatico. Denotiamo inoltre con (Nj , Tj , Mj ) le caratteristiche di sollecitazione sul sistema principale isostatico causate dalla incognita
iperstatica Xj = 1.
Ne consegue che, per la linearit´
a delle equazioni di bilancio, le caratteristiche
di sollecitazione (N , T , M ) possono essere rappresentate come:
N = N0 + Xj Nj ,
T = T0 + Xj Tj ,
M = M0 + Xj Mj ,
(6.101)
e che tra tutte le ∞k collezioni di incognite iperstatiche (X1 , X2 , . . . Xk ), ne
esister´
a una che fornisce la soluzione del problema (6.62) per S. Per determinare la collezione di incognite iperstatiche soluzione, assumiamo nella condizione
¯ = Nj e M
¯ = Mj , j = 1, 2, . . . k, ottenendo dalla
(6.100) di volta in volta N
(6.100) k equazioni algebriche lineari nelle incognite (X1 , X2 , . . . Xk ).
Si ha quindi:
Z
(M0 + Xi Mi )Mj
(N0 + Xi Ni )Nj
+
)dz
(6.102)
(
EA
EJ
S
− (Nj + Mj0 v + Mj ϕ) = 0 , j = 1, 2, . . . k ,
C2
da cui ponendo
Z
ηj0 =
(
S
N0 Nj
M0 Mj
+
)dz ;
EA
EJ
(6.103)
Z
ηij =
ηjc
Ni Nj
Mi Mj
+
)dz = ηji ;
EJ
S EA
= (Nj u + Mj0 v + Mj ϕ) ,
(
C2
(6.104)
(6.105)
arriviamo alle equazioni di M¨
uller-Breslau:
ηj0 + ηji Xi − ηjc = 0 ,
j = 1, 2, . . . k .
(6.106)
Ciascuno dei termini appena definiti ha un preciso significato meccanico. Il
primo termine ηj0 rappresenta, per le (6.92), il lavoro compiuto dalle caratteristiche associate ai carichi esterni per le deformazioni associate all’incognita
110
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
iperstatica Xj = 1 o viceversa il lavoro compiuto dalle caratteristiche associate
a Xj = 1 per le deformazioni associate ai carichi esterni:
Z
Z
ηj0 = (N0 εj + M0 κj )dz = (Nj ε0 + Mj κ0 )dz ;
(6.107)
S
S
il termine ηjc rappresenta il lavoro compiuto dalle caratteristiche associate a
Xj = 1 per gli spostamenti impressi alla struttura, ad esempio per il moto
delle sezioni vincolate. I due termini nel loro complesso rappresentano le azioni
esterne che agiscono sulla struttura.
I termini ηij detti coefficienti di influenza rappresentano il lavoro compiuto dalle caratteristiche associate all’incognita iperstatica Xi = 1 per le
deformazioni associate all’incognita iperstatica Xj = 1 e viceversa:
Z
Z
ηij = (Ni εj + Mi κj )dz = (Nj εi + Mj κi )dz .
(6.108)
S
S
Introducendo una matrice delle cedevolezze della struttura S, [C ] ≡ [ηij ],
i, j = 1, 2, . . . k, un vettore delle azioni esterne [d ] = [ηcj − η0j ], j = 1, 2, . . . k ed
un vettore delle incognite iperstatiche [x ] = [Xj ], j = 1, 2, . . . k, le equazioni di
M¨
uller-Breslau possono essere poste in forma matriciale:
[C ][x ] = [d ] ;
(6.109)
il sistema ammette unica soluzione se det[C ] 6= 0. A tale proposito basta osservare che gli elementi sulla diagonale principale sono strettamente positivi, rappresentando il lavoro delle caratteristiche per le deformazioni da esse generate,
ad esempio:
Z
M2
N2
(6.110)
η11 = ( 1 + 1 )dz > 0 .
EJ
S EA
Ne consegue che la matrice simmetrica [C ] avendo autovalori positivi sará invertibile. Detta [K ] = [C ]−1 la matrice delle rigidezze della struttura S avremo
quindi:
[x ] = [K ][d ] ,
(6.111)
soluzione del problema iperstatico.
Calcolo di spostamenti e rotazioni
La condizione di estremo (6.100) puó essere anche usata per determinare spostamenti e rotazioni di punti della struttura S. Se infatti applichiamo una azione
(forza, coppia) unitaria, in un punto della struttura, questa compierá lavoro per
lo (spostamento, rotazione) effettivo del punto. Tale lavoro appare nel termine sul bordo C2 dove identifichiamo lo (spostamento, rotazione) da determinare
¯ ,M
¯ ) sarancon uno (spostamento, rotazione) assegnato. Le caratteristiche (N
no quelle indotte sul sistema principale dalla (forza, coppia) unitaria, mentre
le (N , M ) sono le caratteristiche soluzione, ottenute ad esempio mediante le
soluzione delle equazioni di M¨
uller-Breslau.
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
111
Se ad esempio vogliamo determinare la rotazione ϕC di un punto C ∈ S,
applicando un momento unitario si ha dalla (6.100):
Z
¯
¯
NN
MM
1 · ϕC = (
+
)dz ,
(6.112)
EJ
S EA
¯ ,M
¯ ) associate mediante il sistema principale alla coppia unitaria in C.
con (N
Strutture 1-volta iperstatiche
In questo caso abbiamo solo 1 incognita iperstatica X e le equazioni di M¨
ullerBreslau si riducono ad un’unica equazione algebrica:
η10 + η11 X − ηc1 = 0 ,
con η11 > 0 fornito dalla (6.110) e:
Z
M0 M1
N0 N1
+
)dz ,
η10 = (
EA
EJ
S
(6.113)
η1c = (N1 u + T1 v + M1 ϕ)
C2
,
da cui l’incognita iperstatica:
X=
η1c − η10
,
η11
(6.114)
e le caratteristiche soluzione
N = N0 + XN1 ,
T = T0 + XT1 ,
M = M0 + XM1 ,
con X data dalla (6.114).
Cedimenti Vincolari
Il termine ηic tiene conto del lavoro compiuto dagli spostamenti assegnati e
pertanto consente di valutare gli effetti dei cedimenti vincolari, sia anelastici,
ovvero indipendenti dai carichi, sia elastici, ovvero proporzionali ai carichi applicati. Nel caso di cedimenti anelastici, detti δu , δv e δφ i valori costanti dei
cedimenti, abbiamo:
ηjc = (Nj δu + Tj δv + Mj δφ ) .
(6.115)
C2
Nel caso di cedimenti elastici, la relazione costitutiva tra le azioni e gli
spostamenti é lineare:
N = −ku u , ku > 0 , T = −kv v , kv > 0 ,
M = −kφ ϕ , kφ > 0 ,
(6.116)
e pertanto:
ηjc = (−
1
1
1
Nj N − Tj T −
Mj M ) ,
ku
kv
kφ
C2
(6.117)
e per le (6.101) quindi, si ha:
ηjc = −(
Nj N0
Tj T0
Mj M0
Nj Nk
Tj Tk
Mj Mk +
+
) − Xk (
+
+
) . (6.118)
ku
kv
kφ
ku
kv
kφ
C2
112
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Variazioni termiche
In presenza di variazioni termiche abbiamo visto che le caratteristiche di deformazione sono date dalle (6.65) e pertanto, sulla porzione di struttura S ? soggetta
a variazioni termiche, il lavoro delle deformazioni termiche per le caratteristiche
¯ ,M
¯ ) diviene:
equilibrate (N
Z
¯ + κt M
¯ )dz ,
(εt N
(6.119)
S?
e pertanto le equazioni di M¨
uller-Breslau divengono
ηj0 + ηjt + ηji Xi − ηjc = 0 ,
j = 1, 2, . . . k .
(6.120)
con il termine ηjt dato dalla:
Z
ηjt =
(αt0 Nj + α
S?
∆t
Mj )dz .
H
(6.121)
Osservazione 18 Il teorema di Betti per le travature:
Nella condizione di simmetria dei coefficienti di influenza (6.108) é immediato
riconoscere l’estensione ai sistemi di travi del Teorema di Betti.
Osservazione 19 Il teorema di Castigliano:
Se applichiamo una forza (coppia) concentrata F in un punto della struttura
S, in assenza di spostamenti assegnati sulla porzione di frontiera C2 , nella condizione di minimo (6.100) il termine su C2 contiene solamente il lavoro che tale
forza (coppia) compie per lo spostamento (rotazione) effettivo w del punto. Se
¯ ,M
¯ ) semplicemente equilibrate
eguagliamo le caratteristiche di sollecitazione (N
¯ = N (F ) e
con il carico F con quelle effettive dovute alla azione F , ovvero N
¯ = M (F ), la condizione (6.100) diviene:
M
F w = Ψ(N (F ) , M (F )) ;
ne consegue che:
d
Ψ(N (F ) , M (F )) ,
dF
risultato questo conosciuto come Teorema di Castigliano.
w=
(6.122)
Esempio 15 Telaio una volta iperstatico
Consideriamo la struttura intelaiata S rappresentata in figura, detta arco
a 2 cerniere ed assumiamo che la rigidezza estensionale EA e quella flessionale
EJ siano costanti su tutta S. Per questa struttura procederemo nell’ordine a:
1. Determinare il grado di iperstaticitá;
2. Scegliere una ( o pi´
u) incognita iperstatica e determinare le caratteristiche
di sollecitazione sull’associato sistema principale isostatico;
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
113
3. Calcolare l’incognita iperstatica e determinare le caratteristiche di sollecitazione;
4. Calcolare lo spostamento di sezioni significative.
F
F
-B
C
?
D
l
cA
cE
l
2
l
2
Fig. 6.10 - Arco a due cerniere
1. Determinazione del grado di iperstaticit´
a
La struttura é un solo corpo rigido, quindi n = 1 ed é vincolata con due vincoli
doppi, le cerniere in A ed E, per cui m = 4. Pertanto m > 3n ed il grado di
iperstaticit´
a é m−3n = 1. Per determinare se i vincoli sono indipendenti, rimuoviamo i vincoli, sostituiamoli con le reazioni vincolari incognite e verifichiamo
se la matrice [A] delle equazioni di equilibrio ha rango massimo r = 3.
114
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
F
F
-
?
l
XA
XE
-
YA
6
l
2
6
YE
l
2
Le equazioni di equilibrio sono (l’equilibrio dei momenti é fatto rispetto ad
A):
XA + XE + F
=
0
YA + YE − F
l
YE l − F − F l
2
=
0
=
0;
(6.123)
la matrice [A] associata é:

1
[A] ≡  0
0
1
0
0
0
1
0

0
1 ,
l
che ha rango massimo r = 3. I vincoli sono indipendenti ed il sistema é una
volta iperstatico.
2. Incognita iperstatica, sistema principale e caratteristiche 0 ed 1
Scegliamo come incognita iperstatica il momento nella sezione B: il sistema principale isostatico si ottiene quindi dalla struttura iniziale ponendo una cerniera
in B. Per verificare che il sistema sia effettivamente isostatico e non vi siano
vincoli dipendenti a seguito del posizionamento della cerniera in B, risolveremo
direttamente le equazioni di equilibrio. Se infatti i vincoli sono indipendenti
avremo una unica soluzione delle equazioni di equilbrio: viceversa se il sistema
é labile le equazioni non saranno risolvibili.
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
F
X - cB ?
115
F
C
?
D
6
X l
cA
cE
l
2
l
2
Sistema principale caricato con l’incognita iperstatica X e le azioni esterne
2.i Sistema 0
Il sistema 00 000 é il sistema principale caricato dalle sole azioni esterne con X = 0.
Alle tre equazioni di equilibrio (6.123) aggiungiamo l’equazione che esprime
l’equilibrio alla rotazione rispetto alla cerniera in B di tutte le azioni agenti
sull’asta AB:
XA + XE + F
=
0
YA + YE − F
l
YE l − F − F l
2
XA l
=
0
=
0
=
0;
(6.124)
(6.125)
116
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
F
F
- cB
F
C
?
D
F
-c
?
l
XA
-A
6
YA
XE
l
2
l
2
-E
6
YE
F
F
2
6
?
3F
2
Sistema 0 caricato dalle azioni esterne
le equazioni (6.124) hanno soluzione:
XA = 0 ,
XE = −F ,
1
YA = − F ,
2
YE =
3
F.
2
Preliminarmente al tracciamento dei diagrammi osserviamo che p = 0 e
q = 0 e di conseguenza la forza normale ed il taglio saranno costanti a tratti; il
diagramma del taglio ha una discontinuitá in C per effetto del carico applicato
F . Inoltre il momento flettente si annulla in A, E e nella cerniera B: pertanto
per tracciare il diagramma sará sufficiente valutarlo nelle sezioni C e D.
La forza normale sull’asta AB vale F/2, sull’asta ED vale −3F/2 e sull’asta
BD vale infine −F ; il taglio é nullo sull’asta AB e vale −F/2 sul tratto AC.
Sull’asta ED vale F e sul tratto CD vale −3F/2.
Per quanto riguarda il momento flettente questo é nullo sull’asta AB. Sull’asta ED varia linearmente da 0 al valore F l nella sezione D e poiché la reazione
orizzontale in E tende a ruotare intorno a D in senso orario, il momento tende
le fibre a destra. Per l’equilibrio al nodo il momento nella sezione D dell’asta
CD tende le fibre superiori. Infine sul tratto BC il momento va dal valore 0 in
B al valore F l/4 in C e tende le fibre superiori in quanto la reazione vincolare
in A tende a routare intorno a C in senso antiorario.
I diagrammi delle caratteristiche N0 , T0 ed M0 sono quindi:
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
F
117
F
2
−
−
−
+
F
2
N0
3F
2
+
3F
2
T0
F
Fl
Fl
4
Fl
M0
2.ii Sistema 1
Il sistema 00 100 é il sistema principale caricato dalla sola incognita iperstatica X =
1 con azioni esterne nulle. Le equazioni di equilibrio in questo caso divengono:
XA + XE
=
0
YA + YE
=
0
YE l
=
0
XA l + 1
=
0;
(6.126)
(6.127)
118
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
1
cB ?
C
1
c ?
D
6
1 6
1 l
XA
-A
6
YA
XE
l
2
l
2
-E
6
YE
1
l
1
l
Sistema 1 caricato dall’incognita iperstatica X = 1
che hanno soluzione:
1
XA = − ,
l
XE =
1
,
l
YA = 0 ,
YE = 0 .
Anche in questo caso p = 0 e q = 0 e di conseguenza la forza normale ed il
taglio saranno costanti a tratti. Inoltre il momento flettente si annulla in A, E
e vale 1 nella cerniera B: pertanto per tracciare il diagramma sará sufficiente
valutarlo nella sezione D.
La forza normale sulle aste AB ed ED é nulla mentre sull’asta BD vale 1/l;
il taglio é nullo sull’asta BD, vale 1/l sull’asta AB e −1/l sull’asta DE; per
quanto riguarda il momento flettente sull’asta AB questi va dal valore 0 in A
al valore 1 in b, con le fibre a destra tese; sul tratto BD, essendo il taglio nullo,
il momento é costante, con valore unitario e tende le fibre inferiori. Sull’asta
ED il momento va dal valore 0 in E al valore 1 in D e per l’equilibrio del nodo
tende le fibre a sinistra.
Abbiamo quindi i diagrammi delle caratteristiche N1 , T1 ed M1 :
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
1
l
119
+
−
+
1
l
N1
1
1
1
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
M1
T1
1
l
3. Calcolo dell’iperstatica e determinazione delle caratteristiche soluzione
L’equazione di M¨
uller-Breslau per la struttura S é
η10 + Xη11 = 0 ,
e per calcolare i termini
Z
N0 N1
M0 M1
η10 =
+
,
EA
EJ
caS
Z
η11 =
S
N12
M2
+ 1 ,
EA
EJ
120
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
riportiamo le caratteristiche N0 , N1 , M0 ed M1 in forma tabulare, allo scopo di
agevolare l’uso delle tabelle dell’Appendice C.
Tabella 6.1: calcolo di η10 ed η11
Asta
L
N0
N1
M0
AB
l
F/2
0
0
BC
l/2
−F
1/l
CD
l/2
−F
1/l
DE
l
F
0
Asta
AB
BC
CD
DE
totale
R
L
l
l/2
l/2
l
N0 N1
0
−F/2
−F/2
0
-F
!
!! 1
!!
!
!! F4l
!!
1
Fl
1
Fl
4
Fl
M1
aa
aa
a
R
M0 M1
0
−(F l/4)(1)(l/2)(1/2)
−5F l2 /16
−(F l)(1)l(1/3)
−17F l2 /24
!
1 !!!!
N12
0
1/2l
1/2l
0
1/l
R
M12
(1) l(1/3)
(1)2 l(1/2)
(1)2 l(1/2)
(1)2 l(1/3)
5l/3
R
2
Dai risultati del calcolo abbiamo
17F l2
17F l2
24 J
F
−
=−
(1 + γ0 ) , γ0 =
;
EA
24EJ
24EJ
17 Al2
1
5l
5l
3 J
+
=
(1 + γ1 ) , γ1 =
;
lEA 3EJ
3EJ
5 Al2
η10
= −
η11
=
Se consideriamo un profilato commerciale, ad esempio un IPE300, dalle
tabelle dell’Appendice B abbiamo:
A = 53, 8 cm2 ,
J = 8356 cm4 ,
e per una lunghezza l = 4, 00 m, abbiamo:
γ0 = 1, 3 · 10−3 ,
γ1 = 5 · 10−4 .
Per strutture prevalentemente inflesse quindi, il contributo all’incognita iperstatica del lavoro della forza normale é trascurabile: assumeremo pertanto d’ora
in poi nelle strutture inflesse:
Z
Z
M0 M1
M12
η10 =
, η11 =
.
EJ
S
S EJ
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
121
Abbiamo quindi il valore dell’incognita iperstatica:
X=−
η10
17F l2 3EJ
17
=
=
Fl ,
η11
24EJ 5l
40
ed i diagrammi delle caratteristiche sono dati dalle
N = N0 +
17
F l N1 ,
40
T = T0 +
17
F l T1 ,
40
M = M0 +
17
F l M1 :
40
F
2
−
23
40 F
−
−
+
F
2
+
3F
2
N
17
40 F l
17
40 F l
+
17
40 F
"
""
"
""
7
40 F l
M
3F
2
T
23
40 F l
Fig. 6.11 - Diagrammi N , T ed M
23
40 F l
23
40 F
122
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Avendo assunto l = 4, 00 m, se assumiamo F = 10 KN, le sezioni pi´
u
sollecitate sono la sezione D dell’asta BD con:
N = 5, 7 KN, ,
T = 15 KN ,
M = 23 KNm, ;
T = 5, 75 KN ,
M = 23 KNm .
e la sezione D dell’asta DE con:
N = 15 KN ,
3. Il calcolo degli spostamenti
Supponiamo di volere determinare, per la struttura S appena risolta, lo spostamento orizzontale del punto B. Se applichiamo una azione orizzontale unitaria
F = 1 per la (6.112) si ha:
Z ¯
MM
,
1 · vB =
S EJ
¯ é in equilibrio sul sistema principale con la forza F = 1 ed
dove il momento M
M é la soluzione. Risolvendo la struttura isostatica si arriva al diagramma di
¯:
M
l
-
1
¯
M
l
da cui, ripetendo la procedura utilizzata per il calcolo dei termini η10 ed η11 si
arriva alla:
7 F l3
vB =
,
24 EJ
il segno positivo indicando che lo spostamento é concorde con la forza unitaria.
Per un profilato IPE300 ed l = 4, 00 m, scelto un acciaio da carpenteria
Fe510 con E = 2, 1 · 105 N/mm2 , per il carico esterno F = 10 KN abbiamo,
riportando tutte le lunghezze in millimetri e tutte le forze in Newton:
vB =
7 10 · 103 · (4 · 103 )3
= 0, 66 mm ,
24 2, 1 · 105 · 8356 · 104
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
123
nella direzione del carico unitario.
Esempio 16 Cedimenti vincolari anelastici
Supponiamo che sull’arco a due cerniere dell’esempio precedente non siano
applicate azioni esterne ma si abbia invece un cedimento orizzontale δ della
sezione E verso destra. In tal caso
Xη11 = η1C ,
η10 = 0 ,
η1C = T1 (E)δ =
δ
,
l
il segno positivo dovuto al fatto che la reazione in E ed il cedimento sono
concordi. Si ha quindi, con i dati dell’esempio precedente che
X=
η1C
3EJ
δ,
=
η11
5l2
e le caratteristiche di sollecitazione sono date dalle N = XN1 , T = XT1 e
M = XM1 .
Se ipotizziamo un cedimento δ = 30 mm abbiamo che il valore del momento
massimo in corrispondenza della sezione D é:
M=
3EJ
3 · 2, 1 · 105 · 8356 · 104
δ
=
· 1 = 19741050 Nmm = 19, 74 KNm ,
5l2
5 · (103 )2
valore confrontabile con quelli indotti dal carico esterno F = 10 KN.
Esempio 17 Cedimenti vincolari elastici
Supponiamo invece che nella sezione A vi sia un vincolo elastico del tipo:
T (A) = −kv(A) ,
k > 0;
in questo caso il termine η1C diviene:
η1C
1
1
T1 (A)v(A) = − T1 (A)T (A) = − T1 (A)(T0 (A) + XT1 (A))
k
k
1
2
= − (T0 (A)T1 (A) + XT1 (A)) ,
k
=
ovvero, con i dati dell’esempio T0 (A) = 0 e T1 (A) = 1/l:
η1C = −
1
X,
kl2
da cui:
η10 + X(η11 +
1
) = 0.
kl2
124
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
F
B
D
F
cA
cE
-B
k
δ
-
C
?
A
c c
Fig. 6.12 - Cedimenti anelastici ed elastici
Scrivendo il denominatore come:
η11 +
1
= η11 (1 + ξ 2 ) ,
kl2
ξ2 =
1
,
η11 kl2
detta X l’incognita iperstatica del telaio senza vincolo elastico ed Xk quella con
il vincolo elastico si ha:
X
Xk =
<X;
1 + ξ2
é quindi interessante notare che la presenza di un cedimento elastico permette alla struttura una maggiore deformabilitá e riduce le sollecitazioni sulla
struttura.
Se assumiamo una rigidezza k = 8 KN/mm, abbiamo, con i dati precedenti
che il termine adimensionale ξ 2 é
ξ2 =
3EJ
3 · 2, 1 · 105 · 8356 · 104
=
= 0, 10 ,
3
5kl
20 · 103 (4 · 103 )3
e l’incognita iperstatica Xk si riduce al 90% di quella che si aveva senza cedimenti.
Esempio 18 Variazioni termiche
Supponiamo infine la struttura non sia sollecitata da azioni esterne e che il
tratto BD sia soggetto ad una distibuzione di temperatura t2 sul lembo superiore
e t1 su quello inferiore con t2 > t1 > 0. In tal caso si ha una temperatura media
t0 > 0 ed una variazione lineare di temperatura ∆t che tende le fibre superiori.
Abbiamo in questo caso:
Z l
∆t
l
η1t + Xη11 = 0 , η10 = 0 , η1t =
αt0 N1 + α M1 = α(t0 − ∆t ) .
H
H
0
D
cE
¨
6.5. LE EQUAZIONI DI MULLER-BRESLAU
125
t2 > t1
B
t1 > 0
cA
D
cE
Fig. 6. 13 - Variazioni termiche
Se a titolo di esempio assumiamo t2 = 50◦ C e t1 = 20◦ C, abbiamo t0 =
35 C e ∆t = 30◦ C. Poiché il coefficiente di dilatazione termica per l’acciaio é
α = 1, 2 · 10−5 (◦ C)−1 , ed essendo H = 300 mm per un profilato IPE300, si ha
(trascurando il contributo della forza normale N1 ) il termine adimensionale
◦
Z
η1t =
l
α
0
∆t
∆t
30
M1 = −α l = −1, 2 · 10−5
4 · 103 = −0, 48 · 10−2
H
H
300
ed il momento massimo nella sezione D diviene,
M=
X
3EJ
3 · 2, 1 · 105 · 8356 · 104
= η1t
= −0, 48 · 10−2
= −12, 63 KNm ,
l
5l
5 · 4 · 103
tende le fibre opposte a quelle indicate nel diagramma di M1 ed ha il medesimo
ordine di grandezza del momento indotto dai carichi esterni.
126
CAPITOLO 6. TRAVI I: LA TEORIA TECNICA
Capitolo 7
Travi II: il problema di
Saint Venant
7.1
Generalit´
a ed ipotesi
La determinazione dello stato di tensione e deformazione in un corpo a forma di
trave avente sezione retta generica é un problema che ha interessato gli scienziati
a partire dal Rinascimento. Dai primi contributi di Galileo, passando per quelli
di Bernoulli, Navier, Poisson e Lamé, si arriva alla metá del XIX secolo col
problema risolto solo in parte e in assenza di ipotesi unificative.
La soluzione completa del problema é dovuta allo scienziato francese Adhémar
Jean Claude Barré de Saint Venant, che in una serie di lavori pubblicati tra il
1855 ed il 1883 imposta e risolve completamente il problema utilizzando il metodo inverso, ovvero assumendo a priori un campo si spostamenti e verificando
che é soluzione del problema. La soluzione che presentiamo é nella forma dovuta a Clebsch, che per primo osserva come tutte le soluzioni possano essere
ottenute mediante una opportuna ipotesi sullo stato di tensione, con un metodo
semi-inverso, ovvero assumendo a priori solo una parte della soluzione.
Ad oggi il problema risolto da Saint Venant e che da lui prende il nome, é
l’unico problema di elasticit´
a tridimensionale risolto in forma chiusa.
7.1.1
Geometria
Assumiamo che B sia un prisma cilindrico retto B = S × (0, L) con S ⊂ R2 , la
sezione retta e (0, L) ⊂ R.
127
128
CAPITOLO 7. TRAVI II: IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
x3
>
SL
I n @
@ P
6
z
S
M
x1
6
e1 > e = e3 x@
I
@ O e2 x2
S0
Fig. 7.1 - Il cilindro B
La frontiera di B risulta decomposta in tre parti disgiunte B = S0 ∪ SL ∪ M,
con le basi S0 = S × {0} e SL = S × {L} e la superficie laterale o mantello
M = ∂S × (0 , L).
Possiamo quindi rappresentare il vettore posizione del generico punto P ∈ B
come:
p = P − O = x + ze ,
x∈S,
z ∈ (0, L) ,
e · x = 0,
kek = 1 .
(7.1)
Definiamo asse lo span{e}. Scelto un riferimento ortonormale {ek } con
origine in O ∈ S0 ed e3 ≡ e, il tipico punto x = X − O della sezione retta ha
coordinate (x1 , x2 ):
x = x1 e1 + x2 e2 ,
(7.2)
essendo z é la coordinata assiale.
7.1.2
Materiale
Assumiamo per il materiale linearmente elastico, omogeneo ed isotropo la relazione costitutiva (4.33):
E=
7.1.3
1+ν
ν
T − (tr T)I ,
E
E
E > 0,
−1 < ν <
1
.
2
(7.3)
Azioni
Assumiamo che le azioni di volume siano nulle, che il mantello sia scarico e che
siano assegnate le tensioni sulle basi:
b = 0,
s = 0 su M ,
s = s0 su S0 ,
s = sL su SL ;
(7.4)
7.2. IL POSTULATO DI SAINT VENANT
129
poiché su tutta la frontiera ∂B ≡ ∂B1 sono assegnate le tensioni, il problema
di Saint Venant é un problema di trazione e la condizione necessaria perché
ammetta soluzione é che le azioni siano equilibrate:
Z
Z
Z
Z
b+
s = 0,
p×b+
p × s = 0.
(7.5)
B
B
∂B
∂B
Per effetto della geometria del corpo e delle ipotesi (7.4) sulle azioni, le
equazioni di bilancio (7.5) divengono:
Z
Z
Z
Z
Z
s+
s = 0,
x × s + Le3 ×
s+
x × s = 0,
(7.6)
S0
SL
S0
SL
SL
ed introducendo per la generica sezione S nel punto z dell’asse le definizioni di
risultante r e momento risultante m sulla sezione:
Z
Z
r(z) =
s , m(z) =
x × s.
(7.7)
S
S
dalle (7.6) si giunge alle:
r0 + rL = 0 ,
m0 + mL + Le × rL = 0 ,
(7.8)
Dalle equazioni (7.8) risulta che l’assegnazione delle azioni per il problema
di Saint Venant si riduce all’assegnazione della coppia risultante e del momento
risultante (r0 , m0 ) sulla base S0 :
rL = −r0 ,
mL = −m0 + Le3 × r0 :
(7.9)
si dice formulazione rilassata questa formulazione del problema, in quanto le
condizioni al contorno di trazione sono assegnate in termini integrali anziché puntuali. Definiamo soluzione del problema nella formulazione rilassata
lo spostamento u determinato da (r0 , m0 ):
u = u(r0 , m0 ) .
Ricordiamo che, avendo a che fare con un problema di trazione, tale soluzione
viene sempre ad essere definita a meno di un moto rigido.
7.2
Il postulato di Saint Venant
Per il teorema di unicit´
a di Kirchhoff, a sistemi di azioni distinti corrispondono
deformazioni distinte. Nel nostro caso pertanto, a due sistemi di azioni distinti
(s0 , sL )1 ed (s0 , sL )2 corrisponderanno due deformazioni E1 6= E2 .
Se i due sistemi azioni hanno medesime risultanti (r0 , m0 ) ci troviamo in
presenza di non unicit´
a della soluzione.
Il postulato di Saint Venant (dimostrato rigorosamente da Fichera nel 1972)
asserisce che la differenza tra due soluzioni distinte del problema u1 (r0 , m0 ) ed
130
CAPITOLO 7. TRAVI II: IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
u2 (r0 , m0 ) corrispondenti alla medesime risultanti (r0 , m0 ) decresce esponenzialmente lungo l’asse:
ku1 − u2 k = C exp(−βz) .
Pertanto, ad una sufficiente distanza dalle basi detta distanza di estinzione le
due soluzioni saranno indistinguibili e la soluzione del problema che troveremo
sar´
a rappresentativa dello stato di spostamento o di deformazione del corpo. La
distanza di estinzione é assunta dell’ordine di diam(S).
7.3
Soluzione
Per la soluzione del problema di trazione disponiamo delle:
• equazioni di bilancio
div T =
Tn =
r0
=
m0
=
in B ,
0,
0 , su M , n · e3 = 0 ,
Z
− Te3 , su S0 ,
ZS
− x × Te3 , su S0 ,
(7.10)
S
• relazioni costitutive (7.3);
• equazioni di compatibilitá cinematica (2.88).
Il problema di trazione puó essere risolto mediante le equazioni di BeltramiMitchell omogenee (5.10): determinata una soluzione equilibrata delle (7.10)
si ricava la corrispondente deformazione mediante le (7.3) e se ne richiede la
compatibilit´
a cinematica mediante le (2.88). Anziché procedere alla integrazione
diretta delle (5.10), determiniamo la soluzione mediante il cosidetto metodo
semi-inverso che consiste nell’assumere nota una parte del tensore degli sforzi.
7.3.1
Il metodo semi-inverso
Il metodo semi-inverso per il problema di Saint Venant consiste nell’assumere
che le tensioni sui piani paralleli all’asse siano parallele all’asse medesimo, ovvero
che fibre parallele all’asse si trasmettano solamente tensioni tangenziali:
Tm × e3 = 0 ,
∀m · e3 = 0 .
(7.11)
Tale ipotesi, detta ipotesi di Clebsch, implica che nel tensore degli sforzi le
seguenti componenti siano nulle:
T11 = T22 = T12 = 0 ;
(7.12)
7.3. SOLUZIONE
131
pertanto il tensore degli sforzi si riduce a:

