DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/02/14 ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I ` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni E f (1, 1, 0) = (k + 2, k + 2, k + 1) f (0, 1, 1) = (k + 1, k + 2, k + 2) con k parametro reale. f (1, 0, 1) = (3, 2, 3) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ciascun caso Im f e Kerf . 2) Determinare la controimmagine f −1 (0, 1, −1) al variare di k. 3) Verificare che T = 1 `e un autovalore di f . Discutere, al variare di k, la semplicit`a di f , determinando in ogni caso i suoi autospazi. 4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − 2y + z = 0} ⊆ R3 calcolare il sottospazio f (V ) e dire per quali valori di k si ha f (V ) = V . II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u. E 1) Determinare la circonferenza C passante per i punti A ≡ (1, 0, −1), B ≡ (1, −2, 1), C ≡ (0, 1, −1) e trovarne centro e raggio. Determinare il cilindro Γ che ha vertice Y∞ ≡ (0, 1, 0, 0) e direttrice C. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche che passano per O con tangente la retta x + y = 0, per A ≡ (2, 0) e per B ≡ (0, 2). Determinare e descrivere geometricamente il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ. 3) Studiare la famiglia ψ di quadriche di equazione ψ : x2 + y 2 − 2hxz + z 2 − 2hy = 0 . DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/02/14 ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I ` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni E f (1, 1, 0) = (h + 1, h + 1, h) f (0, 1, 1) = (h, h + 1, h + 1) con h parametro reale. f (1, 0, 1) = (3, 2, 3) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Kerf . 2) Determinare la controimmagine f −1 (0, 1, −1) al variare di h. 3) Verificare che T = 1 `e un autovalore di f . Discutere, al variare di h, la semplicit`a di f , determinando in ogni caso i suoi autospazi. 4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − 2y + z = 0} ⊆ R3 calcolare il sottospazio f (V ) e dire per quali valori di h si ha f (V ) = V . II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u. E 1) Determinare la circonferenza C passante per i punti A ≡ (−1, 0, 1), B ≡ (−1, 2, −1), C ≡ (0, −1, 1) e trovarne centro e raggio. Determinare il cilindro Γ che ha vertice Y∞ ≡ (0, 1, 0, 0) e direttrice C. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche che passano per O con tangente la retta x + y = 0, per A ≡ (−2, 0) e per B ≡ (0, −2). Determinare e descrivere geometricamente il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ. 3) Studiare la famiglia ψ di quadriche di equazione ψ : x2 + y 2 − 2hxy + z 2 − 2hz = 0 . DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/02/14 ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I Sono assegnati il sottospazio V = L (v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 1, 0, −1), v3 = (0, 0, 1, 1)) e l’endomorfismo f : V → V dato da: f (v1 ) = (h, h + 1, 2, 1) f (v2 ) = (0, −1, −2, −1) con h parametro reale. f (v3 ) = (0, 0, 1, 1) 1) Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Im f e Ker f . 2) Verificare che f `e semplice e determinare una base di autovettori indipendente dal parametro. 3) Calcolare, al variare di h, la controimmagine f −1 (1, 1, 1, 1) = {v ∈ V | f (v) = (1, 1, 1, 1)}. 4) Nel caso h 6= 0, ±1 caratterizzare gli isomorfismi semplici ϕ : R4 → R4 la cui restrizione a V induce f II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u. E 1) Dati i punti P1 ≡ (1, 2, 1), P2 ≡ (2, 1, −1) determinare le circonferenze c1 e c2 generate da questi punti con una rotazione intorno all’asse ~z. Trovare e studiare il cono ed il cilindro contenenti c1 e c2 . 2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione φ : x2 + (h − 1)y 2 − (h + 2)y − 1 = 0. determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Studiare la parabola di φ determinandone vertice, fuoco, asse e direttrice. 3) Studiare la famiglia di quadriche di equazione x2 + 2kxy + y 2 − 2kyz − 2kx − 1 = 0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/02/14 ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I Sono assegnati il sottospazio V = L (v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 1, 0, −1), v3 = (0, 0, 1, 1)) e l’endomorfismo f : V → V dato da: f (v1 ) = (k − 1, k, 2, 1) f (v2 ) = (0, −1, −2, −1) con k parametro reale. f (v3 ) = (0, 0, 1, 1) 1) Studiare f al variare di k, determinando in ciascun caso Im f e Ker f . 