36.積分の計算～ 37.定積分で表された関数 [三ｸﾘｱ12ABWa38]f(2),f'(2),∫f(x)dx[-1.1]からf(x)を求める"三クリアーⅠⅡＡＢ受近畿大# 2 次関数 f 0 x1 が f 0 21 =26，f - 0 21 =18， Q 1 -1 f 0 x1 dx＝6 を満たすとき f 0 x1 を求めよ。 [三ｸﾘｱ12ABSt159]定積分で表された関数のグラフ"三クリアーⅠⅡＡＢ受中央大# 関数 f 0 x 1 は x <0 のとき 0，0 (x( 1 のとき x，x >1 のとき 1 の値をとるとする。こ Q x 1 3 6 2f 0 t 1 + g 0 t 1 7dt = x -4x +3 ，f - 0 x 1 - g - 0 x 1 =-3 ，f 0 1 1 =1 の条件を満たすとき，f 0 x 1 ，g 0 x 1 を求めよ。のとき次の問いに答えよ。 0 1 1　y = f 0 x 1 のグラフをかけ。 s　f 0 x1 =3x 2 +6x +2 0 2 1　g 0 x 1 = 解説 f 0 x1 = ax 2 + bx + c 0 a ' 01 とおける。 f - 0 x1 =2ax + b であるから，f - 0 21 =18 より　4a + b =18 …… ① Q x x-1 s　f 0 x 1 = x 2 - x +1 ，g 0 x 1 = x 2 +2x -6 f 0 t 1 dt を次の 4 つの場合にそれぞれ求めよ。解説 4 1 5　x( 0 4 2 5　0< x( 1 4 3 5　1< x( 2 4 4 5　2< x Q 0 3 1　y = g 0 x 1 のグラフをかけ。 Q 1 -1 よって， 1 1 Q 0ax +c1dx=2< 3 x + cx= = 3 a +2c f 0 x1 dx =2 Q 1 -1 a 2 3 0 2 s　0 1 1　2 図 3　0 2 1　4 1 5　g 0 x 1 =0 4 2 5　g 0 x 1 = 0 f 0 x1 dx =6 から　①，②，③ を解いて　a =3，b =6，c =2 ( a' 0 を満たす ) f - 0 x 1 - g - 0 x 1 =-3 …… ③ であるから，②+③ より　3f - 0 x 1 =6x -3 よって　f - 0 x 1 =2x -1 011 Q y f 0 1 1 =1 であるから　1 2 -1+ C =1 ゆえに　C =1 ゆえに　f 0 x1 =3x +6x +2 y= f 0 x1 1 [三ｸﾘｱ12ABPr38]絶対値を含む定積分を定数tで表す"三クリアーⅠⅡＡＢ受早稲田大# O (1)　t を定数とする。x の不等式 x 2 - 0 1 + t 1x + t >0 を解け。 Q 1 0 O したがって　f 0 x 1 = x 2 - x +1 y= g 0 x1 1 1 2 x 1 これを ① に代入して　20 x 2 - x +11 + g 0 x 1 =3x 2 -4 よって　g 0 x 1 = x 2 +2x -6 1 2 x x 2 -0 1 + t 1x + t dx を求めよ。解説 s　(1)　t <1 のとき x <t，1< x； t =1 のとき x <1 ，1< x； t >1 のとき x <1 ，t <x 1 (2)　f 0 t 1 =- 0 2t 3 -6t 2 +3t -11 6 g 0 x 1 = 解説 Q 011 y x x-1 0dt =0 y= f 0 x1 1 4 2 5　0< x( 1 の場合 (1)　x 2 - 0 1 + t 1x + t >0 から　0 x - t 10 x -1 1 >0 g 0 x 1 = よって，この不等式の解は t <1 のとき　x <t，1< x g 0 x 1 = t >1 のとき　x <1，t <x (2)　0 (t( 1 のとき，(1) の結果から x 2 - 0 1 +t 1x + t = 1 x 2 - 0 1 + t 1x + t 0 0 ( x ( t 1 > -0 x - t 10 x - 1 1 0 t( x( 1 1 Q = 6 x - 0 1+ t 1x + t7 dx- 0 x - t 10 x - 1 1dx Q Q 0 t x 2 -0 1 + t 1x + t dx 1 2 0 Q 0 x-1 0dt + Q x 0 tdt = 1 x 1 <2t = =2x 2 O 2 x 1 0 4 3 5　1< x( 2 の場合 t =1 のとき　x <1，1< x ゆえに　f 0 t 1 = 0 1 1　y = f 0 x 1 のグラフは右の図のようになる。 