Funzioni
Tema C
13
1. Introduzione alle funzioni
STRUMENTI DIGITALI
APPROFONDIMENTI
RISORSE
IN GEOGEBRA
FIGURE ANIMATE
VIDEOLEZIONI
ESERCIZI INTERATTIVI
` una funzione?
Che cos’e
Dati due insiemi X e Y, si definisce relazione un procedimento che permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi dell’insieme X (insieme di partenza) uno o piu`
elementi dell’insieme Y (insieme di arrivo).
Consideriamo ora un problema e la relazione che da esso scaturisce.
PROBLEMA
Sia P un punto variabile sul lato AC di un triangolo rettangolo ABC, isoscele sulla
base BC, avente i lati obliqui di misura uguale a 1. L’area del triangolo APB varia in
funzione della posizione di P (fig. 13.1). Tramite quale relazione possiamo esprimere il legame tra la posizione di P e l’area del triangolo APB?
GLOSSARIO
MULTIMEDIALE
C
C
MATEMATICA
IN LABORATORIO
SCHEDA
PER IL RECUPERO
1
P
P
x
B
A
1
Figura 13.1
Figure dinamiche
Esplorazione della
funzione che lega l’area
del triangolo APB alla
distanza di P da A
1
Area = x
2
A
B
1
Figura 13.2
Possiamo anzitutto osservare che la posizione di P sul lato AC e` univocamente individuata una volta che si conosce la distanza x di P, per esempio, dal punto A. Tale distanza varia tra 0 (quando P coincide con AÞ e 1 (quando P coincide con CÞ: pertanto, come
insieme di partenza X della relazione che vogliamo definire consideriamo l’intervallo
[0, 1] (che rappresenta tutte le possibili distanze di P da AÞ; come insieme di arrivo Y
della relazione possiamo assumere per esempio l’insieme dei numeri reali non negativi
(dal momento che un’area e` sempre espressa da un numero non negativo).
La relazione cercata e` quella che associa a ogni x 2 ½0; 1 (ovverosia a ogni possibile
1
distanza di P da AÞ il numero x (ovverosia l’area del corrispondente triangolo APB,
2
fig. 13.2).
Questa relazione ha una particolare caratteristica: associa a ogni elemento dell’insieme di partenza uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo.
Le relazioni che godono di questa proprieta` sono di fondamentale importanza, perche´ sono i modelli adatti a descrivere come varia una grandezza (nel problema un’area) in funzione di un’altra (nel problema la distanza di P da AÞ. Proprio per questo
motivo si e` dato a tali relazioni l’appellativo di funzioni.
FUNZIONE
Sinonimi
Sono di uso corrente vari
sinonimi di «funzione». Tra
i piu` importanti vi e`
applicazione.
572
Siano X e Y due insiemi; si dice funzione da X a Y una relazione che associa a
ogni elemento di X un solo elemento di Y.
L’insieme di partenza X si chiama dominio e l’insieme di arrivo Y si chiama codominio.
Le funzioni vengono indicate con lettere dell’alfabeto, generalmente minuscole, come f, g ecc.
` 13
Unita
Esempio
Controesempi
f
X
Funzioni
g
Y
X
h
x
a
x
y
b
d
z
e
w
a
b
c
La relazione f e` una funzione da X a Y
perche´ a ogni elemento di X e`
associato un solo elemento di Y.
Y
X
a
x
y
b
y
c
z
c
z
d
w
d
w
La relazione g non e` una funzione
da X a Y, perche´ all’elemento b di X
non e` associato alcun elemento di Y.
Y
La relazione h non e` una funzione
da X a Y perche´ all’elemento d di X
sono associati due elementi di Y.
Per indicare che f e` una funzione, di dominio X e codominio Y, si scrive:
f : X ! Y, che si legge: «f e` una funzione da X a Y»
Quando e` data una funzione f, l’immagine di un elemento x appartenente al dominio della funzione (cioe` l’elemento che corrisponde a x nel codominio) si indica con
il simbolo:
f ðxÞ, che si legge «f di x».
Per esempio, in riferimento alla funzione f della tabella precedente, scriveremo che:
f ðaÞ ¼ x, f ðbÞ ¼ y,
f ðcÞ ¼ f ðdÞ ¼ z,
f ðeÞ ¼ w
Se y e` l’immagine di x tramite una certa funzione f, si puo` anche dire, simmetricamente, che x e` la controimmagine di y.
In particolare, l’insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio e`
chiamato insieme immagine (oppure semplicemente immagine) della funzione.
Per esempio, la funzione f : N ! N che associa a ogni numero naturale il suo doppio
ha come insieme immagine l’insieme dei numeri pari.
L’insieme immagine puo` essere un sottoinsieme proprio del codominio (come in quest’ultimo esempio) oppure coincidere con il codominio.
FUNZIONE BIUNIVOCA
Una funzione in cui ogni elemento del codominio ha un’unica controimmagine
si dice biunivoca.
Esempio
Controesempi
f
X
a
x
b
y
c
z
d
w
Y
La funzione f : X ! Y e` biunivoca.
h
g
X
a
Y
X
a
x
b
y
c
z
x
b
y
c
z
d
w
e
La funzione g : X ! Y non e` biunivoca
perche´ c’e` un elemento del
codominio, w, che non ha alcuna
controimmagine.
Y
w
La funzione h : X ! Y non e` biunivoca
perche´ c’e` un elemento del
codominio, z, che ha due
controimmagini.
573
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Funzioni reali di variabile reale
Attenzione!
Nella pratica, per brevita`
spesso si identifica una
funzione con la sua
equazione o con la sua
espressione analitica. Si
trovano percio` espressioni
del tipo: «la funzione
y ¼ 2x» oppure «la
funzione f ðxÞ ¼ 2x»,
sebbene queste espressioni
andrebbero sostituite piu`
correttamente con «la
funzione di equazione
y ¼ 2x» e «la funzione di
espressione analitica
f ðxÞ ¼ 2x».
Fra i vari tipi di funzioni giocano un ruolo di primo piano le funzioni che hanno come dominio e codominio sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali, chiamate funzioni reali di variabile reale.
La legge che definisce una funzione reale di variabile reale viene quasi sempre assegnata in forma algebrica, solitamente tramite una delle seguenti due scritture:
f ðxÞ ¼ ::::::::::, dove al posto dei puntini compare un’espressione nella variabile x,
detta espressione analitica della funzione;
y ¼ f ðxÞ, che viene detta equazione della funzione, dove f ðxÞ e` l’espressione analitica della funzione.
Per esempio, la funzione che associa a ogni numero reale il suo doppio puo` venire assegnata in una delle seguenti due forme:
f ðxÞ ¼ 2x
da leggere: «f di x uguale a 2x»
y ¼ 2x
da leggere: «y uguale a 2x»
ESEMPIO
Espressione analitica di una funzione da R a R
Data la funzione f ðxÞ ¼ x 2 2x þ 2, calcoliamo l’immagine di 1.
Per determinare l’immagine di 1, che si indica con il simbolo f ð1Þ, basta sostituire 1 al posto di x nell’espressione analitica della funzione:
f ð1Þ ¼ ð1Þ2 2ð1Þ þ 2 ¼ 1 þ 2 þ 2 ¼ 5
f ðxÞ
¼
x2
2x þ 2
L’immagine di 1 e` 5.
Quando, come in quest’ultimo esempio, viene assegnata l’espressione analitica (o l’equazione) di una funzione reale di variabile reale senza specificare il dominio e il codominio, si assume, per convenzione:
come dominio, l’insieme costituito da tutti i numeri reali per cui le operazioni che
compaiono nella sua espressione analitica (nella sua equazione) si possono eseguire;
come codominio, l’insieme R.
Il dominio di una funzione reale di variabile reale viene anche chiamato insieme di
definizione o insieme di esistenza della funzione.
ESEMPI
Dominio di una funzione da R a R
Sono date le funzioni definite da:
a. y ¼ 2x þ 1
b. y ¼
1
x1
Quali sono i rispettivi domini?
a. L’equazione che definisce la funzione dice che, per ottenere l’immagine dell’elemento x, bisogna raddoppiare x e aggiungere 1: comunque scelto un numero reale
x, si possono eseguire queste operazioni e si ottiene come immagine di x un altro
numero reale.
Il dominio della funzione e` quindi R.
b. L’equazione che definisce la funzione dice che, per ottenere l’immagine dell’elemento x, bisogna sottrarre da x il numero 1 e poi calcolare il reciproco di x 1: la
sottrazione e` sempre possibile in R, mentre il calcolo del reciproco e` possibile purche´ sia x 1 6¼ 0, cioe` per x 6¼ 1 (il reciproco di 0, infatti, non e` definito).
Concludiamo allora che il dominio della funzione e` R f1g.
574
` 13
Unita
Funzioni
Variabile dipendente e variabile indipendente
Nell’equazione di una funzione:
y ¼ f ðxÞ
la lettera x rappresenta un generico elemento del dominio, mentre la lettera y rappresenta l’elemento che la funzione fa corrispondere a x. Poiche´ le lettere x e y rappresentano elementi che possono variare, esse sono delle variabili; i ruoli di x e y sono
pero` diversi:
alla variabile x puo` essere assegnato un valore arbitrariamente scelto nel dominio;
alla variabile y invece non puo` essere assegnato un valore arbitrario, perche´ il valore assunto da y dipende da quello assegnato alla x.
Per questo motivo la variabile x e` chiamata variabile indipendente mentre y e` chiamata variabile dipendente.
Per esempio, consideriamo la funzione f di equazione y ¼ 2x 4; allora:
f ðxÞ
y ¼ 2x 4
variabile dipendente
variabile indipendente
Se alla x assegniamo il valore 1, la y assume di conseguenza il valore 2; se alla x assegniamo il valore 10, la y assume di conseguenza il valore 16, e cosı` via.
Funzioni polinomiali
Le funzioni definite da un’equazione del tipo:
y ¼ PðxÞ
dove PðxÞ e` un polinomio, vengono dette funzioni polinomiali. Per esempio, la funzione definita da y ¼ x3 2x2 þ 1 e` una funzione polinomiale.
Il dominio di una funzione polinomiale e` R.
Un polinomio PðxÞ, a coefficienti in R, puo` quindi essere guardato da due punti di vista:
uno puramente algebrico, come espressione che, ridotta a forma normale, e` del tipo:
PðxÞ ¼ an xn þ an1 xn1 þ ::::: þ a0
dove a0 , a1 , :::::, an sono numeri reali;
uno funzionale, considerando x come elemento variabile in R e PðxÞ come l’espressione analitica della funzione che associa a ogni x 2 R il corrispondente valore assunto dal polinomio in x.
Se due polinomi PðxÞ e QðxÞ sono uguali dal punto di vista algebrico (cioe` se ridotti a
forma normale hanno lo stesso grado e i coefficienti ordinatamente uguali), e` ovvio
che individuano la stessa funzione polinomiale. Non e` ovvio invece il viceversa, ossia: se due polinomi PðxÞ e QðxÞ individuano la stessa funzione, ossia assumono lo
stesso valore per ogni x 2 R, devono essere uguali dal punto di vista algebrico? La risposta e` affermativa, in forza del seguente teorema, che ci limitiamo a enunciare.
` dei polinomi
Principio di identita
Due polinomi PðxÞ e QðxÞ a coefficienti in R sono uguali se e solo se assumono lo stesso
valore per ogni x 2 R.
575
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Funzioni algebriche razionali
Le funzioni definite da un’equazione del tipo:
y¼
PðxÞ
QðxÞ
dove PðxÞ e QðxÞ sono due polinomi, sono dette funzioni algebriche razionali. In altre parole, le funzioni razionali sono le funzioni la cui espressione analitica e` una frazione algebrica.
Le funzioni polinomiali sono particolari funzioni razionali, in cui QðxÞ e` un polinomio
di grado zero, ossia una costante, non nulla.
Le funzioni razionali che non sono polinomiali vengono dette funzioni razionali
frazionarie (o razionali fratte). Le funzioni razionali frazionarie sono definite per
ogni x 2 R per cui il denominatore e` diverso da zero.
ESEMPIO
Approfondimento
x1
e` una funzione razionale frazionaria. Essa e` de2x þ 1
1
finita per ogni x 2 R per cui 2x þ 1 6¼ 0, cioe` per x 6¼ . Il suo dominio e` percio`
2
1
.
R 2
La funzione definita da y ¼
Classificazione delle
funzioni
Esercizi p. 598
2. Il piano cartesiano
e il grafico di una funzione
Il metodo piu` utilizzato per rappresentare una funzione reale di variabile reale e` il diagramma cartesiano, che si dice anche grafico della funzione. Prima di tracciare insieme il grafico di qualche funzione e` bene, pero`, rivedere il concetto di piano cartesiano
(che gia` conosci dai tuoi studi precedenti).
Il piano cartesiano
asse y
y
origine
uy
O
x
ux
asse x
Figura 13.3
y
P(x, y)
ordinata
P2
y
O
x P
ascissa 1
Figura 13.4
576
x
Consideriamo, in un piano, due rette perpendicolari; chiamiamo O il loro punto di intersezione e orientiamo la retta che appare orizzontale verso destra e quella che appare verticale verso l’alto (fig. 13.3).
La retta orizzontale si chiama asse x o asse delle ascisse, quella verticale asse y o asse
delle ordinate e il punto O si chiama origine. Fissiamo poi, sull’asse x e sull’asse y,
un’unita` di misura.
Un piano dove sono stati fissati un asse x, un asse y e due unita` di misura sugli assi si
dice anche piano cartesiano o piano dove e` stato fissato un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale.
Se sull’asse x e sull’asse y si sceglie la stessa unita` di misura, si dice che il sistema di riferimento e` monometrico; altrimenti il sistema di riferimento si dice dimetrico.
pffiffiffi
1
Ogni coppia ordinata di numeri reali, come per esempio ð3, 1Þ, 9,
, ð5, 2Þ,
2
puo` essere rappresentata in un piano cartesiano.
Per rappresentare nel piano cartesiano una coppia ordinata ðx, yÞ di numeri reali basta rappresentare il punto P1 che corrisponde a x sull’asse delle ascisse, il punto P2
che corrisponde a y sull’asse delle ordinate, quindi tracciare da P1 la parallela all’asse
y e da P2 la parallela all’asse x: faremo corrispondere a ðx, yÞ il punto di intersezione P
di tali parallele (fig. 13.4).
I numeri reali x e y della coppia ordinata ðx, yÞ vengono detti ascissa e ordinata del
punto corrispondente P. L’ascissa e l’ordinata di P vengono dette coordinate di P;
per indicare che il punto P ha coordinate ðx, yÞ scriveremo Pðx, yÞ.
` 13
Unita
Funzioni
Viceversa, a ogni punto P puo` essere associata una coppia ordinata ðx, yÞ di numeri reali (fig. 13.4): si tracciano per P le parallele agli assi e poi, indicati con P1 e P2 i punti in
cui tali parallele incontrano, rispettivamente, l’asse x e l’asse y, si assegna al punto P:
come ascissa, il numero reale che corrisponde a P1 sull’asse x;
come ordinata, il numero reale che corrisponde a P2 sull’asse y.
Si instaura cosı` una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali: infatti, a ogni coppia ordinata corrisponde un unico punto del
piano e, viceversa, a ogni punto del piano corrisponde un’unica coppia ordinata.
Nella fig. 13.5 abbiamo rappresentato, per esempio, i punti:
3
Að2, 3Þ;
Bð4, 2Þ; C , 3 ; Dð1, 2Þ
2
y
y
A
3
B
II quadrante
x < 0, y > 0
2
3
2
I quadrante
x > 0, y > 0
1
O
–4
–2
x
O
x
2
III quadrante IV quadrante
x < 0, y < 0
x > 0, y < 0
D
–3
C
Figura 13.5
Figura 13.6
Il piano resta diviso dagli assi in quattro angoli; ciascuno di questi angoli, esclusi i punti
appartenenti agli assi cartesiani, viene detto quadrante. I quadranti sono convenzionalmente numerati dal primo in alto a destra procedendo in senso antiorario (fig. 13.6).
Il grafico di una funzione reale di variabile reale
Tracciamo ora insieme il grafico di una funzione.
ESEMPIO
Tracciare il grafico di una funzione per punti
Tracciamo per punti il grafico della funzione y ¼ 1o passo: costruiamo una tabella
di valori per x e y
x
y
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2
x .
2
2o passo: rappresentiamo i punti
corrispondenti sul piano cartesiano
y
3o passo: congiungiamo
i punti con una linea continua
y
ð4Þ2 ¼ 8
ð3Þ2 ¼ 9
2
O
O
x
x
ð2Þ2 ¼ 2
ð1Þ2 ¼ 1
2
y = – 1 x2
2
ð0Þ2 ¼ 0
ð1Þ2 ¼ 1
2
ð2Þ2 ¼ 2
ð3Þ2 ¼ 9
2
ð4Þ2 ¼ 8
577
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Cio` che contraddistingue, nel piano cartesiano, il grafico di una funzione (reale di
variabile reale) e` il fatto che ogni retta verticale (parallela all’asse yÞ lo interseca al
massimo in un punto (tale proprieta` segue dalla definizione stessa di funzione).
Per esempio, la curva della figura a sinistra nella seguente tabella e` il grafico di una
funzione; invece la curva della figura a destra non lo e` perche´, come e` mostrato nel
disegno, ci sono rette verticali che intersecano la curva in due punti distinti.
Esempio
Controesempio
y
y
x
O
O
La curva in rosso e` tagliata da ogni retta
verticale (come le due tratteggiate in
azzurro) in un solo punto: quindi si tratta
del grafico di una funzione.
x
La curva in rosso e` tagliata dalla retta
verticale tratteggiata in azzurro in due
punti: quindi non si tratta del grafico di una
funzione.
E` importante sapere interpretare correttamente il grafico di una funzione, individuando in particolare gli intervalli dove la funzione cresce e quelli dove decresce.
Consideriamo per esempio il grafico della funzione in fig. 13.7.
y
D
E
5
10
B
A
–7
2
–4
O
x
C
Figura 13.7
Osserviamo che:
Esercizi p. 600
negli intervalli [7,4] e [2,5], al crescere dei valori di x crescono anche i corrispondenti valori di y: la funzione si dice percio` crescente in ciascuno di questi due intervalli;
nell’intervallo [4, 2], invece, al crescere dei valori di x i corrispondenti valori di y
decrescono: la funzione si dice in questo caso decrescente;
nell’intervallo [5, 10], infine, la funzione e` costante.
` diretta
3. Le funzioni di proporzionalita
e inversa
` diretta
Il grafico della funzione di proporzionalita
Consideriamo il seguente problema.
PROBLEMA
Sia y la misura del perimetro di un quadrato il cui lato misura x. Quale proprieta` lega le due variabili y e x?
578
` 13
Unita
Funzioni
Abbiamo che:
se x ¼ 2, allora y ¼ 4 2 ¼ 8
se x ¼ 3, allora y ¼ 4 3 ¼ 12 e cosı` via ...
3
2
La seguente tabella esprime alcuni valori di y in funzione di quelli di x:
x
2
3
4
5
6
y
8
12
16
20
24
Come puoi notare, il rapporto tra i valori di y e i corrispondenti valori di x e` costante
e uguale 4:
y
8
12
16
20
24
¼
¼
¼
¼
¼
¼4
x
2
3
4
5
6
Le due variabili y e x del problema iniziale sono dunque legate dalla seguente proprieta`: il loro quoziente e` costante.
` DIRETTA
PROPORZIONALITA
Due variabili x e y, tali che il rapporto tra y e x si mantiene costante (diverso da
zero), si dicono direttamente proporzionali.
y
¼ 4 si puo` scrivere nella forma equivalente y ¼ 4x. Piu` in gex
nerale, se x e y sono due variabili direttamente proporzionali, la funzione che espriSe x 6¼ 0, la relazione
mey in funzione di x ha equazione:
y ¼ kx
dove k e` la costante di proporzionalita`. Cio` motiva la seguente definizione.
` DIRETTA
FUNZIONE DI PROPORZIONALITA
Figure dinamiche
La funzione di equazione y ¼ kx, dove k e` una costante reale (diversa da zero), e`
detta funzione di proporzionalita` diretta.
Grafico di una funzione
di proporzionalita` diretta
Qual e` il grafico delle funzioni di proporzionalita` diretta?
Tracciamo, per esempio, il grafico della funzione y ¼ 4x (presciendendo dalla situazione geometrica da cui la funzione e` scaturita, che imporrebbe la condizione x > 0).
Costruiamo la tabella qui sotto a sinistra e rappresentiamo i punti corrispondenti: otteniamo il grafico in fig. 13.8.
y
x
y
1
4
1
2
2
0
0
1
2
2
1
4
y = 4x
O
x
Figura 13.8
Come puoi notare, abbiamo ottenuto il grafico di una retta passante per l’origine.
Questo risultato vale in generale: si potrebbe dimostrare che il grafico di ogni funzione di proporzionalita` diretta e` una retta passante per l’origine.
Il dominio e l’immagine di una funzione di proporzionalita` diretta coincidono sempre con R.
579
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
` inversa
Il grafico della funzione di proporzionalita
PROBLEMA
Consideriamo l’insieme dei rettangoli che hanno area uguale a 12. Indichiamo con
x e y, rispettivamente, la misura della base e dell’altezza di un generico rettangolo
di questo insieme. Quale proprieta` lega le due variabili y e x?
Disegniamo in un piano cartesiano, nel primo quadrante, alcuni rettangoli (con due
lati sugli assi cartesiani) che soddisfano questa condizione (fig. 13.9): abbiamo disegnato i rettangoli le cui basi misurano 1, 2, 3, 4, 6 e 12; le rispettive altezze misurano
12, 6, 4, 3, 2 e 1.
