Download, 28 giugno 2014

Il Modello a Prezzi Flessibili
Luigi Balletta, Salvatore Modica
30 giugno 2014
Indice
1 Modello ed Equilibrio con Prezzi Flessibili
2
1.1
Mercato del Lavoro e Reddito di Equilibrio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Il Mercato dei Beni/Fondi Mutuabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Moneta e Livello dei Prezzi
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Analisi Economica
8
2.1
Eetti di una Contrazione nei Consumi
2.2
Politica Anticiclica: Variazioni di
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Shock dell'Oerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
G
ed
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M
8
3 Oerta di moneta e intermediazione nanziaria
11
4 Esercizi
14
5 Soluzioni
16
Introduzione
Nel modello di Solow le economie si muovono lungo il sentiero di sviluppo che le porta allo stato
stazionario, e lungo il sentiero tutte le risorse (capitale e lavoro) sono pienamente utilizzate. Nella
realtà le economie si scostano da questo trend di lungo periodo, con periodi di boom economico e
periodi di crisi. Come accennato nel capitolo precedente vogliamo adesso studiare queste uttuazioni.
Sono uttuazioni `di breve periodo' ma non per questo irrilevanti - in particolare i periodi di crisi,
in cui non tutta la forza lavoro è occupata, possono come sappiamo bene durare anni e provocare
profondi disagi. In parole povere vogliamo vedere cosa può fare il governo per alleviarle, studiando
principalmente la leva scale (spesa pubblica e tasse) e quella monetaria.
1
La funzione di produzione aggregata resta quella del modello di Solow, che assumeremo del tipo
Cobb-Douglas
Y = F (K, L) = K α L1−α
dove come abbiamo detto nel capitolo precedente sarà
¯
K = K
sso, assunzione che di fatto
caratterizza l'orizzonte temporale in cui ci muoveremo.
Abbiamo detto che il passo cruciale è riconoscere che le decisioni di risparmio
soggetti diversi da quelli che decidono sugli investimenti
I(r).
S(Y ) sono prese da
Altro passaggio importante: dobbiamo
introdurre la moneta. Forse non l'avrai notato, ma quella di Solow è un'economia di baratto. E con
la moneta, che serve da unità di conto, dobbiamo reintrodurre il livello dei prezzi
prezzo di
Con
P
- formalmente
Y.
K
dato abbiamo la possibilità di studiare più da vicino il funzionamento dei mercati. Nel-
l'economia che studieremo ci sono
tre mercati :
il mercato del lavoro; il mercato dei fondi prestabili,
dove si incontrano l'oerta di fondi risparmiati e la domanda di fondi da investire; e il mercato della
moneta. I prezzi corrispondenti saranno il salario
Nota che essendo
P
il prezzo di
Y
W,
il tasso di interesse
in termini di moneta (diciamo
r
e il livello dei prezzi
P.
e per ssare le idee), da ciò che
1/P è il prezzo della moneta in termini di Y - il valore della
moneta, formalmente 1 e ' 1/P Y . Analogamente w ≡ W/P è il prezzo del lavoro in termini di
Y , ovvero 1 L ' w Y . Naturalmente w si chiama salario reale.
sappiamo sui prezzi relativi segue che
Il benchmark dei modelli con
K
sso, il primo che studieremo, è quello in cui tutti i mercati sono
competitivi e i prezzi si aggiustano per arrivare all'equilibrio. Assumeremo inoltre che l'economia
sia chiusa agli scambi con l'estero.
La dicoltà sta nel fatto che studieremo l'equilibrio
generale
di questa economia - tutti i mercati devono essere contemporaneamente in equilibrio - che è più
complesso del caso dell'equilibrio nel mercato di un singolo bene. Analizzando l'equilibrio generale
quando si muove una cosa si devono riaggiustare tutti i mercati per ristabilire l'equilibrio. D'altra
parte come vedremo l'equilibrio generale di questa economia è particolarmente facile da determinare.
1 Modello ed Equilibrio con Prezzi Flessibili
1.1 Mercato del Lavoro e Reddito di Equilibrio
La produzione
Y?
lavoro esistente
L?
di pieno impiego (anche detto reddito
è utilizzata:
Y ? = K α (L? )1−α .
2
potenziale )
si ha quando tutta la forza
Stiamo omettendo la barra da
l'unico fattore variabile è
L.
K
per non appesantire la notazione, ma teniamo presente che
I protti aggregati
PY − WL
K
è sso,
aumentano nché il prodotto marginale
del lavoro è maggiore del suo costo marginale. Assumendo mercati competitivi ci saranno imprese
che domanderanno più lavoro nché questa condizione è vericata, sicché la domanda aggregata di
lavoro
LD
LD
sarà la soluzione di
è data da
P FL = W
LD = K[(1 − α)/w]1/α .
cioè
W/P = (1 − α)K α L−α ,1
da cui la domanda di lavoro
Osserva che è decrescente nel salario reale
w.
L'ipotesi di prezzi essibili è che w si aggiusta in modo che la domanda sia uguale all'oerta:
LD = LS
dove
LS
è l'oerta di lavoro.
LS = L?
Quest'ultima è assunta per il momento perfettamente inelastica:
(il che equivale ad assumere che non c'è disutilità dal lavoro).
equilibrio, che uguaglia domanda e oerta, è
w? = (1 − α)K α (L? )−α .
Dunque il salario di
Vedi Figura 1.1
.2
Figura 1.1: Equilibrio nel Mercato del Lavoro
w = W/P
w⋆ = (W/P )⋆
L⋆ = LS
L
Dunque quando il mercato del lavoro è in equilibrio tutta la forza lavoro è sempre occupata, e il
prodotto è sempre
Y ?:
in questo modello non c'è disoccupazione.
Questa conclusione deriva dalla
assunzione cruciale che il salario reale sia perfettamente essibile.
Questa essibilità assicura la
piena occupazione, e il reddito di equilibrio dipende solo dalla funzione di produzione e da
In questo modello
ed il livello dei prezzi
Nota 1.
w,
restano da determinare
P.
la suddivisione della spesa fra consumi e investimenti,
Lo faremo subito nelle sezioni 1.2 e 1.3.
Abbiamo assunto
LS = L? :
cosa cambia se prendiamo una
come nella Figura 1.2? Nota che in questo caso
1 Come
2 Puoi
nel Capitolo 2
L? .
LS (w) = L < L?
LS
vuol dire che quelli in
FL ≡ ∂F/∂L.
vericare che in equilibrio la quota del reddito da lavoro sul PIL è
3
più standard, crescente in
(1 − α).
