Unita`
2
Funzioni
Tema A
1. Introduzione alle funzioni
Che cos’e` una funzione?
In questa Unita` riprendiamo e approfondiamo un tema fondamentale gia` introdotto nel primo biennio e che ci accompagnera` in tutto il nostro corso: quello
delle funzioni. Per poter definire il concetto di funzione dobbiamo anzitutto definire quello di relazione.
RELAZIONE
Una relazione e` una legge che permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi di un insieme di partenza A uno o piu` elementi di un insieme di arrivo B.
ESEMPI
a. Nella fig. 2.1 abbiamo rappresentato tramite un diagramma a frecce la relazione che associa a ogni citta` dell’insieme A la regione dell’insieme B cui tale citta` appartiene.
b. Nella fig. 2.2 abbiamo rappresentato tramite un diagramma a frecce la relazione che associa a ogni regione dell’insieme A le citta` dell’insieme B che
appartengono a tale regione.
B
A
Milano
Torino
Bologna
Roma
A
Lombardia
Liguria
Genova
Piemonte
Toscana
Firenze
Emilia Romagna
Lazio
Sicilia
Figura 2.1
B
Pisa
Campania
Puglia
Napoli
Bari
Figura 2.2
La relazione rappresentata in fig. 2.1 ha una particolare caratteristica, che non
possiede la relazione in fig. 2.2: da ogni elemento di A parte una e una sola freccia verso qualche elemento di B. Cio` significa che ogni elemento di A e` in relazione con un unico elemento di B. Le relazioni che hanno questa proprieta` si dicono funzioni.
Modi di dire
Poiche´ una funzione fa
corrispondere a ogni
elemento di A uno e un solo
elemento di B, viene detta
anche corrispondenza
univoca. Un altro sinonimo
di funzione e` applicazione.
66
FUNZIONE
Siano A e B due insiemi non vuoti; si dice funzione da A a B una relazione che
associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.
L’insieme di partenza A si chiama dominio della funzione, l’insieme di arrivo B
si chiama codominio.
Esempio
Controesempio
In un insieme di persone, la relazione
che associa a ciascuna di esse la sua eta`
definisce una funzione.
In un insieme di persone, la relazione
che associa a ciascuna di esse i suoi figli,
in generale, non definisce una funzione.
Infatti a ogni persona resta associata un’unica eta`.
Infatti qualcuno potrebbe non avere figli
o averne piu` di uno.
che si legge: «f e` una funzione da A a B»
Funzioni
f :A!B
Unita` 2
Le funzioni vengono indicate con lettere dell’alfabeto, generalmente minuscole,
come f , g, ::::: Per indicare che f e` una funzione di dominio A e di codominio B si
scrive:
Quando e` data una funzione f , l’immagine di un elemento x appartenente al dominio della funzione, cioe` l’elemento nel codominio che tramite f corrisponde a
x, viene indicata con il simbolo:
f ðxÞ
che si legge «f di x»
Altre notazioni
Se l’elemento y e` l’immagine di x tramite una certa funzione f , si puo` anche dire,
simmetricamente, che x e` la controimmagine di y.
In particolare, l’insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio A e` chiamato (insieme) immagine della funzione, e lo si indica con f ðAÞ.
L’insieme immagine
di una funzione f viene
talvolta indicato
con il simbolo Im ðf Þ.
Funzioni reali di variabile reale e loro classificazione
Fra i vari tipi di funzioni, giocano un ruolo di primo piano le funzioni che hanno
come dominio e codominio sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali: queste
funzioni sono chiamate funzioni reali di variabile reale e saranno l’oggetto
principale del nostro corso.
La legge che definisce una funzione f , reale di variabile reale, viene solitamente
assegnata mediante un’equazione del tipo:
y ¼ f ðxÞ
dove f ðxÞ e` un’espressione nella variabile x, detta espressione analitica della
funzione, oppure mediante una scrittura del tipo:
f ðxÞ ¼ ::::::::::
dove al posto dei puntini vi e` appunto l’espressione analitica della funzione.
ESEMPI
a. La funzione f , da R a Rþ
0 , che associa a ogni numero reale il suo quadrato,
puo` venire assegnata, in modo equivalente, in una delle seguenti due forme:
y ¼ x2
oppure
f ðxÞ ¼ x2
b. La funzione f , da R a R, che associa a ogni numero reale il numero stesso,
detta funzione identita`, puo` venire assegnata, in modo equivalente, in una
delle seguenti due forme:
y¼x
oppure
f ðxÞ ¼ x
Se la funzione e` assegnata tramite l’equazione:
y ¼ f ðxÞ
si dice che x e` la variabile indipendente, perche´ a essa puo` venire assegnato un
valore arbitrariamente scelto nel dominio, mentre y e` la variabile dipendente,
perche´ il valore assunto da y dipende da quello assegnato alla x.
ESEMPIO
Valori assunti da una funzione
Data la funzione f definita da y ¼ 3x 2 2x, determiniamo i valori assunti da y
quando:
a. x ¼ 4
b. x ¼ 2
Ô
67
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
Ô
a. Il valore assunto da y quando x ¼ 4 si puo` determinare sostituendo 4 al posto di x nell’equazione che definisce f :
y ¼ 3 42 2 4 ¼ 3 16 8 ¼ 40
b. Analogamente, il valore assunto da y quando x ¼ 2 e`:
y ¼ 3 ð2Þ2 2 ð2Þ ¼ 3 4 þ 4 ¼ 16
Si puo` anche scrivere: f ð4Þ ¼ 40 e f ð2Þ ¼ 16.
Attenzione!
Non e` detto che l’espressione
analitica di una funzione
numerica possa sempre
venire espressa tramite una
sola espressione algebrica.
Per esempio, una funzione
potrebbe essere definita da:
2
x se x 0
f ðxÞ ¼
x3 se x < 0
Non e` nemmeno detto che la
legge che definisce una
funzione numerica possa
sempre venire espressa
tramite una «formula». Per
esempio, la funzione
f : N ! N che associa a ogni
x 2 N il numero dei numeri
primi minori di x e` ben
definita, ma non esiste
«formula» in grado di
esprimere la legge che la
definisce.
In base all’espressione analitica di una funzione, si puo` effettuare una prima semplice classificazione delle funzioni reali di variabile reale.
Se nell’espressione analitica della funzione la variabile indipendente (tipicamente xÞ e` soggetta soltanto a un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza a esponente razionale o
estrazione di radice si dice che la funzione e` algebrica, altrimenti si dice che e`
trascendente.
Esempio
Controesempio
Non sono funzioni algebriche:
Sono funzioni algebriche:
4
a. y ¼ 3xþ1
a. y ¼ x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b. y ¼ 3 x 2 þ 1
1
c. y ¼
x þ x2
b. y ¼ x 6x
1
c. y ¼ x x
2
Nell’insieme delle funzioni algebriche si distinguono: le funzioni intere (o polinomiali), nelle quali la variabile indipendente non compare in alcun denominatore, da quelle frazionarie (o fratte); le funzioni razionali, nelle quali la variabile indipendente non compare sotto alcun segno di radice, da quelle irrazionali.
Funzioni
algebriche
ESEMPI
trascendenti
intere
frazionarie
razionali irrazionali
razionali irrazionali
Classificazione di una funzione algebrica
a. La funzione y ¼ x4 x2 e` intera razionale.
1
e` frazionaria razionale.
x2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
c. La funzione y ¼ x2 þ 3x e` intera irrazionale.
b. La funzione y ¼
x4
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e` frazionaria irrazionale.
d. La funzione y ¼ p
3
xþ1
Il dominio di una funzione reale di variabile reale
Una funzione reale di variabile reale, chiamiamola f , viene di solito assegnata
tramite la sua espressione analitica, senza specificarne il dominio e il codominio
(come abbiamo fatto negli esempi precedenti, dopo i primi).
68
ESEMPI
Il dominio di una funzione
di variabile reale, definita
dalla formula y ¼ f ðxÞ, e`
detto anche insieme di
definizione o, se stabilito
come indicato qui a lato,
campo di esistenza.
Funzioni
Quando x appartiene (non appartiene) al dominio della funzione diremo anche
che f e` definita (non definita ) in x.
Per determinare il dominio di una funzione algebrica occorre imporre che:
gli eventuali denominatori che compaiono nella sua espressione analitica siano
diversi da zero;
i radicandi degli eventuali radicali di indice pari che compaiono nella sua
espressione analitica siano maggiori o uguali a zero.
Modi di dire
Unita` 2
In tal caso si assume per convenzione:
come dominio, l’insieme costituito da tutti i numeri reali x per cui esiste il corrispondente valore f ðxÞ (tale insieme viene anche detto dominio naturale della
funzione);
come codominio, l’insieme R.
Dominio di una funzione algebrica
Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni:
1
b. y ¼ 4
a. y ¼ x 4 x 2
x x2
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
d. y ¼ p
e. y ¼ x þ 5 x
3
xþ1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x 2 þ 3x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2
f. y ¼ 2
x þxþ1
c. y ¼
a. La funzione e` definita per ogni valore reale di x, quindi il dominio e` R.
b. La funzione e` definita purche´ il denominatore sia diverso da zero:
x4 x2 6¼ 0 ) x2 ðx2 1Þ 6¼ 0 ) x 6¼ 0 ^ x 6¼ 1
Il dominio della funzione e` l’insieme R f0, 1g.
c. La funzione e` definita purche´ il radicando del radicale sia maggiore o uguale a zero:
x2 þ 3x 0 ) x 3 _ x 0
Il dominio della funzione e` l’insieme ð1, 3 [ ½0, þ 1Þ.
d. Poiche´ un radicale di indice dispari e` sempre definito, l’unica condizione
da porre e` che il denominatore sia diverso da zero:
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
3
x þ 1 6¼ 0 ) x þ 1 6¼ 0 ) x 6¼ 1
Il dominio della funzione e` l’insieme R f1g.
e. La funzione e` definita purche´ i radicandi di entrambi i radicali siano maggiori o uguali a zero:
x0
)0x5
5x0
Il dominio della funzione e` l’intervallo [0, 5].
f. La funzione e` definita purche´ il radicando sia maggiore o uguale a zero e il
denominatore sia diverso da zero:
x20
x2 þ x þ 1 6¼ 0
Osserviamo che la seconda condizione e` sempre verificata (perche´ il discriminante del trinomio x2 þ x þ 1 e` negativo, quindi il trinomio non si annulla mai). Pertanto il sistema e` verificato per x 2. Il dominio della funzione e` dunque l’intervallo ½2, þ 1Þ.
Quando una funzione esprime una grandezza in funzione di un’altra, puo` essere
necessario «restringere» il suo dominio naturale, in base a particolari condizioni
fisiche o geometriche, legate al contesto da cui scaturisce la funzione.
69
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
ESEMPIO
Dominio di una funzione proveniente da un problema geometrico
Un rettangolo non degenere e` inscritto in una circonferenza di raggio 1. Esprimiamo l’area del rettangolo in funzione della misura 2x della base del rettangolo e
determiniamo il dominio della funzione cosı` scaturita, in relazione al problema
geometrico.
D
C
1
O
A
x
H
B
2x
Figura 2.3
Espressione analitica della funzione che esprime l’area in funzione di x
Facciamo riferimento alla fig. 2.3 che rappresenta il problema. Applicando il
teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHC, dove H e` il punto medio di
BC, si puo` ricavare:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
CH ¼ 1 x2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Ne segue che BC ¼ 2CH ¼ 2 1 x2 .
Percio`, detta AðxÞ l’area del rettangolo, si ha:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
AðxÞ ¼ AB BC ¼ ð2xÞð2 1 x2 Þ ¼ 4x 1 x2
Dominio della funzione
Determinare il dominio della funzione AðxÞ scaturita, in relazione al problema
geometrico, significa determinare quali valori puo` assumere la variabile x, relativamente al problema. Osserviamo intanto che x potra` variare tra 0 e 1 perche´ la misura 2x della base AB puo` variare tra 0 e 2. Il valore x ¼ 0 corrisponde
al caso limite in cui A B e C D (fig. 2.4), mentre il valore x ¼ 1 corrisponde al caso limite in cui A D e B C (fig. 2.5).
C≡D
O
Figura 2.4
A≡B
x=0
A≡D
Figura 2.5
O
B≡C
x=1
Escludendo i due casi limite, x ¼ 0 e x ¼ 1, poiche´ in questi casi il rettangolo
ABCD degenera in un segmento (come mostrato nelle figg. 2.4 e 2.5), concludiamo che il dominio della funzione, in relazione al problema, e` l’intervallo (0, 1).
Osserva che il dominio naturale della funzione, indipendentemente dal problema geometrico, sarebbe invece l’intervallo [1, 1].
Il grafico di una funzione
Data una funzione f : A ! B, si chiama grafico della funzione l’insieme:
fðx, f ðxÞÞ j x 2 Ag
Se f e` una funzione reale di variabile reale, si usa «tracciare il grafico» della funzione, cioe` rappresentare nel piano cartesiano l’insieme dei punti di coordinate
(x, yÞ tali che y ¼ f ðxÞ.
70
Funzioni
ESEMPI
Unita` 2
Cio` che contraddistingue, nel piano cartesiano, il grafico di una funzione e` il fatto
che nessuna retta verticale (parallela all’asse y) puo` intersecarlo in due punti distinti (cio` infatti violerebbe la definizione di funzione, perche´ significherebbe
che allo stesso valore di x sono associati due valori di y).
Riconoscere il grafico di una funzione
Riconosciamo se le seguenti curve rappresentano il grafico di una funzione:
a
b
y
O
y
x
x
O
a. La curva tracciata in fig. a rappresenta il grafico di una funzione perche´, comunque si tracci una retta verticale, essa interseca il grafico della funzione
in un unico punto.
b. Poiche´ ciascuna delle rette tratteggiate in fig. b interseca la curva in due
punti distinti, non si tratta del grafico di una funzione.
Almeno nei casi piu` semplici, il grafico di una funzione di cui sia data l’equazione puo` essere tracciato per punti.
ESEMPIO
Tracciare il grafico di una funzione per punti
Tracciamo per punti il grafico della funzione y ¼ 1o passo: costruiamo una tabella
di valori per x e y
x
y
4
1
ð4Þ2 ¼ 8
2
3
1
9
ð3Þ2 ¼ 2
2
2
1
ð2Þ2 ¼ 2
2
1
1
1
ð1Þ2 ¼ 2
2
0
1
ð0Þ2 ¼ 0
2
1
1
1
ð1Þ2 ¼ 2
2
2
1
ð2Þ2 ¼ 2
2
3
1
9
ð3Þ2 ¼ 2
2
4
1
ð4Þ2 ¼ 8
2
1 2
x .
2
2o passo: rappresentiamo i punti
corrispondenti sul piano cartesiano
y
3o passo: congiungiamo
i punti con una linea continua
y
O
O
x
x
y = – 1 x2
2
71
Equazioni, disequazioni e funzioni
L’uguaglianza di due funzioni
Due funzioni si dicono uguali se hanno lo stesso grafico. Pertanto possiamo dare
la seguente definizione piu` particolareggiata.
FUNZIONI UGUALI
Due funzioni f e g sono uguali se hanno lo stesso dominio A e inoltre risulta:
f ðxÞ ¼ gðxÞ per ogni x 2 A
Esempio
Controesempio
Le due funzioni
Tema A
Le due funzioni definite da:
f ðxÞ ¼ x 2 1 e gðxÞ ¼
4
x 1
x2 þ 1
f ðxÞ ¼ x þ 1 e gðxÞ ¼
x2 1
x1
sono uguali.
non sono uguali.
Infatti hanno lo stesso dominio, R,
e per ogni x 2 R risulta:
Infatti non hanno lo stesso dominio:
la funzione f e` definita in R mentre
la funzione g e` definita in R f1g.
Si puo` tuttavia verificare che per ogni x 6¼ 1
risulta f ðxÞ ¼ gðxÞ, quindi il grafico
delle due funzioni differisce solo
per un punto (fig. 2.6).
gðxÞ ¼
x4 1
ðx 2 1Þ ðx 2 þ 1Þ
¼
¼
ðx 2 þ 1Þ
x2 þ 1
¼ x 2 1 ¼ f ðxÞ
y
y
O
x
f (x) = x + 1
O
x
2
g(x) = x –1
x –1
Figura 2.6 Il grafico della funzione g differisce da quello della funzione f per il fatto che non vi
appartiene il punto di coordinate (1, 2).
Prova tu
1. Stabilisci se le seguenti relazioni definiscono delle
funzioni:
a. la relazione che associa a ogni regione d’Italia i
suoi capoluoghi di provincia (considera come dominio e codominio, rispettivamente, l’insieme
delle regioni e dei capoluoghi di provincia d’Italia);
b. la relazione che associa a ogni persona il suo anno
di nascita (considera come dominio un insieme
di persone e come codominio N);
2. Data la funzione f ðxÞ ¼ x4 x2 , determina:
pffiffiffi
a. f ð 2Þ
b. f ð2Þ
c. f ð2xÞ þ f ðxÞ
72
ESERCIZI a p. 88
3. Classifica le seguenti funzioni e individua il loro dominio:
x2
a. y ¼
c. y ¼ x7 x5
x1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
3x2
b. y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
d. y ¼ 5x x2 þ 3 x
x2 1
4. Traccia per punti il grafico delle seguenti funzioni,
dopo aver individuato il dominio di ciascuna:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
a. y ¼ x þ 1
b. y ¼ x2
c. y ¼ x þ 1
2
5. Stabilisci se le seguenti funzioni f e g sono uguali:
x4 16
; gðxÞ ¼ x2 þ 4
f ðxÞ ¼ 2
x 4
Unita` 2
2. Prime proprieta` delle funzioni reali
di variabile reale
Funzioni
Come abbiamo anticipato, lo studio delle funzioni reali di variabile reale sara` il
«filo rosso» che, a volte esplicitamente, a volte implicitamente, leghera` tutti gli
argomenti che affronteremo. Abbiamo gia` visto, nel paragrafo precedente, come
determinare il dominio di una funzione reale di variabile reale. Man mano che
approfondiremo le nostre conoscenze acquisiremo strumenti matematici sempre
piu` «sofisticati» che, al termine del percorso, ci metteranno in grado di determinare tutte le piu` importanti caratteristiche di una funzione reale di variabile reale. In questo paragrafo vogliamo cominciare a riflettere su alcune di queste caratteristiche.
Il segno di una funzione
Dopo aver determinato il dominio di una funzione y ¼ f ðxÞ, la «seconda fase» di
uno studio elementare della funzione consiste nello studio del segno della funzione. Si tratta cioe` di stabilire per quali valori di x del dominio risulta
f ðxÞ < 0,
f ðxÞ ¼ 0
o
f ðxÞ > 0
Il grafico di y ¼ f ðxÞ:
e` «al di sopra» dell’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ > 0; per
questi valori di x la funzione si dice positiva;
incontra l’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ ¼ 0; questi valori
di x si dicono zeri della funzione e si dice che la funzione si annulla in corrispondenza di essi;
e` «al di sotto» dell’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ < 0; per
questi valori di x la funzione si dice negativa.
ESEMPIO
Deduzione del segno e degli zeri dal grafico
y
Consideriamo la funzione y ¼ f ðxÞ, il cui grafico e` tracciato in figura, e stabiliamo
dove essa e` positiva, dove e` negativa e quali sono i suoi zeri.
Possiamo osservare che:
per x < 4 e per 1 < x < 3 il grafico della funzione e` al di sotto dell’asse x,
quindi la funzione e` negativa;
per x ¼ 4, per x ¼ 1 e per x ¼ 3 la funzione si annulla, quindi la funzione
ha tre zeri: 4, 1 e 3;
per 4 < x < 1 e per x > 3 il grafico della funzione e` al di sopra dell’asse x,
quindi la funzione e` positiva.
y = f (x)
y >0
A
–4
B C
O 1
3
x
y <0
Dal punto di vista algebrico:
per stabilire quando la funzione y ¼ f ðxÞ e` positiva bisogna risolvere la disequazione f ðxÞ > 0;
per determinare gli zeri della funzione occorre risolvere l’equazione f ðxÞ ¼ 0;
per stabilire quando la funzione e` negativa bisogna risolvere la disequazione
f ðxÞ < 0.
ESEMPIO
Studio del segno di una funzione polinomiale
Determiniamo il dominio e il segno della funzione y ¼ x 3 ðx 2 4Þ e rappresentiamo graficamente le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il suo grafico.
Dominio
Si tratta di una funzione polinomiale, quindi e` definita in R.
Studio del segno
y > 0 ) x3 ðx2 4Þ > 0 ) 2 < x < 0 _ x > 2
Risolvendo la disequazione
Ô
73
Equazioni, disequazioni e funzioni
Ô
y ¼ 0 ) x3 ðx2 4Þ ¼ 0 ) x ¼ 2 _ x ¼ 0 _ x ¼ 2
Risolvendo l’equazione.
