Regressione lineare semplice: inferenza
Eduardo Rossi2
2 Universit`
a
di Pavia (Italy)
Marzo 2014
Rossi
Regressione lineare semplice
Econometria - 2014
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Outline
1
Introduzione
2
Verifica di ipotesi
3
Intervalli di confidenza
4
Variabili binarie
5
Omoschedasticit`a
6
Errori standard con omoschedasticit`
a
7
Teorema di Gauss-Markov
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Introduzione
Sommario
L’errore standard di βˆ1
Verifiche di ipotesi concernenti β1
Intervalli di confidenza per β1
La regressione quando X `e variabile binaria
Eteroschedasticit`a e omoschedasticit`
a
Efficienza OLS e distribuzione t di Student
Rossi
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Introduzione
Sommario
Vogliamo conoscere la pendenza della retta di regressione. Disponiamo
dei dati di un campione, perci`
o sussiste l’incertezza dovuta al
campionamento. Per raggiungere l’obiettivo si procede in cinque
passaggi:
Definire la popolazione oggetto di interesse
Fornire uno stimatore di questa popolazione
Derivare la distribuzione campionaria dello stimatore (ci`o richiede
alcune assunzioni). In grandi campioni questa distribuzione
campionaria sar`a normale per il TLC.
La radice quadrata della varianza stimata della distribuzione
campionaria `e l’errore standard (SE) dello stimatore
Utilizzare SE per costruire statistiche- t (per le verifiche di ipotesi)
e intervalli di confidenza.
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Introduzione
L’oggetto di interesse: β1
Yi = β0 + β1 Xi + ui
i = 1, 2, . . . , n
∆Y
∆Y
per una variazione autonoma in X (effetto casuale). Sotto le
assunzioni degli OLS:
β1 =
1
E[ui |Xi ] = 0 (prima assunzione)
2
{Yi , Xi }, i = 1, 2, . . . , n sono i.i.d. (seconda assunzione).
3
X, Y hanno momenti quarti finiti non nulli (terza assunzione)
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Introduzione
La distribuzione campionaria di βˆ1
Sotto le assunzioni dei minimi quadrati, per n grande, la distribuzione
di βˆ1 `e approssimata da
βˆ1 ≈ N β1 ,
Rossi
σv2 2 )2
n(σX
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Verifica di ipotesi
Verifica di ipotesi ed errore standard
L’obiettivo `e di verificare un’ipotesi, quale β1 = 0, utilizzando i dati per determinare sperimentalmente se l’ipotesi (nulla) `e corretta.
Impostazione generale
Ipotesi nulla e alternativa bilaterale:
H0 : β1 = β1,0 vs. H1 : β1 6= β1,0
dove β1,0 `e il valore ipotizzato sotto l’ipotesi nulla.
Ipotesi nulla e alternativa unilaterale:
H0 : β1 = β1,0 vs. H1 : β1 < β1,0
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Verifica di ipotesi
Soluzione generale: costruire la statistica-t
In generale:
t=
stimatore − valore ipotizzato
errore standard dello stimatore
dove l’SE dello stimatore `e la radice quadrata di uno stimatore
della varianza dello stimatore.
Per verificare la media di Y :
Y¯ − µY,0
√
t=
sY / n
Per verificare β1
t=
βˆ1 − β1,0
,
SE(βˆ1 )
dove SE(βˆ1 ) `e la radice quadrata di uno stimatore della varianza
della distribuzione campionaria di βˆ1 .
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Verifica di ipotesi
Formula per calcolare lo SE(βˆ1 )
Si ricordi l’espressione per la varianza di (n grande):
Var [βˆ1 ] =
Var [(Xi − µX )ui ]
,
2 )2
n(σX
dove vi = (Xi − µX )ui . Lo stimatore della varianza di βˆ1 sostituisce i
2 con gli stimatori ricavati dai
valori di popolazione ignoti di σv2 e σX
dati:
1 stimatore di σv2
2 )2
n (stimatore di σX
P
1
ˆi2
1
iv
n−2
=
P
¯ 2 ]2
n [ n1 i (Xi − X)
σ
ˆβ2ˆ =
1
Rossi
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Verifica di ipotesi
Formula per calcolare lo SE(βˆ0 )
Dato
Var[Hi ui ]
n[E(Hi2 )]2
µX
Hi = 1 −
Xi
E(Xi2 )
Var[βˆ0 ] =
lo stimatore
σ
ˆβ2ˆ
0
1 P
2
ˆ 2u
1 n−2 i=1 H
i ˆi
= P
n 1 n ˆ2 2
H
i=1
i
n
dove
"
ˆi = 1 −
H
Rossi
1
n
¯
X
P
#
2
i=1 Xi
Regressione lineare semplice
Xi
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Verifica di ipotesi
Formula per calcolare lo SE
E’ leggermente complicato, tuttavia:
lo `e meno di quanto sembri. La varianza Var[v] `e stimata dal
numeratore, mentre Var[X]2 `e stimata dal denominatore.
