有限要素法

計算流体力学
（第９回資料）
安定化手法（SUPG法への道） 2014年12月5日
有限要素法（Galerkin法）
u (0)  1, u ( L)  0
境界条件 u (0)  1, u ( L)  0
ディリクレ境界条件
厳密解
v(0)  0, v( L)  0
部分積分
Galerkin有限要素法による解
Galerkin有限要素法による解
しかし、Galerkin有限要素法による解は
2節点1次要素
Galerkin法
a
ui 1  ui 1
u  2ui  ui 1
  i 1
0
h
2
(1871-1945)
式変形（両辺をhで割る）
  0.1
拡散係数が小さい場合に数値振動が発生する
差分法（中心差分）、有限体積法（中点公式）の結果と同一
  0.01
Upwind Galerkin法
Upwind Galerkin法
差分法では移流項に風上（後退）差分（1次精度）を用いる
人工拡散係数を最適なものを用いると（詳細は省略）
中心差分
風上差分
中心差分に書き換えると、
予め人工拡散を加えた式を中心差分近似したことと等価
Upwind Galerkin法
予め人工拡散を加えた式をGalerkin法により離散化する方法
人工拡散係数を加える方法は合理性に欠ける！
安定化有限要素法
安定化有限要素法
Upwind Galerkin法
式変形すると
移流項に関する重み関数と言える
T.J.R. Hughes
Upwind Petrov-Galerkin法（上記の重み関数を全ての項に用いる）
重み関数
重み関数
多次元問題への応用
安定化有限要素法（まとめ）
Galerkin法
（総和規約：summation convention
と添字記法：index notation）
Upwind Galerkin法
Galerkin項
Upwind Petrov-Galerkin法
安定化項（SUPG項）
テンソル異方性をもつ
要素境界で不連続
Galerkin項部分積分を行えない
安定化項（SUPG項）
安定化の効果：流線方向にのみ作用する
衝撃捕捉項
数値解析例－斜め移流問題－
衝撃捕捉項
ax ax
a a
 y x
ax a y 
a y a y 
安定化手法（SUPG有限要素法）
SUPG法
定常移流拡散方程式
（教科書の1次元問題）
陰解法（安定化なし:Galerkin法）
1 t=0
t=2
t=4
t=6
t=8
0
0
2
4
6
8
10
（C=0.33)
SUPG法
1 t=0
t=2
t=4
t=6
t=8
0
0
2
4
6
8
（C=0.33)
SUPG法
GLS(Galerkin Least-squares)法
非定常移流拡散方程式
安定化項（δは何にとっても良い）
安定化項が対称形（GLS項）
安定化項
10
非定常問題における安定化有限要素法
BTD法とSUPG法と関係
非定常問題における安定化有限要素法
BTD法
SUPG法において
とし移流項のみに安定化を施した手法と等価
SUPG法
数値解析例－回転移流問題－
SUPG法とGLS法
SUPG法
GLS（Galerkin Least Squares）法
残差の最小二乗形式
安定化項が対称になる

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