La funzione ha tre zeri:
2, 0, 2
y < 0 ) x3 ðx2 4Þ < 0 ) x < 2 _ 0 < x < 2
Basta determinare il
complementare rispetto al
dominio dell’insieme dei
valori di x per cui y 0
Rappresentazione delle regioni del piano cui appartiene il grafico
Dalle informazioni acquisite deduciamo che il grafico della funzione appartiene alla regione di piano cartesiano colorata in fig. 2.7. Nel grafico, abbiamo indicato con un punto pieno gli zeri.
Tema A
y
Figura 2.7 Per x < 2 e per 0 < x < 2, la funzione `e negativa,
quindi il suo grafico e` al di sotto dell’asse x: abbiamo percio`
evidenziato in azzurro la corrispondente parte al di sotto dell’asse x ed «escluso» con un tratteggio la parte al di sopra dell’asse x. Analogamente negli intervalli 2 < x < 0 e x > 2 dove la funzione e` positiva.
–2
O
2
x
Studio del segno di una funzione irrazionale
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Determiniamo il dominio e il segno della funzione y ¼ x 2 1 2 e rappresentiamo graficamente le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il suo grafico.
ESEMPIO
Attenzione!
Invece di risolvere
la disequazione,
per determinare i valori di x
per cui y < 0 si poteva
determinare
il complementare rispetto
al dominio (non a tutto R
come nell’esempio
precedente) dell’insieme
dei valori di x per cui y 0.
Dominio
La funzione e` definita per x2 1 0, cioe` per x 1 _ x 1.
Studio del segno
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
y > 0 ) x2 1 2 > 0 ) x2 1 > 4 ) x < 5 _ x > 5
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
y ¼ 0 ) x2 1 2 ¼ 0 ) x2 1 ¼ 4 ) x ¼ 5
Ci sono 2 zeri
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
ffiffiffi
pffiffiffi
x 10
y < 0 ) x2 1 2 < 0 )
) 5 < x 1 _ 1 x < 5
2
x 1<4
Rappresentazione delle regioni del piano cui appartiene il grafico
In base alle informazioni che abbiamo dedotto, il grafico della funzione appartiene alla regione di piano cartesiano colorata in fig. 2.8.
y
– 5
–1 O
5
x
Figura 2.8 Abbiamo escluso la striscia di piano i cui punti sono tali che 1 < x < 1 perche´ la funzione non `e ivi definita; le
` indicate
restanti parti sono state «escluse», e risultano percio
con un tratteggio, in base alle considerazioni dedotte dallo studio del segno.
y
P'
1
P
Funzioni pari e funzioni dispari
O
Figura 2.9
74
x
Un’altra caratteristica di una funzione che possiamo fin d’ora riconoscere e` l’eventuale simmetria del suo grafico.
Osserviamo per esempio il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ in fig. 2.9. Esso ha la
caratteristica di essere simmetrico rispetto all’asse y. Cio` significa che, per ogni
suo punto Pðx, yÞ, anche il punto P 0 ðx, yÞ, suo simmetrico rispetto all’asse y, vi
appartiene. Alle funzioni che hanno questa proprieta` si da` un nome particolare.
Unita` 2
FUNZIONI PARI
Una funzione definita da y ¼ f ðxÞ si dice pari se per ogni x appartenente al dominio della funzione anche x vi appartiene e risulta:
Funzioni
f ðxÞ ¼ f ðxÞ
In tal caso, il grafico della funzione risulta simmetrico rispetto all’asse y.
In modo analogo, possiamo considerare le funzioni i cui grafici sono simmetrici
rispetto all’origine: per esempio, il grafico in fig. 2.10.
In questo caso, per ogni punto Pðx, yÞ appartenente al grafico della funzione, anche il punto P 0 ðx, yÞ, suo simmetrico rispetto all’origine, appartiene al grafico.
y
P
O
x
P'
FUNZIONI DISPARI
Una funzione definita da y ¼ f ðxÞ si dice dispari se per ogni x appartenente al
dominio della funzione anche x vi appartiene e risulta:
f ðxÞ ¼ f ðxÞ
Figura 2.10
In tal caso, il grafico della funzione risulta simmetrico rispetto all’origine.
ESEMPI
Riconoscere, dal grafico, se una funzione e` pari o dispari
Stabiliamo se le funzioni che hanno i seguenti grafici sono pari, dispari o ne´ una ne´ l’altra cosa.
y
y
y
x
O
O
O
x
x
a
b
c
a. Il grafico in fig. a e` simmetrico rispetto all’asse y, quindi e` il grafico di una funzione pari.
b. Il grafico in fig. b e` simmetrico rispetto all’origine, quindi e` il grafico di una funzione dispari.
c. Il grafico in fig. c non e` simmetrico ne´ rispetto all’asse y, ne´ rispetto all’origine, quindi e` il grafico di
una funzione che non e` ne´ pari ne´ dispari.
ESEMPI
Stabilire se una funzione di assegnata equazione e` pari o dispari
Stabiliamo se le funzioni definite dalle seguenti equazioni sono pari o dispari.
a. y ¼ jxj
b. y ¼
pffiffiffi
x
c. y ¼
x3
x2 þ 1
d. y ¼ x 5 1
a. Sostituiamo x al posto di x in f ðxÞ ¼ jxj. Abbiamo:
f ðxÞ ¼ j xj ¼ jxj ¼ f ðxÞ
Ricorda che due numeri opposti hanno lo stesso
valore assoluto
Concludiamo che la funzione assegnata e` pari.
pffiffiffi
b. La funzione y ¼ x e` definita soltanto per x 0. Per ogni x > 0 si ha che
f ðxÞ esiste mentre f ðxÞ non esiste: percio` la funzione data non e` ne´ pari
ne´ dispari.
Ô
75
Equazioni, disequazioni e funzioni
Ô
c. Sostituiamo x al posto di x in f ðxÞ ¼
f ðxÞ ¼
ðxÞ3
ðxÞ2 þ 1
¼
x3
. Abbiamo:
þ1
x2
x3
¼ f ðxÞ
x2 þ 1
Concludiamo che la funzione assegnata e` dispari.
d. Sostituiamo x al posto di x in f ðxÞ ¼ x5 1. Abbiamo:
f ðxÞ ¼ x5 1
E` chiaro che risulta f ðxÞ 6¼ f ðxÞ; essendo anche f ðxÞ 6¼ f ðxÞ (poiche´
f ðxÞ ¼ x5 þ 1Þ, la funzione data non e` ne´ pari ne´ dispari.
Tema A
Funzioni crescenti e funzioni decrescenti
Terminiamo questo paragrafo introducendo un’altra importante caratteristica
che puo` presentare il grafico di una funzione. Osserva il grafico della funzione in
fig. 2.11.
y
D
E
B
A
2
–4
–7
O
5
10 x
C
Figura 2.11
Se immaginiamo che un punto mobile «percorra» il grafico a partire dal punto A
fino ad arrivare al punto E, nel verso indicato dalle frecce, ci accorgiamo che:
da A a B il punto si muove nel verso delle ordinate positive, cioe` «sale»;
da B a C il punto si muove nel verso delle ordinate negative, cioe` «scende»;
da C a D il punto torna a «salire»;
da D ad E il punto percorre un tratto «costante» (ne´ in salita ne´ in discesa).
Per descrivere questi tre possibili comportamenti del grafico di una funzione, introduciamo alcune definizioni, illustrate in fig. 2.12 e formalizzate a pagina seguente.
y
f (x2)
a
f(x1)
f(x1)
x1
y
y
O
x2 b
x
I = a, b
a
x1
f(x2)
x2 O
f(x1)
b
x
I = a, b
a. Per ogni x1 < x2 risulta f ðx1 Þ < f ðx2 Þ:
la funzione e` strettamente crescente
in [a, b].
b. Per ogni x1 < x2 risulta f ðx1 Þ > f ðx2 Þ:
la funzione e` strettamente decrescente
in [a, b].
a
x1
f(x2)
O
x2
x
I = a, b
c. Per ogni x1 , x2 risulta f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ:
la funzione e` costante in [a, b].
Figura 2.12
Per esempio, la funzione il cui grafico e` tracciato in fig. 2.11 e`:
strettamente crescente nell’intervallo ½7, 4 e nell’intervallo ½2, 5;
strettamente decrescente nell’intervallo ½4, 2;
costante nell’intervallo ½5, 10.
76
b
a. f si dice strettamente crescente in I se:
x1 < x2 ) f ðx1 Þ < f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I
b. f si dice strettamente decrescente in I se:
Funzioni
L’insieme I puo` coincidere
con il dominio della
funzione o essere un suo
sottoinsieme proprio.
Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione y ¼ f ðxÞ.
Unita` 2
Osserva
FUNZIONI STRETTAMENTE CRESCENTI, DECRESCENTI E COSTANTI
x1 < x2 ) f ðx1 Þ > f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I
c. f si dice costante in I se:
f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I
Nell’intervallo [2, 10] la funzione in fig. 2.11 non e` strettamente crescente, perche´ e` costante in [5, 10], pero` non decresce. Per descrivere anche questo comportamento si introducono le seguenti definizioni.
FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI IN SENSO LATO
Modi di dire
Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione y ¼ f ðxÞ.
Alcuni testi chiamano
funzioni crescenti
(decrescenti) quelle che noi
abbiamo chiamato
strettamente crescenti
(strettamente decrescenti), e
non crescenti (non
decrescenti) le funzioni che
noi abbiamo chiamato
decrescenti in senso lato
(crescenti in senso lato).
a. f si dice crescente in senso lato in I se:
x1 < x2 ) f ðx1 Þ f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I
b. f si dice decrescente in senso lato in I se:
x1 < x2 ) f ðx1 Þ f ðx2 Þ per ogni x1 , x2 2 I
Possiamo allora dire, per esempio, che la funzione rappresentata in fig. 2.11 e`
crescente in senso lato nell’intervallo [2, 10].
ESEMPI
Stabilire dal grafico gli intervalli in cui una funzione
e` crescente o decrescente
Stabiliamo gli intervalli dove le funzioni, i cui grafici sono tracciati nelle figure seguenti, sono crescenti o decrescenti, in senso stretto o in senso lato.
y
y
(2, 6) (5, 6)
2
(7, 3)
(–7, 0)
–3
(–1, 0)
O
O
–2
x
3
x
(–4, –3)
a
b
a. La funzione il cui grafico e` tracciato in fig. a e` strettamente decrescente negli intervalli [7, 4] e [5, 7], costante nell’intervallo [2, 5] e strettamente
crescente nell’intervallo [4, 2]. Nell’intervallo [2, 7] la funzione e` decrescente in senso lato.
b. La funzione e` strettamente decrescente in ciascuno dei due intervalli
ð1, 0Þ e ð0, þ 1Þ, ma non e` strettamente decrescente in tutto il suo dominio, cioe` in R f0g.
Infatti puoi osservare per esempio che:
3 < 3
ma
f ð3Þ ¼ 2 < f ð3Þ ¼ 2
77
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
Nel prosieguo, quando parleremo semplicemente di funzione «crescente» o «decrescente», senza specificare se in senso stretto o in senso lato, converremo di riferirci a funzioni crescenti o decrescenti in senso stretto.
` NA
FUNZIONE MONOTO
Una funzione crescente o decrescente (in senso stretto o lato) in un insieme I
viene detta monoto`na in I.
Prova tu
ESERCIZI a p. 98
1. Determina il dominio e il segno delle seguenti funzioni e rappresenta le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il grafico di ciascuna. Stabilisci inoltre se ciascuna funzione e` pari o dispari.
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
pffiffiffi
x2 1
a. y ¼ 1 x
b. y ¼ x2 4x
c. y ¼ x2 þ 2x 3
d. y ¼
e. y ¼ jxj 1
f. y ¼ x2 jxj
x
2. In riferimento alla funzione il cui grafico e` rappresentato nella figura qui sotto, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.
a. la funzione e` strettamente crescente
y
in [5, 3]
V F
(2, 6)
b. la funzione e` pari
V F
c. la funzione e` strettamente decrescente
V F
in [2, 7]
(5, 3)
(7, 3)
d. la funzione e` costante in [5, 7]
V F
(–2, 0)
e. la funzione e` decrescente in senso lato
x
O
in [2, 7]
V F
f. la funzione e` dispari
V F
g. la funzione ha un solo zero
V F
(–5, –3)
h. la funzione e` strettamente crescente
in [5, 2]
V F
3. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
Abbiamo visto, nelle pagine precedenti, una classificazione delle funzioni reali di
variabile reale (algebrica razionale, irrazionale, intera o frazionaria oppure trascendente), in base alle caratteristiche dell’espressione f ðxÞ che compare nell’equazione y ¼ f ðxÞ che definisce la funzione. Un’altra classificazione delle funzioni si basa invece sul comportamento della funzione rispetto all’insieme di arrivo,
cioe` al codominio.
In questo paragrafo vediamo come si possono classificare le funzioni secondo
quest’altro punto di vista.
Funzioni iniettive
Introduciamo anzitutto la seguente definizione.
In simboli
FUNZIONE INIETTIVA
Possiamo scrivere che f e`
iniettiva quando si verifica
che 8x1 , x2 2 A:
x1 6¼ x2 ) f ðx1 Þ 6¼ f ðx2 Þ.
Una funzione f : A ! B si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo
una controimmagine in A.
In modo equivalente, si puo` dire che una funzione e` iniettiva se manda elementi distinti in elementi distinti.
Data una funzione reale di variabile reale (per cui, salvo diversa indicazione, si assume come codominio R), essa sara` iniettiva se e solo se ogni elemento di R ha al
massimo una controimmagine: cio` equivale a dire che ogni retta orizzontale deve
intersecare il grafico della funzione al massimo in un punto.
78
Stabilire se una funzione di cui e` dato il grafico e` iniettiva
Unita` 2
ESEMPI
Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono iniettive.
Funzioni
y
y
y = g(x)
y = f (x)
O
x
x
O
a
b
a. La funzione in fig. a e` iniettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta
orizzontale interseca il grafico della funzione in al massimo un punto.
b. La funzione in fig. b non e` iniettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale che giace nel primo e nel secondo quadrante interseca il grafico della funzione in due punti.
Data una funzione reale di variabile reale di equazione y ¼ f ðxÞ:
per dimostrare che non e` iniettiva basta esibire una coppia di elementi distinti
x1 , x2 , appartenenti al dominio della funzione, tali che f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ;
per provare invece che f e` iniettiva occorre mostrare che, per ogni x1 , x2 appartenenti al dominio, vale l’implicazione: f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ) x1 ¼ x2 .
ESEMPI
Stabilire se una funzione di cui e` data l’equazione e` iniettiva
Stabiliamo se le seguenti funzioni sono iniettive:
a. y ¼
1
xþ3
2
b. y ¼ x 2 2x
a. La funzione e` iniettiva. Infatti:
f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ )
1
1
x1 þ 3 ¼ x2 þ 3 )
2
2
1
1
) x1 ¼ x2 )
2
2
)
) x1 ¼ x2
Essendo f ðxÞ ¼
1
xþ3
2
Sottraendo dai due membri 3 (1o principio di equivalenza
delle equazioni)
Moltiplicando i due membri per 2 (2o principio di equivalenza delle equazioni)
b. Basta osservare, per esempio, che f ð0Þ ¼ f ð2Þ ¼ 0 per concludere che la funzione non e` iniettiva.
Funzioni suriettive
Definiamo ora che cosa si intende per funzione suriettiva.
FUNZIONE SURIETTIVA
Una funzione f : A ! B si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una
controimmagine in A:
In modo equivalente, si puo` dire che una funzione e` suriettiva se la sua immagine coincide con il codominio.
In simboli
Possiamo scrivere che f e`
suriettiva quando si verifica
che 8y 2 B: 9 x 2 A j f ðxÞ ¼ y.
79
Equazioni, disequazioni e funzioni
Data una funzione reale di variabile reale (per cui, salvo diversa indicazione, si assume come codominio R), essa sara` suriettiva se e solo se ogni elemento di R ha
almeno una controimmagine: cio` equivale a dire che ogni retta orizzontale deve
intersecare il grafico della funzione in almeno un punto.
ESEMPI
Stabilire se una funzione di cui e` dato il grafico e` suriettiva
Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono suriettive.
y
y
y = g(x)
O
x
Tema A
O
x
y = f (x)
a
b
a. La funzione in fig. a e` suriettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta
orizzontale interseca il grafico della funzione in almeno un punto.
b. La funzione in fig. b non e` suriettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni
retta orizzontale che giace nel terzo e nel quarto quadrante non ha alcun
punto in comune con il grafico della funzione. Per rendere la funzione suriettiva, occorrerebbe restringere il codominio all’intervallo ½0, þ 1Þ.
Algebricamente, data una funzione reale di variabile reale di equazione y ¼ f ðxÞ,
essa e` suriettiva se e solo se, per ogni y 2 R, l’equazione f ðxÞ ¼ y (nell’incognita
xÞ ha almeno una soluzione reale.
ESEMPI
Stabilire se una funzione di cui e` data l’equazione e` suriettiva
Stabiliamo se le seguenti funzioni sono suriettive:
a. y ¼
Suggerimento
Immagina che x sia
l’incognita e y rappresenti un
parametro.
1
xþ3
2
b. y ¼ x 2 2x
1
a. L’equazione y ¼ x þ 3 e` di primo grado rispetto all’incognita x e, per ogni
2
y 2 R, ammette come soluzione x ¼ 2y 6. Possiamo quindi affermare che
si tratta di una funzione suriettiva.
b. L’equazione y ¼ x2 2x, equivalente a x2 2x y ¼ 0, e` di secondo grado
rispetto all’incognita x e ammette soluzioni reali se e solo se 0; la condizione di realta` delle soluzioni equivale alla seguente disequazione, che risolviamo:
4 þ 4y 0 ) y 1
Vediamo cosı` che l’equazione x2 2x y ¼ 0 (nell’incognita xÞ non ammette soluzioni per ogni y 2 R ma solo se y appartiene all’intervallo
½1, þ1Þ. Non si tratta quindi di una funzione suriettiva.
Funzioni biiettive
Si da` un nome particolare alle funzioni che sono sia iniettive sia suriettive.
FUNZIONE BIIETTIVA
Una funzione f : A ! B che e` sia iniettiva sia suriettiva si dice biiettiva (o corrispondenza biunivoca o corrispondenza uno a uno).
80
Controesempi
La funzione che ha il grafico riportato in
figura e` biiettiva.
La funzione che ha il grafico riportato in
figura non e` biiettiva.
y
Funzioni
Esempi
Unita` 2
In modo equivalente, si puo` dire che una funzione f : A ! B e` biiettiva se ogni
elemento di B ha una e una sola controimmagine in A.
Data una funzione reale di variabile reale, essa sara` biiettiva se e solo se ogni retta
orizzontale interseca il grafico della funzione in uno e un solo punto.
y
Rifletti
y = g(x)
y = f(x)
x
O
x
O
Infatti ogni retta orizzontale interseca il
grafico della funzione in uno e un solo
punto.
Infatti non e` iniettiva: ci sono rette
orizzontali che intersecano il grafico della
funzione in piu` di un punto.
1
x þ 3 e` biiettiva.
2
Abbiamo visto negli esempi precedenti che
e` iniettiva e suriettiva.
La funzione y ¼ x 2 2x non e` biiettiva.
La funzione y ¼
Le definizioni di funzione
iniettiva, suriettiva e biiettiva
si possono interpretare come
illustrato qui di seguito in
relazione alla teoria delle
equazioni. Una funzione
f : A ! B e`:
a. iniettiva quando, per ogni
b 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ b
ha al massimo una soluzione
in A;
b. suriettiva quando, per ogni
b 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ b
ha almeno una soluzione
in A;
c. biiettiva quando, per ogni
b 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ b
ha una e una sola soluzione
in A.
Abbiamo visto negli esempi precedenti che
non e` ne´ iniettiva ne´ suriettiva.
Funzioni
Una funzione puo` essere: iniettiva ma non suriettiva, suriettiva ma non iniettiva, ne´ iniettiva ne´ suriettiva, biiettiva. Riassumendo, la
classificazione delle funzioni in base al comportamento rispetto al codominio si puo` quindi rappresentare mediante il diagramma di
Venn in fig. 2.13.
iniettive biiettive suriettive
né iniettive né suriettive
Figura 2.13
Prova tu
ESERCIZI a p. 102
1. Nelle seguenti figure sono riportati i grafici di alcune funzioni. Stabilisci se si tratta di funzioni iniettive, suriettive
o biiettive.
y
y
y
x
O
2. Stabilisci se le funzioni seguenti, di cui e` data l’equazione, sono iniettive, suriettive o biiettive:
ffiffiffi
1
1p
3
a. y ¼ x 2
c. y ¼ x2 1
b. y ¼
x
2
2
O
x
O
x
3. Una funzione strettamente crescente (o strettamente
decrescente) nel suo dominio e` sempre suriettiva? E`
sempre iniettiva?