0
0
0
T≡ 0
T13 T23

T13
T23  ,
T33
(7.13)
che, come verificheremo nel seguito, é uno stato di tensione biassiale.
7.3.2
La soluzione delle equazioni di bilancio
Per effetto dell’ipotesi semi-inversa (7.12) le equazioni (7.10)1 divengono, in
componenti:
T13,z
=
0,
T23,z
=
0,
T13,1 + T23,2 + T33,z
=
0,
(7.14)
e derivando (7.14)3 rispetto a z ed per le (7.14)1,2 otteniamo:
T33,zz = 0 ;
(7.15)
per (7.14)1,2 le tensioni tangenziali sono indipendenti dalla coordinata assiale
mentre la tensione normale vi dipende linearmente:
T13
= T13 (x1 , x2 ) ,
T23
= T23 (x1 , x2 ) ,
T33
= A(x1 , x2 ) + zB(x1 , x2 ) .
(7.16)
Le condizioni al contorno sul mantello (7.10)2 divengono, per le (7.12)
T13 n1 + T23 n2 = 0 ,
su M ,
mentre sulla base S0 abbiamo:
Z
Z
Z
−r0 = ( T13 )e1 + ( T23 )e2 + ( T33 )e3 ,
S
S
S
(7.18)
S
Z
Z
Z
−m0 = ( x2 T33 )e1 − ( x1 T33 )e2 + ( x1 T23 − x2 T13 )e3 .
S
(7.17)
(7.19)
S
Definiamo caratteristiche della sollecitazione le componenti della risultante e del
momento risultante nel riferimento {ek }:
Z
Tα =
Tα3 , α = 1, 2 , Taglio
S
Z
N =
T33 , Forza normale
(7.20)
ZS
Z
M1 =
x2 T33 , M2 = − x1 T33 , Momento flettente
S
ZS
Mt =
−x1 T23 + x2 T13 , Momento torcente ,
S
132
CAPITOLO 7. TRAVI II: IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
per modo che le risultanti possano essere riscritte come:
7.3.3
−r0
=
T1 e1 + T2 e2 + N e3 ,
−m0
=
M1 e1 + M2 e2 + Mt e3 .
(7.21)
Lo stato di deformazione
Per effetto delle (7.12) la relazione costitutiva (7.3) appare, in termini delle
componenti del tensore di deformazione:
E11
E22
E33
E12
E13
E23
ν
T33 ,
E
ν
= − E33 ,
E
1
=
T33 ,
E
= 0,
1
T13 ,
=
2G
1
=
T23 .
2G
=
−
(7.22)
Utilizzando (7.22)3 in (7.22)1,2 e per effetto delle (7.16) otteniamo la rappresentazione del tensore di deformazione per il solido di Saint Venant:
E11
=
E33
=
ν
E33 ,
E
0
A (x1 , x2 ) + zB 0 (x1 , x2 ) ,
E12
=
0,
E13
=
E13 (x1 , x2 ) ,
E23
=
E23 (x1 , x2 ) ,
E22 = −
(7.23)
ovvero le dilatazioni longitudinali sono funzioni lineari della coordinata assiale,
quelle trasversali dipendono mediante il modulo di Poisson dalla dilatazione longitudinale, mentre gli scorrimenti tra la sezione retta e l’asse sono indipendenti
dalla coordinata assiale e la sezione retta non subisce scorrimenti nel suo piano.
7.3.4
Le equazioni di compatibilit´
a
Le equazioni di compatibilitá (2.88), che hanno la rappresentazione in termini
delle componenti del tensore di deformazione (2.90), si riducono per effetto delle
(7.23) alle:
E33 ,11 = E33 ,22 = E33 ,12 = 0 ,
−νE33 ,23 +E23 ,11 −E13 ,12 = 0 ,
−νE33 ,13 +E13 ,22 −E23 ,12 = 0 .
(7.24)
7.3. SOLUZIONE
133
Le (7.24)1,2,3 richiedono che separatamente le due funzioni A0 (x1 , x2 ) e
B (x1 , x2 ) verifichino:
0
A,0αβ = 0 ,
B,0αβ = 0 ,
α, β = 1, 2 ,
ovvero che la dilatazione longitudinale sia una funzione lineare delle coordinate
della sezione
E33 (x1 , x2 , z) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + z(b0 + b1 x1 + b2 x2 ) ,
(7.25)
che dipende da 6 costanti (a0 , a1 , a2 , b0 , b1 , b2 ).
Mediante le (7.25) possiamo riscrivere le (7.24)4,5 come:
(E23 ,1 −E13 ,2 ),1 = νb2 ,
(7.26)
(E23 ,1 −E13 ,2 ),2 = −νb1 ,
e facilmente integrarle per ottenere:
E23 ,1 −E13 ,2 = k + ν(b2 x1 − b1 x2 ) ,
k = costante .
(7.27)
Osserviamo adesso che, dato un vettore v = vα (x1 , x2 )eα si ha
curl v = (v2 ,1 −v1 ,2 )e3 ;
se adesso consideriamo l’equazione differenziale
curl v = k + k1 x1 + k2 x2 ,
la sua soluzione sar´
a:
k
e × x − (k1 x2 − k2 x1 )x ,
2
con f : S → R una funzione arbitraria. Ponendo ora:
v = ∇f +
v1 = E13 ,
v2 = E23 ,
k = 2c ,
k1 = νb1 ,
(7.28)
k2 = νb2
dalla (7.28) otteniamo l’espressione degli scorrimenti
E13 (x1 , x2 ) = f,1 (x1 , x2 ) − cx2 − ν(b2 x21 + b1 x2 x1 ) ,
(7.29)
E23 (x1 , x2 ) = f,2 (x1 , x2 ) + cx1 − ν(b2 x1 x2 + b1 x22 ) ,
che dipendono oltre che dalle gi´
a introdotte costanti b1 e b2 anche dalla nuova
costante c e dalla funzione incognita f = f (x1 , x2 ) detta funzione di ingobbamento.
Lo stato di deformazione del problema di Saint Venant é perció totalmente
determinato se é noto il valore delle 7 costanti (a0 , a1 , a2 , b0 , b1 , b2 , c) ed é nota
la funzione di ingobbamento f = f (x1 , x2 ):
E13 (x1 , x2 ) = f,1 (x1 , x2 ) − cx2 − ν(b2 x21 + b1 x2 x1 ) ,
E23 (x1 , x2 ) = f,2 (x1 , x2 ) + cx1 − ν(b2 x1 x2 + b1 x22 ) ,
E33 (x1 , x2 , z) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + z(b0 + b1 x1 + b2 x2 ) ,
E11 = E22 = −νE33 ,
E12 = 0 .
(7.30)
134
CAPITOLO 7. TRAVI II: IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
7.3.5
La determinazione delle costanti
Per determinare le costanti disponiamo delle definizioni delle caratteristiche di
sollecitazione una volta che le componenti del tensore degli sforzi sono espresse
rappresentando le (7.22) in termini delle deformazioni (7.30).
Iniziamo dalla forza normale N; sulla sezione S0 corrispondente a z = 0
avremo:
Z
Z
N=
T33 =
E(a0 + a1 x1 + a2 x2 ) = EAa0 + a1 Ec1 + a2 Ec2 ,
(7.31)
S
S
dove A é l’area e c1 , c2 sono i momenti statici (A.3) della sezione retta S.
Scegliendo l’origine O del sistema di riferimento coincidente con il baricentro G
della sezione abbiamo che per la (A.5) c1 = c2 = 0 e di conseguenza:
N = EAa0 ;
(7.32)
poiché la rigidezza estensionale EA > 0 allora:
a0 =
N
.
EA
(7.33)
Osserviamo che la forza normale nella sezione z = L risulta invece
N = EA(a0 + Lb0 ) ,
e di conseguenza per la (7.8)1
b0 = 0 .
Alla medesima maniera otteniamo i momenti flettenti sulla sezione di ascissa
z = 0:
R
M1 = E S x2 (a0 + a1 x1 + a2 x2 ) = −EJ12 a1 + EJ11 a2 ,
(7.34)
M2 = −E
R
S
x1 (a0 + a1 x1 + a2 x2 ) = −EJ22 a1 + EJ12 a2 ,
dove le componenti Jαβ del tensore di inerzia JG sono definite mediante le
(A.8): per la definita positivitá del tensore di inerzia le (7.34) sono invertibili e
forniscono:
a1 =
−J11 M2 + J12 M1
2 ) ,
E(J11 J22 − J12
a2 =
J22 M1 − J12 M2
2 ) .
E(J11 J22 − J12
(7.35)
Se scegliamo il sistema di riferimento coincidente con le direzioni principali del
tensore di inerzia J, le (7.35) si riducono alle:
a1 = −
M2
,
EJ2
a2 =
M1
,
EJ1
con le quantit´
a EJ1 > 0 ed EJ2 > 0 dette rigidezze flessionali.
(7.36)
7.3. SOLUZIONE
135
Per quanto riguarda i tagli, osserviamo preliminarmente che per la (7.8)2
M1 (L) − M1 (0) = LT2 ,
M2 (L) − M2 (0) = −LT1 ,
(7.37)
con:
M1 (L) − M1 (0) = E
R
M2 (L) − M2 (0) = −E
S
x2 (b1 x1 + b2 x2 ), ,
R
S
x1 (b1 x1 + b2 x2 ) ,
da cui, nel riferimento principale, otteniamo
T1
,
EJ2
b1 =
b2 =
T2
.
EJ1
(7.38)
Mediante le (7.33), (7.36) e (7.38) la dilatazione longitudinale (7.25) dipende
dalla forza normale, dai momenti flettenti e dai tagli e la corrispondente tensione
normale é data dalla:
T33 =
N
M2 − zT1
M1 + zT2
−
x1 +
x2 .
A
J2
J1
(7.39)
Per determinare c, l’ultima costante incognita, procediamo preliminarmente
a normalizzare la funzione di ingobbamento f (x1 , x2 ) rispetto alle costanti b1 ,
b2 e c:
f (x1 , x2 ) = cϕ(x1 , x2 ) + b1 φ1 (x1 , x2 ) + b2 φ2 (x1 , x2 ) ;
per modo che f sia una combinazione lineare delle tre funzioni ϕ ingobbamento
torsionale, φ1 e φ2 ingobbamenti da taglio . In presenza del solo momento
torcente, quindi con a0 = a1 = a2 = b1 = b2 = 0, le tensioni tangenziali
risultano, per le (7.29) e le (7.22)5,6
T13 = 2Gc(ϕ,1 −x2 ) ,
T23 = 2Gc(ϕ,2 +x1 ) ,
(7.40)
e di conseguenza, per la definizione data di momento torcente, abbiamo:
Z
Mt = 2Gc x21 + x22 − x1 ϕ,2 +x2 ϕ,1 .
(7.41)
S
L’integrale che appare nella (7.41) definisce il momento polare ridotto J0∗ :
Z
J0∗ = J0 −
x1 ϕ,2 −x2 ϕ,1 , J0 = tr J ,
(7.42)
S
che dopo alcuni passaggi pu´
o essere riscritto come
Z
J0∗ = J0 −
k∇ϕk2 ;
(7.43)
S
é opportuno osservare che per effetto della funzione di ingobbamento torsionale
si abbia J0∗ ≤ J0 , l’eguaglianza valendo solo per funzioni tali che
ϕ(x1 , x2 ) = const. .
136
CAPITOLO 7. TRAVI II: IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
In tal modo per la (7.41) e la (7.43) la costante c é:
c=
Mt
.
2GJ0∗
(7.44)
Le tensioni tangenziali, che dipendono sia dal taglio che dal momento torcente mediante le (7.38) e (7.44) sono allora date dalle:
T13
=
ν
Mt
T2
T1
(ϕ,1 −x2 ) −
( (φ2 ,1 +x21 ) − (φ1 ,1 +x2 x1 )) ,
J0∗
1 + ν J1
J2
(7.45)
T23
=
Mt
ν
T2
T1
(ϕ,2 +x1 ) −
( (φ2 ,2 +x2 x1 ) − (φ1 ,2 +x22 )) .
J0∗
1 + ν J1
J2
Lo stato di tensione e deformazione nel cilindro B é quindi totalmente determinato a partire dalle componenti di r0 ed m0 mediante le (7.39), le (7.45)
e le (7.30), una volta che sono determinate le tre funzioni di ingobbamento
ϕ = ϕ(x1 , x2 ), φ1 = φ1 (x1 , x2 ) e φ2 = φ2 (x1 , x2 ).
7.3.6
La determinazione delle funzioni di ingobbamento
Per determinare le funzioni di ingobbamento disponiamo ancora della equazione
di bilancio (7.14)3 e della condizione al contorno (7.17), che per le (7.16) sono
indipendenti dalla coordinata assiale z e sono quindi definite sulla sezione retta
generica S e sulla sua frontiera:
T13,1 + T23,2 + T33,z = 0 ,
T13 n1 + T23 n2 = 0 ,
in S ,
(7.46)
su ∂S .
Esaminiamo il caso della torsione, con b1 = b2 = 0 e quindi con T33 = 0: la
(7.46) si riduce alla
T13,1 + T23,2 = 0 ,
T13 n1 + T23 n2 = 0 ,
in S ,
(7.47)
su ∂S .
e per mezzo delle (7.40) dalla (7.47)1 si arriva alla equazione di campo:
∆ϕ = ϕ,11 +ϕ,22 = 0
mentre dalla (7.47)2 si arriva alle condizioni al contorno che identificano un
problema di Neumann per la funzione ϕ(x1 , x2 ):
∆ϕ = 0 ,
∂n ϕ = t · x ,
in S ,
(7.48)
su ∂S ,
con ∂n ϕ = ∇ϕ · n la derivata normale di ϕ e t = e3 × n il vettore tangente a ∂S.
Osserviamo come la soluzione del problema non dipenda dai moduli elastici del
materiale: una soluzione di questo tipo viene chiamata soluzione universale.
Un risultato simile si ottiene per le funzioni di ingobbamento del taglio come
vedremo nei dettagli al successivo Capitolo 8.
7.3. SOLUZIONE
7.3.7
137
Il campo di spostamenti
Mediante le equazioni di congruenza (2.82)1 , per integrazione diretta a partire dalle (7.30), o mediante la (2.91) possiamo pervenire alla rappresentazione
esplicita delle componenti del campo di spostamento in funzione delle costanti
e delle funzioni di ingobbamento:
u1 (x)
=
−
u2 (x)
=
−
u3 (x)
=
+
7.3.8
1
−ν(x1 a0 − x1 x2 a2 ) − (ν(x21 − x22 ) + z 2 )a1 + x2 zc
2
z3
b1 ,
6
1
−ν(x2 a0 − x2 x1 a1 ) − (ν(x22 − x21 ) + z 2 )a2 − x1 zc
2
z3
b1 ,
6
z(a0 + x1 a1 + x2 a2 ) + φ1 (x)b1 + φ2 (x)b2 + ψ(x)c
z2
(b1 x1 + b2 x2 ) .
2
(7.49)
Le tensioni principali
Lo stato di sforzo nel problema di Saint Venant é caratterizzato dal tensore
degli sforzi (7.13). Determiniano le tensioni principali (σ1 , σ2 , σ3 ) mediante la
(1.58); essendo
ι1 (T)
= T33 ,
ι2 (T)
2
2
= T13
+ T23
,
ι3 (T)
=
(7.50)
0.
la (1.58) si riduce alla:
det(T − σI) = σ(σ 2 − σι1 (T) + ι2 (T)) = 0 ,
(7.51)
e di conseguenza:
σ1,2
T33
1
=
±
2
2
q
2 + 4(T 2 + T 2 ) ,
T33
13
23
σ3 = 0 ;
(7.52)
lo stato di tensione del problema di Saint Venant é in generale uno stato di
tensione biassiale.
Nei casi di sollecitazione di Forza Normale e Momento Flettente lo stato di
tensione diviene monoassiale con
σ1 = T33 ,
σ2 = σ3 = 0 ,
(7.53)
mentre nel caso di sollecitazione di Torsione lo stato rimane biassiale con
q
2 + T2 ,
σ1 = −σ2 = T13
σ3 = 0 .
(7.54)
23
138
CAPITOLO 7. TRAVI II: IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Mediante la rappresentazione di Mohr, si ha che nei casi di forza normale
e momento flettente su piani inclinati di π/4 rispetto all’asse si ha la tensione
tangenziale massima:
T33
τmax =
;
2
Nel caso di torsione, sui medesimi piani si hanno trazioni e compressioni dati
dalle (7.54).
τmax
σ2 = 0
σ1 = T33
σ2 = −σ1
σ1
Fig. 7. 2 Cerchi di Mohr per (N , M ) ed Mt
Gli autovettori uk associati agli autovalori σk , k = 1, 2, 3 sono infine:
u1
=
u2
=
u3
=
1
p
(T13 e1 + T23 e2 + σ1 e3 ) ,
2
2 + T2
σ1 + T13
23
1
p
(T13 e1 + T23 e2 + σ2 e3 ) ,
2
2 + T2
σ2 + T13
23
1
p
(−T23 e1 + T13 e2 ) .
2
2
T13 + T23
(7.55)
Capitolo 8
Il problema di Saint
Venant: casi di
sollecitazione
8.1
Forza Normale
Nella sollecitazione di Forza Normale, l’unica componente non nulla delle risultanti é N . In tal caso le uniche componenti di sforzo e deformazione non nulle
sono:
N
N
N
T33 =
, E33 =
, E11 = E22 = −ν
,
(8.1)
A
EA
EA
e, se il modulo di Poisson é positivo (ν > 0), la sezione subisce una contrazione
uniforme per N > 0 ed una dilatazione uniforme per N < 0, viceversa nel caso
ν < 0.
N > 0,ν > 0
N < 0,ν > 0
Il corrispondente campo di spostamento é, a meno di un moto rigido:
N
u1 (x , z) = −ν
x1 ,
EA
N
u2 (x , z) = −ν
x2 ,
(8.2)
EA
N
u3 (x , z) =
z.
EA
139
140
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
Osservazione 20 Materiali a modulo di Poisson negativo
I materiali a modulo di Poisson negativo sono detti Auxetici ed esibiscono un
comportamento poco comune, quello di contrarsi se compressi e dilatarsi se tesi.
Il fenomeno pu´
o essere facilmente descritto dalla deformazione del cosiddetto
esagono auxetico:
6
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
?
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
6
?
Fig. 8.1 - Esagono auxetico
Tra i materiali auxetici, oltre a molti materiali polimerici di sintesi, tra cui il
Kevlar, il Gore-Tex ed alcune schiume, abbiamo alcune rocce e minerali, tessuti
ossei viventi e la carta. Il sughero ha invece un modulo di Poisson prossimo a
zero.
8.2
Flessione
Le caratteristiche di sollecitazione sono i due momenti flettenti M1 ed M2 (osserviamo che in inglese tale sollecitazione é chiamata bending, indicando con flexure il caso che noi denominiamo di flessione e taglio). Nel riferimento principale
l’unica componente di tensione non nulla é data dalla:
T33 = −
M2
M1
x1 +
x2 ;
J2
J1
(8.3)
cui sono associate le componenti di deformazione:
E33
E11 = E22
M2
M1
x1 +
x2 ,
EJ2
EJ2
M2
M1
= −ν(−
x1 +
x2 ) .
EJ2
EJ1
= −
(8.4)
8.2. FLESSIONE
141
Il campo di spostamenti associato alla flessione é:
M1
1
M2
+ (ν(x21 − x22 ) + z 2 )
,
EJ1
2
EJ2
M2
1
M1
u2 (x , x) = −νx2 x1
− (ν(x22 − x21 ) + z 2 )
,
EJ2
2
EJ1
M2
M1
u3 (x , z) = z(−
x1 +
x2 ) .
EJ2
EJ1
u1 (x , z)
=
−νx1 x2
(8.5)
Si definisce Asse Neutro il luogo dei punti per cui la tensione normale é nulla,
ovvero tale che:
M1
M2
x1 +
x2 = 0 ,
−
J2
J1
da cui l’equazione dell’asse neutro n, retta passante per l’origine e di coefficiente
angolare m = tan β:
n ≡ {(x1 , x2 )| x2 = mx1 ,
m = tan β =
M2 J1
}.
M1 J2
(8.6)
Si definisce inoltre Asse di sollecitazione la traccia sul piano della sezione retta
del piano ortogonale al vettore momento flettente (M1 , M2 ),povvero il piano nel
quale agiscono le forze aventi coppia totale di modulo M = M12 + M22 . L’asse
di sollecitazione s é anch’essa una retta per l’origine di coefficiente angolare
p = cot α:
M1
s ≡ {(x1 , x2 )| x2 = −px1 , p = tan α =
}.
(8.7)
M2
H
s HHH
β
M1H
HO
H
x1
HHH
HH
α
H
H
?
M
M2
n
S
x2
Fig. 8.2 - Asse neutro ed asse di sollecitazione
142
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
Dalla (8.6) e dalla (8.7) si ha la relazione tra l’asse neutro n e l’asse di
sollecitazione s che mostra come i due assi siano in genere non ortogonali, l’ortogonalit´
a avendosi nel caso la sezione S possieda la cosidetta simmetria polare
ovvero J1 = J2 :
J1
tan β tan α =
;
(8.8)
J2
questa relazione viene detta, per la (A.28) relazione di coniugio, in quanto l’asse
di sollecitazione e l’asse neutro sono coniugati rispetto a JG .
Se indichiamo con (n , s) le coordinate di un punto della sezione S nel sistema
di riferimento obliquo (A.27) formato dall’asse neutro e dall’asse di sollecitazione,
abbiamo che:
x2 = n sin β − s sin α ,
x1 = n cos β + s cos α ,
da cui:
J1 = Js sin2 β + Jn sin2 α ,
dove:
Z
J2 = Js cos2 β + Jn cos2 α, ,
Z
2
Jn =
s ,
Js =
S
(8.9)
ns2 ,
S
ed essendo
Z
Jns = −
ns = 0 ,
S
per la (A.26). Poiché inoltre J12 = 0, abbiamo che:
Js sin β cos β − Jn sin α cos α = 0 ,
(8.10)
che fornisce la relazione tra i momenti principali Js e Jn nel riferimento obliquo
(n , s). Ricordando infine che
M1 = M sin α ,
M2 = M cos α ,
per sostituzione nella (8.3), si arriva dopo alcuni passaggi all’espressione mononia:
M
s,
(8.11)
T33 =
Jn
che consente di valutare la tensione normale nella direzione dell’asse di sollecitazione.
Esempio 19 : Sezione rettangolare
Se consideriamo la sezione rettangolare di dimensioni h > b, sollecitata da
un momento con M1 = M2 ovvero con α = π/4, poiché:
J1 =
bh3
,
12
J2 =
hb3
,
12
dalla relazione di coniugio (8.8) si ha:
tan β =
h2
> 1,
b2
β>
π
.
4
8.2. FLESSIONE
n
b
A00
143
@
s@
@
@
@
@
β
M1 @
max @
+T33
h
@
x1
@
+ @
@
PP
PP
@
M α ?M2 @
PP @
@
PP
P
@PP @
@ PPP
@
@
PP
0
@
PP A
−
@
max
@
−T33
@
x @
2
Fig. 8.3 - Flessione deviata - Sezione rettangolare
Poiché abbiamo
sin β = √
h2
,
h4 + b4
cos β = √
b2
,
h4 + b4
dalla (8.10) ricaviamo Js in funzione di Jn :
Js = Jn
cos β sin β
b2 h2
= 2Jn 4
,
cos α sin α
b + h4
e dalla (8.9) la relazione tra Jn e J2 :
√
(b4 + h4 ) b4 + h4
bh3
√
Jn =
.
6 4b2 h4 + 2(b4 + h4 ) b4 + h4
Poiché infine si ha:
√
s = x1 cos α − x2 sin α =
2
(x1 − x2 ) ,
2
si arriva all’espressione della tensione normale misurata nella direzione dell’asse
di sollecitazione, che raggiunge i valori massimi nei due punti simmetrici rispetto
al baricentro G, A0 ≡ (−b/2 , h/2) ed A00 ≡ (b/2 , −h/2):
√
max = ±
±T33
2
M
(h + b)
.
4
Jn
144
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
Moduli di Resistenza
Per la (8.3) i valori massimi della tensione normale si raggiungono ai lembi
estremi della sezione. Detti pertanto (x01 , x001 ) ed (x02 , x002 ) tali valori lungo le
due direzioni principali, definiamo i Moduli di resistenza
J1
,
x02
W10 =
W100 =
J1
,
x002
W20 =
J2
,
x01
W200 =
J2
,
x001
(8.12)
per modo che le tensioni ai lembi estremi possono scriversi come:
0
T33
=−
M1
,
W10
00
T33
=
M1
,
W100
M1 /W100
0
T33
=
