Analisi Matematica T1– Docente: Annalisa Baldi Ingegneria dell

Analisi Matematica T1– Docente: Annalisa Baldi
Ingegneria dell’ Automazione ed Ingegneria dell’Energia Elettrica
Esercizi sul calcolo integrale
Potete svolgere anche gli esercizi del vostro libro di esercizi, della stessa
tipologia e grado di difficolt`a di questi, per i quali oltre alla soluzione trovate
anche una traccia dello svolgimento.
(A) Trovare UNA primitiva di
1.
f (x) =
1
+ 2x + 2
x2
2.
f (x) =
2x3
;
1 + x2
3.
f (x) =
ex
4.
f (x) =
1
;
25 − 4x2
5.
f (x) =
6.
f (x) =
7.
f (x) =
8.
1
;
+ 2e−x
x2 + 3
;
x2 + 4
1
;
cosh2 (x)
sen (x)
;
1 + cos2 (x)
1
x(1 + log2 (3x))
9.
f (x) =
1
sen (log(x));
x
10.
sen 2 (x)
f (x) =
cos2 (x)
(ricordare la derivata della tangente);
11.
f (x) = p
sen (2x)
1 + cos2 (x)
(ricordare le formule di duplicazione della trigonometria);
12.
f (x) =
13.
3x + 2
;
x2 + x + 1
2
2
2xex (5 + 2 ex )
f (x) = √
;
3 + 5 ex2 + e2x2
14.
f (x) = e3
sen
4 (x)+2
15.
sen (x)+2
6 sen 3 (x) + 1 cos(x);
x arcsin(x)
;
f (x) = √
1 − x2
16.
sin(x)
f (x) = p
;
4 − cos2 (x)
Soluzioni: RICORDATE che una funzione F per essere una primitiva di
un’altra funzione f deve essere definita su un intervallo, cioe’ il dominio
delle funzioni coinvolte deve essere un intervallo. Nelle risposte che
seguono non indico l’intervallo, ma vi invito a riflettere su quale sia
l’intervallo in cui avete determinato la vostra primitiva.
1. arctan(x + 1)
2. x2 − log(1 + x2 )
√
√
3. 2/2 arctan( 2/2 ex )
4. 1/20 log 5+2x 5−2x
5. x − 1/2 arctan(x/2)
2
6. tanh(x)
7. − arctan(cos(x))
8. arctan(log(3x))
9. − cos(log(x))
10. tan(x) − x
11. −2(1 + cos2 (x))1/2
12. 3/2 log(x2 + x + 1) +
√
13. 2 3 + 5 ex2 + e2x2
√
√ )
3/3 arctan( 2x+1
3
4
14. 1/2 e3 sen (x)+2 sen (x)+2
√
15. x − 1 − x2 arcsin(x)
16. arccos( cos(x)
)
2
(B) Calcolare i seguenti integrali (i primi 11 integrali si risolvono mediante integrazione per parti; in diversi degli esercizi successivi, talvolta
occorre una sostituzione e poi l’integrazione per parti):
1.
Z
3
(x + 3) sinh(3x − 9) dx;
−3
2.
5
Z
(2x + 5)e(5x+2) dx;
0
3.
3
Z
x log(x) dx;
2
4.
π/2
Z
x sen (x) dx;
0
5.
Z
π/4
x2 cos(x) dx
0
6.
Z
0
−1
3
x2 ex dx;
7.
1
Z
x arctan2 (x) dx;
1/2
8.
−1/2
Z
log(1 + x)
dx;
x2
−1/3
9.
3
Z
7x2 sin(4x) dx;
−3
10.
e2
Z
x log2 (x) dx;
1
11.
e2
Z
x2 log(x) dx;
1
12.
π
12
Z
log (cos(3x)) cos(3x) sin(3x) dx;
0
13.
Z
1
9
(2x − 3) sinh(9x) dx;
0
14.
3
Z
√
xe
x
dx;
2
15.