Perch`e la correzione dei gradi di libert`
a n − 2? Perch`e sono stati
stimati due coefficienti β0 e β1 .
SE(βˆ1 ) viene calcolato dal software di regressione
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Verifica di ipotesi
Riepilogo
Per verificare:
H0 : β1 = β1,0 vs H1 : β1 6= β1,0
Costruire la statistica-t
t=
βˆ1 − β1,0
βˆ1 − β1,0
= q
SE(βˆ1 )
σ
ˆ 2ˆ
β1
Si rifiuta al livello di significativit`
a del 5% se |t| > 1, 96.
act
Il valore p `e p = P r[|t| > |t |] = probabilit`
a nell’area delle code
act
della normale, cio`e > |t |;
si rifiuta al livello di significativit`
a del 5% se il valore p `e < 5%.
Questa procedura si affida all’approssimazione di n grande che βˆ1
sia distribuito normalmente; in generale n = 50 `e grande
abbastanza per un’approssimazione eccellente.
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Verifica di ipotesi
Esempio: Punteggi nei test e STR dati della California
Regressione lineare stimata:
\
[
Test
Score = 698, 9 − 2, 28ST
R
Il software di regressione segnala gli errori standard:
SE(βˆ0 ) = 10, 4
SE(βˆ1 ) = 0, 52
Verifica dell’ipotesi nulla β1,0 = 0. Rapporto t
t=
βˆ1 − β1,0
−2, 28 − 0
= −4, 38
=
ˆ
0, 52
SE(β1 )
Il livello di significativit`
a bilaterale dell’1 % `e 2,58, perci`o
rifiutiamo l’ipotesi nulla al livello di significativit`a dell’1%.
In alternativa, possiamo calcolare il valore p...
Il valore p basato sull’approssimazione normale standard con n
grande alla statistica t `e 0,00001 (10–5)
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Verifica di ipotesi
P-value
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Intervalli di confidenza
Intervalli di confidenza per β1
Si ricordi che un intervallo di confidenza al 95% equivale a:
la serie di punti che non pu`
o essere rifiutata al livello di
significativit`a del 5%;
una funzione polidroma (un intervallo funzione dei dati) che
contiene il reale valore del parametro il 95% delle volte nei
campioni ripetuti.
Poich`e la statistica t per β1 `e N (0, 1) in grandi campioni, la
costruzione di un intervallo di confidenza al 95% per β1 equivale al
caso della media campionaria:
intervallo di confidenza al 95% per β1
{βˆ1 ± 1, 96 × SE(βˆ1 )}
Rossi
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Intervalli di confidenza
Esempio di intervallo di confidenza
Retta di regressione stimata
\
[
Test
Score = 698, 9 − 2, 28ST
R
SE(βˆ0 ) = 10, 4
SE(βˆ1 ) = 0, 52
Intervallo di confidenza al 95% per βˆ1 :
{βˆ1 ± 1, 96SE(βˆ1 )} = {−2, 28 ± 1.96 × 0.52} = {−3, 30; −1, 26}
Le due affermazioni seguenti sono equivalenti:
L’intervallo di confidenza al 95% non include lo zero;
L’ipotesi β1 = 0 `e rifiutata al livello del 5%.
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Intervalli di confidenza
Riepilogo di inferenza statistica
Stima:
Gli stimatori OLS hanno approssimativamente distribuzioni
campionarie normali in grandi campioni
Verifica:
H0 : β1 = β1,0 vs β1 6= β1,0 (β1,0 `e il valore di β1 sotto H0 )
T (βˆ1 − β1,0 )/SE(βˆ1 )
valore-p = area sotto la normale standard al di fuori di |tact | (n
grande)
Intervalli di confidenza:
l’intervallo di confidenza al 95% per β1 `e {βˆ1 ± 1, 96 × SE(βˆ1 )}
Questo `e l’insieme di β1 che non `e rifiutato al livello del 5%
L’IC al 95% contiene il β1 reale nel 95% di tutti i campioni.
