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部分分布荷重を受ける有限円柱の3次元応力解析について
松岡, 健一; 能町, 純雄
室蘭工業大学研究報告.理工編 Vol.9 No.1, pp.169-179, 1976
1976-12-18
http://hdl.handle.net/10258/3642
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Journal Article
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Muroran Institute of Technology
部分分布荷重を受ける有限円柱の 3次元応力解析について
松岡健一・能町純雄*
O日
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SubjectedtoPartiallyDistributedLoads
KenichiMatsuokaandSumioNomachi*
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1.まえカずき
円柱座標で表わされる次元応力問題の一種として円柱の問題がある。円柱の軸対称問題はI.
N. Sneddonが軸対称側圧が作用する場合の無限円柱の解析を Fourier変換を用いて行なって
いる 1)。また有限円柱の軸対称問題としてはL.N.G.Filonの研究がありへその後今井，斉
藤が行なっているが，特に斉藤は側圧および端面に部分的圧力が作用する場合の解析を行なっ
ている 3)。非軸対称問題は現在でもあまリ多く研究されてはいないが，無限円柱に対しては G
Mathewが側面に任意の外力が作用する場合の理論を発表しているが数値計算は行なっていな
，。この数値計算は吉野・宇津木によって部分的な側圧をうける問題として行なわている
.2)
。
4
)
さらに非軸対称変形をする有限円柱の解は秦によって導かれ 5)，これを発展させた奥村の研究
があリ数値計算も行なわれている 6)。
一方能町は，有限 Fourier-Hankel交換による円柱座標の 3次芯応力問題の解 j
去を示し 7) 著者
等はこれを有限円筒の非軸対称問題にまで拡張し，若干の解析例も示した 8)。ここではこれを有
限円柱に適用し，部分分布荷重を受ける場合の解析を行なった。数値計算は荷重の位置を 2種
変え，無限円柱とした場合の結果および非軸対称 2次元応力問題としてえられる結果と比較検
討した。
*北海道大学工学部教授
工博
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3次元応力問題の有限 Fo
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l変換による解法にすでに発表し
ている 8)のでここではその結果のみを示す。
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(u)
1のように円柱の半径を a
， 長さ C， 半径方向， 円周方
図
(v)
e
向，軸方向の座標を r
，，
zとし，各方向の変位をそれぞ、れ U，
V，
W
とすれば，
u 二 五L
_(Aorz+Borz)十 12(Amrz+Bm)cosM(1)
ムπ
π
u=12(Amγz-B
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(2)
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I
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a
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'の弾性定数であり ，N = nπ
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m 次の第 l種 B
e
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e
l関数である。 t
i(
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土
1，2，………)， ]m(;
t
i
r
) l
1，2，・・・…・・・)は ]m(;
t
i
a
)= 0の根を小さいものか
)
頃に並べたものである。また式中の関数は，
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G
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二
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ωms(Nr)= NrGm(Nr)-Naxmp(Na)xms(Nr)
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s
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c
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iC士 1
ρ(2)(fiZ)J
hl(Z)=
三 h2(Z)=三2c¥ 立6
これらの関数の主なものの導関数は
l
t
Gm(Nr)±Nxms(NY)一 町 m
(N r)
= NXm
p
(Nr)十竺 Gm(Ny)，
r
l l uN
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a
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r)，
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r
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，
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州
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，
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i
{
φ (fiZ)一 ψ(fiZ)，
}
式中の係数 α間 n
，βm
n，Amn …等は各境界の変位および応力で与えられる積分定数であり，
ooo
これらは境界条件から決定される。
従って各応力成分は， σr
，σe
，σzをそれぞ、れ r，e
，Z 方向の直応力， τT(}，T
f
)Z ，T
z
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ん断応力とすれば， H
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3，境界条件
各境界に任意の外力が作用する場合の一般的な境界条件は
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z=cにおいて
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また式の誘導過程からの条件として
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を満足しなければならない。
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またここでも式の誘導過程から
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Bmrz) γ二G ご 1Bmo 十三~
BmncosNz
L n
(
2
3
)
し
を満足しなければならない。
以上の条件より Ql~Q6 が与えられれば積分定数を
全て決定することができる。
4，数値解析
有限円柱の数値解析例として図
2に示すような部
分分布荷重を側面に受ける場合を考える。このときは
1
4
)， (
1
6
)， (
17
)， (19)~(21) において
式(
q
l= Qz二 Q
3二 Q
5二 Q
6二 O
図
(
1
7
4
)
2
1
7
5
部分分布荷重を受ける有限円柱の 3次元応力解析について
であるから，式(16
)， (
17
)から
γmik- Omik =0
(
2
4
)
(25)
. Dmik士 一 Emik
また式 (
2
0
)から
αmn- 0
(
2
6
)
式から(19)から
βmn=ffq4(r，
θ
)∞sm
(
Jc
osNzm
倣
キスι ( 2 7 )
= 4{1一(一 1)
n
}
{1-(-1)吋」れi
n
m
B
o
c
o
sNClsin
Hμv
残った積分定数 ，Amn，Bmn， Cmn，Dmik等は式 (
1
4
)，(
21
)(
2
3
)から決定する。
0.25，c
a=O.2
数値計算で、得られた結果を凶 -3-11に示す。計算は全てポアソン比 ν=
o/
の場合で，級数項は幻二 6
4， 1ニ 32， m ニ
4
0としたものである。
3，4は軸対称荷重で cl/a=0.9すなわち円柱の中央部に荷重が作用する場合の σ円 の
図
2はめの分布であるが図中に同
の z方向の分布を rの 各 断 面 ご と に 示 し た も の で あ る 。 図
仁条件で無限円柱とした場合の値を r=0.8aと r= 0のものについて破線で示した。この計
算は既に斉藤によって計算されていてはほ同様の結果がえられているが，著者等の値は多少大
きくなっている。これは級数項のとり方による差と思われる
無限円柱との比較では r/aの
r/a=1.0
1
.0
r/a=1.0
0.8
0.8
h
〆 u
0
L
ぺ
QJ
甘
lLnopL
001
8
戸
nuqLnu
，/一守
zにd=
a
・
一
一リν
ヴ¥ h b
O / 一司/
0.6
•
.•
0.4
o.
