NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
VINCENZO C. NARDOZZA
1. Prefazione
Lo scopo di queste note è duplice: da un lato si intende ridistribuire i pesi tra
i contenuti del testo adottato per il corso evidenziando alcuni risultati basilari che
nel testo sono inclusi tra gli esercizi. Dall’altro lato, si è inteso aggiungere risultati
integrativi esposti a lezione, e riportati in queste note. Ho inteso aggiungere un
congruo numero di esercizi (a integrare quelli del testo, per i motivi su esposti), il
cui scopo è di agevolare l’assimilazione dei concetti astratti coinvolti. Pertanto, si
consiglia di provare concretamente a svolgere quanti più esercizi possibile, per uno
studio corretto di questi argomenti. Naturalmente, prima di procedere nella lettura
di queste note, lo studente dovrebbe essere ben certo di aver acquisito i seguenti
concetti base presentati sul testo:
•
•
•
•
•
•
•
operazione binaria su un insieme non vuoto;
associatività di un’operazione;
elemento neutro per un’operazione;
simmetrico di un elemento rispetto un’operazione;
commutatività di un’operazione;
gruppo, gruppo abeliano;
potenza (multiplo) di un elemento di un gruppo.
Una buona prassi per accertarsi di aver ben compreso tali concetti è quella di
provare a scrivere le loro definizioni, e poi confrontare attentamente ciò che si è
scritto con quel che è riportato sul testo, considerando con cura eventuali differenze.
2. Nozioni di base
Esercizio 1. Provare che le seguenti strutture sono gruppi:
• (Z, +), (Q, +), (R, +);
• ({1, −1}, ·);
• (Q∗ , ·), (R∗ , ·).
Provare che le seguenti strutture NON sono gruppi:
•
•
•
•
(Q, ·), (Z, ·), (R, ·);
(Q∗ , +);
({1, −1}, +);
(N, ·), (N, +).
Nota: con Q∗ si intende Q \ {0}, etc.
Esercizio 2. Sia X un insieme non vuoto, e sia Sym(X) := {f : X → X |
f bigettiva}. Provare che (Sym(X), ◦) è un gruppo.
Sia poi X X := {f | f : X → X}. La struttura (X X , ◦) è un gruppo?
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Esercizio 3. Sia X = {1, −1, i, −i} munito dell’operazione associativa · che estende la moltiplicazione e tale che i · i = −1. Provare che (X, ·) è un gruppo. E’
abeliano?
Esercizio 4. Sia Q8 = {1, −1, i, −i, j, −j, h, −h} munito dell’operazione · ottenuta
estendendo la moltiplicazione tra numeri reali nei casi ovvi, in modo da essere
associativa e in aggiunta soddisfacente le seguenti regole:
i2 = j 2 = h2 = −1
i · j = h,
j·h=i
h · i = j.
La struttura (Q8 , ·) è un gruppo? E’ commutativa?
Esercizio 5. Sia X un insieme, e sia G = ℘(X). Per ogni A, B ⊆ X, poniamo
A4B := (A \ B) ∪ (B \ A) (la differenza simmetrica tra A e B) .
Provare che (℘(X), 4) è un gruppo. Lo è anche la struttura (℘(X), ∪)? Lo è la
struttura (℘(X), ∩)?
Esercizio 6. Sia (G, +) un gruppo, S un insieme non vuoto, e sia
GS := {f | f : S → G}.
Muniamo GS della seguente operazione: ∀ f, g ∈ GS ,
f +g : S
s
→ G
.
→ f (s) + g(s)
Provare che (GS , +) è un gruppo. Provare che è abeliano se e solo se G è abeliano.
Le seguenti proprietà semplici da dimostrare sono diretta conseguenza della definizione di gruppo, e dovrebbero essere tenute sempre presenti nei calcoli concreti.
Lemma 1. Sia (G, ⊥) un gp. Allora:
(1) ⊥ ha un unico elt neutro;
(2) ∀x ∈ G il simmetrico x di x è unico;
(3) ∀x ∈ G, si ha x = x
(4) ∀x, y ∈ G si ha (x⊥y) = y⊥x.
Dimostrazione. La dimostrazione delle proprietà elencate è un buon esercizio. Pertanto, qui ne presento un paio, e lascio le altre alla cura del lettore.
Per ciò che riguarda il primo punto: se e, u ∈ G fossero elementi neutri per ⊥,
allora si avrebbe
e = e⊥u = u
↑
↑
u neutro
e neutro
e quindi e = u.
Per il punto 4., dobbiamo provare che y⊥x è il simmetrico di x⊥y, quindi che
(y⊥x)⊥(x⊥y) = (x⊥y)⊥(y⊥x) = e.
Chiarito questo, basta effettuare i calcoli utilizzando l’associatività di ⊥.
Lemma 2. Sia (G, ⊥) un gruppo. In G valgono le leggi di cancellazione a sinistra
e a destra: ∀a, b, c ∈ G risulta
• c⊥a = c⊥b ⇒ a = b;
• a⊥c = b⊥c ⇒ a = b
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Dimostrazione. Basta provare la prima: poichè ∃c ∈ G simmetrico di c, componendo a sinistra ambo i membri dell’uguaglianza c⊥a = c⊥b per c e utilizzando
l’associatività di ⊥ si ha
c⊥(c⊥a) = c⊥(c⊥b) ⇐⇒ (c⊥c)⊥a = (c⊥c)⊥b ⇐⇒ e⊥a = e⊥b ⇐⇒ a = b.
Definizione 3. Se (G, ⊥) è un gp, si dice ordine del gruppo la cardinalità |G|.
Proposizione 4. (Proprietà delle potenze)
Le potenze (i multipli) di un elt g ∈ G seguono le seguenti regole formali:
(1) ∀m ∈ Z risulta em = e;
(2) in particolare, è g −1 = g;
(3) ∀m ∈ Z risulta (g m ) = g m (ovvero: (g m )−1 = (g −1 )m )
(4) ∀m, n ∈ Z risulta g m g n = g m+n
(5) ∀m, n ∈ Z risulta (g m )n = g mn
Se g1 , g2 ∈ G, m, n ∈ Z, risulta inoltre
g1m = g2n ⇐⇒ g1m g2−n = e.
Infine, se g1 , g2 commutano allora ∀ m ∈ Z risulta (g1 g2 )m = g1m g2m .
Osservazione 5. Poichè g −1 = g, potremo scrivere g −1 invece che g. Se l’operazione del gruppo è denotata additivamente, scriveremo −g, simmetrico additivo di
g corrispondente al multiplo di g secondo −1 ∈ Z.
L’ultima affermazione della precedente proposizione è invece falsa se g1 , g2 NON
commutano. Il lettore cerchi un esempio.
3. Sottogruppi
Il concetto di sottogruppo di un gruppo è tra i concetti base esposti nel testo di
riferimento.
Lemma 6. Siano (G, ⊥) un gp e sia S 6 G. Allora l’elemento neutro e di G e il
simmetrico di un elemento di S sono “trasportati” in S, cioè:
(1) e ∈ S ed è l’elt neutro di S;
(2) ∀x ∈ S ⇒ x ∈ S.
Dimostrazione. S deve avere un elt neutro u. Per tale elt, u⊥u = u. Guardando la
relazione in G, si ha e⊥u = e. D’altra parte, e⊥u = u, e quindi u = e ∈ S, per le
leggi di cancellazione.
Se x ∈ S, deve esistere un t ∈ S tale che t⊥x = x⊥t = e. Guardando la scrittura
in G, vuol dire t = x ∈ S.
Al fine di controllare che S 6 G sia in realtà un sottogruppo di G, è utile
utilizzare uno dei seguenti criteri:
Proposizione 7. (Prima caratterizzazione dei sottogruppi)
Siano (G, ⊥) un gruppo e S un suo sottinsieme non vuoto. Allora S 6 G se e solo
se sono verificate le seguenti condizioni:
(1) ∀x, y ∈ S è x⊥y ∈ S;
(2) ∀x ∈ S è x ∈ S.
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Dimostrazione. Se S 6 G le condizioni sussistono ovviamente, essendo S un gruppo.
Viceversa, se valgono le proprietà in oggetto, allora sicuramente la restrizione ⊥|S
dell’operazione di G è un’operazione binaria su S a valori in S, e la sua associatività
è garantita dall’associatività di ⊥ su tutto G. Inoltre
• e ∈ S: dato che S 6= ∅ esiste almeno un x ∈ S. Per la prima condizione, si
ha x⊥x = e ∈ S, e quindi S ha un elemento neutro;
• ∀x ∈ S è x ∈ S per la seconda condizione.
Pertanto, (S, ⊥|S ) è un gruppo.
Proposizione 8. (Seconda caratterizzazione dei sottogruppi)
Sia (G, ⊥) un gruppo e S un suo sottinsieme non vuoto. Allora S 6 G se e solo se
∀ x, y ∈ S risulta x⊥y ∈ S.