x01
M2
,
W20
00
T33
=−
M2 /W20
(8.13)
x001
A
A +
A
A
A
A
'
A
M1
A
G
M1 A x1
A
&
A
A
A
?
A
M2
A
− A
A
M1 /W10
M2
.
W200
x002
x02
x2
00
M2 /W2
−
+ M2 6
&%
Fig. 8.4 - Flessione composta e moduli di resistenza
Se la sezione possiede un’asse di simmetria, ad esempio x1 = 0, allora:
W10 = W100 = W1 ,
T33 = ±
M1
,
W1
0
T33
=
M2
,
W20
00
T33
=−
M2
;
W200
Se infine la sezione possiede 2 assi di simmetria si ha
W10 = W100 = W1 ,
W20 = W200 = W2 ,
e le tensioni normali massime e minime sono date dalla:
M1
M2
T33 = ±(
±
).
W1
W2
(8.14)
8.2. FLESSIONE
145
Nel caso di una sezione rettangolare le tensioni massime e minime sono raggiunte
ai vertici del rettangolo e si ha:
W1 =
8.2.1
bh2
,
6
hb2
.
6
W2 =
(8.15)
Flessione Semplice
Se uno dei momenti flettenti é nullo, ad esempio M2 = 0 si parla di flessione semplice. In tal caso l’asse neutro n ≡ {x2 = 0} é ortogonale all’asse di
sollecitazione s ≡ {x1 = 0} e si ha:
max
T33
=±
M1
6M1
=± 2 .
W1
bh
(8.16)
Gli spostamenti dell’asse avente coordinate (0 , 0 , z) sono dati, mediante le
(8.5) dalle:
u1 = u3 = 0 ,
u2 = −
M1 2
z ,
2EJ1
(8.17)
l’asse subisce quindi uno spostamento nel piano di sollecitazione con curvatura
costante e raggio:
κ=
M1
1
=
.
R
EJ1
Nel piano della sezione, le porzioni di sezione tese subiranno, se ν > 0 una
contrazione, mentre quelle compresse subiranno una dilatazione, invertendosi i
ruoli per materiali auxetici. Nel caso della sezione rettangolare S0 con z = 0 i
punti del contorno subiranno gli spostamenti nel piano:
h2
M1
− x21 )
,
4
2EJ1
h
x2 = ± ,
2
−
b2 M 1
)
,
4 2EJ1
b
x1 = ± ,
2
−
u1 = ∓νhx1
M1
,
2EJ1
u2 = −ν(
u1 = ∓νbx2
M1
,
2EJ1
u2 = −ν(x22 −
b
b
≤ x1 ≤ ;
2
2
h
h
≤ x2 ≤ .
2
2
146
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
E33 = M1 /EW1
A
A +
A
A
A
A
'
A
A
M1 A
A
&
A
A
A
A
A
− A
A
x1
E33 = −M1 /EW1
x2
Fig. 8.5 - Deformazioni della sezione nella flessione semplice (ν > 0)
8.3
Forza Normale eccentrica
Se sulla sezione agiscono contemporaneamente le caratteristiche di sollecitazione
N , M1 ed M2 , possiamo individuare un punto C − G = xc = e1 e1 + e2 e2 detto
centro di pressione tale che
xc × N e3 = M1 e1 + M2 e2 ,
(8.18)
per modo che le componenti (e1 , e2 ) dette eccentricit´
a siano date dalle:
e1 = −
M2
,
N
e2 =
M1
,
N
(8.19)
per modo che le caratteristiche (N , M1 , M2 ) siano equivalenti alla sola forza
normale N applicata nel centro di pressione.
La tensione normale é data dalla
T33 =
N
M2
M1
−
x1 +
x2 ,
A
J2
J1
(8.20)
e pertanto l’asse neutro non passerá per il baricentro, ma avrá equazione:
−
e1
e2
x1 − 2 x2 = 1 ,
ρ21
ρ2
(8.21)
8.3. FORZA NORMALE ECCENTRICA
147
dove si é fatto uso della definizione (A.25) di raggi di inerzia. Nella (8.21) é
immediato riconoscere la relazione polo-antipolare (A.31) essendo il centro di
pressione il polo e l’asse neutro l’antipolare.
Per quanto osservato nell’Appendice A, se il centro di pressione C é interno
al nocciolo centrale di inerzia N , l’asse neutro é esterno alla sezione e tutta la
sezione sar´
a interamente tesa o compressa: viceversa se il centro di pressione C
é esterno al nocciolo l’asse neutro taglierá la sezione che si dice in questo caso
parzializzata essendo in parte tesa ed in parte compressa. A centri di pressione C
che giacciono sulla frontiera ∂N del nocciolo sono associati assi neutri tangenti
e non secanti la sezione.
Le tensioni estreme ai lembi della sezione possono essere ancora determinate
mediante i moduli di resistenza:
M1
N
− 0,
A
W1
M2
N
+ 0,
=
A
W2
N
M1
+ 00 ,
A
W1
M2
N
− 00 ,
=
A
W2
0
T33
=
00
T33
=
0
T33
00
T33
(8.22)
che per la sezione rettangolare si riducono alla:
T33 = ±
N
M1
M2
±(
±
).
A
W1
W2
(8.23)
Esempio 20 Sezione rettangolare
Nella sezione rettangolare sollecitata da N ed M1 possiamo determinare
direttamente il nocciolo di inerzia mediante la:
T33 =
M1
6e2
N
N
±
);
= (1 ±
A
W1
A
h
(8.24)
la condizione che l’asse neutro sia tangente alla sezione fornisce pertanto:
h
T33 = 0 , ⇒ e2 = ± ,
6
(8.25)
per cui se il centro di pressione della forza normale N é interno al segmento
(0 , −h/6 ≤ x2 ≤ h/6) la sezione non é parzializzata. Il segmento di lunghezza
h/3 é detto terzo medio. Ripetendo la medesima procedura per N ed M2 , determiniamo il segmento (−b/6 ≤ x1 ≤ b/6 , 0) e riotteniamo il nocciolo centrale
di inerzia dell’Esempio 34 dell’Appendice A.
Sezione rettangolare non resistente a trazione
Se la sezione rettangolare dell’esempio precedente, sollecitata da N ed M1 , é
formata da un materiale non resistente a trazione (T33 ≤ 0) ed |e2 | > h/6, nella
porzione di sezione tesa si ha T33 = 0. Le caratteristiche di sollecitazione sono
quindi assorbite dalla parte di sezione compressa.
148
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
b
T33
u
C
3u
e2
h
G
x1
N
x2
Fig. 8.6 - Sezione rettangolare non resistente a trazione
La distribuzione di tensioni é lineare e l’asse neutro avrá distanza 3u dal
lembo compresso, con
h
u = − e2 ,
2
la distanza tra il centro di pressione C ed il lembo compresso della sezione.
In tal modo l’equilibrio dei momenti é assicurato poiché la forza normale N é
applicata nel baricentro della distribuzione lineare di tensioni. Per l’equilibrio
delle forze quindi:
1
N = 3ubT33 ,
(8.26)
2
da cui la tensione massima sulla sezione parzializzata:
T33 =
8.4
8.4.1
2N
.
3ub
(8.27)
Flessione e Taglio
La trattazione rigorosa: cenni
In presenza di azioni di taglio T1 e T2 sulla base z = 0, per le (7.37) avremo ad
esse associate i momenti flettenti:
M1 (z) = −zT2 ,
M2 (z) = zT1 ;
(8.28)
8.4. FLESSIONE E TAGLIO
149
lo stato di tensione é dato dalle:
ν
T2
T1
T13 = −
( (φ2 ,1 +x21 ) − (φ1 ,1 +x2 x1 )) ,
1 + ν J1
J2
ν
T2
T1
T23 = −
( (φ2 ,2 +x2 x1 ) − (φ1 ,2 +x22 )) .
1 + ν J1
J2
T1
T2
T33 = z(x1
− x2 ) ,
J2
J1
(8.29)
e gli spostamenti associati al corrispondente di campo di deformazione sono:
u1 (x , z)
=
u2 (x , z)
=
u3 (x , z)
=
T1 3
z
6EJ2
T2 3
−
z ,
6EJ1
z 2 x1 T1
z 2 x2 T2
)
)
(φ1 (x) +
+ (φ2 (x) +
.
2 6EJ2
2 6EJ1
−
(8.30)
La trattazione rigorosa della sollecitazione di flessione e taglio viene svolta
determinando le due funzioni di ingobbamento φ1 e φ2 associate alle sollecitazioni di taglio T1 e T2 rispettivamente mediante le:
∆φ1
∂n φ1
∆φ2
∂n φ2
1 − 2ν
x1 , in S
ν
= −x2 (n · x) , su ∂S ,
=
(8.31)
1 − 2ν
x2 , in S ,
ν
= −x1 (n · x) , su ∂S ;
=
(8.32)
introducendo le due funzioni:
1 − 2ν 3
xα ,
φ¯α = φα −
6ν
otteniamo un problema di Neumann per l’equazione di Laplace omogenea come
nel caso della torsione:
∆φ¯1
=
∂n φ¯1
= −x2 (n · x) −
∆φ¯2
=
∂n φ¯2
1 − 2ν 2
= −x1 (n · x) −
x2 n2 ,
ν
0,
0,
in S
(8.33)
1 − 2ν 2
x1 n1 ,
ν
su ∂S ,
in S ,
(8.34)
su ∂S .
´ immediato osservare come anche nel caso della sezione circolare i termini
E
sulla frontiera non si annullino: di conseguenza la soluzione esatta in termini delle funzioni di ingobbamento é analiticamente impegnativa. A questo approccio
si preferisce invece la seguente soluzione approssimata basata sulle sole equazioni
˘
di equilibrio e ricavata nel 1842 da Jourawsky (grafia russa: Zuravskij).
150
8.4.2
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
La formula di Jourawsky
Consideriamo ad esempio la sollecitazione di taglio T2 cui é associato un momento flettente M1 = T2 (L − z). Sezionando il cilindro B é con un piano π di
normale m = mα eα , per le ipotesi di Clebsch la tensione sará:
t(m) = Tm3 e3 ,
Tm3 = T13 m1 + T23 m2 .
(8.35)
Se indichiamo con cr ≡ S ∩ π il segmento intersezione tra il piano π e la sezione
retta, di lunghezza br , su di esso stante la simmetria di T agirá la tensione
t(e3 ) = T3m m.
Per la (7.14)3 e la (7.39) si ha:
T2
x2 = 0 ;
J1
T13,1 + T23,2 −
(8.36)
se indichiamo con Sr una delle due porzioni in cui la sezione é divisa dal segmento
r, consideriamo:
Z
T2
T13,1 + T23,2 − x2 = 0 ,
(8.37)
J1
Sr
che per le (1.99)2 diviene:
Z
T13 m1 + T23 m2 −
∂Sr
dove
T2
Sr = 0 ,
J1
Z
Sr =
x2 .
Sr
@@
@
@ n @ @@@ @
I
@
c
r
@
@
@
@ Sr @@
@ @
@ br A m
@
AU
A
A O
x1
AU
T¯3m T2
?
S
x2
(8.38)
8.4. FLESSIONE E TAGLIO
151
Fig. 8.7 - La formula di Jourawsky
indica il momento statico rispetto all’origine o della porzione Sr della sezione
retta. Poiché la frontiera ∂Sr é formata da due parti, il segmento cr e la porzione
coincidente con ∂S sulla quale per le (7.17) la tensione é nulla, arriviamo alla
Z
T2
Sr ,
J1
T3m =
cr
(8.39)
che é una formula esatta, semplicemente equilibrata, che consente di valutare la
risultante delle tensioni Tm3 = T3m sulla corda cr . Applicando il teorema del
valor medio al primo membro:
T¯3m br =
Z
T3m ,
(8.40)
cr
si arriva alla relazione che consente di valutare la tensione tangenziale media
sulla corda cr di normale m:
T2 Sr
T¯3m =
,
J 1 br
(8.41)
detta formula di Jourawsky.
Esempio 21 : Sezione rettangolare
Consideriamo la sezione rettangolare
S ≡ {(x1 , x2 )| −
b
h
h
b
≤ x1 ≤ , − ≤ x2 ≤ } ,
2
2
2
2
sollecitata da una azione di taglio T2 . Le caratteristiche geometriche della
sezione sono:
A = bh ,
J1 =
bh3
.
12
Per determinare le T¯23 consideriamo corde parallele alla direzione di x1 con
br = b: in questo caso quindi l’andamento della tensione tangenziale lungo x2
sar´
a determinato dal momento statico Sr (x2 ):
Sr (x2 ) =
b h
h
b h
( − x2 )( + x2 ) = (( )2 − x22 ) ;
2 2
2
2 2
152
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
b
Sr
T¯23
br
h
m
?
O
max
T¯23
x1
T2
?
S
x2
Fig. 8.8 - La formula di Jourawsky per sezioni rettangolari
pertanto, ricordando l’espressione di J1 e di A:
6T2 h
3 T2
2x2 2
T2
Sr (x2 ) = 3 (( )2 − x22 ) =
(1 − (
) ).
T¯23 =
J1 b
bh
2
2A
h
(8.42)
L’andamento é parabolico, la tensione é nulla per x2 = ± h2 ed il valore della
tensione tangenziale (media) massima si ha sulla corda baricentrica per x2 = 0:
3 T2
max
T¯23
=
.
2A
(8.43)
Per determinare le T¯13 consideriamo corde parallele alla direzione di x2 con
br = h: poiché in questo caso Sr (x1 ) = 0, si ha che le tensioni tangenziali medie
sulle corde parallele alla direzione x2 sono nulle:
T¯13 = 0 .
Esempio 22 : Sezione a doppio T
Nella sezione a doppio T le due porzioni superiori sono dette ali ed hanno
spessore e, mentre la parte verticale é detta anima ed ha spessore a. Quando la
sezione é sollecitata da una azione di taglio T2 , per determinare le tensioni T¯23
consideriamo corde parallele alla direzione di x1 : quando queste corde tagliano
l’ala si ha il medesimo andamento parabolico della sezione rettangolare ed il
valore prima dell’attaccatura tra l’anima e l’ala é, essendo br = b ed avendo
8.4. FLESSIONE E TAGLIO
153
indicato con Srala il momento statico dell’ala:
T2 e(h + e)
T2 Srala
0
=
;
T¯23
=
J1 b
J1
2
la tensione subisce un salto non appena la corda taglia l’anima, poiché si ha
br = a < b, con valore:
T2 Srala
T2 e(h + e) b
b 0
00
T¯23
=
=
= T¯23
.
J1 a
J1
2
a
a
Successivamente la tensione ha un’andamento parabolico sino al valore massimo
raggiunto per la corda baricentrica per la quale il momento statico Sr∗ é relativo
a met´
a sezione:
T2 Sr∗
T2 b
h2
max
T¯23
=
=
(2e2 + ) .
J1 a
J1 2a
4
Per determinare le tensioni T¯13 consideriamo corde parallele alla direzione
x2 con br = e. Poiché la distanza tra il baricentro dell’ala e quello della sezione
rimane costante, la tensione ha un’andamento lineare:
T2 x1 (h + e)
T2 ex1 (h + e)
=
,
T¯13 =
J1
2e
J1
2
sino al valore massimo:
T2
T2 (b − a)(h + e)
max
T¯13
=
=
.
J1
J1
2
154
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
max
T¯13
HH
HH
H
HH
HH b
H
0
T¯23
00
T¯23
a- h
max
T¯23
x1
T2
e
?
?
6 T¯max
13
x2
Fig. 8.9 - La formula di Jourawsky per sezioni a doppio T
Osservazione 21 : Una relazione approssimata per i profilati
Dall’esempio precedente é immediato osservare come nelle sezioni a doppio
T sia l’anima ad assorbire la maggior parte delle tensioni tangenziali. Si puó
pertanto assumere una formula approssimata per valutare le tensioni tangenziali
massime sulla corda baricentrica del tipo:
T2
max
T¯23
=
,
kAa
Aa = ah0
(8.44)
dove Aa = ah0 rappresenta l’area dell’anima, essendo h0 = h − 2e la sua altezza.
Poiché per la formula di Jourawsky:
T2 Sr∗
max
T¯23
=
,
J1 a
otteniamo che:
k=
J1
;
Sr∗ h0
(8.45)
(8.46)
i valori del coefficiente adimensionale k per varie dimensioni dei profilati commerciali IPE ed HE B sono riportati nella tabella 8.1. In prima approssimazione
8.5. TORSIONE
155
possiamo ad esempio prendere i seguenti valori del coefficiente k:
k u 0.95 , IPE ;
k u 1.05 , HE .
Tabella 8.1: Coefficiente k, profilati IPE: UNI 5398-64; HE B: UNI 5397-64
Profilato
IPE 80
IPE 120
IPE 140
IPE 180
IPE 220
IPE 300
IPE 400
8.5
8.5.1
k
0.99
0.97
0.97
0.96
0.96
0.95
0.94
Profilato
HE 100B
HE 120B
HE 140B
HE 180B
HE 220B
HE 300B
HE 400B
k
1.05
1.06
1.06
1.04
1.04
1.03
1.01
Torsione
Il problema di Neumann per la funzione di ingobbamento
La soluzione del problema della torsione presentata nel Capitolo 7 fornisce le
deformazioni di scorrimento:
E13 =
Mt
(ϕ,1 +x2 ) ,
2GJ0∗
E23 =
Mt
(ϕ,2 −x1 ) ,
2GJ0∗
(8.47)
Mt
(ϕ,1 +x2 ) ,
J0∗
T23 =
Mt
(ϕ,2 −x1 ) ,
J0∗
(8.48)
le tensioni tangenziali
T13 =
ed il campo di spostamento
u1 (x , z)
=
u2 (x , z)
=
u3 (x , z)
=
Mt
zx2 ,
2GJ0∗
Mt
−
zx1 ,
2GJ0∗
Mt
ϕ(x) ,
2GJ0∗
(8.49)
con la funzione di ingobbamento x 7→ ϕ(x) soluzione del problema di Neumann
per l’equazione di Laplace omogenea:
∆ϕ = 0 ,
∂n ϕ = t · x ,
in S ,
su ∂S .
(8.50)
156
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
Se definiamo il fattore di torsione q, dipendente tramite la funzione di ingobbamento dalla forma della sezione S:
q=
J0
≥ 1,
J0∗
(8.51)
Mt
;
2GJ0
(8.52)
possiamo scrivere la (7.44) come:
c=q
osserviamo che c ha le dimensioni (Lunghezza)−1 , per cui ponendo:
Θ(z) = q
Mt
z,
2GJ0
é immediato verificare che le componenti di spostamento u1 ed u2 rappresentano
una rotazione rigida di angolo Θ(z) intorno alla direzione e3 e che possiamo
definire l’angolo unitario di torsione come:
θ = Θ,3 = q
Mt
.
2GJ0
(8.53)
Sezione circolare
Se consideriamo la sezione circolare di raggio R
S ≡ {(x1 , x2 )|x21 + x22 = R2 } ,
poiché i punti della frontiera sono rappresentabili come x = Rn, si ha che la
condizione al contorno diviene omogena, ovvero:
in S ,
su ∂S ,
∆ϕ = 0 ,
∂n ϕ = 0 ,
(8.54)
e pertanto si ha ϕ = costante. In questo caso q = 1 e lo spostamento nella direzione assiale é costante, con deformazioni di scorrimento e tensioni tangenziali
date dalle:
E13 =
Mt
x2 ,
2GJ0
e dalle:
T13 =
E23 = −
Mt
x2 ,
J0
Mt
x1 ,
2GJ0
T23 = −
J0 =
Mt
x1 .
J0
πR4
,
2
(8.55)
(8.56)
Considerando un piano parallelo all’asse e passante per il centro di massa
della sezione rette, avente normale m, la tensione tangenziale é
Tm3 = T13 m1 + T23 m2 ,
8.5. TORSIONE
157
ed essendo:
m1 = p
x2
x21 + x22
,
m2 = p
−x1
x21 + x22
,
si arriva alla:
q
Mt
r , r = x21 + x22 ,
J0
che raggiunge il valore massimo sulla frontiera dove r = R.
Tm3 =
(8.57)
Sezione circolare cava
Se la sezione circolare é cava, detto Re il raggio esterno ed Ri , Ri < Re il raggio
interno, abbiamo che il raggio medio Rm e lo spessore δ sono dati dalle:
Rm =
Re + Ri
,
2
δ = Re − Ri ;
anche in questo caso, valendo le (8.50)2 anche sulla porzione di frontiera di raggio
Ri la funzione di ingobbamento é costante, q = 1 ed il momento di inerzia polare
é:
π(Re4 − Ri4 )
J0 =
,
2
che pu´
o essere riscritto in termini di raggio medio e spessore come
J0 =
4
δ
πRm
δ 3
(4
−(
) ).
2
Rm
Rm
(8.58)
La tensione tangenziale varia linearmente sullo spessore tra il valore minimo
i
e
Tm3
ed il valore massimo Tm3
:
i
Tm3
=
Mt
δ
(Rm − ) ,
J0
2
ovvero:
Tm3 =
e
Tm3
=
Mt
(Rm + d) ,
J0
−
Mt
δ
(Rm + ) ,
J0
2
δ
δ
≤d≤ .
2
2
(8.59)
(8.60)
Sezione ellittica
Per una sezione ellittica di semiassi a e b:
S ≡ {(x1 , x2 )|
x21
x22
+
= 1} ,
a2
b2
detta f (x1 , x2 ) = 0 la sua rappresentazione implicita, abbiamo che i versori
normale e tangente ad S sono:
n = kf,α eα = 2k(
x2
x1
e1 + 2 e2 ) ,
2
a
b
t = 2k(
x2
x1
e1 − 2 e2 ) ,
2
b
a
con k scelto in modo che knk = 1. Ne segue che la (8.50) diviene:
ϕ,1
x1
x2
1
1
+ ϕ,2 2 = x1 x2 ( 2 − 2 ) ;
2
a
b
b
a
158
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
Assumendo ϕ(x1 , x2 ) = Bx1 x2 (che verifica la (8.50)1 ) si arriva alla condizione:
1
1
1
1
B( 2 + 2 ) = 2 − 2 ,
b
a
b
a
da cui la funzione di ingobbamento
a 2 − b2
x1 x2 .
a 2 + b2
ϕ(x1 , x2 ) =
(8.61)
Poiché per una sezione ellittica si ha:
G
J11
=
π 3
a b,
4
G
J22
=
π 3
b a,
4
J0 =
π
ab(a2 + b2 ) ,
4
ed essendo per la (7.42) e per la (8.61) il momento polare ridotto:
G
G
J0∗ = J0 − (J11
− J22
)
π
4a2 b2
a2 − b2
=
ab
,
a2 + b2
4 a2 + b2
per la definizione di q si arriva alla sua espressione per una sezione ellittica:
q=(
a2 + b2 2
) .
2ab
(8.62)
Sezione rettangolare
Se consideriamo la sezione rettangolare
S ≡ {(x1 , x2 )| −
b
b
h
h
≤ x1 ≤ , − ≤ x2 ≤ } ,
2
2
2
2
le condizioni al contorno divengono:
b
ϕ,1 (± , x2 ) = x2 ,
2
h
ϕ,2 (x1 , ± ) = x1 .
2
(8.63)
Il problema viene risolto introducendo la funzione:
ϕ(x
¯ 1 , x2 ) = ϕ(x1 , x2 ) − x1 x2
che verifica la (8.50)1 e per modo che le condizioni al contorno (8.50)2 divengano:
b
ϕ,
¯ 1 (± , x2 ) = 0 ,
2
h
ϕ,
¯ 2 (x1 , ± ) = 2x1 ,
2
ed adottando il metodo di separazione delle variabili:
ϕ(x
¯ 1 , x2 ) = X(x1 )Y (x2 ) ;
(8.64)
8.5. TORSIONE
159
la soluzione é:
ϕ(x1 , x2 ) = x1 x2 −
∞
32b2 X (−1)n sin(kn x1 ) sinh(kn x2 )
,
4π 3 n=0
(2n + 1)3 cosh(kn h2 )
(8.65)
dove
2n + 1
π.
b
Per il calcolo del fattore di torsione q, osserviamo preliminarmente che il momento di inerzia polare della sezione rettangolare é:
kn =
J0 =
hb3
bh 2
bh3
+
=
(b + h2 ) ;
12
12
12
mediante la (8.65) e la definizione di J0∗ si arriva alla:
q=β
h2 + b2
12b2
con il coefficiente β = 1, 141 per le sezioni quadrate con b = h e dato per n > 1
dalla relazione approssimata:
βu
3n
,
n − 0, 63
n=
h
> 1.
b
Di conseguenza abbiamo:
J0