2
nu
。
ー0
.2
1
.0
0.8
0.6
0.4
0.2
。
。
0.0
1
.0
0.8
0.4
0.6
一一一一一- z/a
z
/a
図 -3
図
(
17
5
)
4
o.
2
0.0
1
7
6
松岡健一・能町純雄
大きなところではほとんど差はなしまた荷形に近いところでは r/aが小さく伝ってもほぼ
等しい分布をしている。
1
.0
0.8
0.4
LIJ
0.2
¥)=0.25
co/a=0.2
日
。 =π/2
ミ0.6 ~W …
。
』
cl/a=O.l
σo.つ
、
。
い
ハハ
0.4 ト
1
' -0.2
o.
2 .
，
O
.4 ~
¥)=0.25
c，
/a=0.2
由
。 =π/2
cl/a=O.l
-0.2
-0.8
0.0
0.2
0.4
0.6
z/a
0.8
1
.0
0.0
0.2
0.4
0.6
z/a
0.8
1
.0
0.2
0.0
図 -6
図 -5
r/a=1.0
1
.0
0.8
¥)=0.25
co/a=0.2
。
0=0.2
『
、
0.6
。
0.6
cl/a=0.9
、¥
日=
0
b
亡
ア
N
与
司
I 0.4
0.4
‘
。2
0.2
0.2
0.0
0.0
-0.2
-0.2
1
.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1
.0
0.8
0.6
0.4
z/a
z/a
図
7
図 -8
(
17
6
)
1
7
7
部分分布荷重を受ける有限円柱の 3次元応力解析について
さくなるに i
也、急激に減少し ， rニ 0
.
8aでは r=αの分布と比較し，ほぽ全体的に符号が逆転
している。 r=Oでは荷重とは逆符号の割合大きな応力を生じている。無限円柱の結果はあほ
ど ~i文せずー当然のことながら z/a 二 O ではかな 1) 差がある。
i
勾
5，6は同様に軸対称荷重が作用した場合であるが
部分荷重が作用するときの結果ーである。めは
ず，特に
fニ
0
.
8aでは逆に荷重強度よ
Zニ
Cl/α
=0.1，すなわち円柱の両端部に
Oでは rが 小 さ く な っ て も そ れ ほ ど 減 少 せ
1
)大きくなっている。 Zが大きくなると図 -3の相当位
置の値と近くなっている。
同
4の分布とは全体としてかなけ異なっている。 z/α=0
.
2
6の の の 分 布 は や は り 図
で応力は不連続となるが，この場合は z/a>0.2において荷重とは逆符号に大きな応力を生じ
ており ， z/
α<0.2では境界の条件を満足させるように応力が減少している。ここでは無限円
村との比較は行なっていない。
図-7，
8は非軸対称荷重 (80=0.2) が C，
/α=0.9すなわち円柱中央部に作用した場合の
のの分布を示した。図一 7はめの分布であるが合力の大きさが小きいため特に r方的jへの
h
減少が大きく中心部では括以下になっている。図
7には同じ条件の無限円柱の備も示してい
、
るがほとんど一致しているため図にはその差が表われていな L。
の は r=αではかなり大きい値であるが
f方向にも
z方向にも急激に減少しているがその減
少の程度は軸対称の場合よりかなり著しい。この場合も無限円柱の値を破線で示したが，ほと
r/a=1
.0
1
.0
0.4
0.8
v=0.2S
0.2
co/a=0.2
σ0.6
、
。
日
。
相
=0.2
cl/a=O.l
0.4
0'
、
N
b
0.0
日=
0
0.4
-0.2
0.2
co/a=O.2
0.4
。
。
白
。
=0.2
cl/a=O.l
日=
0
-0.6
-0.2
0.0
o.