L? − L
Figura 1.2: Equilibrio con Oerta Lavoro Crescente
w
LS
weq
LD
Leq
al salario
w
preferiscono
occupata; ma c'è
L⋆
L
3 L'equilibrio è quello nella gura: non tutta la forza lavoro è
non lavorare.
disoccupazione ?
La risposta è che non c'è disoccupazione
involontaria, che è quello
che importa: non c'è nessuno che al salario corrente vorrebbe lavorare ma non ne ha l'opportunità.
La conclusione è a tutti gli eetti la stessa di prima, parliamo di un'economia in piena occupazione.
Per inciso: l'oerta di lavoro dipende dal salario
reale
perché da questo dipende la quantità di beni
acquistabili e da questi dipende l'utilità del lavoratore.
1.2 Il Mercato dei Beni/Fondi Mutuabili
Sappiamo che la condizione
riscrivere come
S=I
fondi mutuabili :
di
Y = C+I +G
(dalla denizione
di uguaglianza fra reddito e domanda eettiva si può
S = Y −C −G).
Da questa formulazione si vede che parliamo
quello che i consumatori decidono di non consumare (e dare in prestito) deve
essere uguale a quello che gli investitori vogliono investire (prendere a prestito).
capitolo precedente che
S = S(Y )
ed
I = I(r),
Sappiamo dal
e che la condizione di equilibrio in questo mercato è
S(Y ) = I(r).
Poiché
Y
è determinato nel mercato del lavoro -
Y = Y?
- il risparmio
terminato; l'equilibrio si raggiunge attraverso l'aggiustamento di
Y?
r.
S(Y ) = S(Y ? )
resta de-
Cioè, per supportare il livello
di piena occupazione il tasso di interesse deve equilibrare i ussi nanziari, oerta di risparmio
e domanda di investimenti:
dipende da
r)
e il prezzo
3 Preferiscono
r
I(r? ) = S(Y ? ).
Qui di nuovo l'oerta è inelastica (S
scende nché la domanda
I(r)
= S(Y ? )
non
non la eguaglia. Vedi Figura 1.3.
suggerisce una scelta, e in eetti la curva di oerta di lavoro scaturisce dalla scelta che i vari
individui fanno fra lavoro (che consente di acquistare beni) e tempo libero (che dà utilità direttamente). La scelta
dipende dalle preferenze e da
w
chiaramente. Il discorso è ripreso nell'esercizio 8.
4
S(Y ) = I(r) equivale ad Y = C(Y ) + I(r) + G,
Ovviamente, come sappiamo dal capitolo precedente,
reddito prodotto uguale domanda eettiva. Già che parliamo del capitolo precedente:
IS
corrispondente al dato
r?
è l'r sulla
Y ?.
Figura 1.3: Fondi Mutuabili
r
S(Y ⋆)
r⋆
I(r)
Fondi Mutuabili
Recap veloce n qui: nel mercato del lavoro si determina
si determina
Nota 2.
r? .
Y ?,
Resta da determinare il livello dei prezzi, dati
T
Introducendo le tasse ed i sussidi, indicato con
e dato quello nel mercato dei fondi
Y ? , r? .
l'ammontare di questi trasferimenti
(anch'esso esogeno), la funzione di consumo dipende in eetti dal reddito disponibile
Y − T: C =
C(Y − T ).
Continuiamo
Omettiamo la dipendenza dal parametro esogeno
T
nché non serve.
ovviamente ad assumere, come fatto nel capitolo precedente, che al crescere di
che
S.
In altre parole assumiamo che
Y
aumentano sia
C
0 < C 0 (Y −T ) < 1, da cui segue che anche S 0 (Y ) = 1−C 0 (Y −T )
è fra zero ed uno. Per inciso, come puoi indovinare
C0
ed
S0
si chiamano propensioni
marginali
al
consumo e al risparmio.
Potremmo assumere
I = I(r, Y ),
con
sarebbero complicazioni inessenziali.
Nota 3.
I
crescente in
Y,
ed
S = S(Y, r)
con
S
crescente in
r,
ma
C'è d'altra parte un problema più serio: stiamo assumendo che la domanda di investimenti
viene dalle imprese ma nel problema che risolvono le imprese, descritto nella sezione precedente,
di investimenti - che si fanno per accumulare capitale da usare in futuro - non c'è traccia. Questa
presunta miopia di imprese e consumatori - anche loro, abbiamo assunto che risparmiano in funzione
del reddito corrente, ma nelle decisioni intertemporali conta anche il reddito futuro (atteso) ma del
futuro nel loro comportamento non c'è traccia - è il limite fondamentale dei modelli che studiamo in
questo corso. La Macro moderna è nata proprio per superare questo limite. A questo stadio sarebbe
troppo avanzata, ma è bene sapere che questo è il suo punto di partenza.
5
1.3 Moneta e Livello dei Prezzi
Il mercato della moneta è in equilibrio quando la domanda di moneta
L'oerta è esogena, uguale alla quantità di moneta in circolazione
di moneta è una variabile di decisione per gli agenti.
MD
è uguale all'oerta
M: MS = M.
La domanda
È una domanda di liquidità, nel senso che
rappresenta la parte di patrimonio che si vuole detenere in forma liquida.
patrimonio, che indichiamo qui con
MS.
Tieni presente che il
Π, è uno stock, sso nell'orizzonte in considerazione.
È costituito,
oltre che dalla moneta, dai beni immobili, valori mobiliari (la proprietà delle aziende) ecc, che a
dierenza della moneta generano redditi nel tempo.
liquida sia una sola, indichiamola qui con
Π = M D + BD ,
particolare, dato
BD .
(per `bond', in italiano `titoli'), abbiamo per costruzione
MD
quindi decidere su
Π
B
vuol dire decidere contestualmente anche su
sso, per detenere una unità di
Basta concentrarsi su
Assumendo per semplicità che la forma non
MD
BD .
In
in più bisogna rinunciare ad una unità di
M D.
Nota che la scelta fra moneta e titoli riguarda la ripartizione dello
stock di patrimonio fra liquidità
e titoli fruttiferi, mentre la scelta fra consumi e risparmi riguarda la ripartizione del
usso
di reddito
fra consumi presenti e consumi futuri.
Nota 4.
Per essere espliciti
Π = M D + B D + K , perché il capitale è di proprietà delle famiglie che ne
vendono i servizi alle imprese (infatti il problema delle imprese è massimizzare
Possiamo tralasciare per semplicità di esposizione, perché
Data la spesa nominale
per unità di moneta
PY
e la quantità
V ≡ P Y /M .
cambia mano, ed è chiamata
M
K
P F (K, L)−W L−rK ).