0 2 1　4 1 5　x( 0 の場合 Q 1 x-1 tdt + Q x 1 1dt = 1 <2t = 2 1 45 + t x-1 x 1 1 1 1 = - 0 x - 1 1 2 + x -1 =- x 2 +2x -1 2 2 2 4 4 5　2< x の場合 g 0 x 1 = Q x x-1 45 1dt = t x x-1 = x - 0 x -1 1 =1 031 y y= g 0 x1 1 1 2 O 1 2 0 3 1　y = g 0 x 1 は右の図のようになる。 t t3 1 1 1 = - 0 1 + t 1t 2 + t 2 - - 0 1 - t 1 3 =- 0 2t 3 -6t 2 +3t -11 3 2 6 6 > ? [三ｸﾘｱ12ABSt160]定積分を含む等式,導関数の関係からf(x),g(x)"三クリアーⅠⅡＡＢ受久留米大# 2 次関数 f 0 x 1 および g 0 x 1 が Q f 0 x 1 = f - 0 x 1 dx = 0 2x - 1 1dx = x 2 - x + C (C は積分定数) 031 y 2 (2)　0 (t( 1 のとき，f 0 t 1 = 3 6 2f 0 t 1 + g 0 t 1 7dt = x -4x +3 の両辺を微分して更に，この式の両辺を微分して　2f - 0 x 1 + g - 0 x 1 =6x …… ② 1 2 x 2 1 4 3 5　g 0 x 1 =- x 2 +2x -1 4 4 5　g 0 x 1 =1 0 3 1　2 図 3 2 2 a +2c =6 …… ③ 3 1 2f 0 x 1 + g 0 x 1 =3x 2 -4 …… ① f 0 21 =26 から　4a +2b + c =26 …… ② x x [三ｸﾘｱ12ABCl161]∫{f(x)-x^2+1}dx[ a .1]=0となるcの値"三クリアーⅠⅡＡＢ受島根大# 2 2 f 0 x1 = ax + bx + c とし，2 つの曲線 y = f 0 x1 と y =-x +1 は点 (1，0) で共通接線をもつとする。 0 1 1　s　0 1 1　略　0 2 1　a = b Q 0 1 1　(2)　方程式 f 0 x1 =0 が 1 以外の解 a をもつとき，a を c を用いて表せ。 (3)　(2) と同じ仮定のもとで Q 1 a 2 6 f 0 x1 - x + 17 dx =0 となるような c の値を求めよ。 a 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt の値を求めよ。 0 0 2 1　a の値を求めよ。解説 (1)　a と b を c を用いて表せ。 Q 1 Q 2 0 x + a 1 dx = A， 0 1 0 x + a 10 x + b 1dx = B， 0 Q 1 2 0 x + b 1 dx = C とおく。 0 0 3 1　F0 x 1 = Q x 0 f 0 t 1 dt とするとき，lim h.0 t を任意の実数とすると　6 t0 x + a 1 + 0 x + b 1 7 2 ) 0 であるから 1 s　0 1 1　2　0 2 1　a = Q 6 t0 x+ a 1 + 0 x+ b 1 7 dx) 0 …… ① が常に成り立つ。 2 0 s　(1)　a = c -2，b =-2c +2　(2)　a = 1 ここで　= 解説また，y =-x 2 +1 から　y - =-2x ①，② から　a = c -2，b =-2c +2 これが解 1 と a 0 ' 11 をもつとき，c -2 ' 0 であり，解と係数の関係から Q a 6f 0 x1 - x + 17dx = Q a f 0 x1 dx - Q a 2 x dx + Q 1 a dx 1 1 = 0 c - 21 0 x - a1 0 x - 11 dx- x 3 + x 3 a a Q 1 2 2 0 Q 2 1 0 Q 2 0 x + a 1 dx +2t 1 0 0 x + a 10 x + b 1dx + Q 1 0 < = 45 D = B 2 - AC( 0 よって　B 2 (AC 4 2 1 1 2 1 0 [三ｸﾘｱ12ABWa39]∫f(t)dt[a.x]=x^4-4x^3+5x^2-2xとなるf(x),a"三クリアーⅠⅡＡＢ受愛媛大# =- 1 1 - a1 260 c -21 0 1 - a1 -20 a +21 7 60 1 =- 0 1 - a1 260 1 - a1 c -67 6 Q a s　f 0 x 1 =4x 3 -12x 2 +10x -2 ， a =0，1，2 解説等式の両辺を x で微分すると　f 0 x 1 =4x 3 -12x 2 +10x -2 また，等式の x に a を代入すると， 3 Q a a f 0 t 1 dt =0 より 2 a -4a +5a -2a =0 2 6f 0 x1 - x + 17dx =0，1- a ' 0 より　0 1 - a1 c -6=0 因数分解すると　a0 a - 1 1 20 a -2 1 =0 2 ここで，1- a =であるから c-2 - f 0 t 1 dt = x 4 -4x 3 +5x 2 -2x 4 よって　a =0，1，2 2c 3 -6=0　よって　c = c-2 2 [三ｸﾘｱ12ABPr39]定積分で表されたf(x),積分区間の上端の値など"三クリアーⅠⅡＡＢ受北九州市立大# 次の関数について答えよ。 [三ｸﾘｱ12ABCl162]シュワルツの不等式の証明,等号成立条件"三クリアーⅠⅡＡＢ受津田塾大# Q f 0 x 1 =-2+ x + x 2 a，b を定数とする。 0 1 1　不等式 >Q 1 2 ? >Q 0 x + a 10 x + b 1dx ( 0 1 ?>Q 2 0 x + a 1 dx 0 1 ? 2 0 x + b 1 dx を示せ。 0 0 2 1　0 1 1 で等号が成立するための a，b の条件を求めよ。 k 2 3 1 k 1 k 3 0 5 k 3 5 2 0 2 1　f 0 x 1 =2x + x -2 であるから Q a 0 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt = ただし，a は定数であり， 1 a 0 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt 5 Q f 0 t1 dt=- 6 である。 0 Q a 0 2 2 226 0 t + 1 1 - t 7 + 0 t + 1 1 - t3dt = =2a 2 +3a よって，0 1 1 の結果より　2a 2 +3a =2 ゆえに　0 2a -1 10 a +2 1 =0 したがって　a = . 1 1 =- 0 c -21 0 1 - a1 3- 0 1 - a1 0a 2 + a -21 6 3 1 2 0 次の等式を満たす関数 f 0 x 1 と定数 a をすべて求めよ。 1 1 c -21 0 1 - a1 3+ 0 1 - a1 20 a +21 60 3 0 1 0 3 1　lim h 0 a 1 0 ゆえに　k =2 >Q 0x+a10x+b 1dx? (>Q 0x+a1 dx?>Q 0 x+b 1 dx? x 1 0 よって，① から　At 2 +2Bt + C) 0 Q t2 Q f 0 t1 dt= Q 0kt + t- 21dt= < 3 t + 2 - 2t= = 3 + 2 -2= 3 - 2 Q f 0 t1 dt=- 6 であるから　3 - 2 =- 6 1 1 =- 0 c -21 0 1 - a1 3- 0 1 - a 31 +1- a 6 3 =- 2 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt = k (k は定数) とおくと　f 0 x 1 = kx + x -2 0 0 x + b 1 dx 1 a a よって　= At 2 +2Bt + C すなわち　Q 2 0 2 1　0 (x( 1 である任意の x の値について常に t0 x + a 1 + 0 x + b 1 =0 すなわち　0 t +1 1x + at + b =0 であればよい。