2) Verificare che f `e semplice e determinare una base di autovettori indipendente dal parametro. 3) Calcolare, al variare di k, la controimmagine f −1 (1, 1, 1, 1) = {v ∈ V | f (v) = (1, 1, 1, 1)}. 4) Nel caso k 6= 0, 1, 2 caratterizzare gli isomorfismi semplici ϕ : R4 → R4 la cui restrizione a V induce f II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u. E 1) Dati i punti P1 ≡ (−1, 2, 1), P2 ≡ (2, −1, −1) determinare le circonferenze c1 e c2 generate da questi punti con una rotazione intorno all’asse ~z. Trovare e studiare il cono ed il cilindro contenenti c1 e c2 . 2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione φ : x2 + (k − 2)y 2 − (k + 1)y − 1 = 0. determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Studiare la parabola di φ determinandone vertice, fuoco, asse e direttrice. 3) Studiare la famiglia di quadriche di equazione y 2 − 2hxz + 2hyz + z 2 − 2hy − 1 = 0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, Elettronica (P-Z), Informatica, REA Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/04/14. APPELLO STRAORDINARIO ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I Sono dati in R4 i vettori v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 0, −1, −1), v3 = (1, 0, 0, 1), v4 = (0, 1, 0, 1), e l’endomorfismo f : R4 → R4 dato dalle seguenti assegnazioni: f (v1 ) = (h, 0, 0, 2) f (v2 ) = (−2h, 0, h, 0) con h parametro reale. f (v3 ) = (0, 0, 0, 0) f (v4 ) = (0, 0, h, 0) 1) Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Ker f e Im f . 2) Calcolare f −1 (v1 ), al variare di h. 3) Discutere la semplicit`a di f al variare di h. 4) Sia V = L (v1 , v2 , v3 ) ⊆ R4 . Verificare che f induce un endomorfismo g : V → V per ogni valore di h. 5) Discutere la semplicit`a di g al variare di h. II ` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u. E 1) Dati i vettori ~v = (2, −1, 1) e w ~ = (1, 0, 1), determinare il loro prodotto vettoriale ~v × w ~ e l’angolo che essi formano. Determinare la retta r perpendicolare ai vettori ~v e w ~ e passante per P = (1, 0, 0) e calcolare la distanza dell’origine O da r. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio di coniche passanti per i punti A = (1, −1), B = (1, 1), C = (0, 2) e D = (0, −2). Determinare vertice, fuoco, asse di simmetria e direttrice della parabola del fascio. 3) Determinare e studiare le quadriche contenenti la conica e le rette: 2 x + y2 − 1 = 0 x−1=0 x=0 Γ: ; s: ; t: . z=0 y=0 y−1=0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, Elettronica (P-Z), Informatica, REA Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/04/14. APPELLO STRAORDINARIO ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I Sono dati in R4 i vettori v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 0, −1, −1), v3 = (1, 0, 0, 1), v4 = (0, 1, 0, 1), e l’endomorfismo f : R4 → R4 dato dalle seguenti assegnazioni: f (v1 ) = (−k, 0, 0, 2) f (v2 ) = (2k, 0, −k, 0) con k parametro reale. f (v3 ) = (0, 0, 0, 0) f (v4 ) = (0, 0, −k, 0) 1) Studiare f al variare di k, determinando in ciascun caso Ker f e Im f . 2) Calcolare f −1 (v1 ), al variare di k. 3) Discutere la semplicit`a di f al variare di k. 4) Sia V = L (v1 , v2 , v3 ) ⊆ R4 . Verificare che f induce un endomorfismo g : V → V per ogni valore di k. 5) Discutere la semplicit`a di g al variare di k. II ` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u. E 1) Dati i vettori ~v = (−2, 1, −1) e w ~ = (−1, 0, −1), determinare il loro prodotto vettoriale ~v × w ~ e l’angolo che essi formano. Determinare la retta r perpendicolare ai vettori ~v e w ~ e passante per P = (0, −1, 1) e calcolare la distanza dell’origine O da r. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio di coniche passanti per i punti A = (−1, 1), B = (−1, −1), C = (0, −2) e D = (0, 2). Determinare vertice, fuoco, asse di simmetria e direttrice della parabola del fascio. 3) Determinare e studiare le quadriche contenenti la conica e le rette: 2 y + z2 − 1 = 0 y−1=0 y=0 Γ: ; s: ; t: . x=0 z=0 z−1=0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 26/06/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I Data la matrice 1 1 A= h h 1 1 h h h h h h h h h h con h parametro reale si consideri l’endomorfismo f : R4 → R4 dello spazio euclideo R4 associato alla matrice A rispetto alla base canonica. 