è sso in questo contesto.
di moneta in circolazione resta determinata la spesa
È interpretabile come il numero di volte che l'unità monetaria
velocità di circolazione della moneta.4
La moneta è utilizzata per eettuare gli scambi sui mercati, quindi la domanda di moneta
è funzione crescente del valore
PY
5 D'altra parte è funzione decrescente del costo
degli scambi.
(opportunità) di detenerla, che è il tasso di interesse nominale
che acquistare i titoli
BD
che fruttano i. Di fatto, dato
circolare più velocemente, cioè si domanda
dunque descrivere
MD
come una frazione di
MD
Y
M D = M D (i; P Y ),
con
5 Nel
i cui si rinunzia detenendola piuttosto
per
i
alto si usa poca moneta facendola
V (i) = P Y /M D
i
è crescente.
decrescente nel tasso nominale
Possiamo
i:
1
P Y.
V (i)
∂M D /∂i < 0, ∂M D /∂(P Y ) > 0.
la domanda è funzione decrescente di
4 L'uguaglianza P Y = M V
PY ,
tale che
PY
MD =
Nota che
MD
perché
V (i)
P
ed
è crescente al denominatore, e si espande se
è chiamata equazione quantitativa della moneta.
folklore economico, questa è nota come domanda di moneta per transazioni.
6
Vedi Figura 1.4: dati
Figura 1.4: Domanda di moneta
M
D
=
Y / V(i)
1
PY =
V(i)
1/P
V(i)
1/P
i
DATI P , Y
DATI Y , i
P
i
M
D
M
D
M
P
aumenta; dati
che essendo
P
Y
i
ed
la
MD
M
diventa una iperbole in
1/P ,
L'oerta di moneta
anche
Y = Y?
M,
esogena, è uguale alla domanda se
(dove
r?
si riduce. Nota
P
P? =
Osserva che il livello di prezzi di equilibrio
che risolve
è il
è decrescente nel suo prezzo.
M = P Y /V (i).
Ma nel presente
π
costante abbiamo
M = P Y ? /V (i? ):
V (i? )
·M
Y?
P?
è proporzionale all'oerta di moneta. Una volta
il salario nominale resta denito da
W ? = (W/P )? · P ? .
A questo punto il modello si chiude: nel mercato del lavoro si determina
mercato dei fondi si determina
1/P
è determinato nel mercato dei fondi). Sicché domanda e oerta di
moneta sono equilibrate dal livello dei prezzi
P ?,
MD
(determinato nel mercato del lavoro), e assumendo inazione
i = r? + π ≡ i?
determinato
i
il livello dei prezzi, che rappresenta il prezzo dei beni in termini di moneta,
prezzo della moneta in termini di beni. Dunque la domanda
modello
che si espande se
r? ;
Y ?;
dato questo nel
e dati questi nel mercato della moneta si determina
P ?.
I tre
mercati sono così in equilibrio.
Nota 5.
Puntini sulle i: nell'equilibrio descritto nel testo
assumere che
M,
e quindi
P,
P
è costante, quindi
crescono ad un tasso costante, con
π
π = 0.
Potremmo
costante positiva.
Recap
Ci sono tre mercati in cui in equilibrio domanda e oerta devono bilanciarsi: il mercato del lavoro,
quello dei fondi mutuabili e quello della moneta.
I rispettivi prezzi sono
w, r, P .
Formalmente è
un sistema di tre equazioni in tre incognite. Come sistema di equazioni è del tutto banale perché è
ricorsivo: la prima equazione determina una incognita; data questa la seconda equazione ne determina un'altra; e date queste due la terza equazione si risolve per l'incognita rimanente. Il contenuto
7
economico è però profondo. In questa economia il reddito
cato del lavoro, dal livello
LD (w).
L?
Y?
che è di equilibrio al prezzo
è determinato univocamente nel mer-
w?
L?
che uguaglia oerta
e domanda
La ripartizione del reddito fra consumi e risparmi è determinata nel mercato dei fondi mu-
tuabili, dove il tasso
`reali' L, Y, C, I
r?
uguaglia i risparmi
Y ? − C(Y ? − T ) − G
agli investimenti
I(r).
restano dunque determinate in questi due mercati indipendentemente da ciò che
avviene nel mercato della moneta. Quest'ultimo determina solo il livello dei prezzi
`nanziaria' - che rende la domanda di moneta
nominale
Le variabili
W ? = (W/P )? · P ? .
M D = P · Y ? /V (i? )
Questa è la cosiddetta
P?
uguale all'oerta
- la variabile
M,
e il salario
Dicotomia Classica.
Ripetiamo: l'assunzione centrale dell'analisi è la essibilità del salario reale
w.
Questa assunzione
è realistica se, e solo se, ci si pone in un orizzonte di periodo non troppo breve. Assunto
w
essibile
le conclusioni del modello - piena occupazione e dicotomia - sono indiscutibili.
2 Analisi Economica
I parametri del modello sono
K, G, T
ed
M,
più ovviamente i parametri che descrivono le funzioni
(produzione, consumo e investimenti). Studieremo adesso gli eetti delle variazioni di queste variabili
esogene sull'equilibrio dell'economia.
2.1 Eetti di una Contrazione nei Consumi
Supponiamo avvenga una variazione nelle decisioni di consumo degli individui.
C(Y ) = c + d(Y − T ),
una
˜ )
C(Y
cambiano
c
o
d.
Per esempio se
In generale, supponiamo che la funzione
C(Y )
diventi
più alta o più bassa. È immediato trovare le conseguenze algebricamente: poiché questa
variazione non inuenza il mercato del lavoro, il reddito è
(con salario reale invariato), in entrambi abbiamo
Y?
sia nel vecchio che nel nuovo equilibrio
C +I +G = Y ? ; ma G è sso, quindi ∆C +∆I = 0.
Una variazione del consumo crea soltanto una variazione uguale e di segno opposto negli investimenti.
Se
˜ ? ) − C(Y ? ) = −(I(˜
r˜ è il nuovo tasso di equilibrio avremo C(Y
r) − I(r? )).
Nota che una variazione
del consumo a reddito invariato equivale ad una variazione del risparmio: da
ed
˜ ) ≡ Y − C(Y
˜ )−G
S(Y
˜ ? ) − S(Y ? ):
S(Y
segue
˜ ? ) − S(Y ? ) = −(C(Y
˜ ? ) − C(Y ? )),
S(Y
S(Y ) ≡ Y − C(Y ) − G
quindi
I(˜
r) − I(r? ) =
la variazione di risparmio si traduce in una uguale variazione degli investimenti.
