Politecnico di Torino - Facoltà di Ingegneria Corso di laurea in Ingegneria Civile Rivisto:1/03/2011 Punti: 9 Laboratorio di sintesi finale – F: Biasioli Argomenti: 1.3 Caratteristiche di sollecitazione, simmetrie e antisimmetrie, sviluppi in seerie Caratteristiche di sollecitazione Suddividendo un corpo in equilibrio in due parti attraverso una sezione normale all’asse nascono sulle due facce della sezione delle reazioni interne che, essendo il corpo, in equilibrio, devono avere intensità tale da mantenere ciascuna delle due parti isolate in equilbrio. Si fissa e un sistema di riferimento cartesiano ortonormale O(x, y, z) con origine nel baricentro della sezione, assi x e y che giacciono nel piano della sezione traversale della trave, asse y convenzionalmente orientato verso il bassoi e asse z tangente all’asse baricentrico della trave. Si definiscono caratteristiche di sollecitazione le componenti in tale riferimento della forza R e del momento risultante M che si ottengono trasportando tutte le forze che precedono o seguono la sezione nel baricentro della generica sezione. Con riferimento alla terna (x y z), i vettori R e M possono essere proiettati sulle direzioni x,y e z : si ottengono tre componenti della forza R e tre componenti del momento M, dette rispettivamente Tx, Ty (forze di taglio) Nz (forza assiale o sforzo normale) e Mx, My (momenti flettenti ) eMz (momento torcente). Se tutte le forze sono contenuta nel piano (zy) del sistema di riferimento le caratteristiche della sollecitazione si riducono a tre (vedi figura): (1) la forza assiale Nz ; (2) la forza di taglio Ty; (3) il momento flettente Mx. Nel caso piano per identificare il verso delle caratteristiche di sollecitazione e tracciare i loro diagrammi (diagrammi di M,N,T) è necessario definire dei riferimenti e delle notazioni (convenzioni di segno). Si assumono convenzionalmente positive la forza assiale di trazione, la forza di taglio che tende a far ruotare in senso orario il tronco di trave su cui agisce e il momento flettente che tende le fibre inferiori (poste dalla parte dell’asse y positivo) e comprime le superiori. La faccia che “guarda” verso le coordinate z crescenti è detta “positiva”; quella opposta, che “guarda” verso z decrescenti, è detta “negativa”. La figura visualizza le convenzioni: Le funzioni momento Mx, taglio Ty, forza assiale Nz e un eventuale carico distribuito sono legate tra loro da equazioni differenziali. Si consideri un tronco di trave di lunghezza infinitesima dz sottoposto ad un carico distribuito tangenziale p(z), a un carico distribuito normale q(z) e alle sollecitazioni Mx(z), Ty(z), Nz(z), e Mx(z) + dMx, Ty(z) + dTy, Nz(z) + dNz, sulle sezioni di estremità. Imponendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale : La derivata dello sforzo normale rispetto alla coordinata assiale è uguale all’opposto del carico distribuito assiale. Imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale: La derivata del taglio rispetto alla coordinata assiale è uguale all’opposto del carico distribuito ortogonale all’asse. Imponendo l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto di mezzeria del concio di trave e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore si ha : Per tracciare le funzioni M,N e T. è utile applicare le regole relative allo studio delle funzioni Esempio 1: trave di lunghezza l appoggiata ad entrambe le estremità con carico distribuito uniforme (q). Le reazioni vincolari verticali sono due forze equiverse pari a ql/2. La reazione vincolare orizzontale nel punto B è nulla in quanto non sono presenti forze orizzontali. La forza assiale Nz è ovunque nulla poiché non vi sono forze applicate lungo l’asse z. Esplicitando la funzione momento si ha la funzione di II° grado: 2 2 Il diagramma del