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Sistemi Dinamici:
 Induttore:
 Condensatore:
 Massa:
 Oscillatore meccanico:
 Pendolo:
 Serbatoio cilindrico:
 Serbatoio cilindrico con valvola d’efflusso:
Funzione di Trasferimento:



Stabilità del sistema: (N.B. i poli della fdt coincidono con gli autovalori di A)
 Asintoticamente stabile: se e solo se tutti i poli della sua fdt hanno parte reale negativa;
 Semplicemente stabile: se e solo se tutti i poli della sua fdt hanno parte reale negativa o nulla, almeno uno
ha parte reale nulla, e tutti i poli a parte reale nulla sono semplici;
 Instabile: se e solo se almeno un polo della sua fdt ha parte reale positiva oppure ha parte reale nulla ed è
multiplo;
 Se il Sistema è di ordine
, la condizione necessaria è anche sufficiente Poiché i coefficienti del
denominatore sono tutti
,allora il sistema è asintoticamente stabile.


Criterio di Routh:
 se tutti i
coeff. della 1°colonna sono diversi da 0 il sistema è asintoticamente stabile;

Guadagno Statico: Se
oppure
rapporto tra ingresso e uscita all’equilibrio.
Osservabilità:
Raggiungibilità:
 Confrontare l’ordine della funzione di trasferimento con l’ordine del sistema: se il 1° è inferiore al 2° è
dovuto alla non completa raggiungibilità e/o osservabilità
Movimento: Il moto libero è la parte del movimento che dipende solo dalla condizione iniziale, il moto forzato è la
parte che dipende solo dall'ingresso:
• Risposte Canoniche: Sistemi del primo ordine:





• Sistemi del secondo ordine:



; se
Metodo di Heaviside:
si
ricavano gli α mediante il confronto di quest’equazione con l’espressione originaria di F(s).
Infine:
Trasformate Notevoli:
Risposte in frequenza (Risposta Asintotica):
pulsazione,
fase iniziale e
dove A ampiezza,
l’uscita.
Teorema del valore iniziale:
Teo del valore finale:
Schemi a Blocchi:
 In serie:
È asintoticamente stabile se e solo se lo sono tutti i sottosistemi che compongono la cascata.
 In parallelo:
È asintoticamente stabile se e solo se lo sono tutti i sottosistemi che compongono il parallelo.
 In retroazione:
Non si può affermare nulla sulla asintotica stabilità del sistema in anello chiuso a partire dalla
asintotica stabilità o meno dei due sistemi interconnessi.
Diagramma di Bode del modulo:
 guadagno=μ:
 zeri e poli nell’origine:
;
 zeri e poli reali:
[salgo/scendo di 20]
 zeri e poli complessi e coniugati:
[salgo/scendo di 40]
Diagramma di Bode della fase:
 guadagno=μ:
 zeri e poli nell’origine:
 zeri e poli reali:
 zeri e poli complessi e coniugati:
[salto di
]
Stabilità dei sistemi di controllo:
• Polinomio caratteristico:
[le radici di tale polinomio sono i poli del sistema in anello chiuso]
• Stabilità del sistema in anello chiuso: è asintoticamente stabile se e solo se tutte le radici del polinomio
caratteristico hanno parte reale negativa
• Criterio di Bode:
Tesi: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se il guadagno d’anello e il margine di fase sono
entrambi positivi:
 Pulsazione critica c: pulsazione alla quale il diagramma di
taglia l’asse a 0 dB, ossia:
 Fase critica c: fase di L(j ) in corrispondenza della pulsazione critica, ossia
 Margine di fase m: differenza tra 180° e la fese critica, presa in modulo, ossia:
 Guadagno d’anello μL: guadagno di L(s)
• Andamento qualitativo della risposta di y a y°
Se
• Margine di guadagno:
. Il sistema in anello chiuso è asintoticamente
stabile se
, ed è tanto più robusto quanto maggiore è km.
• Sistemi con ritardo: occorre sommare alla fase critica
• Errore a transitorio esaurito:
 Assenza di disturbo:
 Disturbo in linea di andata:
 Disturbo in linea di retroazione:
 Errore dovuto al segnale di riferimento:
 Errore dovuto al disturbo in linea di andata:
 Errore dovuto al disturbo in linea di retroazione:
,
Errore a regime(se da calcolare mettere il – davanti) :
• Errore dovuto al segnale di riferimento:
• Errore dovuto al disturbo in linea di andata:
• Errore dovuto al disturbo in linea di retroazione:
Progetto del controllore:
• Progetto Statico:
 Quando
 Attenuazione effetto del disturbo
sull’uscita y:
 Attenuazione effetto del disturbo
sull’uscita y:
• Progetto dinamico:
1.
2. Calcolo
pendenza
3. Se c’è ritardo
e disegno il modulo di
;
, se non soddisfa le specifiche scelgo una nuova
e costruisco
;
, nel calcolo della fase critica si somma un fattore di ritardo pari a:
4. Calcolo
che taglia con
e infine trovo
Regolatori PID:
• Taratura analitica PID:
1. Determinare il tipo che impone la specifica statica;
2. Scrivere
in modo tale da cancellare con gli zeri di
3. Calcoliamo
4. Calcoliamo
e
5. Calcoliamo infine
e poniamo
e da quest’ultima ricaviamo il valore di
i poli di
;
;
;
e ricaviamo le varie costanti;
• Taratura automatica PID: (non applicabile se il margine di guadagno di
è infinito)
 Metodo Ziegler-Nichols in anello chiuso: (non sempre applicabile)
1. Si chiude l’anello di controllo con il regolatore PID, imponendo
;
2. Partendo da valori molto piccoli di
si effettua un semplice esperimento, consistente nell’applicare
un piccolo gradino al segnale di riferimento;
3. Si aumenta progressivamente
ripetendo di volta in volta l’esperimento finché non si instaura
nell’anello un oscillazione permanente;
4. Detto
guadagno critico e
il periodo di oscillazione, si tarano i parametri di un
regolatore
sulla base della seguente tabella:
 Metodo Ziegler-Nichols in anello aperto: (non sempre applicabile)
1. Si applica una variazione a scalino all’ingresso del sistema sotto controllo;
2. Si traccia la tangente nel punto di flesso;
3. Si individuano graficamente le intercette
della tangente sugli assi
, rispettivamente;
4. Si tarano i parametri di un regolatore
sulla base della seguente tabella:
Luogo delle radici:
• Regole di tracciamento:
1. Data
definiamo
numero di zeri e numero di
poli;
2. I punti dell’asse reale appartengono:
3. Il numero di asintoti sono
sia per
che per
4. Gli asintoti formano i seguenti angoli:
e si incontrano in:
dove
assume i valori
5. I punti di diramazione dall’asse reale si determinano da:
6. Se
;
;
;
la somma delle parti reali dei poli del sistema in anello chiuso si conserva al variare di ;
7. Asintotica Stabilità:
Coppia di poli complessi e coniugati con
Trasformata zeta:
Sistema asintoticamente stabile se:
e
dati:

Guadagno:

Trasformate Notevoli:

Antitrasformata Zeta: [Heaviside per poli semplici] scrivo Y(z) nella forma

Stabilità: costruisco
, dopodiché faccio il polinomio caratteristico
e
sostituisco
e valuto le radici, se sono a parte reale negativa allora quelle del polinomio in saranno
interne al cerchio unitario centrato nell’origine e quindi è asintoticamente stabile.
Valore iniziale:
Valore finale: [Hp: poli di Y hanno modulo <1 e in z=1]


Diagramma polare:

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