n − 0, 63 3
=
hb ;
q
3n
J0∗ =
(8.66)
che fornisce, ad esempio per le sezioni con n = 2:
J0∗ = 0, 228hb3 ,
e per n = 10
J0∗ = 0, 312hb3 ,
mentre per n → ∞ si ha:
J0∗ =
1 3
hb .
3
(8.67)
Dalle (8.48) si ottiene l’espressione delle tensioni tangenziali:
T13 (x1 , x2 )
=
∞
Mt
32b2 X (−1)n kn cos(kn x1 ) sinh(kn x2 )
(2x2 −
),
J0∗
4π 3 n=0
(2n + 1)3 cosh(kn h2 )
(8.68)
T23 (x1 , x2 )
= −
∞
2 X
Mt 32b
(
J0∗ 4π 3
n
(−1) sin(kn x1 )kn cosh(kn x2 )
);
(2n + 1)3 cosh(kn h2 )
n=0
160
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
max
T23
x2
T13
b
T23 h
x1
Fig. 8.10 - Sezione rettangolare
il valore massimo delle tensioni tangenziali é dato da:
max = T (± b , 0) .
Tm3
23
2
(8.69)
Per sezioni con h >> 10b la tensione tangenziale massima puó approssimarsi in:
max =
Tm3
Mt b
,
J0∗ 2
max =
Tm3
3 Mt
.
2 b2 h
che valendo la (8.67) diviene:
8.5.2
(8.70)
La soluzione di Prandtl
La soluzione del problema della torsione in termini della funzione di ingobbamento ϕ = ϕ(x) é una soluzione equilibrata di un campo di deformazioni compatibile, ovvero una soluzione a l´
a Navier. Il problema puó evidentemente essere
risolto mediante le equazioni di Beltrami-Michell, ovvero rendendo compatibile una soluzione equilibrata. Ricordiamo che, oltre alle equazioni di equilibrio
(7.46), disponiamo delle relazioni costitutive:
Eα3 =
1
Tα3 ,
2G
α = 1, 2 ,
(8.71)
e della equazione di compatibilitá:
E23,1 − E13,2 = 2c .
(8.72)
Una soluzione delle (7.46)1 é
T13 = ψ,2 ,
T23 = −ψ,1 ;
(8.73)
8.5. TORSIONE
161
dove la funzione ψ = ψ(x1 , x2 ) ∈ C 2 (S) é detta funzione degli sforzi o funzione di Prandtl. Mediante le relazioni costitutive (8.71) e la equazione di
compatibilit´
a (8.72) si arriva alla equazione di campo per la funzione di Prandtl:
∆ψ = −4Gc .
(8.74)
Dalle condizioni al contorno (7.46)2 , poiché il vettore tangente alla frontiera ha
componenti t = m2 e1 − m1 e2 , si ottiene che sulla frontiera:
∂t ψ = 0 ,
con ∂t ψ = ∇ψ · t la derivata tangente di ψ; essendo la frontiera S una curva
chiusa, si ha necessariamente ψ = costante. Poiché della funzione di Prandtl si
utilizzano solo le derivate prime, possiamo porre nulla la costante ed arrivare al
problema di Dini per il laplaciano di ψ:
∆ψ = −4Gc ,
ψ = 0,
in S ,
(8.75)
su ∂S .
Osserviamo che dalla (7.20)6 e per le:
Z
Z
Mt =
−x1 ψ,1 −x2 ψ,2 =
−(−x1 ψ),1 −(x2 ψ),2 +2ψ ,
S
S
che per la (1.99)2 e le condizioni al contorno (8.75)2 fornisce la relazione tra la
funzione di Prandtl ed il momento torcente:
Z
Mt = 2 ψ(x1 , x2 ) .
(8.76)
S
Dalle (8.73) e dalle (7.40) é immediato dedurre le relazioni tra i gradienti
delle funzioni di ingobbamento e di Prandtl:
−e3 × ∇ψ = 2cG(∇ϕ − e3 × x) ,
da cui
∇ψ = 2cG(x + e3 × ∇ϕ) ,
∇ϕ = e3 × (x −
1
∇ψ) .
2cG
(8.77)
Sezione circolare
Nel caso di una sezione circolare di raggio R é facile mostrare che:
ψ(x) = cG(x21 + x22 − R2 ) ,
da cui per le (8.73) e per la (7.44) riotteniamo:
T13 =
Mt
x2 ,
J0
T23 = −
Mt
x1 .
J0
(8.78)
162
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
Sezione triangolare equilatera
Nel caso della sezione triangolare equilatera di lato a, la soluzione di Prandtl
pu´
o essere costruita come prodotto delle equazioni delle rette che formano la
frontiera ∂S. In tal modo la condizione al contorno viene automaticamente
verificata. Poiché infatti le tre rette che formano la frontiera sono:
x1 = 0 ,
a
x
√1 + x2 − = 0 ,
2
3
x
a
√1 − x2 − = 0 ,
2
3
x2
A ≡ (0 , a2 )
Q
Q
Q
Q
Q
S QQ
Q
√
C ≡ ( a 2 3 , 0)
B ≡ (0 , − a2 )
x1
Fig. 8.11 - La sezione triangolare equilatera
assumiamo la funzione di Prandtl:
a
x1
ψ(x1 , x2 ) = C(x1 x22 − x1 ( √ − )2 ) ;
3 2
dalla (8.75)1 si arriva a determinare il valore del parametro C:
√
√
3cG
3 Mt
C=−
= −q
.
a
2 aJ0
Le associate tensioni tangenziali, per la (8.73) sono:
√
√ Mt
4a
a2
3 Mt 2
x1 x2 , T23 = q
(x2 − x21 + √ x1 − ) ,
T13 = −q 3
aJ0
2 aJ0
4
3
(8.79)
ed il fattore di torsione q puó essere calcolato in:
q=
8.5.3
5
.
3
La formula di Bredt
Dall’analisi dello stato tensione per una sezione circolare cava di raggio medi
Rm e spessore costante δ si é determinato che le tensioni variano linearmente
con lo spessore ed hanno un valore medio lungo la circonferenza γ di raggio Rm
8.5. TORSIONE
163
dato dalla (8.60) valutata per d = 0. La trattazione che segue, dovuta a Bredt
(1915), fornisce una relazione, basata unicamente sulle equazioni di equilibrio
delle forze in direzione dell’asse e dei momenti torcenti, che permette una stima
della tensione tangenziale media per sezioni chiuse in parete sottile.
Consideriamo una curva chiusa (0 , s¯) 3 s 7→ γ(s) ∈ R2 , γ(0) = γ(¯
s), detta
linea media e lo spessore (0 , s¯) 3 s 7→ δ(s) ∈ R, δ(0) = δ(¯
s). Definiamo la
sezione retta cava come il prodotto cartesiano S ≡ γ × δ e diciamo che la
sezione é in parete sottile se δmax << diam(S).
BMB
B t(s)
B
B δ(s)
x1
G
γ
x2
Fig. 8.12 - Sezione S chiusa in parete sottile
Definiamo inoltre la tangente alla curva γ in s ∈ 0 , s¯):
t(s) =
dγ
,
ds
ktk = 1 .
Per determinare le tensioni tangenziali, sezioniamo il cilindro B con un piano π
parallelo all’asse, ovvero di normale m, m · e3 = 0. Su questo piano, la tensione
é:
Tm = (T13 m1 + T23 m2 )e3 = Tm3 e3 .
(8.80)
Poiché N = 0, la risultante delle azioni nella direzione dell’asse é:
Z
Z
Tm3 e3 +
A1
Tm3 e3 = 0 ;
A2
(8.81)
164
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
6m H H
YHH τ (s2 )
H
H
HHH
H
H δ(s2 )
HH
H
π
HHH
B
H
HHH
H
B
HH
H
H
j δ(s )
H
τ (s1 ) H
B τ (s2 )
6 1
BBN
H
HH
τ (s1 )
j e3
H
γ
HH
HH
H
Fig. 8.13 - Equilibrio dei flussi delle tensioni tangenziali
poiché la Tm3 é indipendente dalla coordinata assiale z per le (7.14)1,2 ed essendo
A1 = δ(s1 )L ed A2 = δ(s2 )L, definendo il flusso delle tensioni tangenziali sullo
spessore δ:
Z
τ (s) =
Tm3 e3 ,
(8.82)
δ(s)
dalla (8.81) si ha:
τ (s1 ) = −τ (s2 ) .
(8.83)
Poiché la (8.83) deve valere per ciascun piano π parallelo all’asse, ne consegue
che:
Z
kτ (s)k =
Tm3 = cost. .
(8.84)
δ(s)
Per la simmetria del tensore degli sforzi Tm3 = T3m e di conseguenza nel
piano della sezione retta il flusso delle tensioni tangenziali avrá norma costante
su ciascuna corda δ(s): osserviamo a questo punto che per le (7.17), le tensioni
tangenziali saranno tangenti alla frontiera ∂S ed in generale, per la dipendenza
di δ dalla coordinata curvilinea s non saranno dirette come la tangente t(s) alla
linea media. Se assumiamo:
dδ
<< 1 ,
ds
ovvero assumiamo che lo spessore vari molto lentamente lungo la linea media,
possiamo assumere che il flusso delle tensioni tangenziali nel piano della sezione
retta sia diretto come la tangente alla linea media:
Z
τ (s) = (
Tm3 )t(s) .
(8.85)
δ(s)
8.5. TORSIONE
165
Dato un punto P (s) ∈ γ(s) ed un punto fisso O e detto:
x(s) = P (s) − O ,
il vettore posizione di P , abbiamo che il momento del flusso delle tensioni
tangenziali rispetto ad O é dato dalla:
I
x(s) × τ (s)ds ,
(8.86)
γ
e per l’equilibrio dei momenti torcenti (ovvero rispetto alla direzione e3 ):
I
Mt = e3 · x(s) × τ (s)ds ,
(8.87)
γ
ovvero
Z
Mt = (
I
Tm3 )e3 ·
δ(s)
x(s) × t(s)ds .
(8.88)
γ
h
A
K
τ (s) A
$
O
Mt
x(s)
A
ds
%
θ
γ
Fig. 8.14 - L’equilibrio dei momenti torcenti
Poiché
e3 · x(s) × t(s)ds = kx(s)k sin θ(s)ds = h(s)ds ,
(8.89)
dove h(s) = kx(s)k sin θ(s) é la distanza tra il polo O e la direzione della
tangente, si arriva alla:
Z
I
Mt = (
Tm3 ) h(s)ds .
(8.90)
δ(s)
γ
166
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
Osserviamo a questo punto che il termine h(s)ds rappresenta il doppio dell’area di un triangolo di base ds e di altezza h(s), per cui detta Ω l’area della
sezione avente come frontiera la linea media γ si ha:
I
h(s)ds = 2Ω ;
(8.91)
γ
ne consegue che:
Z
Mt = (
Tm3 )2Ω .
(8.92)
δ(s)
Per il teorema del valor medio:
Z
Tm3 = δ(s)T¯m3 ,
δ(s)
dal quale si arriva alla cosiddetta formula di Bredt:
Mt
,
2Ωδ(s)
T¯m3 (s) =
(8.93)
che consente una stima della tensione tangenziale media sullo spessore delle
sezioni in parete sottile chiuse.
Per valutare il momento di inerzia ridotto J0∗ associato alla formula di Bredt,
consideriamo l’energia complementare associata alle tensioni tangenziali indotte
dal momento torcente Mt , valutate mediante la formula di Bredt (8.93):
Λ(Mt ) =
1
2
I ¯2
I
Tm3
1 Mt2
ds
δ(s)ds =
;
2
2G
4G
4Ω
δ(s)
γ
γ
(8.94)
per il teorema di Clapeyron:
Mt θ = 2Λ(Mt ) ,
(8.95)
da cui l’espressione dell’angolo unitario di torsione (8.53) associato alla formula
di Bredt:
I
1 Mt
ds
θ=
.
(8.96)
2
2G 4Ω γ δ(s)
Osserviamo che questa ultima relazione non é congruente ed é pertanto, in
genere, solamente una stima grossolana dell’angolo unitario di torsione. Dalla (8.96) e dalla (8.53), arriviamo all’espressione del momento polare ridotto
associato alla formula di Bredt:
J0∗ = H
4Ω2
ds
γ δ(s)
Esempio 23 Sezione Circolare:
.
(8.97)
8.5. TORSIONE
167
Per la sezione circolare, come abbiamo osservato in precedenza la linea media
é una circonferenza di raggio Rm e lo spessore δ é costante. Per la la formula
2
di Bredt abbiamo, essendo Ω = πRm
:
T¯m3 =
Mt
,
2 δ
πRm
ed inoltre:
3
J0∗ = 2πRm
δ.
Osserviamo che le soluzioni esatte (8.58) ed (8.60) si riducono alla soluzione
di Bredt trascuriamo infinitesimi di ordine O((δ/Rm )3 ), ovvero per spessori
sottili.
8.5.4
La soluzione di Saint Venant per le sezioni rettangolari allungate
Se la sezione in parete sottile é aperta, ovvero la linea media non é una curva
chiusa, le tensioni tangenziali possono essere determinate, se la sezione é decomponibile in rettangoli, mediante una relazione dovuta a Saint Venant e che
utilizza il valore del momento polare ridotto (8.67) per le sezioni rettangolari
allungate con rapporto h/b >> 10.
Supponiamo la sezione S decomponibile in m rettangoli Sk , k = 1, 2, . . . m
aventi dimensioni hk >> 10bk : per la (8.67), l’angolo unitario di torsione di
ciascun rettangolo é esprimibile come:
θk =
Mtk
,
2GJ0k
J0k =
b3k hk
, (k non sommato) .
3
dove Mtk é la quota del momento torcente Mt agente sul rettangolo Sk .
(8.98)
168
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
θ1
Mt1 6 S1
S2
b1
h1
S
- b2
$
Mt
h2
Mt2
%
h3
b3
θ2
@ M 3
@ @
t @ @
@ @ ?
S3 @ @
@ @
θ3@ @
@
Fig. 8.15 - Sezioni plurirettangolari: formula di Saint Venant
Poiché tutti i rettangoli Sk devono avere il medesimo angolo unitario di
torsione, avremo le m − 1 equazioni di congruenza:
θ1 = θ2 = . . . θm−1 = θm = θ ;
(8.99)
per l’equilibrio dei momenti torcenti inoltre si avrá:
m
X
Mtk = Mt .
(8.100)
k=1
Per la (8.98) e la (8.99):
Mtk = 2GJ0k θ ,
e dalla (8.100) si arriva alla:
Mt = 2GJ0∗ θ ,
(8.101)
dove il momento polare ridotto della sezione é dato dalla:
J0∗ =
m
X
k=1
J0k .
(8.102)
8.5. TORSIONE
169
Il valore del momento torcente che agisce su ciascun rettangolo Sk é quindi dato
dalla
Jk
Mtk = 0∗ Mt ,
(8.103)
J0
e per ciascun rettangolo Sk si applicano i risultati ottenuti per le sezioni rettangolari allungate.
Esempio 24 :
Consideriamo la sezione chiusa di spessore δ = a di Fig. 8.14: poiché
a
10a
Ω
a
a
10a
a
a
10a
a
Fig. 8.16 - Sezione chiusa ed aperta di uguale area
I
Ω = 121a2 ,
= 44a ,
γ
abbiamo dalle (8.97), (8.93) e (8.96):
J0∗ = 1131a4 ,
Mt
T¯m3 =
,
121a3
θ=
1 Mt
.
2G 1131a4
Se adesso consideriamo la sezione aperta di identica area, formata dai quattro
rettangoli uguali con b = a , h = 11a abbiamo che il momento polare ridotto della
sezione e quelli dei singoli rettangoli sono dati, mediante le (8.98) (8.102), da:
J0k =
11 4
a , k = 1, 2, 3, 4 ,
3
J0∗ =
44 4
a ;
3
per le (8.103), ogni rettangolo assorbe la medesima quota di momento torcente:
Mtk =
1
Mt , k = 1, 2, 3, 4 ,
4
ed abbiamo che la tensione tangenziale massima, raggiunta nel punto medio dei
lati lunghi vale su tutti i rettangoli:
Tm3 =
6Mt
,
11a3
170
CAPITOLO 8. SAINT VENANT: CASI DI SOLLECITAZIONE
mentre l’angolo unitario di torsione risulta, per la (8.101):
θ=
1 3Mt
.
2G 44a4
Dal confronto tra le due sezioni, osserviamo che la sezione aperta é circa 77
volte pi´
u deformabile di quella chiusa mentre la tensione tangenziale massima é
66 volte quella media della sezione chiusa.
Capitolo 9
I criteri di sicurezza
9.1
Generalit´
a: materiali duttili
Se esaminiamo il diagramma sforzo deformazione (σ , ε) di una prova di trazione
di un materiale duttile quale ad esempio l’acciaio, possiamo distinguere tre comportamenti differenti: in una prima fase la relazione tra sforzo e deformazione é
lineare; successivamente si ha una fase in cui la deformazione aumenta a sforzo
pressoché costante seguita da una fase ad elevate deformazioni che precede la
rottura vera e propria.
La prima fase é quella del comportamento elastico lineare e si definisce tensione di snervamento σs il valore della tensione per il quale tale comportamento
termina. La seconda fase é detta di incrudimento se la relazione é ancora lineare ma con pendenza minore o di flusso plastico se la deformazione avviene a
sforzo costante. La fase finale é detta strizione. Se dalla fase elastica si riporta
lo sforzo a zero, non si hanno deformazioni residue εres che invece si manifestano se si riporta lo sforzo a zero dalla fase incrudente o da quella di flusso
plastico. Limitando l’analisi alle prime due fasi, possiamo avere tre tipologie di
comportamento:
• Materiali elasto-plastici perfetti;
σ
σs
εs
171
εres
ε
172
CAPITOLO 9. I CRITERI DI SICUREZZA
σ
σs
,
E
= Eε ,
ε ≤ εs =
= σs ,
σs
ε > εs =
.
E
(9.1)
σ
• Materiali elasto-plastici incrudenti;
σ
σs
εs
σ
=
εres
ε
σs
,
E
Eε ,
ε ≤ εs =
¯ ,
Eε
σs
ε > εs =
,
E
(9.2)
σ
=
¯ <E.
E
• Materiali rigido-plastici.
σ
σs
εres
σ
<
σs ,
ε
ε = 0,
(9.3)
σ
= σs ,
ε > 0.
In tutti e tre i casi, l’intervallo di sforzo per il quale il materiale resta in fase
elastica pu´
o scriversi come:
|σ − σs | ≤ 0 .
(9.4)
Se introduciamo la tensione ammissibile σadm :
σadm =
σs
,
γs
γs > 1 ,
(9.5)
con γs coefficiente di sicurezza, possiamo riscrivere la (9.4) come condizione di
sicurezza:
|σ − σadm | ≤ 0 .
(9.6)
´ MATERIALI DUTTILI
9.1. GENERALITA:
173
In presenza di uno stato di sforzo triassiale, definiamo Superficie ammissibile
la superficie nello spazio delle tensioni principali (σ1 , σ2 , σ3 ):
F(σ1 , σ2 , σ3 , k) = 0 ,
(9.7)
dove il parametro k é determinato in modo da ridurre la superficie ammissibile
alla condizione (9.6) per uno stato monoassiale. Gli stati di sforzo per cui
F(σ1 , σ2 , σ3 , k) < 0 ,
(9.8)
rappresentano il cosiddetto dominio ammissibile, ovvero gli sforzi che non violano mai la condizione di ammissibilitá (9.6). Se assumiamo l’ipotesi di isotropia
la superficie di snervamento é simmetrica rispetto alle sue variabili.
Osserviamo preliminarmente che nello spazio delle tensioni principali la retta
σ1 = σ2 = σ3 rappresenta Sph, il sottospazio dei tensori sferici, mentre il piano
ortogonale a questa retta e passante per l’origine rappresenta Dev, il sottospazio
dei tensori deviatorici.
σ3
Sph
σ1 = σ2 = σ3
@
@
@
@
Dev
@
@
@
P
PP
@ @
P
PP
@
P
@
σ1
σ2
@
@
@
Fig. 9.1 - Spazio delle tensioni principali
Il criterio di Galileo
Storicamente la prima nozione di criterio di sicurezza risale a Galileo Galilei:
rifraseggiando in termini del nostro linguaggio il suo criterio, abbiamo:
|σk − σadm | ≤ 0 ,
k = 1, 2, 3 ,
(9.9)
che rappresenta nello spazio delle tensioni principali un cubo avente spigolo di
lunghezza 2σadm . Esperimenti sistematici eseguiti nella seconda metá del XIX
secolo mostrarono come con il criterio di Galileo si sovrastimasse la resistenza
del materiale a tensioni tangenziali. Ció ha portato alla formulazione del primo
vero criterio di sicurezza moderno, quello di Tresca.
174
9.2
CAPITOLO 9. I CRITERI DI SICUREZZA
Il criterio di Tresca
Il criterio di Tresca, o della Tensione tangenziale massima ipotizza che il collasso
del materiale avvenga per raggiungimento della massima tensione tangenziale,
ovvero:
τmax ≡ max{|
σ1 − σ2 σ1 − σ3 σ2 − σ3
|,|
|,|
|} ≤ k ;
2
2
2
(9.10)
in uno stato monoassiale, con σ1 = σ2 = 0, il collasso del materiale avverrá per
σ3 = σs ,
e pertanto la condizione limite di sicurezza sará:
σ3 = σadm .
Poiché in questo caso
τmax = |
σadm
| ≤ k,
2
(9.11)
la (9.10) diviene:
max{|σ1 − σ2 | , |σ1 − σ3 | , |σ2 − σ3 |} ≤ σadm ;
(9.12)
La (9.12) é una superficie a 6 falde piane, simmetrica rispetto alle variabili:
inoltre poiché uno sforzo sferico T = σ
¯ I implica τmax ≡ 0, i piani saranno
paralleli alla retta σ1 = σ2 = σ3 . La superficie ammissibile associata al criterio
di Tresca é pertanto un cilindro esagonale regolare avente direttrice parallela
all’asse dei tensori sferici: la sua intersezione con il piano dei deviatorici é un
esagono regolare detto esagono di Tresca.
Se consideriamo uno stato biassiale con, ad esempio, σ3 = 0, il criterio di
Tresca si riduce a:
max{|σ1 − σ2 | , |σ1 | , |σ2 |} ≤ σadm ,
(9.13)
e nel piano delle tensioni principali (σ1 , σ2 ) il dominio ammissibile é un esagono
non regolare la cui frontiera intersezione della superficie ammissibile con il piano
σ3 = 0.
9.3. IL CRITERIO DI HUBER-VON MISES
σ2
σ1 = −σ2
175
σ1 = σ2
σadm
σadm
−σadm
σ1
−σadm
Fig. 9.2 - Il criterio di Tresca per uno stato biassiale
9.3
Il criterio di Huber-Von Mises
Il criterio di Huber-Von Mises, o della Massima energia di distorsione ipotizza
che il collasso del materiale avvenga per raggiungimento della massima energia
associata alle variazioni di forma, ovvero, per la (4.41)2 :
k dev Tk ≤ k ;
(9.14)
poiché il criterio non dipende esplicitamente da sph T, la superficie ammissibile
sar´
a un cilindro con la direttrice parallela all’asse dei tensori sferici: inoltre la
condizione (9.14) implica che la sua intersezione con il piano dei deviatorici sia
una circonferenza di raggio k e pertanto la superficie sará un cilindro a sezione
circolare.
Poiché:


1 0 0
σ1 + σ2 + σ3 
0 1 0 ,
[sph T] ≡
3
0 0 1
e di conseguenza:

2σ1 − σ2 − σ3
1
0
[dev T] ≡
3
0
0
2σ2 − σ1 − σ3
0

0
,
0
2σ3 − σ1 − σ2
si ha dalla (9.14):
1p
(2σ1 − σ2 − σ3 )2 + (2σ2 − σ1 − σ3 )2 + (2σ3 − σ1 − σ2 )2 ≤ k ,
3
176
CAPITOLO 9. I CRITERI DI SICUREZZA
ovvero:
q
1
6(σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 ) ≤ k .
(9.15)
3
in uno stato monoassiale, con σ1 = σ2 = 0, la condizione ammissibile sará data
dalla
σ3 = σadm ,
e dalla (9.15) avremo:
√
k=
6
σadm .
3
Sostituendo nella (9.15) si arriva alla
q
σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 ≤ σadm .
(9.16)
σ3
σ1
σ2
Fig. 9.3 La superficie ammissibile di Huber-Von Mises
Se consideriamo uno stato biassiale con, ad esempio, σ3 = 0, il criterio di
Huber-Von Mises si riduce a:
q
σ12 + σ22 − σ1 σ2 ≤ σadm .
(9.17)
9.4. LE VERIFICHE DI SICUREZZA PER IL PROBLEMA DI SAINT VENANT177
e nel piano delle tensioni principali (σ1 , σ2 ) il dominio ammissibile é un ellisse
avente per assi le rette σ1 − σ2 = 0 e σ1 + σ2 = 0, intersezione della superficie
ammissibile con il piano σ3 = 0.
σ2
σ1 = −σ2
σ1 = σ2
σadm
σadm
−σadm
σ1
−σadm
Fig. 9.4 - Il criterio di Huber-Von Mises per uno stato biassiale
9.4
Le verifiche di sicurezza per il problema di
Saint Venant
Se lo stato di tensione é quello del problema di Saint Venant, abbiamo visto
come le tensioni principali siano date dalle (7.52).
In questo caso abbiamo, per il criterio di Tresca relativo a stati biassiali:
q
q
T33 1
2 + 4(T 2 + T 2 )| ≤ σ
2 + 4(T 2 + T 2 ) ≤ σ
±
T33
T33
,
|
adm
adm , (9.18)
13
13
23
23
2
2
e la condizione di verifica secondo il criterio di Tresca é:
q
2 + 4(T 2 + T 2 ) ≤ σ
T33
adm .
13
23
(9.19)
Per quanto riguarda il criterio di Huber-Von Mises, osserviamo che ponendo:
q
T2
1
2 + 4(T 2 + T 2 ) ,
a = 33 , b =
T33
13
23
2
2
possiamo scrivere le tensioni principali nella forma:
σ1 = a + b ,
σ2 = a − b ,
e quindi il primo membro della (9.17) diviene:
p
p
(a + b)2 + (a − b)2 − (a + b)(a − b) = a2 + 3b2 ,
178
CAPITOLO 9. I CRITERI DI SICUREZZA
da cui la condizione di verifica secondo il criterio di Huber-Von Mises:
q
2 + 3(T 2 + T 2 ) ≤ σ
T33
adm .
13
23
9.5
(9.20)
Cenni sui materiali fragili
Nei materiali fragili la rottura avviene senza incrudimento o flusso plastico: non
si ha una tensione di snervamento ed il comportamento sostanzialmente elastico
lineare sino al raggiungimento della tensione di rottura. Inoltre, nella maggior
parte dei casi la tensione di rottura a trazione inferiore a quella di rottura a
compressione: ad esempio, nei materiali lapidei la tensione di rottura a trazione
pu essere assunta nulla.
9.5.1
Il criterio di Rankine
Il criterio di sicurezza di Rankine limita le tensioni principali come il criterio di Galilei, avendosi due diverse tensioni ammissibili a trazione (σt ) e a
compressione (σc ):
−σc ≤ |σk | ≤ σt ,
k = 1, 2, 3 ,
σt < σc ;
(9.21)
per uno stato biassiale con σ3 = 0, il dominio ammissibile é il quadrato compreso
tra le rette:
−σc ≤ |σ1 | ≤ σt ,
(9.22)
−σc ≤ |σ2 | ≤ σt ,
Nel caso di materiali non resistenti a trazione il dominio di resistenza é quello
tratteggiato in figura:
σ2
σ1 = −σ2
σ1 = σ2
σt
σt
−σc
σ1
−σc
Fig. 9.5 - Il criterio di Rankine per uno stato biassiale
9.5. CENNI SUI MATERIALI FRAGILI
9.5.2
179
Il criterio di Mohr-Coulomb
Il criterio di Mohr-Coulomb ipotizza che il materiale collassi quando lo stato di
tensione raggiunge, sul piano di Mohr, la retta limite:
τ = c − σ tan ϕ ,
(9.23)
dove c rappresenta la coesione e ϕ l’angolo di attrito interno del materiale.
Consideriamo uno stato di tensione biassiale con σ3 = 0: le coordinate (σ , τ )
del punto di tangenza della retta limite possono essere espresse in funzione della
tensione normale media σm e della tensione tangenziale massima τmax come:
σ = σm + τmax sin ϕ ,
τ = τmax cos ϕ .
(9.24)
Sostituendo la (9.24) nella (9.23) e moltiplicando per cos ϕ otteniamo la formulazione del criterio per uno stato di tensione biassiale:
σ1 − σ2
σ1 + σ2
sin ϕ + |
| = c cos ϕ ,
2
2
(9.25)
che possiamo generalizzare per uno stato di tensione generico in:
σi + σk
σi − σk
sin ϕ + |
| = c cos ϕ ,
2
2
i, k = 1, 2, 3 .
(9.26)
La (9.26) é una cono a 6 falde piane avente vertice sull’asse dei tensori sferici
per un valore della tensione idrostatica σ
¯ = c cot ϕ.
Per un uno stato monoassiale le condizioni limite sono σ3 = σt e σ3 = −σc
da cui la relazione tra la coesione, l’angolo d’attrito interno e le tensioni limite
a trazione e compressione:
σt =
2c cos ϕ
,
1 + sin ϕ
σc =
2c cos ϕ
;
1 − sin ϕ
(9.27)
osserviamo che per ϕ = 0, ovvero per un materiale puramente coesivo, il criterio
di Mohr-Coulomb si riduce al criterio di Tresca con σc = σt mentre per ϕ = π/2
(materiale puramente attrittivo ed a coesione nulla) si riduce al criterio Rankine
per materiali non resistenti a trazione con σt = 0 .
Nel piano delle tensioni principali (σ1 , σ2 ) il dominio ammissibile é un esagono non regolare la cui frontiera intersezione della superficie ammissibile con
il piano σ3 = 0.
180
CAPITOLO 9. I CRITERI DI SICUREZZA
σ2
σ1 = −σ2
−σc
σ1 = σ2
σt
!!
!
!
!!
σt
σ1
−σc
Fig. 9.6 - Il criterio di Mohr-Coulomb per uno stato biassiale
9.5.3
Il criterio di Drucker
Il criterio di Drucker puó ottenersi dal criterio di Huber-Von Mises introducendo
la dipendenza dalla energia associata alle variazioni di volume, ovvero:
k dev Tk ≤ k1 + k2 tr T ;
(9.28)
in questo caso la superficie ammissibile é un cono a sezione circolare il cui asse é
la retta dei tensori sferici ed avente vertice nel punto tr T = −k1 /k2 di tale retta:
la sua intersezione con il piano dei deviatorici é in questo caso una circonferenza
di raggio k1 .
In questo caso si ha:
1
3
q
6(σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 ) ≤ k1 + k2 (σ1 + σ2 + σ3 ) .
(9.29)
In uno stato monoassiale, con σ1 = σ2 = 0, si hanno due condizioni ammissibili:
σ3 = −σc ,
σ3 = σt ,
e dalla (9.29) avremo:
r
k1 = 2
2 σt σc
,
3 σt + σc
Posto:
m=
r
k2 =
σt
< 1,
σc
2 σt − σc
.
3 σt + σc
9.5. CENNI SUI MATERIALI FRAGILI
181
sostituendo nella (9.29) si arriva alla
q
1−m
2m
σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 +
(σ1 + σ2 + σ3 ) ≤
σc .
1+m
1+m
(9.30)
Se consideriamo uno stato biassiale con, ad esempio, σ3 = 0, il criterio di
Drucker si riduce a:
q
1−m
2m
σ12 + σ22 − σ1 σ2 +
(σ1 + σ2 ) ≤
σc ,
(9.31)
1+m
1+m
e nel piano delle tensioni principali (σ1 , σ2 ) il dominio ammissibile é un ellisse
avente per assi le rette σ1 − σ2 = 0 e σ1 + σ2 − c(m) = 0, intersezione della
superficie ammissibile con il piano σ3 = 0.
σ1 = −σ2 + c(m)
σ2
σ1 = σ2
σ1
σ1 = −σ2
Fig. 9.7 - Il criterio di Drucker per uno stato biassiale con m = 0.5
182
CAPITOLO 9. I CRITERI DI SICUREZZA
Capitolo 10
Il carico critico Euleriano
Consideriamo una trave (0 , L) vincolata agli estremi z = 0 e z = L mediante
due cerniere e sollecitata da una azione normale uniforme N di compressione.
Ci proponiamo di determinare, se esistono, le condizioni per le quali é possibile
avere uno spostamento trasversale v = v(z) in equilibrio con il carico.
v(z)
N
-c
z=0
N
c
z=L
Fig. 9.1 - Asta compressa
Supponiamo data la z 7→ v(z), avremo un momento interno dato dalla:
Mint (z) = −EJv 00 (z) ,
(10.1)
ed un momento esterno dato dalla:
Mext (z) = N v(z) ;
(10.2)
poiché cerchiamo, se esistono soluzioni equilibrate, dalla condizione di equilibrio:
Mext (z) = Mint (z) ,
(10.3)
arriviamo alla equazione omogenea:
EJv 00 (z) + N v(z) = 0 .
(10.4)
Posto:
N
,
(10.5)
EJ
dalla (10.4), per effetto delle condizioni di vincolo, otteniamo il problema al
contorno omogeneo:
ω2 =
v 00 (z) + ω 2 v(z) = 0 , in (0 , L) ,
183
v(0) = v(L) = 0 .
(10.6)
184
CAPITOLO 10. IL CARICO CRITICO EULERIANO
L’equazione (10.6) ammette la soluzione:
v(z) = A sin ωz + B cos ωz ,
(10.7)
con le due costanti A e B determinabili mediante le condizioni al contorno:
v(0) = B = 0 ,
v(L) = A sin ωL + B cos ωL = 0 ;
(10.8)
se poniamo la (10.8) in forma di sistema lineare omogeneo:
[A ][x ] = [0] ,
con

