Aritmetica 2014/2015
Esercizi svolti in classe
13 Novembre
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Notazioni
1. Se G `e un gruppo indichiamo che un suo sottoinsieme G0 `e un suo sottogruppo
come G > G0 .
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Esercizi svolti in classe
1. Sia G un gruppo con 2 elementi. Provare che G `e abeliano. Abbiamo che
G = {e, a}. Quindi aa = e o aa = a. Nel secondo caso, per la concellazione
avremmo a = e, assurdo. Quindi aa = e, e abbiamo a−1 = a. Quindi sia
a che e commutano con tutti gli elementi di G, e G `e abeliano.
2. Sia G un gruppo con 3 elementi. Provare che G `e abeliano. Sia G =
{e, a, b}. Vogliamo dimostrare che ∀ x, y ∈ G, xy = yx. Dato che ee = e,
ae = ea = a e eb = be = b rimane da dimostrare che ab = ba. Per la
chiusura dell’operazione, ab ∈ G. Quindi una di queste tre uguaglianze
deve deve sussistere
ab = a. Ma allora per la legge di cancellazione sinistra (moltiplicando
ambedue i membri a sinistra per a−1 ) abbiamo a−1 ab = a−1 a ⇐⇒
b = e ma questo vorrebbe dire che G ha solo due elementi, assurdo.
ab = b. Analogamente, avremmo a = e, assurdo.
ab = e. Quindi questo caso e’ verificato. Ma allora a = b−1 e a, b
commutano perche’ commutano b, b−1 .
3. Sia G un gruppo e valga ∀ x, y ∈ G (ab)2 = a2 b2 . Allora G `e abeliano.
Ho che ∀ a, b ∈ G
(ab)2
= a2 b2
abab = aabb
cancellazione dx e sx
ba
= ab
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e questa `e la definizione di gruppo abeliano.
4. Dimostrare che Z2 × Z2 6= Z4 . In Z4 esiste un elemento di ordine 4, dato
che 1, 2 · 1, 3 · 1, 4 · 1 = 0 in Z4 . Vediamo che nessun elemento di Z2 × Z2
ha ordine 4.
` l’identit`a, l’unico elemento di ordine 1.
• o((0, 0)) = 1. E
• o((1, 1)) = 2 dato che 2(1, 1) = (0, 0).
• o((0, 1)) = 2 dato che 2(0, 1) = (0, 0).
• o((1, 0)) = 2 dato che 2(1, 0) = (0, 0).
5. Sia G un gruppo finito. Dimostrare che esiste N ∈ N tale che ∀ a ∈
G aN = e.
Sia a ∈ G; per la chiusura dell’operazione abbiamo che tutti gli elementi
a1 , a2 , . . . , ar , . . . appartengono a G. Dato che G `e finito, ∃ n > r ∈ N
tali che an = ar . Per la legge di cancellazione, an−r = e. Sia |G| = k.
Abbiamo quindi dimostrato che ∀ ai ∈ G∃ ni ∈ N tale che ani i = e.
Qk
L’intero cercato `e N = i=1 Ni .
Se volessimo il pi`
u piccolo N possibile, per ogni a ∈ G nel ragionamenti di
sopra dovremmo prendere i pi`
u piccoli n, r tali che.... L’esistenza di questi
n, r ci `e garantita dal fatto che N `e ben ordinato.
6. Sia G un gruppo e S ⊂ G un insieme finito chiuso rispetto all’operazione.
Allora S `e un sottogruppo di G. Dobbiamo provare che e ∈ S e ∀ a ∈
G a−1 ∈ S.
Sia S = {a1 , . . . , as } e a ∈ S. Consideriamo l’insieme
S 0 = {aa1 , . . . , aas }
Dato che S `e chiuso rispetto all’operazione, S 0 ⊂ S. Gli elementi {aa1 , . . . , aas }
sono tutti distinti, dato che aai = aaj ⇐⇒ ai = aj per la legge di
cancellazione in G. Abbiamo quindi S = S 0 e
• Dato che a ∈ S 0 , ∃ ak ∈ S 0 tale che aak = a. Per la legge di
cancellazione di G abbiamo ak = e ∈ S 0 = S.
• Dato che e ∈ S 0 , ∃ at ∈ S 0 tale che aat = e, e quindi a−1 = at ∈ S 0 =
S.
7. Sia G un gruppo ed esista n ∈ N, n > 2 tale che
• (ab)n = an bn .
• (ab)n+1 = an+1 bn+1 .
• (ab)n+2 = an+2 bn+2 .