Dimostrazione. Di nuovo, se S è un sottogruppo di G allora la condizione è ovviamente soddisfatta. Viceversa, supponiamo che per S valga la condizione esposta e
proviamo che S 6 G. Come prima cosa, e ∈ S: infatti poichè S è non vuoto esiste
almeno un elemento a ∈ S. Allora a⊥a = e ∈ S, avendo supposta vera la proprietà
dell’enunciato. Possiamo allora provare che ∀b ∈ S risulta b ∈ S: infatti scelti x = e
e y = b, per la condizione dell’enunciato si ha in particolare che
b = e⊥b ∈ S.
Infine, per ogni x, y ∈ S, proviamo che x⊥y ∈ S: dato che anche y ∈ S, deve
risultare x⊥(y) ∈ S. Dato che (y) = y, ciò vuol dire x⊥y ∈ S.
Nel caso di insieme finito, si ha più semplicemente il seguente risultato:
Proposizione 9. Sia (G, ⊥) un gruppo e sia S un sottinsieme finito di G. Allora
S è un gruppo se e solo se x⊥y ∈ S per ogni x, y ∈ S (se cioè S è chiuso per
l’operazione di G).
Dimostrazione. Se S è un sottogruppo di G, S è chiuso per l’operazione ⊥ per
definizione stessa di sottogruppo.
Viceversa, fissato s ∈ S, consideriamo la composizione a sinistra per s, cioè la
funzione definita da λs (x) = s⊥x per tutti gli x ∈ S. Dato che per ipotesi S è
chiuso per l’operazione ⊥, la funzione λs è una funzione di S in sè, iniettiva per
le leggi di cancellazione che valgono in G: λs (x) = λs (y) ⇐⇒ s⊥x = s⊥y ⇐⇒
x = y. Dato che S è finito, si ha che λs è anche suriettiva (per il principio dei
cassetti). In particolare, dato che s ∈ S esiste un u ∈ S tale che s = λs (u), e quindi
s = s⊥u. Per le leggi di cancellazione in G segue che u = e, e quindi e ∈ S. D’altra
parte, poichè e ∈ S esiste un t ∈ S tale che e = λs (t), cioè e = s⊥t. Di nuovo,
per le leggi di cancellazione in G, si ha che t = s, e quindi anche s ∈ S. Per la
Proposizione 7, S 6 G.
Osservazione 10. Qualunque gruppo G ha almeno i seguenti sottogruppi: {e}
(sottogruppo banale) e G. Può accadere che essi siano gli unici sottogruppi di G,
come può accadere che ce ne siano altri.
Esercizio 1. Determinare tutti i sottogruppi del gruppo (Q8 , ·).
Esempio 11. Quali sono i sottogruppi di (Z, +)? Sicuramente {0} è uno di essi. Se
H 6 Z è un sottogruppo non banale, allora esiste almeno un h ∈ H \ {0}. Possiamo
assumere che h > 0: se h < 0 allora anche −h ∈ H (perchè?) e −h > 0. In altri
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termini, l’insieme {h ∈ N∗ | h ∈ H} è non vuoto e quindi, per il buon ordinamento
di N, ammette un minimo m. Proviamo che allora H = mZ, l’insieme di tutti i
multipli di m.
Sicuramente mZ ⊆ H: dato m ∈ H ⇒ tutti i multipli di m sono in H (perchè?).
D’altro canto, se x ∈ H allora per la divisione con resto possiamo ottenere gli interi
q, r ∈ Z tali che x = qm + r e 0 6 r < m. Ma x, qm ∈ H ⇒ r = x − qm ∈ H, e
se r 6= 0 si contraddice la minimalità di m. Pertanto r = 0 e m | x, cioè x è un
multiplo di m, e ciò prova che H ⊆ mZ.
Da ciò, in particolare, si deduce che Z ha infiniti sottogruppi, tutti gli insiemi
del tipo mZ per m ∈ N∗ . Tra essi, per m = 1, si ottiene l’intero gruppo Z; d’altra
parte anche {0} si ottiene in quella maniera, come insieme di tutti i multipli di 0.
Perciò i sottogruppi di Z sono tutti e soli gli insiemi mZ, per m ∈ N.
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4. Omomorfismi
Definizione 12. Siano (G, ⊥) e (H, >) gruppi. Una funzione f : G → H si dice
un omomorfismo di gruppi se
f (x⊥y) = f (x)>f (y)
∀ x, y ∈ G.
In tal caso, l’insieme ker(f ) := {x ∈ G | f (x) = eH } = f −1 (eH ) si dice il suo nucleo.
Un omomorfismo si dice
• monomorfismo se è anche iniettivo;
• epimorfismo se è anche suriettivo;
• isomorfismo se è bigettivo.
Essenzialmente, un omomorfismo è una funzione che è compatibile con la struttura di gruppo (informalmente, si usa dire che un omomorfismo “conserva l’operazione”, esprimendo così il senso della condizione caratteristica f (x⊥y) = f (x)>f (y)).
Se f : G → H è un omomorfismo, la funzione f esprime una sorta di legame tra
la struttura di G e quella di H. La forma più stringente di tale legame si ha nel caso
di un isomorfismo: in tale situazione, G e H sono semplicemente due realizzazioni
concrete (e distinte) di una stessa struttura astratta, e come tali i gruppi (G, ⊥) e
(H, >) sono indistinguibili, sono “lo stesso gruppo”. Questo fatto viene evidenziato
anche nella notazione: se f : G → H è un isomorfismo, lo si esprime con G ∼
= H.
Lemma 13. (Proprietà elementari di un omomorfismo)
Siano (G, ⊥), (H, >) gruppi. Se f : G → H è un omomorfismo, allora
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
f (eG ) = eH ;
f (x) = f (x), ∀x ∈ G;
se K 6 G ⇒ f (K) 6 H;
in particolare, f (G) 6 H;
se K 6 H ⇒ f −1 (K) 6 G;
in particolare, f −1 (eH ) = ker(f ) 6 G.
f (g ⊥h ) = (f (g))>h ∀g ∈ G, ∀h ∈ Z.
Dimostrazione. La dimostrazione di queste proprietà elementari è un utile esercizio.
Qui, dimostro solo le proprietà (1) e (5).
(1) Si ha f (eG ) = f (eG ⊥eG ) = f (eG )>f (eG ). Per la legge di cancellazione in
H, segue che eH = f (eG ).
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VINCENZO C. NARDOZZA
(5) Per provare che f −1 (K) 6 G bisogna provare che per ogni x, y ∈ f −1 (K)
risulta x⊥y ∈ f −1 (K), e cioè che f (x⊥y) ∈ K. Ma poichè f è un
omomorfismo, si ha
f (x⊥y) = f (x)>f (y) = f (x)>f (y).
Dato che f (x), f (y) ∈ K e che K 6 H, anche f (y) ∈ K.
Perciò f (x)>f (y) ∈ K, e l’affermazione è provata.
Proposizione 14. Sia f : G → H un isomorfismo tra i gruppi (G, ⊥) e (H, >).
Allora anche f −1 : H → G è un omomorfismo.
Dimostrazione. Sicuramente, f −1 è una bigezione, e basta provare che f −1 è un
omomorfismo. Quindi, siano u, v ∈ H; dobbiamo provare che
f −1 (u>v) = f −1 (u)⊥f −1 (v).
Per definizione di funzione inversa, esiste un unico x ∈ G tale che u = f (x), per
cui f −1 (u) = x. Analogamente, sia f −1 (v) = y ∈ G. Allora per provare che
f −1 (u>v) = x⊥y bisogna provare che f (x⊥y) = u>v. Infatti
f (x⊥y) = f (x)>f (y) = u>v.
Esempio 15. Quali che siano i gruppi (G, ⊥), (H, >), di sicuro esiste un omomorfismo da G ad H: la funzione costante : G → H definita da (x) := eH per ogni
x ∈ G.
Tale omomorfismo è detto omomorfismo banale, e non dà alcuna informazione
particolare del legame tra la struttura di G e quella di H.
Molto più interessante è studiare gli omomorfismi di Z in se. Quindi, sia f : Z →
Z un omomorfismo. Questa semplice assunzione riduce drasticamente le possibilità
di scelta della funzione: basta assegnare un’immagine all’elemento 1 ∈ Z per definire
univocamente l’intera funzione. Infatti, sia f (1) = a ∈ Z. Siccome f deve essere
un omomorfismo, per ogni h ∈ Z si ha
f (h) = f (h · 1)
=
multiplo di
1 secondo h
hf (1) = ha.
Quindi f deve essere la funzione definita da f (h) = ah. E’ facile constatare che
essa è effettivamente un omomorfismo:
f (h + k) = a(h + k) = ah + ak = f (h) + f (k)
(∀h, k ∈ Z).
Quindi tutti gli omomorfismi di Z in sè sono le moltiplicazioni λa per una fissata
costante a ∈ Z. Se a = 0 si ottiene l’omomorfismo banale, se a = 1 si ottiene la
funzione identità. Si noti che a parte il caso a = 0, in cui ker(λ0 ) = Z e λ0 (Z) = {0},
in tutti gli altri casi (a 6= 0) è ker(λa ) = {0}. Inoltre, λa (Z) = aZ, e quindi a meno
che a = 1 l’immagine è un sottogruppo proprio di Z.