Per ogni rettangolo di questo insieme, risulta x y ¼ 12. Le due variabili x e y del problema iniziale sono dunque legate dalla seguente proprieta`: il loro prodotto si mantiene
costante.
y
12
A
B
6
C
4
D
3
E
2
1
Figura 13.9
O
F
1 2
3
4
6
12
x
` INVERSA
PROPORZIONALITA
Due variabili x e y, tali che il loro prodotto si mantiene costante (diverso da zero), si dicono inversamente proporzionali.
12
.
x
Piu` in generale, se x e y sono due variabili inversamente proporzionali, la funzione
che esprime y in funzione di x e` definita dall’equazione
Se x 6¼ 0, la relazione x y ¼ 12 si puo` scrivere nella forma equivalente y ¼
y¼
k
x
dove k e` la costante di proporzionalita`. Cio` motiva la seguente definizione.
Figure dinamiche
Grafico di una funzione
di proporzionalita` inversa
` INVERSA
FUNZIONE DI PROPORZIONALITA
k
, dove k e` una costante diversa da zero, e` detta
x
funzione di proporzionalita` inversa.
La funzione di equazione y ¼
Qual e` il grafico di una funzione di proporzionalita` inversa?
Un’idea intuitiva emerge dall’osservazione della curva (disegnata in fig. 13.10) su cui
si dispongono i vertici (non appartenenti agli assi) dei rettangoli che abbiamo disegnato nella fig. 13.9.
580
` 13
Unita
Funzioni
y
A
12
B
6
C
4
D
3
E
2
1
F
O
Figura 13.10
1 2
3
4
6
x
12
Per approfondire meglio l’analisi del grafico di una funzione di proporzionalita` inver4
sa tracciamo per punti, per esempio, il grafico della funzione y ¼ .
x
Costruiamo una tabella e tracciamo il grafico che se ne ricava (fig. 13.11).
x
y
4
1
2
2
1
4
1
4
2
2
4
1
y
x
O
4
y=
x
Figura 13.11
k
In generale, il grafico di una funzione di proporzionalita` inversa di equazione y ¼ ,
x
k
con k > 0, e` simile a quello in fig. 13.12; se invece e` k < 0, il grafico di y ¼ e` simile a
x
quello in fig. 13.13.
y
y
x
O
x
k k>0
y = ,
x
Figura 13.12
O
k k<0
y = ,
x
Figura 13.13
Il grafico di una funzione di proporzionalita` inversa e` una curva costituita da due rami separati, detta iperbole equilatera. Gli assi cartesiani hanno una proprieta` particolare rispetto al grafico di un’iperbole equilatera: sono infatti rette cui il grafico dell’iperbole si
avvicina indefinitamente, senza pero` che tali rette abbiano mai punti in comune con l’iperbole. Per esprimere questo fatto si dice che essi sono asintoti per l’iperbole.
k
La funzione y ¼ e` definita purche´ sia x 6¼ 0, quindi una funzione di proporzionalita`
x
inversa ha come dominio l’insieme R f0g. Inoltre, al variare di x, la variabile y assume
tutti i possibili valori reali, positivi o negativi, eccetto il valore 0 (ricorda che l’asse x e` un
asintoto!): pertanto l’immagine di una funzione di proporzionalita` inversa e` R f0g.
581
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
` diretta e inversa
Problemi di proporzionalita
PROBLEMA SVOLTO 1
Sulla Luna
Il peso di un corpo sulla Luna e` direttamente proporzionale al peso dello stesso corpo sulla Terra.
Un astronauta di 90 kg peserebbe sulla Luna 15 kg. Quanto peserebbe sulla Luna un astronauta di 84 kg?
FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA
Lasciamo a te individuare i dati e l’obiettivo del problema.
COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA
Indichiamo con y il peso (in kilogrammi), sulla Luna, di un astronauta il cui peso sulla Terra e` uguale a x (in kilogrammi). Dal momento che y e` direttamente proporzionale a x, la formula che lega y e x e` del tipo y ¼ kx.
Possiamo determinare la costante di proporzionalita` k in base al fatto che quando x ¼ 90 e` y ¼ 15.
y ¼ kx
Legame tra y e x
15
1
¼
15 ¼ k 90 ) k ¼
90
6
Sostituendo 15 a y e 90 a x e ricavando k
Pertanto il modello algebrico del nostro problema e` la funzione y ¼
1
x.
6
ESEGUIAMO I CALCOLI
Per determinare il peso sulla Luna di un astronauta di 84 kg, basta determinare il valore di y quando x e` uguale a 84:
y¼
1
84 ¼ 14
6
RISPONDIAMO
Un astronauta di 84 kg peserebbe sulla Luna 14 kg.
PROBLEMA SVOLTO 2
Raggi ultravioletti
L’indice UV dei raggi ultravioletti indica l’intensita` dei raggi solari. Per una pelle piuttosto sensibile, un indice UV
uguale a 7 causa una scottatura in 10 minuti. Il tempo di esposizione ai raggi solari che determina una scottatura e` inversamente proporzionale all’indice UV dei raggi ultravioletti. Quanto tempo impieghera` una pelle piuttosto sensibile
a scottarsi in una giornata in cui l’indice dei raggi UV e` 2?
FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA
Lasciamo a te individuare i dati e l’obiettivo del problema.
COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA
Indichiamo con y il tempo (in minuti) necessario a scottarsi quando l’indice UV e` uguale a x. Dal momento che y e` ink
versamente proporzionale a x, la formula che lega y e x e` del tipo y ¼ , dove k e` la costante di proporzionalita`.
x
Possiamo determinare la costante di proporzionalita` k in base al fatto che quando x ¼ 7 e` y ¼ 10.
k
Legame tra y e x
y¼
x
k
) k ¼ 10 7 ¼ 70
10 ¼
Sostituendo 10 a y e 7 a x e ricavando k
7
70
.
Pertanto i il modello algebrico del nostro problema e` la funzione y ¼
x
ESEGUIAMO I CALCOLI
Per determinare il tempo necessario a scottarsi quando l’indice UV e` 2, basta determinare il valore di y quando x e`
uguale a 2:
y¼
70
¼ 35
2
RISPONDIAMO
Se l’indice UV e` 2, il tempo necessario a scottarsi e` di 35 minuti.
Esercizi p. 607
582
` 13
Unita
Funzioni
4. Le funzioni lineari
Abbiamo visto che il grafico di una funzione di proporzionalita` diretta e` una retta. Introduciamo ora una classe piu` ampia di funzioni che hanno come grafico una retta,
comprendente le funzioni di proporzionalita` diretta come caso particolare.
FUNZIONE LINEARE
Una funzione di equazione y ¼ mx þ q, dove m e q possono essere due numeri
reali qualsiasi, e` detta funzione lineare.
Il grafico della funzione y ¼ mx þ q, come abbiamo anticipato, e` sempre una retta; l’equazione y ¼ mx þ q si dice equazione di questa retta e il coefficiente m si chiama
coefficiente angolare della retta.
ESEMPIO
Tracciamo i grafici delle due funzioni lineari:
y ¼ 3x 2
e
y ¼ 3x
Figure dinamiche
Costruendo delle tabelle di valori per x e y si ottengono i grafici delle funzioni in figura. Osserviamo che il grafico di y ¼ 3 x 2 si puo` ottenere diminuendo di 2 l’ordinata di ciascun punto della retta di equazione y ¼ 3 x; si intuisce percio` che le
due rette y ¼ 3x 2 e y ¼ 3 x non possono avere punti in comune, quindi sono parallele (cio` si puo` dedurre anche dalle considerazioni geometriche svolte nella didascalia della figura).
y
Attenzione!
C
y = 3x – 2
B
O
y = 3x
Grafico di una funzione
lineare
x
A
I lati OA e BC del quadrilatero OABC sono paralleli all’asse y, quindi paralleli tra loro, inoltre
OA e BC misurano entrambi 2, quindi sono congruenti.
Ne segue che OABC e` un parallelogramma, quindi le due rette AB e OC sono parallele.
Anche se il grafico della
funzione y ¼ 3 x 2 e` una
retta, due variabili y e x
legate dalla relazione
y ¼ 3 x 2 non sono
direttamente proporzionali
perche´ la retta che
rappresenta la funzione
y ¼ 3 x 2 non passa per
l’origine. Sono invece
direttamente proporzionali
due variabili x e y legate
dalla relazione y ¼ 3 x.
Le considerazioni svolte nell’esempio precedente possono ripetersi similmente per
due funzioni di equazioni y ¼ mx þ q e y ¼ mx, qualsiasi sia m 2 R. Possiamo concludere percio` che il grafico della funzione y ¼ mx þ q e` una retta parallela alla retta di
equazione y ¼ mx. Di conseguenza:
RETTE PARALLELE
Due rette aventi lo stesso coefficiente angolare sono parallele.
Approfondiremo lo studio delle funzioni lineari nel prossimo volume del corso. Per
ora ci soffermiamo ancora soltanto sull’analisi di alcuni casi particolari:
se q ¼ 0, l’equazione che definisce una funzione lineare, y ¼ mx þ q, diventa
y ¼ mx, che e` l’equazione di una funzione di proporzionalita` diretta;
583
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
se m ¼ 0, l’equazione che definisce una funzione lineare, y ¼ mx þ q, diventa
y ¼ q. Le funzioni di questo tipo sono dette funzioni costanti e hanno come grafici rette orizzontali.
y
y=1
Per esempio:
O
y = –2
Figura 13.14
x
– la funzione y ¼ 2 ha come grafico la retta orizzontale tracciata in blu in
fig. 13.14, i cui punti hanno ordinata 2;
– la funzione y ¼ 1 ha come grafico la retta orizzontale tracciata in rosso in
fig. 13.14, i cui punti hanno ordinata 1.
Esercizi p. 610
`
5. Le funzioni di proporzionalita
al quadrato e al cubo
` quadratica
Il grafico della funzione di proporzionalita
Consideriamo il seguente problema.
PROBLEMA
Sia A l’area di un cerchio di raggio r. Quale proprieta` lega le due variabili A ed r?
Sappiamo che A ¼ r 2 , quindi
A
¼
r2
ovvero il rapporto tra l’area di un cerchio e il quadrato del suo raggio si mantiene costante, uguale a . In altre parole, l’area di un cerchio e` direttamente proporzionale al
quadrato del raggio.
In generale si da` la seguente definizione.
` QUADRATICA
PROPORZIONALITA
Una variabile y si dice proporzionale al quadrato della variabile x quando, per
ogni x 6¼ 0, si mantiene costante il rapporto:
y
x2
Il valore costante di questo rapporto e` la costante di proporzionalita`.
Due variabili y e x; con y proporzionale al quadrato di x e costante di proporzionalita`
a, sono legate dalla relazione:
y
¼a
x2
che, per x 6¼ 0, equivale a y ¼ ax2 .
` QUADRATICA
FUNZIONE DI PROPORZIONALITA
Figure dinamiche
Grafico di una funzione
di proporzionalita`
quadratica
La funzione definita da y ¼ ax2 , essendo a una costante reale diversa da zero, e`
detta funzione di proporzionalita` quadratica.
Il grafico della funzione y ¼ ax2 , con a 6¼ 0, e` una curva, detta parabola.
Qual e` il grafico di una parabola? Cominciamo con il tracciare, per esempio per punti,
1
1
(fig. 13.15) e a ¼ i grafici delle funzioni corrispondenti ai valori a ¼
2
2
(fig. 13.16).
584
` 13
Unita
x
3
y¼
1 2
x
2
9
2
2
2
1
1
2
0
0
1
1
2
2
2
3
9
2
x
y¼
3
y
1
y = x2
2
9
2
2
1
2
O 1 2 3
–3 –2 –1
x
Figura 13.15
1 2
x
2
9
2
2
2
1
0
Funzioni
y
–3 –2 –1
–9
2
0
y = – 1 x2
2
1
2
2
2
3
x
–2
1
2
1
O 1 2 3
–1
2
Figura 13.16
9
2
I grafici delle funzioni definite da un’equazione del tipo y ¼ ax2 , con a > 0, sono si1
mili a quello di y ¼ x2 ; cio` che cambia e` soltanto «l’apertura» della parabola che,
2
come puoi notare dalla fig.13.17, dipende dal coefficiente a: al crescere di a si ottengono parabole sempre meno «aperte».
Analogamente, i grafici delle funzioni definite da un’equazione del tipo y ¼ ax2 , con
1
a < 0, sono simili a quello di y ¼ x2 ; via via che a assume valori negativi piu` gran2
di in valore assoluto si ottengono parabole sempre meno «aperte» (fig. 13.18).
a=1
y
a=2
y = ax 2
a<0
1
a=
2
y
O
x
1
a=
3
y = ax 2
a>0
Figura 13.17
O
1
a = –
3
1
a = –
a = –2 a = –1 2
x
Figura 13.18
Le parabole grafico della funzione y ¼ ax2 hanno come asse di simmetria l’asse y e come vertice l’origine: se a > 0 il vertice e` il punto della parabola di ordinata minima,
se a < 0 il vertice e` il punto della parabola di ordinata massima.
585
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Se a > 0, la parabola che rappresenta il grafico della funzione y ¼ ax2 e` tutta contenuta
nel semipiano delle ordinate non negative (fig. 13.17): si dice in questo caso che la parabola ha la concavita` rivolta verso l’alto. Se invece a < 0, il grafico della parabola e`
tutto contenuto nel semipiano delle ordinate non positive (fig. 13.18): in tal caso, si dice che la parabola ha la concavita` rivolta verso il basso.
` cubica
Il grafico della funzione di proporzionalita
Consideriamo il seguente problema.
PROBLEMA
Sia V il volume di una sfera di raggio r. Quale proprieta` lega le due variabili V ed r?
Sappiamo che V ¼
4 3
r , quindi:
3
V
4
¼ r3
3
ovvero il rapporto tra il volume di una sfera e il cubo del suo raggio si mantiene co4
stante, uguale a . In altre parole, il volume di una sfera e` direttamente proporzionale
3
al cubo del raggio.
` CUBICA
PROPORZIONALITA
Una variabile y si dice proporzionale al cubo della variabile x quando, per ogni
x 6¼ 0, si mantiene costante il rapporto:
y
x3
Il valore costante di questo rapporto e` la costante di proporzionalita`.
Due variabili y e x, con y proporzionale al cubo di x e costante di proporzionalita` a,
sono legate dalla relazione:
y
¼a
x3
che, per x 6¼ 0, equivale a y ¼ ax3 .
` CUBICA
FUNZIONE DI PROPORZIONALITA
La funzione definita da y ¼ ax3 , essendo a una costante reale diversa da zero, e`
detta funzione di proporzionalita` cubica.
Figure dinamiche
Grafico di una funzione
di proporzionalita` cubica
Per capire qual e` il grafico della funzione di proporzionalita` cubica, tracciamo per
1
punti i grafici delle due funzioni corrispondenti alle costanti a ¼
(fig. 13.19) e
2
1
a ¼ (fig. 13.20).
2
x
1 3
x
2
y¼
2
4
1
1
2
0
0
1
1
2
2
4
y
1
y = x3
2
4
–2 –1
1
2
O1 2
–1
2
y¼
2
4
1
1
2
0
1 3
x
2
0
1
2
1
2
4
–4
Figura 13.19
586
x
x
y
4
1
2
1 2
–2 –1 O
x
–1
2
–4
Figura 13.20
y = – 1 x3
2
` 13
Unita
Funzioni
I grafici delle funzioni di equazione y ¼ ax3 con a > 0 (fig. 13.21) sono simili al grafi1
co di y ¼ x3 , mentre i grafici delle funzioni di equazione y ¼ ax3 , con a < 0, sono
2
1
simili al grafico di y ¼ x3 (fig. 13.22). Puoi osservare che i grafici delle funzioni di
2
proporzionalita` cubica sono simmetrici rispetto all’origine.
y
y
y = ax3
a<0
y = ax3
a>0
O
x
Figura 13.21
x
O
Figura 13.22
` al quadrato e al cubo
Problemi di proporzionalita
Risolviamo insieme un problema che ha come modello algebrico una funzione di
proporzionalita` quadratica.
PROBLEMA SVOLTO 3
Area di un triangolo
Sia ABCD un quadrato e siano M ed N, rispettivamente, i punti medi di CD e di AD.
Determinare la funzione che rappresenta l’area del triangolo BMN, espressa in funzione della misura del lato del quadrato ABCD. Tracciare il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo
in evidenza il tratto del grafico relativo al problema geometrico. Quale tipo di proporzionalita` lega l’area del triangolo
BMN alla misura del lato del quadrato ABCD?
FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA
Dati
ABCD e` un quadrato
M e` il punto medio di CD ed N e` il punto medio di AD
Obiettivo
Area del triangolo BMN espressa in funzione di AB
D
x
2
M
x
2
C
x
2
N
x
x
2
A
x
B
COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA
Dal momento che il problema richiede di determinare l’area di BMN espressa in funzione di AB, indichiamo con x (variabile indipendente) la misura di AB e con y (variabile dipendente) l’area del triangolo BMN.
Poiche´ x rappresenta la misura di un lato di un quadrato, dovra` essere x > 0.
Abbiamo che:
y ¼ Area (ABCD) Area (ABN) Area (BCM) Area (MDN)
quindi:
y ¼ x2 1
x
1
x
1 x x
1
1
1
3
x x = x2 x2 x2 x2 ¼ x2
2
2
2
2
2 2 2
4
4
8
8
Il modello algebrico del nostro problema e` quindi la funzione:
y¼
3 2
x
8
con x > 0
587
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
TRACCIAMO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE
3 2
x , tralasciando inizialmente la limitazio8
ne x > 0 imposta dalla situazione geometrica, come indicato nel testo del problema.
Si ottiene la parabola in figura; la parte che rappresenta il problema, cioe` l’arco
per x > 0, e` stato messo in evidenza utilizzando la linea continua.
Tracciamo per punti il grafico di y ¼
y
3
y = x2
8
RISPONDIAMO
L’area del triangolo BMN e` proporzionale al quadrato della misura di AB, con
3
costante di proporzionalita` uguale a .
8
x
O
Esercizi p. 612
6. Funzioni ed equazioni
COLLEGHIAMO I CONCETTI
Funzioni ed equazioni
Matematica in laboratorio
Interpretazione grafica
di un’equazione
In questo paragrafo gettiamo un ponte tra due degli argomenti che abbiamo trattato
in questo tema: le equazioni e le funzioni.
u Supponiamo che una funzione f abbia il grafico tracciato nella figura qui sotto.
In corrispondenza delle ascisse dei tre puny
ti di intersezione del grafico con l’asse x,
y = f (x)
ossia: A(–6, 0), B(2, 0) e C(4, 0), sara`:
f ð6Þ ¼ 0, f ð2Þ ¼ 0, f ð4Þ ¼ 0
In generale, le ascisse dei punti di intersezione del grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ
con l’asse x sono i valori di x per cui
f ðxÞ ¼ 0, cioe` le soluzioni dell’equazione:
f ðxÞ ¼ 0
A
–6
O
B C
2
4
x
Tali valori di x si dicono zeri della funzione.
Ecco quindi che abbiamo scoperto un legame tra funzioni ed equazioni: il problema
della ricerca degli zeri di una funzione si traduce nella risoluzione di un’equazione.
u Viceversa, data l’equazione f ðxÞ ¼ 0, le osservazioni precedenti ci consentono di
interpretarla graficamente. Possiamo infatti tracciare il grafico della funzione
y ¼ f ðxÞ e interpretare le soluzioni dell’equazione come zeri di tale funzione.
Poiche´ finora sappiamo risolvere soltanto equazioni di primo grado, esemplifichiamo
questi concetti in riferimento alle equazioni e alle funzioni lineari.
Dalle funzioni alle equazioni
Nei paragrafi precedenti abbiamo tracciato per punti i grafici di alcune funzioni lineari e abbiamo osservato che si ottengono, come grafici, delle rette.
In base a quanto abbiamo detto poc’anzi, siamo ora in grado di affrontare il problema
della ricerca degli zeri di una funzione lineare.
ESEMPIO
Ricerca dello zero di una funzione lineare
3
x þ 2, individuando lo zero della fun2
zione e il punto di intersezione con l’asse x.
Tracciamo il grafico della funzione y ¼ 588
` 13
Unita
Grafico
Costruiamo una tabella di valori per x e y e tracciamo il grafico corrispondente.
x
y
ðx, yÞ
2
5
ð2, 5Þ
0
2
ð0, 2Þ
2
1
ð2, 1Þ
Scegliamo x
Rifletti
Generalizzando il risultato
che abbiamo trovato
nell’esempio a fianco, la
funzione lineare
y ¼ mx þ q, con m 6¼ 0, ha
come unico zero la
soluzione dell’equazione
q
mx þ q ¼ 0, ossia x ¼ .
m
Il grafico della funzione
y ¼ mx þ q, con m 6¼ 0,
interseca dunque l’asse x
nel punto di coordinate
q
,0 .
m
y
(–2, 5)
(0, 2)
O
Calcoliamo y
Determinare l’ascissa
di P equivale a
determinare lo zero
della funzione
P
x
(2, –1)
3
y = – x +2
2
Determiniamo ðx, yÞ
Disegniamo il grafico
Funzioni
Zero e punto di intersezione con l’asse x
Per determinare lo zero della funzione, cioe` l’ascissa del suo punto di intersezione P con l’asse x, risolviamo l’equazione:
3
4
x þ 2 ¼ 0 ) 3x þ 4 ¼ 0 ) x ¼
2
3
4
4
Ne deduciamo che e` lo zero della funzione e che P
,0 .
3
3
Figure dinamiche
Dalle equazioni alle funzioni
Invertiamo ora il punto di vista e, tracciando i grafici di opportune funzioni, interpretiamo graficamente alcune equazioni lineari.