È importante vedere come l'economia passa dal vecchio al nuovo equilibrio. Con l'ausilio della
Figura 2.1 vediamo il caso di una contrazione dei consumi - ovvero un incremento dei risparmi. Nota
bene: l'analisi che segue in questo paragrafo è quella che ripeteremo mille volte no alla ne del
corso. La dinamica verso il nuovo equilibrio è la seguente. Supponiamo che la funzione
una
C(Y ) diventi
˜ ) più bassa, come in gura - equivalentemente, S(Y ) diventa una S(Y
˜ ) più alta.
C(Y
8
Il passaggio
Figura 2.1: Contrazione di
S(Y ∗ )
r
˜ ∗)
S(Y
r∗
r˜
C(Y )
1/P
I(r)
MD
M
Fondi
S ↑ S˜ ⇒ I < S ⇒ r ↓ ⇒ Curva M
D
verso destra ⇒ M
D
> MS
⇒ 1/P ↑ ⇒ M D ↓ lungo la curva. Nuovo eq: P, r pi`
u bassi
S
da
ad
S˜
si traduce in un eccesso di oerta di fondi che spinge verso il basso il tasso di interesse;
questo fa salire la domanda di moneta; l'eccesso di domanda di moneta spinge in alto il suo valore
1/P ,
cioè fa scendere
P.
In pratica i consumatori posseggono meno moneta di quanto vorrebbero,
quindi ne orono di meno alle imprese in cambio dei beni e servizi che da esse acquistano, tirando
giù
P.
Il livello dei salari
W
deve scendere proporzionalmente a
in equilibrio il mercato del lavoro.
˙ /W = 0).
w/w
˙
= P˙ /P − W
P
(cioè tale che
Quindi
Il tasso
i
Lo sbilanciamento iniziale
W
w costante e tenere
scendono allo stesso tasso (P˙ /P
−∆C
I <S
˙ /W
= W
V (i)
così
scenda come
in modo che il mercato della moneta resti in equilibrio
P Y ? /V (i) = M
l'incremento degli investimenti raggiunge
Nota 6.
e
per mantenere
d'altra parte scende alla velocità tale che
˙
V˙ /V ≡ V 0 (i)i/V
= P˙ /P ),
- ricorda che in equilibrio deve essere
P
P
quindi
P/V
deve essere costante. Quando
il nuovo equilibrio è raggiunto.
è come sappiamo equivalente a
C+I+G < Y
un modo sbrigativo di mettere le cose sarebbe: domanda minore di oerta, scende
P.
quindi
Ma non è
così che funziona il modello. Lo sbilanciamento si avverte immediatamente nel mercato dei fondi (il
tasso di interesse varia in tempo reale); l'eetto sui prezzi, meno immediato, è causato dall'eccesso
di domanda di liquidità derivante dalla riduzione del tasso di interesse.
Nota anche che stiamo parlando di ussi e stock: lo sbilanciamento nel mercato dei fondi -
ussi
di risparmi e investimenti - fa scendere il tasso di interesse e questo sbilancia il mercato nanziario
-
stock
di moneta e titoli - che viene aggiustato attraverso la variazione del livello dei prezzi.
2.2 Politica Anticiclica: Variazioni di G ed M
Nell'economia descritta in questo modello non ci sono cicli - il reddito è sso al livello di piena
occupazione - quindi non c'è bisogno di politiche anticicliche.
facessero variare
M
o
G
le conseguenze sarebbero le seguenti.
9
Se per qualche ragione le autorità
L'oerta di moneta
cresce aumenta
P
M
inuenza solo le variabili nominali
P
(da
M = P Y ? /V (i? ))
e
W.
Se
M
perché l'aumento di circolante tira su i prezzi, e aumenta nché la maggiore quan-
tità di moneta sia la frazione desiderata
resta costante. Le quantità reali
1/V (i? ) del nuovo valore di P Y ? ; nota che M/P = Y ? /V (i? )
Y ?, C ?, I ?
e i loro prezzi
w? , r?
dei mercati del lavoro e dei fondi, indipendentemente dal valore di
sono determinati nell'equilibrio
M.
non ha eetti reali, a questa proprietà ci si riferisce come neutralità
provocano soltanto variazioni proporzionali del livello dei prezzi
P
la politica monetaria
Quindi
della moneta. Variazioni di
e dei salari nominali
W.
M
Questa
conclusione di fatto costituisce la base della indicazione monetarista di mantenere stabile l'oerta
di moneta per non generare inazione.
Osservazione.
Come opera la Banca Centrale per variare
M?
La risposta è che va sul merca-
to dei titoli, ed eettua quelle che si chiamano operazioni di mercato aperto: se vuole immettere
nell'economia un ammontare
∆M > 0 acquista titoli per quel valore; viceversa se vuole ridurre l'am-
montare di moneta in circolazione vende titoli - cioè li immette nell'economia - per quell'ammontare.
∆M + ∆B = 0,
In entrambi i casi
e resta
M + B = Π.
Analizziamo ora la politica scale, cioè variazioni di
risolve
L
I(r) = Y ? − C ? − G.
Ma
Y ? = K α (L? )1−α
e
G.
Abbiamo visto che in equilibrio
C ? = C(Y ? − T )
dipendono entrambi solo da
che è sso al livello di equilibrio del mercato del lavoro. Quindi per ogni valore di
I(r) + G
è costante, e dunque
∆I ' I 0 (r)∆r = −∆G
∆I + ∆G = 0.
(nota che
∆G · ∆r > 0
Il tasso
perché
r
r?
G
la somma
varia quanto occorre perché si realizzi
Una variazione nella spesa pubblica
I 0 < 0).
ha il solo eetto di produrre una variazione uguale ma di segno opposto negli investimenti privati
il cosiddetto eetto spiazzamento della spesa pubblica. Il livello dei prezzi
in equilibrio il mercato monetario; per esempio se
equilibrio, dunque
(che aumenta con
di
G
P
r).
G
aumenta
sale, perché nell'equazione di equilibrio
I
ma con
S
P
r
deve aumentare in
P = [V (i)/Y ] · M , V (i)
Un aumento di
consumi/contrazione del risparmio: si contrae l'oerta di fondi,
il livello dei prezzi
si aggiusta per tenere
scende quindi
La dinamica è la stessa che nel caso di variazione di
è una variazione della domanda per consumi.