Rossi
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Variabili binarie
La regressione quando X `e una variabile binaria
A volte un regressore `e binario:
1 se classe piccola
X=
0 altrimenti
X=
X=
1 femmina
0 maschio
1 se trattato (farmaco sperimentale)
0 altrimenti
I regressori binari sono a volte chiamati variabili dummy.
Fin qui β1 `e stato chiamato pendenza ma ci`
o non ha senso se la
variabile X `e binaria.
Come interpretiamo la regressione con un regressore binario?
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Variabili binarie
Interpretazione delle regressioni con un regressore
binario
Yi = β0 + β1 Xi + ui
Quando Xi = 0:
Yi = β0 + ui
E[Yi |Xi = 0] = β0
quando Xi = 1
Yi = β0 + β1 + ui
E[Yi |Xi = 1] = β0 + β1
quindi
β1 = E[Yi |Xi = 1] − E[Yi |Xi = 0]
`e pari alla differenza tra medie.
Rossi
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Variabili binarie
Esempio
Sia
Di =
1 se ST R ≤ 20
0 se ST R > 20
Regressione OLS:
\
Test
Score = 650 + 7, 4 × Di
(1,3)
(1,8)
Dimensione classe
Punteggio medio Y¯
Dev.Stand. (sY )
N
Piccola STR ≤ 20
Grande STR > 20
Differenza tra medie:
657,4
650
19,4
17,9
238
182
Ypiccola − Ygrande = 657, 4 − 650 = 7, 4
s
r
s2p
s2g
19, 42 17, 92
SE =
+
=
+
= 1, 8
np ng
238
182
Rossi
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Variabili binarie
Riepilogo: regressione quando la variabile X `e binaria
β0 media di Yi quando X = 0
β0 + β1 = media di Yi quando X = 1
β1 = differenza tra medie, X =1 meno X = 0
SE(βˆ1 ) ha l’interpretazione consueta
statistica-t, intervalli di confidenza costruiti come di consueto.
Questo `e un altro modo (facile) per eseguire l’analisi della
differenza tra medie
La formulazione della regressione `e particolarmente utile quando
abbiamo regressori supplementari.
Rossi
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Omoschedasticit`
a
Eteroschedasticit`a e omoschedasticit`a
Conseguenze dell’omoschedasticit`
a
Implicazioni per il calcolo degli errori standard
Che cosa significano questi due termini?
Se Var[u|X = x] `e costante - ossia se la varianza della
distribuzione di u condizionata a X non dipende da X –allora u `e
detto omoschedastico. In caso contrario, u `e eteroschedastico.
Rossi
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22 / 60
Omoschedasticit`
a
Esempio: etero/omoschedasticit`a nel caso di un
regressore binario
Errore standard quando le varianze sono ineguali:
s
s2g
s2p
SE =
+
np ng
Errore standard quando le varianze sono uguali:
s
1
1
+
SE = sp
np ng
Vedi SW, Paragrafo 3.6
s2p
(ns − 1)s2s + (ng − 1)s2g
=
np + ng − 2
sp stimatore di σ 2 quando σp2 = σg2 .
Varianze uguali = omoschedasticit`
a
Varianze ineguali = eteroschedasticit`
a
Rossi
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23 / 60
Errori standard con omoschedasticit`
a
Omoschedasticit`a in un’immagine:
E[u|X] = 0 (u soddisfa l’assunzione dei minimi quadrati n. 1)
La varianza di u non dipende da x
Rossi
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Un esempio con dati reali dall’economica del lavoro
La retribuzione oraria media rispetto agli anni di istruzione (fonte dati:
Current Population Survey):
Eteroschedasticit`
a o omoschedasticit`
a?
Rossi
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Quale assunzione sulla varianza degli errori?
Le tre assunzioni dei minimi quadrati:
E[u|X] = 0
(Xi , Yi ), i = 1, 2, . . . , n, sono i.i.d.