1
xþ3¼0
2
Equazione
Interpretazione
grafica
La soluzione dell’equazione e`
l’ascissa del punto di intersezione
P tra la retta di equazione
1
y ¼ x þ 3 e l’asse x.
2
Interpretazione grafica
di una equazione lineare
1
xþ3¼2
2
La soluzione dell’equazione e`
l’ascissa del punto di intersezione
P tra le rette di equazioni
1
y ¼ x þ 3 e y ¼ 2.
2
La soluzione dell’equazione e`
l’ascissa del punto di intersezione
P tra le due rette di equazioni
3
y ¼ x þ 4 e y ¼ x 2.
4
y
3
xþ4¼x2
4
y
y
1
y = x +3
2
y=2
1
y =– x +3
2
P
y = x –2
3
y =– x+4
4
P
P
x
x
–2
O
x
O
xP
O
Deduzioni
dall’analisi del
grafico
Dall’analisi del grafico e`
immediato riconoscere che
l’ascissa di P e` 6, quindi la
soluzione dell’equazione
considerata e` x ¼ 6.
Dall’analisi del grafico e`
immediato riconoscere che
l’ascissa di P e` 2, quindi la
soluzione dell’equazione
considerata e` x ¼ 2.
In questo caso l’ascissa di P non e`
individuabile esattamente dal
grafico perche´ non e` un numero
intero. Dall’analisi del grafico
possiamo solo dedurre che deve
essere compresa tra 3 e 4.
Osservazioni
Puoi verificare, risolvendo
l’equazione algebricamente, il
risultato cui siamo giunti.
Puoi verificare, risolvendo
l’equazione algebricamente, il
risultato cui siamo giunti.
Risolvendo l’equazione
algebricamente si trova la soluzione
24
x¼
’ 3,4 (che, coerentemente
7
con quanto previsto, appartiene
all’intervallo (3, 4)).
Esercizi p. 613
589
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
7. Funzioni e disequazioni
COLLEGHIAMO I CONCETTI
Funzioni e disequazioni
Matematica in laboratorio
Interpretazione grafica
di una disequazione
Similmente a quanto fatto nel paragrafo precedente, in questo paragrafo vogliamo
gettare un ponte tra disequazioni e funzioni.
Riconsideriamo la funzione f avente il grafico riprodotto in figura.
y
y = f (x)
A
–6
O
B C
2
4
x
u Una funzione y ¼ f ðxÞ si dice positiva (negativa) in corrispondenza dei valori di x
per cui il grafico della funzione appartiene al semipiano delle ordinate positive (negative); per esempio, la funzione f in figura e` positiva per:
6 < x < 2 _ x > 4
ed e` negativa per:
x < 6 _ 2 < x < 4
Le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione e` positiva (negativa) sono i valori di x che sono soluzioni della disequazione:
f ðxÞ > 0
(o la disequazione f ðxÞ < 0Þ
Ecco quindi che abbiamo scoperto un legame tra funzioni e disequazioni: il problema di stabilire quando una funzione e` positiva o negativa, ossia di studiare il segno di
una funzione, si traduce nella risoluzione di una disequazione.
u Viceversa, data la disequazione:
f ðxÞ > 0
(o la disequazione f ðxÞ < 0Þ
le osservazioni precedenti ci consentono di interpretarla graficamente. Possiamo infatti tracciare il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ e interpretare le soluzioni della disequazione come le ascisse dei punti del grafico che hanno ordinate positive (negative).
Poiche´ finora sappiamo risolvere soltanto disequazioni di primo grado, esemplifichiamo questi concetti in riferimento alle disequazioni e alle funzioni lineari.
Dalle funzioni alle disequazioni
In base a quanto abbiamo detto poc’anzi, siamo ora in grado di stabilire per quali valori di x una funzione lineare e` positiva o negativa.
590
` 13
Unita
ESEMPIO
Funzioni
Studio del segno di una funzione lineare
Per quali valori di x la funzione y ¼ 2
x þ 3 e` positiva?
3
y
2
x þ 3. La funzione e` positiva quando e` soddisfatta la di3
sequazione f ðxÞ > 0, che risolviamo:
In questo caso e` f ðxÞ ¼ f ðxÞ > 0 ) 2
y = – x +3
3
2
x þ 3 > 0 ) 2x þ 9 > 0 )
3
) 2x > 9 ) x <
O
x<
9
2
x
9
2
9
2
Il grafico della funzione conferma il risultato ottenuto.
Figure dinamiche
Dalle disequazioni alle funzioni
Interpretazione grafica di
una disequazione lineare
Invertiamo ora il punto di vista e, tracciando i grafici di opportune funzioni, interpretiamo graficamente alcune disequazioni lineari.
1
xþ23
2
Disequazione
3 2x 0
Interpretazione
grafica
Le soluzioni della disequazione
corrispondono ai valori di x per
cui il grafico della funzione
y ¼ 3 2x e` al di sopra dell’asse
x (che ha equazione y ¼ 0) o lo
interseca. Dalla figura qui sotto
deduciamo allora che la
disequazione e` soddisfatta per
x xP , essendo xP l’ascissa del
punto P in cui il grafico interseca
l’asse x.
Le soluzioni della disequazione
corrispondono ai valori di x per
cui il grafico della funzione
1
y ¼ x þ 2 (in blu in figura) e`
2
al di sotto del grafico di y ¼ 3 (in
rosso in figura) o lo interseca.
Dalla figura qui sotto deduciamo
allora che la disequazione e`
soddisfatta per x xP , essendo
xP l’ascissa del punto di
intersezione P dei due grafici.
y
y
1
O x
P
Conclusione
3
2
La disequazione e` soddisfatta
per:
3
2
y = x +1
P
y = 3– 1 x
2
x
x
L’ascissa di P si puo` ricavare
risolvendo l’equazione
3 2x ¼ 0. Si ottiene:
x
di quello della funzione
1
y ¼ 3 x (in blu). Dalla figura
2
qui sotto deduciamo allora che la
disequazione e` soddisfatta per
x > xP , essendo xP l’ascissa del
punto di intersezione P dei due
grafici.
y=3
P
xP
x
xP
O
O
x > xP
x ≥ xP
x ≤ xP
xP ¼
1
x
2
Le soluzioni della disequazione
corrispondono ai valori di x per
cui il grafico della funzione
y ¼ x þ 1 (in rosso) e` al di sopra
y
1
y = – x +2
2
P
y = 3 – 2x
Determinazione
dell’ascissa di P
xþ1>3
L’ascissa di P (essendo un
numero intero) si puo` dedurre in
questo caso direttamente dalla
figura:
xP ¼ 2
La disequazione e` soddisfatta
per:
x 2
L’ascissa di P si puo` ottenere
risolvendo l’equazione
xþ1¼3
xP ¼
1
x. Si ottiene:
2
4
3
La disequazione e` soddisfatta
per:
x>
4
3
Esercizi p. 616
591
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
8. Funzione inversa e funzione composta
Funzione inversa
Consideriamo la funzione f, rappresentata nella fig. 13.23, e costruiamo la relazione
g, definita fra l’insieme immagine I di f e l’insieme A, che si ottiene invertendo il verso delle frecce (fig. 13.24).
f
A
g
B
a
A
i
b
i
b
l
c
B
a
c
l
g
d
g
d
e
h
e
Figura 13.23
I
h
Figura 13.24
La relazione g associa a ciascun elemento di I le sue controimmagini nella f.
La relazione g non e` una funzione, perche´ ci sono elementi di I da cui parte piu` di una
freccia. Come deve essere f affinche´ g sia una funzione?
In base a come abbiamo definito la relazione g, occorre che da ogni elemento di I esca
una e una sola freccia, ovvero ogni elemento di I deve avere un’unica controimmagine nella f . In tal caso, la relazione g definisce una nuova funzione, che si chiama funzione inversa di f .
Attenzione!
FUNZIONE INVERTIBILE E FUNZIONE INVERSA
1. In questo contesto il
simbolo f 1 indica solo la
funzione inversa di f, non
ha il significato di «f
1
elevato a 1», cioe` di .
f
Una funzione f si dice invertibile se e solo se ogni elemento del suo insieme immagine ha una unica controimmagine; in tal caso si chiama funzione inversa
di f, e si indica con il simbolo f 1 , la funzione che associa, a ciascun elemento
dell’insieme immagine la sua (unica) controimmagine.
2. La condizione di
invertibilita` equivale alla
richiesta che ci sia una
corrispondenza biunivoca tra
il dominio della funzione e
il suo insieme immagine.
Il dominio di f 1 e` dunque l’insieme immagine di f , mentre l’insieme immagine di
f 1 e` il dominio di f .
Per le funzioni reali di variabile reale, la condizione di invertibilita` (ossia di unicita`
della controimmagine) equivale alla richiesta che ogni retta orizzontale (ossia parallela all’asse x) intersechi il grafico della funzione al massimo in un punto
(figg. 13.25 e 13.26).
y
y
y = x2
y = 2x – 1
O
x
O
x
Figura 13.25 La funzione y ¼ 2x 1 e`
Figura 13.26 La funzione y ¼ x 2 non e`
invertibile, perche´ soddisfa il «test» delle rette
orizzontali.
invertibile, perche´ esistono rette orizzontali
che intersecano il suo grafico in due punti.
Supponiamo che y ¼ f ðxÞ sia una funzione invertibile, reale di variabile reale. C’e`
qualche relazione che lega il grafico di una funzione f e quello della sua inversa f 1 ?
592
` 13
Unita
Funzioni
Proviamo a riflettere: se f ðaÞ ¼ b, allora in base alla definizione di funzione inversa,
f 1 ðbÞ ¼ a. Dunque se Pða, bÞ appartiene al grafico di f , allora P 0 ðb, aÞ appartiene al
grafico di f 1 .
y
P'(b, a)
y=x
P(a, b)
x
O
Figura 13.27 Poiche´ P e P 0 hanno ascissa e ordinata scambiate, i due triangoli colorati in
giallo sono congruenti. Ne segue che il triangolo OPP 0 e` isoscele sulla base PP 0 . Poiche´ la
bisettrice dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele e` anche mediana e altezza relativa alla
base, si deduce che P e P 0 sono simmetrici rispetto alla bisettrice.
Poiche´ scambiare l’ascissa con l’ordinata nelle coordinate di un punto equivale a effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (vedi la
fig. 13.27), deduciamo quanto segue:
RELAZIONE TRA IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE E QUELLO DELLA SUA INVERSA
Il grafico della funzione f 1 , inversa della funzione f, e` il simmetrico del grafico
di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Questo legame tra il grafico di una funzione invertibile e quello della sua inversa suggerisce anche come ricavare l’equazione che definisce la funzione inversa: basta effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, cioe` scambiare nell’equazione della funzione x con y. In altre parole, se f e` definita dall’equazione
y ¼ f ðxÞ
allora la funzione inversa f 1 e` definita dall’equazione:
x ¼ f ðyÞ
Quest’ultima equazione non e` pero` espressa nella forma esplicita y ¼ f ðxÞ: risolvendola rispetto a y, otterremo l’equazione esplicita di f 1 .
ESEMPIO
Determinare l’espressione analitica dell’inversa di una funzione
La funzione f ðxÞ ¼ 2x 1 e` invertibile (fig. 13.25). Determiniamo l’espressione
analitica dell’inversa.
3 1o passo Consideriamo l’equazione y ¼ f ðxÞ:
y ¼ 2x 1
e sostituiamo in essa x al posto di y e y al posto di x:
x ¼ 2y 1
3 2o passo Risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a y:
x ¼ 2y 1 ) 2y ¼ x þ 1 ) y ¼
1
1
xþ
2
2
L’espressione analitica dell’inversa di f e` dunque: f 1 ðxÞ ¼
1
1
xþ .
2
2
593
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
SINTESI
Procedimento per ricavare l’equazione della funzione inversa di una
funzione invertibile
1. Nell’equazione y ¼ f ðxÞ, si sostituisce y al posto di x e x al posto di y, ottenendo
cosı` l’equazione:
x ¼ f ðyÞ
2. Se possibile, si risolve l’equazione x ¼ f ðyÞ rispetto a y, in modo da ottenere
l’equazione esplicita di f 1 .
Funzione composta
Un’importante operazione tra funzioni e` quella di composizione, che permette di definire una nuova funzione a partire da due funzioni f e g assegnate.
FUNZIONE COMPOSTA
Date due funzioni f e g si dice funzione composta di f e g, e viene indicata con il
simbolo g f (che si legge: «g composto f»), la funzione definita da:
ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ
Una rappresentazione grafica del modo di operare della funzione composta e` il seguente.
x
g
f(x)
f
g (f(x))
g°f
Affinche´ sia possibile calcolare gðf ðxÞÞ, f ðxÞ deve appartenere al dominio di g. Percio`
il dominio di g f e` costituito da tutti gli elementi appartenenti al dominio di f tali
che f ðxÞ appartiene al dominio di g.
ESEMPIO
Composizione di due funzioni
Date le due funzioni:
f ðxÞ ¼ x 2
e
gðxÞ ¼ x 2
determiniamo l’espressione analitica delle due funzioni composte g f e f g:
Abbiamo che:
ðg f ÞðxÞ
¼
gðf ðxÞÞ
Definizione
di funzione
composta
¼
gðx2 Þ
f ðxÞ ¼ x 2
¼
x2 2
gðxÞ ¼ x 2
Analogamente:
ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼ f ðx 2Þ ¼ ðx 2Þ2
Come puoi osservare, in generale f g 6¼ g f .
Esercizi p. 617
594
` 13
Unita
Funzioni
MATEMATICA NELLA REALTÀ
La crittografia
Nell’introduzione al Tema A abbiamo detto che i numeri primi sono alla base di alcuni
moderni sistemi per criptare le informazioni riservate. Ma che ruolo giocano, esattamente,
i numeri primi in questi metodi crittografici? Ora che abbiamo introdotto il concetto di
funzione, abbiamo in mano gli strumenti per capirlo piu` da vicino...
Un modello matematico per un sistema di crittografia
Partiamo da un semplice esempio. Supponiamo di voler criptare un messaggio sostituendo ogni lettera dell’alfabeto con la lettera che si trova due posti dopo: sostituiremo cioe` la
lettera A con la lettera C, la lettera B con la lettera D, la lettera C con la lettera E e cosı`
via... La parola CIAO viene cosı` criptata in «EMCQ».
Come si puo` formalizzare, dal punto di vista matematico, questo metodo di criptare i
messaggi? Indichiamo con f la funzione, definita nell’insieme delle 21 lettere dell’alfabeto, che associa a ogni lettera la lettera che si trova due posti dopo (alle ultime due, V e Z,
saranno associate rispettivamente le prime due, A e B). Allora, criptare una parola significa applicare alle lettere che la formano la funzione f . Chi riceve il messaggio, per decifrarlo, non deve fare altro che ritornare alle lettere originarie: si tratta in pratica di applicare,
alle lettere che formano il messaggio ricevuto, la funzione f 1 , inversa di f .
Questo semplice esempio suggerisce che, in generale, il modello matematico di un sistema di crittografia e` costituito dalla funzione f che permette di criptare i messaggi e dalla
funzione f 1 , inversa di f , che permette invece di decifrarli.
La crittografia a chiave pubblica
In genere si pensa che, se e` noto il modo di criptare un messaggio, si riesce anche a trovare il modo di decifrarlo. Nel caso dell’esempio precedente e` effettivamente cosı`. In realta`
non sempre, anche se e` noto il criterio di criptazione, si riesce facilmente a risalire all’originale; ovvero, rifacendoci al modello matematico che abbiamo introdotto, non sempre,
nota una certa funzione f , e` facile determinare la sua inversa. Le funzioni di cui e` difficile
determinare l’inversa vengono chiamate unidirezionali. Consideriamo due funzioni:
f
C
E
I
M
C
A
O
Q
f –1
C
E
I
M
A
O
C
Q
la funzione f , che manda ogni numero naturale nel suo cubo; l’espressione analitica
di f e` f ðxÞ ¼ x3 , dove x 2 N;
la funzione g, che manda ogni numero naturale nel resto che si ottiene eseguendo la
divisione intera tra il suo cubo e il numero 10.
In matematica, il resto della divisione euclidea tra un numero x e un numero m si indica
con la scrittura x ðmod mÞ, che si legge «x modulo m»; quindi l’espressione analitica di g e`
gðxÞ ¼ x3 ðmod 10Þ, dove x 2 N. Per esempio, f ð4Þ ¼ 43 ¼ 64 mentre gð4Þ ¼ 4; infatti il cubo di 4 e` 64 e il resto della divisione euclidea tra 64 e 10 e` 4.
«Restringiamo» adesso il dominio della funzione g, dall’insieme N all’insieme
fx 2 N j x < 10g. Questa «restrizione» del dominio e` necessaria per ottenere una funzione
invertibile: infatti i valori che la funzione g assume per x 10 sono gli stessi che ha gia` assunto per 0 x 9.
La funzione g e` molto piu` difficile da invertire della funzione f . Per esempio, se sappiamo
che f ðxÞ ¼ 125, e` facile risalire alla controimmagine di 125: e` la radice cubica di 125, cioe`
5. Ma se sappiamo che gðxÞ ¼ 3, qual e` x? L’intuizione non ci aiuta: per determinare la
controimmagine di 3, l’unica possibilita` e` costruire una tabella che riporti tutti i valori di
gðxÞ quando x varia da 0 a 9 e individuare direttamente il numero che, elevato al cubo
modulo 10, da` come risultato 3.
x
gðxÞ
0
0
1
1
2
8
3
7
4
4
5
5
6
6
7
3
8
2
9
9
Dalla tabella si ricava che la controimmagine di 3 e` 7.
In questo caso, abbiamo potuto costruire la tabella e risalire alla controimmagine di 3
perche´ nella formula che definisce g compaiono numeri piccoli. Ma, come puoi intuire
da questo esempio, le funzioni del tipo f ðxÞ ¼ xe ðmod NÞ, aventi come dominio l’insieme
fx 2 N j x < Ng e tali che e ed N sono numeri «grandi a sufficienza», sono funzioni unidirezionali (infatti, se N e` sufficientemente grande, ripetere un procedimento come quello
che abbiamo appena applicato per individuare la controimmagine di 3, puo` superare le
capacita` di calcolo anche dei piu` potenti computer).
595
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Dalla storia
Diffie ed Hellman, due
matematici della Stanford
University, in California,
introdussero per la prima
volta il concetto di
crittografia a chiave
pubblica nel 1976 e
raggiunsero, per la loro
scoperta, fama planetaria.
Un sistema di crittografia basato su una funzione unidirezionale viene chiamato a chiave
pubblica, proprio perche´ la chiave di crittatura f puo` tranquillamente essere resa pubblica; mantenendo privata la chiave di decrittatura f 1 : cio` non intacca la sicurezza delle informazioni perche´, per decifrare un messaggio, occorre f 1 , che non e` facile da determinare se f e` unidirezionale.
Il metodo di crittografia RSA
La migliore applicazione del metodo di crittografia a chiave pubblica e` il cosiddetto sistema di crittografia RSA, che prende il nome da Rivest, Shamir e Adleman, tre ricercatori
del MIT di Boston, che lo annunciarono ai non specialisti per la prima volta nell’agosto
1977. La funzione unidirezionale su cui si basa il metodo RSA e` una funzione del tipo
f ðxÞ ¼ xe ðmod NÞ. Per spiegare, a grandi linee, come funziona il metodo RSA, supponiamo che Bruno voglia mandare ad Anna un messaggio cifrato, e vediamo come Anna e
Bruno devono comportarsi.
CHE COSA DEVE FARE ANNA
Anna deve:
1. scegliere due numeri primi molto grandi, che indichiamo con p e q (perche´ valga tutto
quello che diremo e` essenziale che p e q siano primi);
2. moltiplicare p e q, ottenendo cosı` il numero N ¼ pq;
3. scegliere un altro numero, che chiamiamo e, primo con ðp 1Þðq 1Þ (questo e` un
particolare tecnico);
4. comunicare a Bruno il numero e e il numero N, che sono le «chiavi pubbliche» (perche´
non e` necessario siano tenute segrete).
CHE COSA DEVE FARE BRUNO
Bruno deve:
1. trasformare il messaggio che vuole inviare in un numero, che indichiamo con M (per
esempio, ogni lettera puo` essere espressa in cifre binarie mediante la codifica ASCII
usata per i computer);
2. criptarlo applicando a esso la funzione f ðxÞ ¼ x e (mod N)
3. comunicare il numero f ðMÞ ottenuto, che rappresenta il messaggio cifrato, ad Anna.
Rivest, Shamir e Adleman:
gli inventori del sistema RSA.
Come puo` ora Anna risalire al messaggio originale? Si puo` dimostrare che e` facile trovare l’inversa della funzione f ðxÞ ¼ xe ðmod NÞ, se si conoscono i due
numeri p e q che danno come prodotto N, mentre e` molto difficile in assenza
di questa informazione. Anna puo` determinare la funzione inversa di f , perche´ e` in possesso di due informazioni speciali: conosce p e q; quindi, utilizzando la funzione inversa, puo` decifrare il messaggio.
Chiunque altro, invece, non conoscendo p e q, non riesce a trovare la funzione inversa di f e, quindi, non e` in grado di decifrare il messaggio.