momento si annulla all’ascissa z=0 e z=l. Derivando, si trova la funzione di taglio: T(0) = T(l) = Per z < l/2 la derivate della funzione taglio è positive dunque la funzione è crescente. Il diagramma del taglio è lineare e si annulla in mezzeria, dove il momento è massimo e vale: 8 Esempio 2: trave di lunghezza l soggetta a due forze concentrate poste ad ¼ l e ¾ l. Le reazioni vincolari verticali sono due forze equiverse pari a F, la reazione vincolare orizzontale nel punto B è nulla. La forza assiale Nz è ovunque nulla poiché non vi sono forze applicate lungo l’asse z. Funzioni momento e taglio: Per 0 z l/4 M(z) = Fz T(z) = F = costante Per l/4 z < 3l/4 M(z) = Fl/4 T(z) = 0 Per l/4 < z l M(z) = Fl/4 Fz T(z) = Fz Il diagramma di momento è lineare nelle zone comprese tra il vincolo e la forza applicata, costante nella zone in cui il taglio è nullo compresa tra le due forze applicate. Il momento massimo vale: M = Fl/4 Esempio 3: mensola di lunghezza l soggetta ad una forza F ortogonale all’asse applicata nell’estremità B. La reazione vincolare verticale è una forza di modulo F applicata nell’incastro e un momento antiorario di modulo Fl. La forza assiale Nz è ovunque nulla poiché non vi sono forze applicate lungo l’asse z. Il diagramma del taglio è costante lungo tutta la mensola e vale F . Il diagramma del momento è lineare e si annulla nell’estremità B. Il momento massimo si ha nell’ incastro e ha modulo pari a M = Fl. Si analizzi, per esempio, una mensola caricata in estremo, come in figura. Le sollecitazioni agenti sulla generica sezione trasversale z possono essere calcolati indifferentemente sulla base delle forze e momenti agenti prima o dopo la sezione: in entrambi i casi sono da considerarsi positive le forze e le coppie concordi con le convenzioni proprie della faccia, “positiva” o “negativa”. Analizzando le caratteristiche della sollecitazione partendo dall’estremo libero della trave (quindi con la convenzione delle facce positive),: • La forza di taglio in punta è pari in modulo alla forza P, il verso secondo convenzione delle facce positive è positivo (suggerisce rotazione oraria del concio a monte); il taglio permane costante sulla trave, fino a verificare l’equilibrio nella sezione d’incastro. • il momento in punta è nullo (in quanto non vi sono coppie applicate all’estremo libero); per opera della forza P, allontanandosi dalla sezione di estremo libero, si genera un momento sollecitante che varia in modo lineare (taglio costante), aumenta con l’aumentare del braccio ed ha segno negativo, in quanto tende le fibre superiori; nella sezione d’incastro si verifica l’equilibrio per opera della coppia d’incastro Pl. Analizzando le caratteristiche della sollecitazione partendo dalla sezione d’incastro (quindi con la convenzione delle facce negative), emerge che: • il taglio all’incastro è pari in modulo alla forza P, il verso secondo convenzione delle facce positive è positivo (suggerisce rotazione oraria del concio a valle); il taglio permane costante sulla trave, fino a verificare l’equilibrio nell’estremo. • il momento all’incastro è pari a Pl con segno negativo (tende le fibre superiori); proseguendo verso destra, il momento sollecitante si attenua linearmente perché Pl è progressivamente compensato dall’incremento di momento positivo dovuto alla forza verticale d’incastro (che tende le fibre inferiori), il che porta a verificare l’equilibrio nell’estremo libero. I due approcci (analisi “a valle” o “a monte” della sezione), basati sulle convenzioni di segno sopra esposte, conducono ovviamente allo stesso risultato. Simmetrie e antisimmetrie Si definisce simmetrica una struttura dotata di un asse di simmetria per geometria . Perché una struttura possa essere definta simmetrica è necessario che siano simmetrici anche