Gli outlier sono rari
Eteroschedasticit`a e omoschedasticit`
a concernono Var[u|X]. Poich`e
non abbiamo assunto esplicitamente gli errori omoschedastici,
abbiamo ammesso implicitamente l’eteroschedasticit`
a.
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Errori omoschedastici-Var[βˆ1 ]
Si pu`o dimostrare che l’OLS ha la varianza minore tra gli stimatori
lineari in Y... un risultato chiamato teorema di Gauss-Markov.
La formula per la varianza di βˆ1 e per l’errore standard OLS si
semplifica: se
Var[ui |Xi = x] = σ 2
Var[βˆ1 ] =
σu2
V ar[¯
v]
1 σv2
=
=
2 )2
2
[V ar(Xi )]2
n (σX
nσX
dato
Var[(Xi − µX )ui ] = E [vi − E(vi )]2
= E[vi2 ]
= E[(Xi − µX )2 u2i ]
= E[(Xi − µX )2 E(u2i |Xi )]
2 2
= σX
σu
Rossisegue
da cui
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Errori omoschedastici-Var[βˆ0 ]
La formula per la varianza di βˆ0 nel caso eteroschedastico
Var[Hi ui ]
n[E(Hi2 )]2
µX
Hi = 1 −
Xi
E(Xi2 )
Var[βˆ0 ] =
dato che
E[Hi ui ] = E[Hi E(ui |Xi )] = 0
Var[Hi ui ] = E[Hi2 u2i ]
= E[Hi2 E(u2i |Xi )]
= σu2 E[Hi2 ]
Rossi
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Errori omoschedastici–Var[βˆ0 ]
Ora
2
µX
µX
2
Xi − 2
Xi
=1+
E(Xi2 )
E(Xi2 )
µ2X
µX
2
E[Hi2 ] = 1 +
E[X
]
−
2
E[Xi ]
i
E(Xi2 )2
E(Xi2 )
µ2X
=1−
E(Xi2 )
E(Xi2 ) − µ2X
=
E(Xi2 )
2
σX
=
E(Xi2 )
Hi2
segue che
σβ2ˆ =
0
Rossi
1 E(Xi2 ) 2
σu
2
n σX
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Due formule per gli errori standard
Errori standard nel caso di omoschedasticit`
a:
s P
1
2
X s2
σ
ˆβˆ1 = Pn i i ¯ u2
i (Xi − X)
s
s2u
σ
ˆβˆ1 = P
¯ 2
(Xi − X)
i
Errori standard per l’omoschedasticit`
a sono validi solo se gli errori
sono omoschedastici.
Gli errori standard consueti – per differenziare i due, `e
convenzione chiamarli errori standard robusti
all’eteroschedasticit`
a, poich`e sono validi a prescindere
dall’eteroschedasticit`
a o meno degli errori.
Il principale vantaggio degli errori standard per l’omoschedasticit`a
pura `e che la formula `e pi`
u semplice. Lo svantaggio, per`o, `e che la
formula `e corretta solo se gli errori sono omoschedastici.
Rossi
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Implicazioni pratiche...
La formula dell’omoschedasticit`
a pura per l’errore standard di e la
formula “robusta all’eteroschedasticit`
a sono diverse - quindi, in
generale, si ottengono errori standard diversi utilizzando formule
differenti.
Gli errori standard per l’omoschedasticit`
a pura sono
l’impostazione predefinita nei software di regressione - a volte
l’unica impostazione (per esempio in Excel). Per ottenere gli errori
standard robusti all’eteroschedasticit`
a generale occorre modificare
l’impostazione di default.
Se non si modifica l’impostazione di default e vi `
e
eteroschedasticit`
a, gli errori standard (e la statistica-t e
gli intervalli di confidenza) saranno errati - generalmente,
gli SE per l’omoschedasticit`
a pura sono troppo piccoli.
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Errori standard con omoschedasticit`
a
Il punto essenziale
Se gli errori sono omoschedastici o eteroschedastici e si utilizzano
errori standard robusti all’eteroschedasticit`
a, va bene
Se gli errori sono eteroschedastici e si utilizza la formula
dell’omoschedasticit`a pura per gli errori standard, gli errori
standard saranno errati (lo stimatore dell’omoschedasticit`a pura
della varianza di β1 `e incoerente in presenza di eteroschedasticit`a).