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Ker f . 2) Posto V0 = Ker f e W = Im f , verificare che V0 ⊥ W e che V0 ⊕ W = R4 . Verificare che f induce un endomorfismo semplice f 0 : W → W . Determinare gli autospazi di f 0 . 3) Determinare, al variare di h, la controimmagine f −1 (0, 0, 1, 1). 4) Osservato che f `e semplice, trovare una base di autovettori al variare del parametro h. II ` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u. E √ √ 2, 0, 2), R ≡ 1) Determinare la circonferenza c passante per i punti P ≡ (0, 2, 0), Q ≡ ( √ (1, 2, 1). Trovare centro e raggio di c. Determinare il cilindro che ha vertice Z∞ ≡ (0, 0, 1, 0) e direttrice c. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche passanti per i punti O, A ≡ (2, 0), B ≡ (4, 2), C ≡ (0, 2). Trovare asse e vertice della parabola di φ. 3) Studiare la famiglia Q di quadriche di equazione Q : hx2 − 2xy + (h − 1)y 2 + (h + 1)z 2 − 2x = 0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 26/06/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I Data la matrice −1 −1 k k −1 −1 k k A= k k k k k k k k con k parametro reale si consideri l’endomorfismo f : R4 → R4 dello spazio euclideo R4 associato alla matrice A rispetto alla base canonica. 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ciascun caso Im f e Ker f . 2) Posto V0 = Ker f e W = Im f , verificare che V0 ⊥ W e che V0 ⊕ W = R4 . Verificare che f induce un endomorfismo semplice f 0 : W → W . Determinare gli autospazi di f 0 . 3) Determinare, al variare di k, la controimmagine f −1 (0, 0, 1, 1). 4) Osservato che f `e semplice, trovare una base di autovettori al variare del parametro k. II ` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u. E √ √ 2, 2, 0, ), R ≡ 1) Determinare la circonferenza c passante per i punti P ≡ (0, 0, 2), Q ≡ ( √ (1, 1, 2). Trovare centro e raggio di c. Determinare il cilindro che ha vertice X∞ ≡ (1, 0, 0, 0) e direttrice c. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche passanti per i punti O, A ≡ (−2, 0), B ≡ (−4, −2), C ≡ (0, −2). Trovare asse e vertice della parabola di φ. 3) Studiare la famiglia Q di quadriche di equazione Q : (h + 1)x2 + hy 2 − 2yz + (h − 1)z 2 − 2y = 0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 15/07/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I ` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni: E f (1, 0, 0) = (h, 1, 1) f (1, 1, 0) = (h + 2, h + 2, h + 1) con h parametro reale. f (0, −1, 2) = (−4, −3 − h, −h) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Ker f . 2) Discutere al variare di h la semplicit`a di f . 3) Dati i sottospazi U = {(x, y, z) ∈ R3 | y + z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0} determinare f (U ), f (V ) e f (U ) + f (V ), al variare di h ∈ R. 4) Detta i : R2 → R3 l’applicazione definita da i(x, y) = (x, 0, y) studiare l’applicazione lineare g = f ◦ i : R2 → R3 e determinare g −1 (1, h, 0). II ` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u. E 1) Date le rette y−1=0 x+1=0 r: ; s: x−z+1=0 y−z−1=0 dopo avere verificato che esse sono complanari, determinare il piano che le contiene e calcolare l’angolo individuato dalle due rette. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche tangenti alla retta t : x + y = 0 nel punto A = (2, −2) ed alla retta u : x − y = 0 nel punto B = (2, 2). 3) Determinare e studiare la totalit`a delle quadriche contenenti la conica di equazioni 2 x − z2 − x + z = 0 y=0 e passante per i punti C = (0, 1, 0), D = (1, 1, 1), E = (1, 1, 0). DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 15/07/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I ` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni: E f (1, 0, 0) = (k − 1, 1, 1) f (1, 1, 0) = (k + 1, k + 1, k) con k parametro reale. f (0, −1, 2) = (−4, −2 − k, 1 − k) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ciascun caso Im f e Ker f . 2) Discutere al variare di k la semplicit`a di f . 3) Dati i sottospazi U = {(x, y, z) ∈ R3 | y + z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0} determinare f (U ), f (V ) e f (U ) + f (V ), al variare di k ∈ R. 4) Detta i : R2 → R3 l’applicazione definita da i(x, y) = (x, 0, y) studiare l’applicazione lineare g = f ◦ i : R2 → R3 e determinare g −1 (1, k − 1, 0). II ` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u. E 1) Date le rette z−1=0 y+1=0 r: ; s: x−y−1=0 x−z+1=0 dopo avere verificato che esse sono complanari, determinare il piano che le contiene e calcolare l’angolo individuato dalle due rette. 