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Esercizio 1. Quali sono gli omomorfismi da (Z, +) in (Q, +)?
Esercizio 2. Quali sono gli omomorfismi da (Z, +) in (Q∗ , ·)?
Esercizio 3. Scrivere gli omomorfismi di (Z, +) in (Q8 , ·).
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
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Il nucleo di un omomorfismo è un sottogruppo importante. Qui vediamo il primo
motivo: esso decide l’iniettività della funzione.
Proposizione 16. Sia f : G → H un omomorfismo tra i gruppi (G, ⊥) e (H, , >).
Allora f è iniettivo se e solo se ker(f ) = {eG }.
Dimostrazione. Sappiamo che f (eG ) = eH , per cui eG ∈ ker(f ). Se f è iniettiva,
allora ker(f ) = {eG }: se a ∈ ker(f ) allora f (a) = eH = f (eG ), per cui a = eG per
iniettività.
Viceversa, supponiamo che ker(f ) = {eG } e proviamo che f è iniettivo. Supponiamo quindi che f (a) = f (b) per a, b ∈ G. Allora
f (a) = f (b) ⇐⇒ f (a)>f (b) = eH ⇐⇒ f (a)>f (b) = f (a⊥b) = eH
e cioè ⇐⇒ a⊥b ∈ ker(f ). Per ipotesi ker(f ) = {eG }, per cui a⊥b = eG , e cioè
a = b e quindi f è iniettiva.
5. Nuovi gruppi da gruppi assegnati
Definizione 17. (Prodotto diretto di gruppi)
Siano (G, ⊥), (H, >) gruppi. Si dice prodotto diretto dei gruppi G e H l’insieme
G × H (il prodotto cartesiano degli insiemi G e H) munito dell’operazione binaria
definita da
(g1 , h1 ) (g2 , h2 ) := (g1 ⊥g2 , h1 >h2 )
∀(g1 , h1 ), (g2 , h2 ) ∈ G × H.
E’ immediato verificare che tale struttura è un gruppo: l’elemento neutro è
eG×H = (eG , eH ), e l’inverso di (g, h) ∈ G × H è l’elemento (g, h). L’associatività
consegue direttamente dal fatto che ⊥, > sono associative.
La costruzione appena vista è uno dei modi più pratici per costruire nuovi gruppi
a partire da gruppi già noti. Si noti che può benissimo accadere che G = H. Per
esempio, Z × Z è un gruppo, prodotto diretto di Z con sè. E’ anche chiaro che
la costruzione può essere effettuata con n > 3 gruppi, invece che con soli due
gruppi. In effetti, tale costruzione può essere effettuata costruendo prodotti diretti
di infiniti gruppi, ma bisognerebbe effettuare delle precisazioni, e tali gruppi non
saranno considerati in queste note.
Le proprietà di un prodotto diretto possono essere molto differenti dalle proprietà
dei gruppi costituenti. Vedremo successivamente degli esempi.
Proposizione 18. Siano (G, ⊥), (H, >) gruppi. Le funzioni
πG : G × H
(g, h)
→ G
→ g
πH : G × H
(g, h)
→ H
→ h
sono epimorfismi di gruppi.
Dimostrazione. Verifica diretta.
Tali funzioni sono dette le proiezioni sulle componenti del prodotto diretto.
Anche ciò può essere facilmente generalizzato a un prodotto diretto di n gruppi.
Un altro modo per costruire nuovi gruppi da gruppi dati è il seguente:
Proposizione 19. Sia (G, ⊥) un gruppo, e poniamo Aut(G) := {f : G → G |
f isomorfismo }. L’insieme Aut(G) munito dell’operazione di composizione tra
funzioni è un gruppo, detto il gruppo degli automorfismi di G.
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Dimostrazione. La composizione di omomorfismi è un omomorfismo, l’identità su
G è l’elemento neutro dell’operazione scelta ed è palesemente un automorfismo
(cioè: un isomorfismo da un gruppo in sè), e la composizione è sempre associativa.
Sostanzialmente, resta da provare che l’inverso di un automorfismo è ancora un
automorfismo. Ora, se f ∈ Aut(G), sicuramente la funzione inversa f −1 è bigettiva,
quindi basta provare che f −1 (x⊥y) = f −1 (x)⊥f −1 (y) per ogni x, y ∈ G. Siano
quindi u = f −1 (x) e v = f −1 (y). Si ha
f (u⊥v) = f (u)⊥f (v) = x⊥y ⇐⇒ u⊥v = f −1 (x⊥y).
6. Elementi periodici
Da questo punto in poi, scegliamo la notazione moltiplicativa per assegnare l’operazione di un gruppo. Pertanto, a meno che sia esplicitamente indicato diversamente, la frase sia G un gruppo deve essere intesa come sia (G, ·) un gruppo.
Definizione 20. Un elemento g del gruppo G si dice periodico se ∃ n ∈ Z \ {0} tale
che g n = e. Altrimenti g si dice aperiodico.
Proposizione 21. Se g ∈ G è periodico, allora esiste
min{n ∈ N∗ | g n = e}.
Tale numero naturale si dice il periodo di g, e si denota con o(g).
Dimostrazione. Se g è periodico ⇒ ∃h ∈ Z tale che g h = e. Se h > 0, allora
h ∈ {n ∈ N∗ | g h = e}. Se h < 0, allora h 6∈ {n ∈ N∗ | g h = e}, però il suo opposto
−h è tale che g −h = (g h )−1 = e−1 = e, e quindi −h ∈ {n ∈ N∗ | g h = e}. In ambo
i casi, {n ∈ N∗ | g h = e} 6= ∅. Quindi, per il principio del minimo, tale insieme
ammette un minimo m.
Esempio 22. In ogni gruppo G l’elemento e è periodico di periodo 1, perchè e1 = e.
In Z, l’operazione è l’addizione, per cui il periodo di a ∈ Z è il minimo naturale non
nullo m tale che ma = 0. Quindi o(0) = 1, e nessun altro elemento è periodico. In
Q8 , il periodo di i è 4, perchè i, i2 = −1, i3 = −i sono diversi da 1, mentre i4 = 1.2
Proposizione 23. (Proprietà di o(g))
Sia g ∈ G un elemento periodico di periodo m. Allora
(1) per n ∈ N risulta: g n = e ⇐⇒ m | n;
(2) per h, k ∈ Z risulta g h = g k ⇐⇒ h ≡ k (mod m);
(3) se (H, >) è un gp e f : G → H è un omomorfismo, allora f (g) è periodico
e o(f (g)) | o(g);
(4) con la notazione del punto precedente, se f è bigettiva allora o(f (g)) = o(g);
(5) se g1 , g2 sono periodici di periodo m1 , m2 e commutano allora g1 g2 è periodico e o(g1 g2 ) | mcm(m1 , m2 );
(6) per ogni h ∈ Z l’elt g h è periodico, e
m
o(g h ) =
.
M CD(h, m)
(7) se h | m, allora o(g h ) = m/h.
Dimostrazione.
(1) Se g n = e allora n = qm + r con 0 6 r < m. Dato che
n
r
e = g = g , per la minimalità di m dev’essere r = 0 e quindi m | n. Il
converso è ovvio.
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(2) Se g h = g k ciò vuol dire g h−k = e e quindi h ≡ k (mod m).
m
(3) Poichè g m = e ⇒ f (g m ) = (f (g)) = eH . Per il punto (1), si ha che f (g)
è periodico e o(f (g)) | m.
(4) Per il punto precedente, f (g) è periodico e o(f (g)) | m. D’altra parte,
k
siccome (f (g)) = f (g k ) = eH ⇐⇒ g k = e (perchè f è bigettiva) ⇐⇒
m | k per il punto (1), si ha che m = o(f (g)).
(5) Posto m = mcm(m1 , m2 ), poichè g1 e g2 commutano è (g1 g2 )m = g1m g2m = e
dato che m è multiplo sia di m1 che di m2 .
(6) Per la Proposizione 4, è (g h )m = (g m )h = eh = e, e quindi g h è periodico.
Sia u = o(g h ). Allora g uh = e ⇒ m = o(g) | uh, cioè uh = mk. Sia
d = M CD(h, m), per cui m = m0 d e h = h0 d. Allora uh0 = km0 e dato che
0
0
0
M CD(m0 , u0 ) = 1 e m0 | uh0 ⇒ m0 | u. D’altra parte, (g h )m = g h dm = e
e quindi u = o(g h ) | m0 . Dato che u, m0 sono associati e positivi, è u = m0 .
(7) Caso particolare del precedente risultato.
Se g non è periodico, si possono fare considerazioni più stringenti:
Proposizione 24. Sia g ∈ G non periodico. Allora
(1) risulta g n = e ⇐⇒ n = 0;
(2) per ogni h, k ∈ Z risulta g h = g k ⇐⇒ h = k;
(3) per ogni h ∈ Z∗ l’elt g h è aperiodico.