Le due formule coincidono (quando n `e grande) nel caso speciale di
omoschedasticit`a
Quindi si dovrebbero sempre utilizzare errori standard robusti
all’eteroschedasticit`a.
Rossi
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32 / 60
Errori standard con omoschedasticit`
a
Fondamenti teorici dei minimi quadrati ordinari
Abbiamo gi`a appreso molto sugli stimatori dei minimi quadrati
ordinari: lo stimatore OLS `e non distorto e consistente; abbiamo
una formula per gli errori standard robusti all’eteroschedasticit`a e
possiamo costruire intervalli di confidenza e statistiche di test.
Una buona ragione per utilizzare i minimi quadrati ordinari `e
anche l’impiego universale, perci`
o gli altri saranno in grado di
capire ci`o che fate. In effetti, l’OLS `e il linguaggio dell’analisi di
regressione, e se utilizzate uno stimatore diverso, parlerete un
linguaggio differente.
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Eppure potreste ancora chiedervi...
Tutto quanto detto `e davvero una buona ragione per utilizzare
OLS? Non esistono altri stimatori che potrebbero essere migliori –
in particolare che potrebbero avere una varianza inferiore?
Inoltre, che ne `e stato della distribuzione t di Student?
Ora risponderemo a queste domande – ma per farlo abbiamo
bisogno di assunzioni pi`
u forti delle tre relative ai minimi quadrati
che abbiamo gi`a visto.
Rossi
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34 / 60
Teorema di Gauss-Markov
Le assunzioni dei minimi quadrati estese
Consistono nelle tre assunzioni dei minimi quadrati, pi`
u altre due:
1
2
3
4
5
E[ui |Xi ] = 0, i = 1, 2, . . . , n;
(Xi , Yi ), i = 1, 2, . . . , n, sono i.i.d.;
Gli outlier sono rari E[Yi4 ] < ∞, E[Xi4 ] < ∞;
ui `e omoschedastico
ui ha distribuzione N (0, σ 2 )
Le assunzioni 4 e 5 sono pi`
u restrittive – perci`
o si applicano a un
numero inferiori di casi pratici. Tuttavia, facendo queste
assunzioni, determinati calcoli matematici si semplificano e si
possono dimostrare risultati pi`
u robusti –che valgono se tali
assunzioni aggiuntive sono vere.
Iniziamo con una discussione sull’efficienza dello stimatore OLS
Rossi
Regressione lineare semplice
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35 / 60
Teorema di Gauss-Markov
Efficienza dello stimatore OLS, parte I: il teorema di
Gauss-Markov
Nelle assunzioni dei minimi quadrati ordinari estese 1-4 (le tre di base,
pi`
u l’omoschedasticit`a), βˆ1 ha la varianza minima tra tutti gli stimatori
lineari (stimatori che sono funzioni lineari di Y1 , Y2 , . . . , Yn . Questo `e il
teorema di Gauss-Markov.
Rossi
Regressione lineare semplice
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov
Date le condizioni
1
E[ui |X1 , . . . , Xn ] = 0, i = 1, 2, . . . , n
2
Var[ui |X1 , . . . , Xn ] = σu2 < ∞
3
E[ui uj |X1 , . . . , Xn ] = 0, i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n
Le condizioni di G-M derivano dalle tre assunzioni degli OLS
1
2
3
Poich`e le osservazioni sono i.i.d. (A.2)
E[ui |X1 , . . . , Xn ] = E[ui |Xi ] = 0, i = 1, 2, . . . , n
L’A.3 (monenti quarti finiti) assicura che σu2 < ∞
Per l’A.1 E[ui uj |X1 , . . . , Xn ] = E[ui uj |Xi , Xj ], ∀i 6= j,
i, j = 1, 2, . . . , n. Per la stessa A.2
E[ui uj |Xi , Xj ] = E[ui |Xi ]E[uj |Xj ] = 0, ∀i 6= j
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov
βˆ1 `e uno stimatore lineare:
Pn
¯ i X
(Xi − X)Y
ˆ
β1 = Pi=1
a
ˆ i Yy
n
¯ 2 =
i=1 (Xi − X)
i
dove
¯
(Xi − X)
a
ˆi = Pn
¯ 2
i=1 (Xi − X)
i pesi a
ˆi , i = 1, 2, . . . , n dipendono da X1 , . . . , Xn ma non da
Y1 , Y2 , . . . , Yn , lo stimatore OLS βˆ1 `e uno stimatore lineare.
