内�容� Contents [10]� 構造物-地盤系の応答� Day 10 Response of a Structure-Soil System� 1層建物の運動方程式� Equation of motion of a 1-story building � 1層スウェイモデル� 1-story sway model � 周期と減衰� Period and dampinb � 伝達関数� Transfer function � 地震応答� Earthquake response 都市防災工学� Disaster Mitigation in Urban Environment� 構造物−地盤系の応答� 相互作用による建物の動き� 1層建物の運動方程式� Behavior of a Building under Soil-Structure Interaction Equation of Motion of a 1-Story Building u0:ベース(建物がない地盤:自由地盤)の地動変位� Displacement of the base, i.e. the free-field ground� u1、u2:ベースからの基礎および上部構造の変位� ( u0 u0 ( ) m1 (u˙˙1 + u˙˙0 ) + c Hu˙1 − c u˙2 − u˙1 − θ˙H + kH u1 − k (u2 − u1 − θH ) = 0 Displacement of the superstructure due to the ration of the foundation� u2 δ:上部構造の弾性変位� Elastic deformation of the superstructure� H m2, I2 u1 :スウェイ� θ :ロッキング� ) m2 (u˙˙2 + u˙˙0 ) + c u˙2 − u˙1 − θ˙H + k (u2 − u1 − θH) = 0 θH:基礎の回転に伴う上部構造の変位� (遠方) 自由地盤 力およびモーメントの釣合いより、� From the equilibrium of the forces and moments,� Displacement of the superstructure with respect to the base� 2 ( I1 + I2 )θ˙˙ + c Rθ˙ − c(u˙2 − u˙1 − θ˙H )H + k Rθ − k(u2 − u1 − θ H) H = 0 m2 , I2 u1 H c mH k m1, I1 スウェイ−ロッキング� (SR)モデル� 構造物−地盤系の応答� H m 1 , I1 kH 近傍地盤 cH 3 構造物−地盤系の応答� スウェイ ばね IR kR cR ロッキング ばね I1 , I2 :回転慣性� 4 マトリックス表示� 1層スウェイモデル� 1-Story Sway Model Matrix Representation 前式をマトリクス表示すると、� � � 簡単のため、For the sake of simplicity,� The matrix representation of the previous equation:� [ M ]{u˙˙} + [C ]{u˙} + [ K ]{u} = −[ M ∗ ]{ f }u˙˙0 ここに、� in which� ⎡m2 [ M ] = ⎢⎢ ⎢⎣ ロッキングは無視し、スウェイのみ考慮する� Only swaying motion is considered and rocking motion is ignored� 基礎の質量はゼロであるとする� The foundation is considered as massless� m1 ⎤ ⎥ ⎥ I ⎥⎦ ⎡m2 ∗ M = [ ] ⎢⎢ ⎢⎣ m1 ⎡c −c −cH ⎤ ⎡k ⎢ ⎥ ⎢ [ C] = ⎢ c + cH cH ⎥ [K ] = ⎢ ⎢⎣ ⎢⎣ cH 2 + c R ⎥⎦ ⎧u2 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {u} = ⎨u1 ⎬ { f } = ⎨1 ⎬ ⎪θ ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎤ ⎥ ⎥ I ⎥⎦ −k k + kH スウェイばねの付加質量は無視する� Virtual (equivalent) mass of the sway soil spring (impedance) is ignored� m −kH ⎤ ⎥ kH ⎥ k R + kH 2 ⎥⎦ c kH c Hu˙1 − c (u˙2 − u˙1 ) + k H u1 − k (u2 − u1 ) = 0 Sway スウェイ Soil Spring� ばね 5 構造物−地盤系の応答� 6 周期と減衰 (1) � 周期と減衰 (2) � Period and Damping (1) Period and Damping (2) ��� Let � u˙˙0 = 0 u˙˙0 =�����とし、 0 � � mλ + cλ + k � − (cλ + k ) 2 ここで、 in which� k 2 = ω1 m kH = ω 20 m 構造物−地盤系の応答� − (cλ + k ) =0 ( c + cH )λ + ( k + k H ) c = 2h1ω1 m cH = 2h0ω 0 m ( 3 � とおくと、 Then,� � λ � = φω 1 �とおくと、 Let eigenvalues be � λ = φω 1 � 2( h1 + h0φ 0 )φ + 1 + φ 0 + 4h1h0 φ0 ⎧u2 ⎫ ⎧u2 ⎫ λt ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬e � ⎩ u1 ⎭ ⎩ u1 ⎭ � 固有値を � H mu˙˙2 + c (u˙2 + u˙1 ) + k( u2 − u1 ) = − mu˙˙0 cH 構造物−地盤系の応答� k ( ) 2 )φ 2 � +2 h0φ 0 + h1φ 0 φ + φ0 = 0 系の固有値は、上式の共役複素根より、 From which eigenvalues can 2 2 be computed as conjugate complex solutions� λ = φω 1 = λ R + λ I i = −hω ± 1− h 2 ω i ω = λ = λ2R + λ2I h=− ω 0 = φ 0ω 1 7 λR λ 構造物−地盤系の応答� 8 周期と減衰 (3) � 周期と減衰 (4) � Period and Damping (3) ここで、下記の例を考える。 