P
r
G
-
aumenta con
i
C(Y ), perché una variazione
equivale a un aumento dei
sale no a ristabilire l'equilibrio, e
sale per mantenere in equilibrio il mercato della moneta (come nella Figura 2.1
che si sposta verso sinistra invece che verso destra). Va tenuto presente che una contrazione
degli investimenti ha anche conseguenze di lungo periodo perché riduce l'accumulazione di capitale
˙
(K
= I − δK ).
Sulla rilevanza dell'eetto spiazzamento si fonda lo scetticismo nei confronti della
leva scale da parte degli economisti vicini al modello a prezzi essibili.
10
Figura 2.2: Shock Negativo Oerta
Y
w
K α L1−α
1
P
Y∗
↓
w∗
↓
L∗
LD
Quindi
MD
↓
L∗
L
Y ? /V (i) ↓
e fa contrarre
L
Y ? , w? ↓ (LD funzione di K ).
?
?
Quindi 1/P ↓ cioè P ↑
1∗
P
MS
M
M D = [Y /V (i)]/[1/P ].
2.3 Shock dell'Oerta
Uno shock negativo dell'oerta, in questo modello semplice, possiamo pensarlo come un
∆K < 0
(un terremoto per esempio, ma vedremo che il caso è più generale di questo, contiene in eetti
shock all'oerta provocati ad esempio da un aumento del prezzo di una materia prima rilevante
come il petrolio).
K[(1 − α)/w]1/α
Diminuisce
Y ? = K α (L? )1−α .
e quindi, dato che
L?
Diminuisce anche la domanda di lavoro
è invariato, anche
w? = (1 − α)K α (L? )−α .
consumi e risparmi privati (assumendo propensione marginale al consumo
LD =
6 Diminuiscono
C 0 < 1), quindi auiscono
meno fondi al mercato dei capitali; la conseguenza di questa riduzione dell'oerta è un aumento di
e corrispondente diminuzione di
P = [V (i)/Y ] · M , V (i)
I.
Il livello dei prezzi
aumenta con
i
ed
Y
P
r
aumenta, perché nell'equazione di equilibrio
scende. Vedi Figura 2.2. Come avrai notato questo è
lo scenario più negativo: diminuiscono reddito nazionale, investimenti e salario reale, e aumentano
i prezzi.
3 Oerta di moneta e intermediazione nanziaria
Abbiamo parlato senza troppe discussioni (anzi senza alcuna discussione) di moneta in circolazione
M,
ma un minimo di chiarimento ci vuole. Chi stampa moneta è la Banca Centrale, ma il pubblico
(consumatori e imprese) ha a che fare con le banche commerciali. E la moneta in uso dal pubblico
- in circolazione appunto - non è tutta contante, ci sono anche i depositi presso le banche che sono
moneta a tutti gli eetti. Quindi, indicando con
6 In
eetti, in questo modello una diminuzione di
K
Ci
il contante (circolante) e con
Dep
i depositi
equivale ad una diminuzione della produttività marginale
del lavoro. Le imprese trovano meno conveniente assumere lavoratori, ad ogni salario reale, e questo comporta uno
spostamento verso il basso della domanda di lavoro.
11
abbiamo
M ≡ Ci + Dep
La domanda di moneta di cui abbiamo parlato è domanda di circolante e depositi alle banche.
Ma per soddisfarla non occorre che la Banca Centrale stampi banconote per un valore uguale ad
M.
Sicuramente deve stampare il circolante, ma non ha bisogno di stampare anche banconote
per coprire il valore totale dei depositi.
Perché?
Perché le banche i depositi li rimettono quasi
tutti in circolazione prestando a famiglie e imprese (che le usano in parte sotto forma di depositi
rmando assegni) - tranne una parte che tengono in contanti per
riserva.
Le riserve di contanti sono
ovviamente necessarie (i clienti devono poter prelevare), ma non c'è aatto bisogno di avere riserve
uguali ai depositi perché i clienti prelevano normalmente solo una parte dei loro depositi; in generale
le riserve non superano il
20%
dei depositi. Le
banconote
che la Banca Centrale deve stampare per
soddisfare la domanda non sono circolante più depositi ma circolante più riserve. Il resto in pratica
rimane depositato e circola con assegni, carte di credito eccetera. Indicando la quantità di banconote
con
H
e le riserve con
Ris
abbiamo dunque
H ≡ Ci + Ris
La lettera
H
che denota la base monetaria sta per high powered, fra poco vedremo perché.
Intanto nella tabella di sotto ci sono gli schemi di bilancio di Banca Centrale e banche commerciali. Per la Banca Centrale la passività è
H
- se vai a controllare sulle banconote c'è la rma del
Governatore, che in pratica rma un debito con te.
A fronte del passivo ci sono i titoli (in gran
parte di debito pubblico) che la Banca Centrale acquista con la moneta che stampa. Per le banche
commerciali analogamente il passivo è costituito dai depositi dei clienti (se vogliamo i nostri soldi ce
li devono dare), e l'attivo dagli investimenti che le banche fanno con i nostri depositi, e dalle riserve
di contante.
Banca Centrale
Attività
Banche Commerciali
Passività
Attività
Passività
H = Ci + Ris
Ris
Dep
Titoli
Investimenti
Il compito della Banca Centrale è di gestire la liquidità dell'economia, per garantire stabilità o
per ni di politica economica. Come fa la Banca Centrale a variare l'oerta di moneta? In pratica
compra e vende titoli sul mercato: per ridurre la quantità di moneta in circolazione vende titoli sul
mercato; per aumentarla li compra, se è il caso stampando moneta. Nota che quando per esempio
vuole immettere moneta nel sistema comprando titoli in pratica chiede al pubblico di cambiare
12
la composizione del patrimonio
Π,
perché chiede di detenere più liquido e meno titoli; il mercato
monetario viene bilanciato tramite un aumento di
In che misura varia
M
P .7
quando la Banca Centrale agisce su
H?
Dalle denizioni di
M
ed
H
otteniamo (moltiplicando e dividendo)
M =H
dove la disuguaglianza deriva dal fatto che
Ci + Dep
> H,
Ci + Ris
Ris < Dep .
moltiplicatore monetario, perché se i rapporti
catore, che possiamo scrivere come
Ci /Dep
Il fattore che moltiplica
Ris/Dep
e
non variano con
[Ci /Dep + 1]/[Ci /Dep + Ris/Dep] ≡ µ > 1,
H
H
si chiama
il moltipli-
è costante e quindi
∆M = µ∆H > ∆H .