81
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
4. Funzione inversa
Attenzione!
Alcuni testi pongono il
problema dell’invertibilita` di
una funzione in modo
leggermente diverso: si
definisce inversa di una
funzione f : A ! B (se esiste)
la funzione f 1 : B ! A che a
ogni elemento di B associa la
sua controimmagine nella f
(mentre noi abbiamo
definito come funzione
inversa la funzione
f 1 : f ðAÞ ! A che a ogni
elemento di f ðAÞ associa la
sua controimmagine nella f ).
Con questa impostazione
una funzione f risulta
invertibile se e solo se e`
biiettiva. La piu` recente
letteratura scientifica tende a
seguire l’impostazione che
noi abbiamo proposto.
Attenzione!
In questo contesto il simbolo
f 1 indica solo la funzione
inversa di f , non ha
il significato di «f elevato
1
alla 1», cioe` di .
f
Consideriamo la funzione f , rappresentata nella fig. 2.14, e costruiamo la relazione g, definita fra l’immagine I ¼ f ðAÞ di f e l’insieme A, che si ottiene invertendo
il verso delle frecce (fig. 2.15).
f
A
a
b
g
A
B
l
B
a
l
b
m
m
c
c
d
e
n
n
I
d
o
e
Figura 2.14
o
Figura 2.15
La relazione g associa, a ciascun elemento di I, le sue controimmagini tramite f .
La relazione g non e` una funzione, perche´ ci sono elementi di I da cui parte piu` di
una freccia. Come deve essere f affinche´ g sia una funzione?
In base a come abbiamo definito la relazione g, occorre che da ogni elemento
di I esca una e una sola freccia verso A, ovvero ogni elemento di I deve avere
un’unica controimmagine nella f . Cio` equivale a dire che la funzione f deve essere iniettiva.
In tal caso, la relazione g definisce una nuova funzione, che si chiama funzione
inversa di f . Queste osservazioni giustificano la seguente definizione.
FUNZIONE INVERTIBILE
Una funzione f si dice invertibile se e solo se e` iniettiva: in tal caso, si chiama
funzione inversa di f , e si indica con il simbolo f 1 , la funzione che associa a
ciascun elemento dell’immagine di f la sua (unica) controimmagine.
Nota che il dominio di f 1 e` l’immagine di f e l’immagine di f 1 e` il dominio di f .
Supponiamo che y ¼ f ðxÞ sia una funzione invertibile, reale di variabile reale.
C’e` qualche relazione che lega il grafico della funzione f e quello della sua funzione inversa f 1 ? Proviamo a riflettere: sia Pða, bÞ un punto appartenente al grafico della funzione f . Cio` significa che f ðaÞ ¼ b, vale a dire f 1 ðbÞ ¼ a. Dunque se
Pða, bÞ appartiene al grafico di f , allora P0 ðb, aÞ appartiene al grafico di f 1 .
y
P'(b, a)
y=x
P(a, b)
Figura 2.16
O
x
Poiche´ scambiare l’ascissa con l’ordinata nelle coordinate di un punto equivale a
effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
(fig. 2.16), deduciamo che:
Il grafico della funzione f 1 , inversa della funzione f , e` il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
82
ESEMPIO
Unita` 2
Dunque, una volta che e` noto il grafico di f , per ottenere il grafico di f 1 basta effettuare una simmetria rispetto alla suddetta bisettrice.
Tracciare il grafico dell’inversa di una funzione
Funzioni
In fig. 2.17 e` tracciato il grafico di una funzione invertibile. Tracciamo il grafico
della funzione inversa.
Osserviamo che il grafico in fig. 2.17 passa per i punti di coordinate (5, 5),
(1, 2), (3, 1) e (7, 3). Il grafico della funzione inversa passera` per i simmetrici
di questi punti rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Quindi
dovra` passare per i punti di coordinate (5, 5), (2, 1), (1, 3) e (3, 7). Il grafico della funzione inversa sara` allora quello in fig. 2.18.
y
y
(3, 7)
y=x
(1, 3)
(7, 3)
(3, 1)
y = f (x)
x
O
(7, 3)
(–2, 1)
y = f −1(x)
(1, –2)
(3, 1)
O
y = f(x)
(1, –2)
x
(–5, –5)
(–5, –5)
Figura 2.17
Figura 2.18
Il legame che abbiamo scoperto tra il grafico di una funzione invertibile e quello
della sua inversa suggerisce anche come ricavare l’equazione che definisce la funzione inversa: basta effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e
del terzo quadrante, cioe` scambiare nell’equazione della funzione x con y. In altre parole, se f e` definita dall’equazione
y ¼ f ðxÞ
allora f 1 e` definita dall’equazione:
x ¼ f ð yÞ
Quest’ultima equazione non e` pero` espressa nella forma esplicita y ¼ f ðxÞ: risolvendola rispetto a y, otterremo l’equazione esplicita di f 1 .
Determinare l’espressione analitica dell’inversa di una funzione
pffiffiffi
La funzione f ðxÞ ¼ 3 x 1 e` invertibile. Determiniamo l’espressione analitica della
funzione inversa.
ESEMPIO
1o passo Consideriamo l’equazione y ¼ f ðxÞ:
pffiffiffi
y ¼ 3x1
e sostituiamo in essa x al posto di y e y al posto di x:
pffiffiffi
x¼ 3y1
2o passo Risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a y.
pffiffiffi
Equazione da risolvere rispetto a y
x¼ 3y1
p
ffiffiffi
3
Proprieta` simmetrica dell’uguaglianza
y1¼x
p
ffiffiffi
3
y ¼xþ1
Isolando il radicale al 1o membro
y ¼ ðx þ 1Þ3
Elevando i due membri al cubo si ottiene un’equazione equivalente
Concludiamo che:
f 1 ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ3
83
Equazioni, disequazioni e funzioni
SINTESI
Procedimento per ricavare l’equazione della funzione inversa di una funzione data
1. Nell’equazione y ¼ f ðxÞ, si sostituisce y al posto di x e x al posto di y, ottenendo
cosı` l’equazione:
x ¼ f ð yÞ
2. Se possibile, si risolve l’equazione x ¼ f ð yÞ rispetto a y in modo da ottenere
l’equazione esplicita di f 1 .
Tema A
E` importante infine osservare che a volte una funzione puo` risultare non invertibile nel suo dominio, ma invertibile se la consideriamo definita in un opportuno
sottoinsieme del dominio. Quando si considera una funzione definita su un sottoinsieme del suo dominio si parla di restrizione della funzione.
ESEMPIO
Restrizione di una funzione
La funzione y ¼ x2 non e` invertibile perche´ non e` iniettiva (fig. 2.19).
E` invece invertibile la sua restrizione all’intervallo x 0, e la sua inversa e`
pffiffiffi
y ¼ x (fig. 2.20).
y
y
y = x2
y = x2
con x ≥ 0
y= x
O
x
x
O
Figura 2.20 Il grafico della restrizione di
y ¼ x 2 all’intervallo x 0 e della sua funzione inversa.
Figura 2.19 Ogni retta orizzontale che giace nel primo e nel secondo quadrante incontra il grafico della funzione in due punti
distinti, quindi la funzione non `e iniettiva,
` nemmeno invertibile.
percio
Prova tu
ESERCIZI a p. 104
1. Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 5x 6 non e` invertibile.
2. Le funzioni seguenti sono invertibili. Dopo aver giustificato perche´ lo sono, determina l’espressione analitica della
funzione inversa.
a. f ðxÞ ¼ 3x 2
b. f ðxÞ ¼
x3
2x þ 1
a. f 1 ðxÞ ¼
1
2
xþ3
x þ ; b. f 1 ðxÞ ¼
3
3
1 2x
5. L’algebra delle funzioni e le funzioni
composte
L’algebra delle funzioni
Nell’insieme delle funzioni reali di variabile reale possiamo introdurre delle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, del tutto analoghe
a quelle che conosci per gli elementi degli insiemi numerici. Le definizioni sono
le seguenti.
84
Unita` 2
SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO E QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI
Date due funzioni f e g:
la funzione somma f þ g e` la funzione definita da:
Funzioni
ðf þ gÞðxÞ ¼ f ðxÞ þ gðxÞ
la funzione differenza f g e` la funzione definita da:
ðf gÞðxÞ ¼ f ðxÞ gðxÞ
la funzione prodotto f g e` la funzione definita da:
ðf gÞðxÞ ¼ f ðxÞ gðxÞ
f
la funzione quoziente e` la funzione definita da:
g
f
f ðxÞ
ðxÞ ¼
g
gðxÞ
Le funzioni f þ g, f g e f g sono definite in corrispondenza dei valori di x per
cui sono definite sia la funzione f sia la funzione g, quindi il loro dominio e` l’intersezione del dominio di f e del dominio di g.
f
Il dominio di
e` costituito da tutti i valori di x per cui, oltre a essere definite le
g
funzioni f e g, e` anche gðxÞ 6¼ 0, quindi e` costituito da tutti i valori di x, appartenenti all’intersezione del dominio di f e di quello di g, tali che gðxÞ 6¼ 0.
ESEMPI
Operazioni tra funzioni
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
Date le funzioni f e g definite da f ðxÞ ¼ x e gðxÞ ¼ x 2, determiniamo l’espressione analitica delle seguenti funzioni e il loro dominio:
f
a. f þ g
b. f g
c. f g
d.
g
a. La funzione f þ g e` definita da:
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðf þ gÞðxÞ ¼ x þ x 2
La funzione f ha come dominio l’intervallo ½0, þ1Þ, la funzione g ha come
dominio l’intervallo ½2, þ1Þ.
Il dominio di f þ g e` allora l’intervallo ½2, þ1Þ, intersezione degli intervalli
che costituiscono il dominio di f e il dominio di g.
b. La funzione f g e` definita da:
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðf gÞðxÞ ¼ x x 2
Il dominio di f g e` ancora l’intervallo ½2, þ1Þ.
c. La funzione f g e` definita da:
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðf gÞðxÞ ¼ x x 2
Il dominio di f g e`, come nei due esempi precedenti, l’intervallo ½2, þ1Þ.
f
e` definita da:
g
pffiffiffi
x
f
ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
g
x2
d. La funzione
f
e` l’intervallo ð2; þ1Þ: esso e` l’intersezione degli intervalli
g
che costituiscono il dominio di f e il dominio di g, privata del valore x ¼ 2
per cui si annulla la funzione g.
Il dominio di
Attenzione!
La funzione prodotto
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð f gÞðxÞ ¼ x x 2 non
e` uguale alla funzione
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
hðxÞ ¼ xðx 2Þ.
Infatti, in base alla
definizione di uguaglianza di
funzioni data nel Paragrafo
1, perche´ due funzioni siano
uguali devono in particolare
avere lo stesso dominio.
Invece il dominio di f g e`
½2, þ 1Þ mentre il dominio
della funzione h e`
ð1, 0 [ ½2, þ 1Þ.
Per ragioni analoghe la
funzione quoziente
pffiffiffi
f
x
ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi non
g
x2
e` uguale alla funzione
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
.
zðxÞ ¼
x2
85
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
Composizione di funzioni
Nell’insieme delle funzioni e` possibile definire anche un nuovo tipo di operazione, diversa dalle usuali operazioni algebriche: l’operazione di composizione, definita come segue.
FUNZIONE COMPOSTA
Date due funzioni f e g, si dice funzione composta di f e g, e si indica con il
simbolo g f (che si legge: «g composto f »), la funzione definita da:
ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ
Attenzione!
Graficamente:
x
f(x)
f
La funzione f , pur essendo
scritta nel simbolo g f per
seconda, e` la prima che viene
applicata.
g
g(f(x))
g°f
Affinche´ sia possibile calcolare gðf ðxÞÞ, f ðxÞ deve appartenere al dominio di g.
Percio` il dominio di g f e` costituito da tutti gli elementi appartenenti al dominio di f tali che f ðxÞ appartiene al dominio di g.
Determinare la funzione composta di due funzioni assegnate
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Sono date le funzioni f ðxÞ ¼ x 1 e gðxÞ ¼ x þ 3. Determiniamo l’espressione
analitica di g f e di f g, specificando il dominio di tali funzioni.
ESEMPIO
Osserva
Potevamo determinare il
dominio della funzione
composta g f anche senza
determinare la sua
espressione analitica.
Sappiamo infatti che esso e`
costituito dai valori di x
appartenenti al dominio di f
(cioe`, in questo caso, a R) tali
che f ðxÞ ¼ x 1 appartiene
al dominio di g (cioe`, in
questo caso, all’intervallo
½3, þ1ÞÞ. Pertanto il
dominio di g f e` l’insieme
dei valori di x che soddisfano
la seguente disequazione:
Determiniamo l’espressione analitica di g f :
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ¼ gðx 1Þ ¼
ðx 1Þ þ 3 ¼ x þ 2
Definizione di
funzione composta
f ðxÞ ¼ x 1
gðxÞ ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
xþ3
Il dominio della funzione g f e` costituito dai valori di x per cui x þ 2 0,
quindi e` l’intervallo ½2, þ 1Þ.
Ragioniamo analogamente per determinare l’espressione analitica di f g:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼ f ð x þ 3Þ ¼ x þ 3 1
x 1 3 ) x 2
Il dominio della funzione f g e` l’intervallo ½3, þ1Þ (coincide con il dominio della funzione gÞ.
Ritroviamo cosı` che il
dominio di g f e` l’intervallo
½2, þ1Þ.
L’esempio precedente mostra che puo` essere g f 6¼ f g: la composizione di funzione non e` quindi una operazione commutativa.
Si potrebbe invece provare che la composizione di funzioni e` un’operazione associativa, cioe` che:
ðf gÞ h ¼ f ðg hÞ
Prova tu
ESERCIZI a p. 106
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1. Date le funzioni f ðxÞ ¼ x 1 e gðxÞ ¼ 5 x, scrivi
l’espressione analitica delle seguenti funzioni e determina il dominio di ciascuna di esse:
86
a. f þ g
c. f g
b. f g
d.
f
g
2. Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x e gðxÞ ¼ ðx þ 1Þ2 .
a. Calcola l’immagine di 1 tramite g f e tramite
f g.
b. Determina l’espressione analitica di g f e di
f g.
pffiffiffiffiffiffi
3. Date le tre funzioni f ðxÞ ¼ 2x, gðxÞ ¼ jxj e
hðxÞ ¼ x2 , verifica che ðf gÞ h ¼ f ðg hÞ.
Unita` 2
MATEMATICA NELLA STORIA
Funzioni
La nascita e lo sviluppo del concetto di funzione
E` difficile tracciare un profilo accurato ed esauriente dello sviluppo storico del concetto
di funzione, perche´ ha avuto un’evoluzione piuttosto lenta e discontinua. Esso infatti e`
comparso, a volte implicitamente, a volte esplicitamente, in problemi e tipi di rappresentazioni differenti. Ci limitiamo percio` a gettare uno sguardo su alcune delle «tappe» piu`
importanti.
Leibniz, Bernoulli e Newton
La parola «funzione» compare per la prima volta in un manoscritto di Leibniz (16461716) del 1673, dal titolo Methodus tangentium inversa seu de functionibus, e si trova ripetutamente nella corrispondenza con il matematico svizzero Johann Bernoulli (16671748). Leibniz sviluppo`, indipendentemente ma parallelamente rispetto a Newton
(1642-1727), una parte importantissima della matematica che studieremo nel proseguimento di questo corso, il calcolo infinitesimale. Come vedremo, il calcolo infinitesimale
riguarda sostanzialmente lo studio delle proprieta` delle funzioni reali di variabile reale.
Nelle loro originali elaborazioni, tuttavia, Leibniz e Newton non si riferirono a funzioni,
ma a «curve», intese come luogo di punti del piano che soddisfano un’equazione del tipo Pðx, yÞ ¼ 0, dove Pðx, yÞ e` un polinomio nelle variabili x e y.
Leibniz.
Eulero
E` con il matematico svizzero Eulero (1707-1783) che il concetto di funzione comincia a
definirsi piu` compiutamente. La definizione data da Eulero all’inizio del suo trattato Introductio in analysis infinitorum (1748) e` la seguente: «un’espressione analitica qualsiasi in
cui siano coinvolte una quantita` variabile e un numero qualsiasi di costanti».
Il concetto di funzione che emerge da questa definizione e` ancora lontano da quello moderno: essa richiede infatti che una funzione sia descrivibile per mezzo di una singola
espressione analitica. Solo piu` tardi Eulero dara`, nelle Institutiones calculi differentialis
(1755), una definizione piu` ampia e significativamente diversa: «se alcune quantita` dipendono dalle altre in modo tale da subire delle variazioni quando queste ultime sono
fatte variare, allora si dice che le prime sono funzioni delle seconde». A Eulero e` anche
dovuta la notazione f ðxÞ per indicare una funzione di x.
Eulero.
Dirichlet
Per arrivare a una buona definizione del concetto di funzione, occorre aspettare il diciannovesimo secolo. Il matematico tedesco Dirichlet (1085-1859) introduce una definizione di funzione simile alla seguente, che delinea ormai in modo chiaro il concetto di corrispondenza univoca: «una variabile y si dice funzione della variabile x in un certo intervallo quando esiste una legge che faccia corrispondere a ogni valore dato alla x uno e un
solo valore di y».
Bourbaki
La moderna definizione di funzione, che usa il linguaggio degli insiemi, e` riconducibile a
un gruppo di matematici francesi che pubblicava nel 1939 sotto lo pseudonimo di Nicolas Bourbaki: «siano E ed F due insiemi, distinti oppure no; una relazione tra una variabile x di E e una variabile y di F e` detta funzione se per ogni x 2 E esiste uno e un solo
y 2 F che sia nella relazione data con x».
Dirichlet.
87
Tema A
Unita`
2
Esercizi
In più: esercizi interattivi
SINTESI
Formule e proprieta` importanti
Classificazioni delle funzioni
Funzioni
Funzioni
algebriche
trascendenti
iniettive biiettive suriettive
intere
frazionarie
razionali irrazionali
razionali irrazionali
né iniettive né suriettive
Funzioni pari e dispari
f e` pari
,
f ðxÞ ¼ f ðxÞ
f e` dispari
,
f ðxÞ ¼ f ðxÞ 8x 2 dominio di f
8x 2 dominio di f
Funzioni crescenti e decrescenti in un sottoinsieme I del dominio di una funzione f
f e` crescente in senso stretto in I
,
x1 < x2 ) f ðx1 Þ < f ðx2 Þ
8x1 , x2 2 I
f e` decrescente in senso stretto in I ,
x1 < x2 ) f ðx1 Þ > f ðx2 Þ
8x1 , x2 2 I
f e` crescente in senso lato in I
,
x1 < x2 ) f ðx1 Þ f ðx2 Þ
8x1 , x2 2 I
f e` decrescente in senso lato in I
,
x1 < x2 ) f ðx1 Þ f ðx2 Þ
8x1 , x2 2 I
Funzione composta
ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ
Funzione inversa
y ¼ f ðxÞ , x ¼ f 1 ðyÞ
ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ
Il grafico di f 1 e` il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Procedimento per determinare l’equazione dell’inversa di una funzione (invertibile)
Scambiare x con y nell’equazione y ¼ f ðxÞ che definisce la funzione.
Risolvere l’equazione ottenuta rispetto a y.
`
CONOSCENZE E ABILITA
1. Introduzione alle funzioni
TEORIA a p. 66
Definizione di funzione
1
Þ
Vero o falso?
a. ogni relazione e` una funzione
V F
b. ogni funzione e` una relazione
V F
c. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora ogni elemento di A non puo` avere piu` di
un’immagine in B
V F
d. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci due elementi di A che
hanno la stessa immagine in B
V F
e. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci elementi di A che non
hanno immagini in B
V F
[3 affermazioni vere e 2 false]
88
B
A
b
a
b
y
c
e
3
Þ
a
z
y
c
z
d
w
x
b
y
c
d
B
A
x
Funzioni
a
B
A
x
Unita` 2
2 Stabilisci se le relazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce rappresentano funzioni da A a B, giustiÞ
ficando la risposta.
w
e
z
d
w
e
Stabilisci quali delle seguenti relazioni definiscono delle funzioni, giustificando la risposta.
a. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola i suoi insegnanti.
b. La relazione che associa a ogni cittadino italiano le auto che possiede.
c. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola la propria madre.
d. La relazione che associa a ogni regione d’Italia le sue province.
e. La relazione che associa a ogni cittadino italiano il suo comune di nascita.
x þ 1 se x 1
4 La formula f ðxÞ ¼
non definisce una funzione f : R ! R. Chiarisci questa affermazione.