Rivest, Shamir e Adleman hanno creato quindi una speciale funzione unidirezionale, invertibile solo da chi fosse in possesso di informazioni privilegiate: i numeri primi p e q. Un intruso che volesse decifrare il messaggio, dovrebbe procurarsi i due numeri p e q, ossia riuscire a scomporre il numero N. Tuttavia, se N e` sufficientemente grande, i tempi di calcolo per scomporre N, con gli algoritmi di scomposizione
attualmente noti, superano le capacita` anche dei piu` potenti computer: di qui l’attuale sicurezza del sistema di crittografia RSA. Abbiamo parlato di «attuale» sicurezza perche´, anche se attualmente non si conoscono algoritmi efficienti per fattorizzare numeri molto
grandi, non e` detto che tali algoritmi non vengano scoperti in futuro. Inoltre, l’aumentare della velocita` dei computer rende questo sistema sempre piu` facilmente attaccabile,
quindi si e` reso via via necessario scegliere numeri primi con un numero di cifre sempre
maggiore: gia` qualche anno fa, per garantire la sicurezza occorreva scegliere due numeri
primi p e q di almeno 160 cifre (generare numeri primi cosı` grandi non e` difficile, perche´
ci sono algoritmi efficienti che consentono a un calcolatore di effettuare questa operazione in breve tempo).
In libreria e in rete
Simon Singh, Codici e Segreti, Rizzoli.
Marcus Du Sautoy, L’enigma dei numeri primi, Rizzoli.
596
Sintesi
Funzioni
Parole chiave
Termini tratti dal glossario e speakerati
Asintoto (Asymptote)
Concavita` (Concavity)
Espressione analitica di una funzione
(Equation of a function)
Funzione composta (Composite function)
Funzione inversa (Inverse function)
Funzione lineare (Linear function)
Funzione reale di variabile reale
(Real function of a real variable)
Grafico di una funzione (Graph of a function)
Piano cartesiano (Cartesian plane)
Quadrante (Quadrant)
Variabile dipendente (Dependent variable)
Variabile indipendente (Indipendent variable)
Asse x (x-axis)
Asse y (y-axis)
Costante di proporzionalita` (Constant of proportionality)
Funzione costante (Constant function)
Funzione di proporzionalita` cubica
(Cubic growth function)
Funzione di proporzionalita` diretta
(Directly proportional function)
Funzione di proporzionalita` inversa
(Inversely proportional function)
Funzione di proporzionalita` quadratica
(Quadratic growth function)
Grafici importanti
Funzione di proporzionalita` diretta
Funzione lineare
y
y
y = kx
k>0
y = kx
k<0
x
O
x
O
Funzione di proporzionalita` inversa
y = mx + q
m>0
Funzioni di proporzionalita` quadratica e cubica
y
k
y= x
k>0
y
y
k
y= x
k<0
y = ax3
a<0
y = ax 2
a>0
x
O
y = mx + q
m<0
x
O
y = ax3
a>0
O
x
y = ax 2
a<0
Interpretazione grafica di un’equazione e di una disequazione
1. Le eventuali soluzioni dell’equazione f ðxÞ ¼ 0 sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione
y ¼ f ðxÞ con l’asse x.
2. Le soluzioni di una disequazione della forma f ðxÞ > gðxÞ (f ðxÞ < gðxÞÞ corrispondono alle ascisse dei punti per cui il
grafico di y ¼ f ðxÞ e` al di sopra (al di sotto) di quello di y ¼ gðxÞ.
Funzione composta
ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ; ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ
Procedimento per determinare l’equazione dell’inversa di una funzione (invertibile)
1. Scambiare x con y nell’equazione y ¼ f ðxÞ che definisce la funzione;
2. risolvere l’equazione ottenuta rispetto a y.
597
Unità
Tema C
Esercizi
13
1. Introduzione alle funzioni
Teoria p. 572
Esercizi preliminari
1
Vero o falso?
a. ogni relazione e` una funzione
V
F
b. ogni funzione e` una relazione
V
F
c. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora ogni elemento di A non puo` avere piu` di una
immagine in B
V
F
d. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci due elementi distinti di A che
hanno la stessa immagine in B
V
F
e. se f e` una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci elementi di A che non hanno
immagini in B
V
F
[3 affermazioni vere e 2 false]
2 Stabilisci se le relazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce definiscono funzioni da A a B, giustificando
la risposta.
A
B
x
a
b
A
b
y
z
c
e
B
A
b
w
b
y
z
c
z
d
B
x
a
y
c
d
a
x
a
d
w
e
c
w
e
Stabilisci quali delle seguenti relazioni definiscono delle funzioni dall’insieme A all’insieme B, giustificando la rispo-
3
sta.
a. La relazione che associa a ogni studente di una data scuola la sua classe, essendo A l’insieme degli studenti e B quello delle classi della scuola.
b. La relazione che associa a ogni cittadino italiano i suoi eventuali fratelli, essendo A l’insieme dei cittadini italiani e
B ¼ A.
c. La relazione che associa a ogni persona la propria madre, essendo A l’insieme degli abitanti della Terra e B ¼ A.
d. La relazione che associa a ogni regione d’Italia le regioni con cui tale regione confina, essendo A l’insieme delle regioni d’Italia e B ¼ A.
e. La relazione che a ogni cittadino italiano associa il suo comune di residenza, essendo A l’insieme dei cittadini italiani e B quello dei comuni italiani.
Test
1
?
Considera la funzione f ðxÞ ¼ x3 x2 . Quanto vale f 2
3
1
3
A
B C 8
8
8
5 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 6x, per quale dei seguenti valori di x e` f ðxÞ ¼ 5?
4
A 2
6
598
1
8
C 4
D 5
C f ðxÞ ¼ x2
D f ðxÞ ¼ x3
Quale delle seguenti funzioni non ha come dominio R?
A f ðxÞ ¼ x1
7
B 3
D
B f ðxÞ ¼ x
Quale delle seguenti funzioni e` definita in tutto R?
1
1
A y¼ 2
B y¼ 2
x 4
x þ 4x þ 4
C y¼
1
x2 þ 4
D y¼
1
x2 þ 4x
` 13
Unita
Funzioni
Dominio di funzioni razionali
8
ESERCIZIO GUIDATO
Determina il dominio delle seguenti funzioni:
1
1
b. y ¼ 2
a. y ¼
3x 9
x þ 10
c. y ¼
xþ1
2x2 8x
a. La funzione e` definita per:
3x 9 6¼ 0 ) 3x 6¼ 9 ) x 6¼ ::::::::::
ESERCIZI
Quindi il dominio e` R f::::::::::g
b. La condizione x2 þ 10 6¼ 0 e` sempre verificata (perche´?) quindi il dominio e` ..........
c. La funzione e` definita per:
2x2 8x 6¼ 0 ) 2xðx 4Þ 6¼ 0 ) 2x 6¼ 0 ^ ðx 4Þ 6¼ 0 ) x 6¼ 0 ^ x 6¼ :::::
legge di annullamento
del prodotto
quindi il dominio e` R f0,
:::::g.
Stabilisci il dominio delle seguenti funzioni.
9
y¼
1
2x
y¼
1
xþ2
y¼
1
x2 þ 2
10
y¼
1
3x þ 2
y¼
1
x2 þ 5
y¼
1
10 2x
y¼
1
10x 50
y¼
1
5x þ 1
y¼
1
xþ7
y¼
1
7x þ 63
11
12
13
2
y¼ x
1
2
1
y¼
3x þ 27
Videolezione y ¼
x
0; 5x 5
y¼
xþ2
xþ2
2x2 72
[R f0g; R f2g; R]
1
R f2g; R f5g; R 5
y¼
y¼
1
x2 8x
y¼
15
y¼
1
x2 þ 3x 4
y¼
xþ2
2x2 6x
y¼
1
x3 3x2 þ x 3
16
y¼
1
x2 þ 10x 24
y¼
xþ2
x2 þ 10x þ 25
y¼
1
x3 þ 3x2 x 3
y¼
[R f10g; R f6g; R f0, 2g]
xþ2
14
ðx þ 1Þ2 þ 1
1
x3 4x
ðx þ 1Þ2 25
[R f12, 2g; R f5g; R f3, 1g]
Immagini e controimmagini
17
ESERCIZIO GUIDATO
1
E` data la funzione f cosı` definita: f ðxÞ ¼ x 1. Determina f ð6Þ. Calcola quindi per quale valore di x risulta
2
f ðxÞ ¼ 3.
L’immagine di 6, che si indica con il simbolo f ð6Þ, si ottiene sostituendo 6 al posto di x nell’espressione analitica della
1
funzione: f ð6Þ ¼ 6 1 ¼ ::::::::::
2
1
Il valore di x cercato e` la soluzione dell’equazione f ðxÞ ¼ 3, ossia dell’equazione x 1 ¼ 3:
2
Risolvendo questa equazione troverai x ¼ 8.
18
19
1
Data la funzione f ðxÞ ¼ 2x 8, calcola f . Stabilisci quindi per quale valore di x risulta f ðxÞ ¼ 1. 9; x ¼
2
1
1
2
Data la funzione f ðxÞ ¼ x , calcola f
. Stabilisci quindi per quale valore di x risulta f ðxÞ ¼ 1.
0; x ¼
2
3
3
9
2
8
3
599
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
20
Data la funzione f ðxÞ ¼ 5x þ 15, calcola f ð10Þ. Stabilisci per quale valore di x risulta f ðxÞ ¼ 0.
[f ð10Þ ¼ 35; x ¼ 3]
21
Data la funzione f ðxÞ ¼
3
1
x þ , calcola f ð7Þ. Stabilisci per quale valore di x risulta f ðxÞ ¼ 1.
2
2
ESERCIZI
f ð7Þ ¼ 10; x ¼
1
3
2
1
x 4, calcola f . Stabilisci per quale valore di x risulta f ðxÞ ¼ 8.
3
2
1
13
f ¼
; x ¼ 18
2
3
22
Data la funzione f ðxÞ ¼
23
Data la funzione f ðxÞ ¼ 1
x þ 4, calcola f ð2Þ. Stabilisci per quale valore di x risulta f ðxÞ ¼ 5.
4
9
f ð2Þ ¼ ; x ¼ 4
2
2. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione
Teoria p. 576
Il piano cartesiano
Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti e stabilisci in quali quadranti sono situati.
1
3
, 2 , Cð2, 1Þ, Dð3, 2Þ
A , 1 , B
2
2
24
Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti e stabilisci in quali quadranti sono situati.
1
5
, 1 , Bð2, 3Þ, Cð2, 1Þ, D 1, A
2
2
25
Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti e stabilisci in quali quadranti sono situati.
3
5
A , 1 , Bð2, 4Þ, Cð3, 1Þ, D 3,
2
2
26
27
Rappresenta il segmento di estremi Að1, 2Þ e Bð2, 3Þ.
28
Rappresenta il segmento di estremi Að2, 1Þ e Bð1, 1Þ.
29
Rappresenta il triangolo di vertici Að1, 1Þ, Bð2, 1Þ e Cð0, 3Þ.
30
Rappresenta il triangolo di vertici Að1, 1Þ, Bð4, 1Þ e Cð1, 5Þ.
31 Rappresenta nel piano cartesiano il quadrilatero ABCD di vertici Að1, 0Þ, Bð3, 0Þ, Cð2, 1Þ e Dð0, 1Þ. Di che tipo di
quadrilatero si tratta?
Rappresenta nel piano cartesiano il quadrilatero ABCD di vertici Að0, 0Þ, Bð1, 1Þ, Cð0, 2Þ e Dð1, 1Þ. Di che tipo di
quadrilatero si tratta?
32
33 Rappresenta nel piano cartesiano il quadrilatero ABCD di vertici Að3, 0Þ, Bð1, 1Þ, Cð1, 0Þ, Dð1, 1Þ. Di che tipo
di quadrilatero si tratta?
34
Determina le coordinate dei vertici dei poligoni rappresentati e calcola l’area dei poligoni.
C
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3–2–1 O 1 2 3 4 x
–1
–2
A
–3
–4
600
C
B
D
A
y
8
7
6
5
4
3
2
1
D
B
–7 –6 –5 –4 –3 –2–1 O 1 2 x
–1
y
6
5
4
3
2
1
–5 –4 –3–2 –1
–1
–2
A
–3
C
O
1 2 3 4 x
B
` 13
Unita
Funzioni
Il grafico approssimativo, per punti, di semplici funzioni
ESERCIZIO GUIDATO
35
Traccia approssimativamente il grafico delle funzioni:
1
x1
2
a. y ¼
b. y ¼ x2 2
x
y
4
.....
2
2
0
1
b. Procedi come nel caso precedente. Completa anzitutto
la tabella qui sotto.
x
y
3
7
2
.....
1
.....
0
.....
1
1
2
.....
3
.....
ESERCIZI
a. Devi costruire anzitutto una tabella, per determinare
le coordinate di alcuni punti appartenenti al grafico della
funzione. Completa, per esempio, la tabella riportata qui
sotto a sinistra: nota che abbiamo scelto di attribuire a x
valori pari, in modo da ottenere per y valori non frazionari e quindi punti piu` facili da rappresentare.
y
y
O
2
.....
4
.....
x
1
y= x 1
2
Rappresenta nella figura i punti le cui coordinate hanno i
valori di x e y della tabella e congiungili con una linea
continua: otterrai come grafico una retta.
O
x
y = x2 – 2
Rappresenta nella figura i punti le cui coordinate hanno i
valori di x e y della tabella e congiungili con una linea
continua: otterrai come grafico una curva simmetrica rispetto all’asse y, detta parabola.
Traccia approssimativamente il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni.
1
xþ1
2
42
y ¼ x þ 2;
y ¼ 3x 4
48
y ¼ x2 4;
y ¼ x2 2x
y ¼ 2x 3
43
y¼
2
x;
3
y ¼ x 1
49
y ¼ x2 ;
y ¼ 2x2 4
y ¼ 2x 2
44
y¼
y ¼ 3x þ 3
50
y ¼ x3 ;
y¼
y ¼ 3x
45
y ¼ 2x2 3;
y ¼ x2 1
51
y ¼ 2x3 ;
y¼
2
x 1;
3
y ¼ 3x 5
46
y ¼ 2 x2 ;
y¼
1 2
x
2
52
y¼
3
x 2;
4
3
x 1;
2
y ¼ 2x þ 1
47
y ¼ 2x2 ;
y ¼1
53
y¼
3 2
x 4;
2
36
y ¼ 1 2x;
y¼
37
y ¼ x;
38
y¼
39
y¼
40
y¼
41
y¼
54
Completa le tabelle, relative al grafico della funzione rappresentata a fianco.
1
x;
2
3
x;
2
2
y
1
–2 –1 O 1
–1
–2
–3
–4
2
3
1
x;
3
1 2
x
2
4
x
y
:::::
3
2
1
:::::
1
x
:::::
1
3
:::::
1 3
x
2
1 3
x
3
y ¼ 9 x2
y¼
2 3
x
3
y
3
–2 –1 O 1
–1
x
2
3
4
x
y
1
:::::
:::::
3
2
:::::
:::::
1
–2
601
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
L’analisi di un grafico: riconoscimento del grafico di una funzione,
del dominio e dell’immagine
55
ESERCIZIO SVOLTO
Stabiliamo se le seguenti curve sono grafici di funzioni.
y
ESERCIZI
y
O
x
O
x
b
a
Il grafico di una funzione reale di variabile reale e` caratterizzato dal fatto che ogni retta verticale lo incontra al massimo
in un punto.
y
O
x
Se tracciamo nella figura a delle rette verticali, ne troviamo alcune (come quelle tratteggiate in azzurro nel disegno qui
sopra), che incontrano la curva rossa in due punti: pertanto, tale curva non e` il grafico di una funzione.
y
O
x
Se tracciamo nella figura b delle rette verticali (vedi disegno qui sopra) ogni retta o non interseca la curva rossa oppure la
interseca in un punto soltanto: pertanto, tale curva e` il grafico di una funzione.
Avvertenza
Nelle figure relative ai seguenti Esercizi 56 e 57 sono riportati i grafici di due funzioni: il tratteggio agli estremi del grafico indica che
esso prosegue indefinitamente; il pallino pieno indica che il punto appartiene al grafico della funzione mentre il pallino vuoto
indica che non vi appartiene. In tutti i grafici si intende che l’unita` di misura coincida con il lato dei quadratini della quadrettatura.
602
` 13
Unita
56
Funzioni
ESERCIZIO SVOLTO
Individuiamo dominio e immagine della funzione che ha il seguente grafico.
y
ESERCIZI
x
O
Il dominio e` l’insieme dei valori assunti dalle ascisse
L’immagine e` l’insieme dei valori assunti dalle ordinate
dei punti che appartengono al grafico della funzione.
dei punti che appartengono al grafico della funzione.
Geometricamente per individuare il dominio possiamo
Geometricamente per individuare l’immagine possiamo
immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sul-
immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull’as-
l’asse x.
se y.
y
y
C
A
O
B
x
O
x
Proiettando sull’asse x, otteniamo il segmento AB, con
Proiettando sull’asse y, otteniamo il segmento OC, inclusi
l’estremo Að2, 0Þ incluso e l’estremo Bð2, 0Þ escluso;
gli estremi Oð0, 0Þ e Cð0, 4Þ, percio` l’immagine della fun-
percio` il dominio e` l’insieme:
zione e` l’insieme:
D ¼ fx 2 R j 2 x < 2g.
57
I ¼ fy 2 R j 0 y 4g.
ESERCIZIO SVOLTO
Individuiamo dominio e immagine della funzione che ha il seguente grafico.
y
O
x
603
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Immagine
Proiettando tutti i punti del grafico della funzione sull’asse y, otteniamo la semiretta dell’asse y costituita dai punti
di ordinata minore o uguale a 2.
Dominio
Dal momento che i tratteggi agli estremi del grafico indicano che esso prosegue indefinitamente, se immaginiamo di proiettare tutti i punti del grafico sull’asse x, otteniamo tutto l’asse x.
y
ESERCIZI
y
x
O
x
O
Il dominio D della funzione e` l’insieme R:
L’immagine della funzione e` percio` l’insieme:
D¼R
I ¼ fy 2 R j y 2g
Esercizio interattivo Stabilisci dominio e immagine delle relazioni che hanno i seguenti grafici, quindi specifica
se sono funzioni. Tieni presente le avvertenze indicate prima dell’Esercizio svolto 56.
58
y
y
y
O
x
x
O
Dominio ¼
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Dominio ¼
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Sı`
No
Dominio ¼
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Sı`
No
59
x
O
Sı`
No
y
y
y
O
x
Dominio ¼
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Sı`
No
604
O
Dominio ¼
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Sı`
No
x
O
Dominio ¼
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Sı`
No
x
` 13
Unita
60
y
y
y
x
O
x
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Dominio ¼
.......................................................
Immagine ¼
E` una funzione?
Sı`
No
y
O
x
.......................................................
....................................................
E` una funzione?
Immagine ¼
....................................................
Sı`
No
Immagine ¼
....................................................
Sı`
No
x
....................................................
E` una funzione?
.......................................................
y
.......................................................
Immagine ¼
Dominio ¼
E` una funzione?
Sı`
No
O
O
Dominio ¼
y
x
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Sı`
No
x
O
.......................................................
y
Dominio ¼
x
O
Dominio ¼
....................................................
y
E` una funzione?
Sı`
No
62
Immagine ¼
Sı`
No
y
Immagine ¼
.......................................................
E` una funzione?
Sı`
No
61
Dominio ¼
....................................................
Dominio ¼
ESERCIZI
.......................................................
x
O
O
Dominio ¼
Funzioni
O
Dominio ¼
x
.......................................................
Immagine ¼
....................................................
E` una funzione?
Sı`
No
605
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
L’analisi di un grafico: esempi tratti dalla fisica
ESERCIZI
63 Il grafico a fianco rappresenta la distanza percorsa
da Paolo, in funzione del tempo, durante una passeggiata
in bicicletta.
a. Quanto spazio ha percorso Paolo dopo 30 minuti?
b. Che cosa e` accaduto dopo un’ora?
c. Per quanto tempo Paolo e` stato fermo?
d. Paolo ha pedalato alla stessa velocita` sia prima sia
dopo la sosta?
e. Dopo quanto tempo dall’inizio della passeggiata
Paolo si trova a 18 km dal punto di partenza?
Distanza (in km)
24
18
12
6
0
Il grafico qui a fianco rappresenta la distanza percorsa da Valeria, in funzione del tempo, durante una passeggiata in bicicletta.
a. Quanto tempo ha impiegato Valeria per percorrere i
primi 6 km?
b. Quanti kilometri ha percorso dopo 2 ore e mezza?
c. Quante volte si e` fermata e per quanto tempo?
d. A quale velocita` media ha pedalato Valeria nell’ultima mezz’ora?
e. Quanti kilometri ha percorso complessivamente
Valeria?
64
1
1
2
Tempo (in h)
66 Il grafico qui sotto rappresenta la velocita` dell’automobile del signor Bianchi durante un intervallo di tempo
di 20 minuti.
Velocità (in km/h)
60
20
Tempo
(in min)
a. Qual e` la velocita` dell’auto dopo 5 minuti?
b. Quale e` stata la massima velocita` raggiunta nell’intervallo di tempo considerato?
c. La macchina si e` mai fermata?
d. Che cosa e` successo tra il quinto e il decimo minuto?
e. In quali intervalli di tempo la velocita` si e` mantenuta costante? In quale intervallo di tempo la velocita` e` stata crescente? In quali e` stata decrescente?
606
4
4
60
15
3
8
120
10
Tempo (in h)
12
120
5
4
16
Velocità (in km/h)
0
3
Distanza (in km)
0
65 Il grafico qui sotto rappresenta la velocita` dell’automobile del signor Rossi durante un intervallo di tempo di
20 minuti.
2
0
5
10
15
20
Tempo
(in min)
a. Quale velocita` ha raggiunto la macchina dopo 15
minuti?
b. In quale intervallo di tempo la velocita` e` stata di 60
km/h?
c. In quale intervallo di tempo la velocita` e` stata di 80
km/h?
d. In quali intervalli di tempo la velocita` e` stata crescente? E in quali decrescente?
e. In quale intervallo di tempo la macchina si e` arrestata?