Sotto le condizioni di G-M lo stimatore OLS `e
condizionatamente non distorto
la varianza della distribuzione di βˆ1 condizionata a X1 , X2 , . . . , Xn
σu2
¯ 2
i=1 (Xi − X)
Var[βˆ1 |X1 , . . . , Xn ] = P
Rossi
Regressione lineare semplice
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov-Prova
Per ogni stimatore lineare del tipo
β˜1 =
n
X
ai Yi
i=1
β˜1 = β0
n
X
!
ai
+ β1
i=1
n
X
!
ai Xi
i=1
+
n
X
ai ui
i=1
Per la prima condizione
n
n
X
X
E[
ai Xi |X1 , . . . , Xn ] =
ai E[ui |X1 , . . . , Xn ] = 0
i=1
i=1
E[β˜1 |X1 , . . . , Xn ] = β0
n
X
!
ai
+ β1
i=1
Rossi
Regressione lineare semplice
n
X
!
ai Xi
i=1
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov-Prova
Affinch`e β˜1 sia condizionamente non distorto:
!
!
n
n
X
X
E[β˜1 |X1 , . . . , Xn ] = β0
ai + β1
ai Xi = β1
i=1
deve valere che
n
X
i=1
ai = 0
i=1
n
X
ai Xi = 1
i=1
da cui
β˜1 − β1 =
n
X
ai ui
i=1
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov-Prova
Sotto le condizioni del Teorema, la varianza condizionale di β˜1
" n
#
i
h
X
ai ui |X1 , . . . , Xn
Var β˜1 |X1 , . . . , Xn = Var
i=1
=
XX
i
ai aj Cov [ui , uj |X1 , . . . , Xn ]
j
Applicando la seconda e terza condizione di G-M, i termini incrociati
nella doppia sommatoria si annullano
Var[β˜1 |X1 , . . . , Xn ] = σu2
n
X
a2i
i=1
inoltre
Var[βˆ1 |X1 , . . . , Xn ] = σu2
n
X
a
ˆ2i
i=1
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov-Prova
Sia
ai = a
ˆi + di
quindi
X
i
X
i
a2i =
X
X
X
X
(ˆ
ai + di )2 =
a
ˆ2i + 2
a
ˆi di +
d2i
i
i
i
i
P
¯ i
(Xi − X)d
a
ˆi di = Pi
¯ 2
i (Xi − X)
P
¯ P di
di Xi − X
iP
i
=
2
¯
(X
−
X)
i
Pi
P
¯ (P ai − P a
( ai Xi − a
ˆi Xi ) − X
ˆi )
P
=
¯ 2
i (Xi − X)
=0
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov-Prova
Pertanto,
σu2
X
a2i = σu2
i
X
i
a
ˆ2i + σu2
X
d2i
i
= Var[βˆ1 |X1 , . . . , Xn ] + σu2
X
d2i
i
segue che
Var[β˜1 |X1 , . . . , Xn ] = σu2
n
X
a2i = Var[βˆ1 |X1 , . . . , Xn ] + σu2
i=1
X
d2i
i
Var[β˜1 |X1 , . . . , Xn ] − Var[βˆ1 |X1 , . . . , Xn ] = σu2
X
d2i
i
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Il teorema di Gauss-Markov-Prova
Lo stimatore β˜1 ha varianza condizionata maggiore di quella di βˆ1 se di
`e diverso da zero per ogni i = 1, 2, . . . , n. Ma se di = 0, ∀i, allora
ai = a
ˆi e β˜1 = βˆ1
Conclusione: OLS `e BLUE (best linear unbised estimator)
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Efficienza dello stimatore OLS, parte II
In tutte e cinque le assunzioni dei minimi quadrati estese compresa la distribuzione normale degli errori - β1 ha la varianza
pi`
u piccola di tutti gli estimatori consistenti (funzioni lineari o non
lineari di Y1 , Y2 , . . . , Yn ), per n → ∞.
