funzione di trasferimento

Sistemi dinamici a tempo discreto
(approccio con la funzione di
trasferimento)
Prof. Silvia Strada
1
Funzione di trasferimento
 x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k )
sistema LTI

 y (k ) = Cx(k ) + Du (k )
Eseguendo la Trasformata Z delle equazioni si ottiene:
 z[X ( z ) − x(0)] = AX ( z ) + BU ( z )

Y ( z ) = CX ( z ) + DU ( z )
 X ( z ) = ( zI − A) −1 BU ( z ) + z ( zI − A) −1 x(0)

Y ( z ) = CX ( z ) + DU ( z )
[
]
Y ( z ) = Cz ( zI − A) −1 x(0) + C ( zI − A) −1 B + D U ( z )
Trasformata Zeta
movimento libero uscita
Trasformata Zeta movimento
forzato uscita
Y ( z ) = Yl ( z ) + Y f ( z )
2
Funzione di trasferimento
Se il sistema è inizialmente in quiete, cioè tutte le condizioni iniziali sono nulle
[
]
Y ( z ) = Cz ( zI − A) −1 x(0) + C ( zI − A) −1 B + D U ( z )
Y ( z ) = Yl ( z ) + Y f ( z )
Y ( z ) = Y f ( z ) = G ( z )U ( z )
G ( z ) = C ( zI − A) −1 B + D
Funzione di trasferimento del sistema
3
Funzione di trasferimento
Si consideri un sistema con funzione di trasferimento G(z). In generale:
G( z) =
Y (z )
U (z )
Se u ( k ) = imp ( k ) 
→U ( z ) = 1
x(0) = 0
allora la funzione di trasferimento è la Trasformata Z della risposta
all’impulso
G ( z ) = Y (z )
4
Funzione di trasferimento: struttura
(il sistema è SISO,
di ordine n, e
G(z) è razionale)
N ( z)
G (z ) =
D( z )
•
D(z)=φ(z)=det(zI-A)
caratteristico di A
•
N(z) è un polinomio in z
di grado n se D è diverso da zero
di grado <n se D è nullo
è un polinomio di grado n in z ed è il polinomio
salvo cancellazioni tra N(z) e D(z)
5
Funzione di trasferimento: struttura
… in caso di cancellazioni
•
•
G (z ) =
N ( z)
D( z )
D(z) è un fattore di φ(z)=det(zI-A) di grado r<n
N(z) ha grado v<n (v=r solo se D è diverso da zero)
Una cancellazione in G(z) è indicatore dell’esistenza di dinamiche
‘’nascoste’’ del sistema (cioè che esistono nella rappresentazione di
stato e che ‘’si perdono’’ analizzando il sistema solo ingresso/uscita
6
Funzione di trasferimento: poli e zeri
G (z ) =
•
•
•
N ( z)
D( z )
•
•
le radici di N(z)=0
le radici di D(z)=0
sono gli ZERI
sono i POLI
i poli sono tutti autovalori
un autovalore può non essere un polo in caso di cancellazioni
la stabilità dipende dai poli
asintotica stabilità
|si|<1
(salvo cancellazioni)
•
•
•
numero di zeri ≤ numero dei poli
la differenza tra grado di D(z) e di N(z) si dice grado relativo di G(z)
in un sistema strettamente proprio il grado relativo è sempre strettamente positivo
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Funzione di trasferimento: parametrizzazioni diverse
Nel caso discreto, ne esistono 2 sole significative:
β m z m + ... + β1 z + β 0
G(z ) =
α n z n + ... + α1 z + α 0
parametri: β i , α i
ρ costante di
∏ ( z − zi )
(z − z1 )(z − z2 )...(z − zm ) = ρ i =1..m
G (z ) = ρ
(z − p1 )(z − p2 )...(z − pn ) ∏ (z − pi )
i =1..n
parametri:
zi
trasferimento
zeri
pi poli
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Guadagno statico e guadagno della funzione di
trasferimento
 x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k )
Si consideri un sistema LTI

