1) Scrivere la funzione di trasferimento di un sistema dinamico avente i modi {e −2t sin(3t + ϕ1 ), 1, t , t 2 } T (s) = s2 −1 2) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento T ( s ) = stabilire: ( s + 7) 4 ( s 2 + 2) s Σ è asintoticamente stabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è semplicemente stabile vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è instabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è a fase minima: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ 3) Sia noto che la coppia di funzioni ingresso-uscita ( sin 2t , cos 2t ) appartiene all’insieme dei behaviors B di un sistema dinamico. Determinare una funzione y (t ) tale che ( 2 cos 2t , y (t ) ) ∈ B : y (t ) = s +1 viene applicato l’ingresso s+4 u (t ) = 4 ⋅1(t ) (segnale a gradino). L’uscita corrispondente ha la struttura y (t ) = A + Be−4t per t > 0 . e B= . Determinare le costanti A = 4) Ad un sistema dinamico in quiete con funzione di trasferimento 5) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. 3Dy + 2 y = u dove u è l’ingresso e y l’uscita. g (t ) = Determinare la risposta all’impulso di Σ : 6) Scrivere la funzione di trasferimento di una generica rete ritardatrice Cr ( s ) = 7) Determinare la trasformata di Laplace del segnale f (t ) = 3 ⋅1(t − 4) : F (s) = s 2 + 2s 8) Un sistema dinamico Σ è rappresentato dalla funzione di trasferimento . Determinare i ( s + 1)( s + 2)( s + 4) suoi poli: {poli di Σ} = { } 9) Dato il segnale definito da f (t ) = 0 per t < 0 e f (t ) = 7 + 5t per t ≥ 0 determinarne la derivata seconda generalizzata: D*2 f (t ) = s3 + s stabilire quanti sono i poli e gli s3 − s 2 + s + 2 zeri in ^ − , ^ + ed in j \ (asse immaginario del piano complesso): Numero dei poli in ^ − = Numero degli zeri in ^ − = Numero dei poli in ^ + = Numero degli zeri in ^ + = Numero dei poli in j \ = Numero degli zeri in j \ = 10) Dato un sistema dinamico con funzione di trasferimento s2 −1 1) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento T ( s ) = stabilire: ( s + 7) 4 ( s 2 + 2) 2 s Σ è asintoticamente stabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è semplicemente stabile vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è a fase minima: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è instabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬ 2) Sia noto che la coppia di funzioni ingresso-uscita ( sin 3t , 4sin 3t ) appartiene all’insieme dei behaviors B di un sistema dinamico. Determinare una funzione y (t ) tale che ( 3cos 3t , y (t ) ) ∈ B : y (t ) = s +1 viene applicato l’ingresso s+4 u (t ) = 12 ⋅1(t ) (segnale a gradino). L’uscita corrispondente ha la struttura y (t ) = A + Be −4t per t > 0 . Determinare le costanti A = e B= . 3) Ad un sistema dinamico in quiete con funzione di trasferimento 4) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. 4 Dy + 3 y = u dove u è l’ingresso e y l’uscita. Determinare la risposta all’impulso di Σ : g (t ) = 5) Scrivere la funzione di trasferimento di un sistema dinamico avente i modi {e −2t sin(7t + ϕ1 ), 1, t} T (s) = 6) Scrivere la funzione di trasferimento di una generica rete anticipatrice Cr ( s ) = 7) Dato il segnale definito da f (t ) = 0 per t < 0 e f (t ) = 9 + 2t per t ≥ 0 determinarne la derivata seconda generalizzata: D*2 f (t ) = 8) Determinare la trasformata di Laplace del segnale f (t ) = 7 ⋅1(t − 5) : F (s) = s 2 + 4s 9) Un sistema dinamico Σ è rappresentato dalla funzione di trasferimento . Determinare i ( s + 3)( s + 4)( s + 9) suoi poli: {poli di Σ} = { } s2 + 7s + 1 stabilire quanti sono i poli e gli s3 + s 2 + s + 1 zeri in ^ − , ^ + ed in j \ (asse immaginario del piano complesso): Numero dei poli in ^ − = Numero degli zeri in ^ − = Numero dei poli in ^ + = Numero degli zeri in ^ + = Numero degli zeri in j \ = Numero dei poli in j \ = 10) Dato un sistema dinamico con funzione di trasferimento PARTE A A1) Si esponga il metodo di progetto di una rete a ritardo e anticipo con imposizione del margine di fase M F . A2) Determinare l’evoluzione forzata y (t ) in risposta al gradino unitario u (t ) = 1(t ) di un sistema con funzione 1 di trasferimento G ( s ) = . ( s + 1)( s + 2) Tale evoluzione forzata y (t ) è di classe C1 su \ ? [giustificare la risposta data] Università di Parma – Facoltà di Ingegneria Prova Scritta di Controlli Automatici A PARTE B B1) Sia assegnato il seguente sistema retroazionato r + e −3s (1 + 2s )2 C (s ) - c dove C ( s ) = K > 0 è un controllore proporzionale. 1) Si determini utilizzando il criterio di Nyquist il campo di stabilità (esatto) in K che assicuri la stabilità asintotica del sistema retroazionato; 2) Si approssimi il ritardo finito e −3s con un approssimante di Padè del primo ordine e si determini il campo di stabilità (approssimato) in K mediante il criterio di Routh. Discutere e confrontare i risultati ottenuti ai punti 1 e 2. B2) Sia dato il seguente sistema u + C(s) - con P ( s ) = d + P(s) y + 4 . s+2 Determinare un controllore proprio di ordine minimo C ( s) che soddisfi alle seguenti specifiche: 1) reiezione infinita asintotica al disturbo sinusoidale d (t ) = 3sin 3t , 2) sistema retroazionato asintoticamente stabile con poli dominanti in −2 ± j , 3) costante di posizione K p = 4 . Parte C1 Sia dato il seguente sistema meccanico dove x1 e x2 rappresentano le posizioni di due masse rispetto ad un sistema di riferimento orizzontale, scelto in modo tale che per x1=0 e x2=0 il sistema si trovi in equilibrio, K è la costante elastica delle due molle e u è una forza esterna agente sulla massa. 1) Determinare l’equazione differenziale che determina il moto delle due masse. 2) Determinare la funzione di trasferimento P( s) tra la forza u e la posizione della massa x1 3) Posto M = 1kg , K = 1N/m , determinare il diagramma di bode di P ( s ) e calcolare le pulsazioni di risonanza del sistema. Parte C2 Si tracci il luogo delle radici della seguente equazione caratteristica: 1+ K s ( s + 3) ( s + 2) per K ∈ [ 0, +∞ ) , determinandone in particolare gli asintoti. 4