よって　t +1=0 ，at + b =0 ゆえに　a = b (3)　(2) より　f 0 x1 = 0 c -21 0 x - a1 0 x -11 1 0 1 1　0 c c 1･a = すなわち　a = c-2 c-2 1 2 これが常に成り立つから　(2)　(1) より，方程式 f 0 x1 =0 は　0 c -21 x 2 + 0 -2c +21 x + c =0 2 1 Q 6t 0 x+ a 1 + 2t0 x+a 10 x+b 1 + 0 x+ b 1 7dx = t 曲線 y = f 0 x1 は点 0 1，01 を通るから　a + b + c =0　…… ① 点 0 1，01 での 2 つの曲線の接線の傾きが等しいから　2a + b =-2　…… ② 1 2 0 (1)　f 0 x1 = ax 2 + bx + c，f - 0 x1 =2ax + b 1 ，-2　0 3 1　19 2 解説 Q 6 t0 x+a 1 + 0 x+b 1 7 dx c 3 (3)　c = 2 c-2 F0 3 + h 1 - F0 3 1 の値を求めよ。 h F0 3 + h 1 - F0 3 1 = F -0 3 1 = f 0 3 1 =19 h 1 ，-2 2 Q a 0 4 5 2 0 4t + 3 1dt = 2t + 3t a 0 [三ｸﾘｱ12ABSt163]定積分で表された関数.極値などから係数決定"三クリアーⅠⅡＡＢ受弘前大# a，b，c を定数とし，関数 f 0 x 1 を f 0 x 1 = Q x 0 2 0t + at + b1dt + c とおく。関数 f 0 x 1 は Q x 1 f - 0 t1 dt = f 0 x1 - f 0 11 であるから　f 0 x1 = x 2 - ax +26 f 0 x1 - f 0 11 7 よって　f 0 x1 =-x 2 + ax +2f 0 11 …… ① x =-1 と x =2 で極値をとり，曲線 y = f 0 x 1 上の点 0 1，f 0 1 1 1 における接線と x 軸としたがって，f 0 x1 は 2 次関数である。の交点の座標が (-1，0) であるとする。このとき，a，b，c を求めよ。 (2)　① に x =1 を代入すると　f 0 11 =-1+ a +2f 0 11 11 s　a =-1 ，b =-2 ，c =6 ① に代入して　f 0 x1 =-x 2 + ax +2-2a ゆえに　a = 解説 2 1 0 0 < f - 0 x 1 = x + ax + b 2 = f - 0 -1 1 =1- a + b =0 ，　f - 0 2 1 =4+2a + b =0 よって　a =-1 ，b =-2 よって　a = Q < = 8 9 この接線が点 0 -1，0 1 を通るから Q 1 -2 x 2 + 2ax dx について，次の問いに答えよ。ただし，a) 0 とする。 11 x3 x2 11 = -2x f 0 x 1 = 0t 2 - t - 21dt 6 6 3 2 0 … 2 … f -0 x 1 + 0 - 0 + 9 2 3 : 31 6 f0 x 1 したがって　a =-1 ，b =-2 ，c =- Q 6 6 (2)　a = U のとき最小値 3- U 4 2 Q -2a -2 < = -2a -2 Q < x3 + ax 2 3 S =- -2 0 -2a Q 1 0 f - 0 t1 dt を満たすとき，次の問いに答えよ。 0 f 0 y 1 dy + f 0 y 1 dy + < x 0 = 1 : 6 3- U 2 9 8 3 9 2 2 0 1 Q 0 x+y1 f 0 y1 dy=x + C から 2 2 0 Q 0 = < + -2 1 0 0 1 x 1 f - 0 t1 dt -2 -2a O a = Q y f 0 y1 dy=C　…… ① 2 0 Q x 0 1 1 0 0 Q f 0 y1 dy+2xQ yf 0 y1 dy=x f 0 y 1 dy + x 2 x 2 Q x 0 f 0 y 1 dy = 0 1 - a 1x 2 -2bx 1 1 0 0 1 Q f 0 y1 dy=Q 6 20 1- a 1y-2b 7dy= 40 1 -a 1y -2by5 =1-a-2b 2 0 よって　2a +2b =1 …… ② y = x 2 +2ax 1 2 2 両辺を x で微分すると　f 0 x 1 =20 1 -a 1x -2b 1 [2] y 1 0 0 x3 7 + ax 2 =5a 3 3 0 = 1 Q f 0 y1 dy+2xQ yf 0 y1 dy+Q y f 0 y1 dy= x + C f 0 y 1 dy + x 2 