2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche tangenti alla retta t : x + y = 0 nel punto A = (−2, 2) ed alla retta u : x − y = 0 nel punto B = (−2, −2). 3) Determinare e studiare la totalit`a delle quadriche contenenti la conica di equazioni 2 x − y2 − x + y = 0 z=0 e passante per i punti C = (0, 0, 1), D = (1, 1, 1), E = (0, 1, 1). DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 09/09/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I ` data la matrice E 1 0 A= 0 0 0 k 0 k 0 0 k 0 0 k ∈ R4,4 0 k con k parametro reale. 1) Nello spazio euclideo R4 si consideri l’endomorfismo ϕ : R4 → R4 associato ad A rispetto alla base canonica; determinare, al variare del parametro k, Ker ϕ e Im ϕ. Verificare che si ha Ker ϕ ⊥ Im ϕ. 2) Calcolare, al variare di k, la controimmagine ϕ−1 (1, 0, 1, 0). 3) Verificare che ϕ `e semplice per ogni valore di k e trovare una base ortogonale di autovettori indipendente dal parametro. 4) Verificare che ϕ induce un isomorfismo ϕ0 : Im ϕ → Im ϕ e che ϕ0 `e semplice. II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u. E 1) Sono assegnati la conica C ed un punto V appartenente all’asse ~z, con z=0 C: x2 − y 2 = 1 Determinare al variare di V la quadrica che ha vertice V e C per direttrice. 2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione φ : (h + 1)x2 + y 2 − 2hx + h − 1 = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Determinare il luogo dei centri delle coniche di φ. 3) Studiare al variare del parametro k, la famiglia ψ di quadriche di equazione ψ : 2kxz − y 2 − z 2 + 1 = 0. Studiare la conica sezione delle quadriche di ψ col piano x − z = 0. DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 09/09/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I ` data la matrice E 1 0 A= 0 0 0 0 h 0 0 h 0 h 0 0 ∈ R4,4 h 0 con h parametro reale. 1) Nello spazio euclideo R4 si consideri l’endomorfismo ϕ : R4 → R4 associato ad A rispetto alla base canonica; determinare, al variare del parametro h, Ker ϕ e Im ϕ. Verificare che si ha Ker ϕ ⊥ Im ϕ. 2) Calcolare, al variare di h, la controimmagine ϕ−1 (1, 1, 0, 1). 3) Verificare che ϕ `e semplice per ogni valore di h e trovare una base ortogonale di autovettori indipendente dal parametro. 4) Verificare che ϕ induce un isomorfismo ϕ0 : Im ϕ → Im ϕ e che ϕ0 `e semplice. II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u. E 1) Sono assegnati la conica C ed un punto V appartenente all’asse ~y , con y=0 C: x2 − z 2 = 1 Determinare al variare di V la quadrica che ha vertice V e C per direttrice. 2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione φ : x2 + (h + 1)y 2 − 2hy + h − 1 = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Determinare il luogo dei centri delle coniche di φ. 3) Studiare al variare del parametro k, la famiglia ψ di quadriche di equazione ψ : x2 − 2kxy + z 2 − 1 = 0. Studiare la conica sezione delle quadriche di ψ col piano x − y = 0. DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/09/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I ` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni E f (1, 0, 0) = (h + 1, h, h) f (1, 0, 1) = (h + 2, h + 1, 2h + 1) con h parametro reale. f (0, 1, 2) = (1, 2, h + 2) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ogni caso Ker f e Im f . 2) Verificare che f `e semplice per ogni valore di h e trovare una base di autovettori indipendente dal parametro. 3) Calcolare, al variare di h, la controimmagine f −1 (1, 1, 1). 4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − y + z = 0} ⊆ R3 , calcolare f (V ), verificare che f (V ) ⊆ V e precisare per quali valori di h si ha f (V ) = V . II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u. E ). Calcolare 1) Determinare la circonferenza c passante per i punti O, A ≡ (2, 2, 2), B ≡ (0, 65 , 12 5 il centro ed il raggio di c. Tra le sfere contenenti c determinare quella di raggio minimo. 2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione φ : (λ + µ)x2 − 2(λ − µ)xy + (λ + µ)y 2 − λ − µ = 0. Determinare il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ. 