2013 年度 (11 月実施) 高校 1 年生 1 月進研模試対策プリント (整数の性質) 1 がある。 x、y は整数で、等式 5x = 7(y − 1) · · · · · · ° 2012 年度 (7 月実施) 1 を満たす整数 x、y の組をすべて求めよ。(5) (1) 10 5 x 5 30 とする。等式 ° 1 がある。方程式 7x + 3y = 1 · · · · · · ° 1 を満たす整数 x、y の組のうち、y が最小で (2) y は 11 で割ると 5 余る 3 ケタの自然数とする。等式 ° ある組を求めよ。(7) 1 の整数解 (x, y) を 1 組求めよ。(5) (1) ° 1 の整数解 (x, y) をすべて求めよ。また、° 1 整数解 (x, y) に対して、x − y = a とおくとき、a の (2) ° うち 2 ケタの自然数で最大となるものを求めよ。(10) (3) (2) で求めた y の値を M として、N = 1 × 2 × 3 × · · · × M とする。L を奇数として、N = 2p × L (p は自然数) と表すとき、p の値を求めよ。(8) (3) (2) で求めた a のうち 2 ケタの自然数で最大となるものを M とする。M より小さい自然数のうち、その数の正の約数が 6 個だけである自然数の個数を求めよ。(10) 得点率 21.0% 得点率 23.2% 2013 年度 (1 月実施) 2012 年度 (11 月実施) 2 つの自然数 x、y がある。x、y の最大公約数を G、最小公倍数を L で表す。 3 ケタの自然数 P があり、P の百の位を a、十の位を b、一の位を c とする。P の百の位と一の位を入れかえて 3 ケタの自然数 Q をつくる。 (1) x = 84、y = 98 とする。このとき、G と L の値をそれぞれ求めよ。(5) (1) P が Q より 99 大きいとき、c を a を用いて表せ。(6) (2) x、y が xy = 432、L = 72 を満たしている。このとき、G の値を求めよ。また、x、y の組をすべて求めよ。ただし、x > y とする。(7) (2) P を 9 で割ったときの余りは、a + b + c を 9 で割ったときの余りと等しいことを証明せよ。(6) (3) P が Q より 99 大きく、さらに、P を 9 で割った余りが 7 である。このような P をすべて求めよ。(8) 得点率 24.0% (3) x、y が x + y = 9G を満たしている。このとき、すべての x、y の組に対して、 y の値を求めよ。た x だし、x > y とする。(8) 得点率 33.0% 2012 年度 (1 月実施) k を 2 以上の整数とする。2 から k までの整数のうち、k と互いに素であるものの個数を N とする。例えば、k = 5 とすると、2 から 5 までの整数のうち、5 と互いに素であるものは 2、3、4 であるから、N = 3 である。 (1) k = 7 のとき、N を求めよ。また、k = 14 のとき、N を求めよ。(5) (2) p を 7 でない素数とする。k = 7p のとき、N を求めよ。(6) 2013 高 2 マーク模試より ³ (1) xy + 2x − 4y − 8 を因数分解すると x − ³ ´³ ´ は x− ア y+ イ = ウ ´³ ´ y+ アイと変形できる。方程式 xy + 2x − 4y − 10 = 0 を満たす整数 x、y の組は全部で (3) p、q はともに素数であり、p < q とする。k = pq のとき、N = 11 を満たす p、q の組 (p, q) をすべて求めよ。(9) 得点率 16.5% さいものは、x = オ、y = であるから、等式 xy + 2x − 4y − 10 = 0 エ組ある。このうち x の値が最も小カキであり、y の値が最も大きいものは、x = ク、y = である。 1 がある。x = 1 を満たすので、 (2) 方程式 11x + 7y = 1 · · · ° オ、y = カキは方程式 ° ³ ´ ³ ´ ³ 2 が成り立つ。° 1 、° 2 より、11 x − 11 × オ + 7 × カキ = 1 · · · ° コ +7 y + サ 2013 年度 (7 月実施) 自然数 n に対して、すべての正の約数の和を S(n) とする。例えば、S(2) = 1 + 2 = 3 である。 (1) S(6) を求めよ。また、a が素数のとき、S(a) を a を用いて表せ。(6) 2 1 のすべての整数解は、整数 k を用いてが成り立つので、方程式 ° x = シス k + (2) a、b は素数で、a > b とする。S(ab) = ab + 9 を満たすような a、b の値を求めよ。(9) 2 (3) a、b は素数で、a > b とする。S(ab ) = ab + 41 を満たすような a、b の値を求めよ。(10) 得点率 29.2% ケコ、y = セソ k − このとき、x + y を 4 で割ったときの余りはサと表すことができる。タである。 ´ =0