È istruttivo vedere qual è il meccanismo di propagazione monetaria sotto ipotesi semplici. Assumiamo che le riserve siano una frazione costante
circolante sia una frazione costante
γ
la relazione di sopra diventa, usando
dei depositi:
Ris = θDep ,
del totale di moneta domandata:
e che la domanda di
Ci = γM .8
In questo caso
Dep = (1 − γ)M ,
M =H
Supponiamo per semplicare ancora che
∆H/θ.
θ
γ=0
1
.
γ + θ(1 − γ)
(niente circolante) e vediamo da dove spunta
La Banca Centrale stampa diciamo 1 Euro (∆H
= 1)
∆M =
e compra - attraverso una banca
commerciale che fa da intermediario - titoli da una famiglia o impresa. Questa ha 1 Euro in più di
liquidità ma non vuole contanti e deposita tutto presso la sua banca. Questa conserva
investe il restante
1−θ
θ
a riserva e
comprando titoli o prestando ad un'altra famiglia; questa si ritrova con
1−θ
Euro in più in portafoglio e a sua volta li deposita presso la sua banca. Quest'ultima mette a riserva
θ(1 − θ)
e investe il restante
(1 − θ)2 ,
che un'altra famiglia si ritroverà in portafoglio e depositerà, e
il processo continua. L'incremento totale di liquidità
∆M
sarà dunque (somma di serie geometrica)
1 + (1 − θ) + (1 − θ)2 + (1 − θ)3 + · · · =
In questo caso se per esempio
7 Nel
θ = 0.1
1
1
= .
1 − (1 − θ)
θ
otteniamo un moltiplicatore di 10:
prossimo capitolo vedremo una versione del modello in cui
P
∆M = 10∆H .
è sso. In quel caso sarà il prezzo dei titoli a
salire, cioè il tasso di interesse a scendere.
8 Nota
che queste sono ipotesi comportamentali. Non stiamo usando soprascritti per domanda e oerta, stiamo
assumendo di essere in equilibrio.
13
What's Next
P
Il nostro obiettivo nelle sezioni che seguono è vedere cosa succede se
come in questo modello. L'assunzione è in eetti che nel breve periodo
r.
W
e
P
non sono essibili
e W sono più rigidi di
Quanto questa ipotesi sia realistica dipende dall'orizzonte temporale considerato: più si allunga
l'orizzonte, meno la rigidità dei prezzi è difendibile come ipotesi di lavoro; viceversa, più l'ottica in
cui ci si pone è di periodo breve (diciamo mesi) più è appropriata. L'assunzione di rigidità dei prezzi
conduce a posizioni diverse sulla politica economica, per arrivare alle quali partiremo analizzando
una derivazione alternativa dell'equilibrio del modello della Sezione 1.
4 Esercizi
Esercizio 1.
K = 1.
Considera un'economia con funzione di produzione
La funzione di oerta di lavoro è
LS = W/P.
F (K, L) = AK α L1−α
ed assumi
(i) Assumendo prezzi essibili, come nella
sezione 1, calcola PIL e livello di occupazione di equilibrio; come variano al variare di
Argomenta che l'eetto di
A
necessario, paragona con il caso in cui la funzione di oerta di lavoro è rigida
sia
1.
Considera la stessa economia dell'esercizio 1 con
Trova un valore di
Esercizio 3.
(ii)
sul PIL può essere sccomposto in un eetto diretto sulla produttività
e in un eetto indiretto attraverso la variazione del livello di occupazione di equilibrio. (
Esercizio 2.
A?
A per cui la disoccupazione volontaria
Supponi prezzi essibili come nella sezione 1.
α = 2/3.
Sugg.
se
LS = L? .)
Supponi che la forza lavoro
sia approssimativamente pari a
Assumendo
V
0.05.
costante, trasforma
tassi di crescita.
Qual è la
Considera il modello a prezzi essibili della sezione 1 con le seguenti ipotesi:
F (1, L) =
l'equazione quantitativa della moneta
MV = PY
in una relazione tra
correlazione tra tasso di crescita della moneta e tasso di inazione?
Esercizio 4.
2L1/2 , LS = W/P, C = 1/3 + (Y − T )/3, I = 8/3 − r, G = T = 0, M S = 2, V = 4.
l'equilibrio
(r? , (W/P )? , P ? ), (L? , Y ? , C ? , I ? ) per questa economia.
(i) Calcola
(ii) Il Governo decide di spendere
G = 1/3 mantenendo T = 0. Calcola il nuovo equilibrio, descrivi con i graci cosa è cambiato rispetto
al punto (i) e spiega. (iii) La Banca Centrale decide di aumentare l'oerta di moneta a
M S = 4.
Calcola il nuovo equilibrio, descrivi con i graci cosa è cambiato rispetto al punto (i) e spiega. (iv)
La funzione di oerta di lavoro diventa
LS = 8W/P .
Calcola il nuovo equilibrio, descrivi con i graci
cosa è cambiato rispetto al punto (i) e spiega.
Esercizio 5.
(Modello di Baumol-Tobin) Questo esercizio deriva una funzione di domanda di li-
quidità crescente in
Y
e decrescente in
i
partendo da ipotesi micro.
tempo dato (ad esempio, un mese) un consumatore viene pagato
14
Y
All'inizio di un periodo di
tramite versamento su conto
corrente. Il conto frutta tasso di interesse
sumatore preleva
N
i
sull'ammontare depositato. Durante il periodo il con-
volte un ammontare di contanti pari a
Y /N ,
ed in ogni intervallo tra prelievi
spende interamente il contante prelevato. Ogni prelievo costa al consumatore
e fatica dell'andare alla banca.
F
in termini di tempo
I punti che seguono portano a scegliere il numero di prelievi che
minimizza i costi totali, e l'ammontare medio di contante detenuto dal consumatore.
ipotesi argomenta che l'ammontare medio di contante detenuto è
di detenere questo ammontare è
iY /2N.
Y /2N
e che il costo opportunità
(ii) Il costo totale è la somma dei costi di prelievo ed il
N ? che
costo opportunità di detenere contante. Trova il numero di prelievi
F N + iY /2N.
(i) Date le
(iii) La domanda di liquidità è
L(i, Y ) = Y /2N ? .
Sostituisci
minimizza il costo totale
N ? dal
punto precedente.
(iv) Calcola l'elasticità della domanda di moneta al reddito ed al tasso di interesse.
Esercizio 6.
