La réciprocité URNE 2015 - Fédération du Bas

BTS Services informatiques aux organisations – 1re année
Éric Duquenne
Mathématiques
devoirs
www.cned.fr
8 2930 DG WB 00 13
Devoir 1
Pour réussir ce devoir, il faudra avoir étudié :
• l’unité 1 Logique-Ensemble-Algèbre de Boole, séquences 1 et 2 ;
• l’unité 2 Fonction d’une variable réelle, en particulier les séquences 3 et 5 ;
• l’unité 3 Suites numériques, uniquement la séquence 1.
Thèmes abordés
Calcul propositionnel.
Algèbre de Boole et tableaux de Karnaugh.
Généralités sur les suites numériques.
XXExercice 1 (Calcul propositionnel) (4,5 points)
Un stagiaire en informatique note P et Q les propositions suivantes :
P : « l’adresse IP et son masque sont connus »
Q : « l’adresse de l’hôte est connue »
1. Traduire par une phrase la proposition
2. Traduire par une phrase l’implication
3. Établir la table de vérité de
(Rappel :
P, contraire de P .
P ⇒ Q.
P ∧ Q , puis celle de P ⇒ Q
(P ⇒ Q) ⇔ (P ∨ Q) )
4. Que déduire de ces deux tables de vérité ?
5. Une tautologie est une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel.
a.
A étant une proposition quelconque, montrer à l’aide d’une table de vérité que A ∨ A
⇔ 1 c’est-à-dire que A ∨ A est une tautologie.
b. En déduire que la proposition
(P ∧ Q) ∨ (P ⇒ Q) est une tautologie.
c. En utilisant les règles du calcul propositionnel donner la négation de (P
d. La proposition
⇒ Q) ∧ (P ∧ Q) .
(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ Q) est-elle une tautologie ? Justifier.
XXExercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points)
Pour ses voyages d’affaire M. Paul, gérant d’une société de maintenance informatique voyage soit
en avion soit en train, il se rend soit en Belgique soit en Espagne et il voyage soit avec son associé
soit seul.
On notera a , b et c les variables booléennes définies par :
a = 1 pour « voyager en avion », a = 0 pour « voyager en train ».
b = 1 pour « se rendre en Belgique », b = 0 pour « se rendre en espagne ».
et c
= 1 pour « voyager en compagnie de son associé », c = 0 pour « voyager seul ».
Sur son agenda, M. Paul relit ses notes et découvre que pour son prochain voyage d’affaire, il ira
en Espagne seul ou en avion en Espagne ou encore en Belgique en avion ou en Belgique seul ou
seul en train en l’Espagne.
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Page 2 Voulant clarifier ses notes il décide d’exprimer les contraintes grâce à une fonction booléenne de
variables a , b et c .
1. Comment traduire à l’aide de ces variables booléennes « voyager seul en train en Espagne » ?
2. Que signifie en termes de voyage l’expression booléenne
a + c ?
3. Déterminer une expression booléenne permettant à M. Paul de décrire ses possibilités de
voyage.
4. Montrer que cette expression booléenne peut s’écrire b c
+ a + bc + a b c.
5. Etablir le tableau de Karnaugh de l’expression booléenne
b c + a + bc + a b c.
6. Simplifier à l’aide du tableau de Karnaugh cette expression.
7. Vérifier algébriquement ce résultat.
8. L’assistante de M. Paul lui avait laissé une note l’informant que la seule contrainte pour son
prochain voyage était : « vous ne pourrez pas voyager en train avec votre associé».
a. Simplifier algébriquement b c
+ a + bc + a b c
b. L’assistante de M. Paul avait-elle raison ? Justifier.
XXExercice 3 (généralités sur les suites numériques) (10,5 points)
Partie A (3,75 points)
25n + 50 .
2n + 2
25x + 50 et on remarquera que U =f(n).
On notera f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=
n
2x + 2
-3
1. Calculer les valeurs des termes U 9 et U 10 arrondies à 10 près.
– 50 2. La fonction f est dérivable sur [0;+∞[ , montrer que f ’(x)=
(2x + 2) 2
3. En déduire le sens de variation de f puis celui de la suite de terme général U n.
Soit la suite de terme général U n définie pour tout entier naturel n par U n =
4. En déduire que la suite de terme général
Un est majorée par 25.