Þ
5 x se x 1
x þ 1 se x 1
5
La
formula
f
ðxÞ
¼
definisce una funzione f : R ! R?
Þ
3 x se x 1
6
Þ
Spiega perche´ la formula f ðxÞ ¼
x
non definisce una funzione f : R ! R. La medesima formula definisce
xþ2
una funzione f : R f2g ! R?
n
definisce una funzione f : N ! N?
2
x
8 La formula f ðxÞ ¼
definisce una funzione f : N ! Q? Definisce una funzione f : N ! Z? Definisce una
Þ
xþ4
funzione f : Z ! Q?
7
Þ
La formula f ðnÞ ¼
Immagini e controimmagini
9 Facendo riferimento alla funzione rappresentata
Þ
nella figura, completa le seguenti affermazioni:
B
A
a
x
a. Il dominio della funzione e` l’insieme ...............
b. Il codominio della funzione e` l’insieme ...............
c. L’immagine della funzione e` l’insieme ...............
b
y
c
z
d
w
d. Le controimmagini di x sono ...............
e. L’immagine di c e` ...............
Per ciascuna delle seguenti funzioni, determina il
valore indicato a fianco.
10
Þ
f ðxÞ ¼ x2 3x 1
11
Þ
f ðxÞ ¼ x4 x2 1
1
12 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Þ
x1
xþ2
13 f ðxÞ ¼
Þ
xþ1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x xþ1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
14
f
ðxÞ
¼
Þ
xþ xþ1
f ð3Þ
pffiffiffi
f ð 2Þ
[17]
[1]
f ð101Þ
1
10
3
f 2
[1]
f ð1Þ
pffiffiffi
[2 2 3]
15
Þ
1
2
f ðxÞ ¼ x 2 x 3
f ð64Þ
1
16
Considera la funzione cosı` definita:
8
2
>
< x
se x 2
x2 þ 2
f ðxÞ ¼
>
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
: 2
x þ x þ 1 se x > 2
pffiffiffi
pffiffiffi
Determina f ð 2Þ, f ð0Þ, f ð 2Þ, f ð2Þ, f ð3Þ.
pffiffiffi
pffiffiffi
1
1
f ð 2Þ ¼ , f ð0Þ ¼ 0, f ð 2Þ ¼ ,
2
2
pffiffiffiffiffiffi
2
f ð2Þ ¼ , f ð3Þ ¼ 13
3
16
Þ
89
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
Data la funzione f ðxÞ ¼ 2x2 þ 3x 1, scrivi l’espressione analitica di f ð2xÞ, 2f ðxÞ, f ðx þ 1Þ e f ðxÞ þ 1.
17
Þ
[8x2 þ 6x 1; 4x2 þ 6x 2; 2x2 þ 7x þ 4; 2x2 þ 3x]
Determina, per ciascuna delle seguenti funzioni,
le controimmagini di 6.
a. f : Q ! Q definita da f ðxÞ ¼ x2 2x;
24
Þ
b. f : N ! N definita da f ðxÞ ¼ 2x2 þ x þ 3.
[a. Non ci sono controimmagini di 6; b. 1]
x2
, scrivi l’espressio18 Data la funzione f ðxÞ ¼
Þ
xþ1
Considera la funzione f : N ! N definita da
f ðnÞ ¼ n þ 2. Dopo aver calcolato f ð0Þ; f ð1Þ; f ð2Þ; f ð3Þ,
stabilisci qual e` l’insieme immagine della funzione.
ne analitica di f ðx þ 2Þ, f ðxÞ þ 2, f ð2xÞ, 2f ðxÞ.
x
3x
2x 2
2x 4
;
;
;
xþ3
xþ1
2x þ 1
xþ1
25
Þ
Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 5, quali sono le controimmagini di 20?
[5 e 5]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
20 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 1 x, qual e` la
Þ
controimmagine di 10?
99
20
26
Þ
19
Þ
2
21 Data la funzione f ðxÞ ¼ x 2x, quali sono le
Þ
pffiffiffi
controimmagini di 6?
[ 1 7]
Data la funzione f ðxÞ ¼
troimmagine di 6?
22
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x þ 8 x, qual e` la con[4]
23 Considera la funzione f : N ! N definita da
Þ
f ðxÞ ¼ x2 þ x. Qual e` la controimmagine di 20?
[4]
Determina l’insieme immagine di ciascuna delle
seguenti funzioni, dopo aver calcolato f ð0Þ; f ð1Þ;
f ð2Þ; f ð3Þ:
a. f : N ! N definita da f ðnÞ ¼ 2n;
b. f : N ! N definita da f ðnÞ ¼ 2n þ 2.
27
Þ
Date le due funzioni f ðxÞ ¼
x1
e gðxÞ ¼ 2x, rixþ1
solvi la disequazione 2f ðx þ 1Þ 2gðx 1Þ 3.
7
x < 2 _ x 2
4
Date le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x2 1 e gðxÞ ¼ 2x 1,
risolvi la disequazione f ð2x 1Þ gðx2 þ 1Þ.
4
x0_x
3
28
Þ
Classificazione e dominio di funzioni reali di variabile reale
Test
29
Þ
A
30
Þ
A
31
Þ
A
32
Þ
A
33
Þ
A
34
Þ
Quale delle seguenti funzioni non e` razionale?
x3 x
B y ¼
y ¼ x3 x2
x2 þ 1
1
C
y ¼ x2 x 3
C
y¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x3 x2
C
y¼
1
1
þ x2
x3
2
Quale delle seguenti funzioni non e` irrazionale?
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
B y ¼ x2 2
y ¼ x2 x1
C
Quale delle seguenti funzioni e` trascendente?
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
B y ¼ x2 2x
y ¼ 2x 2x
C
y¼
Quale delle seguenti funzioni e` razionale frazionaria?
1
B y ¼ x3 x2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y¼ p
3
xþ1
Quale delle seguenti funzioni e` irrazionale intera?
ffiffiffi
1 pffiffiffi 1 p
x
3
B y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y¼
xþ
x
2
3
x2 þ 1
1
x2
3
D
y¼
D
y ¼ x20 x2
D
y ¼ x 4 þ x 3
y ¼ x 2 x3
D
y¼
1
x2 2x
D
y ¼ ðx2 2xÞ 3
1
1
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
3
x2 þ 1
1
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
ffiffiffi
3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
5 x þ x2 4
2
a. y ¼
c. y ¼
b. y ¼ 4x x
x2 þ x þ 1
jxj 1
a. Poiche´ una radice cubica e` sempre definita, l’unica condizione da imporre e` che il denominatore sia diverso da
zero:
jxj 1 6¼ 0 ) jxj 6¼ 1 ) x 6¼ 1
Pertanto il dominio della funzione e` R f1g.
90
Risolvendo la disequazione di 2 grado
Pertanto il dominio della funzione e` l’intervallo [0, 4].
c. Dobbiamo imporre che i radicandi delle radici quadrate siano maggiori o uguali a zero e che il denominatore sia
diverso da zero:
8
5x0
>
<
x2 4 0
>
: 2
x þ x þ 1 6¼ 0
Funzioni
4x x2 0 ) x2 4x 0 ) 0 x 4
Unita` 2
b. Una radice quadrata e` definita purche´ il radicando sia maggiore o uguale a zero. Dobbiamo quindi imporre la
condizione:
Osserviamo che la terza condizione, x2 þ x þ 1 6¼ 0, e` sempre verificata, poiche´ il discriminante del trinomio
x2 þ x þ 1 e` negativo e il trinomio non si annulla mai. Resta allora da risolvere il sistema:
5x0
x2 4 0
che fornisce come soluzione:
x 2 _ 2 x 5
Pertanto il dominio della funzione e` l’insieme ð1, 2 [ ½2, 5.
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
x
35 y ¼ 2
[R f1, 1g]
Þ
x 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
36 y ¼ 2x þ 1
x
Þ
2
1
[R f0g]
37 y ¼ 1 Þ
x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
38 y ¼ 2 x þ 3
[x 3]
Þ
4
39
Þ
y¼
40 y ¼
Þ
x 1
x2 þ 5x 6
1
3x2 2x 1
1
1
þ 2
5 x2
x 6x þ 9
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
42 y ¼
x x4
Þ
8
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3x x2
43 y ¼
Þ
x
41
Þ
y¼
y
46
Þ
y
47
Þ
y
48
Þ
y
1
R ,1
3
pffiffiffi
[R f 5, 3g]
1
0x
2
52
Þ
56
Þ
y¼
58
Þ
pffiffiffi
1
[R f1, 5g]
¼ 4
2
x 6x þ 5
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 10x x2 þ x2 9
[3 x 10]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
x6 7x3 þ 6
[x 1 _ x 3 6 ]
¼
jxj þ 3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 25 x2
[3 x < 2 _ 2 < x 5]
¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
xþ31
60
Þ
59
Þ
61
Þ
x
1
þ
x2 x þ 2
x
1
y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 2x
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y ¼ x 4x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y ¼ 3 2x x2
p
ffiffiffi
3
x
y¼
2 x2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 2
x 0,5
y¼
2
1
þ
2x 4
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x1
63 y ¼ 2
Þ
x þ 4x 12
62
Þ
7
1 < x 1 _ x >
4
y¼
x3
2x2
[ 0 x 3]
[ 1 x 1]
[R f1, 3g]
[0 x < 1 _ x > 1]
y¼
x4 1
y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2x2 þ x þ 1
[0 < x 3]
x
x2 4x þ 3
55
Þ
57
Þ
y¼
p
ffiffiffi
x
3
x þ pffiffiffi
x1
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
9 x2
x1
3
þ
54 y ¼
Þ
x2 þ 2
2x þ 1
53
Þ
3
<x<5
2
1
x
44 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Þ
2x 3
10 2x
45
Þ
[R f6, 1g]
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x3 1
49 y ¼
Þ
4x2 3x 7
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
50 y ¼ x þ 3 x
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
51 y ¼ 3 2 2x2
Þ
1
<x3
2
1
<x<1
2
x 3 _ [R f0g]
[x < 0 _ x > 2]
[0 x 4]
[3 x 1]
pffiffiffi
[R f 2g]
[x 1 _ x 1]
pffiffiffi
[R f2, 2g]
[x 1 ^ x 6¼ 2]
91
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
64
Þ
y¼
3x2 1
2x2 3x þ 2
3x2 1
65 y ¼
Þ
2
2x 3x þ 1
[R]
R
1
,1
2
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
3x2 1
1
R
4x2 þ 4x þ 1
2
pffiffiffi
pffiffiffi
xþ x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
67 y ¼
[x 0 ^ x 6¼ 1 þ 2]
Þ
x 2x þ 1
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 3x
68 y ¼
[4 < x 0 _ 3 x < 4]
Þ
16 x2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
69 y ¼
jx þ 4j þ x2 þ 7x þ 10 [x 5 _ x 2]
Þ
66 y ¼
Þ
70
Þ
y¼
1
x4 þ x2
[R f0g]
1
71 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
Þ
3
3 x
72
Þ
2
y ¼ ðx 2xÞ
73 y
Þ
74
Þ
y
75
Þ
y
76
Þ
y
77
Þ
78
Þ
12
y
y
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ x þ 1 þ 2x2
x
¼
jxj 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ x2 4 x5
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ ðx 1Þ2 9 þ 1
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ x2 þ x 4
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
¼
2
x 1
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi
þ 4x
x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 x þ 3
80
y
¼
Þ
xþ2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
81 y ¼ x3 x
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
82 y ¼ x2 x þ 1
Þ
79
Þ
y¼
x
jx þ 3j 4
83
Þ
y¼
84
Þ
1
y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 x4
[x 0 ^ x 6¼ 9]
[x 1]
[R f2g]
[x 2 _ x 2]
[x 2 _ x 4]
1
2
y¼
x3
x2 þ 1
x2 x þ 1
x2 þ 1
88 y ¼ 2
Þ
jx 1j þ 1
92
92
Þ
y¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x 1 x2 3
[R f7, 1g]
pffiffiffi
[ 3 x 2]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
jx 1j j2x 1j
jx 1j þ j2x 1j
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x x2 þ 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
94 y ¼
Þ
2x þ x2 þ 1
2
3
"
( pffiffiffi )#
3
R 3
0x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
2 x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x þ 3 2x
96 y ¼
Þ
95
Þ
97
Þ
y¼
y¼
98 y ¼
Þ
99
Þ
y¼
[0 x 4]
[3 x 1]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 3xþ3
[x 5]
x
jx 2j 2x
R
pffiffiffi
[R 1, 1 3 ]
y¼
y¼
[x 5 _ x 3]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x4 9x
[x 0 _ x 1
103 y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Þ
y¼
2
3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
jx2 8j 1
pffiffiffi
pffiffiffi
[x 3 _ 7 x 7 _ x 3]
x
x3 3x2 þ 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
101 y ¼
jx þ 4j 1
Þ
100
Þ
104
Þ
[R]
1
x _x>2
2
[x > 0]
93 y ¼
Þ
[ 3 x < 2 _ x > 2]
[1 x 0 _ x 1]
1
x3 þ 1
y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
xþ x
3
R
jxj j2x 1j
1
,1
3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2x jxj
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
105
y
¼
1
x
x
Þ
ffiffiffi
p
3
9]
[x 0]
"
pffiffiffi #
3þ 5
x¼0_1x
2
Determina per quali valori di k la funzione
1
9
e` definita per ogni x 2 R. k < y¼ 2
kx 3x 1
4
106
Þ
Determina per quali valori di k la funzione
1
1
ha come dominio R f2g.
k¼
y¼
kx 1
2
107
Þ
pffiffiffi
pffiffiffi
[x 4 _ 2 3 x 2 3 _ x 4]
87
Þ
1
91
Þ
102
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
85 y ¼
jx2 14j 2
Þ
x
y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
5xþ xþ2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 9 þ 10 jxj
[10 x 3 _ 3 x 10]
4
y ¼ ð2x2 x 1Þ 2 þ ðx2 2xÞ [1 < x 0 _ x > 1]
[2 x < 0 _ 0 < x 2]
y¼
90
Þ
[x < 0 _ x > 2]
[1 < x < 1 ^ x 6¼ 0]
86
Þ
89
Þ
[2 x 5]
108 Determina per quali valori di k la funzione
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y ¼ x2 þ kx 3 e` definita in corrispondenza di uno
pffiffiffi
e un solo valore reale di x.
[k ¼ 2 3]
[R f1g]
109 Determina per quali valori di k la funzione
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
[R]
y ¼ x 2 þ k2 x2 non e` definita in corrispondenza di alcun valore reale di x.
[2 < k < 2]
110
Þ
Unita` 2
Immagine di una funzione reale di variabile reale
ESERCIZIO SVOLTO
L’immagine della funzione e` l’insieme dei valori di y che hanno almeno una controimmagine in R. Quindi l’immagine della funzione e` costituita dai valori di y per cui la seguente equazione nell’incognita x ha almeno una
soluzione reale:
Funzioni
Determiniamo l’immagine della funzione definita da y ¼ x2 þ 2x.
x2 þ 2x ¼ y
Questa equazione, equivalente a x2 þ 2x y ¼ 0, ha almeno una soluzione reale se e solo se il suo discriminante
e` maggiore o uguale a 0, ossia se e solo se e` verificata la disequazione:
4 þ 4y 0
da cui
y 1
Concludiamo che l’immagine della funzione e` l’intervallo ½1, þ1Þ.
Determina l’immagine di ciascuna delle seguenti funzioni.
111
Þ
y ¼ 2x 1
112
Þ
y ¼ x2 4x þ 1
[y 3]
113
Þ
y¼
2x
x1
[R f2g]
x
114 y ¼ 2
Þ
x þ1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
115 y ¼ x2 þ 1 x
Þ
[R]
116
Þ
y¼
1
1
y
2
2
[y > 0]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 þ 1
[y 1]
y ¼ x4 4x2 (Suggerimento: affinche´ l’equazione (nell’incognita xÞ x4 4x2 y ¼ 0 abbia soluzioni reali, l’equazione di secondo grado t 2 4t y ¼ 0 (ottenuta ponendo x2 ¼ tÞ deve avere soluzioni reali di cui almeno una
non negativa)
[y 4]
117
Þ
118
Þ
y¼
x4
(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)
x2 þ 2
[y 0]
Il grafico di una funzione
Nota Nelle figure relative ai seguenti esercizi sono riportati i grafici di diverse funzioni: il tratteggio agli estremi del grafico indica che esso prosegue indefinitamente; il punto pieno che il punto appartiene al grafico della funzione e il punto vuoto che non vi appartiene; in tutti i grafici
si intende che l’unita` di misura coincide con il lato dei quadratini della quadrettatura.
Stabilisci se le seguenti curve sono grafici di funzioni.
119
Þ
y
y
y
O
x
O
120
Þ
x
y
y
O
x
O
y
x
O
x
O
x
93
Equazioni, disequazioni e funzioni
121
Þ
Tema A
Il dominio e` l’insieme dei valori assunti dalle ascisse
dei punti che appartengono al grafico della funzione:
geometricamente, per individuare il dominio possiamo
immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull’asse x.
ESERCIZIO SVOLTO
Individuiamo dominio e immagine della funzione che ha il grafico mostrato qui di seguito.
y
x
O
L’immagine e` l’insieme dei valori assunti dalle ordinate
dei punti che appartengono al grafico della funzione.
Geometricamente, per individuare l’immagine possiamo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico
sull’asse y.
y
y
O
O
x
Proiettando sull’asse x, otteniamo la semiretta colorata
in rosso, compresa l’origine della semiretta, che ha
coordinate (3, 0). Percio` il dominio della funzione e`
l’insieme:
x
Proiettando sull’asse y, otteniamo la semiretta colorata
in blu, compresa l’origine della semiretta, che ha coordinate ð0, 4Þ. Percio` l’immagine della funzione e` l’insieme:
D ¼ fx 2 R j x 3g ovvero l’intervallo ð1, 3
I ¼ fy 2 R j y 4g ovvero l’intervallo ½4, þ1Þ
Stabilisci se le seguenti curve sono grafici di funzioni e, in caso affermativo, determina il dominio
e l’immagine.
122
Þ
y
O
123
Þ
x
y
O
94
y
y
O
x
y
x
O
O
x
y
x
O
x
y
y
Unita` 2
124
Þ
y
O
125
Þ
y
O
126
Þ
x
O
x
x
x
y
Funzioni
O
y
O
O
x
x
ESERCIZIO GUIDATO
Traccia approssimativamente il grafico della funzione y ¼ 1
x þ 1.
2
Devi anzitutto costruire una tabella, per determinare le coordinate di alcuni punti
appartenenti al grafico della funzione. Completa, per esempio, la tabella riportata
qui a destra: nota che abbiamo scelto di attribuire a x valori pari, in modo da ottenere per y valori non frazionari e quindi punti piu` facili da rappresentare.
Rappresenta nel piano cartesiano i punti le cui coordinate hanno i valori di x e y della tabella e congiungili con una linea continua: otterrai come grafico una retta.
x
y
4
.....
2
.....
0
.....
2
.....
.....
Traccia approssimativamente il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni.
2
xþ1
127 y ¼ 2x 2
139 y ¼ Þ
Þ
3
1
pffiffiffi
xþ1
128 y ¼
140 y ¼ 2 x
Þ
Þ
2
129
Þ
y ¼ x2
130
Þ
y¼
131
Þ
y¼
132
Þ
y ¼ x2 4
133
Þ
6
x
3
x3
2
y¼x
3
1 2
134 y ¼ x
Þ
2
3
xþ2
135 y ¼ Þ
2
136
Þ
y ¼ 3x 4
137
Þ
y¼
138
Þ
y ¼ 4x þ 3
1 3
x
2
141
Þ
y ¼ x2 4x
142
Þ
y¼
143
Þ
y¼
144
Þ
y ¼ 3 x2
145
Þ
y¼
8
x
1 3
x
4
1 3
x
2
y ¼ 2x þ 3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
147 y ¼ x2 þ 1
Þ
146
Þ
148
Þ
y ¼ 2x2 þ 3
1 2
x
2
pffiffiffi
150 y ¼ 3 x
Þ
149
Þ
y¼
95
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
151
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo k in modo che il grafico della funzione y ¼ x3 kx2 þ k 1 passi per il punto Pð2, 1Þ.
Dobbiamo imporre che l’equazione che definisce la funzione sia soddisfatta in corrispondenza delle coordinate di
Pð2, 1Þ. Sostituiamo percio` 2 al posto di x e 1 al posto di y nell’equazione della funzione e risolviamo l’equazione nell’incognita k che otteniamo:
1 ¼ ð2Þ3 kð2Þ2 þ k 1 ) 1 ¼ 8 4k þ k 1 ) 3k ¼ 8 ) k ¼ 8
3
Determina k in modo che il grafico della funzione y ¼ kx2 x þ k 1 passi per il punto di coordinate
1
2
k¼
, 0 .