Osservazione 25. Se G è un gruppo finito, allora tutti i suoi elementi sono periodici. Infatti scelto un qualsiasi g ∈ G le potenze g, g 2 , . . . non possono essere tutte
a due a due distinte, per cui per certi i, j ∈ Z con i 6= j risulterà g i = g j , e cioè
g (i−j) = e, e quindi g è periodico. In particolare, se X è finito allora Sym(X) è
finito, perciò in tal caso ogni elemento di Sym(X) è periodico.
Teorema 26. (Teorema di Lagrange per i gruppi abeliani finiti)
Sia (G, ·) un gruppo abeliano finito di cardinalità n. Allora ogni g ∈ G è periodico
e o(g) | n.
Dimostrazione. Sia G = {g1 = e, g2 , . . . , gn }, scegliamo g ∈ G e consideriamo la
moltiplicazione a sinistra per g, λg : G → G. Essa è bigettiva, e in Q
particolare
n
Im(λg ) = G. Consideriamo il prodottoQdi tutti gli elementi
di
G,
t
:=
i=1 gi . A
Qn
n
causa della bigettività di λg , si ha t = i=1 λg (gi ) = i=1 ggi . Pertanto
t=
n
Y
i=1
gi =
n
Y
i=1
λg (g) =
n
Y
(ggi ) = g n
i=1
n
Y
gi = g n t
i=1
n
da cui g = e. Per la Proposizione 23, o(g) | n.
7. Il gruppo (Zn , +)
E’ il momento di introdurre un altro gruppo abeliano di importanza basilare.
Fissato n > 2, si consideri Zn munito della seguente operazione
[a]n + [b]n := [a + b]n
(∀ a, b ∈ Z).
Proposizione 27. L’operazione introdotta è ben definita.
Dimostrazione. Se [a] = [a0 ] e [b] = [b0 ] risulta anche [a0 ] + [b0 ] = [a] + [b], dato che
la congruenza modulo n è compatibile con le operazioni in Z.
10
VINCENZO C. NARDOZZA
Osservazione 28. Si faccia molta attenzione a distinguere il senso del segno +
scritto in a + b (somma di interi) con il segno + scritto in [a]n + [b]n (somma di
classi di equivalenza, operazione che abbiamo appena introdotta).
Si utilizza lo stesso simbolo + per affinità contestuale, ma realizzando un abuso
di notazione, dato che le operazioni rappresentante (tra numeri interi o tra classi)
sono differenti.
Proposizione 29. (Zn , +) è un gruppo abeliano finito.
Dimostrazione. Verifica diretta.
Un tema che dovrebbe essere ben evidente è il seguente: l’elemento [h]n ∈ Zn può
essere visto sia come classe, sia come multiplo secondo h ∈ Z della classe [1]n ∈ Zn ,
cioè [h]n = h[1]n . Osservato ciò il seguente risultato è immediato alla luce della
Proposizione 23:
Proposizione 30. Ogni elt di Zn è periodico, di periodo un divisore di n. In
particolare, il periodo di [h]n è proprio n ⇐⇒ M CD(h, n) = 1.
Dimostrazione. Per il Teorema di Lagrange, n[h]n = [0]n e quindi il periodo di [h]n
deve essere un divisore di n. Inoltre, notiamo che [h]n = h[1]n per ogni h ∈ Z, e
o([1]n ) = n. Ma allora
n
= n ⇐⇒ M CD(h, n) = 1.
o([h]n ) = o(h[1]n ) =
M CD(h, n)
Un omomorfismo importante lega tra loro i gruppi Z e Zn , e sarà oggetto di
successive considerazioni:
Proposizione 31. Sia n > 2. La funzione
πn : Z
h
→ Zn
→ [h]n
è un epimorfismo di gruppi, di nucleo nZ.
Dimostrazione. Verifica diretta.
8. Gruppi ciclici
Lemma 32. Sia G un gruppo, e siano H, K sottogruppi di G. Allora H ∩ K è
ancora un sottogruppo di G.
Dimostrazione. Bisogna provare che H ∩ K 6= ∅, e poi utilizzare il criterio visto
nella Proposizione 8. La prima verifica è ovvia, dato che e ∈ H ∩ K. Per la seconda
verifica, se x, y ∈ H ∩ K allora xy −1 ∈ H perchè H è un sottogruppo e x, y ∈ H,
e alla stessa stregua xy −1 ∈ K. Perciò anche xy −1 ∈ H ∩ K, che dunque è un
sottogruppo di G.
Il precedente Lemma può essere generalizzato a una intersezione con un numero
arbitrario di sottogruppi, utilizzando esattamente gli stessi argomenti:
Proposizione 33. L’intersezione di sottogruppi di G è un sottogruppo di G.
Rispetto l’intersezione, l’unione tra sottogruppi ha un comportamento diverso,
come si vede nei prossimi esercizi:
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
11
Esercizio 1. Provare che l’unione di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo
se uno dei due sottogruppi è contenuto nell’altro.
Cosa accade per l’unione di tre sottogruppi?
Esercizio 2. Siano H0 , H1 , H2 , . . . , Hn , . . . sottogruppi di G tali che
H0 ⊆ H1 ⊆ H2 ⊆ · · · ⊆ Hn ⊆ . . . .
Provare che
S
n∈N
Hn è un sottogruppo di G.
Le proprietà dell’intersezione di sottogruppi consente di dare la seguente
Definizione 34. Sia (G, ∗) un gruppo, e sia X ⊆ G. Si dice sottogruppo di G
generato da X , e si denota con hXi, il sottogruppo
\
H.
hXi :=
H6G
X⊆H
Proposizione 35. (Proprietà rilevanti di hXi)
Sia G un gruppo e sia X ⊆ G.
(1) hXi 6 G.
(2) X ⊆ hXi;
(3) hXi è il più piccolo sottogruppo di G che contiene X;
(4) se X 6 G allora hXi = X;
(5) se X = ∅ allora hXi = {e};
(6) se X 6= ∅ allora
hXi = {y1e1 . . . ykek | k ∈ N, y1 , . . . , yk ∈ X, e1 , . . . , ek ∈ {1, −1}}.
Dimostrazione. Proviamo solo il punto (1) (gli altri sono lasciati per esercizio).
Siano x, y ∈ hXi. Se H è un sottogruppo di G contenente X, allora per definizione
H ⊇ hXi e quindi x, y ∈ H. Pertanto xy ∈ H. Quindi xy è nell’intersezione di
tutti i sottogruppi di G che contengono X, e quindi in hXi. Per la caratterizzazione
della Proposizione 8, è hXi 6 G.
Osservazione 36. L’affermazione del punto (3) nella precedente Proposizione è
da intendersi come segue: se consideriamo la famiglia dei sottogruppi di G che
contengono X, essa è sicuramente non vuota (perchè?) ed è ordinata dalla relazione
di inclusione (ordine parziale). Rispetto a tale relazione, hXi è il minimo, cioè ogni
elemento della famiglia contiene hXi.
Inoltre, nell’ultimo punto, il prodotto ottenuto per k = 0 (prodotto vuoto) è
inteso come l’elemento neutro di G.
2
Esercizio 3. Siano a, b ∈ Z, e si denoti con C(a, b) l’insieme delle combinazioni
lineari intere di a e b. Provare che h{a, b}i = C(a, b).
Svolgimento Esercizio 3. C(a, b) 6 Z, e contiene {a, b}. Se poi H 6 Z contiene
a, b allora ∀x, y ∈ Z risulta ax, by ∈ H, e quindi ax + by ∈ H. Perciò C(a, b) 6 H.
Allora h{a, b}i = C(a, b).
Esercizio 4. Provare che h{2, 3}i = Z.
Svolgimento Esercizio 4. Già sappiamo che h{2, 3}i = C(2, 3). Basta provare
che C(2, 3) = Z: se k ∈ Z allora k = k · 1 = k(3 − 2) = 3k − 2k ∈ C(2, 3).
Un altro modo più elegante è quello di provare direttamente che 1 ∈ C(2, 3),
cosa ovvia, peraltro: 1 = −2 + 3 ∈ C(2, 3). Allora tutti i multipli di 1 sono pure
nel sottogruppo C(2, 3), e quindi C(2, 3) = Z.
2
12
VINCENZO C. NARDOZZA
Definizione 37. Sia g un elemento di un gruppo G. Si dice sottogruppo ciclico
generato da g il sottogruppo generato da X = {g}, e si denota con hgi. Il gruppo
G si dice ciclico se esiste g ∈ G tale che G = hgi.
Osservazione 38. In altri termini,
hgi = {g k | k ∈ Z}.
Osservazione 39. Piccole osservazioni sui gruppi ciclici:
(1) Ogni gruppo ciclico è abeliano.
(2) Se G è un gruppo ciclico, allora |G| 6 |N|.
(3) Se H 6 G e g ∈ H, allora hgi ⊆ H.
Esempio 40. (R, +) è un gruppo abeliano, ma NON è ciclico (perchè?).
Esempio 41. Il gruppo Z è ciclico; più precisamente Z = h1i = h−1i.
Similmente, Zn = h[1]n i.
Esercizio 5. Provare che (Q, +) non è un gruppo ciclico.