Questo `e un risultato assai sorprendente - afferma che, se (in
aggiunta alle assunzioni dei minimi quadrati 1-3) gli errori sono
omoschedastici e normalmente distribuiti, OLS `e la scelta migliore
rispetto a qualsiasi altro stimatore consistente. E poich`e uno
stimatore che non sia consistente `e una scelta scadente, ci`o afferma
che l’OLS `e davvero la miglior scelta che si possa fare - se valgono
tutte e cinque le assunzioni dei minimi quadrati estese. (La
dimostrazione di questo risultato va oltre l’ambito di questo corso
e non `e fornita nel testo).
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Alcuni aspetti critici di OLS
I risultati precedenti sono impressionanti, tuttavia tali risultati - e
lo stimatore OLS - hanno limitazioni importanti.
Il teorema di G-M non `e poi cos`ı avvincente:
La condizione di omoschedasticit`
a spesso non regge
(l’omoschedasticit`
a `e speciale)
Il risultato vale solo per gli stimatori lineari - solo un piccolo
sottoinsieme di stimatori (ulteriori informazioni a breve)
Il risultato di ottimalit`
a pi`
u robusto (parte II precedente) richiede
errori normali omoschedastici – cosa non plausibile nelle
applicazioni (si pensi ai dati delle retribuzioni orarie!)
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Inferenza con omoschedasticit`a e gaussianit`a
1
E[ui |Xi ] = 0, i = 1, 2, . . . , n;
2
(Xi , Yi ), i = 1, 2, . . . , n, sono i.i.d.;
3
Gli outlier sono rari E[Yi4 ] < ∞, E[Xi4 ] < ∞;
4
ui `e omoschedastico
5
ui ha distribuzione N (0, σ 2 )
Se tutte le cinque assunzioni valgono, allora:
βˆ0 e βˆ1 sono normalmente distribuiti per tutti gli n
la statistica-t ha una distribuzione t di Student con n − 2 gradi di
libert`a, questo vale esattamente per tutti gli n.
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione campionaria gaussiana di βˆ1
P
¯ i
(Xi − X)u
βˆ1 − β1 = Pi
¯ 2
i (Xi − X)
1X
=
wi ui
n
i
dove
¯
(Xi − X)
P
n
1
¯ 2
i=1 (Xi − X)
n
Qual `e la distribuzione di una media ponderata di normali?
1X
E[βˆ1 − β1 ] =
wi E[ui ] = 0
n
i
!2
X
1
Var[βˆ1 − β1 ] = 2 E
wi ui
n
wi =
i
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione campionaria gaussiana di βˆ1
Var[βˆ1 − β1 ] =
1 X 2
1 2X 2
2
w
E[u
]
=
σ
wi
i
i
n2
n2 u
i
Rossi
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i
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Teorema di Gauss-Markov
Assunzioni
Assunzioni MRL semplice:
Yi = β0 + β1 Xi + ui
i = 1, 2, . . . , n
E[ui |Xi ] = 0
{Xi , Yi } i.i.d
Xi , ui momenti quarti finiti non nulli e finiti.
Var[ui |Xi ] = σu2 , omoschedasticit`
a
Distribuzione di ui data Xi `e normale (errori normali):
ui ∼ i.i.d.N (0, σu2 ).
Stimatori OLS:
¯
βˆ0 = Y¯ − βˆ1 X
Pn
¯
(Y − Y¯ )(Xi − X)
Pn i
βˆ1 = i=1
¯ 2
i=1 (Xi − X)
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzioni campionarie esatte
Quando gli errori (ui ) si distribuiscono normalmente e sono
omoschedastici le distribuzioni campionarie degli stimatori OLS e delle
statistiche test sono note:
Lo stimatore OLS si distribuisce in modo normale.
la statistica t si distribuisce come una t di Student.
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione di βˆ1
βˆ1 |X1 , . . . , Xn ∼ N (β1 , σβ2ˆ
1 |X
dove
σβ2ˆ
1 |X
=P
)
σu2
i=1 (Xi
ˆ 2
− X)
Per dimostrare che la distribuzione condizionale `e normale, si noti che
βˆ1 − β1 `e una media ponderata di u1 , . . . , un
1 P
¯ i
(Xi − X)u
n
ˆ
β1 = β1 + 1 Pi=1
¯ 2
i=1 (Xi − X)
n
Medie ponderate di variabili casuali che si distribuiscono in modo
normale si distribuiscono normalmente.