2
5
152
Þ
Determina b e c in modo che il grafico della funzione y ¼ x2 þ bx þ c passi per l’origine e per il punto di coordinate ð1, 2Þ.
[b ¼ 1, c ¼ 0]
153
Þ
Determina b e c in modo che il grafico della funzione y ¼ x2 þ bx þ c passi per i punti di coordinate (0, 2) e
9
(4, 0).
b¼ ,c¼2
2
154
Þ
Uguaglianza di funzioni
Stabilisci se le seguenti coppie di funzioni sono uguali.
155
Þ
y¼
x6 1
x3 1
e
y ¼ x3 þ 1
156
Þ
y¼
x3 1
x1
e
y ¼ x2 þ x þ 1
e
y ¼x1
160
Þ
1
y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
xþ1þ x
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
xþ1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
p
161 y ¼ 3
Þ
x1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
xþ1 x
e
y¼
e
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3 x þ 1
y¼
x1
e
y ¼ x2 x þ 1
e
y¼
3
157
Þ
y¼
x 1
x2 þ x þ 1
x3 þ 1
x2 þ x þ 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
159
y
¼
Þ
xþ3
158
Þ
y¼
162
Þ
e
e
y ¼ j x2 þ x 1j
y ¼xþ1
y¼
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2
xþ3
163 y ¼
Þ
jx 1j
x1
1
se x 1
1 se x < 1
Il dominio di funzioni che scaturiscono da problemi
164 Noleggio di biciclette. Un negozio noleggia biciÞ
clette applicando la seguente tariffa:
a. una quota fissa di 1 euro da versare al momento
del noleggio;
b. una quota variabile in base alla durata del noleggio (2 euro all’ora) da versare al momento della restituzione della bicicletta.
Il negozio affitta le biciclette «a ore», cioe` non e` possibile, per esempio, noleggiare la bicicletta per un’ora e
mezza o per due ore e un quarto. Esprimi il costo complessivo del noleggio in funzione del numero x di ore.
Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema?
[CðxÞ ¼ 1 þ 2x; il dominio della funzione,
dal momento che il negozio affitta le biciclette
«a ore», e` l’insieme N dei numeri naturali]
96
Noleggio di auto. Per il noleggio di un’automobile, una compagnia di noleggio applica una tariffa in
base al numero di giorni:
165
Þ
a. 25 euro al giorno fino al settimo giorno;
b. 15 euro al giorno dall’ottavo giorno in poi.
La compagnia affitta le auto «a giorni», cioe` non e` possibile, per esempio, noleggiare l’auto per un giorno e
mezzo. Esprimi il costo complessivo del noleggio in
funzione del numero x di giorni. Qual e` il dominio
della funzione che resta cosı` definita, in relazione al
problema?
Torneo. In un torneo sportivo ogni squadra incontra esattamente una volta ciascuna delle altre squadre. Supponi che al torneo partecipino n squadre.
Esprimi il numero di partite giocate complessivamente
166
Þ
Un cilindro non degenere, il cui raggio di base
misura x, e` inscritto in una sfera di raggio 1. Esprimi,
in funzione di x, il volume del cilindro e stabilisci qual
e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in
relazione al problema geometrico.
172
Þ
167 Indica con n il numero dei lati di un poligono.
Þ
Esprimi in funzione di n il numero delle diagonali del
poligono. Qual e` il dominio della funzione che resta
cosı` definita, in relazione al problema?
168 Un cerchio il cui raggio misura r e` inscritto in un
Þ
quadrato.
a. Esprimi l’area del quadrato in funzione di r. Qual
e` il dominio della funzione che resta cosı` definita,
in relazione al problema geometrico?
b. Esprimi il perimetro del quadrato come funzione
di r. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı`
definita, in relazione al problema geometrico?
Funzioni
minio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico?
2x2 þ 2x
pðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , con x > 1
x2 1
Unita` 2
in funzione di n. Qual e` il dominio della funzione che
resta cosı` definita, in relazione al problema?
nðn 1Þ
; il dominio della funzione
f ðnÞ ¼
2
e` l’insieme N dei numeri naturali
x
1
Un cilindro non degenere, il cui raggio di base
misura x, e` inscritto in un cono il cui raggio di base
misura r e la cui altezza misura h. Esprimi, in funzione
di x, il volume del cilindro e stabilisci qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione
al problema geometrico.
173
Þ
r
O
Un rettangolo non degenere, la cui altezza misura x, e` inscritto in un semicerchio il cui raggio misura 2.
a. Esprimi l’area del rettangolo in funzione di x.
Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico?
b. Esprimi il perimetro del rettangolo in funzione di
x. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı`
definita, in relazione al problema geometrico?
169
Þ
VðxÞ ¼
h 2
x ðr xÞ;
r
il dominio e` l’intervallo
0<x<r
x
h
r
x
O
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
[a. AðxÞ ¼ 2x 4 x2 ;
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b. PðxÞ ¼ 4 4 x2 þ 2x; il dominio di entrambe
le funzioni e` l’intervallo 0 < x < 2]
Un triangolo acutangolo non degenere ABC, isoscele sulla base AB, e` inscritto in una circonferenza di
raggio 1. Esprimi, in funzione della misura 2x della base, l’area del triangolo. Qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, inprelazione
al problema
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
geometrico?
[AðxÞ ¼ xð1 þ 1 x Þ, con 0 < x < 1]
Ai quattro angoli di un quadrato di cartone il cui
lato misura x si ritagliano quattro quadrati il cui lato
misura 4. Il cartone restante viene ripiegato in modo
da formare una scatola, come indicato in figura. Esprimi in funzione di x il volume della scatola e stabilisci
qual e` il dominio della funzione che resta cosı` definita, in relazione al problema geometrico.
174
Þ
170
Þ
171 Un triangolo non degenere ABC, isoscele sulla
Þ
base AB, e` circoscritto a una semicirconferenza di raggio 1. Esprimi, in funzione della misura x dell’altezza
relativa ad AB, il perimetro del triangolo. Qual e` il do-
4
4
4
4
x
4
4
4
4
4
4
4
x
97
TEORIA a p. 73
Il segno di una funzione
Test
Il grafico della funzione y ¼ x3 x appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;
quale?
y
y
y
y
175
Þ
–1
O
1
x
–1
O
1
x
–1
O
1
x
–1
O
1
x
Tema A
Equazioni, disequazioni e funzioni
2. Prime proprieta` delle funzioni reali di variabile reale
a
b
c
d
Il grafico della funzione y ¼ x4 x2 appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;
quale?
176
Þ
–1
O
y
y
y
1
x
–1
a
O
1
x
–1
b
O
y
1
x
–1
c
O
1
x
d
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
177 Il grafico della funzione y ¼ x2 1 appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;
Þ
quale?
y
–1
O
y
1
x
–1
a
O
y
y
1
x
–1
b
O
1
x
–1
c
O
1
x
d
jx þ 1j 1
Il grafico della funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figu2x2 þ 3
re; quale?
178
Þ
y
–2
O
a
98
y
x
–2
O
b
y
x
–2
O
c
y
x
–2
O
d
x
–1 O
2
x
–1 O
a
y
y
1
2
x
b
O
c
1
2
x
–1 O
Funzioni
y
y
Unita` 2
x2 2x
appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;
Il grafico della funzione y ¼
jxj 1
quale?
179
Þ
1
2
x
d
Studia il segno di ciascuna delle seguenti funzioni, dopo averne determinato il dominio, e indica la parte
del piano alla quale appartiene il suo grafico.
180
Þ
y ¼ x5 x3
181
Þ
y ¼ x3 þ 10x2 11x
182
Þ
y¼
[D ¼ R; y > 0 per 1 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ 1; y < 0 per x < 1 _ 0 < x < 1]
x2
1
x2
x3 þ x2
183 y ¼
Þ
2x2 þ x 3
184
Þ
y ¼ xjxj 2x 1
185
Þ
y ¼ j2x2 8xj
186
Þ
187
Þ
188
Þ
189
Þ
190
Þ
191
Þ
[D ¼ R f1g; y > 0 per x < 1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0; y < 0 per 1 < x < 1]
3
3
D ¼ R , 1 ; y > 0 per < x < 1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1 _ x ¼ 0;
2
2
3
y < 0 per x < _ 1 < x < 0 _ 0 < x < 1
2
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
[D ¼ R; y > 0 per x > 1 þ 2; y ¼ 0 per x ¼ 1 _ x ¼ 1 þ 2; y < 0 per x < 1 þ 2 ^ x 6¼ 1]
[D ¼ R; y > 0 per x 2 R f0, 4g; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ 4; y < 0 per nessuna x 2 D]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
9
9
9
y ¼ x2 þ 2x x 3 D ¼ ð1, 2 [ ½0, þ1Þ; y > 0 per x < ; y ¼ 0 per x ¼ ; y < 0 per < x 2 _ x 0
4
4
4
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
[D ¼ R; y > 0 per 1 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ 1; y < 0 per x < 1 _ 0 < x < 1]
y ¼ x3 x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y ¼ x2 þ 7x 6
[D ¼ ½1, 6; y > 0 per 1 < x < 6; y ¼ 0 per x ¼ 1 _ x ¼ 6; y < 0 per nessun x 2 D]
pffiffiffi
x
[D ¼ ½0, 5Þ [ ð5, þ 1Þ; y > 0 per 0 x < 5; y ¼ 0 per x ¼ 0; y < 0 per x > 5]
y¼
5x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 1
[D ¼ ð1;2Þ [ ð2;1 [ ½1;þ1Þ; y > 0 per 2 < x < 1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1; y < 0 per x < 2]
y¼
xþ2
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x þ 10 x
[D ¼ ½0; 3Þ [ ð3; 10; y > 0 per 3 < x 10; y = 0 per nessuna x 2 D; y < 0 per 0 x < 3]
y¼
x2 9
x3 1
jxj þ jx 1j
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
jxj þ 1 2
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
193
y
¼
Þ
4x2 þ 4x þ 1
192
Þ
[D ¼ R; y > 0 per 11 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 11 _ x ¼ 0 _ x ¼ 1;
y < 0 per x < 11 _ 0 < x < 1]
y¼
[D ¼ R; y > 0 per x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1; y < 0 per x < 1]
1
D¼R ; y > 0 per x < 3 _ x > 3; y ¼ 0 per x ¼ 3;
2
1
y < 0 per 3 < x < 3 ^ x 6¼ 2
jxj 1
1
1
1
D ¼ R
; y > 0 per 1 < x < _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1; y < 0 per x < 1 _ < x < 1
194 y ¼
Þ
jxj jx 1j
2
2
2
p
ffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
3 17
1
3 þ 17
3
2
D ¼ 1, [ ½1, þ1Þ; y > 0 per
195 y ¼ jx þ 1j 2x x 1
<x _1x<
;
Þ
2
2
2
2
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi 3 17
3 17
3 þ 17
; y < 0 per x <
_x>
y ¼ 0 per x ¼
2
2
2
99
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
Funzioni pari e funzioni dispari
196
Þ
Dal grafico alle sue proprieta`. Stabilisci se le funzioni aventi i seguenti grafici sono pari o dispari.
y
y
y
x
O
x
O
O
x
Stabilisci se le seguenti funzioni di cui e` data l’equazione sono pari o dispari.
2x
197 y ¼ 3x5
Þ
204 y ¼ 4
Þ
x
1
198 y ¼ 3x6 2x4
Þ
3x3
205 y ¼
2
Þ
199 y ¼ 2x 3
jxj þ 1
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
200 y ¼ 3x þ 4
206 y ¼ x2 x þ 1 þ x2 þ x þ 1
Þ
Þ
ffiffi
ffi
p
1 3
201 y ¼
207 y ¼ jxj 3x2
x
Þ
Þ
4
208 y ¼ 3xjxj
202 y ¼ x jxj
Þ
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
3
209 y ¼ jx 1j þ jx þ 1j
203 y ¼ 2 x2
Þ
Þ
Funzioni crescenti e funzioni decrescenti
210 In riferimento al grafico qui a fianco, stabilisci se le seguenti affermazioni
Þ
sono vere o false.
a. la funzione e` strettamente crescente nell’intervallo ½7, 4
V F
y
(–7, 6)
(1, 5)
b. la funzione e` costante nell’intervallo ½4, 1
V
F
c. la funzione e` strettamente crescente nell’intervallo ½1, 1
V
F
d. la funzione e` strettamente decrescente nell’intervallo ½1, 7
V
F
(–4, 2) (–1, 2)
e. la funzione e` strettamente crescente nell’intervallo ½1, 7
V
F
O
f. la funzione e` crescente in senso lato nell’intervallo ½4, 1
V
F
g. la funzione e` strettamente decrescente nell’intervallo ½7, 1
V
F
211
Þ
x
(7, –1)
ESERCIZIO SVOLTO
Dimostriamo che la funzione f ðxÞ ¼ 3x þ 1 e` strettamente decrescente in R.
Per ogni x1 , x2 2 R risulta:
x1 < x2 ) 3x1 > 3x2 ) 3x1 þ 1 > 3x2 þ 1 ) f ðx1 Þ > f ðx2 Þ
Pertanto la funzione e` strettamente decrescente.
Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 2x þ 1 e` strettamente decrescente in R.
1
x 1 e` stretta213 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼
Þ
3
mente crescente in R.
212
Þ
Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 2x3 þ 1 e` strettamente crescente in R.
214
Þ
Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 3x5 þ 2 e` strettamente decrescente in R.
pffiffiffi
216 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 3 x e` strettaÞ
mente crescente nel suo dominio.
215
Þ
100
pffiffiffi
Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 2 3 x e` strettamente crescente in R.
217
Þ
Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione,
avente come dominio l’intervallo ½4, 4, che sia strettamente crescente nell’intervallo ½4, 0 e strettamente decrescente nell’intervallo ½0, 4.
218
Þ
Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione,
avente come dominio l’intervallo ½6, 6, che sia decrescente, ma non in senso stretto, nel suo dominio.
219
Þ
Unita` 2
Esercizi riassuntivi sulle proprieta` delle funzioni da R a R
In riferimento al grafico della funzione f qui a fianco, rispondi alle seguenti domande.
a. Quanto vale f ð0Þ? E f ð6Þ?
220
Þ
c. Qual e` il dominio della funzione f ?
Funzioni
b. f ð2Þ e` positivo o negativo?
y
(3, 5)
(–3, 3)
d. Qual e` l’immagine della funzione f ?
e. Quanti sono gli zeri della funzione f ?
f. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 5?
(–5, 0)
i. In quali intervalli la funzione f e` decrescente in senso stretto?
j. La funzione f e` pari? E` dispari?
(1, 0)
(5, 0)
x
(0, –2)
g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 1?
h. In quali intervalli la funzione f e` crescente in senso stretto?
O
(–6, –4)
(6, –6)
In riferimento al grafico della funzione f qui a fianco, rispondi alle seguenti domande.
a. Quanto vale f ð2Þ? E f ð4Þ?
y
(–7, 6)
b. f ð1Þ e` positivo o negativo?
(2, 4)
c. Qual e` il dominio della funzione f ?
`
d. Qual e l’immagine della funzione f ?
e. Quali sono gli zeri della funzione f ?
(4, 0)
(–4, 0)
O
f. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 5?
x
g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 7?
h. In quale intervallo la funzione f e` crescente in senso stretto?
(–2, –4)
i. In quali intervalli la funzione f e` decrescente in senso stretto?
(5, –5)
`
j. La funzione f e` pari? E dispari?
221
Þ
In riferimento al grafico della funzione f qui a fianco, rispondi alle seguenti domande.
a. Quanto vale f ð1Þ? E f ð1Þ?
y
(–7, 6)
b. f ð0Þ e` positivo o negativo?
c. Qual e` il dominio della funzione f ?
d. Qual e` l’immagine della funzione f ?
(–1, 2)
(–4, 2)
(2, 1)
e. Quali sono gli zeri della funzione f ?
(3, 0)
f. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 2?
O
x
(1, 0)
g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 2?
h. In quale intervallo la funzione f e` crescente in senso stretto?
i. In quale intervallo la funzione f e` decrescente in senso stretto?
(–1, –5)
j. Ci sono intervalli in cui la funzione f e` costante? E in cui f e` crescente in
(5, –7)
senso lato? E in cui f e` decrescente in senso lato?
222
Þ
223 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½6, 6, che soddisfi le seÞ
guenti caratteristiche:
a. abbia due zeri;
b. la sua immagine sia l’intervallo ½4, 4;
c. sia strettamente decrescente in ½6, 0 e strettamente crescente in ½0, 6.
224 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½6, 6, che soddisfi le seÞ
guenti caratteristiche:
a. non abbia zeri;
b. la sua immagine sia l’intervallo ½2, 5;
c. sia crescente, ma non in senso stretto, nel dominio.
225 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½6, 6, che soddisfi le seÞ
guenti caratteristiche:
a. sia dispari;
b. la sua immagine sia l’intervallo ½5, 5;
c. sia decrescente, ma non in senso stretto, nel dominio.
101
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
3. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
226
Þ
TEORIA a p. 78
Vero o falso?
a. se una funzione e` suriettiva, allora e` biiettiva
V
F
b. se una funzione e` biiettiva, allora e` suriettiva
V
F
c. se una funzione non e` iniettiva, allora non e` biiettiva
V
F
d. se c’e` una retta orizzontale che non interseca il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ in alcun punto, allora
la funzione non e` iniettiva
V
F
e. una funzione y ¼ f ðxÞ, pari e avente come dominio R, non puo` essere biiettiva
V
F
[3 affermazioni vere e 2 false]
Stabilisci se ciascuna delle funzioni da A a B rappresentate nei seguenti diagrammi a frecce e` iniettiva, suriettiva o biiettiva.
227
Þ
B
A
B
A
a
e
a
e
f
b
f
b
f
a
b
c
g
c
g
d
c
B
A
e
h
e
g
d
h
e
h
228 Sia A l’insieme dei punti appartenenti a una circonferenza e B l’insieme dei punti di un suo diametro; la funÞ
zione f : A ! B che associa a ogni punto della circonferenza la sua proiezione su tale diametro e` iniettiva? E` suriettiva?
229 Sia A l’insieme delle circonferenze e B l’insieme dei punti del piano; la funzione f : A ! B che associa a ogni
Þ
circonferenza il suo centro e` iniettiva? E` suriettiva?
Sia A l’insieme dei punti appartenenti a una semicirconferenza e B l’insieme dei punti del suo diametro; la
funzione f : A ! B che associa a ogni punto della semicirconferenza la sua proiezione sul diametro e` iniettiva? E` suriettiva?
230
Þ
Sia A l’insieme delle circonferenze aventi centro in un punto O (fissato) del piano e B l’insieme dei numeri
reali positivi; la funzione f : A ! B che associa a ogni circonferenza la misura del suo raggio e` iniettiva? La funzione
f e` suriettiva?
231
Þ
Sia A ¼ f27, 8, 1, 0, 1, 8, 27g; determina l’insieme B in modo che la funzione f : A ! B definita da
pffiffiffi
f ðxÞ ¼ 3 x risulti suriettiva.
232
Þ
Dati gli insiemi A ¼ fa, bg e B ¼ fc, d, eg, non e` possibile definire alcuna funzione suriettiva f : A ! B. Chiarisci questa affermazione.
233
Þ
Dati gli insiemi A ¼ fa, b, cg e B ¼ fd, eg non e` possibile definire alcuna funzione iniettiva f : A ! B. Chiarisci
questa affermazione.
234
Þ
235
Þ
Sia A ¼ fa, bg e B ¼ fc, dg. Definisci tutte le possibili funzioni suriettive da A a B.
[Si possono definire due funzioni suriettive]
Sia A ¼ fa, b, cg e B ¼ fd, eg. Definisci tutte le possibili funzioni suriettive da A a B. Qualcuna di queste funzioni e` anche biiettiva?
[Si possono definire sei funzioni suriettive da A a B]
236
Þ
102
Dal grafico alle sue proprieta`. Stabilisci, per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, se si tratta di
una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva.
237
Þ
y
O
x
O
Funzioni
y
y
O
x
Unita` 2
Esercizi riguardanti le funzioni reali di variabile reale
x
Dal grafico alle sue proprieta`. Stabilisci, per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, se si tratta di
una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva.
238
Þ
y
y
O
y
x
x
O
239
Þ
x
O
ESERCIZIO SVOLTO
Stabiliamo se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive o biiettive:
a. f ðxÞ ¼ x2 þ 3x
b. gðxÞ ¼ x3
Osserviamo preliminarmente che le funzioni date sono definite per ogni x 2 R, quindi il loro dominio e` R. Inoltre,
come convenuto, in assenza di indicazioni diverse, si assume come codominio R.
a. La funzione f non e` iniettiva: per esempio, f ð3Þ ¼ f ð0Þ ¼ 0.