example:� Period and Damping (4) Let us consider the following VS m = 100 t k ( a0 = 0) = 5.283 k H2 ( a0 = 1.48) = 5.023 G = ρVs2 = 1.6 × 1502 = 36000 kN m k H = Gbk1H = 36000 × 5 × 5.283 = 950940 kN m = 1.6 t/m3 196 × 10 = 44.3 100 × 10 3 2π T= = 0.14 ( s ) ω1 ω1 = 6 cH = GbkH2 (ω 1 ) 36000 × 5 × 5.023 = = 20409 kNs m ω1 44.3 kH 950940 ω 97.5 = = 97.52 → ϕ 0 = 0 = = 2.20 m 100 ω1 44.3 c 1 20409 h0 = H = = 1.046 m 2ω 0 100 × 2 × 97.52 ω0 = 構造物−地盤系の応答� 9 構造物−地盤系の応答� 周期と減衰 (5) � 1-Story 2-DOF Sway Model 従って、 Therefore,� � 4.647φ 3 + 6.024φ 2 + 4.800φ + 4.84 = 0 以下、2質点スウェイモデルを考える。� Let us go back to a 2-DOF sway system� � � ∴ λ = ω 1φ = 44.3 × (−0.06178 ± 0.9404 ) � ω = λ = 44.3 × 0.06178 + 0.9404 = 41.75 � 2π = 0.15 (s) � T= � 2 2 スウェイばねの付加質量は無視する� Ignore virtual (equivalent) mass of sway soil spring� u2 ω λR � � h = − λ = 0.066 c mH=0 すなわち、固有周期が延び(0.14→0.15 s)、減衰は増大した (0.02→0.066)� ü0 This means that natural period is elongated and damping is increased due to soil-structure interaction� � kH cH Sway スウェイ Soil Spring� ばね → 動的相互作用効果 Effect of soil-structure interaction� 構造物−地盤系の応答� ロッキングは無視し、スウェイのみ考慮する� Ignore rocking, consider swaying� � 10 1層2質点スウェイモデル� Period and Damping (5) 150 1 H k = 196 MN/m h = 0.02 Vs = 150 m/s = 0.4 各定数を計算すると、 Each characteristic values are given by� bω 5 × 44.3 a0 (ω 1 ) = = = 1.48 11 構造物−地盤系の応答� m2 k u1 H m1 m2u2 + c ( u2 − u1 ) + k ( u2 − u1 ) = −m2u0 m1u1 + cH u1 − c ( u2 − u1 ) + kH u1 − k ( u2 − u1 ) = −m1u0 12 伝達関数 (1) � 伝達関数 (2) � Transfer Function (1) Transfer Function (2) 運動方程式をマトリクス表示すると� 変位の伝達関数は、� Matrix representation of the equation of motion is� �⎡ �⎢ m2 � ⎢⎣ 0 � ⎡ � = −⎢ ⎢⎣ � 0 ⎤ ⎧⎪ u2 ⎫⎪ ⎡ c −c ⎤ ⎧⎪ u2 ⎫⎪ ⎡ k ⎥⎨ ⎬ + ⎢ −c c + c ⎥ ⎨ ⎬ + ⎢ −k m1 ⎥ ⎪ u1 ⎪ ⎣⎢ H ⎥⎪ u ⎦ ⎩ 1 ⎪⎭ ⎢⎣ ⎦⎩ ⎭ m2 0 ⎤ ⎧ 1 ⎫ ⎥ ⎨ ⎬ u0 0 m1 ⎥ ⎩ 1 ⎭ ⎦ Displacement transfer function is given by� � −1 1 {U} = ( −ω 2 [ M ] + i ω [C] + [ K ]) (ω 2 [ M ]{ f }) � {HD (ω )} = −k ⎤ ⎧⎪ u2 ⎫⎪ ⎥ k + kH ⎥ ⎨ u1 ⎬ ⎦ ⎪⎩ ⎭⎪ 加速度の伝達関数は、� Acceleration transfer function is expressed as� { H A (ω )} = すなわち、� That is� � [ M ]{u˙˙} + [C ]{u˙} + [ K ]{u} = −[ M ]{ f }u˙˙0 これをフーリエ変換すると、� U0 � ( ) 1 ˙˙ ˙˙ 1 1 U + U0 } = ˙˙ {U˙˙} + {U˙˙0 } = {U} + {1} { ˙ ˙ U0 U0 U0 = {HD (ω )} + {1} Taking Fourier transform of this equation yields� � (− ω 2 [M ] + iω [C ] + [ K]){U} = ω 2 [M ]{ f }U0 構造物−地盤系の応答� 13 構造物−地盤系の応答� 構造物−地盤系の応答� 演�習�問�題�[4(最終)] � Response of a Soil-Structure System Assignment 4 (Final) 下記の手順による: Follow the procedure below:� 基準地震動2Enを規定する� Define the input ground motion as 2En� 基盤への入射波(の2倍)が与えられたとき、下記を計算し、結果を 図示しなさい。� 地動の伝達関数: 2E1 / 2E2 (演習3参照)� 地盤ばねkGと減衰係数cG (演習2参照)� 地動に対する構造物第1層・第2層の伝達関数:(ü1 +ü0)/ü0, (ü2 +ü0)/ü0� 基盤への入射波に対する構造物第1層・第2層の伝達関数:� (ü1 +ü0)/2E2, (ü2 +ü0)/2E2� 応答はいずれも加速度とする� 一次元波動伝播解析により入力地震動2E1を求める� Compute the surface ground motion 2E1 by 1-D wave propagation theory� 14 2E1を入力地震動とする構造物−地盤系の地震応答解析を行う� Perform response analysis of the structure-soil system by considering 2E1 as an input� � � ü0=E1+F1=2E1 E1 F1 構造物−地盤系の応答� Fn E1 F1 E2 F2 ü0 15 En For English, see the document� ü2+ü0 ü0=E1+F1=2E1 構造物−地盤系の応答� ü1+ü0 ü0 16
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