Z
1
log(x2 + 1) dx;
0
16.
22
Z
13
17.
Z
π
6
e2
sen (3x)
√
x
dx;
x−1
( sen (6x) + cos(3x)) dx;
0
4
18.
2
2
Z
e 2+x
dx;
(2 + x)3
1
19.
1
Z
1
dx;
cosh(x) + 1
0
20.
1
Z
ex
dx;
senh (x) + 2
0
21.
4
Z
3
22.
Z
3
dx;
9 + 4x2
−2
4x2
−4
23.
−5
Z
−7
24.
x3
0
1/2
Z
1/3
26.
1
Z
x
dx;
(x − 1)2
1
Z
25.
5
dx;
+ 12x + 9
1
dx;
+1
dx
;
√ √
x 1−x
√
x x + 1 dx;
0
27.
Z
1
log(6e6x ) dx;
0
28.
Z
1
5
2
x+1
dx;
x2 + 4
29.
π/3
Z
1
dx;
tan (x) cos2 (x)
4
π/6
30.
π
Z
sen (2x) e2x dx;
π/6
31.
log(2)
Z
e2x
dx;
e4x + 4e2x + 4
0
32.
Z √3
2
2
|x| e−x dx;
− √1
2
33.
π/4
Z
0
34.
Z
cos(x)
dx;
4 − sin2 (x)
−π/4
−π/2
35.
Z
π/2
−π/2
cos(x)
dx;
4 − sin(x)| sin(x)|
36.
8
Z
1
Soluzioni:
1. 2 − 1/9 senh (18)
2. 73/25e27 − 23/25 e2
√
3. log( 814 3 ) − 5/4
4. 1
√
5.
2(+8ππ 2
−
32
−1
√
cos(x)
dx;
4 + sin2 (x)
2
6. 2 − 5e
6
1
√ dx;
x+ 3x
7.
π2
16
− 58 arctan2 (1/2) −
π
4
√
+ 12 arctan(1/2) + log( 2√52 )
8. log( 27
)
16
9. 0
10. 5e4 − 1/4
11.
1
(5e6
9
+ 1)
12.
1
(log(2) − 1)
24
13.
−
14.
25
2
1
cosh(1) −
sinh(1) +
81
81
3
√
√
√
√
12( 3 − 1)e 3 − 12( 2 − 1)e 2
15.
log(2) − 2 + π/2
16.
√
√
2( 22 − 13) + log
17.
18.
!
√
22 − 1
√
+ log
13 − 1
!
√
13 + 1
√
22 + 1
1 2
e
3
1√
1√
3
e−
e2
8
12
19. ricordare la definizione del cosh, porre g(x) = ex ,
e−1
1
= tanh( )
e+1
2
20. ricordare la definizione del senh , porre g(x) = ex ,
√
√ !
√
√ !
5+2 5
e+2+ 5
5−2 5
e+2− 5
√
√
log
+
log
5
5
3+ 5
3+ 5
7
21.
1
(arctan(8/3) − arctan(2))
2
22. 2
23. log(3/4) + 1/24
h
i1
√
(x+1)2
2x−1
√
24. 1/6 log( x2 −x+1 ) + 3/3 arctan( 3 )
0
√
25. π/2 − 2 arcsin( 3/3) dove si pone x = g(t) = t2
√
26. 4/15 2 + 4/15
27. log(6) + 3
2
28. 1/2 [log(x2 + 4) + arctan(x/2)]1
π/3
29. −1/3 [tan−3 (x)]π/6
√
2π
30. − e4 − π/3
( 3 − 1)
8
31. 1/12
32. 1 − 21 ( √1e +
√1 )
e3
33.-34.-35. porre sempre y = g(x) = sin(x)
36. porre x = g(t) = t3
(C) Calcolare i seguenti integrali (oltre ai risultati ci sono anche dei suggerimenti sulle sostituzioni da operare):
1.
3
Z
1
2.
6
Z
√
x2 + 1
dx;
x2
√
x2 − 9 dx;
4
3.