i vincoli “efficaci”, quelli cioè che offrono il contributo statico di reazione vincolare. Ad esempio sono vincoli efficaci simmetrici: - due carrelli; - due cerniere; - un carrello e una cerniera in assenza reazione orizzontale; Il concetto di simmetria può essere pensato come un ribaltamento speculare di una delle due parti divise dall’asse di simmetria sul’altra Una struttura simmetrica può essere caricata simmetricamente o antisimmetricamente. Il concetto di simmetria di carico può essere pensato come un ribaltamento speculare di una delle due parti divise dall’asse di simmetria sul’altra: per l’antisimmetria occorre moltiplicare per ( -1) tutti i carichi così ribaltati, cambiando il verso delle grandezze vettoriali pur conservandone la direzione. In una struttura simmetrica caricata simmetricamente sono simmetriche le reazioni vincolari, gli spostamenti e le rotazioni paralleli all’asse di simmetria, simmetria le sollecitazioni di forza assiale e momento. La sollecitazione di taglio e le rotazione otazione e spostamento perpendicolari all’asse di simmetria sono viceversa antisimmetrici. Avremo dunque: • Diagrammi di forza assiale e di momento flettente simmetrici • Diagramma di taglio antisimmetrico • Rotazione e spostamento paralleli para all’asse di simmetria simmetrici • Rotazione e spostamento perpendicolari all’asse di simmetria s antisimmetrici immetrici Una struttura simmetrica caricata simmetricamente n volte iperstatica perde un grado di iperstaticità perchè si può sostituire metà struttura con un vincolo che rispetti le condizioni di deformazione iniziali. iniziali Esempi di strutture simmetriche caricata simmetricamente: In una struttura simmetrica caricata antisimmetricamente le situazioni precedenti si invertono: sono antisimmetriche le reazioni vincolari, gli spostamenti e le rotazioni. Vremo remo dunque • Diagrammi di forza assiale e di momento flettente antisimmetrici • Diagramma di taglio simmetrico • Rotazione e spostamento paralleli para all’asse di simmetria antisimmetrici • Rotazione e spostamento perpendicolari all’asse di simmetria s simmetrici Se la struttura caricata simmetricamente si riusciva a perdere un grado di iperstaticità, in questo caso se ne riesce a perdere uno in più se si sostituisce metà struttura con un vincolo che rispecchi gli spostamenti, le rotazioni e i vincoli preesistenti Esempio di strutture simmetrica caricata anti simmetricamente: Sull’asse di simmetria le caratteristiche antisimmetriche devono essere nulle. Infatti, immaginando il concio di trave infinitesimo disposto sull’asse di simmetria, per esso devono valere contemporaneamente contemporaneam le condizioni di equilibrio e di antisimmetria; condizioni mutuamente esclusive a meno della soluzione nulla. In presenza i forze concentrate, quanto appena detto potrebbe potrebbe non sembrare evidente ad una prima osservazione della struttura. La Figura (a) mostra un caso di struttura simmetrica caricata simmetricamente e ne riporta il diagramma di taglio. Per quanto detto in precedenza esso si deve annullare in corrispondenza dell’asse di simmetria della trave, anche se, la discontinuità che il diagramma manifesta in mezzeria tende a rendere meno visibile questo aspetto. In realtà ogni forza è distribuita su di una superficie superfic o lunghezza finita, come si vede in Figura (b), e il concetto di “forza puntuale” è, come ili punto in geometria, un’astrazione teorica che si realizza al tendere a zero della larghezza di carico. Nel caso di forze applicate in un punto, pertanto, le caratteristiche antisimmetriche ( in questo caso il taglio) sono nulle sull’asse di simmetria. Esiste anche un altro tipo di simmetria, la simmetria sim polare. Un n sistema di travi risulta simmetrico rispetto ad un polo O (vedere figure1 e 