Esercizio 6. Sia Q∗ := Q \ {0}. Il gruppo (Q∗ , ·) è ciclico?
Definizione 42. Sia G un gruppo ciclico. Si dice un generatore (ciclico) di G ogni
elemento g ∈ G tale che hgi = G.
Osservazione 43. Il motivo per il quale a volte è opportuno precisare che g è un
generatore ciclico di G è dovuto al fatto che può accadere che G = hXi per un certo
X ⊆ G con più di un elemento, e anche in tal caso gli elementi di X si chiamano
generatori. Come esempio, abbiamo visto che Z = h{2, 3}i = h1i, per cui possiamo
dire che 2, 3 sono generatori di Z, mentre 1 è un generatore ciclico perchè basta lui
a generare tutto Z.
Molto spesso si parla semplicemente di un generatore, essendo il senso chiarito
dal contesto in cui si opera.
Vi è un legame semplice ma basilare tra i concetti di periodo di un elemento e
sottogruppo generato dallo stesso elemento:
Lemma 44. Sia G un gruppo, e sia g ∈ G un elemento periodico. Allora |hgi| =
o(g).
Dimostrazione. Sia n = o(g). Allora gli elementi e = g 0 , g, . . . , g n−1 sono n elementi
distinti in hgi, per cui |hgi| > n.
D’altra parte, se x = g h ∈ hgi allora h = qn + r con 0 6 r < n e g h = g r . Quindi
hgi = {e, g, . . . , g n−1 } ha cardinalità n.
Studiamo i generatori dei gruppi ciclici che abbiamo incontrato:
Lemma 45. I soli generatori ciclici di Z sono 1 e −1.
Dimostrazione. Sappiamo che Z è ciclico, e che 1 e −1 ne sono generatori ciclici.
Se poi k ∈ Z è tale che hki = Z allora in particolare 1 = ky per qualche y ∈ Z. Ma
allora k è invertibile e si ha k = ±1.
Lemma 46. I generatori ciclici di Zn sono le classi [k]n tali che M CD(k, n) = 1.
n
, come sappiamo. Gli eleDimostrazione. Il periodo di [k]n è dato da M CD(k,n)
menti di periodo n sono perciò quelli per cui M CD(k, n) = 1 (si confronti con la
Proposizione 30).
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
13
Esempio 47. I generatori ciclici di Z6 sono le classi [1]6 , [5]6 ;
i generatori ciclici di Z7 sono le classi [1]7 , [2]7 , . . . , [6]7 .
L’attenzione prestata ai gruppi ciclici già incontrati è motivata dal fatto che il
loro studio esaurisce lo studio di tutti i possibili gruppi ciclici, a meno di isomorfismi.
Più precisamente, si ha
Teorema 48. (di classificazione dei gruppi ciclici)
Sia G un gp ciclico moltiplicativo e sia g un suo generatore ciclico. Se |G| = |N|
allora G ∼
= Z. Se |G| = n allora G ∼
= Zn .
Dimostrazione. Supponiamo dapprima che |G| = ∞. Consideriamo la funzione
f: Z →
k →
G .
gk
Essa è un isomorfismo di gruppi (si verifichi questa affermazione).
Assumiamo allora che G sia ciclico finito di ordine n > 1. Se n = 1, non c’è
molto da dire: G = {e}, che è (banalmente) ciclico. Se invece |G| = n > 2, poniamo
fn : Zn
[k]n
→ G .
→ gk
fn è ben definita: se [k]n = [h]n allora k ≡ h (mod n). Poichè n = o(g), risulta
g k = g h per la Proposizione 23, e quindi fn ([k]n ) = f ([h]n ). Il fatto che sia
un omomorfismo è ovvio (ma lo si verifichi!). Inoltre ker(fn ) = {[0]n }, per cui
è iniettiva. Dato poi che n = |Zn | = |G|, essa è anche suriettiva, e quindi è un
isomorfismo di gruppi.
A causa del Teorema di classificazione, tutti i teoremi e i risultati per i gruppi
ciclici possono essere ottenuti lavorando in Z o in Zn (secondo la cardinalità del
gruppo oggetto di studio). Qui di seguito, però, esaminiamo le principali proprietà
di un gruppo ciclico mantenendo il riferimento a un gruppo ciclico moltiplicativo
generico.
Proposizione 49. (Proprietà di un gp ciclico)
Sia G un gp ciclico.
(1) Tutti i suoi sottogruppi di G sono ciclici.
(2) Se |G| = n, allora per ogni divisore s di n esiste esattamente un sottogruppo
H di G con |H| = s. In particolare, H = hg n/s i.
Dimostrazione. Supponiamo che G = hgi e sia H 6 G. Se H = {e}, allora è ciclico
generato da e; altrimenti esiste k ∈ N∗ tale che e 6= g k ∈ H. In tal caso, l’insieme
{h ∈ N∗ | g h ∈ H}
è non vuoto, e ammette un minimo m. Proviamo che H = hg m i: Sicuramente,
g m ∈ H ⇒ hg m i ⊆ H. D’altra parte, se g h ∈ H allora g h = g r per h = qm + r e,
dato che r 6= 0 comporta che g r ∈ H, contraddicendo la minimalità di m, dev’essere
r = 0, per cui g h = (g m )q ∈ hg m i. Quindi H = hg m i, ed H è ciclico.
Ora, supponiamo che |G| = o(g) = n e sia 1 < s < n un divisore di n (i casi
s = 1 e s = n sono banali). Consideriamo g n/s . Esso è un elemento periodico di
periodo s per la Proposizione 23, e quindi genera il sottogruppo hg n/s i di cardinalità
14
VINCENZO C. NARDOZZA
s. Se K è un altro sottogruppo di G di cardinalità s, dev’essere K = hg t i, dove
t = min{h ∈ N∗ | g h ∈ K}. Basta provare che g t ∈ H. In effetti, da
n
s = o(g t ) =
⇐⇒ M CD(t, n)s = n
M CD(t, n)
0
consegue d := M CD(t, n) = n/s. Poichè d | t (diciamo, t = t0 d) si ha g t = (g d )t ,
perciò g t ∈ hg d i = hg n/s i = H. Dato che allora K = hg t i ⊆ H e hanno la stessa
cardinalità, è H = K.
Corollario 50. Se G è ciclico e g ∈ G è periodico di periodo m, allora hgi contiene
tutti gli elementi di G di periodo m.
∼ Z e ha solo un elemento periodico: 0, e
Dimostrazione. Se G è infinito, allora G =
l’asserto è banalmente vero.
Supponiamo perciò che G sia finito di ordine n. Ogni g ∈ G è periodico, e se
m := o(g) si ha che m | n (Teorema di Lagrange). Detto H = hgi, H è l’unico sbgp
di G di ordine m, e quindi tutti gli elementi di G di periodo m sono in H.
Corollario 51. Se G è ciclico di ordine n, allora ha tanti sottogruppi quanti sono
i divisori positivi di n. Inoltre, se H, K 6 G allora
H ⊆ K ⇐⇒ |H| divide |K| .
Dimostrazione. La bigezione tra divisori positivi di n e sottogruppi di G è già
dimostrata. Proviamo la seconda parte.
⇒ : Se K è ciclico, ogni suo sottogruppo è pure ciclico di ordine un divisore di
|K|. In particolare, se H ⊆ K allora |H| | |K|.
⇐ : Se |H| è un divisore di |K|, allora K possiede esattamente un sbpg S di
cardinalità |H|. Guardando le cose in G, sia S che H sono sottogruppi di G aventi
la stessa cardinalità. Dato che G è ciclico, deve essere S = H, e quindi H ⊆ K. Esempio 52. Quali sono i sbgp di Z10 ? Ci sono tanti sbgps quanti sono i divisori
positivi di 10. I divisori positivi di 10 sono 1, 2, 5, 10; in corrispondenza ci saranno un
sbgp di ordine 1, uno di ordine 2, uno di ordine 5 e uno di ordine 10. Precisamente,
• {[0]} è l’unico sbgp di ordine 1,
• Z10 è l’unico sbgp di ordine 10,
• il sbgp di ordine 2 deve essere generato da (10/2)[1] = [5], ed è {[0], [5]};
• il sbgp di ordine 5 deve essere generato da (10/5)[1] = [2], ed è {[0], [2], [4], [6], [8]}.
Il reticolo dei sbgps di Z10 è perciò
Z10
h[2]i
h[5]i
{[0]}
9. Funzione di Eulero
Definizione 53. Per ogni n ∈ N∗ , sia
Un := {k ∈ N | 1 6 k 6 n e M CD(k, n) = 1}.
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
15
Definizione 54. Per ogni naturale n > 1, si pone ϕ(n) := |Un |. La funzione
ϕ : N∗ → N così definita si dice la funzione (totiente) di Eulero.
Lemma 55. Per n > 2, ϕ(n) è il numero di elementi di Zn di periodo n.
Dimostrazione. Zn è ciclico di ordine n, e sappiamo che i suoi generatori sono le
classi [k]n tali che M CD(k, n) = 1, quindi esattamente gli elementi dell’insieme
{[k]n | k ∈ Un }. Pertanto, Zn ha esattamente ϕ(n) generatori ciclici.