5. Pour tout entier naturel n, étudier le signe de
6. La suite de terme général
7. Déterminer l’indice
Un–12,5 .
Un est-elle bornée ? Justifier
n à partir duquel que Un< 14 en résolvant algébriquement l’inéquation.
Partie B (3,75 points)
Soit la suite de terme général Vn définie pour tout entier naturel n par Vn=
1. Calculer les valeurs des termes
V9 et V10 arrondies à 10-3 près.
2. Pour tout entier naturel n , étudier le signe de
général Vn est croissante.
Vn+1 – Vn, en déduire que la suite de terme
3. Montrer que la suite de terme général
Vn est majorée par 14.
4. Montrer que la suite de terme général
Vn est minorée par 13.
5. Déterminer l’indice
tion.
n à partir duquel que Vn > 13,9 en résolvant algébriquement l’inéqua-
6. Montrer que pour tout entier naturel n , on a
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14 – 0,9 n.
Vn+1 = 0,9Vn +1,4 .
Page 3 Partie C (3 points)
25x + 50 dont la représentation graphique est Ca
2x + 2
dans le repère du plan ci-dessous. On rappelle que U n=f(n).
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=
Soit
g la fonction définie sur [0;+∞[ par g(x)= 14 – 0,9 x, dont la représentation graphique est
Cb, dans le repère du plan ci-dessous. On remarquera que Vn=f(n).
Ces deux fonctions ont été représentées graphiquement dans ce repère du plan.
y
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
Cb
14
13
Ca
12
11
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17x
1. Par lecture graphique, déterminer l’indice n à partir duquel U n<14 . Vérifier la réponse apportée au 7. de la partie A.
2. Déterminer par lecture graphique, des valeurs approchées de
3. Graphiquement, préciser pour quelles valeurs de
questions 1. des parties A et B.
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U5 et de V5 .
n, on a Vn<Un, on utilisera également les
Page 4 Devoir 2
Pour réussir ce devoir, il faudra avoir étudié :
• l’unité 3 Suites numériques, intégralement ;
• l’unité 4 Calcul matriciel, intégralement.
Thèmes abordés
Limites de suites
Suites arithmétiques et géométriques
Calcul matriciel
XXExercice 1 (Suites, convergence, arithmétiques et géométriques) (13 points)
Une entreprise spécialisée dans la production de disques durs a réalisé une étude prévisionnelle
portant sur la production de son nouveau disque dur. Dans cette étude on estime que la suite
de terme général U n permettra de suivre l’évolution mensuelle de la production de disques durs
exprimée en milliers d’unités.
Pour tout entier naturel n tel que n
≥ 1 on a Un = 20 − 20 × 0,75 n.
Ainsi le premier mois de fabrication, la production de disques durs sera de
c e qui signifie que 5000 disques durs seront fabriqués le premier mois.
U1 milliers. U1 = 5
Les trois parties sont indépendantes.
Partie A (6,5 points)
1. Compléter ce tableau.
mois n
1
Un arrondi à 10 -3 près.
5
nombre de disques durs produits
le mois n arrondi à l’unité
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2
3
4
5
5000
Page 5 [1;+∞[ par f(x) = 20 − 20 × 0,75 x dont voici la représentation
2. Soit f la fonction définie sur
graphique :
y
22
Cf
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
a. Indiquer par lecture graphique une valeur approchée de
12
13
14
15
16
17 x
U 8.
b. En déduire une valeur approchée du nombre de disques durs fabriqués le huitième mois.
3. Prouver que la suite de terme général
Un est croissante.
4. Montrer que cette suite est majorée.
5. En déduire que cette suite converge.
6. Est-il possible que cette entreprise produise plus de 19 000 disques durs en un mois ?
a. Justifier graphiquement.
b. Justifier à l’aide d’une résolution algébrique d’inéquation.