La funzione f non e` suriettiva: per esempio, 4 non ha alcuna controimmagine perche´ l’equazione x2 þ 3x ¼ 4
non ha alcuna soluzione reale (l’equazione equivale a x2 þ 3x þ 4 ¼ 0 e ¼ 7 < 0Þ.
Pertanto f non puo` essere biiettiva.
b. La funzione g e` iniettiva; infatti:
gðx1 Þ ¼ gðx2 Þ ) x31 ¼ x32 ) x1 ¼ x2
La funzione g e` suriettiva; infatti, comunque scelto y 2 R, l’equazione x3 ¼ y ammette come soluzione x ¼
dunque ogni elemento di R ha come controimmagine nella g la sua radice cubica.
Poiche´ g e` iniettiva e suriettiva, e` anche biiettiva.
ffiffiffi
p
3
y,
Stabilisci se ciascuna delle seguenti funzioni e` iniettiva, suriettiva o biiettiva.
240
Þ
241
Þ
242
Þ
f ðxÞ ¼ 2x 1
249
Þ
f ðxÞ ¼
f ðxÞ ¼ 2 x
f ðxÞ ¼ x2 2x
x
x2 þ 1
f ðxÞ ¼ x2
1 2
x
244 f ðxÞ ¼
Þ
2
pffiffiffi
245 f ðxÞ ¼ x
Þ
243
Þ
x2
x1
y¼
251
Þ
f ðxÞ ¼ xjxj
f ðxÞ ¼
(Suggerimento: per stabilire se e` suriettiva, cerca se esistono controimmagini di 1;
per stabilire se e` iniettiva, verifica che f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ,
250
Þ
1
x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
247 f ðxÞ ¼ x2 þ 1 1
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
248 f ðxÞ ¼ x þ 2
Þ
246
Þ
x1
x2
¼ 2
, ðx2 x1 Þðx1 x2 1Þ ¼ 0 quindi...)
x21 þ 1
x2 þ 1
(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)
103
TEORIA a p. 82
Vero o falso?
a. se g e` la funzione inversa di f , allora il dominio di f e` lo stesso di g
V F
b. se g e` la funzione inversa di f , allora il grafico di g e` il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice
del primo e del terzo quadrante
V F
c. se il dominio di una funzione invertibile e` ½0, þ1Þ, l’immagine della sua inversa e` ð1, 0
V F
d. se f e` una funzione invertibile e f ð3Þ ¼ 4, allora, detta f 1 la funzione inversa, risulta f 1 ð4Þ ¼ 3
V F
[2 affermazioni vere e 2 false]
252
Þ
253
Þ
Dal grafico alle sue proprieta`. Per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, stabilisci se e` invertibile.
y
y
y
Tema A
Equazioni, disequazioni e funzioni
4. Funzione inversa
x
O
O
254
Þ
x
O
x
Dal grafico alle sue proprieta`. Per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, stabilisci se e` invertibile.
y
y
y
O
O
x
x
O
x
255 Nella figura e` rappresentato (in rosso) il grafico di una funzione invertiÞ
bile y ¼ f ðxÞ. Traccia il grafico della funzione inversa e completa:
y
(3, 6)
y=x
a. f 1 ð4Þ ¼ ::::::::::
b. f ð1Þ ¼ ::::::::::
c. f 1 ð6Þ ¼ ::::::::::
(–1, 2)
x
O
y = f (x)
(–4, –4)
Nella figura e` rappresentato (in rosso) il grafico di una funzione invertibile y ¼ f ðxÞ. Traccia il grafico della funzione inversa e completa:
256
Þ
a. f 1 ð2Þ ¼ ::::::::::
b. f ð7Þ ¼ ::::::::::
c. f 1 ð6Þ ¼ ::::::::::
y
(3, 6)
y=x
(–7, 1)
(–1, 2)
y = f (x)
O
104
x
ESERCIZIO GUIDATO
Verifica che la funzione f ðxÞ ¼ 2x þ 1 e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.
Unita` 2
257
Þ
Funzioni
Per verificare che la funzione e` invertibile, verifica che e` iniettiva:
f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ) 2x1 þ 1 ¼ 2x2 þ 1 ) 2x1 ¼ 2x2 ) x1 ¼ x2
Per determinare l’espressione analitica della funzione inversa, scambia anzitutto x con y nell’equazione
y ¼ f ðxÞ, cioe` in y ¼ 2x þ 1; ottieni l’equazione:
x ¼ 2y þ 1
Ora risolvi questa equazione rispetto a y:
x ¼ 2y þ 1 ) 2y ¼ ::::::::::::::: ) y ¼ :::::::::::::::
Puoi concludere che:
f 1 ðxÞ ¼
::::::::::
2
Nei seguenti esercizi sono assegnate alcune funzioni. Verifica che sono invertibili e determina l’espressione
analitica dell’inversa.
h
1x
2x 1
x i
1
þ1
f 1 ðxÞ ¼
258 f ðxÞ ¼ 1 3x
f ðxÞ ¼
265 f ðxÞ ¼
Þ
Þ
3
xþ1
3x
"
#
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
3
1
1
1
1
259 f ðxÞ ¼ x 1
[ f ðxÞ ¼ x þ 1]
Þ
ffiffiffi 2
266 f ðxÞ ¼ p
f ðxÞ ¼
Þ
3
x
ðx þ 2Þ3
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
3
[ f 1 ðxÞ ¼ x3 1]
260 f ðxÞ ¼ x þ 1
Þ
1
1
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
267 f ðxÞ ¼ p
ðxÞ
¼
1
f
Þ
1
1
8x3
23xþ1
261 f ðxÞ ¼ 4x 2
f 1 ðxÞ ¼ x þ
Þ
4
2
1
1
1
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
268
f
ðxÞ
¼
ðxÞ
¼
þ
1,
con
x
>
0
f
Þ
262 f ðxÞ ¼ x3 2
[ f 1 ðxÞ ¼ 3 x þ 2]
x2
Þ
x1
pffiffiffi
4
4
1
xþ1
f ðxÞ ¼ 2
263 f ðxÞ ¼
Þ
269 f ðxÞ ¼ pffiffiffi
xþ2
x
Þ
xþ2
1 2x 2
1
1
1
2x þ 7
1
x
<
1
ðxÞ
¼
,
con
f
264 f ðxÞ ¼
3
f ðxÞ ¼
Þ
x1
2
x2
xþ3
270
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Dopo aver verificato che la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 1, con x 0, e` invertibile, determiniamo l’espressione analitica dell’inversa.
Per verificare che la funzione e` invertibile, verifichiamo che e` iniettiva; per ogni x1 , x2 , con x1 0 e x2 0:
f ðx1 Þ ¼ f ðx2 Þ ) x21 þ 1 ¼ x22 þ 1 ) x21 ¼ x22 ) x1 ¼ x2 ) x1 ¼ x2
Non puo` essere x1 ¼ x2 a causa
della condizione x1 0 e x2 0
Scambiando x con y nell’equazione che definisce la funzione f , cioe` y ¼ x2 þ 1 con x 0, otteniamo l’equazione che definisce la funzione inversa:
x ¼ y 2 þ 1 con
y0
Attenzione a sostituire y al posto di x non solo nell’equazione y ¼ x 2 þ 1
ma anche nella condizione x 0
Risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a y, tenendo conto della condizione y 0:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x ¼ y2 þ 1 ) y2 ¼ x 1 ) y ¼ x 1 ) y ¼ x 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Concludiamo quindi che f 1 ðxÞ ¼ x 1.
La soluzione con il meno e` da scartare
a causa della condizione y 0
105
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
Nei seguenti esercizi sono assegnate alcune funzioni. Verifica che sono invertibili e determina l’espressione
analitica dell’inversa.
"
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi #
x2 2
2
1
271 f ðxÞ ¼
, con x > 0
f ðxÞ ¼
Þ
2
3x
1 3x
272
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
[f 1 ðxÞ ¼ x 2]
f ðxÞ ¼ x2 þ 2, con x 0
"
1
273 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , con x > 0
Þ
x2 þ 2x
f
1
#
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
ðxÞ ¼ 1 þ 1 þ 2 con x > 0
x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
[f 1 ðxÞ ¼ x2 1, con x 0]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 þ 1, con x 0
274
Þ
f ðxÞ ¼
275
Þ
Verifica che le seguenti funzioni sono invertibili e che ciascuna coincide con la sua inversa:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
x
a. y ¼
b. y ¼ c. y ¼ 4 x2 , con 0 x 2
x
xþ1
5. L’algebra delle funzioni e le funzioni composte
TEORIA a p. 84
L’algebra delle funzioni
Date le funzioni f e g, scrivi l’espressione analitica
f
e determina il lodelle funzioni f þ g, f g, f g,
g
ro dominio.
276
Þ
f ðxÞ ¼ 2x 1
pffiffiffi
277 f ðxÞ ¼ x
Þ
gðxÞ ¼ 2x þ 3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
gðxÞ ¼ 5 x
f ðxÞ ¼ x2 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
279 f ðxÞ ¼ x2 1
Þ
gðxÞ ¼ 2x2 þ 3x 5
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
gðxÞ ¼ x þ 1
278
Þ
x2
x2 1
280
Þ
f ðxÞ ¼
281
Þ
Date le funzioni
gðxÞ ¼
2x 1
xþ1
1
x,
2
determina l’espressione analitica della funzione g.
1
f
x1
e
ðxÞ ¼
,
282 Date le funzioni f ðxÞ ¼ Þ
x
g
xþ1
determina l’espressione analitica della funzione g.
f ðxÞ ¼ 2x þ 3 e ðf þ gÞðxÞ ¼ 4 Composizione di due funzioni
283
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Sia f ðxÞ ¼ x2 þ 1 e gðxÞ ¼ 2x þ 4.
Senza determinare l’espressione analitica di f g e g f , calcola:
a. ðf gÞð1Þ
b. ðg f Þð3Þ
a. ðf gÞð1Þ ¼ f ðgð1ÞÞ ¼ f ð2Þ ¼ ::::::::::
gð1Þ ¼ 2ð1Þ þ 4 ¼ 2
f ð2Þ ¼ 22 þ 1 ¼ :::::
b. ðg f Þð3Þ ¼ gðf ð3ÞÞ ¼ gð::::::::::Þ ¼ ::::::::::
Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 þ x e gðxÞ ¼ x þ 1. Senza determinare l’espressione analitica di f g e g f ,
calcola ðf gÞð1Þ e ðg f Þð3Þ.
[ðf gÞð1Þ ¼ 0, ðg f Þð3Þ ¼ 13]
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
pffiffiffiffiffiffi
3
285 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x e gðxÞ ¼
x2 þ 2. Senza determinare l’espressione analitica di f g e
Þ
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
g f , calcola ðf gÞð 6Þ e ðg f Þð8Þ.
[ðf gÞð 6Þ ¼ 2, ðg f Þð8Þ ¼ 3 18]
284
Þ
1
Siano f ðxÞ ¼ pffiffiffi e gðxÞ ¼ ðx2 þ 1Þ1 . Senza determinare l’espressione analitica di f g e g f , calcola
x
pffiffiffi
4
ðf gÞð1Þ ¼ 2, ðg f Þð4Þ ¼
ðf gÞð1Þ e ðg f Þð4Þ.
5
286
Þ
106
ESERCIZIO SVOLTO
Consideriamo le due funzioni f ðxÞ ¼
1
5
e gðxÞ ¼
. Determiniamo il dominio della funzione f g,
xþ1
x2
Per determinare il dominio di ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ, osserviamo intanto che dovra` essere x 6¼ 2 affinche´ la funzione g
sia definita. Inoltre, la funzione f e` definita per x 6¼ 1, quindi gðxÞ dovra` essere diverso da 1:
Funzioni
senza determinare la sua espressione analitica.
Unita` 2
287
Þ
5
6¼ 1 ) 5 6¼ x þ 2 ) x 6¼ 3
x2
In conclusione, dovra` essere x 6¼ 2 e x 6¼ 3, quindi il dominio di f g sara` R f3, 2g.
x1
2
e gðxÞ ¼
. Determina il dominio della funzione f g, senza dexþ1
xþ3
terminare la sua espressione analitica.
[R f5, 3g]
288
Þ
Considera le due funzioni f ðxÞ ¼
x1
2
e gðxÞ ¼
. Determina il dominio della funzione g f , senza determiConsidera le funzioni f ðxÞ ¼
xþ1
xþ3
nare la sua espressione analitica.
1
R 1, 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x1
2
290 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ x 2x 3 e gðxÞ ¼
. Determina il dominio della funzione f g senÞ
x
1
1
za determinare la sua espressione analitica.
x<0_0<x
2
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x1
. Determina il dominio della funzione g f , sen291 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ x2 2x 3 e gðxÞ ¼
Þ
x
za determinare la sua espressione analitica.
[x < 1 _ x > 3]
289
Þ
292
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 1 e gðxÞ ¼ x2 þ 1. Determina l’espressione analitica di f g e di g f e verifica che f g 6¼ g f .
Risulta:
ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼ ðx2 þ 1Þ2 1 ¼ ::::::::::::::::::::
ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ¼ ðx2 1Þ2 þ 1 ¼ ::::::::::::::::::::
E` evidente che f g 6¼ g f .
Determina l’espressione analitica di f g e di g f , specificando il dominio di ciascuna funzione composta
(nelle risposte sono riportate solo le espressioni analitiche delle due funzioni).
293
Þ
f ðxÞ ¼ 2x þ 1
294
Þ
f ðxÞ ¼ 2x
gðxÞ ¼
295
Þ
296
Þ
297
Þ
298
Þ
299
Þ
300
Þ
f ðxÞ ¼ x 1
gðxÞ ¼ x2 þ 4
[ðf gÞðxÞ ¼ x2 þ 3; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 2x þ 5]
f ðxÞ ¼ x2 1
gðxÞ ¼ x 3
[ðf gÞðxÞ ¼ x2 6x þ 8; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 4]
f ðxÞ ¼ x2
gðxÞ ¼ x þ 1
[ðf gÞðxÞ ¼ ðx þ 1Þ2 ; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 þ 1]
f ðxÞ ¼ x2 þ x
gðxÞ ¼ x2
[ðf gÞðxÞ ¼ x4 þ x2 ; ðg f ÞðxÞ ¼ x4 þ 2x3 þ x2 ]
f ðxÞ ¼ ðx 1Þ2
gðxÞ ¼ x þ 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
gðxÞ ¼ x 2
301
Þ
f ðxÞ ¼
2
xþ1
gðxÞ ¼ 2x
302
Þ
f ðxÞ ¼
5
x3
gðxÞ ¼
[ðf gÞðxÞ ¼ x2 ; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 2x þ 2]
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
[ðf gÞðxÞ ¼ 2 x 2 1; ðg f ÞðxÞ ¼ 2x 3]
2
4
ðf gÞðxÞ ¼
; ðg f ÞðxÞ ¼
2x þ 1
xþ1
5x
2
6
ðf gÞðxÞ ¼
; ðg f ÞðxÞ ¼ x 2 3x
5
5
f ðxÞ ¼ 2x 1
gðxÞ ¼ 2x
1
x1
4
2
x
[ðf gÞðxÞ ¼ 4x þ 1; ðg f ÞðxÞ ¼ 4x þ 2]
1
1
ðf gÞðxÞ ¼ x 2; ðg f ÞðxÞ ¼ x 1
2
2
107
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
303
Þ
f ðxÞ ¼
x 2 se
x
se
x1
x<1
gðxÞ ¼ 2x
(
Suggerimento: ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼
304
Þ
f ðxÞ ¼
x þ 2 se x 1
2x
se x < 1
gðxÞ 2
gðxÞ
se gðxÞ 1
; ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ¼ 2f ðxÞ
se gðxÞ < 1
8
>
>
< 2x 2 se
f gÞðxÞ ¼
>
>
: 2x
se
gðxÞ ¼ 2x
1
2
;
1
x<
2
(
x
ðg f ÞðxÞ ¼
8
1
>
>
< 2x þ 2 se x 2
;
ðf gÞðxÞ ¼
>
1
>
:
4x
se x <
2
2x 4
se x 1
2x
se x < 1
(
ðg f ÞðxÞ ¼
2x þ 4 se x 1
4x
se x < 1
Determina le espressioni analitiche di due funzioni f e g tali che f g ¼ z, essendo z la funzione assegnata (le
funzioni f e g non sono uniche).
305
Þ
306
Þ
zðxÞ ¼ ð3x 2Þ4
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
zðxÞ ¼ x2 þ 4
309
Þ
Esplorazione. E` data la funzione definita da f ðxÞ ¼ 2x. Determina l’espressione analitica di:
a. f f
b. f f f
307
Þ
308
Þ
zðxÞ ¼ jx2 xj
zðxÞ ¼ ð1 þ x2 Þ3
c. f f f f
Formula una congettura sull’espressione analitica della funzione f f ::::: f f , ottenuta componendo n 1
volte la funzione f con se stessa.
n volte
[ðf f ÞðxÞ ¼ 4x; ðf f f ÞðxÞ ¼ 8x; ðf f f f ÞðxÞ ¼ 16x]
pffiffiffiffiffiffi
310 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 e gðxÞ ¼
jxj. Determina le espressioni analitiche di f g e g f e stabilisci se
Þ
f g ¼ g f.
Considera le funzioni f ðxÞ ¼ jxj e gðxÞ ¼ x4 x2 þ 2. Determina le espressioni analitiche di f g e g f e stabilisci se f g ¼ g f .
311
Þ
Esercizi riassuntivi su funzioni composte e funzioni inverse
2x 1
, determina ðf f ÞðxÞ e stabilisci per quali valori di x risulta ðf f ÞðxÞ 0.
xþ2
3
4
x < _ x , con x 6¼ 2
4
3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
313 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x2 þ 4x 5 e gðxÞ ¼ x2 1, determina il dominio della funzione f g.
Þ
pffiffiffi
pffiffiffi
[x 2 _ x 2]
312
Þ
Data la funzione f ðxÞ ¼
314
Þ
Data la funzione f ðxÞ ¼
2x
, determina ðf f ÞðxÞ e stabilisci per quali valori di x risulta ðf f ÞðxÞ 0.
xþ2
[x < 1 _ x 0, con x 6¼ 2]
Date le funzioni f ðxÞ ¼ 2x þ 1 e gðxÞ ¼ jx 1j, determina per quali valori di x risulta ðf gÞðxÞ ¼ ðg f ÞðxÞ.
3
x¼
4
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
316 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x þ k e gðxÞ ¼ x 1, determina k in modo che il grafico della funzione g f interseÞ
chi l’asse y nel punto di coordinate (0, 4).
[k ¼ 25]
315
Þ
Date le funzioni f ðxÞ ¼ 3x2 x e gðxÞ ¼ 2x a, determina a in modo che il grafico della funzione f g incon
tri l’asse y nel punto di coordinate (0, 4).
4
a¼ _a¼1
3
317
Þ
Date le funzioni f ðxÞ ¼ 3x2 x e gðxÞ ¼ 2x a, determina a in modo che il grafico della funzione g f incontri l’asse y nel punto di coordinate (0, 4).
[a ¼ 4]
318
Þ
108
Date le funzioni f ðxÞ ¼
x1
e gðxÞ ¼ x þ k, determina k in modo che il grafico della funzione f g incontri
xþ1
[k ¼ 3]
l’asse y nel punto di coordinate (0, 2).
Date le funzioni f ðxÞ ¼
x1
e gðxÞ ¼ x þ k, determina k in modo che il grafico della funzione g f incontri
xþ1
[k ¼ 3]
l’asse y nel punto di coordinate (0, 2).
Funzioni
320
Þ
Unita` 2
319
Þ
321 Determina almeno due coppie diverse di funzioni f e g tali che f g ¼ z, essendo z la funzione definita da
Þ
zðxÞ ¼ ðx2 1Þ20 .
322 Considera la funzione f ðxÞ ¼ 2x 1; determina f f , f f f . Determina per quali valori di x risulta
Þ
ðf f ÞðxÞ ¼ ðf f f ÞðxÞ.
[ðf f ÞðxÞ ¼ 4x 3, ðf f f ÞðxÞ ¼ 8x 7; x ¼ 1]
Considera le funzioni f : N ! Z e g : Z ! N definite da f ðxÞ ¼ x e gðxÞ ¼ jxj. Verifica che g f e` biiettiva ma
che f e g non sono biiettive.
323
Þ
324 Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ 2x þ 3 e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. VeriÞ
fica che ðf f 1 ÞðxÞ ¼ ðf 1 f ÞðxÞ ¼ x.
Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼ x3 þ 1 e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. Verifica che ðf f 1 ÞðxÞ ¼ ðf 1 f ÞðxÞ ¼ x.