2), allorché una delle due metà in cui la struttura è suddivisa dal polo O vada a sovrapporsi all’altra, se fatta ruotare di 180° attorno al polo stesso. Le stutturee polar simmetriche possono essere a loro volta caricate simmetricamente (a sinistra) o anti simmetricamente (a destra). In una struttura polarsimmetrica metrica caricata simmetricamente le sollecitazioni ioni che agiscono su di una metà fatte ruotare di 180° vanno a sovrapporsi a quelle che agiscono sulla metà rimanente. Nel polo il momento flettente si annulla così come lo spostamento per ragioni polarsimmetriche, di equilibrio e di congruenza. Tali condizioni condizioni sono realizzate da una cerniera, quindi tale struttura se n volte iperstatica studiata dimezzata risulta essere (n-1) volte iperstatica . In una struttura pola-simmetrica simmetrica caricata antisimmetricamente anti le sollecitazioni che agiscono su una delle del due metà sono le opposte alle simmetriche rispetto alle sollecitazioni che agiscono sulla restante metà. Nel polo si annullano sia lo sforzo normale, sia il taglio che la rotazione elastica per farsi che si verifichino l’equilibrio, la congruenza e le caratteristiche aratteristiche antipolarsimmetriche. Tali condizioni sono realizzate da un doppio doppiopendolo. In questo caso se la struttura fosse stata n volte iperstatica, si studia, con l’introduzione di un doppio doppiopendolo, con un grado di iperstaticità (n-2) (n minore. inore. Sviluppi in serie della funzione momento Si consideri una generica funzione y(z). Vale, sotto precise ipotesi dell’analisi (funzione f definita in un intervallo aperto (a − r, a + r) a valori reali e derivabile fino all’ordine n), lo “ sviluppo in serie di Mac Laurin” nell’intorno dell’origine z = 0. Troncando lo sviluppo al quarto ordine si ottiene: " 0 0 0 0 ! 0 2 6 24 Se alla funzione y si attribuisce il significato fisico di linea elastica di una struttura costituta da un sistema di travi (modello di Eulero-Bernoulli), considerando positivi gli abbassamenti e le rotazioni antiorarie e tenuto conto che: $ $ $ $ $ $ valgono le relazioni: Sostituendo si ottiene: %& % ' %( & % ( ) %* & % * + ) %, & % , - - - " ./ 2 ./ 6 ./ 24 - - '- ./ ./ 2 ./ 6 - - 00 ./ ./ ./ 2 ./ ./ ./ - - 2 ./ - ) - '- Note le espressioni delle derivate seconda e terza di y, è possibile scrivere le funzioni M e T in qualsiasi tratto della struttura se sono noti a) i valori che esse assumono nel punto scelto come origine e b) i carichi agenti nel tratto successivo. Tutte le funzioni hanno espressione unica in un dato tratto solo se nella funzione in esame o in quella di una qualsiasi delle sue derivate successive non siano presenti delle discontinuità. Ad esempio in una trave isostatica un carico in mezzeria introduce nel punto di applicazione una discontinuità nell’espressione della funzione taglio: di conseguenza si avranno due espressioni, diverse tra loro, delle funzioni linea elastica, pendenza e momento, una prima del punto di applicazione della forza, una dopo il punto di applicazione della forza. Ovviamente si può mettere una origine locale nel punto di applicazione della forza, assumendo come y(0) y’(0) M(0) e T(0) i valori di y, y’ M e T che si hanno un infinitesimo prima del punto di applicazione. 3 3 456 0 7 7 , 1 2 2 2 3 3 2 4 456 7 7 , 2 2 2 2 1 2 L’origine scelta per lo sviluppo in serie può essere un qualsiasi punto 0 della trave, purché in esso siano note le caratteristiche della sollecitazione M(0), N(0) e T(0). Si conclude che il valore degli effetti dei carichi non è influenzato da ciò che avviene “a monte” della sezione presa come origine, purché in essa si conosca le risultanti delle forze e dei momenti di trasporto che i due conci di trave separati dalla sezione si scambiano reciprocamente.
© Copyright 2024 Paperzz
