電磁プラズマ粒子シミュレーション pCANS 松本洋介千葉大学理学研究科２０１4年８月5日宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマースクール＠千葉大学 1/36 内容イントロダクション電磁プラズマ粒子シミュレーション（３章） pCANSの紹介（１，２，４、５章） 2/36 イントロダクション 3/36 プラズマシミュレーション手法近似レベル（≒計算量の逆数） MHD Hall MHD (hybrid) Two fluid Vlasov / Particle-in-Cell (PIC) 取り扱える現象のスケール 4/36 プラズマ分散関係（横波・並行伝搬） ω=ck R L R (whistler) ω=V A k MHD 5/36 MHD vs. PIC MHD 流体的な大規模構造構造形成（宇宙ジェット、星形成、銀河団）ダイナモ（地球、太陽）恒星風、フレア有限体積（差分）法数値スキームにバリエーション（Roe’s、HLLD、CIP、 etc.）計算コスト小並列化効率大 PIC MHDスケールから電子スケールまで記述できる、無衝突プラズマ第一原理シミュレーション手法粒子加速（無衝突衝撃波、磁気リコネクション）粒子輸送（KH不安定、乱流）磁場生成（Weibel不安定）粒子法アルゴリズムはほぼ完成計算コスト大並列化に工夫が必要 6/36 基礎方程式 Vlasov-Maxwell方程式系 ∂ fs qs v +v⋅∇ f s + E+ ×B ⋅∇ v f s=0 ∂t ms c ( ) s=ion, electron ∂E =c ∇× B−4 π J ∂t ∂B =−c ∇ × E ∂t ∇⋅B=0 ∇⋅E=4 π ρe 7/36 Vlasov方程式の数値解法 ∂fs qs v +v⋅∇ f s + E+ ×B ⋅∇ v f s =0 実空間の移流（移動） ∂t ms c ∂fs qs v 速度空間の移流（加速） +v⋅∇ f s + E+ ×B ⋅∇ v f s=0 ∂t ms c y ( ( 粒子法 ) ) v 流体法 v v v x x 位相空間をグッリドで定義して、fsを直分布関数fsを粒子によって表現接解く手法アルゴリズムが単純、安定最大６次元線形移流問題非熱的成分の運動を記述するのに、膨大非熱的成分まで記述可能な粒子数が必要高効率なベクトル化・並列化が容易 8/36 超並列計算機での効率的な計算が困難電磁プラズマ粒子シミュレーション 9/36 粒子の運動、加速粒子と電磁場 d xp up =γ p dt d up q up = E+ ×B dt m c γp up J =∑ p q p γ p ( ) E, B, J Maxwell equation ∂B =−c ∇ × E ∂t ∂E =c ∇ ×B−4 π J ∂t 流体スケールからデバイ長まで自己無撞着に解くことができる。 10/36 10/36 全体の流れ t +Δ t /2 1. 2. 3. 4. up t −Δ t −u p Δt /2 ( t qp u t p t = E + t ×B mp c γp ) t t t +Δ /2 x t+Δ − x u p p = tp+Δ/ 2 Δt γp J t+Δ t / 2 N =∑ p t /2 u t+Δ p qp γ p B t+Δ t − Bt =−c ∇ × E t+Δ t /2 Δt E t+Δ t − E t =+c ∇ × B t+Δ t /2+4 π J t+Δ t / 2 Δt 11/36 11/36 粒子の加速・移動 12/36 12/36 Buneman-Boris 法 ( t /2 t −Δ t t q u t+Δ −u / 2 u p p p t p t = E + t ×B Δt mp c γp t ここで、 qp E − t −Δ/ 2 u p =u p + mp t qp E + t +Δ/ 2 u p =u p − mp Δt 2 Δt 2 ) を導入して、上式に代入。 