` 13
Unita
` diretta e inversa
3. Le funzioni di proporzionalita
Funzioni
Teoria p. 578
Esercizi preliminari
67 Stabilisci se le seguenti coppie di grandezze sono direttamente proporzionali:
68 Stabilisci se le seguenti coppie di grandezze sono inversamente proporzionali:
a. l’altezza di una persona e la sua eta`
b. l’area di un triangolo equilatero e il suo lato
c. il tempo impiegato da un’auto per percorrere 50 km
e la velocita` dell’auto, se la velocita` e` costante
d. la base e l’altezza di un rettangolo, in un insieme di
rettangoli che hanno la stessa area
69 Una delle seguenti funzioni non e` di proporzionalita` diretta. Quale?
A y ¼ 3x
B y¼
1
x1
2
C y ¼ 2x
D y ¼ 6x
Una delle seguenti formule non esprime un legame
di proporzionalita` inversa tra x e y. Quale?
6
4
A y¼
C x¼
x
y
70
B xy ¼ 6
D x¼
ESERCIZI
a. il peso di una persona e la sua altezza
b. il perimetro di un triangolo equilatero e il suo lato
c. lo spazio percorso da un’auto che viaggia a velocita`
costante e il tempo durante il quale ha viaggiato
d. l’area di un quadrato e il suo lato
Test
y
3
` diretta e inversa e loro grafici
Funzioni di proporzionalita
Traccia il grafico delle funzioni aventi le seguenti equazioni.
71
72
3
x
2
5
y¼ x
2
8
x
10
y¼
x
y¼
y¼
1
x
4
2
y¼ x
3
y¼
73 Completa la seguente tabella, relativa a una funzione di proporzionalita` diretta. Poi scrivi l’espressione analitica della funzione e rappresentala nel piano cartesiano.
6
x
12
y¼
x
y¼
75 Completa la tabella, relativa a una funzione di proporzionalita` inversa. Poi scrivi l’espressione analitica della
funzione e rappresentala nel
piano cartesiano.
x
y
6
.....
3
2
2
.....
1
.....
x
y
6
2
3
.....
.....
6
0
.....
.....
3
.....
1
3
.....
6
.....
6
.....
Caccia all’errore. La seguente tabella e` relativa a
una funzione di proporzionalita` diretta, ma contiene un
errore. Individualo e correggilo. Poi scrivi l’espressione
analitica della funzione e rappresentala nel piano cartesiano.
74
76 Caccia all’errore. La tabella a fianco e` relativa a una
funzione di proporzionalita`
inversa, ma sono stati commessi due errori. Individuali,
correggili e traccia il grafico
della relativa funzione.
x
y
6
þ2
4
3
3
þ4
2
þ6
x
y
4
þ2
1
12
3
þ6
2
þ6
2
þ4
3
4
0
0
4
3
þ2
4
þ3
6
607
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Interpretazione di grafici
77
Test. La funzione rappresentata nel grafico qui sotto e` di proporzionalita` diretta. Qual e` la sua equazione?
A y ¼ 2x
y
15
B y¼
x
8
C y¼
8
x
15
ESERCIZI
D y¼
78
8
x
15
Esercizio interattivo Deduci, dal grafico, le equazioni delle funzioni di proporzionalita` diretta rappresentate.
3
y
3
2
2
1
1
–3 –2 –1 O 1
–1
79
x
O
x
2
3
y
3
y
2
1
x
–3 –2 –1 O
–1
1
2
x
–3 –2 –1 O 1
–1
3
–2
–2
–2
–3
–3
–3
2
3
Test. La funzione rappresentata nel grafico qui sotto e` di proporzionalita` inversa. Qual e` la sua espressione analiti-
ca?
A y¼
B y¼
3
x
C y¼
6
x
D y¼
80
6
x
y
3
x
O
Esercizio interattivo Deduci, dal grafico, le equazioni delle funzioni di proporzionalita` inversa rappresentate.
y
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
608
x
y
O
4
3
2
1
1 2 3 4 x
–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
O
1 2 3 4 x
y
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O
1 2 3 4 x
–1
–2
–3
–4
–5
` 13
Unita
Funzioni
` diretta e inversa
Problemi di proporzionalita
Per eseguire un certo tipo di lavoro 8 operai impiegherebbero 3 ore, 6 operai impiegherebbero 4 ore, 4 operai impiegherebbero 6 ore, e cosı` via. Scrivi la formula che esprime il numero di ore y che serve per svolgere il lavoro, in funzione
del numero x di operai. Stabilisci di che tipo di legame si tratta e rappresenta graficamente la funzione definita da tale for
24
mula.
y¼
x
81
ESERCIZI
82 Videolezione Il numero y di kilogrammi di acqua contenuti in un corpo umano e` con buona approssimazione
direttamente proporzionale al peso x del corpo (in kilogrammi). Sapendo che il corpo di una persona di 69 kg contiene
46 kg d’acqua, scrivi la formula che esprime y in funzione di x e rappresentala graficamente. Quanti kilogrammi d’acqua
2
contiene approssimativamente il corpo di una persona di 75 kg?
y ¼ x; 50 kg
3
83 Videolezione Il numero y di giorni impiegato per svolgere un certo tipo di lavoro e` inversamente proporzionale
al numero x di operai presenti. Sapendo che, in presenza di 12 operai, il lavoro viene completato in 4 giorni, scrivi la legge che lega y a x e rappresenta la funzione definita da tale legge. Quanti giorni occorrono per completare il lavoro in presenza di 6 operai? Quanti operai sono necessari per completare il lavoro in 1 giorno e mezzo?
48
y¼
; 8 giorni; 32 operai
x
84 Il peso y di un corpo su Marte e` direttamente proporzionale al peso x dello stesso corpo sulla Terra. Un corpo che
sulla Terra pesa 100 kg peserebbe su Marte 38 kg. Scrivi la legge che lega y a x e rappresenta la funzione definita da tale
19
legge. Quanto peserebbe su Marte un corpo che sulla Terra pesa 75 kg?
y¼
x; 28,5 kg
50
85 Un’auto deve percorrere 100 km. Esprimi il tempo t che l’automobile impiega, espresso in ore, in funzione della velocita` v, espressa in kilometri all’ora. Traccia il grafico della funzione ottenuta, in un sistema cartesiano ortogonale dove
100
la velocita` e` posta in ascissa e il tempo in ordinata.
t¼
v
86 In seguito a una svendita, il prezzo di un articolo subisce una riduzione del 60%. Indica con x il prezzo iniziale e
con y il prezzo di vendita dopo lo sconto, espresso in funzione di x.
a. Traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
b. Un articolo, dopo lo sconto, viene venduto al prezzo di 90 euro; qual era il prezzo iniziale?
2
a. y ¼ x, con x > 0; b. 225 euro
5
87
Il prezzo x di un gioiello e` costituito per l’80% dal costo delle materie prime e per il 20% dal costo della manodo-
pera.
a. Il costo delle materie prime aumenta del 10% e il costo della manodopera aumenta del 60%. Indica con y il prezzo
del gioiello dopo gli aumenti ed esprimi y in funzione di x. Stabilisci se y e x sono legati da una relazione di proporzionalita` diretta, specificando in caso affermativo la costante di proporzionalita`.
b. Traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
c. Di quanto e` aumentato in percentuale il prezzo del gioiello rispetto al prezzo iniziale?
d. In corrispondenza di quale prezzo iniziale il prezzo dopo gli aumenti e` di 180 euro?
6
a. y ¼ x, con x > 0; c. 20%; d. 150 euro
5
88 In un rettangolo, la base e` la meta` dell’altezza. Indica con x la misura dell’altezza e con y la misura del perimetro
del rettangolo. Quale tipo di proporzionalita` lega y e x? Traccia il grafico della funzione ottenuta.
[ y ¼ 3x, con x > 0]
In un triangolo ABC, la misura dell’area e` 3. Sia y la misura dell’altezza relativa ad AB e x la misura di AB. Esprimi y
in funzione di x e stabilisci quale tipo di proporzionalita` lega y e x. Traccia il grafico della funzione ottenuta.
6
y ¼ , con x > 0
x
89
90 In un rettangolo la misura dell’area e` 4. Indica con x la misura della base e con y quella dell’altezza. Esprimi y in
funzione di x e stabilisci quale tipo di proporzionalita` lega y e x. Traccia il grafico della funzione ottenuta.
4
y ¼ , con x > 0
x
609
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
91 In un trapezio la base minore misura x, la base maggiore e` il doppio di x e l’altezza misura 2. Indicata con y
l’area del trapezio, esprimi y in funzione di x e stabilisci
quale tipo di proporzionalita` lega y e x.
92 Un rombo e` equivalente a un quadrato il cui lato
misura 2. Indicate con y e x le misure delle diagonali del
rombo, esprimi y in funzione di x.
a. Traccia il grafico della funzione ottenuta indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo
in evidenza il tratto relativo al problema geometrico.
b. Se la misura di una delle due diagonali si dimezza,
come varia la misura dell’altra diagonale?
8
a. y ¼ , con x > 0; b. raddoppia
x
ESERCIZI
a. Traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo
in evidenza il tratto relativo al problema geometrico.
b. Determina x in modo che il trapezio sia equivalente
a un quadrato il cui perimetro misura 24.
[a. y ¼ 3x, con x > 0; b. x ¼ 12]
4. Le funzioni lineari
Teoria p. 583
Esercizi preliminari
Test
93
Quale delle seguenti funzioni non e` lineare?
A y ¼ 2x þ 3
B y¼
1
x4
2
C y¼
6
þ1
x
95 Quale delle seguenti coppie di rette e` costituita da
due rette parallele?
A y ¼ 2x
y ¼ 2x þ 3
B y ¼ 3x 1
y¼
C y¼
1
x1
2
D y ¼ 0,3x þ 1
1
7
D y ¼ x
2
3
1
xþ1
2
y ¼ 0,5x þ 2
y¼
1
x
3
Quale dei seguenti punti non appartiene al grafico
di y ¼ 2x þ 5?
5
1
,0
,4
A
C
2
2
96
Quale dei seguenti valori e` il coefficiente angolare
della funzione y ¼ 2x 3?
94
A 2
C 3
B 2
D 3
B ð1, 7Þ
D ð2, 8Þ
Il grafico delle funzioni lineari
Traccia il grafico delle seguenti funzioni.
1
97 y ¼ 2x þ 1
y ¼ xþ2
3
1
xþ4
2
98
y ¼ 2x 3
y¼
99
y ¼ 3x 1
y ¼ 2x þ 5
100 y ¼ x þ 5
y ¼xþ
5
2
y¼
3
x1
2
y¼
5
x1
3
y¼
1
3
x
2
2
y¼
5
x1
2
101 Il grafico di una funzione lineare di equazione y ¼ mx þ q passa per i punti di coordinate ð0; 4Þ e ð1, 0Þ. Determina m e q e traccia il grafico della funzione corrispondente.
[m ¼ q ¼ 4]
102 Il grafico di una funzione lineare di equazione y ¼ mx þ q passa per i punti di coordinate ð0; 2Þ e ð4; 0Þ. Determina
1
m e q e traccia il grafico della funzione corrispondente.
m¼ ,q¼2
2
k1
kþ1
x1ey ¼
x þ 5 sono parallele?
[k ¼ 5]
103 Per quale valore di k le due rette di equazioni y ¼
2
3
4
104 Per quale valore di k le due rette di equazioni y ¼ ð3 kÞx 1 e y ¼ ð2k 1Þx 2 sono parallele?
k¼
3
610
` 13
Unita
105
Videolezione Considera le due funzioni:
f ðxÞ ¼ ax þ 2
e
Funzioni
106 Considera le due funzioni:
gðxÞ ¼ bx 3
f ðxÞ ¼ a x þ 1
a. Determina a in modo che f ð2Þ ¼ 4.
b. Determina b in modo che gð3Þ ¼ 9.
c. Traccia i grafici delle due funzioni f e g in corrispondenza dei valori di a e b trovati.
d. Individua graficamente il punto di intersezione dei
grafici delle due funzioni f e g.
e
gðxÞ ¼ 1
xþb
2
a. Determina a in modo che f ð2Þ ¼ 2.
b. Determina b in modo che gð4Þ ¼ 4.
[a. a ¼ 3; b. b ¼ 2; d. ð1, 1Þ]
Problemi
ESERCIZI
c. Traccia i grafici delle due funzioni f e g in corrispondenza dei valori di a e b trovati.
d. Come risultano le due rette che rappresentano le
funzioni f e g?
1
a. a ¼ ; b. b ¼ 2
2
107 Il salario di un rappresentante e` costituito da una quota fissa mensile di 400 euro, piu` una percentuale del 20% sulle
vendite del mese.
a. Indica con x l’importo delle vendite mensili e con y il salario in quel mese. Esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta.
b. Quale deve essere l’importo delle vendite in un mese affinche´ il salario sia di 2000 euro?
1
a. y ¼ 400 þ x; b. 8000 euro
5
108 Il prezzo di una rivista ha subito, nel corso di un anno, due aumenti:
inizialmente il prezzo e` stato aumentato del 20%;
successivamente il prezzo aumentato ha subito un ulteriore incremento di 20 centesimi.
a. Indica con x il prezzo della rivista prima dei due aumenti e con y il prezzo dopo i due aumenti; esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta.
b. Se la rivista prima dei due aumenti costava 2 euro, quanto costa dopo i due aumenti?
c. Se la rivista, dopo i due aumenti, costa 5 euro, quanto costava prima dei due aumenti?
6
1
a. y ¼ x þ ; b. 2 euro e 60 centesimi; c. 4 euro
5
5
109 Un quadrato ABCD ha il lato di misura uguale a 5. Indica con y l’area del rettangolo A0 B 0 C 0 D 0 che si ottiene dimi-
nuendo la misura dei lati AB e CD dell’x % e lasciando invariate le misure di BC e AD.
a. Esprimi y in funzione di x.
b. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema geometrico,
mettendo in evidenza il tratto del grafico che rappresenta il problema.
1
a. y ¼ 25 x; c. x ¼ 60
c. Determina x, sapendo che l’area di A0 B 0 C 0 D 0 e` 10.
4
110 Fai riferimento alla figura qui sotto.
C
D
6
4
P
B
A
x
8
a. Supposto che P sia interno ad AB, tra quali valori puo` variare x?
b. Indicata con y la somma delle aree dei triangoli APD e PBC, esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
c. Per quale valore di x la somma delle aree di APD e PBC e` uguale all’area del triangolo PDC?
[a. 0 < x < 8; b. y ¼ 24 x; c. x ¼ 4]
611
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
111 In un trapezio rettangolo, la cui l’altezza misura x, la misura della base minore supera di 1 quella dell’altezza e il lato
obliquo e`
5
dell’altezza. Indicato con y il perimetro del trapezio, esprimi y in funzione di x.
4
a. Traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
ESERCIZI
b. Determina x in modo che il perimetro del trapezio sia uguale a quello del triangolo equilatero costruito sulla base
minore del trapezio.
(Suggerimento: Utilizza il teorema di Pitagora per determinare la misura della base maggiore)
1
a. y ¼ 5x þ 2 con x > 0; b. x ¼
2
` al quadrato e al cubo
5. Le funzioni di proporzionalita
Teoria p. 584
Esercizi preliminari
112 Vero o falso?
a. il grafico di y ¼ 7x2 e` una parabola con la concavita` rivolta verso il basso
V
F
b. il grafico di y ¼ 7x e` simmetrico rispetto all’origine
V
F
c. il punto di coordinate ð2, 8Þ appartiene al grafico della funzione y ¼ 2x2
V
F
d. il punto di coordinate ð2, 8Þ appartiene al grafico della funzione y ¼ x3
V
F
3
e. in un rettangolo un lato supera il doppio dell’altro di 1 cm; la funzione che rappresenta l’area del
rettangolo in funzione della misura del lato minore del rettangolo e` di proporzionalita` quadratica
V
F
[2 affermazioni vere e 3 false]
113 Associa a ciascuno dei grafici proposti qui sotto la sua equazione, scelta tra le seguenti:
a. y ¼
1 2
x
2
b. y ¼
1 2
x
3
c. y ¼ y
1 2
x
2
d. y ¼
1 3
x
2
e. y ¼
1 3
x
3
x
O
A
O
x
B
y
y
x
O
D
x
C
y
O
1 3
x
2
y
y
O
f. y ¼ x
x
O
E
F
` al quadrato e al cubo
Grafici delle funzioni di proporzionalita
Traccia il grafico delle seguenti funzioni.
114 y ¼ 115 y ¼
612
1 2
x
3
4 2
x
3
y¼
3 2
x
2
y ¼ 3x2
y¼
y¼
1 2
x
4
3 2
x
2
116 y ¼ x3
117 y ¼ 1 3
x
3
y¼
1 3
x
2
y¼
1 3
x
4
y¼
3 3
x
8
y¼
1 3
x
10
` 13
Unita
Funzioni
Problemi
3
del lato BC e
2
M e` il punto medio di CD. Indicata con x la misura di BC
e con y l’area del trapezio ABCM, esprimi y in funzione di
x. Traccia il grafico della funzione indipendentemente
dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il
tratto relativo al problema.
9
y ¼ x2 , con x > 0
8
6
del lato obli5
quo. Indicata con x la misura del lato obliquo, determina
la funzione che rappresenta l’area del rombo in funzione
di x. Traccia il grafico della funzione indipendentemente
dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il
tratto relativo al problema.
24 2
y¼
x , con x > 0
25
119 Un pentagono ABCED e` formato dall’unione di un
rettangolo ABCD e di un triangolo isoscele DCE, di base
3
CD. Il lato AB e`
di BC, mentre l’altezza EH relativa alla
2
base CD del triangolo DCE e` la meta` di BC. Indicata con x
la misura di BC, determina la funzione che rappresenta
l’area del pentagono in funzione di x. Traccia il grafico
della funzione indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
E
121 In un parallelepipedo a base quadrata, l’altezza e` la
meta` dello spigolo di base. Indicata con x la misura del lato del quadrato di base, determina la funzione che rappresenta il volume del parallelepipedo in funzione di x.
Traccia il grafico della funzione indipendentemente dalle
limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto
relativo al problema.
1
y ¼ x3 , con x > 0
2
118 In un rettangolo ABCD il lato AB e`
C
x
A
3
x
2
B
15 2
y¼
x , con x > 0
8
ESERCIZI
D
1
x
2
H
120 In un rombo la diagonale minore e`
122 Una piramide ha come base un triangolo rettango-
lo, avente un cateto di misura x e l’altro cateto doppio del
3
del cateto maggiore.
primo. L’altezza della piramide e`
2
Determina la funzione che esprime il volume della piramide. Traccia il grafico della funzione indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il
tratto relativo al problema.
[y ¼ x3 con x > 0]
1
del raggio di base del cilindro, sormontato da un cono, la
4
cui base coincide con la base superiore del cilindro e la cui altezza e` uguale a quella del cilindro. Indicata con x la misura
del raggio della base del cilindro, determina la funzione che rappresenta il volume del solido in funzione di x. Traccia il
grafico della funzione, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
123 Un solido e` costituito da un cilindro, la cui altezza e`
y¼
6. Funzioni ed equazioni
1 3
x , con x > 0
3
Teoria p. 588
Esercizi preliminari
Test
124 Quale dei seguenti e` uno zero della funzione f ðxÞ ¼ x2 2x 3?
A 1
B 0
C 1
D 2
125 Quale dei seguenti e` uno zero della funzione f ðxÞ ¼ 2x2 x 1?
A 1
B 2
C 3
D 4
126 Quale dei seguenti e` uno zero della funzione f ðxÞ ¼ x3 x2 4?
A 1
B 2
C 4
D 6
613
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
127 Ciascuna delle figure proposte qui sotto permette l’interpretazione grafica di una delle seguenti equazioni. Associa
a ogni equazione la relativa figura che consente di interpretarla graficamente:
a. 2x 1 ¼ 1
xþ2
2
b. 2x 1 ¼
y
1
x2
2
c. 2x þ 1 ¼ d. 2x þ 1 ¼
y
y
1
x2
2
y
x
O
x
O
O
ESERCIZI
1
xþ2
2
x
x
O
A
B
C
D
Gli zeri di una funzione
128
Esercizio interattivo Quali sono gli zeri delle funzioni rappresentate?
y
y
y
O
O
x
x
x
O
Traccia i grafici delle seguenti funzioni, individuandone il punto di intersezione con l’asse x.
1
1
5
129 y ¼ x þ 2
134 y ¼ x þ
2
2
2
3
2
xþ6
x4
130 y ¼
135 y ¼
2
3
131 y ¼ 2x þ 6
132 y ¼
136 y ¼ 3x 6
1
xþ2
3
137 y ¼ 133 y ¼ 2x 3
3
x3
2
138 y ¼ 5 2x
L’interpretazione grafica di una equazione
139 Dato il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ, rappresentato nella figura qui sotto, quali sono le soluzioni dell’equazione
f ðxÞ ¼ 0?
y
y = f(x)
O
614
x
` 13
Unita
Funzioni
140 Dati i grafici delle funzioni y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ, deduci per ciascuno di essi qual e` la soluzione dell’equazione
f ðxÞ ¼ gðxÞ.
y
y
y = f(x)
y = f(x)
1
y = g (x)
y = g (x)
x
O 1
ESERCIZI
y = f(x)
y
x
O
y
y = g(x)
y = g(x)
y = f(x)
O
x
1
x
1
O
141 Sulla prima riga della seguente tabella sono riportate delle equazioni, espresse in forma algebrica. Sulla seconda riga
sono riportate delle figure, ciascuna delle quali e` l’interpretazione grafica di un’equazione. Ciascuna equazione sulla prima riga e` equivalente a una delle equazioni di cui e` riportata l’interpretazione grafica nelle figure: fai le associazioni che
individuano le equivalenze tra le equazioni e le figure.
a. 2x 5 ¼ x
2
A
5
4
y
2
y= x
3
3
2
y = 5– x
1
x
–1 O 1
–1
2
3
4
5
b. ðx 3Þ2 ¼ ðx þ 3Þ2
c.