3
Z
0
4.
Z
x2
7x + 3
dx;
+ 7x + 12
5/2
√
−5/2
8
1
dx;
2x + 5 + 5
5.
√
3
Z
9x2 − 1 dx
1
6.
1
Z
√
0
7.
x2
dx
;
+ 1(x2 + 1)
1
Z
(2x + 1) cosh(3x) dx;
−3
8.
1
Z
x
ee ex dx;
1/2
9.
1
Z
√
0
10.
x2
1
Z
0
11.
dx
;
+ 4(x2 + 4)
e2x
√
dx;
4 x
e +1
π/7
Z
(x + 2) cos(7x) dx;
−pi/7
12.
2
Z
ex
1
13.
Z
2
√
dx
,
1 − e−2x
√
√
log( x + 1 − x − 1) dx;
1
14.
Z
0
1
√
log(x + 1 + x2 )
√
dx,
1 + x2
15.
√
Z
0
9
3
√
4 − x2 dx;
16.
log(2)
Z
ex
dx;
3e2x − ex + 2
0
17.
π/4
Z
dx
dx;
1 + sen (x)
0
18.
Z
2
√
1
5x
√
dx;
x+1− x−1
19.
Z
π/4
x
dx;
cos2 (x)
−2
2x + 1
dx;
3x + 4
0
20.
Z
−3
21.
Z
π/2
(1 + sen (2x))(1 + sen (x)) dx;
0
22.
Z
0
23.
Z
0
π/3
cos(x)
dx;
4 − cos2 (x)
π/4
sin(x)
dx;
+ 1) cos2 (x)
(cos2 (x)
Soluzioni:
(n.b. talvolta in queste soluzioni si usano le seguenti espressioni delle
funzioni iperboliche inverse
√
arcsinh : R → R arcsinh(x) = log x + x2 + 1
√
2
arccosh : [1, +∞[→ [0, +∞[ arccosh(x) = log x + x − 1 )
√
√10 ) −
1. porre x = g(t) = senh (t), 1/3 log( 3+
1+ 2
10
√
10
3
+
√ 2
√ √
√
√3
2. porre x = g(t) = 3 cosh(t), 9 3 − 2 7 − 9/2 log 6+3
4+ 7
3. −18 log(2) + 25 log(7/4)
√
√
4. 10 − 5 log( 10+5
)
5
√
√
√
3+2√2
5. porre x = g(t) = 13 cosh(t), 6 5 − 2 + 1/6 log( 9+4
)
5
√
√
6. porre x = g(t) = senh (t), tanh(log(1 + 2)) = 2/2
7. senh (3) − 2/9 cosh(3) + 5/3 senh (9) + 2/9 cosh(9)
√
8. ee − e
e
√
9. porre x = g(t) = 2 senh (t), 1/4 5
√
10. porre t = g −1 (x) = 4 ex + 1
11. 0
2
12. − [arcsin(e−x )]1
√
√ √
13. per parti log 2 2 − 3 + 3/2
√
14. porre x = g(t) = senh (t), 1/2 log2 (1 + 2)
√
15. porre x = g(t) = 2 sen (t), 2π
3/2
+
3
√
√
√
16. ex = t, x = g(t) = log(t), 2/ 23(arctan(11/ 23) − arctan(5/ 23))
√
17. moltiplicare numeratore e denominatore per (1 − sen (x)), 2 − 2
√
√
18. quasi immediato, ricordare la differenza dei quadrati, 8/3+4 3−2/3 2
19. per √
parti; ricordare sia la primitiva di tan(x) che la sua derivata π/4 +
log( 2/2)
20.
2
3
+ 59 log(5/2)
21. π/2 + 8/3
22. ricordare la relazione fondamentale della trig. (y = sin(x) = g(x)),
√
√
23. (y = cos(x) = g(x)), 2 − 1 − π/4 + arctan( 2/2)
11
√
3/3 arctan(1/2)

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