3) Determinare e studiare le quadriche che contengono le coniche x−z =0 y=0 C1 : C2 : 2 2 2x + y − 1 = 0 xz + z 2 − 1 = 0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/09/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I ` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni E f (1, 0, 0) = (k, k − 1, k − 1) f (1, 0, 1) = (k + 1, k, 2k − 1) con k parametro reale. f (0, 1, 2) = (1, 2, k + 1) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ogni caso Ker f e Im f . 2) Verificare che f `e semplice per ogni valore di k e trovare una base di autovettori indipendente dal parametro. 3) Calcolare, al variare di k, la controimmagine f −1 (1, 1, 1). 4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − y + z = 0} ⊆ R3 , calcolare f (V ), verificare che f (V ) ⊆ V e precisare per quali valori di k si ha f (V ) = V . II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u. E , 6 , 0). Calcolare 1) Determinare la circonferenza c passante per i punti O, A ≡ (2, 2, 2), B ≡ ( 12 5 5 il centro ed il raggio di c. Tra le sfere contenenti c determinare quella di raggio minimo. 2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione φ : λx2 − 2µxy + λy 2 − λ = 0. Determinare il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ. 3) Determinare e studiare le quadriche che contengono le coniche x−y =0 z=0 C1 : C2 : 2 2 2x + z − 1 = 0 x2 + xy − 1 = 0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 28/11/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO A I ` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni E f (1, 1, 0) = (h + 2, h + 2, h + 1) f (1, 0, 1) = (h, 0, 1) con h parametro reale. f (0, 1, 2) = (−1, h − 1, h) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ogni caso Ker f e Im f . 2) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | y − z = 0} ⊆ R3 valcolare f (V ), verificare che f (V ) ⊆ V e precisare per quali valori di h si ha f (V ) = V . 3) Determinare i valori di h per i quali f `e semplice; quando `e possibile determinare una base di autovettori. 4) Calcolare la controimmagine f −1 (1, 1, 1) al variare di h. II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u. E 1) Dati i punti A ≡ (1, 1, 1), B ≡ (3, 3, 3), C ≡ (2, 2, −1) verificare che il triangolo ABC `e rettangolo in A e trovare l’area del triangolo. Determinare le equazioni della circonferenza passante per A, B, C. 2) sul piano coordinato z = 0 determinare: • la circonferenza c passante per i punti O, (0, 2), (−1, 1); • la parabola p avente per asse l’asse ~y e passante per i punti (1, 1), (2, 4). Studiare il fascio di coniche φ generato da c e da p, deteminandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. 3) Studiare la famiglia Φ di quadriche di equazione Φ : x2 + 2hxy + y 2 − z 2 − 2hz − 2h = 0 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 28/11/14. ` vietato uscire prima di aver consegnato il compito. 1) Durata della prova: tre ore. E 2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta. COMPITO B I ` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni E f (1, 1, 0) = (k + 1, k + 1, k) f (1, 0, 1) = (k − 1, 0, 1) con k parametro reale. f (0, 1, 2) = (−1, k − 2, k − 1) 1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ogni caso Ker f e Im f . 2) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | y − z = 0} ⊆ R3 valcolare f (V ), verificare che f (V ) ⊆ V e precisare per quali valori di k si ha f (V ) = V . 3) Determinare i valori di k per i quali f `e semplice; quando `e possibile determinare una base di autovettori. 4) Calcolare la controimmagine f −1 (1, 1, 1) al variare di k. II ` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u. E 1) Dati i punti A ≡ (1, 1, 1), B ≡ (3, 3, 3), C ≡ (−1, 2, 2) verificare che il triangolo ABC `e rettangolo in A e trovare l’area del triangolo. Determinare le equazioni della circonferenza passante per A, B, C. 2) sul piano coordinato z = 0 determinare: • la circonferenza c passante per i punti O, (0, −2), (−1, −1); • la parabola p avente per asse l’asse ~y e passante per i punti (1, −1), (2, −4). Studiare il fascio di coniche φ generato da c e da p, deteminandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. 3) Studiare la famiglia Φ di quadriche di equazione Φ : x2 − y 2 − 2hyz − z 2 + 2hx + 2h = 0
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