B
C
4
3
2
1
O
–2 –1
–1
–2
–3
–4
x
1
þ ¼4x
6
2
d. ðx 1Þ2 ¼ x 2 þ 3
D
y
3
y = 4x – 8
y
y = –2x + 2
2
1
1 2 3 4 5 x
x
–3 –2 –1 O 1
–1
–2
2
3
y = –2x – 2
–3
4
3
y
y = 3x + 2
2
1
–3 –2 –1 O 1
–1
x
2
3
–2
Interpreta graficamente le seguenti equazioni e cerca di individuare dal grafico le soluzioni o un intervallo cui esse
appartengono. Verifica poi le conclusioni cui sei giunto risolvendo l’equazione algebricamente.
142 3x þ 6 ¼ 0
143
5
x5¼0
4
150 x ¼
151
3
7
x4¼
2
2
144 3x 2 ¼ 4
145 x þ 4 ¼ x þ 2
146 2x þ 3 ¼ 4 x
152 153
149 1
xþ1¼2
2
154 155
1
x ¼ x þ 3
2
3
1
x1¼ xþ2
2
3
147 2x 1 ¼ 3
148 2x þ 3 ¼ x 1
1
xþ6
2
2
xþ1¼2x
3
3
1
x4¼ x
5
5
615
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
7. Funzioni e disequazioni
Teoria p. 590
Esercizi preliminari
Test
156 Le soluzioni della disequazione f ðxÞ 0 corrispondono ai valori di x per cui i punti del grafico della
funzione y ¼ f ðxÞ hanno ordinate:
ESERCIZI
A positive
B negative
C positive o nulle
158 Sia y ¼ f ðxÞ la funzione il cui grafico e` rappresentato
nella figura qui sotto. Allora la disequazione f ðxÞ 0 e`
soddisfatta per:
A x4
C x2
B x4
D x2
D negative o nulle
y
4
157 Le soluzioni della disequazione f ðxÞ < 0 corrispondono ai valori di x per cui i punti del grafico della
funzione y ¼ f ðxÞ hanno ordinate:
y = f(x)
A positive
O
x
2
B negative
C positive o nulle
D negative o nulle
159 Sia y ¼ f ðxÞ la funzione il cui grafico e` rappresentato nella figura qui sotto. Allora la disequazione f ðxÞ > 0 e` soddisfatta per:
y
A x<0_x>3
y = f(x)
B 0<x<3
C x<0^x>3
D nessuna delle precedenti risposte e` corretta
O
3
x
Il segno di una funzione
Determina per quali valori di x le seguenti funzioni sono positive.
1
x1
3
[x > 3]
161 y ¼ 2x 8
[x < 4]
160 y ¼
162 y ¼ 3
xþ6
2
1
1
x
163 y ¼
3
2
164 y ¼
3x
2
2
8
165 y ¼ x þ
3
3
166 y ¼ 5 2x
167 y ¼
5
1
x
8
4
168 y ¼ 616
1
xþ1
5
[x < 4]
3
x>
2
Determina per quali valori di x le seguenti funzioni sono negative.
169 y ¼ 170 y ¼ 2x þ 6
171 y ¼
3
x3
2
172 y ¼ 173 y ¼
[x < 4]
174 y ¼ [x < 5]
1
1
xþ
3
2
1þx
2
[x < 3]
5
x<
2
2
x>
5
2
x4
3
3
3
x
2
8
175 y ¼ 2 5x
176 y ¼
3
1
x
8
2
177 y ¼ 1
x1
4
[x > 6]
[x < 3]
[x < 2]
3
x>
2
[x < 1]
1
x>
4
2
x>
5
4
x<
3
[x > 4]
` 13
Unita
Funzioni
L’interpretazione grafica di una disequazione
178 Dato il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ rappresentato
nella figura, determina le soluzioni delle seguenti disequazioni:
a.
b.
c.
d.
f ðxÞ < 0
f ðxÞ > 0
f ðxÞ 0
f ðxÞ 0
179 Dati i grafici delle funzioni y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ rappresentati nella figura, determina le soluzioni delle seguenti disequazioni:
f ðxÞ 0
gðxÞ < 0
f ðxÞ < gðxÞ
gðxÞ f ðxÞ
f ðxÞ > gðxÞ
y
ESERCIZI
a.
b.
c.
d.
e.
y
y = f(x)
y = f(x)
1
O
–3
3
O
1
x
x
y = g(x)
Interpreta graficamente le seguenti disequazioni e cerca di individuare dal grafico l’insieme delle soluzioni o una
sua approssimazione. Verifica poi le conclusioni cui sei giunto risolvendo la disequazione algebricamente.
180 2x þ 4 0
181
189 x þ
3
x3>0
4
190
3
3
x4>
2
2
182 4x 2 < 4
191 183 x þ 4 x þ 1
184 2x 3 x 4
192
187 193 1
xþ3<4
2
188 x <
194
1
xþ3
2
1
x x þ 4
2
3
1
xþ1< x2
2
3
185 2x 1 5
186 2x þ 3 < x 1
3
2x
2
2
xþ23x
3
3
1
xþ4< x
5
5
195 2x 3 > 3
8. Funzione inversa e funzione composta
Teoria p. 592
Funzione inversa
196 Per ciascuna delle tre funzioni da A a B rappresentate nelle figure qui sotto stabilisci se e` invertibile e, in caso affermativo, determina l’immagine dell’elemento b tramite l’inversa.
A
1
2
3
A
b
4
d
b
B
a
A
1
b
3
c
B
a
2
b
3
c
5
1
2
4
a
B
a
c
4
d
d
c
617
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
197 Sono dati gli insiemi:
198 Sono dati gli insiemi:
A ¼ fAndrea, Luigi, Paola, Franco, Federicag
A ¼ fMilano, Torino, Bologna, Romag
B ¼ fFrancesco, Anna, Luisa, Paolog
B ¼ fPiemonte, Lombardia, Emilia-Romagna, Laziog
ESERCIZI
Rappresenta tramite un diagramma a frecce la relazione
che fa corrispondere a ogni elemento di A l’elemento di B
che inizia con la stessa lettera. Verifica che tale relazione
e` una funzione e stabilisci se e` invertibile.
Rappresenta tramite un diagramma a frecce la relazione
che fa corrispondere a ogni citta` di A la regione di B cui
appartiene. Verifica che tale relazione e` una funzione e
stabilisci se e` invertibile.
199 Per ciascuna delle funzioni di cui e` tracciato il grafico, stabilisci se e` invertibile.
y
y
y
O
O
x
x
O
x
Per ciascuna delle seguenti funzioni tracciane il grafico e stabilisci se e` invertibile; in caso affermativo, determina
l’espressione analitica dell’inversa.
1
6
1
200 f ðxÞ ¼ 3x
f ðxÞ ¼ x
206 f ðxÞ ¼ [f 1 ðxÞ ¼ f ðxÞ]
3
x
1x
1 2
x
201 f ðxÞ ¼ 1 3x
f 1 ðxÞ ¼
207 f ðxÞ ¼
[Non invertibile]
3
2
3
1
5
202 f ðxÞ ¼ x2
[Non invertibile]
208 f ðxÞ ¼ 2x 5
f 1 ðxÞ ¼ x þ
2
2
2
1
1
6
[f 1 ðxÞ ¼ f ðxÞ]
203 f ðxÞ ¼ 4x 2
f 1 ðxÞ ¼ x þ
209 f ðxÞ ¼
4
2
x
204 f ðxÞ ¼
8
x
205 f ðxÞ ¼ 1
3
xþ
2
2
[f 1 ðxÞ ¼ f ðxÞ]
210 f ðxÞ ¼
3 2
x
2
[f 1 ðxÞ ¼ 3 2x]
211 f ðxÞ ¼
3
x1
2
[Non invertibile]
2
f 1 ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ
3
Funzione composta
Determina l’espressione analitica di f g e di g f , specificando il dominio di ciascuna funzione composta (nelle
risposte sono riportate solo le espressioni analitiche delle due funzioni).
212 f ðxÞ ¼ 2x þ 1
gðxÞ ¼ 2x
213 f ðxÞ ¼ 2x
gðxÞ ¼
214 f ðxÞ ¼ x 1
gðxÞ ¼ x2 þ 4
[ðf gÞðxÞ ¼ x2 þ 3; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 2x þ 5]
215 f ðxÞ ¼ x2 1
gðxÞ ¼ x 3
[ðf gÞðxÞ ¼ x2 6x þ 8; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 4]
216 f ðxÞ ¼ x2
gðxÞ ¼ x þ 1
[ðf gÞðxÞ ¼ ðx þ 1Þ2 ; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 þ 1]
217 f ðxÞ ¼ x2 þ x
gðxÞ ¼ x2
218 f ðxÞ ¼ ðx 1Þ
618
2
1
x1
4
gðxÞ ¼ x þ 1
[ðf gÞðxÞ ¼ 4x þ 1; ðg f ÞðxÞ ¼ 4x þ 2]
1
1
ðf gÞðxÞ ¼ x 2; ðg f ÞðxÞ ¼ x 1
2
2
[ðf gÞðxÞ ¼ x4 þ x2 ; ðg f ÞðxÞ ¼ x4 þ 2x3 þ x2 ]
[ðf gÞðxÞ ¼ x2 ; ðg f ÞðxÞ ¼ x2 2x þ 2]
` 13
Unita
Funzioni
ESERCIZI DI RIEPILOGO
Esercizi interattivi
219 Qual e` il dominio della funzione f rappresentata in
figura?
A ½2, 4
y
B ½3, 2
C ½2, 3
D R
y = f(x)
x
O
–4 –3 –2 –1
1 2 3
–1
–2
220 Qual e` l’insieme immagine della funzione f dell’Esercizio 219?
A [2, 4]
B [3, 2]
C [2, 3]
D R
221 In riferimento alla funzione f dell’Esercizio 219,
quanto vale f ð3Þ þ f ð2Þ þ f ð1Þ þ f ð0Þ þ f ð1Þ þ f ð2Þ?
A 0
B 5
C 7
D 11
B
C 2x ¼
1
xy ¼ 5
2
D
1
5y
2y
¼3
x
B La funzione f e` di proporzionalita` diretta, mentre la
funzione g non lo e`.
C La funzione f non e` di proporzionalita` diretta, men-
tre la funzione g lo e`.
226 In riferimento all’Esercizio 225, supponi che in un
dato mese le vendite di Barbara e di Maria generino lo
stesso ricavo; a quanto devono ammontare le vendite
mensili affinche´ Barbara e Maria percepiscano in un mese
la stessa retribuzione?
A 3000 euro
223 Quale tra le seguenti equazioni non rappresenta
una proporzionalita` diretta tra le due variabili x e y?
A y ¼ 12x þ 10
B 5000 euro
C 7000 euro
D Nessuna delle altre risposte
B 10x ¼ 7y
C
nalita` diretta.
nalita` diretta.
una proporzionalita` inversa tra le due variabili x e y?
12
x
A Sia la funzione f sia la funzione g sono di proporzio-
D Ne´ la funzione f ne´ la funzione g sono di proporzio-
222 Quale tra le seguenti equazioni non rappresenta
A y¼
ESERCIZI
5
4
3
2
1
225 Barbara lavora come rappresentante di una ditta
di cosmetici e viene retribuita in questo modo: una
quota fissa di 600 euro al mese, piu` una quota pari al
5% sul ricavo dei prodotti che ha venduto in quel mese. Maria, che lavora anch’essa come rappresentante in
una ditta di cosmetici, diversa da quella in cui lavora
Barbara, viene invece retribuita ogni mese percependo
il 20% sul ricavo dei prodotti venduti in quel mese
(senza nessuna quota fissa). Siano f e g le due funzioni
che rappresentano rispettivamente la retribuzione di
Barbara e quella di Maria, in funzione del ricavo generato dai prodotti venduti in un mese. Quale affermazione
e` corretta?
227 In riferimento alla figura, siano x1 ; x2 rispettivamen-
te le soluzioni delle due equazioni f ðxÞ ¼ 0 e gðxÞ ¼ 0.
Quanto vale la somma x1 þ x2 ?
2x
¼5
y
D x ¼ 1; 5y
A 0
224 Le due seguenti tabelle sono relative a una funzione
f di proporzionalita` diretta e a una funzione g di proporzionalita` inversa. Quali sono le costanti di proporzionalita` h e k?
gðxÞ ¼
x
f ðxÞ ¼ hx
x
2
3
2
3
4
6
4
1,5
k
x
A h ¼ 6 e k ¼ 1,5
C h ¼ 3 e k ¼ 4,5
B h ¼ 1,5 e k ¼ 4
D h ¼ 1,5 e k ¼ 6
B 3
C 4
D Nessuna delle altre risposte
5
4
3
2
1
O
–2 –1
–1
–2
–3
y
y = g(x)
y = f(x)
x
1 2 3 4 5 6
y = h(x)
619
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
231 Se f ðxÞ ¼ x2 x3 , allora f ðx 2Þ vale:
228 In riferimento alla figura dell’Esercizio 227, siano
x1 ; x2 ; x3 rispettivamente le soluzioni delle tre equazioni
f ðxÞ ¼ gðxÞ, f ðxÞ ¼ hðxÞ e gðxÞ ¼ hðxÞ. Quanto vale il prodotto x1 x2 x3 ?
A x2 x3 þ 2
B ð3 xÞðx 2Þ
C Nessuna delle altre risposte
A 0
B 5
D x2 x3 2
C 5
E x2 2 x3 þ 2
D Nessuna delle altre risposte
ESERCIZI
2
(Test di ammissione, Facolta` di Ingegneria 2009)
229 In riferimento alla figura dell’Esercizio 227, quale
dei seguenti sistemi e` soddisfatto per 1 x 3?
gðxÞ f ðxÞ
A
f ðxÞ 0
hðxÞ f ðxÞ
B
f ðxÞ 0
gðxÞ f ðxÞ
C
f ðxÞ 0
hðxÞ f ðxÞ
D
f ðxÞ 0
232 Una grandezza F e` direttamente proporzionale al
quadrato di T e inversamente proporzionale al cubo di r.
Quale delle seguenti formule, dove k e` una costante,
esprime F in funzione di r?
A F¼k
T2
r3
C F¼k
B F¼k
r3
T2
D Nessuna delle altre risposte
2T
3r
233 In figura e` rappresentato il grafico di una funzione
f : ½8; 8 ! R (ogni quadretto corrisponde a una unita`).
L’insieme di tutti i numeri a tali che f ð3Þ ¼ f ðaÞ e` costituito da:
230 Il grafico in figura rappresenta la relazione tra le variabili r ed s. Quale delle seguenti informazioni si puo` dedurre dal grafico?
r
s
O
A 3, 3
A Se r diminuisce allora s diminuisce
B 3, 4
B Se r aumenta allora s aumenta
C 3, 3, 5
C Se r aumenta allora s diminuisce
D 3
D Nessuna delle altre risposte
E 2
(Test di selezione, Facolta` di Scienze 2008)
(Test di selezione, Facolta` di Scienze 2012)
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
234 y ¼
1
6x
1
235 y ¼
2x þ 5
620
y¼
1
2x þ 2
1
y¼
3x
1
2x2 þ 1
1
y¼
6x 12
236 y ¼
1
2x2 þ 10
237 y ¼
x2 þ 1
5x2 20x
y¼
xþ6
x3 2x2 þ x
y¼
1
x3 x
238 y ¼
1
2x2 þ 4x
y¼
x
4x2 4x þ 1
y¼
x
x3 þ 5x2 4x 20
y¼
1
12 3x
y¼
y¼
5
R ; R f0g; R f2g
2
1
12x þ 9
[R f0, 4g; R f0, 1g; R f0, 1g]
` 13
Unita
Funzioni
Interpretazione di grafici
239 Per ciascuno dei seguenti grafici: stabilisci se si tratta del grafico di una funzione. In caso affermativo, individua il
dominio e l’insieme immagine (il tratteggio agli estremi indica che il grafico procede indefinitamente); stabilisci se si
tratta di una funzione invertibile.
y
y
x
x
O
x
O
ESERCIZI
O
x
O
y
y
240 Nella figura sono tracciati i grafici delle tre funzioni lineari y ¼ f ðxÞ, y ¼ gðxÞ e y ¼ hðxÞ. Riferendoti unicamente ai
grafici, risolvi le seguenti equazioni, disequazioni e sistemi di disequazioni:
y
a. hðxÞ ¼ gðxÞ
b. gðxÞ ¼ f ðxÞ
y = f(x)
y = h(x)
c. f ðxÞ > gðxÞ
x
O
d. gðxÞ hðxÞ
e. hðxÞ > f ðxÞ
f ðxÞ > gðxÞ
f.
f ðxÞ > hðxÞ
y = g(x)
241 Considera le due funzioni lineari f e g che hanno i grafici in figura.
y
a. Determina l’equazione della funzione f .
b. Determina l’equazione della funzione g.
y = g(x)
c. Risolvi graficamente l’equazione f ðxÞ ¼ gðxÞ.
P
d. Risolvi graficamente la disequazione gðxÞ f ðxÞ.
f ðxÞ > 0
e. Risolvi graficamente il sistema
gðxÞ > 0
gðxÞ 0
f. Risolvi graficamente il sistema
f ðxÞ > 0
–4
–2
–3
O
x
y = f(x)
[a. y ¼ x þ 4; b. y ¼ x 2
242 Le seguenti tabelle esprimono la dipendenza di una certa grandezza y da una grandezza x. Stabilisci se si tratta di legami di proporzionalita` diretta o inversa; in tali casi scrivi esplicitamente la legge che lega y e x.
a.
b.
c.
y
6
4
2
1
3
2
4
0
0
0
1
8
3
3
1
3
2
4
6
12
2
6
4
2
y
12
2
3
3
1
0
2
5
3
7
y
3
6
1
1
0
y
2
d.
x
x
x
x
2
1
x 2 e y ¼ x þ 2 interpreta graficamente le seguenti equazio3
2
ni e cerca di individuare, dal grafico, le loro soluzioni o un intervallo cui tali soluzioni appartengono:
243 Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni y ¼
a.
2
x2¼0
3
b. 1
xþ2¼0
2
c.
2
1
x2¼ xþ2
3
2
Verifica le conclusioni cui sei giunto, risolvendo le equazioni algebricamente.
621
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
244 Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni:
y¼
1
xþ1
2
e
y¼
1
xþ3
2
interpreta graficamente le seguenti disequazioni e cerca di individuare, dal grafico, l’insieme delle soluzioni:
a,
1
xþ1<0
2
b. 1
xþ30
2
c.
1
1
xþ1< xþ3
2
2
ESERCIZI
Verifica le conclusioni cui sei giunto, risolvendo le disequazioni algebricamente.
245 Il grafico della funzione y ¼ mx passa per il punto di
coordinate ð4, 2Þ. Determina m e traccia il grafico della
funzione corrispondente.
1
m¼
2
246 Il grafico di una funzione lineare di equazione
y ¼ mx þ q passa per i punti di coordinate ð0, 3Þ e ð1, 0Þ.
Determina m e q e traccia il grafico della funzione corrispondente.
[m ¼ q ¼ 3]
247 Considera le funzioni:
y ¼ ða 1Þx a þ 3
y ¼ ð2 aÞx þ a 1
Determina per quale valore di a intersecano l’asse x nello
5
stesso punto.
a¼
3
x2
e` invertibile. Qual e` l’e248 La funzione f ðxÞ ¼
xþ3
3x þ 2
spressione analitica dell’inversa?
f 1 ðxÞ ¼
1x
1x
249 La funzione f ðxÞ ¼
e` invertibile. Qual e` l’ex4
4x þ 1
spressione analitica dell’inversa?
f 1 ðxÞ ¼
xþ1
250 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ mx þ 1 e gðxÞ ¼ nx 2.
a. Determina m in modo che f ð2Þ ¼ 5.
b. Determina n in modo che gð1Þ ¼ 3.
c. Traccia i grafici delle due funzioni in corrispondenza dei valori di m ed n trovati.
d. Individua graficamente il punto d’intersezione delle
due rette.
e. Risolvi graficamente la disequazione: f ðxÞ gðxÞ.
f. Determina per quale valore di x risulta:
2f ðxÞ ¼ gð2xÞ
a. m ¼ 2; b. n ¼ 1;
2
d. ð1, 1Þ; e. x 1; f. x ¼ 3
251 Considera le due funzioni:
1 2
x
2
a. Rappresentale graficamente.
b. Risolvi graficamente la disequazione f ðxÞ gðxÞ.
c. Stabilisci se sono invertibili e, in caso affermativo,
determina l’espressione analitica delle due funzioni inverse.
d. Determina l’espressione analitica delle due funzioni
composte f g e g f .