(Real Business Cycle) Ipotizza che due economie
a prezzi essibili della sezione 1, con funzione di produzione
funzione di oerta di lavoro è
HV
e
LV
funzionino come il modello
Fi (1, L) = 2Ai L1/2 , i = HV, LV .
La
LS = W/P. In ogni anno e per ciascuna economia, A è la realizzazione
di una variabile casuale, che assumiamo estratta prima che gli agenti prendano le loro decisioni. Per
l'economia
LV , ln ALV
è distribuito secondo una distribuzione a media
del tempo. D'altro canto,
σ > 0
µ e varianza σ , i.i.d.
nel corso
ln AHV = ln ALV + , dove è una variabile casuale a media zero, varianza
ALV .
e covarianza nulla con
(i) Queste ipotesi implicano che l'andamento del PIL annuale,
nel tempo ed in ciascuna economia, è deterministico o stocastico? Le variazioni del PIL sono esogene
oppure endogene? Spiega. (ii) Analizzando le serie storiche del logaritmo del PIL annuale per le due
economie, ti aspetti che, in media su un periodo sucientemente lungo, un'economia produca più
di un'altra? Spiega (iii) Da quale delle due economie ti aspetti una maggiore variabilità annuale del
PIL? Spiega.
Esercizio 7
.
(Friedman Rule)
Milton Friedman (Nobel 1976) ha sostenuto che la Banca Centrale
debba darsi un target di interesse nominale pari a zero. Dimostra che nel modello a prezzi essibili
che abbiamo studiato questa regola implica che in equilibrio l'oerta di moneta
al tasso
r
M
debba
decrescere
(il tasso di interesse reale).
Esercizio 8
(Scelta fra Consumo e Tempo Libero)
.
La scelta fra lavoro e tempo libero è di fatto
fra consumo e tempo libero, perché con il salario si compra consumo. La funzione di utilità è
dove
c è consumo ed ` tempo libero.
considerata). Le ore lavorate sono
Deve essere
`≤H
h = H − `.
Se indichiamo con
dove
il reddito indipendente dal lavoro il vincolo di bilancio è
reddito potenziale
WH
ne compri
di sinistra della Figura 4.1.
W `.
H
è il tempo totale (nell'unità di tempo
W, p, m
¯
Le combinazioni disponibili di
W
15
il salario, il prezzo di
pc ≤ W h + m
¯ cioè W ` + pc ≤ W H + m
¯:
Questo, insieme al vincolo
Nel pannello centrale è disegnato cosa succede se
u(c, `)
(`, c)
` ≤ H,
c
e
del
è disegnato nel pannello
sono quelle dell'area colorata.
aumenta, e le rispettive curve di indierenza
Figura 4.1: Domanda Tempo Libero
c
W/p
c
ℓD
W H+pc
p
W/p ↑
W/p
m
¯
p
H H+
m
¯
W
H
ℓ
ℓ
H
ℓ
tangenti ai vincoli. Come illustrato (mettiti sull'asse verticale del pannello di destra per vedere),
può succedere che all'aumentare di
W
prima la domanda di
`
scenda - il salario aumenta, lavoro di
più - ma dopo un certo livello cominci a risalire - sono così ricco che mi posso permettere di lavorare
meno.
Nel caso che consideriamo adesso
1, H = 24
m
¯ =0e
questo non succede. Prendi
(le ore di un giorno). Nella la variabile
c = W h.
h = H −`
u(c, `) = `(48 + c − `), p =
il vincolo di bilancio è semplicemente
Risolvi il problema (è banale, sostituisci il vincolo), e verica che la scelta ottima è
h(W ) = [H(W + 2) − 48]/2(W + 1).
Nota che
h(0) = 0,
che
h(W )
è crescente in
W,
e che
limW →∞ h(W ) = 12.
5 Soluzioni
Soluzione Es 1.
Come nel testo, la funzione di domanda di lavoro si ottiene uguagliando la
produttività marginale del lavoro al salario reale:
otteniamo la funzione di domanda di lavoro:
del lavoro richiede
LD = LS .
A1/α (1 − α)1/α w−1/α = w,
α)1/(1+α) A1/(1+α) .
Siccome
(1 − α)AL−α = w,
LD = A1/α (1 − α)1/α w−1/α .
L
L'equilibrio nel mercato
Sostituendo le rispettive funzioni di domanda ed oerta otteniamo
e risolvendo per il salario reale di equilibrio otteniamo
LS = w abbiamo quindi L∗ = (1−α)1/(1+α) A1/(1+α) .
si ottiene sostituendo questo valore nella funzione di produzione
α)(1−α)/(1+α) .
da cui risolvendo per
w∗ = (1 −
Il PIL di equilibrio
Y ∗ = F (1, L∗ ) = A(2−α)/(1+α) (1 −
Sia il livello di occupazione che il PIL sono crescenti in
A.
(ii) Dal capitolo sul modello
di Solow sappiamo che questo parametro rappresenta la produttività totale dei fattori. Notiamo che
l'eetto sul PIL di un aumento di
A
avviene attraverso due canali. Innanzitutto, ad occupazione
invariata, ogni unità di lavoro produce più bene nale: questo è l'eetto diretto. D'altro canto, un
aumento di
A
comporta un aumento della domanda di lavoro e quindi, poiché la funzione di oerta
16
è inclinata positivamente, un aumento del livello di occupazione e del PIL di equilibrio: questo è
l'eetto indiretto.
Ovviamente, nel caso di oerta rigida di lavoro questo secondo canale non è
presente.
Soluzione Es 2.
otteniamo
α = 2/3
Calcolando l'occupazione di equilibrio trovata nell'esercizio 1 quando
L∗ ≈ 0.52A3/5 .
La disoccupazione volontaria è la dierenza tra la forza lavoro e l'occu-
pazione di equilibrio, quindi dobbiamo trovare
A
per cui
0.05 = 1 − 0.52A3/5 .
Risolvendo otteniamo
A ≈ 2.7.
Soluzione Es 3.
essibili,
tempo,
Y
Prendendo i logaritmi otteniamo
è determinato indipendentemente da
γ(M ) = γ(P ) + γ(Y ) = π + γ(Y ).
ln M = ln P + ln Y − ln V .
P.
Quindi, con
V
Nel modello a prezzi
costante, derivando rispetto al
Il tasso di inazione ed il tasso di crescita della moneta
si muovono in rapporto 1:1.
Soluzione Es 4.
ed oerta:
(i) Troviamo il PIL di equilbrio nel mercato del lavoro ponendo uguali domanda
w−2 = w,
da cui
(W/P )? = 1.
funzione di consumo otteniamo
Y ? = C ? +I ?
otteniamo
I ? = 1.
