Matematica in laboratorio ` 10 Unita ` guidate Attivita `1 Attivita GeoGebra Risorse digitali Data una retta r , siano A e B due punti appartenenti alla retta. Traccia le due rette perpendicolari alla retta r in A e in B e considera su tali perpendicolari, dalla stessa parte rispetto ad AB, rispettivamente due punti C e D tali che AC ¼ 6 e BD ¼ 4. Indicato con E il punto di intersezione dei due segmenti AD e BC, qual e` il luogo descritto dal punto E, al variare del punto B sulla retta r ? Se hai difficolta` a svolgere le attivita` guidate, fai riferimento ai file di GeoGebra e di Excel disponibili. A. COSTRUZIONE 1. Traccia una retta e chiamala r. Nascondi i due punti utilizzati per tracciare la retta r, quindi crea due punti sulla retta r e chiamali A e B. 2. Traccia le due rette perpendicolari in A e B alla retta r. 3. Con lo strumento Circonferenza dati centro e raggio costruisci la circonferenza di centro A e raggio 6 (attivato lo strumento, devi fare clic su A e immettere 6 nel campo Raggio della finestra di dialogo che si apre). 4. Indica con C uno dei due punti di intersezione della circonferenza di centro A con la perpendicolare in A alla retta r. 5. Analogamente al passo 3, costruisci la circonferenza che ha centro in B e raggio 4. 6. Indica con D il punto di intersezione della circonferenza di centro B con la perpendicolare in B alla retta r, situato dalla stessa parte di C rispetto alla retta AB. 7. Costruisci i due segmenti AD e BC. 8. Indica con E il punto di intersezione dei due segmenti AD e BC. La matematica a colori – Volume 2 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO / ALGORITMI Nella parte di teoria e` stato introdotto il concetto di luogo geometrico come insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una certa proprieta` caratteristica. Un luogo, invece di essere definito in questo modo, puo` essere definito in una maniera legata al movimento; il problema appena proposto ne e` un esempio: vogliamo studiare la «traiettoria» descritta dal punto E quando il punto B «si muove» sulla retta r. Matematica in laboratorio Studio di un luogo geometrico 1/4 ` 10 Unita Similitudine B. ESPLORAZIONE 1. Fai clic sul punto E con il tasto destro del mouse e seleziona Traccia attiva. GeoGebra visualizza la traiettoria descritta dal punto E, al variare di un oggetto (in questo caso B) da cui dipende la costruzione di E. 3. Puoi ora completare la seguente congettura: «Il luogo geometrico descritto dal punto E al variare di B sulla retta r e` .............................................................................................. ». 4. Utilizzando lo strumento Distanza o lunghezza, calcola la distanza del punto E dalla retta r (deve fare clic prima sul punto e poi sulla retta). Qual e` tale distanza? Come si mantiene tale distanza al variare di B? C. DIMOSTRAZIONE 1. Indica con K e R, rispettivamente, le proiezioni del punto E sulla retta AC e sulla retta BD. 2. Dimostra che i due triangoli AEC e BED sono simili. 3. Posto EK ¼ x e ER ¼ y, tenendo conto della similitudine di cui al punto precedente, sai scrivere un sistema che ti consenta di ricavare i valori di x e di y in funzione di a? 4. Considera i due triangoli ABD e AHE e osserva che sono simili. Tenendo conto di cio` e di quanto ricavato al punto 3, ricava la misura di EH. 5. Confronta il risultato trovato con la stima che avevi ottenuto nel punto 4 dell’esplorazione con GeoGebra e concludi. `2 Attivita Algoritmi Una successione di rombi simili Nella figura qui sotto sono disegnati alcuni rombi. Ciascun rombo e` simile al precedente e ha lato di misura uguale al doppio di quest’ultimo. Il rombo di lato minore ha area uguale a un dato numero reale positivo A. Qual e` il minimo numero n di rombi che bisogna disegnare perche´ l’area complessiva della figura ottenuta dall’unione di tutti i rombi sia superiore a un dato numero reale positivo k? Scrivi un algoritmo per risolvere il problema. Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO / ALGORITMI Indica con a la lunghezza di AB e con H la proiezione di E sulla retta r; per dimostrare la congettura formulata devi dimostrare che la distanza di E da H e` costante, indipendentemente dal valore di a. A tale scopo, segui la seguente traccia. Matematica in laboratorio 2. Trascina ora il punto B sulla retta r e osserva la traiettoria descritta da E. A. INTERFACCIA Definisci in un foglio Excel l’interfaccia come nella figura qui sotto. Le celle B1, B3 sono adibite all’immissione dei parametri che caratterizzano il problema (A, k), mentre la cella B5 e` preposta alla comunicazione da parte del programma del numero n cercato. La matematica a colori – Volume 2 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara 2/4 ` 10 Unita Similitudine Osserva che il rapporto di similitudine tra un rombo e il precedente e` ....., quindi il rapporto tra l’area di un rombo e l’area del rombo precedente e` uguale a ..... Tenendo conto di cio`, completa la pseudocodifica dell’algoritmo risolutivo proposto qui di seguito (la variabile s rappresenta la somma delle aree dei rombi). C. CODICE Completa la seguente traduzione dell’algoritmo in codice Visual Basic, in relazione all’interfaccia definita. Private Sub CommandButton1 Click() Dim A, k, s As ... Dim n As ... A = Cells(1, ...) k = Cells(3, ...) s=A n=1 Do A = A * ... s = s + ... n = n + ... Loop Until A > ... Cells(5, ...) = n End Sub Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO / ALGORITMI Variabili Dichiara A, k e s come numeri reali Dichiara n come numero intero Inizio Acquisisci A e k Assegna s = A Assegna n = 1 Ripeti Assegna A = A* ..... Assegna s = s + ..... Assegna n = n + ..... Finche´ A > .......... Comunica n Fine Matematica in laboratorio B. PSEUDOCODIFICA D. UTILIZZO DEL FOGLIO EXCEL Utilizzando il foglio Excel e il programma scritti poc’anzi, rispondi alle seguenti domande: 1. Se l’area del primo rombo e` 1, quanti rombi occorre disegnare per ottenere una figura la cui area complessiva e` superiore a 1000? 2. Se l’area del primo rombo e` 2, quanti rombi occorre disegnare per ottenere una figura la cui area complessiva e` superiore a 10 000? 3. Se l’area del primo rombo e` 3, quanti rombi occorre disegnare per ottenere una figura la cui area complessiva e` superiore a 100 000? La matematica a colori – Volume 2 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara 3/4 ` 10 Unita Similitudine ` proposte Attivita 2 Dato un segmento AB, considera un punto D sulla circonferenza avente centro in A e raggio AB. Costruisci il rombo ABCD e studia qual e` il luogo descritto dal punto di intersezione delle diagonali del rombo al variare del punto D sulla circonferenza. La matematica a colori – Volume 2 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara Informatica – GEOGEBRA / FOGLIO ELETTRONICO / ALGORITMI Algoritmi. Fai riferimento alla figura dell’Attivita` guidata 3; supponi sempre che ciascun rombo sia simile al precedente e abbia lato di misura uguale al doppio di quest’ultimo. Il rombo di lato minore ha perimetro uguale a un dato numero reale positivo p. Qual e` il massimo numero n di rombi che si possono disegnare perche´ il perimetro della figura ottenuta dall’unione di tutti i rombi non superi un dato numero reale positivo k? Scrivi un algoritmo per risolvere il problema. 3 Matematica in laboratorio 1 Considera una retta r e scegli su di essa tre punti A, B, C tali che AB < AC. Traccia la retta n, perpendicolare in C alla retta r e considera un punto P sulla retta n (diverso da C). La retta perpendicolare al segmento AP passante per B interseca la retta n in Q. Traccia la circonferenza di diametro PQ (costruisci preliminarmente il punto medio del segmento PQ) e indica con R ed S i suoi punti di intersezione con la retta r. Studia come varia la lunghezza del segmento RS al variare del punto P sulla retta n. 4/4
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