Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie Econometria lezione 17 AA 2014-2015 Paolo Brunori domande di mutui rigettate Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - nei dati raccolti a Boston negli anni ’90 il tasso di rifiuto è 28% per i neri e 9% per i bianchi - si può parlare di discriminazione? - è possibili valutare la probabilità di rifiuto per richiedenti identici in tutto fuorchè nell’etnia? - è possibile utilizzare una regressione? regressione con variabile dipendente binaria Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - un altro fattore rilevante per la probabilità di rifiuto è il rapporto P/I - dove P è la rata e I il reddito mensile - la rappresentazione di questi dati chiarisce che si tratta di dati particolari diagramma a nuvola per deny e P/I Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie regressione deny = α + βP/I Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie ˆ = 0.28: cosa significa? - quando P/I è pari a 0.4 deny - interpretazione: il modello stima la probabilità che un mutuo con un rapporto P/I sia rifiutato - un modello OLS con variabile dipendente binaria si chiama modello lineare di probabilità - E(Y |X1 , ..., Xk ) = Pr(Y = 1|X1 , ..., Xk ) - l’interpretazione di β1 è identica a quella dell’OLS inferenza Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - intervalli di confidenza e test delle ipotesi come nel caso dell’OLS - variabili omesse, eteroschedasticità rimangono una minaccia - R2 invece non può essere utilizzato - perchè? - riuscite ad immaginare un caso in cui R2 = 1? rifiuto di concessione di mutui a Boston Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - 2380 richieste di mutui - si osserva: concessione/rifiuto, etnia (bianco, nero), il rapporto P/I , ed altre variabili - il modello MLP basato solo su P/I restituisce: ˆ = −0.080(0.032) + 0.604(0.098) P deny I rifiuto di concessione di mutui a Boston cnt. Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - il modello MLP per valutare discriminazione, controllando per P/I , restituisce: ˆ = −0.0091(0.029)+0.559(0.089) P +0.177(0.025)black deny I - come si interpretano i coefficienti? - cosa è possibile concludere riguardo alla discriminazione? pregi e difetti del MLP Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - interpretabilità - facilità di stima - se X può variare fra −∞ e +∞ quali valori può ˆ? assumere Y - è possibile che β sia lineare? regressione probit e logit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie ˆ ∈ [0, 1] - vogliamo costringere Y - un modo per farlo è quello di utilizzare una funzione cumulativa di distribuzione - le due varianti utilizzate sono quelle basate sulla c.d.f. normale e quelle basate sulla c.d.f. logistica regressione probit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - nel caso di un solo regressore il modello è: Pr(Y = 1|X ) = Φ(β0 + β1 P ) I - Φ è la funzione di ripartizione normale standard e β0 + β1 X prende il posto della Z - se P/I = 0.4, β0 = −2 e β1 = 3 la probabilità di rifiuto ‘e: Φ(β0 + β1 0, 4) = Φ(−0, 8) - il valore si trova nelle [tavole] Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie interpretazione di un modello probit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie interpretazione di un modello probit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - il modello si estende immediatamente a regressori multipli: Pr(Y = 1|X1 , X2 ) = Φ(β0 + β1 X1 + β2 X2 ) - i coefficienti non possono essere interpretati - si ne può valutare il segno e la significatività - non si può interpretare come l’effetto marginale effetti marginali Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - l’effetto di una variazione di X su Y è non lineare - l’effetto dipende dal valore iniziale X - l’effetto di δX è: ˆ = Φ (β0 + β1 (X + ∆X )) − Φ (β0 + β1 X ) ∆Y rifiuto di concessione di mutui a Boston cnt. Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - il modello probit per valutare discriminazione, controllando per P/I , restituisce: ˆ = Φ(−2.26(0.16)+2.74(0.44) P +0.71(0.083)black) deny I - come si interpretano i coefficienti? - cosa è possibile concludere riguardo alla discriminazione? analisi di regressione logit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - analogo al modello probit utilizza la funzione di ripartizione logistica Pr(Y = 1|X1 , X2 ) = 1 1 + e β0 +β1 X1 +β2 X2 - in pratica non molto diversa dalla funzione normale curva logit probit al confronto Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie probit vs. logit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - probit: ˆ = −2.26(0.16) + 2.74(0.44) P + 0.71(0.083)black deny I - logit: ˆ = −4.13(0.35) + 5.37(0.96) P + 1.27(0.15)black deny I - sembrerebbero molto diversi logit vs. probit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - ma l’interpretazione dei coefficienti non è quella solita! - valutiamo l’effetto di essere nero nei due casi (assumiamo P/I = 0.3): ˆ black − deny ˆ white = - probit: deny = Φ(−2.26+2.74×0.3+0.71)−Φ(−2.26+2.74×0.3) = = 0.233 − 0.075 = 0.158 ˆ black − deny ˆ white = - logit: deny = 1 1+ e −4.13+5.37×0.3+1.27 − 1 1+ e −4.13+5.37×0.3 = 0.222 − 0.074 = 0.148 = stima probit e logit Econometria lezione 17 - la stima di questi modelli può basarsi sui minimi quadrati - in generale non si usano stima di minimi quadrati generalizzati ma stima di massima verosimiglianza (ML) - in pratica si esplicita la funzione di probabilità congiunta di regressori e variabile dipendente - dopo di che si cercano quei valori dei parametri che massimizzano la probabilità che il campione osservato sia stato estratto se quei parametri sono quelli veri - potete approfondire nell’appendice del libro ma non fa parte del programma variabili dipendenti binarie inferenza con stime logit e probit Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - l’importante per noi è che le stime ML si comportino “bene” - per grandi campioni si distribuiscono in modo approsimativamente normale - sono non distorte e sono più efficienti di quelle dei minimi quadrati generalizzati bondtà di adattamento Econometria lezione 17 variabili dipendenti binarie - R2 non può essere utilizzato - per questo si usano due misure alternative: frazione correttamente predetta la percentuale di casi nei quali lla probabilità è predetta con errore minore di 0.5 pseudo-R2 pseudo − R2 = 1 − max ln(fPROBIT ) max ln(fBERNOULLI ) - non sono interpretabili come un R2 !
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