y b = 1 1 0 0 -2a -2 O 1 x 1 Q yf 0 y1 dy=Q 620 1- a 1y -2by7dy= < 3 0 1- a1y -by = = 3 0 1 -a 1 -b 2 2 3 2 2 0 2 2 a +2b = …… ③ 3 3 ② と ③ を連立して解くと　a = 2 S Q 0 x+ y1 f 0 y1 dy= x +C 解説 0 + 1 よって　1 + 3 1 5 x - ，C = 2 2 24 1 2 2 s　(1)　略　(2)　f 0 x1 =-x 2 + x + 3 3 Q f 0 t1 dt= a ( a は定数) とおくと　f 0 x1 =x - ax+2Q + Q f 0 y1 dy= a，Q yf 0 y1 dy= b (a，b は定数) とおくと 1 [1] y = x 2 +2ax Q 1 1 x3 8 + 0 0 + 2a1 3 + + ax 2 = a 3 -3a +3 6 3 3 0 (1)　f 0 x1 は 2 次関数であることを示せ。　(2)　f 0 x1 を求めよ。 (1)　0 よって，次の等式が成り立つ。 1 2 2 0x + 2ax1dx+ 0 0 x + 2ax1dx 2 2 0x + 2ax1 dx+ 0 0x + 2ax1dx [三ｸﾘｱ12ABSt164]f(x)=x^2-x∫f(t)dt+2∫f'(t)dtを満たすf(x)"三クリアーⅠⅡＡＢ受佐賀大# 0 x 0 0 =- Q f 0 t1 dt+2Q Q [2]　a ) 1 のとき x Q x =0 を代入すると　2 0 x + 2ax1dx- x3 + ax 2 = 3 11 6 x S = 9 1 - 解説 (1)　x 2 +2ax = x0 x +2a1 [1]　0 (a <1 のときよって，f 0x 1 は条件を満たす。関数 f 0 x1 が等式 f 0 x1 = x 2 - x 8 3 7 a -3a +3，a) 1 のとき S =5a 3 3 解説 f 0x 1 の増減表は次のようになる。 -1 (2)　S を最小にする a の値とそのときの最小値を求めよ。 s　(1)　0 (a <1 のとき S = x … … 整式 f 0 x 1 と実数 C が s　f 0 x 1 = 1 11 ゆえに　c =6 6 x 1 を満たすとき，この f 0 x 1 と C を求めよ。 (1)　S を a の関数で表せ。逆に f 0 x 1 が条件を満たすことを示す。 Q … 2 2 2 したがって　f 0 x1 =-x 2 + x + 3 3 3 [三ｸﾘｱ12ABCl165]絶対値を含む定積分の最小値"三クリアーⅠⅡＡＢ受日本女子大# S= 13 1 =-20 x -1 1 すなわち　y =-2x + c 6 6 0=2+ c - 4 [三ｸﾘｱ12ABCl166]∫f(y)dy+∫(x+y)^2f(y)dy=x^2+Cとなるf(x),C"三クリアーⅠⅡＡＢ受京都大# よって，点 0 1，f 0 1 1 1 における接線の方程式は y - c - U6 … dS da 6 最小値 3- U をとる。 2 1 t3 t2 13 また　f 0 1 1 = 0 t - t - 21dt + c = - - 2t + c = c 6 3 2 0 0 2 0 a 6 よって，S は a = U のとき 4 1 ゆえに，f - 0 x 1 = x 2 - x -2 であり　f - 0 1 1 =1-1-2=-2 1 7 は単調に増加する。 3 a) 0 において，S の増減表は右のように t a 3 5 = - + t 2 + 0 2 - 2a1 t =- a + 3 2 2 3 0 f 0x 1 が x =-1 と x =2 で極値をとるから dS 6 =0 とすると　a = U 4 da なる。 Q f 0 t1 dt=Q 0-t +at+ 2- 2a1dt 3 dS =8a 2 -3 da [2]　a ) 1 のとき，S =5a - よって　f 0 11 =1- a 1 (2)　[1]　0 (a <1 のとき　1 1 3 1 ，b = したがって　f 0 x 1 = x 4 4 2 2 よって，① から C = 1 1 1 Q y 8 2 y- 2 9dy =Q 8 2 y - 2 y 9dy= < 8 y - 6 y = = 24 0 2 3 1 0 3 3 1 2 3 4 1 3 0 5