1
b. 0 x 4; c. solo f e` invertibile, f 1 ðxÞ ¼ x;
2 d. ðf gÞðxÞ ¼ x2 , ðg f ÞðxÞ ¼ 2x2
f ðxÞ ¼ 2x e gðxÞ ¼ 622
252 Considera le due funzioni:
f ðxÞ ¼
1
x 3 gðxÞ ¼ 3 x
2
a. Rappresentale graficamente.
b. Risolvi graficamente la disequazione f ðxÞ gðxÞ.
c. Giustifica perche´ le due funzioni f e g sono invertibili, e determina l’espressione analitica delle due funzioni inverse.
d. Determina l’espressione analitica delle due funzioni
composte f g e g f .
b. x 4; c. f 1 ðxÞ ¼ 2ðx þ 3Þ, g 1 ðxÞ ¼ gðxÞ;
1
1
d. ðf gÞðxÞ ¼ ðx þ 3Þ, ðg f ÞðxÞ ¼ 6 x
2
2
Problemi
253 La temperatura dell’acqua nell’Oceano Pacifico e` inversamente proporzionale alla profondita` dell’acqua. A
una profondita` di 500 m, la temperatura dell’acqua e` di
8,8 C. Qual e` la temperatura dell’acqua a una profondita`
di 2500 m?
[1,76 C]
254 Il profitto di un’azienda che produce televisori e` direttamente proporzionale al numero di televisori venduti. Vendendo 25 televisori il profitto dell’azienda e` di
2000 euro. Qual e` il profitto se i televisori venduti sono
105?
[8400 euro]
255 Il profitto mensile derivato dalla vendita di un nuovo tipo di biscotti e` direttamente proporzionale all’investimento realizzato per pubblicizzarli e inversamente proporzionale al prezzo di una confezione. Investendo 60 000
euro in pubblicita` e vendendo ogni confezione di biscotti
al prezzo di 2,5 euro, si realizza un profitto mensile di
12 000 euro. Quale profitto mensile si realizza se il prezzo
dei biscotti aumenta di 50 centesimi e l’investimento pubblicitario aumenta di 30 000 euro?
[15 000 euro]
256 Il massimo peso P che un’asse di legno puo` sopportare senza rompersi varia in modo inversamente proporzionale alla lunghezza L dell’asse. Un’asse di legno di pino di
6 m puo` sopportare al massimo un peso di 1600 kg; per
un’asse dello stesso tipo di legno e avente la stessa sezione:
a. determina la legge che lega P a L;
b. costruisci la rappresentazione grafica di tale legge,
in un piano dove P e` posto in ordinata e L in ascissa;
c. determina il massimo peso che puo` sostenere l’asse
se la lunghezza e` uguale a 8 m.
9600
a: P ¼
; c: 1200 kg
L
` 13
Unita
257 In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB misura 4 e l’altezza AD e`
Funzioni
3
del lato obliquo BC.
5
a. Indica con x la misura di BC e stabilisci quali valori puo` assumere x.
b. Indica con y il perimetro del trapezio ABCD; esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta,
indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
c. Stabilisci per quali valori di x il perimetro di ABCD e` uguale a 10.
4
a. 0 < x < 5; b. y ¼ x þ 8; c. x ¼ 2, 5
5
258 Un triangolo ha un lato di misura 10; il secondo lato misura x e il terzo supera di 1 il doppio di x.
ESERCIZI
a. Determina per quali valori di x esiste un triangolo non degenere i cui lati hanno queste misure.
b. Indicato con y il perimetro del triangolo, esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
c. Determina x il modo che il perimetro del triangolo sia uguale a quello di un quadrato il cui lato misura 5.
[a. Ricorda la disuguaglianza triangolare 3 < x < 9; b. y ¼ 3x þ 11; c. x ¼ 3]
3
di AB.
2
a. Indica con x la misura di AB e con y l’area di ABC ed esprimi y in funzione di x.
b. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza
il tratto che rappresenta il problema.
3
c. Se x aumenta del 10%, di quanto aumenta in percentuale y?
a. y ¼ x2 , con x > 0; c. 21%
4
259 In un triangolo ABC, l’altezza relativa ad AB e`
260 Dati i punti A(0, 0), B(0, 2), C(3, 2), sia D un punto di ascissa positiva appartenente all’asse x. Esprimi, in funzione
dell’ascissa x di D, la misura y dell’area del trapezio ABCD.
a. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza
il tratto che rappresenta il problema geometrico e precisando se si tratta di una funzione di proporzionalita` diretta.
b. Qual e` la misura dell’area del trapezio se x ¼ 5?
c. In corrispondenza di quale valore di x l’area del trapezio e` uguale a 10?
[a. y ¼ x þ 3, con x > 0; b. 8; c. 7]
261 Un solido e` formato da un parallelepipedo rettangolo, sormontato da una piramide la cui base coincide con la faccia superiore del parallelepipedo. Gli spigoli di base del parallelepipedo misurano 3 cm e 1 cm. L’altezza della piramide e`
1 cm in piu` di quella del parallelepipedo. Indica con x la misura (in centimetri) dell’altezza del parallelepipedo e con y il
volume (in centimetri cubi) del solido. Esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
[y ¼ 4x þ 1]
262 Un parallelepipedo rettangolo avente base quadrata ha superficie laterale uguale a 24 cm2 . Indica con x la misura
dello spigolo di base del parallelepipedo, con h la misura dell’altezza e con V il suo volume. Esprimi h e V in funzione di
x e traccia il grafico della funzioni ottenute, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il
tratto relativo al problema.
6
h ¼ , V ¼ 6x
x
ESERCIZI PER L’ECCELLENZA
263 Considera la funzione di equazione y ¼
x3 þ 2x2 x 2
.
x2 1
a. Determina il suo dominio.
b. Traccia il grafico della funzione, dopo aver semplificato la frazione algebrica che compare al secondo membro dell’equazione. In che cosa differisce il grafico della funzione data rispetto al grafico di una funzione lineare?
264 Considera la funzione di equazione y ¼
2x3 þ x2 5x þ 2
.
x2 þ x 2
a. Determina il suo dominio.
b. Traccia il grafico della funzione, dopo aver semplificato la frazione algebrica che compare al secondo membro dell’equazione. In che cosa differisce il grafico della funzione data rispetto al grafico di una funzione lineare?
265 Considera la funzione di equazione y ¼
4 x2
.
x3 4x
a. Determina il suo dominio.
b. Traccia il grafico della funzione, dopo aver semplificato la frazione algebrica che compare al secondo membro dell’equazione. In che cosa differisce il grafico della funzione data rispetto al grafico di una funzione di proporzionalita`
inversa?
623
Tema C
Equazioni, disequazioni e funzioni
Esercizi dalle gare di matematica
266 Siano f ðxÞ ¼
A
2x
e f ðgðxÞÞ ¼ x; allora gðxÞ ¼
3x þ 4
3x þ 4
2x
B
3x
2x þ 4
C
2x þ 4
4x
D
4x
2 3x
E altra funzione
[D]
(Kangourou 2007)
ESERCIZI
267 Il grafico della funzione f , illustrato in figura, e` formato da un segmento e da due semirette. Qual e` l’insieme di tut-
te le soluzioni dell’equazione f ðf ðf ðxÞÞÞ ¼ 0?
A f4, 0g
y
B f8, 4, 0g
C f12, 8, 4, 0g
4
D L’insieme vuoto
E f16, 12, 8, 4, 0g
–7 –4
4
O
x
–3
[C]
(Kangourou 2003)
268 Siano f ðxÞ ¼
A
1
2
x
3
9
3
1
x þ e f ðgðxÞÞ ¼ x; allora gðxÞ ¼
2
3
B
2
2
x
3
9
C
1
2
xþ
3
9
D 2
2
xþ
3
9
E altra funzione
[D]
(Kangourou 2007)
SOLVE MATH IN ENGLISH
269 The function f satisfies: f ðxÞ þ f ð2x þ yÞ þ 5xy ¼ f ð3x yÞ þ 2x2 þ 1 for all real numbers x, y. Determine the value
of f ð10Þ.
[49]
(Harvard - MIT Mathematics Tournament 2008)
270 Let f ðxÞ be the function f ðxÞ ¼ 2x 10. For what value of x does f ðf ðxÞÞ ¼ 2x?
[15]
271 Let f ðxÞ ¼ 2x 4 and gðf ðxÞÞ ¼ x3 þ 4x 3. Find gð6Þ.
272 Let f ðxÞ ¼ ax þ b. Find a and b such that f 1 ðxÞ ¼ 3x 5.
624
[142]
1
5
a¼ ,b¼
3
3
Prova di autoverifica
Funzioni
1
Vero o falso?
a. uno zero della funzione f ðxÞ ¼
b.
c.
d.
2
Determina il dominio delle seguenti funzioni:
1
1
5
c. y ¼ 2
b. y ¼
a. y ¼ 2
x þ4
2x 8
x 7x
d. y ¼
...
...
...
F
V
F
V
F
V
F
V
F
1
x2 þ 10x þ 25
4 La seguente tabella e` relativa a una funzione di proporzionalita` inversa.
a. Completala.
x
y
b. Scrivi l’espressione analitica
3
2
della funzione.
2
...
c. Rappresenta la funzione gra-
3 La seguente tabella e` relativa a una funzione di proporzionalita` diretta.
a. Completala.
x
y
b. Scrivi l’espressione analitica
2
þ4
della funzione.
1
...
c. Rappresenta la funzione gra-
0
V
ESERCIZI
e.
1
e` x ¼ 1
x1
la funzione y ¼ x þ 1 e` di proporzionalita` diretta
se due grandezze sono inversamente proporzionali, allora il loro rapporto e` costante
1
il grafico della funzione y ¼ x2 e` una parabola con la concavita` rivolta verso l’alto
2
le due funzioni y ¼ 2x 1 e y ¼ 2 x þ 1 sono rappresentate da due rette parallele
ficamente.
1
...
2
...
6
6
...
3
ficamente.
Considera la funzione f ðxÞ ¼ mx 1.
a. Determina m in modo che f ð6Þ ¼ 3.
b. Traccia il grafico della funzione in corrispondenza del valore di m trovato, determinando in particolare le coordinate dei suoi punti d’intersezione con gli assi cartesiani.
3
6 Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni f ðxÞ ¼ x þ 3 e gðxÞ ¼ x þ 1, risolvi graficamente:
2
a. l’equazione f ðxÞ ¼ gðxÞ;
b. la disequazione f ðxÞ gðxÞ;
f ðxÞ < 0
c. il sistema
.
f ðxÞ > gðxÞ
5
7 Il tempo T necessario per svolgere un certo lavoro e` inversamente proporzionale al numero P di persone impiegate.
Il lavoro verrebbe concluso in 3 ore impiegando 4 persone. Scrivi la formula che esprime T in funzione di P e determina
il tempo necessario a concludere il lavoro se vengono impiegate 6 persone.
Sia ABCD un rettangolo in cui il lato AB e` il doppio del lato BC. Sia inoltre M il punto medio del lato BC. Indicata
con x la misura del lato BC e con y l’area del trapezio AMCD:
a. esprimi y in funzione di x;
b. traccia il grafico della funzione ottenuta indipendentemente dai limiti geometrici, mettendo in evidenza il tratto
relativo al problema;
c. determina di quanto aumenta in percentuale l’area del trapezio AMCD se la misura del lato BC del rettangolo aumenta del 10%.
8
Valutazione
Esercizio
Punteggio
1
2
3
4
5
6
7
8
Totale
0,2 5 ¼ 1
0,25 4 ¼ 1
1
1
1,5
1,5
1
2
10
Punteggio
ottenuto
Tempo massimo: 1 ora
Risposte p. 706
Scheda per il recupero
625
Tema C
Verso le competenze
Verso le competenze
Utilizzare le tecniche del calcolo algebrico,
rappresentandole anche sotto forma grafica
Risolvi le seguenti equazioni.
1
1
1
ð6x þ 3Þ 5 ¼ ð9x þ 6Þ
2
3
2
x2 ðx þ 1Þ2 ¼ 2ðx þ 2Þ þ 3
3
3½5 2ðx 1Þ ¼ 2½3 2ðx þ 2Þ
4
5
6
2
1
4
[8x 2 R]
19
10
2
ðx 1Þ ðx þ 1Þ ¼ xðx þ 1Þ þ ð1 xÞð3 þ xÞ
[1]
x2
1
x
1
3
¼ 4
6
12
22 ðx 6Þ þ 0,25 ¼ 0,2ð2 xÞ
5ðx 2Þ 10
8
ðx 1Þðx þ 2Þ ðx 1Þ2 3x 1
9
1
ðx 5Þ < 0,2ð3 3xÞ
3
11
1
x1
2x 3
x
5
15
20
31
ð2x 1Þ2 ðx þ 2Þ2 > 0
32
1
1
>
x1
x2
33
x2
1
2x 2
3 3x
34
x2 3x
<0
4x
5ðx 1Þðx þ 1Þ ðx þ 1Þ2 > ð2x 1Þ2 þ 3x [x < 7]
1
1
1
1
þ
[x 5]
x
3
2
3
2
x1
x
5x
2
3
10
[x 2]
15
x
4
Risolvi le eseguenti equazioni.
17
18
19
20
21
22
626
5
4
þ ¼3
x
x
4
3
¼
2x 10
5x
2x 1
3
¼
x2
x2
1
1
1
þ
¼
2x 2
3x2 3
4x þ 4
1
1
2
þ
¼ 2
2x 4
2x þ 4
x 4
1
1
1
2
¼ 2
x2 5x þ 4
x 1
x 3x 4
23
1
2
1
þ 2
¼
2x þ 2
x 1
1x
24
x2
1
¼1
x2 2x þ 1
2x 2
25
1
1
1
¼ 2
þ 2
2x x2
x 4
x þ 2x
35
36
37
38
[3]
[Impossibile]
[Impossibile]
13
3
39
40
[Impossibile]
41
[6]
5
3
1
3
[Impossibile]
[20 < x < 10]
1
x< _x>3
3
[1 < x < 2]
4
x<1_x
3
[0 < x < 3 _ x > 4]
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
8
2
2
>
< ðx þ 4Þ < ðx 4Þ
[8 x 2 R]
21 ðx 2Þ 31 ð2 xÞ
ðx 2Þ2 x2
5
1<x
2
0
x2 þ 10x 200 < 0
[Impossibile]
7
x<
3
4
x
5
13
x
2
2
5 2x
[x < 3 _ x > 3]
30
13
16
1
x
<
2
x3
[17]
ðx þ 1Þðx 1Þ ðx þ 2Þ 4ðx 1Þ
15
28
[5 x < 2]
29
12
14
[x 4]
1
x2
x
2
3
10
1
1
xþ2
3
27
[4]
Risolvi le seguenti disequazioni e rappresenta sulla retta reale l’insieme delle soluzioni.
7
Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie o riconducibili a disequazioni di primo grado.
x
1
2
2
3 0
26
x < 2 _ x xþ2
3
>
: x x3 <1
2
3
8
2
2
>
< ð1 xÞ ð1 xÞ > x
[x < 0]
[x 6]
>
: 1 x x 1 1
5
35
8
2
>
ð2x
1Þ
< ð2x 1Þð2x þ 1Þ <
1
<
x
<
1
_
x
2
> x
2
:
2
x1
8 2
>
4 1
< 2
x þ0,3
3
9
[Impossibile]
>
:
2
2
ð2x 1Þ þ ð2x þ 1Þ 2ð2x 3Þð2x þ 3Þ
8
>
<1 1 < 1
3
x
3
0<x<
>
2
:
ðx 1Þ2 ð4 xÞ2
8
1
>
>
< 1 3
2x þ 2
x < 1
>
2
>
: x2 1
3x
Trova per quali valori di k l’equazione
kx 2 ¼ 4xðk 1Þ k
a.
b.
c.
d.
e` impossibile;
e` indeterminata;
e` determinata e ha come soluzione x ¼ 0;
e` determinata e ha come soluzione x ¼ 1.
4
3
a. k ¼ ; b. nessun valore di k; c. k ¼ 2; d. k ¼
3
2
Tema C
43
Risolvi e discuti l’equazione:
ðx þ aÞ2 þ að4x þ aÞ ¼ ðx þ 2aÞ2 þ 4a
Determina poi per quale valore di a:
a. e` equivalente all’equazione ðx 1Þ2 ¼ ð3 xÞ2 ;
b. e` equivalente all’equazione ðx 1Þ2 ¼ ð4 xÞ2 .
1
a. Nessun valore di a; b. a ¼
2
Considera le due funzioni:
1
3
gðxÞ ¼ x 4
f ðxÞ ¼ x k
2
2
a. Determina k in modo che il grafico della funzione f
passi per il punto di coordinate ð4; 2Þ.
b. Traccia i grafici delle due funzioni f e g, determinando in particolare le coordinate dei loro punti di intersezione con gli assi cartesiani.
c. Dopo aver risolto graficamente l’equazione
f ðxÞ ¼ gðxÞ, risolvila anche algebricamente.
d. Dopo aver risolto graficamente la disequazione
f ðxÞ gðxÞ, risolvila anche algebricamente.
8
a. k ¼ 4; b. (8, 0) e
, 0 ; c. x = 4; d. x 4
3
44
Considera le due funzioni:
k
gðxÞ ¼ 2x
f ðxÞ ¼
x
a. Determina k in modo che il grafico della funzione f
passi per il punto di coordinate (2, 4).
45
b. Traccia i grafici delle due funzioni f e g.
c. Dopo aver risolto graficamente l’equazione
f ðxÞ ¼ gðxÞ, risolvila anche algebricamente.
d. Dopo aver risolto graficamente la disequazione
f ðxÞ gðxÞ, risolvila anche algebricamente.
[a. k = 8; c. x ¼ 2; d. x 2 _ 0 < x 2]
46 In figura sono rappresentati i grafici di due funzioni
lineari y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ.
Basandoti sulle informazioni che puoi dedurre dai grafici,
risolvi le seguenti equazioni e disequazioni:
a. f ðxÞ ¼ 0
Verso le competenze
Trova per quali valori di t l’equazione
t2
t
x ¼ tx
3
3
a. e` impossibile;
b. e` indeterminata;
c. e` determinata e ha come soluzione x ¼ 3.
10
a. t ¼ 3; b. t ¼ 0; c. t ¼ 3
42
y
b. gðxÞ 0
c. f ðxÞ ¼ gðxÞ
y = f (x)
d. f ðxÞ > gðxÞ
f ðxÞ
0
gðxÞ
f ðxÞ < 0
f.
gðxÞ 0
y = g (x)
e.
O
1 2
5
x
Risolvere problemi
Un negoziante aumenta il prezzo di un paio di scarpe del 10%; a fine stagione, dopo avere praticato su quest’ultimo prezzo uno sconto del 20%, le scarpe vengono
vendute al prezzo di 66 euro. Qual era il prezzo originario
delle scarpe?
[75 euro]
47
48 Si vuole formare la somma di 8 euro e 40 centesimi
con 30 monete, alcune da 20 e altre da 50 centesimi.
a. Quante monete da 20 e quante da 50 sono necessarie?
b. Quale sarebbe la risposta al problema se si volesse
formare la somma di 8 euro?
[a. 22 monete
da 20 centesimi e 8 da 50 centesimi; b. impossibile]
Un rappresentante puo` scegliere tra due piani di retribuzione diversi. Il piano A prevede un salario mensile
fisso di 600 euro, piu` una percentuale del 6% sulle vendite; il piano B prevede un salario fisso mensile di 800 euro,
piu` una percentuale dell’8% sulle vendite superiori ai
5000 euro. Sotto quali condizioni il piano A e` piu` conveniente del piano B, supponendo che le vendite mensili
superino sempre i 5000 euro?
[Per vendite mensili
51
inferiori a 10 000 euro il piano A e` piu` conveniente]
52 Un numero naturale soddisfa entrambe le seguenti
condizioni:
49 Paolo vorrebbe comprare un paio di pantaloni che
costano 63 euro, ma non ha la cifra sufficiente. Se avesse
nel portafoglio il doppio di quello che ha, allora avrebbe
esattamente la cifra che gli servirebbe per comprare i pantaloni, piu` la somma che gli manca per poterli comprare.
Quanto ha Paolo nel portafoglio?
[42 euro]
a. il doppio del numero, diminuito di 3, e` maggiore o
uguale a 11;
b. sottraendo da 100 il numero si ottiene un numero
maggiore di 80.
Quali e quanti sono i numeri naturali che soddisfano
queste proprieta`?
[Ci sono 13 numeri naturali
che soddisfano le condizioni a. e b.]
Paolo dipinge una stanza in 2 ore; Marta in 3 ore. Se
lavorano insieme, quanto tempo impiegano a dipingere
la stanza?
[1 ora e 12 minuti]
53 La somma dei reciproci di due interi consecutivi e`
11 volte il reciproco del prodotto dei due numeri. Quali
sono i due numeri?
[5; 6]
50
627
Tema C
In un quadrilatero ABCD, l’angolo Bb e` il doppio di
b supera di 50 la somma di A
b e di Bb; l’angolo
b; l’angolo C
A
b. Determina le ampiezze
b supera di 60 il quadruplo di A
D
degli angoli del quadrilatero.
b ¼ 125 ; D
b ¼ 25 ; Bb ¼ 50 ; C
b ¼ 160 ]
[A
Paolo pedala a una velocita` superiore a quella di Anna di 12 km/h. Nel tempo in cui Paolo percorre 60 km,
Anna ne percorre 40. A quali velocita` pedalano Paolo e
Anna?
[Paolo: 36 km/h; Anna: 24 km/h]
54
60
Paolo lava la sua auto in 1 ora e 30 minuti; lavorando
insieme ad Anna, impiega 40 minuti. Quanto impiegherebbe Anna, da sola, a lavare l’auto?
[1 ora e 12 minuti]
Verso le competenze
55
1
del
Da un serbatoio pieno d’acqua si toglie prima
4
1
contenuto, poi
dell’acqua rimanente; infine, togliendo
3
i restanti 60 litri di acqua, il serbatoio resta vuoto. Determina quanti litri di acqua erano contenuti inizialmente
nel serbatoio.