Il PIL di equilibrio è quindi
C ? = 1/3 + 2/3 = 1.
Utilizzando la funzione di investimento troviamo il tasso di interesse
nel mercato della moneta richiede
anche
M = P Y ? /V ,
risolviamo per il livello dei prezzi
W ? = 4.
Dalla
Uguagliando domanda aggregata e produzione
che rende compatibile questo livello di investimenti:
Y? = 1
Y ? = F (1, 1) = 2.
1 = 8/3 − r? ,
da cui sostituendo
P ? = 4.
r? = 5/3.
da cui
M, V
L'equilibrio
(che sono esogeni) ed
Siccome il salario reale è pari ad
1
abbiamo
(ii) Rispetto al caso (i) il salario reale, l'occupazione ed il PIL di equilibrio non
Y ? = 2.
Siccome
il consumo dipende dal reddito disponibile, e questo non cambia, esso resta invariato a
C ? = 1.
cambiano poiché le condizioni del mercato del lavoro non sono cambiate. Quindi
Uguagliando domanda aggregata e produzione abbiamo allora
2 = 1 + I ? + 1/3
Il tasso di interesse che rende compatibile questo livello di investimento è
moneta non cambia, quindi
P ? = 4,
e di conseguenza
W ? = 4.
e quindi
r ? = 2.
I ? = 2/3.
Il mercato della
Nel modello a prezzi essibili il PIL
è determinato nel mercato del lavoro. Di conseguenza, l'unico eetto della politica scale è di far
diminuire gli investimenti privati dello stesso ammontare della spesa pubblica aggiuntiva. Il tasso
di interesse aumenta per rendere compatibile questo nuovo più basso livello di investimenti.
Come nel caso precedente, l'equilibrio nel mercato del lavoro non cambia, quindi
D'altronde, anche le condizioni del mercato dei beni restano invariate, quindi
Dall'equilibrio nel mercato della moneta abbiamo
W ? = 8.
4 ∗ 4 = P ∗ 2,
quindi
(iii)
Y ? = 2, w? = 1.
C ? = I ? = 1 e r? = 5/3.
P ? = 8,
e di conseguenza
La politica monetaria non ha eetti reali. Un aumento dell'oerta di moneta determina un
aumento del livello dei prezzi, e quindi un aumento dei salari nominali che lascia invariato il salario
reale.
(iv) L'equilibrio nel mercato del lavoro richiede
17
w−2 = 8w
e risolvendo
w? = 1/2,
da cui
Y ? = F (1, 4) = 4.
dei beni,
Dalla funzione di consumo
4 = 5/3 + I ? ,
da cui
I ? = 7/3.
2 ∗ 4 = P ∗ 4,
moneta l'equilibrio diventa
C ? = 1/3 + 1/3 ∗ 4 = 5/3.
Il tasso di interesse diventa
P ? = 2,
da cui
e
W ? = 1.
Dall'equilibrio nel mercato
r? = 1/3.
Nel mercato della
L'aumento dell'oerta di lavoro
determina un aumento dell'occupazione, e quindi del PIL di equilibrio. Questo attraverso le funzioni
comportamentali e l'equilibrio nel mercato dei beni fa aumentare il consumo e l'investimento. Inne,
l'aumento del PIL determina un aumento della domanda di moneta, siccome l'oerta resta invariata
il livello dei prezzi deve diminuire per mantenere l'equilibrio nel mercato della liquidità.
Soluzione Es 5.
(i) Un modo semplice di argomentare è il seguente.
un prelievo il consumatore detiene
Y /N ,
Immediatamente dopo
mentre immediatamente prima del prelievo successivo
egli detiene zero (data l'ipotesi che spende tutto l'ammontare prelevato).
detiene
Y /2N
Quindi in media egli
in contante. Detenendo questo ammontare sotto forma di contante rinuncia al tasso
di interesse sul deposito, quindi il costo opportunità è
iY /2N .
F = iY /2N 2 ,
Uguagliando la derivata prima a zero otteniamo
minN (F N + iY /2N ).
p
∗
risolvendo per N =
iY /2F .
(ii) Risolviamo
da cui
La funzione obiettivo è convessa quindi questo è un minimo.
Nota che all'aumentare del costo
del prelievo diminuisce il numero di prelievi, e che all'aumentare del costo opportunità di detenere
moneta, il tasso
i,
aumenta il numero di prelievi, cioè il consumatore va più spesso alla banca
prelevando una quantità minore di contante. (iii) Sostituendo nella domanda di liquidità otteniamo
L(i; Y ) =
p
F Y /2i.
Soluzione Es 6.
Yi? =
4/3
2Ai .
(iv) L'elasticità al reddito è
1/2,
l'elasticità al tasso di interesse è
(i) Possiamo risolvere per il PIL di equilibrio in ciascuna economia ottenendo
Siccome
A
è una variabile casuale, la produzione in ciascun periodo è stocastica
A.
e le variazioni sono esogene, dipendono solo dalla distribuzione di
dell'espressione del PIL di equilibrio otteniamo
e
ln ALV
−1/2.
ln Yi = ln2 + 4 ln Ai /3.
(ii) Prendendo i logaritmi
Nota che le variabili
ln AHV
hanno lo stesso valore atteso, quindi su un periodo sucientemente lungo ci aspettiamo
che in media le due economie producano in media la stessa quantità di output. (iii) L'economia
ha una varianza del logaritmo del PIL più alta, infatti
V AR(ln AHV ) = V AR(ln ALV ) + σ ,
HV
quindi
ci aspettiamo una variabilità del PIL maggiore.
Soluzione Es 7.
Nota che
i = r + π,
quindi
i=0
implica
π = −r
che nel modello a prezzi essibili
Y
M/P = L(Y, i).
in equilibrio è costante. Poiché in equilibrio è costante anche
il tasso di crescita di
Soluzione Es 8.
P
sicché per mantenere
Sostituendo il vincolo
u = (H − h)(48 + W h + h − H) ≡ U (h).
(W + 1)(H − h) e verico che U 00 < 0.
M/P
lo è anche
costante anche
c = Wh
e scrivendo
M
u
Per massimizzarla calcolo
deve crescere al tasso
come funzione di
π
è
π = −r.
otteniamo
U 0 = −(48 − H + (W + 1)h) +
Quindi la scelta ottima è data da
18
h
Ma
U 0 = 0,
che dà l'espressione
nel testo.
19

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