Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 - E. VAN BRACKEL TD de Physique-Chimie TD 16 M4 - Éléments de mécanique du solide 1 de grandeurs cohérents (vitesse autour de 0, 1 m.−1 , pression de la main telle que mg ∼ 1 N et (µs − µd ) ' 0, 040), en déduire la fréquence du crissement. Coefficient de frottements Un palet de masse m repose sur un plan incliné d’un angle α avec l’horizontale. On augmente progressivement cet angle, et on observe que le palet finit par se mettre en mouvement pour un angle minimal αm . 3 1. A partir de vos connaissances, déterminer le lien entre cet angle et le coefficient de frottement statique. Archimède utilise un levier afin de soulever un rocher de masse M = 200 kg. Les longueurs valent d1 = 50 cm et d2 = 1, 5 m et ◦ α = 60 . 2. Pour α > αm , déterminer la nature du mouvement. 2 Lip-stick On va essayer de comprendre pourquoi une craie crisse lorsqu’elle est frottée à vitesse constante contre un tableau. Pour cela, étudions dans un premier temps la situation suivante : une masse m repose sur un tapis roulant animé d’une vitesse v constante par rapport au sol et est reliée à un point fixe par un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 . On caractérise le contact entre le solide et le tapis par µs et µd respectivement coefficient de frottement statique et dynamique. Enfin, on repère la position de la masse par l’abscisse x par rapport à sa longueur à vide dans le référentiel fixe du laboratoire. 1. A votre avis, à quelle condition le rocher va commencer à se soulever ? 2. En déduire la masse minimale nécessaire pour que le rocher se soulève. 3. En faisant varier la direction de la force qu’il exerce par rapport au levier, Archimède peut être plus efficace. Expliquer comment il peut procéder et quelle force il doit exercer. Quel est le gain par rapport au cas précédent ? 1. On suppose qu’à t=0, x = 0. La masse commence à être entraînée par le tapis à vitesse constante v > 0. Après avoir effectué une hypothèse sur le glissement/nonglissement, en déduire une condition telle que cette hypothèse reste valide, de la forme x < x1 et t < t1 que l’on exprimera en fonction des données du problème. 4 2. Pour t > t1 , que se passe-t-il au niveau du ressort ? En déduire l’équation du mouvement, que l’on mettra sous la forme d2 x + ω02 x = µd g d t2 où l’on précisera la valeur de ω0 . 3. 4. 5. 6. Levier Déménagement Deux déménageurs portent une armoire, de hauteur l = 3 m et de masse m = 50 kg. L’un est à une extrémité M de la poutre, l’autre au point L 0 On prend une nouvelle origine des temps t = t − t1 au début de cette nouvelle phase. à une distance d = 0, 7 m du milieu de l’armoire. 0 0 Donner la solution x(t ) en précisant bien les conditions initiales à t = 0. On suppose le solide homogène, pour simplifier. Déterminer la condition pour que l’on reste dans ce régime. On pensera à exploiter 1. On suppose que les déménageurs ont même la vitesse. taille, l’armoire est donc maintenue horizonMontrer enfin qualitivement que le phénomène est périodique. On obtient une période talement. Déterminer les normes des forces → − → − mg(µs − µd ) F M et F L exercées pour la maintenir. de l’ordre de T ' kv 2. Même question si on imagine maintenant Revenons alors au crissement : la main entraîne la craie penchée à vitesse v sur que l’un des déménageurs est plus petit, le tableau et en appuyant pour écrire, la déforme légèrement. Du fait de l’élastiet donc l’armoire est inclinée d’un angle cité, la craie réagit comme un ressort en essayant de lutter contre la déformation. 3 −1 α = 20◦ . Sa constante de raideur est de l’ordre de kc ' 410 N.m . En prenant des ordres 1 TD 16. M4 - ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DU SOLIDE 5 Pendule pesant 1. Après avoir représenté les forces agissant sur la masse, calculer le moment scalaire − par rapport à l’axe (O, → e x ) de chacune d’elles. On considère le pendule ci-contre, capable d’osciller librement autour de l’axe (Oy) horizontal grâce à une liaison pivot parfaite. Il est constitué d’une barre homogène de section constante et masse m, à l’extrémité de laquelle on a soudé un disque homogène de masse 2m et de centre C. L’ensemble obtenu constitue un solide rigide. On note b la distance du centre de gravité à l’axe. Le moment d’inertie du système par rapport à l’axe (Oy) est : J(Oy) = kmb2 k étant un réel positif que l’on cherche à déterminer expérimentalement. On écarte le pendule d’un angle α0 par rapport à sa position d’équilibre, et on le lâche sans vitesse initiale à la date t=0. On étudie son mouvement ultérieur en observant l’angle α que forme la direction de la barre avec l’axe vertical descendant (Ox). 1. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit α 2. En déduire un moyen d’obtenir expérimentalement k, en explicitant la formule à utiliser. 2. En déduire l’équation différentielle régissant l’angle θ. 3. La linéariser pour obtenir la pulsation caractéristique associée. On l’exprimera en fonction de k, m, g et l. 4. Retrouver l’équation différentielle par une méthode énergétique. 7 Toupie or not toupie Considérons une toupie, que l’on va modéliser comme un cylindre tournant de masse m et de rayon R, de moment d’inertie par rapport à son axe de mR2 symétrie J∆ = . On enroule un fil autour du 2 cylindre (4 tours), et on tire dessus avec une force de norme F supposée constante, à partir de t=0, la toupie étant initialement immobile. → − 1. Exprimer la puissance instantanée de la force F . 2. En déduire l’accélération angulaire de la toupie. 6 3. A l’aide d’un bilan d’énergie cinétique, déterminer la vitesse angulaire de la toupie quand tout le fil a été déroulé. Pendule lié à deux ressorts On considère la situation ci-contre, où une masse est attachée à deux ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide l0 , et à un fil de longueur constante d. L’angle θ repère la position de la masse par rapport à la verticale. 2 E. VAN BRACKEL
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