325
Þ
Sono date le funzioni f ðxÞ ¼ x 1, gðxÞ ¼ x3 . Giustifica perche´ sono invertibili e determina l’espressione analitica di ciascuna delle seguenti funzioni: f 1 , g 1 , f g, ðf gÞ1 . Verifica che risulta ðf gÞ1 ¼ g 1 f 1 .
326
Þ
RIEPILOGO
Esercizi di riepilogo
327 Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle relazioni rappresentate, individua il dominio e l’insieme immaÞ
gine. Stabilisci quindi se si tratta del grafico di una funzione e in caso affermativo determina i suoi eventuali zeri e
stabilisci se si tratta di una funzione invertibile.
y
y
y
O
O
y
x
x
O
x
x
O
Interpretazione di grafici. Considera la funzione il cui grafico e` tracciato qui sotto e rispondi alle seguenti
domande.
328
Þ
a. Qual e` il dominio della funzione?
y
b. Qual e` l’immagine della funzione?
(7, 4)
c. f ð2Þ e` positivo o negativo?
d. Si tratta di una funzione strettamente crescente o strettamente
decrescente nel suo dominio?
(3, 1)
e. Quanti zeri ammette la funzione?
f. Si tratta di una funzione invertibile? In caso affermativo, traccia il
grafico dell’inversa.
x
O
(1, –2)
(–4, –4)
109
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
1
x þ 3.
2
a. Classifica la funzione e determina il suo dominio.
b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
d. Traccia, per punti, il grafico della funzione.
e. Determina l’immagine della funzione.
f. Verifica che si tratta di una funzione invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.
329
Þ
Considera la funzione y ¼ [a. D ¼ R; b. ne´ pari ne´ dispari; c. y > 0 per x < 6, y ¼ 0 per x ¼ 6, y < 0 per x > 6; e. I ¼ R; f. y ¼ 6 2x]
6
.
x2
a. Classifica la funzione e determina il suo dominio.
b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
d. Traccia, per punti, il grafico della funzione.
e. Determina l’immagine della funzione.
f. Giustifica perche´ la funzione data non e` invertibile.
g. Verifica che la restrizione della funzione all’intervallo ð0, þ1Þ e` invertibile e determina l’espressione
analitica dell’inversa.
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6
a. D ¼ R f0g; b. pari; c. y 0 per nessun valore di x, y < 0 per ogni x 2 D; e. I ¼ ð1; 0Þ; g. y ¼ x
6
331 Considera la funzione y ¼ .
Þ
x
a. Classifica la funzione e determina il suo dominio.
b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
d. Traccia, per punti, il grafico della funzione.
e. Determina l’immagine della funzione.
f. Verifica che si tratta di una funzione invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.
[a. D ¼ R f0g; b. dispari; c. y > 0 per x < 0, y ¼ 0 per nessun valore di x, y < 0 per x > 0;
e. I ¼ R f0g; f. l’inversa coincide con la funzione stessa]
1 2
x þ 1.
332 Considera la funzione y ¼ Þ
2
a. Classifica la funzione e determina il suo dominio.
b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
d. Traccia, per punti, il grafico della funzione.
e. Determina l’immagine della funzione.
f. Giustifica perche´ la funzione data non e` invertibile.
g. Verifica che la restrizione della funzione all’intervallo ð1, 0Þ e` invertibile e determina l’espressione
analitica dell’inversa.
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
[a. D ¼ R; b. pari; c. y > 0 per 2 < x < 2, y ¼ 0 per x ¼ 2, y < 0 per x < 2 _ x > 2;
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
e. I ¼ ð1, 1; g. y ¼ 2 2x]
330
Þ
Considera la funzione y ¼ 333
Þ
Considera la funzione y ¼ ðx 2Þ2 ðx2 þ 3xÞ3 .
a. Classificala e determina il suo dominio.
b. Determina f ð1Þ.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
d. Giustifica perche´ la funzione data non e` invertibile.
[a. D ¼ R; b. 72; c. y > 0 per x < 3 _ x > 0, con x 6¼ 2; y ¼ 0 per x ¼ 3 _ x ¼ 0 _ x ¼ 2;
y < 0 per 3 < x < 0]
110
Considera la funzione y ¼
xþ2
.
x6
336
Þ
Funzioni
a. Classificala e determina il suo dominio.
1
b. Determina f ð4Þ e f
.
2
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
d. Giustifica perche´ la funzione data e` invertibile e scrivi l’espressione analitica della funzione inversa.
1
1
5
a. D ¼ R f6g; b. f ð4Þ ¼ , f
¼
;
5
2
11
6x þ 2
c. y > 0 per x < 2 _ x > 6, y ¼ 0 per x ¼ 2, y < 0 per 2 < x < 6; d. y ¼
x1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
335 Considera la funzione y ¼ x 1 2x.
Þ
a. Classificala e determina il suo dominio.
b. Determina la controimmagine di 2.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
d. Senza determinare l’espressione analitica di f f , determina il suo dominio.
[a. D ¼ ð1, 1 [ ½1, þ1Þ; b. x ¼ 1;
c. y > 0 per x 1, y ¼ 0 per nessun valore di x; y < 0 per x 1; d. ð1, 1 [ ½1, þ1Þ]
Unita` 2
334
Þ
xþ2
Considera la funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi .
2x 1 x
a. Classificala e determina il suo dominio.
b. Determina f ð2Þ.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
x þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
d. Stabilisci se la funzione data e` uguale alla funzione y ¼
2x 1 þ x .
x1
pffiffiffi
pffiffiffi
1
a. D ¼
, 1 [ ð1,þ1Þ; b. f ð2Þ ¼ 4 3 þ 4 2;
2
1
c. y > 0 se x > 1, y ¼ 0 per nessun valore di x, y < 0 se
x<1
2
jx þ 2j 1
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ffi
337
Considera
la
funzione
y
¼
.
Þ
x2 þ 1 x
a. Classificala e determina il suo dominio.
pffiffiffi
b. Determina f ð2 2Þ.
c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.
Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.
pffiffiffi
d. Giustifica perche´ la funzione data non e` invertibile.
[a. D ¼ R; b. 12 2 17;
c. y > 0 per x < 3 _ x > 1, y ¼ 0 per x ¼ 3 _ x ¼ 1, y < 0 per 3 < x < 1]
Data la funzione f ðxÞ ¼ mx þ q, determina m e q in modo che risulti f ð0Þ ¼ 3 e f ð2Þ ¼ 0. Considera la funzione ottenuta in corrispondenza dei valori di m e q trovati. Giustifica perche´ e` invertibile e determina l’espressio
ne analitica della funzione inversa.
3
2
1
m ¼ , q ¼ 3; f ðxÞ ¼ x 2
2
3
xþa
, determina a e b in modo che risulti f ð2Þ ¼ 0 e f ð0Þ ¼ 2. Considera la funzio339 Data la funzione f ðxÞ ¼
Þ
xþb
ne ottenuta in corrispondenza dei valori di a e b trovati. Giustifica perche´ e` invertibile e determina l’espressione
analitica della funzione inversa.
x2
a ¼ 2, b ¼ 1; y ¼
1x
x
, determina h e k in modo che il suo dominio sia R f3g. [k ¼ 6, h ¼ 9]
340 Data la funzione f ðxÞ ¼ 2
Þ
x þ kx þ h
338
Þ
xþa
Data la funzione f ðxÞ ¼
, determina a e b in modo che il suo dominio sia R f3g e inoltre risulti
xþb
f ð0Þ ¼ 6.
[a ¼ 18, b ¼ 3]
341
Þ
111
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
Data la funzione f ðxÞ ¼
na per quali valori di a:
342
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 ax þ 10, determi-
a. il suo dominio e` R;
b. il grafico della funzione ha un unico punto di intersezione con l’asse x;
c. uno dei due punti di intersezione del grafico della funzione con l’asse x ha coordinate (2, 0).
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
[a. 2 10 a 2 10; b. a ¼ 2 10; c. a ¼ 7]
Siano date le due funzioni:
1
f ðxÞ ¼ 2x 1
e gðxÞ ¼ x þ k
2
Determina:
a. per quale valore di k il grafico della funzione f g
interseca l’asse x nel punto di coordinate ð2, 0Þ;
b. per quale valore di k il grafico della funzione g f
interseca l’asse y nel punto di coordinate ð0, 2Þ.
1
5
a. k ¼ ; b. k ¼
2
2
343
Þ
347
Þ
1
x þ k, verifica che e` in2
vertibile per ogni k 2 R. Determina per quale valore di
k il grafico della funzione inversa di f interseca l’asse y
nel punto di coordinate (0, 4).
[k ¼ 2]
344
Þ
Data la funzione f ðxÞ ¼
Dopo aver determinato il dominio della funzione
pffiffiffi
definita da f ðxÞ ¼ x þ 1, giustifica perche´ e` invertibile e determina l’espressione analitica della funzione
inversa. Traccia, per punti, il grafico della funzione f e
quello della sua inversa. [f 1 ðxÞ ¼ ðx 1Þ2 , con x 1]
345
Þ
346
Þ
Date le funzioni f ðxÞ ¼ x 1, gðxÞ ¼ x3 :
a. determina f g e g f ;
b. giustifica perche´ sono invertibili e determina l’espressione analitica di f 1 e di g 1 ;
c. verifica che risulta ðf gÞ1 ¼ g 1 f 1 .
Considera le funzioni:
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
e gðxÞ ¼ x2 þ b
f ðxÞ ¼ p
3
xþa
1
e gð2Þ ¼ f ð12Þ.
2
Considerate le funzioni f e g corrispondenti ai valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
b. Determina l’espressione analitica di f g e di g f .
c. Determina il dominio di g f e di f g.
d. Individua quale delle due funzioni f e g e` invertibile (giustificando la risposta) e scrivi l’espressione analitica
dell’inversa.
1
1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , gðf ðxÞÞ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5; c. R, R f11g;
a. a ¼ 11, b ¼ 5; b. f ðgðxÞÞ ¼ p
3
2
3
x þ6
ðx þ 11Þ2
1
d. e` invertibile la funzione f e l’inversa e` f 1 ðxÞ ¼ 3 11
x
348 Considera la funzione:
Þ
2x þ a
f ðxÞ ¼
3x þ b
a. Determina a e b in modo che il dominio della funzione sia R f2g e f ð4Þ ¼ 0.
a. Determina a e b in modo che f ð3Þ ¼
In corrispondenza dei valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
b. Studia il segno della funzione.
c. Determina per quali valori di x risulta f ðx 1Þ f ðxÞ þ 1.
d. Verifica che la funzione f e` invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.
a. a ¼ 8, b ¼ 6; b. f ðxÞ > 0 per x < 4 _ x > 2, f ðxÞ ¼ 0 per x ¼ 4, f ðxÞ < 0 per 4 < x < 2;
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
5 17
5 þ 17
2ð3x þ 4Þ
c.
x<2_3<x
; d. y ¼
2
2
3x 2
349 Considera la funzione:
Þ
kx2 4
f ðxÞ ¼
2
3x þ 2x 5
1
a. Determina k in modo che uno dei suoi punti di intersezione con l’asse x abbia ascissa .
2
In corrispondenza del valore di k trovato, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
b. Determina il dominio della funzione f :
c. Determina per quali valori di x la funzione e` positiva e per quali si annulla.
d. Stabilisci se la funzione f e` invertibile.
pffiffiffi
e. Considerata la funzione gðxÞ ¼ x, determina il dominio delle due funzioni f g e g f .
5
5
1
1
1
a. k ¼ 16; b. R , 1 ; c. f ðxÞ > 0 per x < _ < x < _ x > 1, f ðxÞ ¼ 0 per x ¼ ;
3
3
2
2
2
5
1
1
d. non e` invertibile; e. f g e` definita per x 0 ^ x 6¼ 1, g f e` definita per x < _ x _ x > 1
3
2
2
112
350
Þ
E
3x þ 4
2x
2x
e f ðgðxÞÞ ¼ x; allora gðxÞ ¼
3x þ 4
B
3x
2x þ 4
C
2x þ 4
4x
D
352
Þ
4x
2 3x
A
O
4
x
–3
B
C
B
3
4
C
5
4
7
4
D
E
D
E
9
4
[5]
354 Solve math in English A real valued function f
Þ
defined for nonzero real numbers satisfies
1
1
f
¼ 4x. What is the value of f ð2Þ?
f ðxÞ þ
x
x
7
(High School Math Contest, Texas 2009)
2
2
f4, 0g
f8, 4, 0g
f12, 8, 4, 0g
1
4
(High School Math Contest, Texas 2009)
4
A
¼ x for all x not equal to 0 or 1.
353 Solve math in English Suppose that f ðxÞ ¼ ax þ b,
Þ
where a and b are real numbers. Given that
f ðf ðf ðxÞÞÞ ¼ 8x þ 21, what is the exact value of a þ b?
y
–2
(High School Math Contest, University of South Carolina, 2006) [D]
Il grafico della funzione f , illustrato in figura, e`
formato da un segmento e da due semirette. Qual e`
l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione
f ðf ðf ðxÞÞÞ ¼ 0?
351
Þ
–4
1
1x
What is the value of f ð2Þ?
[D]
–7
that f ðxÞ þ f
altra funzione
(Kangourou 2007)
Solve math in English Let f ðxÞ be a function such
Funzioni
A
Siano f ðxÞ ¼
Unita` 2
Esercizi dalle gare di matematica e in inglese
L’insieme vuoto
f16, 12, 8, 4, 0g
(Kangourou 2003)
PROVA DI AUTOVERIFICA
Funzioni
1 Dopo aver dato la definizione di funzione, stabilisci quale dei seguenti non e` il grafico di una funzione:
Þ
Per ciascuno degli altri grafici, stabilisci il dominio e l’immagine della corrispondente funzione e specifica se si tratta di una funzione pari o dispari.
y
O
a
2
Þ
y
O
x
y
O
x
b
c
y
x
O
x
d
Data la funzione f ðxÞ ¼ x4 2x2 , determina
a. l’immagine di 2;
b. le controimmagini di 2.
Determina il dominio della funzione:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
100 x2
1
y¼ 2
þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x þxþ2
ðx2 4xÞ3
3
Þ
4
Þ
Per quali valori di a la funzione y ¼
3x2 þ 1
e` definita in tutto R?
x2 3x þ a
113
Equazioni, disequazioni e funzioni
Tema A
In riferimento alla funzione y ¼ f ðxÞ il cui grafico e` rappresentato in figura, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
5
Þ
a. il dominio della funzione e` ½0, þ1Þ
b. l’immagine della funzione e` ½0, þ1Þ
c. la funzione e` decrescente in senso lato in R
d. la funzione e` strettamente crescente in ð1, 0Þ
e strettamente decrescente in ð0, þ1Þ
e. l’equazione f ðxÞ ¼ 1 non ha soluzioni
f. l’equazione f ðxÞ ¼ 1 non ha soluzioni
g. la funzione non ammette zeri
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
y
O
x
6 Definisci i concetti di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Stabilisci, motivando le risposte, se le funzioni
Þ
da R a R che hanno i seguenti grafici sono iniettive, suriettive o biiettive e se sono invertibili.
y
y
O
x
a
y
x
O
x
O
b
c
Nella seguente figura e` tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ, che ha come dominio l’intervallo
½6, þ1Þ. Traccia il grafico di y ¼ f 1 ðxÞ, specificando il dominio e l’immagine di f 1 .
7
Þ
y
y = f (x)
–6
x
O
–3
8
Þ
Date le funzioni f ðxÞ ¼ x2 e gðxÞ ¼
1
, scrivi l’espressione analitica di f g e di g f . Determina per quali
xþ1
valori di x risulta ðf gÞðxÞ ¼ ðg f ÞðxÞ.
Date le funzioni f ðxÞ ¼ x þ a e gðxÞ ¼ x2 þ b. Determina quali condizioni devono soddisfare a e b in modo
che risulti f g ¼ g f .
9
Þ
2x þ 1
Giustifica perche´ la funzione f ðxÞ ¼
e` invertibile e determina l’espressione analitica della funzione inx1
versa.
10
Þ
Valutazione
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Totale
Punteggio
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
Punteggio
ottenuto
Tempo massimo: 1 h e 30 min
114
3Risposte in fondo al volume
Laboratorio di informatica
A
Tema
Tema A
` GUIDATE
ATTIVITA
Attivita` 1 GeoGebra, foglio elettronico
Un cane e` fermo in un punto C, che dista 15 m dalla riva di un fiume, ad andamento
rettilineo, e deve raggiungere un’isola situata nella posizione A, in mezzo al fiume, la
quale dista 20 m dalla riva.
Detti H la proiezione di A sulla riva e K la proiezione di C sulla riva, la distanza fra H e
K e` di 100 m.
Volendo raggiungere l’isola, il cane deve percorrere due tratti:
un tratto rettilineo sul terreno fino a giungere alla riva del fiume (CP), dove il cane
corre con velocita` costante v1 ¼ 4 m/s;
Se hai difficolta` a svolgere
le attivita` guidate, fai
riferimento ai file disponibili
on-line.
Laboratorio di informatica
Percorso a due velocita`
un tratto nell’acqua (PA), dove il cane nuota con velocita` costante v2 ¼ 1,5 m/s.
Verso quale punto P deve dirigersi il cane per compiere il percorso da A a C in un minuto?
fiume
isola A
20 m
K
P
15 m
cane
H
C
100 m
a. Costruzione del modello algebrico del problema
Riassumendo, i dati di partenza forniti dal testo sono:
la distanza cane-riva (CK ¼ 15 m);
la distanza isola-riva (AH ¼ 20 m);
la lunghezza del tratto di riva interessato (HK ¼ 100 m);
v1 (¼ 4 m/s) la velocita` del cane durante il tratto di corsa;
v2 (¼ 1,5 m/s) la velocita` del cane durante il tratto a nuoto.
Il punto P resta univocamente individuato una volta che se ne conosca, per
esempio, la distanza (in metri) da K; poni percio`:
PK ¼ x
Devi ora ricavare, in funzione dei dati e di x, i tempi di percorrenza. A tale scopo
procedi come segue.
1. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PKC, puoi ricavare la misura di PC:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
PC ¼ x2 þ CK ¼ x2 þ ::::
2. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHA, puoi ricavare la misura di PA:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
PA ¼ AH þ ðHK xÞ2 ¼ ::::::2 þ ð::::: xÞ2
Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO
115
Laboratorio di informatica
Tema A
3. Ricordando la legge oraria del moto rettilineo uniforme, in base alla quale
s
t ¼ , puoi esprimere i tempi t1 e t2 per percorrere i tratti PC e PA:
v
t1 ¼
PC
:::::::::::::::::::
¼
v1
:::::::::::::::
t2 ¼
PA
:::::::::::::::::::
¼
v2
:::::::::::::::
4. Puoi quindi scrivere l’equazione che costituisce il modello del problema
(esprimi il minuto in secondi):
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
::::::2 þ ð::::: xÞ2
x þ ::::
þ
¼ 60
4
:::::::::
Si tratta di un’equazione irrazionale, che non sei in grado di risolvere algebricamente perche´ conduce a un’equazione di grado superiore al secondo
non risolvibile con i metodi che conosci. Per cercare di trovare una soluzione approssimata del problema, possiamo seguire un approccio di tipo
grafico (per esempio con GeoGebra) o di tipo numerico (con il foglio elettronico).
b. Approccio grafico (con GeoGebra)
1. Traccia con GeoGebra il grafico della funzione che esprime il tempo complessivo (in secondi) del percorso e il grafico della retta di equazione
y ¼ 60.
2. Deduci un’approssimazione della soluzione dell’equazione.
3. Rispondi alla domanda posta dal problema.
c. Approccio numerico (con il foglio elettronico)
Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO
Tramite un foglio Excel e` possibile studiare il problema calcolando il tempo necessario a effettuare il percorso, in corrispondenza di tutte le posizioni di P che si
desiderano, comprese tra il caso limite in cui P coincide con K (PK ¼ 0 m) e il caso limite in cui P coincide con H (PK ¼ 100 m).
A questo scopo puoi costruire un foglio come quello qui sotto.
116
Puoi costruire tale foglio seguendo le istruzioni qui indicate.
1. Prepara le celle che contengono del testo (come A1, A3, A4, . . .);
2. immetti nelle celle C4, C5, C6, F4, F5 i dati forniti dal problema;
3. le celle della colonna A, a partire da quella sulla riga 9, contengono le distanze PK in corrispondenza delle posizioni di P che si ottengono partendo
dal punto K e immaginando di muoversi lungo la riva, verso il punto H, a
«passi» di 5 m. Per costruire tale colonna basta che immetti nella cella A9 il
numero 0 (corrispondente alla distanza di P da K nel caso limite in cui
P KÞ e nella cella A10 la formula =A9+5 che andra` poi copiata nelle righe
sottostanti fino alla 29 (corrispondente alla posizione limite in cui P HÞ.
che dovrai poi copiare nelle celle sottostanti della colonna B (fino alla riga
29).