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Dimostrare che G `e abeliano. Per ogni a, b ∈ G abbiamo
(ab)n+1
=
an+1 bn+1
(ab) ab =
an+1 bn+1
n
usando la cancellazione dx e sx
n
b a =
(ab)n+2
(ab)
n+1
abn
=
an+2 bn+2
ab =
an+2 bn+2
usando la cancellazione dx e sx
n+1
b
a =
abn+1
bbn a =
abn b
dato che bn a = abn
babn
=
abn b
babn
=
abbn
usando la cancellazione dx
ba =
ab
e quindi la tesi
8. Sia S un insieme chiuso rispetto ad una operazione e tale che esista
l’identit`
a destra e per ogni elemento un inverso destro. Ovvero
• ∃ e ∈ S tale che ∀ a ∈ S ae = a.
• ∀ a ∈ S exists y(a) ∈ S tale che ay(a) = e.
Allora S `e un gruppo, ovvero e `e anche neutro sinistro e per ogni a ∈ S,
y(a) `e inverso sinistro.
Innanzitutto, y(a) ∈ S =⇒ ∃ y(y(a)) ∈ S tale che y(a)y(y(a)) = e.
• Dimostro che ∀ a ∈ S y(a)a = e
y(a)a =
y(a)a
y(a)a =
y(a)ae
y(a)a =
y(a)ay(a)y(y(a))
y(a)a =
y(a)(ay(a))y(y(a))
y(a)a =
y(a)(e)y(y(a))
y(a)a =
y(a)y(y(a))
y(a)a
= e
e quindi ∀ a ∈ S y(a) `e anche inverso sx.
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• Voglio dimostare che ∀ a ∈ S ea = a.
∀ a ∈ S ea = (ay(a))a = a(y(a)a) = ae = a
9. Sia G gruppo e G, G0 < G. Allora G ∩ G0 < G.
• Esistenza neutro. G < G =⇒ e ∈ G e G < G =⇒ e ∈ G. Quindi
e ∈ G ∩ G0 .
• Chiusura rispetto all’operazione. Siano a, b ∈ G ∩ G0 . Dato che G, G0
sono sottogruppi, ab ∈ G, G0 . Quindi ab ∈ G ∩ G0 .
• Inverso. Sia x ∈ G ∩ G0 . Dato che x ∈ G, esiste x−1 . Dato che
G, G0 < G, x−1 ∈ G, G0 =⇒ x−1 ∈ G ∩ G0 .
Ripetiamo la dimostrazione usando il criterio semplificato per testare se un
insieme `e un sottogruppo: basta vedere che ∀ x, y ∈ G ∩ G0 xy −1 ∈ G ∩ G0 .
Abbiamo x, y ∈ G; dato che y ∈ G, y −1 ∈ G. Dato che G `e chiuso rispetto
all’operazione, xy −1 ∈ G. Analogamente, xy −1 ∈ G0 , e quindi la tesi.
10. Sia G gruppo e G, G0 < G. Allora G ∪ G0 < G ⇐⇒ G ⊂ G0 ∨ G0 ⊂ G.
Se G ⊂ G0 , abbiamo G ∪ G0 = G, e quindi G ∪ G0 `e sottogruppo di G.
Analogo procedimento e conclusione se G0 ⊂ G.
Supponiamo che G ( G0 ∨ G0 ( G, facciamo vedere che G ∪ G0 non `e un
sottogruppo di G.
Abbiamo che G ( G0 =⇒ ∃ a ∈ G − G0 e G0 ( G =⇒ ∃ b ∈ G0 − G.
Dato che a ∈ G e b ∈ G0 abbiamo a, b ∈ G ∪ G0 . Supponiamo per assurdo
che G ∪ G0 sia un sottogruppo di G. Per la chiusura dell’operazione,
∃ c ∈ G ∪ G0 t.c. ab = c ∈ G ∪ G0 . Dobbiamo avere c ∈ G o c ∈ G0 .
• Se c ∈ G, dato che a ∈ G =⇒ a−1 ∈ G, ab = c =⇒ a−1 ab = a−1 c =⇒
b = a−1 c ∈ G assurdo.
• Se c ∈ G0 si ragiona analogamente e si conclude a ∈ G0 , assurdo.
Quindi se G ∪ G0 `e un sottogruppo di G deve essere G = G0 o G0 = G
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Esercizi proposti
1. Sia G un gruppo con 4 elementi. Provare che G `e abeliano.
2. Sia G un gruppo con 5 elementi. Provare che G `e abeliano.
3. Sia G guppo e S ⊂ G. Dimostrare che
S < G ⇐⇒ ∀ x, y ∈ S xy −1 ∈ S
4. Dimostrare che S4 non `e abeliano.
5. Dimostrare che ∀ n > 2 Sn non `e abeliano.
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6. Sia G un gruppo ed esista n ∈ N, n > 2 tale che
• (ab)n = an bn .
• (ab)n+1 = an+1 bn+1 .
Dimostrare che non necessariamente G `e abeliano.
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