0

1
[A ] ≡ 

,
A
[x ] ≡ 
sin ωL cos ωL

,
B
abbiamo det[A ] = − sin ωL e sono possibili le due alternative:
• det[A ] 6= 0 ed il sistema ammette la soluzione A = B = 0 con v(z) ≡ 0 ;
• det[A ] = 0 ed il sistema ammette la soluzione [x ] ∈ ker[A ], ovvero B = 0 .
Poiché sin ωL = 0 quando ωL = kπ, k = 1, 2, . . . , ∞, avremo le coppie
(ωk , vk (z)):
ωk =
kπ
,
L
vk (z) = A sin
kπz
,
L
k = 1, 2, . . . , ∞ ,
(10.9)
e dalla (10.5) una successione di forze normali per le quali si ha lo sbandamento
della trave:
π 2 EJ
Nk = k 2
, k = 1, 2, . . . , ∞ .
(10.10)
L2
Definiamo Carico critico Euleriano il pi´
u piccolo valore della (10.10), ovvero
il pi´
u piccolo valore della forza normale per la quale si ha lo sbandamento v(z):
Ncr =
π 2 EJ
,
L2
(10.11)
cui é associato lo spostamento trasversale
v(z) = A sin
πz
,
L
(10.12)
di ampiezza A arbitraria.
La verifica di sicurezza: il metodo Omega
Per la verifica di sicurezza, introduciamo un coefficiente ω ≥ 1 che aumenti il
coefficiente di sicurezza in modo da avere:
T33 =
Ncr
σadm
≤
,
A
ω
(10.13)
185
da cui, per la (10.11):
σadm
π 2 EJ
≤
.
AL2
ω
Introduciamo il raggio di inerzia ρ della sezione S, definito come:
r
r
J1
J2
ρ = min{
,
},
A
A
(10.14)
essendo J1 e J2 i momenti principali di inerzia della sezione, ed il parametro
adimensionale λ:
L
λ= ,
ρ
detto snellezza della trave, per modo che la (10.14) possa riscriversi come:
σadm
π2 E
≤
.
λ2
ω
(10.15)
Moltiplicando e dividendo il primo membro per σadm abbiamo:
π2 E
λ2 σ
σadm ≤
adm
σadm
,
ω
(10.16)
da cui:
σadm 2
λ .
(10.17)
π2 E
Il coefficiente ω(λ) é una funzione crescente della snellezza. In tal modo
la verifica di sicurezza, assegnata una forza normale di compressione N , puó
riscriversi dalla (10.13) come:
ω(λ) =
T33 =
ω(λ)N
≤ σadm .
A
(10.18)
Poiché abbiamo inizialmente assunto che ω(λ) ≥ 1, definiamo la snellezza
critica quella snellezza λ∗ per cui ω(λ) = 1: dalla (10.17) si ha:
r
E
λ∗ = π
,
(10.19)
σadm
per modo che il coefficiente ω(λ) viene ad essere definito come:


1 , λ ≤ λ ∗ ,
ω(λ) =

 σadm 2
λ > λ∗ .
π2 E λ ,
(10.20)
Se adesso indichiamo con Nadm = σadm A la forza normale ammissibile,
consideriamo il rapporto:
Ncr
= ω −1 (λ) ≥ 1 ;
Nadm
186
CAPITOLO 10. IL CARICO CRITICO EULERIANO
anche in questo caso avremo:


1 ,
Ncr
(λ) =

Nadm

λ ≤ λ∗ ,
(10.21)
π2 E 1
σadm λ2
,
λ > λ∗ ;
la seconda parte della curva, per λ > λ∗ , é conosciuta come iperbole di Eulero.
Ncr /Nadm
1
λ∗
λ
Fig. 9.2 - L’iperbole di Eulero
Altri casi di vincolo
´ immediato osservare come nel caso di una trave iperstatica o in presenza di
E
un problema ai valori iniziali (come ad esempio nel caso di una trave incastrata
ad un estremo e libera all’altro estremo per la quale v(0) = 0 e v 0 (0) = 0), la
precedente trattazione non sia applicabile. Detto pertanto M = Mext − Mint , la
condizione di equilibrio M = 0 deve essere sostituita dalla condizione di bilancio
(6.32)2 con q = 0:
M 00 = 0
da cui:
v 0000 + ω 2 v 00 = 0 ,
in (0 , L) ,
(10.22)
che ammette l’integrale generale
v(z) = A sin ωz + B cos ωz + Cz + D ,
dipendente da 4 costanti.
Esempio 25 Trave Incastrata ad un estremo
In questo caso le condizioni al contorno sono di incastro per z = 0
v(0) = 0 ,
v 0 (0) = 0 ,
e T (L) = −N sin ϕ(L) u −N ϕ(L) = N v 0 (L) ed M (L) = 0 per z = L:
v 000 (L) + ω 2 v 0 (L) = 0 ,
v 00 (L) = 0 ;
(10.23)
187
v(z)
ϕ
N
Fig. 9.3 Trave incastrata
abbiamo pertanto:
B + D = 0,
ωA + C = 0 ,
C = 0,
A sin ωL + B cos ωL = 0 ,
cui é associata la matrice

0
1

ω
0
[A ] ≡ 
 sin ωL cos ωL
0
0

0 1
1 0 
.
0 0 
1 0
Dalla condizione det[A ] = ω cos ωL = 0 si ha quindi:
Ncr =
π 2 EJ
,
4L2
v(z) = A sin
πz
.
2L
(10.24)
Esempio 26 Trave Incastrata ad ambedue gli estremi
In questo caso le condizioni al contorno sono di incastro per z = 0 e per
z = L:
v(0) = 0 , v 0 (0) = 0 , v(L) = 0 , v 0 (L) = 0 ;
abbiamo pertanto:
B + D = 0,
ωA + C = 0 ,
A sin ωL + B cos ωL + CL + D = 0 ,
ω(A cos ωL − B sin ωL) + C = 0 ;
ricavando D = −B e C = −ωA dalle prime due, si arriva alle:
(sin ωL − ωL)A + (cos ωL − 1)B = 0 ,
ω(cos ωL − 1)A − ω sin ωL B = 0 ,
188
CAPITOLO 10. IL CARICO CRITICO EULERIANO
cui associata la matrice:

sin ωL − ωL cos ωL − 1
[A ] ≡ 

,
cos ωL − 1
− sin ωL
e la condizione det[A ] = 0 si ha per:
ωL sin ωL + 2(cos ωL − 1) = 0 ,
(10.25)
che viene banalmente risolta per:
sin ωL = 0 ,
cos ωL = 1 ,
ovvero per
ωL = 2kπ ,
ed si ha:
Ncr =
4π 2 EJ
,
L2
k = 1, 2, . . . ∞ ,
v(z) = B(cos
2πz
− 1) .
L
(10.26)
Appendice A
Geometria delle masse
Con il nome di Geometria delle Masse, mutuato dalla dinamica dei sistemi, si
indica la studio di quelle quantit´
a globali che descrivono la distribuzione di massa
in un sistema materiale. In Scienza delle Costruzioni tali quantitá descrivono la
distribuzione dell’area in una sezione retta S e possono essere derivate da quelle
equivalenti per un sistema piano avente densitá unitaria.
Area, Momento Statico, Centro di Massa
Data una sezione retta S e detto x il vettore posizione dei punti X ∈ S rispetto
ad un punto O, ne indichiamo con (x1 , x2 ) le coordinate rispetto ad una base
ortonormale {e1 , e2 }. Definiamo area della sezione retta S:
Z
A=
dA , dA = dx1 dx2 ;
(A.1)
S
definiamo il momento statico rispetto al polo O come:
Z
c0 =
x dA ,
(A.2)
S
di componenti
Z
cα =
xα dA ,
α = 1, 2 .
(A.3)
S
Si dice centro di massa o baricentro G della sezione retta S il valore medio
dei vettori posizione della sezione:
Z
1
xG =
x dA ;
(A.4)
A S
ne consegue che il momento statico rispetto al centro di massa é nullo:
cG = 0 .
189
(A.5)
190
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
Osservazione 22 Sezioni con assi di simmetria: se la sezione S ammette
un’asse di simmetria, per la (A.3) il centro di massa appartiene all’asse di simmetria. Se la sezione ammette 2 assi di simmetria il centro di massa é l’intersezione
dei due assi di simmetria.
Momenti di Inerzia
Si definisce tensore di Eulero, rispetto al polo O, il tensore M simmetrico e
definito positivo:
Z
M=
x ⊗ x dA ;
(A.6)
S
definiamo tensore di Inerzia, rispetto al polo O, il tensore J0 :
J0 = (tr M)I − M ,
(A.7)
il tensore di Inerzia é simmetrico per costruzione ed é definito positivo:
Z
J0 u · u = (kxk2 kuk2 − (x · u)2 ) dA > 0 .
S
Dati due versori n ed m, si definiscono:
• Momento di inerzia Jnn = J0 n · n > 0 ;
• Momento centrifugo Jnm = J0 n · m .
In un riferimento generico la matrice del tensore di inerzia é data dalla:
J11 J12
[J0 ] ≡
,
·
J22
con
Z
J11 =
S
x22 dA ,
Z
J22 =
S
x21 dA ,
Z
J12 = −
x1 x2 dA .
(A.8)
S
Definiamo Momenti principali e Direzioni principali di inerzia rispettivamente
gli autovalori Jα e gli autovettori uα , α = 1, 2, di J0 , con associata rappresentazione matriciale nel riferimento principale:
J1 0
[J0 ] ≡
.
0 J2
Osservazione 23 Sezioni con assi di simmetria: se la sezione ammette un’asse
di simmetria, nel riferimento in cui l’asse di simmetria é un’asse coordinato si
ha:
J12 = 0 ,
e l’asse di simmetria é una direzione principale. Se la sezione ha due assi di
simmetria questi sono direzioni principali centrali e rispetto a ad un sistema di
riferimento coincidente con gli assi la rappresentazione del tensore di inerzia é
spettrale.
191
La traccia del tensore di inerzia é detta Momento di Inerzia Polare:
Z
J0 = tr J0 = J11 + J22 = (x22 + x21 )dA .
(A.9)
S
Si definisce tensore centrale di inerzia il tensore di inerzia JG avente come
polo il centro di massa G. La relazione tra JG e J0 puó facilmente essere ricavata
ponendo:
x = xG + d ,
d = d1 e1 + d2 e2 ,
dα = cost. , α = 1, 2 .
Si ha in tale caso:
Z
J0
(xG + d) ⊗ (xG + d)dA
=
S
Z
(xG ⊗ xG + d ⊗ d + xG ⊗ d + d ⊗ xG )dA
=
S
=
JG + Ad ⊗ d + 2 sym cG ⊗ d ;
che per la (A.5) porta al cosiddetto teorema di Huygens:
J0 = JG + Ad ⊗ d ,
(A.10)
ovvero in componenti:
0
J11
G
= J11
+ Ad22 ,
0
J22
0
J12
G
= J22
+ Ad21 ,
=
G
J12
(A.11)
+ Ad1 d2 .
Dalla (A.10) é immediato osservare che, essendo:
J0 u · u = JG u · u + A(d · u)2 ,
si ha
J0 u · u > JG u · u , ∀O 6= G ,
e pertanto i momenti di inerzia baricentri sono minimi tra tutti i momenti di
inerzia generici rispetto alle medesime direzioni.
Esempio 27 Sezione rettangolare
La sezione rettangolare di area A = bh, con h > b, possiede due assi di
simmetria ed il baricentro ha coordinate xG ≡ (b/2 , h/2). Nel riferimento degli
assi di simmetria si ha:
S ≡ {(x1 , x2 )| −
b
h
h
b
≤ x1 ≤ , − ≤ x2 ≤ } ,
2
2
2
2
192
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
b
h
G
x1
x2
Fig. A.1 - Sezione rettangolare
e pertanto J12 = 0 e:
b
2
Z
J11 =
h
2
Z
dx1
− 2b
x2 dx2 =
−h
2
bh3
,
12
(A.12)
Z
h
2
J22 =
Z
b
2
dx2
−h
2
− 2b
3
x21 dx1 =
hb
.
12
Esempio 28 Sezione a doppio T
La sezione a doppio T possiede anch’essa due assi di simmetria per cui J12 =
0. Per determinare i momenti principali, decomponiamo la sezione in tre sezioni
rettangolari S1 e S2 coincidenti con le ali ed aventi area A1 = A2 = be e S3
coincidente con l’anima ed avente area A3 = a(h − 2e).
193
b
a- h
G
x1
e
?
6
x2
Fig. A.2 - Sezione a doppio T
Per determinare il momento J11 , poiché i tre rettangoli hanno la direzione
x2 come asse baricentrico, é sufficiente applicare la (A.12)2 :
(1)
(2)
(3)
J22 = J22 + J22 + J22 =
b3 e b3 e a3 (h − 2e)
+
+
;
12
12
12
(A.13)
Per calcolare J11 invece, poiché il baricentro delle ali non coincide con il baricentro della sezione, dovremo calcolare il momento baricentrico delle ali e
trasportarlo nel baricentro della sezione mediante la (A.10):
(1)
(2)
(3)
J11 = J11 + A1 d22 + J11 + A1 d22 + J11 ,
con d2 = (h − e)/2; si ha quindi:
J11 = 2(
be3
(h − e)2
a(h − 2e)2
+ be
)+
,
12
4
12
(A.14)
In alternativa si pu´
o calcolare J11 come il momento della sezione rettangolare
di lati b ed h meno il momento delle due sezioni rettangolari di lati h − 2e e
(b − a)/2, poich tutti i rettangoli hanno in questo caso la direzione x1 come asse
194
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
baricentrico. Si ha quindi:
J11 =
bh3
(b − a)(h − 2e)3
−
,
12
12
(A.15)
Per confrontare le proprietá inerziali della sezione a doppio T con quelle
della corrispondente sezione rettangolare, consideriamo ad esempio il profilato
commerciale IPE 300 per la quale, dalla Appendice B abbiamo a = 0, 05b ed
e = 0, 035h, da cui:
A = 0, 11bh ,
G
J22
= 0, 07
hb3
,
12
G
J11
= 0, 235
bh3
;
12
si ha quindi che di fronte ad una riduzione di circa il 90% dell’area (e quindi
del peso) e del momento di inerzia minimo, si ha una riduzione di solo il 78%
del momento di inerzia massimo. Se pertanto valutiamo la rigidezza massima
per unit´
a di peso, ovvero per unitá di area della sezione retta, abbiamo che
per la IPE 300 questo valore é 2, 13 volte quello della sezione rettangolare di
dimensioni corrispondenti.
Esempio 29 Sezione a T
La sezione a T possiede un solo asse di simmetria che assumiamo coincidente
con la direzione x2 e pertanto J12 = 0. Per determinare il baricentro assumiamo
un riferimento con la direzione x01 coincidente con il lembo superiore dell’ala.
L’area della sezione é A = be + a(h − e) Per la (A.4) si ha:
G
x0 1 =
e+h
1 be2
(
+ a(h − e)
),
A 2
2
195
b
x0 1
e? O
G
x0 1
6
G
x1
h
a- x2
Fig. A.3 - Sezione a T
nella quale il momento statico dell’ala e dell’anima rispetto al punto O sono stati calcolati mediante il teorema di Varignon. Per determinare i momenti
di inerzia nel nuovo riferimento, con la direzione x1 passante per il baricentro osserviamo che per quanto riguarda il calcolo del momento J22 valgono le
considerazioni fatte a riguardo della sezione a doppio T:
eb3
a3 (h − e)
+
;
(A.16)
12
12
per quanto riguarda il momento J11 si trasportano i due momenti baricentrici
dell’ala e dell’anima nel baricentro della sezione mediante la (A.10):
J22 =
e
a(h − e)3
h+e
be3
G
G
+ be(x0 1 − )2 +
+ a(h − e)(
− x0 1 )2 .
(A.17)
12
2
12
2
Esempio 30 Sezione a C
La sezione a C possiede un solo asse di simmetria che assumiamo coincidente
con la direzione x1 e pertanto J12 = 0. Per determinare il baricentro assumiamo
un riferimento con la direzione x02 indicata in figura. L’area della sezione é
A = 2be + a(h − 2e) Per la (A.4) si ha:
J11 =
G
x0 2 =
a
1
(eb2 + a(h − 2e)(b − )) .
A
2
196
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
b
- a
h
G
O
x1
e
?
6
x2
G
x0 2
x0 2
Fig. A.4 - Sezione a C
Per il calcolo del momento J11 si ha:
J11 =
bh3
(b − a)(h − 2e)3
−
,
12
12
(A.18)
mentre per il calcolo del momento J22 , mediante Huygens:
J22 = 2
(h − 2e)a3
a
eb3
+
+ (h − 2e)a(b − )2 .
12
12
2
(A.19)
Esempio 31 Sezione ad L ad ali diseguali
La sezione ad L ad ali diseguali non possiede nessun asse di simmetria.
Pertanto individuamo le coordinate del baricentro rispetto ad un riferimento
centrato in O e con gli assi tangenti il lati della sezione.
197
b
e
?
0
x1
O
G
x0 1
6
G
x1
h
a- x2
G
x0 2
x0 2
Fig. A.5 - Sezione ad L ad ali diseguali
L’area dalla sezione é A = be + a(h − e) e per la (A.4) si ha:
G
x0 1 =
1 2
(b e + a2 (h − e)) ,
2A
G
x0 2 =
1
(be2 + a(h2 − e2 ) .
2A
I momenti di inerzia rispetto al riferimento baricentrico (x1 , x2 ) non principale
sono dati dalle:
be3
e
(h − e)3 a
h+e
G
G
+ be(x0 2 − )2 +
+ a(h − e)(
− x0 2 )2 ,
12
2
12
2
eb3
b
(h − e)a3
a
G
G
G
J22
=
+ be( − x0 1 )2 +
+ a(h − e)(x0 1 − )2 ,
12
2
12
2
b
e
a h+e
G
G
0G
0G
0G
−J12 = be( − x 1 )(x 2 − ) + a(h − e)(x 1 − )(
− x0 2 ) ,
2
2
2
2
ed i momenti e le direzioni principali di inerzia si determinano mediante le:
r
G
G
G
J11
+ J22
J G − J22
G )2 ,
J1,2 =
± ( 11
)2 + (J12
(A.20)
2
2
essendo il riferimento principale
G
J11
=
u1 = cos θe1 + sin θe2 ,
u2 = − sin θe1 + cos θe2 ,
198
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
con
tan θ =
G
J1 − J11
.
G
J12
(A.21)
Esempio 32 Sezione ad L ad ali uguali
La sezione ad ad L ad ali uguali ha un’asse di simmetria ruotato di π/4
rispetto ai lati della sezione. Ponendo nei risultati dell’esempio precedente h = b
ed a = e, otteniamo A = e(2b − e):
G
G
x0 1 = x0 2 =
2b2 − e2
= d,
2b − e
b
e
x0 1
O
?
G
x0 1
6
G
x1
x2
x0 2
Fig. A.6 - Sezione a L ad ali uguali
G
G
= J22
; i momenti di inerzia rispetto al
e per simmetria si ha inoltre che J11
riferimento baricentrico (x1 , x2 ) non principale sono quindi:
G
J11
=
G
−J12
=
1 3
(eb + be3 − e4 ) + 2bed2 − b2 ed − be2 d − e2 d2 + e3 d ,
3
be3
e4
b2 ed − b2 e2 − 2bed2 + be2 d − e3 d + e2 d2 −
+
.
4
4
199
Per determinare i momenti principali, poiché sono note le direzioni principali,
é sufficiente ruotare il riferimento di un’angolo θ = π/4 ottenendo:
 √
√ 
√ 
  √2
 G

