第 8 章連立一次合同式 8.1 解の存在と一意性複数の１次合同式を同時に満たす整数解について考える。定理 8.1 自然数 n1 、n2 、· · · 、nk がどの二つも互いに素であるとする。このとき、任意の a1 、· · · 、ak に対して、連立一次合同式  x ≡ a1      x ≡ a2      x ≡ ak (mod n1 ) (mod n2 ) .. . (mod nk ) (8.1) を満たす解は、積 N = n1 · · · nk を法としてただ一つ存在する。注 : この定理は、古代中国の「孫子算経」という本にあるそうで、中国では「孫子剰余定理」、一般には、「中国式剰余定理（ “Chinese Reminder Theorem”）と呼ばれる。（終）（証明）解の存在 : Ni := N/ni とおく。ni は、n1 、· · · 、ni−1 、ni+1 、· · · 、nk と互いに素なので、gcd (Ni , ni ) = 1。よって、命題 6.7 より、 Ni ui ≡ 1 (mod ni ) を満たす整数 ui が ni を法としてただ一つ存在する。このとき、 x0 = N1 u1 a1 + · · · + Nk uk ak とすると、u1 と Ni のとり方から、 N1 u1 ≡ 1, N2 ≡ N3 ≡ · · · ≡ Nk ≡ 0 (modn1 ) となるので、 x 0 ≡ 1 · a1 + 0 + · · · + 0 = a1 (mod n1 ) となる。同様に、 x0 ≡ ai (mod ni ) がなりたつ。ゆえに、x = x0 は解のひとつであり、その存在がいえた。一意性 : (8.1) の任意の解を x1 とするとき、x1 ≡ x0 (mod N ) がいえればよい。各 i につき x1 ≡ ai ≡ x0 (mod ni ) である。すなわち、x1 − x0 は n1 、· · · 、nk のいずれでも割り切れる。したがって、系 3.6 により、x1 − x0 は仮定からそれらの積 N で割り切れる。つまり x1 ≡ x0 (modN ) となるので、解はただひとつ。（証明終） 39 8.2 解法連立一次合同式の解法 : 連立一次合同式 (8.1) は次のように解くことができる。 (1) N = n1 · · · nk とおき、各 i について Ni = N/ni とおく。 (2) 各 i について、一次合同式 Ni ui ≡ 1 (mod ni ) を満たす ui をひとつ求める。 (3) (8.1) の解は x0 = k ∑ N i u i ai i=1 で与えられ、N を法として x = x0 ただひとつである。例 : 連立一次合同式    x≡2 x≡3   x≡2 (mod 3) (mod 5) (mod 7) を解く。上の解法における N にあたる数は 3 · 5 · 7 = 105、N1 にあたる数は 105/3 = 35、N2 にあたる数は 105/5 = 21、 N3 にあたる数は 105/7 = 15 であるから、３つの合同式 35u1 ≡ 1 (mod 3) 21u2 ≡ 1 (mod 5) 15u3 ≡ 1 (mod 7) を考えればよい。各々の合同式の解のひとつとして、 u1 = 2, u2 = 1 u3 = 1 が取れるから、考えている連立一次合同式の解は 35 · 2 · 2 + 21 · 1 · 3 + 15 · 1 · 2 = 140 + 63 + 30 = 233 ≡ 23 (mod 105) となるので、解は x ≡ 23 (mod 105) のただひとつになる。（例終）問題 : 次の連立一次合同式を解け。 { (1) x ≡ 3 (mod 7) x ≡ 4 (mod 11) (2)    x≡1 x≡2   x≡4 40 (mod 2) (mod 3) (mod 5) (3)    x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 1 (mod 3)   x ≡ 6 (mod 7)