qp u +p −u −p + − t = u p −u p )×B ( Δt 2 γp mp c + p − p ∣u ∣=∣u ∣ 13/36 13/36 ∗ p − p − p + p − p ∗ p u =u +u ×t u =u +u ×s qp B Δt 2t s= t= 2 mp γpc 2 1+t まとめると、、、電場による加速 u t −Δ t / 2 p u − p 磁場による回転電場による加速 u + p u t +Δ t / 2 p 位置の更新 x t +Δ t p t p =x + u t +Δ t / 2 p t+Δ t /2 γ Δt 14/36 14/36 Particle-in-Cell法 15/36 15/36 グリッド点に対する粒子の影響度合い xp-Xi Xi+1-xp x q/2 Xi-1 q/2 xp Xi Xi+1 ( x p− X i J i =∑ p q p v p 1− Δx J i +1=∑ p q p v p ( x p− X i Δx ) 一次の形状関数 ) 16/36 16/36 逆もまた然り xp-Xi Xi+1-xp x F/2 F/2 Xi Xi-1 ( xp ) ( Xi+1 x p− X i x p− X i F p = F i 1− + F i+1 Δx Δx ) 電流計算の時と同じ形状関数 17/36 17/36 電磁場の数値解法 18/36 18/36 グリッド点への電磁場の配置 Yeeグリッド空間二次精度で差分化レギュラー格子に対して、数値分散が軽減磁場の発散なし条件（divB=0）を満たす 19/36 19/36 電磁場の陰的解法 B E t +Δ t t +Δ t t −B t +Δ t t =−c ∇ ×( θ E +(1−θ) E ) Δt t −E t +Δ t t t +Δ/ 2 =c ∇×( θ B +(1−θ) B )−4 π J Δt from PIC 右辺に未来の情報を含む。この種の陰解法という。一方、過去の情報から求める方法を陽解法という。電場と磁場は同じ時間ステップに定義される（↔FDTD法） θ=0.5のとき、クランク・ニコルソン法。θ=1.0で、後進オイラー法陰解法は陽解法に比べて数値的に安定。逆行列を求める必要があり、計算コストは大だが、粒子計算ではPIC法が全計算コストの大部分を占めるため、電磁場の陰解法化に伴う計算コストの増大は軽微 20/36 20/36 t δ B=−θ c Δ t ∇×δ E−c Δ t ∇× E t t +Δ t / 2 δ E=θ c Δ t ∇×δ B+c Δ t ∇ ×B −4 π Δ t J δ B= Bt +Δ t −B t ( δ B=B t +Δ t − Bt 4π t+Δ t /2 ( I −( θ c Δ t ) ∇ ) δ B=θ(c Δ) ∇ B + c ∇ ×J −c Δ t ∇× E t 2 2 2 2 t ) 既知量 A x=b Conjugate gradient method (共役勾配法) 21/36 21/36 束縛条件 ∇⋅B=0 ∇⋅E=4 π ρe ∇⋅B=0 Yeeグリッド上に定義された磁場はd/dt (divB)=0を丸め誤差の範囲で満たすので、初期条件で満たせばその後の計算中も丸め誤差の範囲で満たす誘導方程式のYeeグリッド上での差分化 E t+Δ t / 2 z ,i+1/2, j+1/ 2 t+Δ/ 2 z , i+1/ 2, j−1/ 2 −E B =B − Δt Δy t+Δ t /2 t+Δ/ 2 E −E t t z , i+1 /2, j+1/2 z , i−1 /2, j+1/2 B ty+Δ =B + Δt , i , j+1/2 y ,i , j+1/2 Δx t +Δ t x , i+1 /2, j t x , i+1/ 2, j 22/36 22/36 差分化した ∇⋅B=0 B x , i+1/ 2, j −B x , i−1/ 2, j B y , i , j+1/ 2−B y , i , j−1/2 ∇⋅B= + =0 Δx Δy 差分化した誘導方程式を上式に代入すると、電場の項が打ち消し合って、 t t+Δ t t +Δ t t+Δ t B tx+Δ − B B −B , i+1 /2, j x , i−1/2, j y , i , j+1/2 y ,i , j−1 /2 + = Δx Δy t t t t B x , i+1 /2, j − B x , i−1/2, j B y , i , j+1/2 −B y ,i , j−1 /2 + Δx Δy 時間ステップ前後で、差分化したdivBは維持される 23/36 23/36 ∇⋅E=4 πρe 電荷保存法 ρeとJを独立にPIC法で計算すると、必ずしも電荷保存則を満たさないため、（静）電場に誤差が生じる。 ∂ ρe +∇⋅J =0 ∂t 粒子の位置（形状関数）の時間変化からセル境界における電荷流束（qv）を求める。 Density Decomposition法（Esirkepov, CPC, 2001）の採用同じアルゴリズムで任意の次数の形状関数に適用可能分岐処理（if文）がない精度が良い２０１4年８月5日宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマースクール＠千葉大学 24/36 24/36 様々な形状関数計算コストが一番低いのはNGP（0次）だが、コストと精度のバランスがとれたCIC（1次）法が広く使われる。 2次のスプラインの方法により、形状関数によるノイズを大きく減らせる。相対論的流れの現象を取り扱うのに必要とされる。 Density decomposition法を採用したことにより、０－２次まで拡張が可能に 25/36 25/36 パラメタの決め方 Dtの決め方電磁場は陰的解法で解いているので、光モードによるCFL条件はない。通常は、電子プラズマ振動を解ける程度に設定する。典型的には、 ω pe Δ t<0.1 Dxの決め方通常はデバイ長程度に設定する。 Δx ∼1 λD 26/36 26/36 pCANSの紹介 27/36 27/36 CANS Coordinated Astronomical Numerical Software 磁気流体（MHD）シミュレーションコードパッケージ太陽や星、星間空間などにおける宇宙の流体現象を対象としたシミュレーションを簡単に実行可能数値スキームの選択が可能多くの物理課題が整備 Fortran77 IDLによる可視化 28/36 28/36 pCANS PICシミュレーションコードパッケージ CANSと同じようなディレクトリ構成 CANS経験者であればすぐに使えるはず。。。１，２次元コード物理課題の整備（weibel, mrx, shock, KH, etc.) Fortran90 MPI並列化（PCからスパコンまでポータブル） IDLによる可視化 29/36 29/36 世界におけるPICコード公開／非公開フリー／商用並列化開発元 TRISTAN-MP 公開フリー ◯ Princeton/USA OSIRIS 非公開フリー ◯ UCLA/USA VSim 非公開商用 ◯ Tech-X corp./USA KEMPO 非公開フリー ◯ 京都大学 CELESTE3D 公開フリー ◯ LANL/USA pCANS 公開フリー ◯ 千葉大学２０１4年８月5日宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマースクール＠千葉大学 30/36 30/36 pCANSドキュメント http://www.astro.phys.s.chiba-u.ac.jp/pcans *padユーザーのためには、電子図書形式（epub）も配布します（非公式） 31/36 31/36 開発メンバー松本洋介（千葉大）- 統括、KH不安定、無衝突衝撃波天野孝伸（東大） - 情報技術参与、無衝突衝撃波、二流体不安定加藤恒彦（広島大） - Weibel不安定、無衝突衝撃波銭谷誠司（NAOJ） - 磁気リコネクション高橋博之（NAOJ） - 磁気リコネクション三好由純（名大） - 電子温度異方性不安定簑島敬（JAMSTEC）- 電子温度異方性不安定、IDL 星野真弘（東大）- アドバイザー松元亮治（千葉大） - アドバイザー 32/36 32/36 領域分割によるMPI並列化粒子分割法領域分割法 E, B 実装が容易通信はreductionのみキャッシュに乗りにくい電磁場は各プロセスで共有超並列（>100）計算では、並列化効率が悪い E, B 超並列（>100）計算でもスケーリングが良いキャッシュに乗りやすいコーディングが面倒（領域間の粒子の受け渡し） 33/36 33/36 負荷バランスの崩れに注意２次元コードの並列化効率 (weak scaling) 512並列まで、「そこそこ」スケール PCからスパコンまでポータブル実行効率は5-7％程度 34/36 34/36 pCANS物理課題１次元課題線形波動無衝突衝撃波２流体不安定温度異方性不安定２次元課題数値チェレンコフ不安定 Weibel不安定 36/36 36/36 ２次元課題磁気リコネクション 37/36 37/36 ２次元課題無衝突衝撃波 KH不安定 M/m=16 M/m=64 M/m=256 38/36 38/36