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Non distorsione di βˆ1
Abbiamo visto che:
E[βˆ1 |X1 , . . . , Xn ] = β1 +
Pn
¯
i − X)E[ui |X1 , . . . , Xn ]
i=1 (XP
n
¯ 2
i=1 (Xi − X)
= β1
βˆ1 `e condizionatamente non distorto.
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Varianza condizionale di βˆ1
Per mostrare che
σβ2ˆ
1 |X
=P
σu2
i=1 (Xi
ˆ 2
− X)
sfruttiamo l’ipotesi che ui ∼ i.i.d.N (0, σu2 )
Pn
¯ i
(Xi − X)u
i=1
ˆ
Var[β1 |X1 , . . . , Xn ] = Var Pn
¯ 2 |X1 , . . . , Xn
i=1 (Xi − X)
Pn
¯ 2 Var[ui |X1 , . . . , Xn ]
(Xi − X)
= i=1 Pn
¯ 2 2
i=1 (Xi − X)
Pn
¯ 2σ2
(Xi − X)
u
= Pi=1
2
n
2
¯
i=1 (Xi − X)
σu2
¯ 2
i=1 (Xi − X)
= Pn
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione della statistica t
La statistica t per verificare l’ipotesi nulla β1 = β1,0 `e
t=
βˆ1 − β1,0
SE(βˆ1 )
Sostituendo la formula per SE(βˆ1 )
s
SE(βˆ1 ) ≡ σ
ˆβˆ1 =
Rossi
s2u
¯ 2
i=1 (Xi − X)
Pn
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione della statistica t
t= q
βˆ1 − β1,0
s2u
¯ 2
i=1 (Xi −X)
Pn
=q
βˆ1 − β1,0
2
s2u
σu
¯ 2 2
i=1 (Xi −X) σu
=q
Pn
=q
βˆ1 − β1,0
2
σu
¯ 2
i=1 (Xi −X)
s
/
Pn
(βˆ1 − β1,0 )/σβˆ1 |X
= p
,
W/(n − 2)
Rossi
βˆ1 − β1,0
2
σu
¯ 2
(X
i −X)
i=1
Pn
q
s2u
2
σu
s2u
σu2
n
X
u
ˆ2i
W =
σu2
i=1
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione della statistica t
Sotto l’ipotesi nulla
βˆ1 |X1 , . . . , Xn ∼ N (β1 , σβ2ˆ
1 |X
)
quindi
βˆ1 − β1,0
|X1 , . . . , Xn ∼ N (0, 1)
σβˆ1 |X
il numeratore della statistica t `e N (0, 1).
La variabile casuale W si distribuisce come una chi-quadrato con n − 2
gradi di libert`a. W `e indipendente da
βˆ1 −β1,0
σβˆ |X .
1
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione della statistica t
Lo stimatore s2u ha una distribuzione proporzionale a una distribuzione
chi-quadrato con n − 2 gradi di libert`
a:
s2u ∼
σu2
× χ2n−2
n−2
quindi
s2u
1
× χ2n−2
∼
σu2
n−2
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Distribuzione della statistica t
Se Z ha una distribuzione normale standard, se W ∼ χ2m e Z e W sono
indipendentemente distribuite, allora la variabile casuale
Z
∼ tm
t= p
W/m
Nel caso della statistica t
N (0, 1)
q
∼ tn−2
χ2n−2 /(n − 2)
Per n < 30 i valori critici t possono essere un po’ pi`
u grandi dei
valori critici N (0, 1)
Per n > 50 o simile, la differenza nelle distribuzioni tn2 e N (0, 1) `e
trascurabile.
Rossi
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Teorema di Gauss-Markov
Implicazioni pratiche
Se n < 50 e credete davvero che, per la vostra applicazione, u sia
omoschedastico e normalmente distribuito, utilizzate tn−2 invece
dei valor critici N (0, 1) per le verifiche di ipotesi e gli intervalli di
confidenza.
Nella maggior parte delle applicazioni econometriche, non vi `e
alcun motivo di ritenere che u sia omoschedastico e normale solitamente vi sono ottime ragioni per credere che n´e l’una n´e
l’altra assunzione valga.
Fortunatamente, nelle applicazioni moderne n > 50, cos`ı possiamo
affidarci ai risultati per n grande presentati in precedenza, basati
sul teorema limite centrale, per eseguire verifiche di ipotesi e
costruire intervalli di confidenza usando l’approssimazione normale
per n grande
Rossi
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