( ) ( ), z

¤ PCSI ¤ 13/14
Physique.
Devoir de révision 2.
Une présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Une grande importance sera attachée à la rigueur, à la clarté des raisonnements et des schémas.
Tous les résultats devront être donnés sous forme littérale. Tout résultat final non homogène ne pourra donner
de points à la question.
Toute valeur numérique demandée devra être accompagnée de son unité correcte.
Exercice 1. Balance de Coulomb.
Pour mettre en évidence la loi de force en 1/r2 qui s'exerce entre
les particules chargées, Charles Augustin Coulomb a utilisé un
pendule de torsion de sa conception formé d'un fil vertical auquel
est attaché un balancier tournant dans le plan horizontal. On
étudie l'équilibre de ce balancier dans la base cylindrique dont
l'axe Oz est confondu avec le fil. A une extrémité du balancier se
trouve une petite sphère conductrice sur laquelle on dépose une
charge Q, l'autre extrémité portant un contrepoids. La bille
chargée se déplace dans le plan horizontal sur un cercle de rayon
R et sa position M est repérée par l'angle θ avec la direction du
balancier à l'équilibre. On note A le centre de la bille à l'équilibre.
Le moment du balancier par rapport à l'axe Oz est noté Jz.
b
e
w
la
Jz = 1,40.10-4 kg.m2 R = 10,0 cm εo = 8,85.10-12 SI
o
h
.k
m
o
.c
1. Lorsque l'on écarte légèrement le balancier de sa position d'équilibre, on observe des oscillations très
faiblement amorties de période T = 5,25 secondes. En déduire la constante de raideur k associée au
moment de rappel exercé par le fil de torsion.
2. On approche progressivement une seconde bille portant la même charge Q du point A occupé par la
première bille, qui s'en écarte alors et se stabilise en M. Exprimer la distance d = AM en fonction de
R et θ. En déduire l'expression de la norme de la force électrostatique s'exerçant entre les deux billes.
3. Exprimer le moment de la force électrostatique en fonction de l'angle θ.
4. Etablir l'équation vérifiée par les positions d'équilibre du système, puis montrer que pour des
solutions correspondant à des valeurs éq faibles devant l'unité, celle-ci peut se mettre sous la forme :
w
w
w
 éq3  Kéq2  4 K  0 .
Identifier la constante sans dimension K et estimer son ordre de grandeur pour des sphères portant
des charges de l'ordre du nanocoulomb.
5. On mesure un angle éq = 5°30. Evaluer la charge Q portée par les sphères.
Exercice 2. Pendule pesant.
On considère le pendule pesant de masse m de la figure, son centre
d'inertie est noté G. Le pendule est maintenu dans le plan z = 0 grâce à
une liaison en un point O de la tige telle que OG = l. On repère l'axe de
 
la tige par rapport à la verticale grâce à l’angle   u x , OG . A l'instant


t = 0, le pendule est abandonné sans vitesse initiale depuis la position o .
On note J  , le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe

  O, u z .




1. On ne considère que l'action du champ de pesanteur g  gu x . Déterminer l'équation différentielle
vérifiée par   t  .
2. Résoudre cette équation si à chaque instant t on peut considérer que   t   1 .
mgl
J
3. On prend en compte à présent l'effet d'inévitables frottements au niveau de la liaison en O. Ces effets
se résument globalement en considérant l'existence de forces dont le moment par rapport à  s'écrit
M  ,dis , où  est un coefficient de frottement. Déterminer dans ce cas l'équation différentielle vérifiée
On posera o 
par   t  et étudier le régime des petites oscillations en fonction de la valeur du paramètre


.
2 mglJ 


m
o
.c
4. En utilisant Scilab, on peut représenter le portrait de phase  ,  de ce pendule avec et sans
frottements, sans faire l’hypothèse des petites oscillations et en faisant varier les paramètres du
système. Commenter ces différentes courbes.
b
e
w
la
w
w
w
o
h
.k
Portrait de phase du pendule pesant.
Fig a. Système non linéaire sans frottements   0  pour différentes conditions initiales et une
valeur o  1 rad/s .Les valeurs de l’angle o sont indiquées à côté de chaque trajectoire.
Fig b. Représentation de trajectoires pour plusieurs valeurs de o avec o   et   0,5 .
Fig c. Mêmes conditions que dans le cas b mais avec   1, 5 .
Exercice 3. Pendule incliné.
On considère un système mécanique modélisé par un point matériel A, de
masse m, accroché à l'extrémité d'un fil inextensible de longueur lo, souple et
de masse négligeable, l'autre extrémité étant fixée à un point O d'un plan
incliné faisant un angle  par rapport à l'horizontale. Ce point A se déplace sur
le plan incliné.
1. On suppose dans un premier temps que le point A se déplace sans
frottement sur le plan incliné. A t = 0,   t  0   o et la vitesse est nulle.
1.a. Quelle est la trajectoire du point A sur le plan incliné ? Indiquer une base cylindro-polaire
permettant de décrire simplement le mouvement du point mobile. Déterminer le vecteur vitesse ainsi
que le moment cinétique en O du mobile dans ce repère.
1.b. Déterminer l'équation différentielle du mouvement de A. Que devient cette équation dans le cas
des petits mouvements ? Quelle est la période du mouvement ?