7. Calculer la limite de cette suite.
8. En utilisant les réponses aux questions précédentes, expliquer ce que signifie cette limite pour
cette production de disques durs.
Partie B (3 points)
Afin de réaliser des sommes de termes consécutifs, on décompose la suite de terme général U n en
Un = 20 + Vn où Vn = - 20 × 0,75 n et ce pour tout entier naturel n tel que n ≥ 1.
1. La suite de terme général
Vn est-elle arithmétique ou géométrique ? Justifier.
k = 12
2. En déduire la valeur exacte de la somme
valeur approchée à 10 -3 près.
∑V
k=1
k
c’est-à-dire de
V1+V2+V3+…+V12, puis une
k = 12
3. Montrer que
∑U
k=1
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k
=180
+ 60 × 0,75 12. Que signifie cette somme pour cette entreprise ?
Page 6 Partie C (3,5 points)
L’étude estime que le bénéfice annuel réalisé par la commercialisation de ce disque dur générera
un bénéfice de 2 millions d’euros la première année, mais que chaque année suivante, il diminuera
de 235 000 €, en raison de la concurrence et de l’émergence de produits plus performants.
On notera B1 le bénéfice réalisé la première année et Bk le bénéfice réalisé l’année de rang k.
1. Exprimer
Bk+1 en fonction de Bk et préciser la valeur initiale B1.
2. Préciser la nature de cette suite, puis exprimer
Bk en fonction de k.
3. En déduire le nombre d’années pendant les quelles la production de ce disque dur générera
un profit pour cette entreprise.
4. Déterminer le bénéfice total réalisé durant toute la période de profit.
XXExercice 2 (matrices) (7 points)
Un assembleur soude 3 types de composants électroniques e, f et j sur 3 types de cartes mères, I,
II et III.
Sur la carte de type I, il soude 2 composants e, 3 composants f et 1 composant j.
sur celle de type II, il soude 1 composant e, 2 composants f et 1 composant j.
et sur celle de type III, il soude 1 composant e, 4 composants f et 2 composants j.
Partie A (2,5 points)
1. Compléter ce tableau en utilisant les données.
nombre de composants e
nombre de composants f
nombre de composants j
carte I
carte II
carte III
2. En octobre, cet assembleur produit et vend 400 cartes de type I, 450 de type II et 510 de type
III, de plus la vente d’une carte de type I génère un bénéfice de 4 €, une carte de type II : 7 €
et une carte de type III : 10 €.
a. Combien de composants e , a-t-il soudé en octobre ?
2 3 1
On pose A=
1 2 1
4
et B=
(400 450 510) C=
1 4 2
b. Est-il possible de calculer le produit
7
10
A × B ? Justifier.
c. Calculer
B × A , que représente cette matrice produit pour cet assembleur ?
d. Calculer
B × C , que représente cette matrice produit pour cet assembleur ?
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Page 7 Partie B (4,5 points)
Les composants e , f et j soudés sur la première carte mère coûtent au total 6,70 €, ceux de la deuxième coûtent 5,1 € et enfin ceux de la troisième carte mère coûtent 9,1 €.
On notera x le prix en euro du composant e , y celui de f et z celui de j .
Le but de cette partie est de trouver le prix de chacun de ces composants.
1. Établir le système (S) de trois équations permettant de déterminer les trois prix.
(Ne pas résoudre le système dans cette question)
2 3 1
Soit A=
1 0 0
, I=
1 2 1
0 1 0
1 4 2
x
, X=
0 0 1
2. Calculer le produit
y
6,7
et D=
z
5,1
.
9,1
A × X.
3.
a. Calculer
A² , A 3 puis –4A+6A²–A 3.
b. En déduire qu’il existe une matrice A -1 telle que A
fonction de A .
× A -1 = A -1 × A=I , et exprimer A -1 en
0 2 -1
c. Vérifier que
A -1=
1 -3 1
-2 5 -1
4.
a. Écrire une égalité matricielle, utilisant A , D et X qui permettra de traduire les contraintes
de coût des composants.
b. Montrer que l’égalité matricielle est équivalente à
X=A -1 .D.
c. En déduire les prix des trois composants.
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