2
o.
6
0.4
0.8
1
.0
一一一一一一~ z
/
a
図
。
。
0.2
0.4
0.6
一一一一~ z
/a
図 1
0
9
(
17
7
)
0.8
1
.0
1
7
8
松岡健一・能町純雄
んど一致しており rニ G でもそれ程大きな差で
1.0
はない。
9，1
0は同じ非軸対称荷重で c，
/α=0
図
0.8
lすなわち円柱端部に作用する場合である。め
の 分 布 は z=oで は そ れ 程 急 激 に は 減 少 し な
℃
ず
i
o口 6
0
いc 従って図 -7とはかなり異なり大きな値であ
るが ， zの大きなところでは図
7と一致して
0.4
くる。
0.2
のはやはリかなり特徴的な分布をしている o
yニ G では
z=oからはほ、直線的に増加し z/
。
。
α=0.2で、のキ 0.42q と な リ z/α>0
.
2で は
z/a 0
.
2の の キ
二
~一一一一一 r/ a
0
.
5
8qか ら か な り 急 に 減
より小きな rで は の は 急 に 減 少
少する。 y=a
し，減少の程度は軸対称の場合よリ大きい
1.0
図-11には，以上で計算したいろいろの場合
からめと σ
。について θニ Oにおける荷重直下の
f
直，c
，
/aニ0
.
1に対しては
Zニ
co/a==O.2
え0.8
0， c，
/aニ0
。
.
(
>
9に対しては
Z二
G の値の 7
方向の変化を示し
た。悶には無限円柱の値も示しているがめ，ぬ
0.4
一十
，(
j
。
ニ π
/2， z/α=1
.0の線
ともの /α=0.9
に添っている破線と c
，/α=0.9，80ニ0.2，z/
α=1.0 の 線 に 添 っ て い る 破 線 が そ れ ぞ れ 軸
対称および非軸対称荷重に対する値である。ま
た ， そ れ ぞ れ の 図 に 2次 元 非 軸 対 称 問 題 の
1.0
0.8
4
(
]
.6
日 4
0.2
0日
一一一一_r/a
図 -11
値 9)を合せて一点鎖線で示した。
めの分布ではすでに示したように，軸対称，非軸対称とも c
，
/aニ0
.
9の場合には無限円 f
iの
債とほとんど一致しており
2次元問題としてゐ =0.2で計算した値も 3次元問題では軸刈科、
とした場合とほぼ等しくなっている。
c
，/a =0.1 の場合には軸対称，非軸対称とも 0.8<
r/α<0.9で最大値をとり荷重強度より大きくなる。特に軸対称では r/a与 0.85で γ
σ キ1.1
1
q位とかな 1
)大きく r方向にゆるやかに減少する。
ぬの分布は図から明らかに θ
。=0.2の場合は r
が小さくなるに従い急激に減少している。ま
たc
，
/aニ0
.
1の方が c
，/α=0.9の場合より小さくなっているのはあの分布とは逆である。
無 限 円 柱 と し て の 値 は や は り 破 線 で 示 し た が 。'
0=
=π/2で 多 少 差 が あ る が 8
0.2ではほ
0 =
(
1
78
)
部分分布荷重を受ける有限円柱の 3次元応力解析について
1
7
9
とんど一致している。また 2次 元 問 題 と し て の 解 は ぬ の 場 合 は 80 =0.2の場合に近いが全体
としてはあまり一致しない。
数値計算は先に記したように z
=32，刀 工 6
4，m=40として級数和を求めた結果であるが精
度を検討するため種々の項数の和をとり精度を検討した。結果は記さないが，上の項数で卜分
であることは確認している。
5
.む す び
Fourier-Hauhel変換による有限円柱の解を用いて若干の数値計算を行ない，無限円柱として
の解， 2次元非軸対称問題における解と比較も行なった。計算例は多くないが， c/σ=2.0の
場合でも長きが載荷巾の 5倍もあれが無限円柱としてもそれ程の差を生じない(中央載荷の場
合) 2次元問題としての解は単純には有限円柱には適用出来ないが， σ
。についてはある程度適
0
用出来ることがわかった。
以上の計算は北海道大学大型電子計算機センターの FACOM-230/75で行なったものであ
(昭和5
1年 5月2
2日受理)
る
。
参考文献
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.Nomachi:THEORETICALANDDPPL
lEDMECHANICS，Vo
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2
2，s
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.199-209，
8)
M
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t
s
u
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k
aK
1
9
7
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1
7
9
)
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