1.c. Le pendule est lancé depuis sa position d'équilibre O’ avec une vitesse initiale v o  vo u x . Quel est
l'angle maximal atteint (l'hypothèse des petites oscillations étant toujours valable) ?
1.d. Déterminer l'expression de la tension du fil. Que devient cette expression dans le cadre des
petits mouvements ?
2. On ne néglige plus le frottement entre le plan et A. Il est modélisé par un frottement de type solide
caractérisé par un coefficient de frottement f. Le mobile A est lâché sans vitesse initiale dans une position sur
le plan incliné caractérisée par l'angle 1  0 . Le point atteint la position repérée par l'angle  2  0 avant de
repartir dans l'autre sens.
2.a. A quelle condition portant sur 1 ,  et f le mobile n'adhère-t-il plus au plan ?
2.b. Montrer que l  2  2 fg     cos   2 g  cos   cos   sin  est une intégrale première du
o
1
1
m
o
.c
mouvement.
2.c. En déduire une relation entre le coefficient de frottement f,  , 1 et  2 .
b
e
Exercice 4. Mouvement d’une particule chargée dans le champ crée par quatre charges.
Quatre charges électriques positives, de valeur q, sont situées aux sommets A, B, C, D d'un carré de côté a et
de centre O; l'axe z'Oz de symétrie du carré passe par le point O et est perpendiculaire au plan du carré. Dans
 
le référentiel orthonormé R { O, i, j , k }, les points A, B, C, D ont pour coordonnées : A (a/2, a/2, 0) ; B (a/2, a/2, 0) ; C (-a/2, -a/2, 0) ; D (-a/2, a/2, 0).
Dans ce qui suit, on négligera les forces de pesanteur en regard des forces d’origine électrostatique.
w
la
1.
2.
3.
w
w
w
o
h
.k


Calculer le potentiel électrostatique V en un point M de l’axe Oz ( OM  zk ). (Pour une charge
ponctuelle q placée en un point P de l’espace le potentiel créé par cette charge en un point M
1
q
s’écrit VP  M  
)
4 o PM

En déduire le champ électrostatique E sur cet axe.
Etudier les fonctions V et Ez puis tracer les graphes correspondants.
Une charge électrique Q, de masse m, se déplace sur l'axe z'Oz : elle arrive de l'infini, du côté des


z positifs, animée d'une vitesse v   v k .


Montrer que cette charge est soumise à une force F  Fz k dérivant d'une énergie potentielle dont
on déterminera l'expression Ep sur l'axe z. Lorsque la charge se trouve à une distance z de O,
calculer le carré de sa vitesse vz2 en fonction des données du problème.
Etude du mouvement de cette charge suivant son signe:
2q 2
pour simplifier les
m o
calculs). Faites un tableau indiquant la variation de vz en fonction de z. En déduire d'une façon
qualitative le mouvement de la charge.
3.b. Q =q (c'est à dire Q>0); montrer que cette charge Q ne peut franchir le plan du carré qu’à la
condition que v soit supérieure à une valeur limite v lim que l'on exprimera en fonction de  et
a. Montrer que, lorsque v < v lim , la charge Q ne peut franchir une distance minimale
d'approche du carré notée zmin que l'on calculera.
A un instant donné, pris comme origine des temps, une charge Q = -q, animée d'une vitesse
initiale nulle, se trouve sur l'axe z'Oz à une distance OM = zo très petite devant a. Etablir
l'équation différentielle qui régit le mouvement de cette charge puis décrire son mouvement.
Déterminer la solution de cette équation différentielle.
3.a. Q = - q (c’est à dire Q<0): étudier Fz et vz2 (on pourra poser  
4.
w
la
b
e
w
w
w
o
h
.k
m
o
.c

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