Corollario 56. Un gruppo ciclico di ordine n ha ϕ(n) generatori ciclici.
Teorema 57. Per ogni n > 1 risulta
X
ϕ(d) = n.
d|n
Dimostrazione. Per n = 1 l’asserto è ovvio, così supponiamo n > 2. Ricordiamo
che nel gruppo Zn (ciclico di ordine n) c’è esattamente un sottogruppo di ordine d
per ogni d | n. Inoltre, se d | n e H 6 Zn ha ordine d allora tutti gli elementi di
Zn di periodo d sono contenuti in H, perciò ϕ(d) = ] elementi di Zn di periodo d.
Ripartiamo gli elementi di Zn in base ai periodi: posto Cd := {[h]n | o([h]n ) = d}
si ha
[
Zn =
Cd ,
d|n
e tale unione è disgiunta. Perciò
n = |Zn | =
X
d|n
|Cd | =
X
ϕ(d).
d|n
Esempio 58. I divisori positivi di 6 sono quattro: 1, 2, 3, 6. Dentro Z6 si ha la
partizione
•
•
•
•
C1
C2
C3
C6
= {[0]};
= {[3]};
= {[2], [4]};
= {[1], [5]}.
D’altra parte, si ha
•
•
•
•
ϕ(1) = 1;
ϕ(2) = 1;
ϕ(3) = 2;
ϕ(6) = |U6 | = |{1, 5}| = 2.
2
Teorema 59. Sia G un gruppo abeliano finito. Allora G è ciclico ⇐⇒ G ha al
più un sottogruppo ciclico di ordine d per ogni divisore d di |G|.
La funzione ϕ di Eulero è una delle funzioni basilari della Matematica, e torneremo sulle sue proprietà successivamente.
16
VINCENZO C. NARDOZZA
10. Gruppi simmetrici
Nel seguito sia n > 2 e X = {1, 2, . . . , n}. Poniamo
Sn := Sym({1, 2, . . . , n}).
Possiamo rappresentare ogni σ ∈ Sn con un array a due righe. In questa maniera,
è abbastanza facile effettuare le moltiplicazioni tra gli elts del gruppo Sn :
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
Esempio 60. Siano σ =
eτ =
.
2 1 3 7 5 6 4
4 3 2 1 7 6 5
Allora
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
τ ◦σ =
σ◦τ =
3 4 2 5 7 6 1
7 3 1 2 4 6 5
Definizione 61. Se σ ∈ Sn , si dice che σ muove un elemento a ∈ X se σ(a) 6= a;
se σ non muove a si dice che σ fissa a (cioè, σ(a) = a).
L’insieme degli elementi mossi da σ si dice il supporto di σ.
Esempio 62. Se σ e τ sono le permutazioni dell’esempio 60, σ fissa 3, 5, 6 e muove
tutti gli altri elementi, mentre τ fissa solo 6. Il supporto di σ è {1, 2, 4, 7}, quello di
τ è {1, 2, 3, 4, 5, 7}. L’identità idX ha supporto vuoto, ed è, naturalmente, l’unica
permutazione a supporto vuoto. Si noti che non ci sono permutazioni il cui supporto
sia di cardinalità 1.
Osservazione 63. Se x è mosso da σ, allora anche σ(x) è mosso da σ. Altrimenti,
si avrebbe σ(x) = σ(σ(x)) e quindi (poichè σ è bigettiva) x = σ(x), assurdo.
Proposizione 64. Permutazioni aventi supporti disgiunti commutano.
Dimostrazione. Siano σ e τ permutazioni aventi supporti disgiunti, e sia a ∈ X. Se
a è fisso per σ e τ allora σ(τ (a)) = a = τ (σ(a)). Se a è mosso da σ allora anche
σ(a) è mosso da σ, e quindi è fisso per τ . Perciò σ(τ (a)) = σ(a) = τ (σ(a)). Se
infine a è mosso da τ , si può ripetere il ragionamento appena fatto, invertendo i
ruoli di σ e τ .
Tra le permutazioni di Sn ce ne sono alcune particolari detti cicli:
Definizione 65. Una permutazione γ ∈ Sn si dice un ciclo se esiste un l > 1 e una
l-pla ordinata di elementi di X a due a due distinti (a1 , . . . , al ) tali che:
(1) γ(a1 ) = a2 , . . . , γ(al−1 ) = al , γ(al ) = a1 ;
(2) γ(x) = x per ogni x ∈ X \ {a1 , . . . , al }.
Il numero l si dice allora la lunghezza del ciclo, e γ si scrive γ = (a1 a2 . . . al ). Un
ciclo di lunghezza l si dice un l-ciclo. Un 2-ciclo si dice una trasposizione.
Esempio 66. In Sn c’è un solo ciclo di lunghezza 1: la permutazione identica idX .
Lo possiamo scrivere indifferentemente
come (1), (2),
. . . , (n).
1 2 3 4 5 6 7
La permutazione γ =
è un ciclo di lunghezza 3, dove
1 4 3 7 5 6 2
Y = {2, 4, 7}. Lo possiamo scrivere come (2 4 7) = (4 7 2) = (7 2 4).
Esercizio 1. Quante sono le trasposizioni di S25 ?
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
17
Osservazione 67. Ci sono l sequenze (a1 , . . . , al ) che definiscono lo stesso l-ciclo,
tutte quelle che si possono scrivere permutando circolarmente gli elementi a1 , . . . , al .
In pratica,
(a1 a2 a3 . . . al−1 al ) = (a2 a3 . . . al−1 al a1 ) = · · · = (al a1 a2 . . . al−2 al−1 ).
Attenzione, ciò non vuol dire che si possono alterare arbitrariamente le posizioni
degli a1 , . . . , al senza alterare il ciclo!
Per esempio i cicli (1 2 3) e (1 3 2) sono diversi.
Definizione 68. Sia σ ∈ Sn , e a ∈ X. Si dice orbita di a sotto σ l’insieme
Oσ (a) := {σ i (a) | i ∈ Z} ⊆ X.
Se |Oσ (a)| = 1 l’orbita si dice banale.
Esempio 69. Scriviamo le orbite dei vari a ∈ {1, 2, . . . , 7} sotto σ =
1
2
2
1
3
3
4
6
Oσ (1) = {1, 2};
Oσ (2) = {1, 2};
Oσ (3) = {3};
Oσ (4) = {4, 6};
Oσ (5) = {5};
Oσ (6) = {6, 4};
Oσ (7) = {7}.
1 2 3 4 5 6 7
Le orbite di τ =
sono invece:
3 1 2 5 6 4 7
• Oτ (1) = {1, 2, 3} = Oτ (2) = Oτ (3)
• Oτ (4) = {4, 5, 6} = Oτ (5) = Oτ (6);
• Oτ (7) = {7}.
•
•
•
•
•
•
•
Osservazione 70. Gli elementi di X aventi σ-orbita banale sono precisamente
quelli fissati da σ. Inoltre, si presti attenzione alla differenza sostanziale tra gli
insiemi {σ i | i ∈ Z} e {σ i (a) | i ∈ Z}:
• {σ i | i ∈ Z} = hσi è il sottogruppo ciclico di Sn generato da σ, e pertanto
è un insieme costituito da bigezioni di X in sè;
• {σ i (a) | i ∈ Z} = Oσ (a) è l’orbita di a sotto σ, e come tale è un sottinsieme
di X.
Sorprendentemente, è uno degli errori (gravi!) statisticamente più frequenti.
Teorema 71. Sia σ ∈ Sn ; le orbite di σ formano una partizione di {1, 2, . . . , n}.
Dimostrazione. Introduciamo in X la relazione a ∼σ b : ⇐⇒ b ∈ Oσ (a). Basterà
provare che essa è di equivalenza:
• a ∼σ a ∀ a ∈ X, perchè a ∈ Oσ (a);
• ∀ a, b ∈ X, a ∼σ b ⇒ b ∈ Oσ (a) e quindi per un certo h ∈ Z èb = σ h (a).
Ma allora σ −h (b) = a e quindi a ∈ Oσ (b), cioè b ∼σ a;
• ∀ a, b, c ∈ X, se a ∼σ b e b ∼σ c allora per certi h, k ∈ Z è b = σ h (a) e
c = σ k (b) ⇒ c = σ h+k (a), cioè c ∈ Oσ (a) e quindi a ∼σ c.
L’insieme quoziente X/∼σ è formato dalle classi [a]∼σ , e si ha
b ∈ [a]∼σ ⇐⇒ a ∼σ b ⇐⇒ b ∈ Oσ (a),
cioè le classi di equivalenza sono esattamente le orbite di σ.
5
5
6
4
7
7
:
18
VINCENZO C. NARDOZZA
Lemma 72. Sia σ ∈ Sn , e a ∈ X. Allora ∃!l ∈ N∗ tale che
Oσ (a) = {a, σ(a), . . . , σ l−1 (a)}.
