Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014 Università

Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014
Università dell’Aquila
Prova Scritta di Matematica del 14 luglio 2014 - Canale B
Nome e Cognome:
Matricola:
Per evitare la valutazione del compito scrivere qui RITIRATO/A e firmare:
Es. 1
Es. 2
Es. 3
Es. 4
Es. 5
Es. 6
Es. 7
Totale
Esercizio 1. Considerare, al variare del parametro k ∈ R, la funzione quadratica f (x) =
(2 − k)x2 + 2x − k.
Per quali k ∈ R la funzione f (x) è costantemente maggiore di 2?
1
Esercizio 2. Si consideri il vettore bidimensionale v = (2, −2).
a) Calcolare il modulo di v.
b) Determinare l’angolo formato da v col vettore u = (2, 21 ).
c) Trovare un vettore w parallelo a u e avente lo stesso modulo di v.
d) Trovare un vettore che formi un angolo di 75◦ con v (Ragionare geometricamente!).
e) Trovare un’equazione cartesiana per la retta avente direzione v e passante per il punto
(−1, 4).
2
Esercizio 3. Si consideri la funzione f (x) = 6x − e2x .
a) Studiare la funzione f (x), in particolare determinandone dominio, comportamento
agli estremi, ed eventuali massimi e minimi.
b) A posteriori, cosa si può dire del numero degli zeri di f (x)?
3
Esercizio 4. Trovare tutte le funzioni f (x) tali che f 0 (x) = xe−f (x) . (Suggerimento:
considerare la funzione g(x) = ef (x) e calcolarne la derivata).
Esercizio 5. Calcolare l’area della regione limitata di piano {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤
π 1
, ≤ y ≤ sin 2x}.
4 2
4
Esercizio 6. Determinare, al variare di α ∈ R il numero di soluzioni del sistema lineare
Ax = b, ove
1
α
x
3
A=
,
x=
,
b=
.
α+1 2
y
α−1
Risolvere infine il sistema Ax = b nel caso α = 2.
5
Esercizio 7. Dare un esempio esplicito di funzione derivabile f : [0, 2) → R che sia
monotona crescente e tale che Im (f ) = [0, +∞). (Suggerimento: Provare con una
funzione del tipo f (x) = − ln(ax + b) + c. Attenzione: l’insieme naturale di definizione
di f non deve necessariamente coincidere con [0, 2)).
6

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