Econometria lezione 18 variabili strumentali Econometria lezione 18 AA 2014-2015 Paolo Brunori regressione con variabili strumentali Econometria lezione 18 variabili strumentali - la distorsione da variabili omesse si risolve inserendo la variabile o una variabile di controllo - in alcuni casi questo è impossibile - la regressione con variabili strumentali (IV) in alcuni casi può risolvere il problema - la distorsione proviene da corr(X , u) 6= 0 - l’intuizione dell’approccio IV: decomporre la variabilità di X e usare solo la componente inccorrelata con u possibili fonti di distorsioni irrisolvibili Econometria lezione 18 variabili strumentali - errori di misura nei regressori - variabili omesse per le quali non è possibile controllare - causalità simultanea Y i = β 0 + β 1 X i + ui Xi = γ0 + γi Yi + ei modello IV Econometria lezione 18 variabili strumentali - variabili endogene - variabili esogene - il modello di partenza è sempre lo stesso: Y i = β 0 + β 1 X i + ui - ma si osserva un’altra variabile Z - Z è uno strumento se soddisfa due condizioni: 1. rilevanza corr(Zi , Xi ) 6= 0 2. esogeneità corr(Zi , ui ) = 0 - l’idea è quella di usare la variabilità di X associata a Z nella regressione di partenza TSLS Econometria lezione 18 variabili strumentali - minimi quadrati a due stadi (Two Stage Least Squares) - prima si scompone X in due parti una parte correlata con u e l’altra incorrelata - sel secondo stadio si usa solo la seconda componente per stimare β1 TSLS Econometria lezione 18 variabili strumentali - primo stadio: Xi = π0 + π1 Zi + vi - la componente π0 + π1 Zi può essere predetta da Z - siccome Z è esogena la prima corr(π0 + π1 Zi , ui ) = 0 - la seconda componente vi è correlata con l’errore ui TSLS Econometria lezione 18 variabili strumentali - secondo stadio: ˆ i + ui Yi = β 0 + β 1 X ˆi = π dove X ˆ0 + π ˆ 1 Zi - sotto le assunzioni di rilevanza ed esogeneità dello strumento: β0TSLS , β1TSLS sono non distorti ancora sull’intuizione Econometria lezione 18 variabili strumentali - questa tecnica compare per la prima volta in un libro di Philip Wright sulle tariffe ottimali sulle importazioni di grassi animali - in realtà si suppone che l’autore della tecnica sia il figlio - anche se l’analisi stilometria attribuisce al padre l’appendice che la contiene - cosa serve per definire un’imposta (o tariffa) ottimale? ln Q = β0 + β1 ln P + ui metodo di introduzione dei fattori esterni (1928) Econometria lezione 18 variabili strumentali - Philip Wright aveva dati su consumo e prezzo del burro dal 1912 al 1922 - possiamo immaginare con un modello di equilibrio di mercato da cosa emergessero queste coppie di valori? metodo di introduzione dei fattori esterni (1928) Econometria lezione 18 variabili strumentali - la stima OLS nella nuvola Q, P non approssima nè una curva di domanda nè una curva di offerta - in teoria possiamo stimare la forma di una delle due solo riuscendo a far variare una tenendo costante l’altra - l’intuizione di Weight: cercare fonti di variazione dell’offerta che non modificano la domanda - scelse il clima: quantità di pioggia nelle zone di pascolo e produzione di latte la pioggia come strumento Econometria lezione 18 variabili strumentali - primo stadio: ln PiB = π0 + π1 Pioggia + vi - secondo stadio \ lnQi = β0 + β1 ln PiB + ui distribuzione campionaria degli stimatori TSLS Econometria lezione 18 variabili strumentali - in grandi campioni β0TSLS , β1TSLS sono consistenti e si distribuiscono normalmente - lo stimatore β1TSLS ha una formula facile con un solo regressore e un solo strumento: SZ ,Y βˆ1TSLS = SZ ,X - dove SZ ,Y e SZ ,X sono le covarianze fra le due coppie di variabili distribuzione campionaria degli stimatori TSLS Econometria lezione 18 variabili strumentali - quando n è elevata: cov(Zi , Yi ) = cov[Zi , (β0 + β1 Xi ) + ui ] - dall’equazione: cov[Zi , (β0 + β1 Xi )] = β1 cov(Zi , Xi ) + cov(Zi , ui ) - se lo strumento è esogeno: cov(Zi , Yi ) = β1 cov(Zi , Xi ) → β1 = cov(Zi , Yi ) cov(Zi , Xi ) distribuzione campionaria degli stimatori TSLS Econometria lezione 18 variabili strumentali - è anche possibile dimostrare che la distribuzione campionaria dello stimatore è asintoticamente normale - in particolare: βˆ1 ∼ (β1 , σβ2ˆTSLS ) 1 - dove: σβ2ˆTSLS = 1 1 var[(Zi − µZ )ui ] n [cov(Zi , Xi )]2 dati sul consumo di sigarette Econometria lezione 18 variabili strumentali - 48 stati degli Stati Uniti - 11 anni (1985-1995) - SaleTax è la frazione dell’imposta sulle sigarette che deriva dall’imposta generale sulle vendite ($ per pacchetto) - Q sono i pacchetti pro capite consumati - P è il prezzo per pacchetto (incluse le imposte) - più una serie di altre variabili elasticità della domanda di sigarette Econometria lezione 18 variabili strumentali - come per il caso del burro la stima OLS è distorta: ln Q = β0 + β1 ln P + ui - SaleTax è un valido strumento? - è rilevante? ha un impatto sul prezzo? - è esogeno? influenza la quantità solo attraverso il prezzo? stima STLS Econometria lezione 18 variabili strumentali - primo stadio: ln Pi = 4.63(0.03) + 0.031(0.005)SaleTaxi - secondo stadio [ ln Qi = 9.72(1.53) − 1.081(0.32)ln Pi - come interpretate (e valutate) questa stima? modello generale di regressione IV Econometria lezione 18 variabili strumentali - abbandoniamo la situazione semplificata - in generale in un modello IV oltre alla dipendente Y abbiamo 3 tipi di variabili I I I regressori endogeni X varaibili esogene incluse W variabili strumentali Z - perché sia possibile una stima IV occorrono almeno tante variabili strumentali m quanti sono i regressori endogeni k m ek Econometria lezione 18 variabili strumentali - i coefficienti di regressione sono detti esattamente identificati se m = k - i coefficienti di regressione sono detti sovreidentificati se m > k - i coefficienti di regressione sono detti sottoidentificati se m < k - non si può stimare STLS in caso di sottoidentificazion il ruolo delle variabili esogene (W ) Econometria lezione 18 variabili strumentali - variabili W possono essere regressori che spiegano il fenomeno indipendentemente dalle altre variabili - possono essere variabili di controllo - possono essere variabili necessarie a rendere lo strumento esogeno - ... ad esempio introdurre il reddito medio fra le W potrebbe eliminare una possibile correlazione fra SaleTax e u il modello generale IV Econometria lezione 18 variabili strumentali - nel caso di un solo regressore endogeno: Yi = β0 + β1 Xi + β2 W1,i + ... + βr+1 Wr,i + ui - primo stadio: Xi = π0 +π1 Z1,i +...+πm Zm,i +...+πm+1 Wm+1,i +...+πm+r Wm+r +vi - secondo stadio: ˆ i + β2 W1,i + ... + βr+1 Wr,i + ui Yi = β0 + β1 X alcune precisazioni Econometria lezione 18 - perchè i risultati della regressione IV siano corretti occorre che tutte le assunzioni necessarie per gli OLS si verifichino - inoltre occorrono le due assunzioni per la validità di ciascuno degli strumenti - gli errori standard della OLS del secondo stadio non sono corretti (non tengono conto che il regressore è un valore predetto) - i pacchetti che stimano modelli TSLS correggono automaticamente - occorre comunque calcolare errori standard robusti per eteroschedasticità variabili strumentali l’elasticità della domanda di sigarette Econometria lezione 18 variabili strumentali - stima utilizzando SaleTax come strumento ln Qi = 9.43(1, 26)−1.41(0.37) ln Pi +0.21(0.31) ln Incomei - stima utilizzando SaleTax e CigTax come strumenti ln Qi = 9.89(0, 96)−1.28(0.25) ln Pi +0.28(0.25) ln Incomei - quale specificazione dovremmo usare? come scegliere gli strumenti? Econometria lezione 18 variabili strumentali - la rilevanza di uno strumento ci dice quanto Z è in grado di informarci su variazioni di X - strumenti che spiegano poco X sono detti deboli - strumenti deboli fanno si che la distribuzione campionaria dello stimatore TSLS non sia normale nemmeno per grandi campioni - la regressione è inaffidabile - se lo strumento è irrilevante β1 diventa zero “test” di debolezza degli strumenti Econometria lezione 18 variabili strumentali - quando cè un solo regressore endogeno la statistica F dell’ipotesi “tutti i coefficienti degli strumenti = 0” è un indicatore di debolezza - una regola empirica è di accettare gli strumenti se F > 10 (una distorsione attesa di al massimo il 10% del valore del coefficiente) - se uno strumento è debole andrebbe scartato - ma se i coefficienti sono esattamente identificati questo non è possibile esogeneità Econometria lezione 18 variabili strumentali - se i coefficienti sono esattamente identificati non è possibile testarne l’esogeneità - serve giudizio - se sono sovraidentificati è possibile testare l’esogeneità - stimando TSLS con uno e con l’altro dovremmo ottenere coefficienti simili test delle restrizioni di sovraidentificazione Econometria lezione 18 variabili strumentali - l’esogeneità implica che gli strumenti sono incorrelati con u TSLS uiTSLS = Yi − (βˆ0TSLS + βˆ1TSLS X1,i + ... + βˆk+r Wr,i ) - se gli strumenti sono esogeni allora stimando: uiTSLS = δ0 +δ1 Z1,i +...+δm Zm,i +...+δm+r Wm+r,i +ei - posso testare l’ipotesi nulla che δ1 = ... = δm = 0 con un F test con k − m gradi di libertà l’elasticità della domanda di sigarette Econometria lezione 18 variabili strumentali - nell’ultima stima (pagina 341) il modello è stimato sfruttando sia gli strumenti sia la struttura panel - le variabili sono definite tutte in differenze (1995 rispetto al 1985) - per cosa ci permette di controllare questa specificazione? - inoltre si usano tutti e due gli strumenti e si verifica sia la rilevanza che l’esogeneità degli strumenti Econometria lezione 18 variabili strumentali incarcerare i colpevoli riduce i tassi di criminalità? Levitt (1996) Econometria lezione 18 variabili strumentali - Y : tasso di criminalità - X : severità delle pene - Z : cause legali per sovraffollamento delle carceri - risposta: sì la dimensione delle classi aumenta il livello medio dei voti? (Hoxby, 2000) Econometria lezione 18 variabili strumentali - Y : voto medio test standardizzato - X : dimensioni delle classi - Z : deviazioni nel numero di nati dal trend di lungo periodo - risposta: no
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