 y (k ) = Cx(k ) + Du (k )
Se la matrice (I-A) è invertibile, ovvero la matrice A non ha autovalori in z=1,
cioè G(z) non ha poli in z=1, il guadagno statico del sistema è
[
y
µ S = = C ( I − A) −1 B + D
u
]
E’ facile verificare che, se G(z) non ha neppure zeri in z=1
µ = µ S = G (1)
e µ è anche il guadagno della funzione di trasferimento
Guadagno statico e guadagno della funzione di
trasferimento
g
Se invece G(z) non ha poli in z=1 ma ha
zeri in z=1
µS = 0
µ = lim( z − 1) G ( z )
g
z →1
dove g è il numero di
zeri di G(z) pari a 1
e µ è il guadagno generalizzato della funzione di trasferimento
Se invece la matrice (I-A) non è invertibile, ovvero la matrice A ha autovalori in z=1,
cioè G(z) ha poli in z=1, il guadagno statico non esiste ma è sempre possibile
definire il guadagno generalizzato della funzione di trasferimento:
µ S non esiste
µ = lim( z − 1) G ( z )
g
z →1
dove g è il numero di
poli di G(z) pari a 1
Dall’equazione alle differenze alla funzione di trasferimento
Si consideri un sistema a tempo discreto descritto dalla sua equazione alle differenze:
y (k ) = α1 y (k − 1) +  + α n y (k − n) + β 0u (k ) + β1u (k − 1) +  + β mu (k − m)
y (−1) = y (−2) =  = y (−n) = 0
Se si vuole invece passare alla funzione di trasferimento associata, si trasformano
entrambi i membri con la Trasformata Zeta e poi si dividono entrambe le parti per
U(z):
Y ( z ) = α1 z −1Y ( z ) +  + α n z − nY ( z ) + β 0U ( z ) + β1 z −1U ( z ) +  + β m z − mU ( z )
β 0 + β1 z −1 +  + β m z − m
β 0 z n − m + β1 z n − m +1 +  + β m
Y ( z) z n
= n⋅
=
= G( z)
−1
−2
−n
n
n −1
U ( z ) z 1 − α1 z − α 2 z −  − α n z
z − α1 z −  − α n
Funzione di trasferimento
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Esempio
Si determini la risposta allo scalino unitario u(k)=sca(k) del sistema discreto
descritto tramite l’equazione alle differenze
y (k ) = 0.5 y (k − 1) + u (k )
partendo da c.i. nulla. La fdt che si ricava è:
1
G( z) =
1 − 0.5 z −1
La trasformata Z del segnale di ingresso è:
U ( z) =
z
z −1
Quindi, la trasformata Z del segnale d’uscita è:
z2
Y ( z ) = G ( z )U ( z ) =
( z − 0.5)( z − 1)
Facendo lo sviluppo di Heaviside della funzione Y(z)/z si ottiene:
Y ( z)
2
1
=
−
z
( z − 1) ( z − 0.5)
y (k ) = 2 − 0.5k
k ≥0
Prof. Silvia Strada
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Sistemi discreti FIR (Finite Impulse Response)
Sono sistemi dinamici LTI a tempo discreto con tutti i poli nell’origine (sempre
asintoticamente stabili)
Il movimento dell’uscita del
sistema
ha un comportamento particolare. Lo vediamo:
n
n −1
G( z) =
bn z + bn −1 z
+  + b1 z + b0
zn
z nY ( z ) = (bn z n + bn −1 z n −1 +  + b1 z + b0 )U ( z )
y (k ) = bnu (k ) + bn −1u (k − 1) +  + b1u (k − n + 1) + b0u (k − n)
Proprietà 1. L’uscita a un istante dipende solo dagli ultimi n valori
dell’ingresso
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Sistemi discreti FIR (Finite Impulse Response)
Calcoliamo la risposta allo scalino unitario:
y (0) = bnu (0) = bn
y (1) = bnu (1) + bn −1u (0) = bn + bn −1
y (2) = bnu (2) + bn −1u (1) + bn − 2u (0) = bn + bn −1 + bn − 2

y (n) = bnu (n) + bn −1u (n − 1) +  + b1u (1) + b0u (0) = bn + bn −1 +  + b1 + b0 = G (1) = µ
y (n + 1) = bnu (n + 1) + bn −1u (n) +  + b1u (2) + b0u (1) = bn + bn −1 +  + b1 + b0 = G (1) = µ

y (n + m) = bn + bn −1 +  + b1 + b0 = G (1) = µ
∀m ≥ 1
Proprietà 2. la risposta ad un ingresso costante raggiunge il valore di equilibrio (regime)
in un tempo finito. In particolare, se n è l’ordine del sistema, dopo n passi.
Un sistema LTI continuo non può invece mai raggiungere il
valore di equilibrio o regime in un tempo finito ma solo infinito.
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Esempio
G( z) =
Y ( z)
=
U ( z)
z2 +
3
5
z+
8
4
3
z
Calcolare i primi 5 valori o campioni della
risposta forzata allo scalino del sistema
5
3

z 3Y ( z ) =  z 2 + z + U ( z )
4
8

3
5
y (k + 3) = u (k + 2) + u (k + 1) + u (k )
8
4
3
5
y (k ) = u (k − 1) + u (k − 2) + u (k − 3)
8
4
k
u(k)
0
1
1
1
2
1
3
1
y(k)
5
3
y (0) = 0 + ⋅ 0 + ⋅ 0 = 0
4
8
5
3
y (1) = 1 + ⋅ 0 + ⋅ 0 = 1
4
8
5
3
9
y (2) = 1 + ⋅1 + ⋅ 0 =
4
8
4
5
3
y (3) = 1 + ⋅1 + ⋅1 =
4
8
5
3
y ( 4) = 1 + ⋅ 1 + ⋅ 1 =
4
8
21
8
21 uguali!
8
15
Esempio
Step Response
3
2.5
uscita
Amplitude
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (seconds)
tempo k
16
Ritardo di tempo
Il ritardo, nei sistemi a tempo discreto, si esprime così:
y ( k ) = u ( k − h)
h intero positivo
Applicando iterativamente la regola della Trasformata Z per il ritard unitario:
Y ( z ) = z − hU ( z )
G( z) =
Y ( z)
1
= z −h = h
U ( z)
z
che è, contrariamente al continuo, una funzione razionale in z.
E‘ un sistema a guadagno unitario con h poli in z=0.
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Elaborazione e analisi di schemi a blocchi
Le regole per la definizione, la connessione e l'analisi degli
schemi a blocchi sono analoghe a quelle già viste per i sistemi
continui e non verranno perciò esplicitamente riprese.
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