Dimostrazione. Gli elementi σ i (a) ottenuti al variare di i ∈ Z non possono essere
tutti distinti, per cui esistono i, j ∈ Z tali che i < j e σ i (a) = σ j (a). Ma allora si
ha σ j−i (a) = a e j − i > 0. L’insieme {k ∈ N∗ | σ k (a) = a} è perciò non vuoto, e
ammette minimo l. Gli elementi σ 0 (a), . . . , σ l−1 (a) sono tutti a due a due distinti,
per la minimalità di l, e sono in Oσ (a).
D’altra parte, se σ k (a) ∈ Oσ (a) allora dalla divisione euclidea k = lq + r con
0 6 r < l si ha che σ k (a) = σ r (a) ∈ {σ 0 (a), . . . , σ l−1 (a)} e quindi Oσ (a) =
{σ 0 (a), . . . , σ l−1 (a)}.
Definizione 73. Sia σ ∈ Sn e sia Oσ (a) un’orbita di σ di cardinalità l. Allora
l’ l-ciclo definito dalla sequenza ordinata (a = σ 0 (a), σ 1 (a), . . . , σ l−1 (a)) si dice il
ciclo associato all’orbita Oσ (a).
Esempio 74. Per le permutazioni σ, τ precedenti, si formano i seguenti cicli associati alle orbite:
(1 2), (3), (4 6),
Teorema 75. Ogni permutazione σ 6= idX si scrive come prodotto di cicli disgiunti
di lunghezze > 2. Tali fattori sono precisamente i cicli associati alle orbite non
banali di σ, e questa fattorizzazione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
Esempio 76. Consideriamo la permutazione
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
σ=
3 9 12 10 5 8 2 7 4 11
11
6
12
1
Allora la sua decomposizione in cicli disgiunti è la seguente:
σ = (1 3 12)(2 9 4 10 11 6 8 7).
Definizione 77. Sia σ ∈ Sn , e siano O1 , . . . , Om le orbite di σ (includendo quelle
banali) ordinate in modo decrescente rispetto le loro cardinalità c1 > c2 > · · · >
cm (> 1). Si dice struttura ciclica di σ l’m-pla
(c1 , c2 , . . . , cm ).
Esempio 78. La struttura ciclica della permutazione dell’esempio precedente è
(8, 4, 1)
Osservazione 79. La struttura ciclica di una permutazione di Sn è una composizione di n di tipo particolare, detta partizione di n, e può essere rappresentata
da sequenze di punti (o di caselle), dando origine a un oggetto combinatorio molto
rilevante detto diagramma di Young.
Esempio 80. Le strutture cicliche possibili per gli elementi di S2 sono (2) e (1, 1).
Precisamente, l’unica permutazione di struttura ciclica (2) è la trasposizione (1 2),
e l’unica permutazione di struttura ciclica (1, 1) è la permutazione identica idX .
Le strutture cicliche possibili per gli elementi di S3 sono:
• (3), corrispondente ai 3-cicli (1 2 3) e (1 3 2);
• (2, 1), corrispondente alle trasposizioni (1 2), (1 3), e (2 3);
• (1, 1, 1), corrispondente all’identità.
Esercizio 2. Si scrivano le strutture cicliche delle permutazioni di S4 ed S5 .
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
19
Proposizione 81. Il periodo di una permutazione σ ∈ Sn è il mcm delle lunghezze
dei suoi cicli.
Dimostrazione. Sia σ una permutazione di Sn ; se σ = idX allora ha periodo 1;
se σ è un ciclo di lunghezza l allora o(σ) = l (lo si verifichi). Se invece σ =
γ1 γ2 . . . γk è prodotto di cicli disgiunti di lunghezze l1 , . . . , lk rispettivamente, allora
o(σ) = mcm(l1 , . . . , lk ) perchè i cicli (essendo disgiunti) commutano, e quindi si può
applicare la Proposizione 23.
Esempio 82. La σ precedente ha periodo mcm(3, 8) = 24. Inoltre, in S12 non c’è
una permutazione di periodo 13 o 22, anche se 22 | |S12 | = 12!. La permutazione
(1 2)(3 4 5 6)(7 8 9 10 11 12) ha periodo mcm(2, 4, 6) = 12, anche se non è un ciclo.
11. Alcuni fatti sulle permutazioni
In questa piccola sezione elenchiamo alcune proprietà che ricorrono frequentemente
nell’uso concreto delle permutazioni.
• I cicli si moltiplicano procedendo da destra verso sinistra. Ad esempio
(1 2 3 4)(2 4 5 1) = (1 3 4 5 2).
• In genere, il prodotto di cicli non è un ciclo. Per esempio
(1 2 3 4)(1 3) = (1 4)(2 3).
• Le potenze di un ciclo di lunghezza l sono prodotti di cicli disgiunti aventi
come comune lunghezza un un divisore di l. Per esempio
(1) γ = (1 2 3 4 5 6 7 8) è di lunghezza 8;
(2) γ 2 = (1 3 5 7)(2 4 6 8)
(3) γ 3 ha lunghezza 8
(4) γ 4 = (1 5)(2 6)(3 7)(4 8)
(5) γ 5 , γ 7 hanno lunghezza 8
(6) γ 6 = (1 7 5 3)(2 8 6 4)
• Se γ = (a1 a2 . . . al ) è un ciclo, allora γ −1 = (a1 al . . . a2 );
• Se σ = γ1 . . . γk allora σ −1 = γ1−1 . . . γk−1 ; si noti che l’ordine riprodotto è
significativo se i cicli γi non sono disgiunti;
• Se due cicli hanno un solo elemento di supporto in comune, i cicli si fondono
in un unico ciclo:
(1 2 3 4)(4 5 6 7) = (1 2 3 4 5 6 7)
Teorema 83. Se σ ∈ Sn e γ = (a1 . . . al ), si ha
σγσ −1 = (σ(a1 ) . . . σ(al ))
Esempio 84. Siano σ = (1 5)(2 3 4) e γ = (1 2 3). Si ha
σγσ −1 = (5 3 4).
Dimostrazione. Poniamo π = (σ(a1 ) . . . σ(al )), e sia τ := σγσ −1 . Se proviamo che
per ogni i ∈ X risulta τ (σ(i)) = π(σ(i)) abbiamo finito.
Se i è fissato da γ (cioè i 6∈ {a1 , . . . , al }) allora σ(i) 6∈ {σ(a1 ), . . . , σ(al )}, e quindi
π(σ(i)) = σ(i). D’altra parte, è chiaro che τ (σ(i)) = σ(i).
20
VINCENZO C. NARDOZZA
Se i è mosso da γ, diciamo γ(i) = j, allora γ = (i j . . . ) e possiamo riscrivere
π = (σ(i) σ(j) . . . ). Detto a = σ(i) e b = σ(j), si ha
σγσ −1 (a) = σ(j) = b = π(σ(i)).
Definizione 85. Sia G un gruppo, a ∈ G. La funzione ca : G → G definita
da ca (g) := aga−1 è un automorfismo di G, detto coniugio per a. L’immagine
ca (g) = aga−1 si dice il coniugato di g tramite a.
Lemma 86. L’insieme Inn(G) := {ca ∈ Aut(G) | a ∈ G} è un sottogruppo di
Aut(G).
Dimostrazione. Basta verificare che ca cb = cab e (ca )−1 = ca−1 .
Esercizio 1. Sia G un gruppo, e f : G → G la funzione definita da f (g) := g −1 .
Provare che
u è un automorfismo di G ⇐⇒ G è abeliano.
Come per compensare questo fatto, si ha
Esercizio 2. Sia G un gruppo e Inn(G) il sottogruppo degli automorfismi interni
di G. Provare che
Inn(G) è non banale ⇐⇒ G è non abeliano.
Corollario 87. Due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa
struttura ciclica.
Dimostrazione. Siano α, β ∈ Sn , e siano γ1 , . . . , γk i cicli disgiunti che decompongono β. Allora
αβα−1 = cα (γ1 ) . . . cα (γk )
e dato che le lunghezze di γi e cα (γi ) sono uguali per tutti gli i ⇒ β e αβα−1 hanno
la stessa struttura ciclica.
Se α, β hanno la stessa struttura ciclica, scriviamo i loro cicli su due righe,
aggiungendo gli elementi fissi delle due permutazioni, facendo corrispondere le lunghezze. La funzione ϕ che associa agli elementi della riga di sopra il corrispondente
elemento della riga di sotto è una permutazione di Sn e si ha β = ϕαϕ−1 .
Esempio 88. Prendiamo α = (1 4 3 2)(8 9) e β = (2 5 7 9)(4 3), permutazioni di S9 .
Si ha
1 4 3 2 8 9 5 6 7
ϕ = (1 2 9 3 7 8 4 5).
2 5 7 9 4 3 1 6 8
Proposizione 89. Sn è generato dall’insieme di tutte le trasposizioni
Dimostrazione. Infatti ogni ciclo è prodotto di trasposizioni:
(a1 a2 a3 . . . al ) = (a1 al ) . . . (a1 a3 )(a1 a2 )
Osservazione 90. Non è vero che tale scrittura è unica. Tuttavia, la parità del
numero di trasposizioni necessarie per scrivere una fissata permutazione è ben definito. In altri termini, se σ = τ1 . . . τh = α1 . . . αk sono due scritture di σ come
prodotto di trasposizioni, non è detto che h = k, però deve risultare h ≡ k (mod 2).