5. Nella cella C9 dovrai inserire la formula:
=B9/$F$4
6. Con ragionamenti analoghi a quelli dei punti precedenti non dovresti trovare difficolta` a completare il foglio con le formule da inserire nelle colonne D, E, F, G, H.
Laboratorio di informatica
=RADQ($C$4^2+A9^2)
Tema A
4. Nella cella B9 devi inserire la formula che fornisce la distanza CP in funzione della distanza PK; tenendo conto dell’espressione di PC ricavata nella fase iniziale di modellizzazione del problema, dovresti comprendere che in
B9 devi inserire la formula
Per interpretare meglio i dati della tabella puoi ricorrere a un grafico a dispersione, come quello della figura seguente, che rappresenta il tempo di percorrenza
del tratto CP + PA (asse y, intervallo H9:H29) in funzione della lunghezza di PK
(asse x, intervallo A9:A29).
Utilizza ora il foglio che hai costruito:
Un approfondimento
Un ulteriore problema che si puo` porre e` il seguente: verso quale punto P deve dirigersi il cane, per fare in modo che il tempo impiegato per compiere il percorso da A a C
sia minimo?
A prima vista la risposta alla domanda potrebbe sembrare ovvia e facile: il percorso piu` veloce sara` anche il piu` breve (cioe` quello che rende minima la somma della lunghezza di CP e di PA), dunque sara` quello rettilineo ... Ma e` proprio cosı`?
Allo stato delle tue conoscenze, cercare di rispondere a questa domanda senza
l’aiuto di strumenti informatici non sarebbe facile (perche´ la funzione che esprime il tempo complessivo impiegato dal cane per compiere il percorso da A a C e`
una funzione irrazionale, che per il momento non sei in grado di studiare con
carta e penna). Tuttavia puoi cercare una risposta approssimata anche all’ultima
domanda posta, utilizzando il grafico costruito con GeoGebra o il foglio Excel
che hai poc’anzi predisposto.
Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO
in base ai dati che puoi leggere, deduci in quale intervallo e` da cercare la distanza PK che rende il tempo complessivo uguale a 1 minuto;
cerca di migliorare l’approssimazione, modificando opportunamente il contenuto delle celle A9:A29, fino ad arrivare a ricavare un’approssimazione della
distanza PK a meno di un decimo.
117
Laboratorio di informatica
Tema A
1. Osservando il grafico che hai tracciato con GeoGebra, quale ti sembra essere approssimativamente l’ascissa del punto della funzione avente ordinata
minima?
2. Analizzando attentamente il foglio Excel che hai costruito, in quale intervallo ti sembra da cercare la lunghezza PK che rende il tempo totale minimo? Come puoi migliorare la precisione? Sei in grado di determinare
un’approssimazione a meno di un decimo della distanza PK che rende il
tempo totale minimo?
3. I risultati ottenuti con GeoGebra ed Excel concordano tra loro?
4. In corrispondenza della lunghezza PK che rende minimo il tempo totale di
percorrenza (colonna H nel foglio Excel), e` minimo anche lo spazio percorso (colonna G)? La congettura inizialmente formulata circa il fatto che il
percorso piu` veloce fosse anche il piu` breve si e` rivelata corretta?
` PROPOSTE
ATTIVITA
1
Þ
Supponiamo di avere un foglio di cartone di forma rettangolare, i cui lati sono lunghi 100 cm e 80 cm. Da questo foglio si ritagliano, agli angoli, quattro quadrati uguali, il cui lato misura x (in cm) e si ripiega il pezzo di cartone rimanente in modo da ottenere una scatola aperta superiormente, come indicato in figura.
x
x
x
x
x
80 – 2x
x
x
x
x
80 – 2x
100 – 2x
100 – 2x
Come occorre scegliere x in modo da ottenere una scatola di volume uguale a 20 dm3 ?
Scrivi l’equazione che formalizza il problema, quindi deduci le sue soluzioni approssimate interpretando graficamente l’equazione con GeoGebra. Le soluzioni dell’equazione sono anche soluzioni del problema?
Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO
2
Þ
118
Considera il seguente problema: «Tra tutti i triangoli isosceli di perimetro uguale a
40 cm, determina le lunghezze dei lati del triangolo che ha area uguale a 60 cm2 ».
a. Cerca di risolverlo secondo diversi approcci (similmente a quanto fatto nell’attivita` guidata), sia utilizzando il grafico di un’opportuna funzione, che potrai tracciare con GeoGebra, sia costruendo un opportuno foglio Excel.
b. Utilizza il grafico e il foglio Excel costruito per rispondere a questa ulteriore domanda: «tra tutti i triangoli isosceli di perimetro uguale a 40 cm, determina le lunghezze dei lati del triangolo di area massima».
Verso le competenze
A
Tema
Tema A
UTILIZZARE LE TECNICHE DEL CALCOLO ALGEBRICO, RAPPRESENTANDOLE
ANCHE SOTTO FORMA GRAFICA
F
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2þ 5x¼ 5þx
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
19 x2 4 x ¼ 4 x
Þ
V
F
20
Þ
V
F
21
Þ
V
F
V
F
Risolvi le seguenti equazioni contenenti valori assoluti.
V
f. l’equazione jxj ¼ 2jx 1j e` impossibile
V F
g. l’equazione jxj ¼ 2x 1 e` equivalente a
x2 ¼ ð2x 1Þ2
V F
h. l’equazione jxj ¼ j2x 1j e` equivalente a
x2 ¼ ð2x 1Þ2
V F
[4 affermazioni vere e 4 false]
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ 4x ¼ x 1
2
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
3
x1¼x1
Þ
pffiffiffiffiffiffi
4
2x þ 1 ¼ 3
Þ
pffiffiffi
5 xþ1¼ xþ3
Þ
1 pffiffiffi
6
x¼5x
Þ
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x4 2x2 ¼ x2 2
7
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
8
4x 5 ¼ 5
Þ
rffiffiffiffiffi
1
1
¼ 1
9
Þ
x
x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
10
4þ x¼3
Þ
11
Þ
12
Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
x6¼6 x
1
1
2ðx 2Þ 4 ¼ ð2x þ 1Þ 4
2
ðx 2Þ 3 ¼ 16
pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
xþ 5x¼3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x xþ1
1
ffi ¼
15
Þ x þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
5
xþ1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
xþ1þ 2þx¼ 5þx
16
Þ
13
Þ
14
Þ
17
Þ
[3]
18
Þ
[6]
[0, 1, 2]
[2]
[4]
[4]
pffiffiffi
[ 2]
65
2
"
pffiffiffi #
3 5
2
[25]
49
4
33
14
[62, 66]
[1, 4]
[3]
" pffiffiffiffiffiffi
#
2 13 8
3
1
2
5
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2x 3
3
x x2 1
x þ x2 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
xþ21
x4¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x2 x2 1 ¼ x þ 2
j2x 1j ¼ 5
3x þ 1 23
Þ 3 ¼ 2
22
Þ
24
Þ
25
Þ
1, j3x2 3j þ j2x þ 2j ¼ 0
j2x 1j ¼ j3x 2j
1 2 x ¼ jx þ 5j
32 x Þ
2 31
Þ
33
Þ
j5x 1j ¼ x
34
Þ
35
Þ
j3x2 3xj þ jx þ 2j ¼ 0
17
15
[2, 3]
7 5
,
3 3
[3, 3]
2
jx2 þ 1j þ 6 ¼ 3
[ 1, 4]
pffiffiffiffiffiffi #
7 þ 21
2
j2 x2 j ¼ 7
jx þ x 2j ¼ 0
x1
26
Þ x þ 3 ¼ 2
pffiffiffi
27 jx þ xj ¼ 1
Þ
pffiffiffi
pffiffiffi
28 jx þ x 2 1j ¼ 1 5
Þ
29
Þ
30
Þ
"
Verso le competenze
Vero o falso?
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a. l’equazione x4 þ x3 þ 1 ¼ 2 non ha
soluzioni in R
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
b. l’equazione x2 1 ¼ x e` equivalente
a x2 1 ¼ x
c. comunque scelti a, b 2 R si ha che: a ¼ b
se e solo se a3 ¼ b3
d. comunque scelti a, b 2 R si ha che: a ¼ b
se e solo se a2 ¼ b2
1
1 1
1
e. ¼ 3
2
3
2
1
Þ
[2, 1]
5
,7
3
[Impossibile]
[Impossibile]
[Impossibile]
[1]
3
1,
5
pffiffiffiffiffiffi
[2 14]
1 1
,
4 6
[Impossibile]
jx2 þ 3xj ¼ 2x
[No]
pffiffiffi
pffiffiffi 1
[4]
36 j x 1j ¼ 2 x Þ
2
1 2
37 jxj ¼
[ 3, 0]
x
Þ
3
1
[4]
38 x þ 1 þ 1 ¼ x
Þ
2
1
39 jx2 1j ¼ jxj
[Impossibile]
Þ
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
` data l’equazione: x þ a ¼ x. Per quali valori di
40 E
Þ
a 2 R ammette due soluzioni reali distinte?
1
<a0
4
E` data l’equazione: jx þ 1j ¼ k2 3k. Per quali valori di k 2 R non ammette soluzioni?
[k < 0 _ k > 3]
41
Þ
119
Determina le coordinate del punto di intersezione
pffiffiffi
P tra il grafico della funzione radice quadrata, y ¼ x, e
quello della retta colorata in azzurro in figura.
42
Þ
Determina le coordinate dei punti di intersezione
A e B tra il grafico della funzione valore assoluto e
quello della parabola colorata in azzurro in figura.
43
Þ
y
y
4
8
y= x
y= x
P
Tema A
Verso le competenze
Risolvi le seguenti equazioni, dopo averle interpretate graficamente.
O
x
2
A
–2
pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi
17 33
33 1
,
8
4
B
O
x
2
pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi 1 65 1þ 65
1þ 65 1þ 65
,
;B
,
A
4
4
4
4
RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI
44 Problemi nella storia Risolvi il seguente problema, dovuto al matematico indiano Bhaskara (1114-1185): «La raÞ
dice quadrata della meta` del numero delle api dello sciame e` volata fino alla siepe di gelsomino. Otto noni sono rimasti indietro, mentre la regina volava in direzione di un maschio, che girava intorno a un fior di loto. Da quante
api era composto lo sciame?»
[72]
r
K
x
R
r
S
x
R
C
45°
r
K
S
O'
Q
H
x
O
H
Fai riferimento alla figura qui sotto. Il triangolo
ABC e` rettangolo isoscele ed e` stata tracciata la semicirconferenza di diametro BC esterna al triangolo. La misura di BC e` 6a. Determina x in modo che il rettangolo
PQRS sia un quadrato.
46
Þ
x
45 Fai riferimento alla figura qui sotto. Le due cirÞ
conferenze di centri O e O0 sono congruenti e hanno
raggi di misura r. ABCD e` un rettangolo, avente i lati
AB e CD paralleli alla retta OO0 , due vertici su una circonferenza e due sull’altra. Determina la misura x dei
due segmenti HK e RS, in modo che il perimetro del
26
rettangolo ABCD misuri
r.
5
A
B
45°
D
h
C
HK ¼ RS ¼
r
8
o HK ¼ RS ¼ r
5
5
A
P
B
6
a
5
47 In un triangolo rettangolo ABC il cateto AB misura 4a e il cateto AC misura 2a. Traccia una retta r, passante
Þ
per A ed esterna al triangolo ABC, e indica con B0 e C0 le proiezioni di B e C su tale retta. Determina la misura di AB0
pffiffiffi
in modo che risulti B0 C0 ¼ 3a 2.
pffiffiffi
14 pffiffiffi
AB0 ¼ 2a 2 o AB0 ¼
a 2
5
Un ragazzo parte con la sua barca dal punto A, sulla riva di un lago, con l’obiettivo di raggiungere il punto B,
posto sulla riva opposta. Le due rive possono considerarsi approssimativamente rettilinee, parallele e distanti 3
km. Il ragazzo ha tre possibilita`:
48
Þ
1. puo` raggiungere il punto C sulla riva opposta, distante 7 km da B, e poi camminare fino a B;
2. puo` raggiungere direttamente in barca il punto B;
3. puo` raggiungere con la barca un punto D posto tra B e C e proseguire camminando fino a B.
120
A
3 km
C
x
D
7 km
In questo caso, verso quale punto D deve dirigersi il ragazzo, se
complessivamente vuole impiegare esattamente 1 ora e mezza
per raggiungere B?
Verso le competenze
a. Quanto impiega a raggiungere B, se segue la prima
possibilita`? Esprimi il risultato in ore e minuti.
b. Quanto impiega a raggiungere B, se segue la seconda
possibilita`? Esprimi il risultato in ore e minuti.
c. Indicata con x la distanza (in km) tra C e D, qual e`
l’espressione analitica della funzione che esprime il tempo (in
ore) impiegato dal ragazzo a raggiungere B, se segue la terza
possibilita`?
Tema A
Supponiamo che il ragazzo remi a una velocita` costante di 5 km/h e
cammini alla velocita` di 6 km/h.
B
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
7x
x2 þ 9
þ
; deve dirigersi
a. 1 ora e 46 minuti; b. circa 1 ora, 31 minuti e 23 secondi; c. f ðxÞ ¼
5
6
56
km ’ 5,1 km
verso il punto D, la cui distanza da C e` 4 km oppure verso il punto D, la cui distanza da C e`
11
Paolo al mattino va a scuola; al pomeriggio si reca in palestra; pranza e cena a casa. La casa di Paolo, la palestra e la scuola sono situati tutti sullo stesso viale, che puo` considerarsi rettilineo. Paolo effettua tutti i suoi spostamenti in bicicletta e, in una giornata, percorre complessivamente 6 km. La scuola dista 2 km dalla palestra; inoltre
la casa di Paolo e` piu` vicina alla scuola che alla palestra.
Quanto dista da scuola la casa di Paolo?
(Suggerimento: considera un sistema di riferimento in cui l’origine coincide con la scuola, l’unita` di misura e` 1 km,
la palestra e la casa sono rappresentati da punti sull’asse delle ascisse e quest’ultimo e` orientato dal punto che rappresenta la scuola a quello che rappresenta la palestra; indicata con x l’ascissa del punto che rappresenta la casa di
Paolo, si osserva che deve essere x < 1 e si ricava che l’equazione che formalizza il problema e` 2jxj þ 4 2x ¼ 6Þ
[500 m]
49
Þ
ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE
50 Quando si elevano entrambi i membri di un’equazione al quadrato l’equazione che si ottiene e` equivalente a
Þ
quella originaria? Perche´? E se si elevano entrambi i membri al cubo?
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
51 Perche´, per risolvere l’equazione x þ 3 þ 2 ¼ x, e` una buona idea isolare il radicale al primo membro prima
Þ
di elevare al quadrato i due membri dell’equazione? Che cosa accade se si elevano subito al quadrato i due membri?
52
Þ
53
Þ
Descrivi una procedura per inventare equazioni irrazionali contenenti radici quadrate prive di soluzioni.
E` vero che il valore assoluto di una somma e` uguale alla somma dei valori assoluti degli addendi? E che il valore assoluto di un prodotto e` uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori?
Se le risposte sono positive, giustificale, altrimenti esibisci dei controesempi.
L’equazione jf ðxÞj ¼ 2 equivale a f ðxÞ ¼ 2 _ f ðxÞ ¼ 2? L’equazione jf ðxÞj ¼ 2x equivale a f ðxÞ ¼ 2x _
f ðxÞ ¼ 2x? Se le risposte sono positive, giustificale, altrimenti esibisci dei controesempi.
54
Þ
55 I quantificatori. Completa in modo da ottenere proposizioni vere, scegliendo l’espressione opportuna tra:
Þ
«8x 2 R» (per ogni numero reale xÞ, «9x 2 R: » (esiste un numero reale x tale che), «6 9 x 2 R:» (non esiste alcun numero reale x tale che).
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffi
a. .............................. risulta x2 4x þ 4 ¼ jx 2j
d. .............................. risulta x2 1 ¼ 2 10
risulta jx 10j ¼ x 10
pffiffiffi
c. .............................. risulta x ¼ x 5
b.
..............................
e.
..............................
risulta j 2x2 1j ¼ 2x2 þ 1
121
Verso le competenze
Tema A
VERSO LE PROVE INVALSI
1
Þ
A
B
C
D
2
Þ
le?
A
B
C
D
3
Þ
A
B
C
D
Quale delle seguenti equazioni e` impossibile?
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x4 þ 10 ¼ 5
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x4 þ 0,25 ¼ 101 201
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x4 þ 0,25 ¼ 1 21
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
x4 þ 0,5 ¼ 3 1
A
B
6
Þ
A
B
7
Þ
A
B
8
Þ
A
B
L’equazione
x þ 1 ¼ x2
x0
x þ 1 ¼ x2
x þ 1 ¼ x2
x0
Delle mine per matite hanno un diametro dichiarato di 5 mm. Una mina di diametro x (in mm) viene
scartata se la misura del suo diametro differisce da
quella dichiarata per piu` di 2 mm. Quale delle seguenti
disequazioni esprime la condizione in base a cui una
mina viene scartata?
13
Þ
nessuna delle precedenti risposte e` esatta
Una sola delle seguenti uguaglianze e` falsa; quale?
pffiffiffi
pffiffiffi
C j þ 3j ¼ þ 3
j 3j ¼ þ3
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
D j 2 1j ¼ 2 1
j1 3j ¼ 1 3
a. x 5 > 2
b. x 2 > 5
14
Þ
x2
x<2
C
D
x > 1
x0
C
D
per 1 < x < 0
per ogni x 2 R
Quale delle seguenti equazioni e` impossibile?
jxj ¼ x
pffiffiffi
jx 1j ¼ 3
C
D
B
4
C
jxj ¼ 0,5
jxj ¼ x þ 1
8
C
D
y
1
O
B
x
Quali sono le coordinate dei punti P dell’asse x tali
che la distanza di P da A e` il doppio della distanza di
P da B?
a. Risposta:
.................................................................................................
b. Scrivi i calcoli svolti per giungere alla risposta:
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
D
16
11 Siano x e y due numeri reali e non negativi.
Þ
pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Quando e` vera l’uguaglianza x þ y ¼ x þ y ?
Mai
Sempre
A
per ogni x 2 R
solo per x ¼ 2
L’uguaglianza jxj þ 1 ¼ jx þ 1j e` valida per:
c. jx 5j < 2
d. jx 5j > 2
Osserva la figura seguente.
L’uguaglianza j2 xj ¼ x 2 e` valida per:
2
x
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x þ 1 ¼ x equivale a:
C jx 1j ¼ 2x
jx 1j ¼ 2x
D jx2 j ¼ x þ 2
jx þ 2j ¼ x2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffi
10 Se 2 3 a ¼ 2, quanto vale a?
Þ
122
d. jxj ¼ 2x2 þ 4
O
B
B
b. jxj ¼ 2x2 þ 1
pffiffiffi
L’equazione 3 x ¼ x þ 1 e` equivalente a x ¼ ðx þ 1Þ3
pffiffiffi
L’equazione 5 x ¼ x þ 1 e` equivalente a x ¼ ðx þ 1Þ5
L’equazione x ¼ x þ 1 e` equivalente a x3 ¼ ðx þ 1Þ3
L’equazione x ¼ x þ 1 e` equivalente a x2 ¼ ðx þ 1Þ2
A
A
c. jxj ¼ x2 þ 4
y
9 Quale delle seguenti equazioni non ammette coÞ
me soluzione x ¼ 1?
A
a. jxj ¼ x2 4
Una sola delle seguenti affermazioni e` falsa; qua-
4 Quale delle seguenti equazioni non ammette coÞ
me soluzione x ¼ 1?
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
A
C
x¼x
x1¼x1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffi
B
D
x ¼ x
x1¼1x
5
Þ
Quale delle seguenti equazioni consente di determinare le ascisse dei punti d’intersezione delle curve
rappresentate in figura?
12
Þ
Se e solo se xy ¼ 0
Se e solo se x ¼ y
Considera il seguente problema, dovuto al matematico indiano Brahmagupta (598-628): «Un quarto di
un branco di cammelli e` stato visto aggirarsi nella foresta. Il doppio della radice quadrata del numero degli
animali era invece partito per la montagna. Quindici
animali erano rimasti in riva al fiume. Da quanti cammelli era composto il branco?».
15
Þ
a. Risposta:
.................................................................................................
b. Scrivi i calcoli svolti per giungere alla risposta:
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................

V PNI - Liceo Scientifico Statale "E. Fermi"

Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014 Università

Matematica

Esercizi del capitolo 2 strumenti matematici

Curriculum Vitae - Valerio Antonetti

x2 − 4

Problema 2

MATCH WARMUP

2014_Simul_ORD_testo

esercizi moto rett unif (1)