Politecnico di Milano Prof. SILVIA STRADA Sezione P - Z II prova in itinere di Fondamenti di Automatica (Ingegneria Gestionale) A.A. 2013-14 Tempo a disposizione: 2 h. Nome e Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Svolgere i vari punti nello spazio che segue ogni esercizio. • Consegnare esclusivamente il presente fascicolo. • Si raccomandano chiarezza, precisione e concisione nelle risposte. • Utilizzare, per la minuta, i fogli bianchi forniti in aggiunta a questo fascicolo. • Non si possono consultare libri, appunti, dispense. • Non si possono utilizzare dispositivi elettronici di qualsiasi tipo. 10 Febbraio 2014 ESERCIZIO 1 punti: 8 su 32 E’ dato un sistema lineare e invariante descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = (s + 150) (s + 10)(s2 + 2s + 15) 1. Si trovino i valori di y(0), y(0), ˙ y(∞) della risposta ad uno scalino unitario, utilizzando i teoremi del valore iniziale e finale. 2. Si calcoli la risposta a regime del sistema alla sinusoide u(t) = 10sen(5t + π/4). 3. Si scriva un’approssimazione a poli dominanti della funzione di trasferimento del sistema. 4. Sulla base dell’approssimazione individuata al punto precedente, si valutino approssimativamente le principali caratteristiche della risposta ad uno scalino unitario • Valore di regime • Tempo di assestamento • Periodo di eventuali oscillazioni • Massima sovraelongazione relativa percentuale 2 3 ESERCIZIO 2 punti: 5 su 32 Si consideri un sistema lineare invariante di ordine 3 (non sono presenti cancellazioni poli/zeri) la cui funzione di trasferimento G(s) ha associati i diagrammi di Bode (reali ed asintotici) mostrati in figura: Diagramma di Bode − Modulo 60 50 dB 40 30 20 10 0 −1 10 0 10 1 10 pulsazione 2 10 3 10 Diagramma di Bode − Fase 100 50 gradi 0 −50 −100 −150 −200 −1 10 0 10 1 10 pulsazione 2 10 3 10 1. Si risponda alle seguenti domande relative alla funzione di trasferimento G(s), giustificando brevemente ogni risposta: • `e strettamente propria? • `e a fase minima? 4 • il sistema rappresentato da G(s) `e asintoticamente stabile? • qual `e il tipo g? • G(s) possiede zeri? Se la risposta `e affermativa, indicare il valore di tali zeri. • G(s) possiede poli? Se la risposta `e affermativa, indicare se tali poli sono reali o complessi coniugati. Nel caso di poli reali indicare i loro valori, mentre nel caso di poli complessi coniugati indicarne la pulsazione naturale e stimarne lo smorzamento. 2. Dato un segnale sinusoidale in ingresso al sistema, u(t) = 20sin(0.1t), si determini (utilizzando i diagrammi di Bode) il valore della ampiezza della sinusoide in uscita al sistema a regime. 5 ESERCIZIO 3 punti: 5 su 32 1. Si dica, mediante il Criterio di Nyquist, se un sistema retroazionato negativamente con regolatore 1 R(s) = 1 e processo G(s) = `e asintoticamente stabile. (1 + 6s)3 2. Si scrivano i comandi Matlab per tracciare il Diagramma di Nyquist associato a L(s) = R(s)G(s). 6 ESERCIZIO 4 punti: 10 su 32 Si faccia riferimento allo schema a blocchi della figura, che rappresenta un sistema di controllo in retroazione 10 con funzione d’anello L(s) = . (1 + 50s)(1 + 10s)(1 + s)2 d w + - e + L(s) + y 1. Si traccino, negli spazi in scala semilogaritmica forniti, i diagrammi asintotici e reali (approssimati) di Bode del modulo e della fase della funzione d’anello. 2. Si dica, utilizzando il Criterio di Bode, se il sistema in anello chiuso `e asintoticamente stabile. 3. Si calcoli l’errore a transitorio esaurito dovuto ad un riferimento w(t) = sca(t). 4. Si calcoli l’errore a transitorio esaurito dovuto ad un disturbo d(t) = 0.5sca(t). 5. Si calcoli il margine di guadagno della funzione d’anello del sistema retroazionato. 6. Si scrivano i comandi Matlab per calcolare la pulsazione ωπ , il margine di guadagno, la pulsazione critica e il margine di fase del sistema di controllo. 7 P o lite c n ic o d i M ila n o D ip a rtim e n to d i E le ttro n ic a e In fo rm a z io n e P o lite c n ic o d i M ila n o D ip a rtim e n to d i E le ttro n ic a e In fo rm a z io n e Figure 1: Carta semi-logaritmica per il tracciamento dei diagrammi di Bode 8 9 DOMANDE -0.3=risposta errata, 0=risposta non data, +0.8=risposta corretta 1. I diagrammi di Bode sono A. l’unica possibile rappresentazione grafica della funzione di risposta in frequenza B. una delle possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta in frequenza C. una rappresentazione della parte reale e immaginaria della funzione di risposta in frequenza D. una rappresentazione grafica della funzione di trasferimento 2. Si consideri un sistema di controllo con retroazione negativa, funzione d’anello L(s) = 3 e s(1 + 0.1s) set-point a scalino. Allora `e possibile affermare che A. non `e possibile che l’errore a regime sia nullo B. non si pu`o dire nulla C. l’errore a regime `e sempre nullo D. l’errore a regime `e pari a 3 3. Si consideri un sistema descritto dalla funzione di trasferimento A(s) = ingresso a scalino di ampiezza unitaria. Allora 6 e lo si alimenti con un s+2 A. il segnale di uscita y(t), per t → ∞, `e pari a 6 B. il tempo di assestamento di y(t) ´e approssimativamente pari a 10 C. il segnale di uscita y(t),per t → ∞, diverge D. il segnale di uscita y(t), per t → ∞, `e costante e pari a 3 4. La pulsazione delle oscillazioni dell’uscita di G(s) = s2 1 con ingresso a scalino unitario `e + 8s + 20 A. ω = 2 B. ω = 20 √ C. ω = 2 √ D. ω = 20 5. Un sistema con funzione di trasferimento F (s) = 1 esercita sull’ingresso un’azione filtrante (1 + 2s)3 di tipo A. passa-basso con banda passante BP ∼ = [0, 2] ∼ [2, +∞] B. passa-alto con banda passante BP = C. passa-basso con banda passante BP ∼ = [0, 0.3] ∼ D. passa-alto con banda passante BP = [0.5, +∞] 10
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