[120 litri]
61
56 In un rettangolo, la misura di un lato supera di k la
misura dell’altro lato. Aumentando le misure dei due lati
di k, l’area del triangolo aumenta di 10k2 . Quanto misurano i due lati del rettangolo?
[4k; 5k]
62 In un Paese in cui ogni cittadino e` tenuto a pagare
in tasse il 20% del proprio reddito, un anno l’aliquota viene abbassata al 15%. In tale Paese viene pero` contestualmente introdotta una tassa di 800 euro che ogni contribuente e` tenuto a pagare. Quali cittadini sono stati avvantaggiati dal nuovo regime fiscale, rispetto all’anno
precedente?
[Coloro che hanno un reddito superiore a 16 000 euro]
57 La somma del numeratore e del denominatore di
una frazione e` 18. Sommando 8 al numeratore e sottraendo 8 dal denominatore, si ottiene la frazione reci
proca. Qual e` la frazione?
5
13
58 Il tempo necessario a scaricare da Internet un file e`
inversamente proporzionale alla velocita` della connessione. Un file viene scaricato in 24 minuti alla velocita` di
256 KB/s. Quanto tempo sara` necessario per scaricare lo
stesso file alla velocita` di 32 KB/s? Esprimi il risultato in
ore e minuti.
[3 ore e 12 minuti]
63 Un’imposta, da cui sono esenti coloro che hanno
un reddito inferiore a 10 000 euro, prevede un’aliquota
pari al 15% per i redditi compresi tra 10 000 euro e 30 000
euro; sul reddito eccedente i 30 000 euro, l’aliquota diventa del 30%. Stabilisci che cosa si puo` dire del reddito x
(in euro) del sig. Bianchi:
a. se non deve pagare nulla;
b. se paga un’imposta compresa tra 2400 e 3600 euro;
c. se paga un’imposta superiore a 6000 euro.
[a. x < 10 000; b. 16 000 < x < 24 000; c. x > 35 000]
59 12 operai di un’azienda, lavorando 8 ore al giorno
per 10 giorni, producono 12 000 pezzi. Quanti giorni occorrerebbero per produrre, nelle stesse condizioni, 18 000
pezzi con 16 operai che lavorano 6 ore al giorno?
[15 giorni]
Interpretare grafici e dati
Nel grafico qui sotto sono rappresentate le funzioni che descrivono il moto di due auto X e Y. Esse partono contemporaneamente e percorrono la stessa autostrada, in versi opposti: X da Milano verso Bologna e Y da Bologna verso Milano. Entrambe si fermano una volta durante il tragitto per una sosta all’autogrill.
64
a. Quanto tempo impiega l’auto X ad arrivare a Bologna? E l’auto Y ad arrivare a Milano?
b. Dopo quanto tempo le due auto si sono fermate all’autogrill? Quale ha fatto la sosta piu` lunga: l’auto X oppure l’auto Y?
c. Che cosa accade a 72 minuti dalla partenza? Quanti kilometri hanno percorso le due auto dopo 72 minuti?
Distanza (in km)
Bologna
B
192
120
60
Milano
O
50
628
60
72
120
Tempo
(in minuti)
Tema C
L’intensita` dell’irradiazione solare viene misurata in watt per metro quadrato (W/m2 Þ. Nel seguente grafico e` rappresentata l’intensita` di irradiazione solare rilevata in un parco di Milano in un dato giorno.
65
a. Stabilisci approssimativamente l’intensita`
di irradiazione rilevata alle ore 14.
W/m2
c. Che cosa pensi possa essere successo tra le 10
e le 12?
d. In quale stagione pensi sia stato fatto
il rilevamento?
20
0
7.00
9.00
11.00 13.00 15.00 17.00 19.00 Ore
Verso le competenze
b. Stabilisci approssimativamente a che ora
si e` verificata un’irradiazione di 90 W/m2 .
66 Un parcheggio a pagamento propone ai suoi clienti un abbonamento annuale che permette di ottenere uno sconto
sulla tariffa oraria di sosta. Alessandro si chiede se l’abbonamento puo` risultargli conveniente. Per studiare la situazione
costruisce una tabella con le varie spese che avrebbe con o senza l’abbonamento. Le prime righe della tabella costruita da
Alessandro sono riportate qui sotto.
Costo per i non abbonati (euro)
Costo per gli abbonati,
complessivo di abbonamento e
tariffa per le ore di sosta (euro)
Risparmio rispetto a chi
non ha l’abbonamento
(euro)
0
0,00
60,00
60,00
1
5,00
63,50
58,50
2
10,00
67,00
57,00
3
15,00
70,50
55,50
4
20,00
74,00
54,00
5
25,00
77,50
52,50
6
30,00
81,00
51,00
7
35,00
84,50
49,50
Ore di sosta
a.
b.
c.
d.
Qual e` la tariffa oraria di sosta per chi non e` abbonato?
Qual e` la tariffa oraria di sosta per chi e` abbonato?
Quanto costa l’abbonamento?
Qual e` il numero di ore di sosta per cui l’abbonamento risulta conveniente?
[a. 5 euro; b. 3,5 euro; c. 60 euro;
d. l’abbonamento risulta conveniente se si pensa di sostare al parcheggio per piu` di 40 ore l’anno]
Esporre, ragionare e dimostrare
67
Stabilisci se le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti, giustificando le tue risposte.
a. x2 ¼ x
e
x2 þ 2x ¼ 3x
b. x2 ¼ x
e
10x2 ¼ 10x
c. x2 ¼ x
e
x2 þ
1
1
¼xþ
x
x
d. x2 ¼ x
e
x2 þ
1
1
¼xþ 2
x2 þ 1
x þ1
68
Stabilisci se le seguenti coppie di disequazioni sono equivalenti, giustificando le tue risposte.
a. ðx 1Þ 2x
e
3ðx 1Þ 6x
b. ðx 1Þ 2x
e
3ðx 1Þ 6x
c. ðx 1Þ 2x
e
ðx 1Þx 2x2
d. ðx 1Þ 2x
e
ðx 1Þðx2 þ 1Þ 2xðx2 þ 1Þ
629
Tema C
69 Scrivi un’equazione letterale, nell’incognita x e nel parametro a, che sia indeterminata per a ¼ 1, sia impossibile
per a ¼ 2 e, per a 6¼ 1 e a 6¼ 2 abbia come soluzione x ¼ 3. Come puoi, a partire dell’equazione che hai scritto, scriverne
altre due, formalmente diverse, ma equivalenti?
Verso le competenze
70
Logica Completa le seguenti proposizioni inserendo opportunamente il connettivo ^ o il connettivo _.
a. ðx 2Þðx þ 3Þ ¼ 0
x
¼0
b.
y
c. x 0
equivale a
x ¼ 2 ..... x ¼ 3
equivale a
x ¼ 0 ..... y 6¼ 0
equivale a
x > 0 ..... x ¼ 0
d. 1 < x < 5
equivale a
x > 1 ..... x < 5
e. xðx 3Þ 0
equivale a
x .....
f. xy > 0
equivale a
(x > 0 ..... y > 0) ..... (x < 0 ..... y < 0)
71
.....
x .....
Logica Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false.
a. Per tutti i numeri reali x risulta x2 2x þ 3 ¼ ðx 1Þ2 þ 2
2
2
b. Esiste un numero reale x tale che ðx 1Þ ¼ ðx þ 1Þ .
1
¼ 4.
c. Esiste un numero reale x per cui
x1
d. Esiste un numero reale x tale che
e. Per ogni numero reale x risulta
1
¼ 0.
x2
xþ3
2
¼1þ
xþ1
xþ1
f. Per tutti i numeri reali x risulta 3ð2x þ 1Þ2 0.
2
g. Esiste un numero reale x per cui risulta ðx 4Þ 0.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Logica Fai riferimento al grafico della funzione y ¼ f ðxÞ riportato qui sotto, avente come dominio l’intervallo
9
x 6.
2
a. Per ciascuna delle seguenti proposizioni stabilisci se
y
e` vera, quindi scrivi la proposizione inversa e stabilisci
(3, 5)
se e` vera.
Se x ¼ 0, allora f ðxÞ ¼ 2.
(–3, 3)
Se x ¼ 6, allora f ðxÞ ¼ 6.
Se x > 5, allora f ðxÞ < 0.
Se f ðxÞ ¼ 5, allora x ¼ 3.
O
x
Se f ðxÞ 0, allora 1 x 5.
– 9 , 
 2 0
b. Per ciascuna delle seguenti proposizioni scrivi la ne(0, –2)
gazione e stabilisci quale delle due e` vera.
Per ogni x 2 ½3, 3, risulta f ðxÞ < 5.
Per ogni x 2 ½0, 6, risulta 6 f ðxÞ 5.
Esiste almeno un numero reale x tale che f ðxÞ ¼ 3.
(6, –6)
Esiste almeno un numero reale x tale che f ðxÞ ¼ 6.
72
73
Logica Considera la proposizione: «Se a 0 e b 0, allora a2 b2 ».
a. Dimostrala.
b. Scrivi la proposizione inversa e, tramite un controesempio, mostra che e` falsa.
74
630
Dimostra che se a e b sono numeri reali diversi da zero e tali che a2 > b2 , allora
1
1
< 2.
a2
b
Tema C
Verso le prove INVALSI
1 Per l’acquisto di un computer sono stati spesi 300 euro. Il prezzo e` composto dal costo base piu` l’IVA, pari al 20%
del costo base. Quanto e` stato pagato di IVA?
Risposta: ..................................................................................................
Si sa che a < b e ab < 0. Quale delle seguenti relazioni e` sicuramente vera?
1
1
A a2 < b2
B a2 > b2
C
>
a
b
2
(Esempi di domande per la prova INVALSI, maggio 2011)
D
1
1
<
a
b
E` data l’equazione ð3k 6Þx 5k þ 2 ¼ 0, in cui x e` l’incognita e k e` un numero reale. La soluzione dell’equazione e`
0 per k ¼ ::::::::::
3
(Prova INVALSI 2012)
4
Quale delle seguenti equazioni traduce il seguente problema: «il doppio di x supera di 2 la meta` di x»?
1
1
x
1
b. 2x ¼ 2 þ x
c. x2 ¼ 2 þ
d. 2 þ 2x ¼ x
a. 2x þ x ¼ 2
2
2
2
2
Verso le prove INVALSI
(Prova INVALSI 2011)
La temperatura massima registrata in un certo giorno e` 5 C in piu` della minima. La somma della temperatura massima e minima registrata e` uguale a 12 C. Qual e` stata la temperatura minima registrata in quel giorno?
5
A 3 C
B 3,5 C
C 4 C
D 4,5 C
Quale delle seguenti equazioni ha come soluzione un numero intero?
6
A 10x ¼ 25
B 25x ¼ 40
C 11x ¼ 111
D 9x ¼ 108
7 Considera il numero che, sommato alla sua quarta parte, da` come risultato 15. La somma tra il numero stesso e la
sua meta` e` uguale a:
A 18
B 19
C 20
D 21
Osserva attentamente il grafico (e` quello di un’iperbole equilatera).
8
y
a. Qual e` l’equazione che descrive questo grafico?
1
4x
D y ¼ 4x
A y x ¼ 4
C y¼
B xy ¼ 4
x
O
b. Qual e` il valore di x corrispondente a y ¼ 3?
Risposta: x ¼
9
..................................................................................
Considera la tabella qui sotto. Essa rappresenta i valori di quale delle seguenti funzioni?
x
0
1
2
y
5
3
3
A y ¼ 2x 5
2
B y ¼x 5
C y ¼x5
D y ¼ 2x2 5
10 Per asfaltare una strada, 9 operai impiegano 10 giorni lavorando 8 ore al giorno. Quanti giorni impiegherebbero 6
operai lavorando 10 ore al giorno?
D 12 giorni
7
di tutti gli alunni (sia maschi sia femmine).
11 In una scuola ci sono 220 alunni maschi. Le alunne femmine sono i
18
Quante sono le alunne femmine?
12
A 8 giorni
B 9 giorni
C 11 giorni
A 120
B 130
C 140
D 150
Per quale valore di k la retta di equazione y ¼ ðk 1Þx þ 2 k passa per il punto di coordinate (1, 2)?
A Per k ¼ 1
B Per k ¼ 2
C Per k ¼ 3
D Per nessun valore di k
631
Tema C
13
Verso le prove INVALSI
14
Che cosa rappresenta nel piano cartesiano l’equazione y ¼ 16?
A Un punto
C Una retta parallela all’asse y
B Una retta parallela all’asse x
D Una retta passante per l’origine
Nell’insieme dei numeri reali, la disequazione x2 > 0 e` verificata:
A solo per ogni x > 0
B per ogni x 6¼ 0
C per ogni x
D solo per ogni x < 0
(Prova INVALSI 2013)
L’insegnante di inglese da` ai suoi studenti un test formato da 25 domande e spiega che il punteggio totale p e` calcolato assegnando 4 punti per ogni risposta esatta e togliendo 2 punti per ogni risposta sbagliata o mancante. Se la sufficienza si ottiene con piu` di 60 punti, qual e` il numero minimo di domande alle quali occorre rispondere correttamente
per avere la sufficienza?
Risposta: ..................................................................................................
15
(Prova INVALSI 2011)
16
Qual e` l’equazione della retta rappresentata nel grafico?
A y¼
17
3
xþ3
4
B y¼
3
xþ3
4
C y¼
4
xþ3
3
D y¼
4
x3
3
–4
B 2x2 þ 3
Luca ha 18 anni e la sua eta` supera di 2 anni i
A 38
19
3
O
x
Quale delle seguenti espressioni ha valore positivo per ogni valore reale di x?
A x2 3x
18
y
B 40
C 5x3
D x2 4
2
dell’eta` del padre. Quanti anni ha il padre di Luca?
5
C 42
D 45
Per quale valore di a, se esiste, la retta di equazione y ¼ ða 5Þx þ 1 e` parallela alla retta di equazione 2y ¼ 4x?
A a¼1
B a¼3
C a¼5
D Per nessun valore di a
20 Quale delle seguenti relazioni tra due variabili x e y non rappresenta un legame di proporzionalita` diretta tra le due
variabili x e y?
5
y
1
1
2x
x
¼
¼5
A y¼
B
C y¼
D
4
x
2
3x
y
Per motivi di salute, durante le attivita` sportive non bisognerebbe superare una determinata frequenza del battito
cardiaco. Per anni la relazione tra la frequenza cardiaca massima consigliata e l’eta` della persona e` stata descritta dalla seguente formula:
21
frequenza cardiaca massima consigliata ¼ 220 eta`
a. Recenti ricerche hanno mostrato che questa formula dovrebbe essere leggermente modificata. La nuova formula e`
la seguente:
frequenza cardiaca massima consigliata ¼ 208 (0,7 eta`)
[*]
b. A partire da quale eta` la frequenza cardiaca massima consigliata diventa maggiore come risultato dell’introduzione
della nuova formula?
Risposta: ...........................................................................................
c. Alcune ricerche hanno mostrato che l’esercizio fisico ha massima efficacia quando i battiti sono all’80% della frequenza cardiaca massima consigliata. Facendo riferimento alla formula [*], scrivi una formula che fornisca la frequenza cardiaca f per cui l’esercizio fisico ha la massima efficacia, in funzione dell’eta` e:
f ¼ :::::::::::::::::::::::::
(Adattato dalle Prove Pisa)
632
22
Nella figura e` rappresentato il grafico di una funzione definita nell’intervallo ½4, 3. Quale affermazione e` falsa?
A La funzione ammette esattamente tre zeri.
y
B La funzione assume valori positivi se e solo se 4 < x < 2.
x
–4 –2
O
2 3
Considera l’insieme dei triangoli di area 20 cm2 e indica con x la misura di un lato del triangolo e con y la misura
dell’altezza relativa a quel lato, espresse in centimetri. Quale delle seguenti affermazioni e` vera?
Verso le prove INVALSI
C La funzione assume sempre valori maggiori di 3.
D La funzione assume valori negativi se e solo se 2 < x < 2.
23
A Le variabili x e y sono legate da una relazione di proporzionalita` diretta.
B Le variabili x e y sono legate da una relazione di proporzionalita` inversa.
C Le variabili x e y sono legate da una relazione di proporzionalita` quadratica.
D Le variabili x e y non sono legate da nessuna relazione di proporzionalita`, ne´ diretta, ne´ inversa, ne´ quadratica.
24 In un triangolo isoscele l’angolo al vertice e` un quarto di ciascuno degli angoli alla base. Quanto misura l’angolo al
vertice?
A 20
25
C 30
D 35
Una delle seguenti equazioni non e` equivalente alle altre tre; quale?
A 2x þ 5 ¼ 7
26
B 25
B 6x þ 15 ¼ 21
C 5 ¼ 7 2x
Ho versato come caparra per l’acquisto di un appartamento i
D 2x þ 10 ¼ 14
2
del prezzo totale dell’appartamento. Mi restano da
5
pagare ancora 90 000 euro. Quanto costa l’appartamento?
A 130 000
B 140 000
C 150 000
D I dati sono insufficienti per stabilirlo
Il grafico rappresenta la velocita` di un’auto in funzione del tempo durante un minuto di percorso.
Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false.
v (m/s)
V
F
a. La velocita` massima raggiunta dall’auto e` 16 m/s.
20
b. La velocita` minima raggiunta dall’auto e` 4 m/s.
V
F
27
c. In esattamente tre istanti di tempo la velocita` e` 7 m/s.
d. In esattamente due istanti di tempo la velocita` e` 15 m/s.
e. Dopo la partenza c’e` un istante in cui l’auto si ferma.
V
F
V
F
V
F
16
12
8
4
0
10 20 30 40 50 60
t (s)
Silvia riceve 250 euro per recitare una sera a teatro, piu` il 10% sugli incassi superiori a 1000 euro: per esempio, se
l’incasso e` 800 euro Silvia non riceve alcuna percentuale aggiuntiva, mentre se l’incasso e` 1300 euro Silvia riceve 250 euro piu` il 10% di 300 euro. Il biglietto del teatro costa 18 euro.
28
a. Se Silvia ha incassato complessivamente 375 euro, qual e` stato l’incasso della serata?
b. Risposta: ....................................................................................................................................................................................................................................................
c. Quanti biglietti dovranno essere venduti perche´ Silvia incassi complessivamente piu` di 600 euro?
Risposta: ..........................................................................................................................................................................................................................................................
Scrivi i calcoli che ti hanno consentito di giungere alle risposte:
................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................
633
Prova di competenza
1
Considera l’equazione:
x 2 2 ð2x 1Þ2
5
1
1
1
20
¼
þ
1þ
x
xþ
þ
4
2
2
3
2
2
3
[*]
Prova di competenza
a. Risolvila e verifica che ammette come soluzione x ¼ 3.
b. Nelle seguenti figure sono riportate le interpretazioni grafiche di quattro equazioni di primo grado.
5
y
5
5
P
4
4
3
3
P
y
2
1
O
–2 –1
–1
P
2
1
5
4
4
3
3
2
1
2
1
–2 –1 O 1 2
–1
3
y
P
x
x
x
x
1 2
y
–4 –3 –2 –1 O 1 2
–1
–1 O 1 2
–1
3
4
5
Individua:
i.
ii.
iii.
iv.
la figura che corrisponde a un’equazione equivalente alla [*];
la figura che corrisponde a un’equazione avente soluzione opposta della soluzione della [*];
la figura che corrisponde a un’equazione avente soluzione reciproca della soluzione della [*];
la figura che corrisponde a un’equazione avente soluzione uguale all’opposto del reciproco della soluzione dell’equazione [*].
c. Un numero incognito ha la seguente proprieta`: sia che venga diviso per la soluzione dell’equazione [*], sia che venga aggiunto alla soluzione dell’equazione [*], da` luogo al medesimo risultato. Determina tale numero.
d. Determina per quale valore di k l’equazione ð2x 1Þðx kÞ ¼ 2x2 þ 38 e` equivalente alla [*].
2
Paolo viene assunto come agente di commercio e puo` scegliere fra due diverse forme di contratto:
– il contratto A, che prevede una retribuzione mensile fissa di 800 euro, piu` una percentuale del 5% sul valore delle
vendite in quel mese;
– il contratto B, che prevede una retribuzione mensile fissa di 500 euro, piu` una percentuale del 10% sul valore delle
vendite in quel mese.
a. Determina per quale valore delle vendite mensili il contratto A e` equivalente al contratto B.
b. Determina per quale valore delle vendite mensili il contratto A e` piu` conveniente del contratto B.
c. Scrivi le espressioni analitiche delle due funzioni f e g che esprimono la retribuzione mensile in funzione del valore
x di vendite in quel mese, rispettivamente nel caso del contratto A e nel caso del contratto B. Rappresenta graficamente tali funzioni e interpreta sul grafico i risultati cui sei giunto al punto b.
d. Supponi che Paolo opti per il contratto A e che in un mese percepisca una retribuzione che risulta il 90% di quello
che avrebbe percepito con il contratto B. Quale e` stato l’ammontare delle vendite in quel mese?
e. Dopo un anno, Paolo riesce a ottenere una modifica del contratto in modo da avere una retribuzione mensile fissa
di 1000 euro piu` una percentuale del 15% sulle eventuali vendite mensili eccedenti i 3000 euro. Con quest’ultima forma contrattuale, in un certo mese Paolo ha percepito una retribuzione compresa tra i 1600 e i 1750 euro. Che cosa si
puo` affermare dell’ammontare delle vendite di Paolo in quel mese?
Esercizio
1
2
Competenze
prevalenti
Utilizzare le tecniche e le procedure del
calcolo algebrico e interpretarle graficamente
Individuare strategie per risolvere problemi
Livello
Base: 1a, 1b
Medio: 1c
Avanzato: 1d
Base: 2a, 2b, 2c
Medio: 2d
Avanzato: 2e
Risposte p. 707
634

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