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
21
Definizione 91. Una permutazione si dice pari se si può scrivere come prodotto di
un numero pari di trasposizioni. Altrimenti si dice che è una permutazione dispari.
Teorema 92. Una permutazione non può essere contemporaneamente pari e dispari.
Definizione 93. L’insieme delle permutazioni pari di Sn è un sottogruppo di Sn ,
detto il gruppo alterno su n oggetti, e si denota con An .
Esercizio 3. Per ogni σ ∈ Sn , sia
(
σ
(−1) :=
+1 se σ è pari
−1 se σ è dispari
((−1)σ si dice il segno della permutazione σ). Provare che la funzione σ ∈ Sn →
(−1)σ ∈ {±1} è un omomorfismo di gruppi da Sn al gruppo ({±1}, ·). Dedurre che
An è un sottogruppo di Sn .
Esercizio 4. Determinare tutte le permutazioni di A3 ed A4 .
Esercizio 5. Sia γ un ciclo di lunghezza l. Provare che γ è pari ⇐⇒ l è dispari.
Esercizio 6. Sia σ ∈ Sn . Provare che σ è pari ⇐⇒ σ ha un numero pari di cicli
di lunghezza pari.
Esercizio 7. Provare che An è generato dall’insieme dei 3-cicli.
12. Esercizi
Esercizio 1. Sia (G, ·) un gruppo. Provare che se g 2 = e per tutti gli elementi
g ∈ G allora G è abeliano.
Esercizio 2. Provare che se nel gruppo (G, ·) è (ab)2 = a2 b2 per ogni a, b ∈ G,
allora G è abeliano.
Esercizio 3. Sia (G, ·) un gruppo finito. Provare che esiste un intero m ∈ N tale
che g m = e per ogni g ∈ G.
Esercizio 4. Provare che se un gruppo G ha al più 5 elementi, allora è abeliano.
Esercizio 5. Provare che se (G, ·) è un gruppo finito di ordine pari, allora esiste
almeno un elemento g 6= e tale che g 2 = e.
Esercizio 6. Provare che le conclusioni della Proposizione 9 sono false se S è
infinito.
Esercizio 7. Sia (G, ·) un gruppo, e siano H, K due suoi sottinsiemi. Provare che
H ∪ K è un gruppo ⇐⇒ H ⊆ K o K ⊆ H.
Che si può dire se invece di due sottinsiemi ce ne sono tre?
Esercizio 8. Siano (G, ·) un gruppo e S, T due sottogruppi. Posto ST := {s · t |
s ∈ S, t ∈ T }, provare che ST è un sottogruppo di G se e solo se ST = T S.
Esercizio 9. Sia G un gruppo in cui l’intersezione di tutti i suoi sottogruppi diversi
da {e} è ancora un sottogruppo diverso da {e}. Provare che allora tutti gli elementi
di G sono periodici.
Esercizio 10. Siano m, n ∈ Z e siano H = mZ e K = nZ i sottogruppi dei multipli
di m e n rispettivamente. Determinare H ∩ K.
22
VINCENZO C. NARDOZZA
Esercizio 11. Nel gruppo (G, ·) siano a, b due elementi tali che a5 = e e aba−1 =
b2 . Determinare o(b).
Esercizio 12. Sia (G, ·) un gruppo in cui per ogni n ∈ N l’equazione xn = e ha al
più n soluzioni. Provare che G è ciclico.
Esercizio 13. Dire quali delle seguenti funzioni f : G → G sono omomorfismi di
gruppi, specificando:
• il nucleo, per quelle tra esse che sono omomorfismi;
• per le altre, il motivo per il quale non possono essere omomorfismi.
(1) G è il gruppo dei numeri reali non nulli munito dell’operazione di moltiplicazione, e f (x) := x2 per ogni x ∈ G;
(2) G è il gruppo dei numeri reali non nulli munito dell’operazione di moltiplicazione, e f (x) := 2x per ogni x ∈ G;
(3) G è il gruppo dei numeri reali rispetto l’addizione e f (x) = x + 1 per ogni
x ∈ G;
(4) G è il gruppo dei numeri reali rispetto l’addizione e f (x) = 13x per ogni
x ∈ G;
(5) G è un qualunque gruppo abeliano moltiplicativo e f (x) = x5 per ogni
x ∈ G.
Esercizio 14. Siano X, Y insiemi con |X| = |Y |. Si provi che i gruppi Sym(X) e
Sym(Y ) sono isomorfi.
Esercizio 15. Sia (G, ·) un gruppo, e sia g un suo elemento. Il centralizzante di g
in G è il sottinsieme
CG (g) := {x ∈ G | gx = xg}.
Provare che CG (g) è un sottogruppo di G.
Esercizio 16. Sia (G, ·) un gruppo. Si dice centro di G l’insieme
Z(G) := {g ∈ G | gx = xg ∀ x ∈ G}.
Provare che Z(G) è un sottogruppo di G.
Esercizio 17. Siano a, b ∈ Z non entrambi nulli, e sia d = M CD(a, b). Provare
che h{a, b}i = dZ.
Esercizio 18. Decidere quale tra i gruppi Z6 × Z7 , Z6 × Z8 è ciclico, motivando
la risposta.
Esercizio 19. Provare che Z5 × Z16 è isomorfo a Z80 .
Esercizio 20. Si determinino
permutazioni
1 2 3 4 5
• σ1 =
8 5 6 3 2
1 2 3 4 5
• σ2 =
4 3 6 2 8
1 2 3 4 5
• σ3 =
8 3 2 4 7
1 2 3 4 5
• σ4 =
2 3 1 5 6
le decomposizioni in cicli disgiunti delle seguenti
6
7
6
7
6
6
6
8
7
1
7
1
7
5
7
7
8
4
8
5
8
1
8
4
NOTE INTEGRATIVE SUI GRUPPI
23
e si determinino per ciascuna di esse l’inversa, il periodo, la struttura ciclica e il
segno.
Esercizio 21. Si dica se il seguente sottinsieme di S4
{id, (1 3 2), (1 2 3), (1 2), (3 4), (2 3), (1 3)(2 4),
(1 2)(3 4), (1 2 3 4), (1 3 2 4), (2 1 3 4), (2 1 4 3)}
è o meno un sottogruppo di S4 .
Esercizio 22. Si determini il sottogruppo di S4 generato dal sottinsieme {(1 2 3), (1 4)}.
Esercizio 23. Quali sono le strutture cicliche delle permutazioni di S14 con periodo
20? Tra esse, quali danno luogo a permutazioni pari e quali a permutazioni dispari?
Esercizio 24. Si provi che S30 possiede un sottogruppo di ordine 209.
Esercizio 25. Si provi che Sn è generato dal sottinsieme {(1 2), (1 2 . . . n)}.
Esercizio 26. Sia G un gruppo non banale avente solo {e} e G come sottogruppi.
Si provi che allora G è finito e di ordine primo.
Esercizio 27. ?
Siano date le permutazioni
1 2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
α=
3 16 15 11 8 13 10 5 6 1 2 14 9 12 7 4
1 2 3
4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
β=
3 7 14 16 12 8 11 5 15 13 10 1 4 9 6 2
e sia H un sottogruppo di S16 tale che {α, β} ⊆ H. Provare che H contiene un
sottogruppo di ordine 18.
Esercizio 28. ?
Sia n un intero maggiore di 1, e sia H l’insieme delle permutazioni di Sn che non
lasciano fisso l’elemento 1.
(1) Determinare la cardinalità di H.
(2) Provare che H non è contenuto in nessun sottogruppo proprio di Sn .
(3) Per n = 6, determinare la cardinalità dell’insieme delle permutazioni dispari
appartenenti ad H.
Esercizio 29. ?
Si consideri la seguente permutazione di S16
α = (1, 7, 2, 13)(3, 14, 6, 10, 4)(8, 12)(5, 11)(9, 16, 15).
(1) Determinare tutti gli elementi dell’insieme
H = {σ ∈ hαi | σ 2 (1) = 2 e σ 3 (3) = 4};
(2) Determinare un sottogruppo K di S16 avente ordine 3 e provare che ogni
sottogruppo di S16 contenente H ∪ K contiene anche hai.
Esercizio 30. ?
Siano date, in S18 , le seguenti permutazioni:
α = (1, 2, 3)(5, 6)(7, 8, 9)(10, 11)(12, 13, 14, 15, 16, 17, 18),
β = (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7)(8, 9, 10)(11, 12, 13)(14, 15, 16, 17, 18).
24
VINCENZO C. NARDOZZA
(1) Determinare un sottogruppo H, abeliano e non ciclico, di S18 tale che
H ∩ hαi e H ∩ hβi non siano il sottogruppo banale.
(2) Determinare un sottogruppo ciclico di S18 verificante la proprietà del punto
precedente.
Nota: gli esercizi marcati con ? sono tratti da prove di esame.
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