2
2
2
G
G
G
−
J
J
J11 − J12
0
11
12
2 
2
2 

 2

,
≡
[JG ] ≡  √

√
√
√ 
G
G
G
G
2
2
2
2
J12 J11
0
J11 + J12
−
2
2
2
2
da cui:
J1
J2
=
1 3
(eb + be3 − e4 ) − b2 ed
3
+
4bed2 − 2b2 ed − 2be2 d − 2e2 d2 + 2e3 d +
=
1 3
(eb + be3 − e4 ) + b2 ed ,
3
be3
e4
−
,
4
4
Esempio 33 Sezione circolare
Nella sezione circolare di raggio R, ogni coppia di direzioni ortogonale é
principale. Pertanto:
G
G
J11
= J22
=J;
il modo pi´
u semplice per calcolare J é quello di calcolare il momento di inerzia
polare:
Z
J0 = 2J = (x22 + x21 )dx1 dx2 ,
S
utilizzando le coordinate polari:
x1 = r cos θ ,
x2 = r sin θ ;
si ha quindi, poiché dx1 dx2 = rdrdθ:
Z 2π Z
J0 =
dθ
0
R
r3 dr =
0
da cui
J=
πR4
4
πR4
,
2
(A.22)
Ellisse di Inerzia. Nocciolo di Inerzia
Consideriamo un tensore di inerzia J0 valutato rispetto ad un punto generico O
ed il luogo dei punti x tali che:
J0 x · x = λ 2 ;
(A.23)
Poiché J0 é definita positiva, questo luogo é una ellisse detta Ellisse di inerzia
di centro O. Normalizzando la (A.23) rispetto all’area della sezione retta S ed
al determinante di J0 , ovvero ponendo:
λ2 =
det J0
,
A
200
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
dalla (A.23) si arriva, nel riferimento principale, all’equazione dell’ellisse di
inerzia:
x21
x2
+ 22 = 1 ,
2
ρ1
ρ2
(A.24)
i cui semiassi ρ1 e ρ2 sono detti raggi di inerzia e sono definiti come:
r
ρ1 =
J2
,
A
r
ρ2 =
J1
.
A
(A.25)
Definiamo coniugate due direzioni n e s se:
J0 n · s = 0 :
(A.26)
posti
n = cos βe1 + sin βe2 ,
s = cos αe1 − sin αe2
(A.27)
si ha
J0 n · s = −J1 (cos α cos β) + J2 (sin α sin β) = 0 ,
da cui la cosiddetta relazione di coniugio:
tan α tan β =
J1
.
J2
(A.28)
All’ellisse di inerzia, mediante la sua definizione, é associata una corrispondenza biunivoca tra punti della sezione retta e rette in R2 detta Polarit´
a di
Inerzia. In particolare, considerato un punto xC detto polo si definisce come
polare la retta:
c ≡ {x ∈ R2 | A(det J−1
0 )J0 xC · x = 1} ;
(A.29)
si definisce antipolare di xC la retta:
c0 ≡ {x ∈ R2 | A(det J−1
0 )J0 xC · x = −1} ,
(A.30)
(ovvero, l’antipolare di xC é la polare di −xC ). Da un punto di vista geometrico,
la polare c é la retta congiungente i due punti di tangenza delle rette per il polo
tangenti all’ellisse di inerzia.
201
x2
xC
c
G
x1
−xC
Fig. A.7 - Polaritá di Inerzia
Data una sezione retta S, ne definiamo l’inviluppo convesso come l’inviluppo
di tutte le rette tangenti e non secanti la sezione. Definiamo Nocciolo di inerzia
relativo al punto O il luogo dei punti N ⊂ R2 la cui frontiera ∂N é formata
dagli antipoli dell’inviluppo convesso. Definiamo Nocciolo centrale di inerzia il
nocciolo di inerzia valutato rispetto al baricentro G.
Se xC ≡ (¯
x1 , x
¯2 ), dalla (A.24) si ha che l’equazione dell’antipolare c0 é:
c0 ≡ {
x
¯1 x
¯2
x1 x1 = −1 } ,
ρ21 ρ22
(A.31)
o in forma cartesiana, ad esempio risolta rispetto ad x2 :
x2 = mx1 + p ,
m=−
x
¯1 ρ22
,
x
¯2 ρ21
p=−
ρ22
.
x
¯2
(A.32)
La propriet´
a del nocciolo di inerzia N é che tutti i punti interni al nocciolo
hanno antisolare non secante la sezione retta S, mentre tutti a tutti i punti
esterni corrisponderanno antisolari secanti la sezione. Infatti, detto xα
C = αxC ,
si ha dalla (A.32):
p
x2 = mx1 + ;
(A.33)
α
202
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
per 0 < α < 1 il polo é interno al nocciolo e l’ordinata all’origine aumenta,
quindi l’antipolare é parallela all’antipolare tangente e non secante ed é esterna
all’inviluppo convesso. Per α > 1 l’ordinata all’origine diminuisce e l’antipolare
diviene secante la sezione retta.
Osservazione 24 Sezioni con spigoli
Se la frontiera della sezione retta ha uno spigolo, individuato dalle due rette
tangenti a0 e b0 , ogni retta c0 tangente e non secante la sezione nello spigolo
pu´
o essere rappresentata come la combinazione convessa delle due rette che
individuano lo spigolo:
c0 = (1 − λ)a0 + λb0 ,
λ ∈ (0, 1) ;
se xA ed xB sono rispettivamente gli antipoli di a0 e b0 , dalla definizione di
antipolare si ha che l’antipolo xC di c0 appartiene al segmento B − A:
xC = (1 − λ)xA + λxB .
Osservazione 25 Sezioni con assi di simmetria
Se una sezione ha uno o due assi di simmetria, questi saranno anche assi di
simmetria per il nocciolo di inerzia N .
Esempio 34 Sezione Circolare
Il nocciolo di inerzia di una sezione circolare é, per ovvie considerazioni di
simmetria, un disco il cui raggio R∗ si calcola mediante la (A.31) essendo
ρ2 =
R2
J
=
,
A
4
da cui R∗ = R/4.
Esempio 35 Sezione rettangolare, a doppio T ed a C
Per una sezione rettangolare l’inviluppo convesso é formato dalla frontiera
S della sezione e da tutte le rette tangenti gli spigoli e non secanti la sezione.
Poich la sezione ha due assi di simmetria, il nocciolo centrale é un rombo. Infatti,
poiché la frontiera é definita dalle quattro rette:
b
a0 ≡ { x1 = − } ,
2
b0 ≡ { x1 =
b
},
2
h
c0 ≡ { x2 = − } ,
2
b2
,
12
ρ22 =
ed essendo i raggi di inerzia:
ρ21 =
h2
.
12
d0 ≡ { x2 =
h
},
2
203
c0 ≡ {x2 = − h2 }
D ≡ (0 , − h6 )
J
( 6b , 0) ≡ A JJ
b
x1
NJJ B ≡ (− 6 , 0)
J
C ≡ (0 , h6 )
d0 ≡ {x2 = h2 }
a0 ≡ {x1 = 2b }
x2
b0 ≡ {x1 = − 2b }
Fig. A.8 - Sez. rettangolare - Nocciolo centrale di inerzia
Dalla (A.31) si ha che gli antipoli delle quattro rette sono rispettivamente i
punti:
b
A ≡ ( , 0) ,
6
b
B ≡ (− , 0) ,
6
h
C ≡ (0 , ) ,
6
h
D ≡ (0 , − ) ,
6
(A.34)
e per le propriet´
a delle sezioni con spigoli questi punti sono i vertici del rombo
che forma il nocciolo centrale.
Osserviamo che anche la sezione a doppio T e la sezione a C hanno come
inviluppo convesso un rettangolo. Pertanto il nocciolo centrale sará in ambo i
casi un rombo, con due assi di simmetria per la sezione a doppio T e con un
solo asse di simmetria per la sezione a C.
Esempio 36 Sezione a T ed ad L
Per la sezione a T l’inviluppo convesso é formato da sei rette e pertanto il
nocciolo é un poligono a sei vertici simmetrico rispetto all’asse verticale. Per
la sezione ad L l’inviluppo convesso é formato da 5 rette ed il nocciolo é un
poligono a 5 vertici, che ha un’asse di simmetria se le ali sono uguali. Nelle
figure successive sono indicati, in maniera qualitativa, i noccioli centrali per
queste sezioni.
204
APPENDICE A. GEOMETRIA DELLE MASSE
a0
a0
B
c0 B
d0
H
H
B F
HE B G
SS x1 D B
SC
b
"
Bb
"
e0BB bb"" f 0
A
B
B
B
B
B B b0
x2
B
c0 J
P
J P E
JD S G
C
J S
x1
JS
S 0J
e J S
A
J
J
J
J
J
J
b0
d0
x2
Fig. A.9 - Nocciolo centrale di inerzia - Sezioni a T ed L
Appendice B
Caratteristiche geometriche
dei profilati
I seguenti sagomari sono tratti da: Profilati a caldo e travi saldate per strutture
(Tabelle per il calcolo), ITALSIDER, 1969.
205
206
APPENDICE B. PROFILATI
207
208
APPENDICE B. PROFILATI
209
210
APPENDICE B. PROFILATI
211
212
APPENDICE B. PROFILATI
213
214
APPENDICE B. PROFILATI
Appendice C
Tabelle per il calcolo dei
termini ηij ed ηi0
Nella soluzione dei problemi iperstatici mediante le equazioni di M¨
uller-Breslau,
si devono calcolare integrali del tipo:
Z
Z
N0 Nj
M0 Mj
Ni Nj
Mi Mj
ηj0 = (
+
)dz , ηij = (
+
)dz ;
(C.1)
EA
EJ
EA
EJ
S
S
possiamo calcolare questi integrali, per diagrammi delle caratteristiche costanti,
lineari e paraboliche, mediante delle relazioni dipendenti dai soli valori massimi della caratteristica di sollecitazione e dalla dimensione del dominio di
integrazione.
Nel seguito considereremo solo i diagrammi del momento flettente, valendo
peraltro le medesime considerazioni per i diagrammi della forza normale.
Consideriamo sull’intervallo I ≡ (0 , L) un diagramma del momento flettente
M = M (z); se denotiamo con M il valore massimo di M (z) su I:
M = max M (z) ,
z∈(0 ,L)
possiamo riscrivere la funzione M (z) in termini della funzione adimensionale
f = f (z):
M (z) = M f (z) .
Se consideriamo due diagrammi Mi (z) = Mi f (z) e Mj (z) = Mj g(z), allora:
Z
L
Z
Mi (z)Mj (z)dz = Mi Mj
0
L
f (z)g(z)dz = αMi Mj L .
0
Nelle tabelle successive si riportano i valori del parametro α per diagrammi del
momento flettente costanti, lineari e parabolici.
215
216
APPENDICE C. TABELLE ηIJ ED ηI0
Osservazione 26 : Funzioni lineari
Nelle tabelle sono riportate solamente funzioni lineari che vanno da 0 al
valore massimo Mi od Mj . Osserviamo che una funzione lineare avente valori
agli estremi Mi0 ed Mi00 , é sempre decomponibile in una funzione costante Mj0
ed una lineare con estremi 0 ed Mj0 − Mj00 come quelle riportate nelle tabelle.
Ad esempio:
Mi0
!
!!
Mi00
!!
=
00
, Mi
,
,
=
,
Mi0 ,
Mi0
Mi0
!
!! Mi0 − Mi0
+ !!
,
,
Mi0 + Mi0
,
,
+ ,
Tabella C.1: coefficiente α
a
Mi aaaa
Mi
Mj
a
Mj aaa
a
!
!! Mj
!!
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj HHH
x x0 H
!
!! Mi
!!
1
1/2
1/2
1/2
1/3
1/6
1/2
1/6
1/3
1/3
1/4
1/12
1/3
1/12
1/4
2/3
1/4
5/12
2/3
5/12
1/4
2/3
1/3
1/3
1/2
1/4
1/4
217
Tabella C.2: coefficiente α
Mi
Mj
a
Mj aaaa
!
!! Mj
!!
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj HHH
x x0 H
Mi
Mi
1/3
1/3
2/3
1/4
1/12
1/4
1/12
1/4
5/12
1/5
1/30
3/10
1/30
1/5
2/15
3/10
2/15
8/15
2/15
3/10
11/30
1/3
1/3
7/15
1 3x
12 ( L
+
(x0 )2
L2 )
1 3x0
12 ( L
+
x2
L2 )
1
12 (3
+
3x
L
−
x2
L2 )
218
APPENDICE C. TABELLE ηIJ ED ηI0
Tabella C.3: coefficiente α
Mi
Mi
Mj
2/3
273
1/2
5/12
1/3
1/4
1/4
1/3
1/4
2/15
1/5
3/10
1/5
11/30
7/15
8/15
7/15
7/15
8/15
a
Mj aaa
a
!
!! Mj
!!
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj HHH
x x0 H
1
12 (3
Mi HHH
x x0 H
+
3x0
L
−
(x0 )2
L2 )
1
3 (1
+
xx0
L2 )
1 3x
12 ( L
1 3x0
12 ( L
1
12 (3
1
12 (3
+
+
+
3x
L
3x0
L
1
3 (1
(x0 )2
L2 )
+
+
x2
L2 )
−
−
x2
L2 )
(x0 )2
L2 )
xx0
L2 )
1/3
Bibliografia
Un avvertenza preliminare: la Scienza delle Costruzioni é oggetto di una prolifica letteratura. Molti sono i testi validi reperibili in commercio e in linea di
massima sono tra loro pressoché equivalenti con alcune notabili eccezioni. La
bibliografia che segue non é una graduatoria di apprezzamento, bens´ı riflette i
gusti e sopratutto le limitate conoscenze dello scrivente.
1- Cenni di Algebra e Analisi
Il corso presuppone la conoscenza degli argomenti di Algebra Lineare ed Analisi
Matematica usualmente trattati nei corsi di Geometria, Analisi Matematica I
ed Analisi Matematica II. Tra i molti validi testi in commercio si indicano, a
titolo di esempio:
• M. Abate - Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGrawHill Companies, 2010.
• F. Alessio, P. Montecchiari, - Note di Analisi Matematica. Esculapio 2012
oppure due testi ormai classici:
• E. Giusti - Analisi Matematica, vol. 1 e 2. Bollati Boringhieri, 2002
• S. Lang - Algebra Lineare. Bollati Boringhieri, 1977
2 - Cinematica
La parte riguardante la cinematica dei moti rigidi ed i vincoli era tradizionalmente insegnata nell’ormai scomparso corso di Meccanica Razionale. La migliore
trattazione di questo argomento é reperibile in:
• E. DiBenedetto - Classical Mechanics - Theory and Mathematical Modeling. Birkhuser, 2011
o in lingua italiana in quello che possiamo considerare un vero classico:
• G. Grioli - Lezioni di Meccanica Razionale. Cortina (Padova), 2002 .
219
220
BIBLIOGRAFIA
Per quanto riguarda l’analisi della deformazione, si consiglia per chiarezza espositiva la trattazione presentata nel Chap. III di:
• M. E. Gurtin - An introduction to Continuum Mechanics. Academic Press,
New York, 1981.
3 - Statica
In questo caso, i due testi di riferimento sono:
• M. E. Gurtin - An introduction to Continuum Mechanics. Academic Press,
New York, 1981,
• M. E. Gurtin - The Linear Theory of Elasticity. Handbook of Physics,
Vol. VIa/2, Springer, 1972.
4 - Relazioni Costitutive
L’argomento delle relazioni costitutive per materiali anisotropi nell’ambito della
elasticit´
a lineare é diffusamente e dettagliatamente trattato nel giá citato:
• M.E. Gurtin - The Linear Theory of Elasticity. Handbook of Physics, Vol.
VIa/2, Springer, 1972.
5 - Il problema elastico
Sull’argomento, oltre all’articolo di Gurtin sull’Handbook of Physics giá citato,
una sintesi mirabile per chiarezza espositiva e semplicitá é reperibile in:
• P. Podio Guidugli - A Primer in Elasticity. Journal of elasticity and the
physical science of solids, 58, Issue 1, pp 1-104, 2000.
6 - Travi I - La teoria tecnica
Le equazioni della teoria tecnica sono presentate in ogni testo di Scienza delle
Costruzioni, anche se in taluni casi la loro derivazione é confusa o distorta, come
nel caso in cui le si deriva dai risultati del Problema di Saint Venant. Per pura
curiosit´
a, il lavoro originale di Kirchhoff é
¨
• G. Kirchhoff- Uber
das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich
d¨
unnen elastischen Stabes. J. f. reine. angew. Math. (Crelle) 56, 285-313,
1859.
mentre una sua rilettura in termini moderni é presentata in
• E.H. Dill - Kirchhoff ’s theory of rods. - Archive for History of Exact
Sciences. Volume 44, Issue 1, pp 1-23, 1992.
221
Per quanto riguarda il modello di Reissner-Timoshenko, il lavoro originale é:
• S.P. Timoshenko - On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section,
Philosophical Magazine, p. 744, (1921).
mentre la sua derivazione nell’ambito della elasticitá finita é in:
• E. Reissner - On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane
problem. Zeitschrift f¨
ur angewandte Mathematik und Physik (ZAMP)
Volume 23, Issue 5, pp 795-804, 1972.
Per quanto riguarda gli esercizi, una buona collezione di esercizi svolti si
trova in molti testi di Esercizi di Scienza delle Costruzioni. In questo campo
resta un classico, anche se di non facile lettura:
• O. Belluzzi- Scienza delle Costruzioni, Volume I. Pitagora, Bologna, 1966
(Ristampa 1973 Con 530 esercizi svolti e 606 figure e con indice analitico
a cura dell’ing.Guido Sangiorgi.).
7 - Travi II - Il problema di Saint Venant
Il problema di Saint Venant é diffusamente trattato in ogni testo di Scienza delle
Costruzioni. La migliore trattazione disponibile attualmente é quella presentata
in:
• R. Baldacci- Scienza delle Costruzioni, 2 voll. Hoepli, Torino, 1970.
Una descrizione del retroterra scientifico e sociale nel quale operó Saint Venant,
oltre che una piacevole trattazione del problema stesso, sono reperibili in:
• E. Benvenuto - La Scienza delle Costruzioni nel suo sviluppo storico, Utet,
Milano, 1980.
A puro titolo di curiosit´
a storica, i lavori originali di Saint Venant sono:
• A.-J.-C.B.- de Saint-Venant -Mémoire sur la torsion des prismes. Mémoires
des Savants étrangers 14, 233, 1856.
• A.-J.-C.B.- de Saint-Venant-Mémoire sur la flexion des prismes. Journal
de Mathématiques de Liouville, Ser. II, 1, 89, 1856,
mentre lo sviluppo successivo del lavoro, e l’adozione in maniera cosciente del
metodo semi-inverso si trovano in:
• A. Clebsch - Theorie der Elasticit¨
at fester K¨
orper. Leipzig, B.G. Teubner,
1862.
222
BIBLIOGRAFIA
8 - Il problema di Saint Venant: casi di sollecitazione
La discussione completa dei casi di sollecitazione si trova in
• R. Baldacci- Scienza delle Costruzioni, 2 voll. Hoepli, Torino, 1970,
ed anche in
• L. F. Donato - Lezioni di Scienza delle Costruzioni, 2 voll. Colombo-Cursi,
Pisa, 1955.
In lingua inglese la trattazione pi´
u completa é presentata in
• I.S. Sokolnikoff - Mathematical Theory of Elasticity, Mac Graw Hill Book
Company, 1956.
9 - I criteri di sicurezza
La discussione dei criteri di snervamento, dai quali i criteri di sicurezza discendono, é presente in molti recenti testi di Scienza delle Costruzioni. Per una
trattazione complessiva dell’argomento nell’ambito della teoria della plasticitá
si veda
• J. Lubliner - Plasticity Theory, Dover Books on Engineering. 2008 Paperback Reprint of 1990 Edition,
o il classico:
• R. Hill - The Mathematical Theory of Plasticity, Oxford Classic Texts in
the Physical Sciences, 1998 Paperback Reprint of 1950 Edition.
10 - Il carico critico Euleriano
Per un migliore inquadramento del problema del carico critico Euleriano, si
vedano le parti iniziali di un classico:
• S.P. Thimoshenko, G.M. Gere - Theory of Elastic Stability, Dover Civil
and Mechanical Engineering, 2009 Paperback Reprint of 1951 Edition.

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