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Variations et fonctions de référence
A) Rappels : Sens de variation et extremum d’une fonction.
1. Fonction croissante.
Définition :
Dire qu’une fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I
signifie que l’une des deux propositions suivantes est vérifiée :
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
a 0.
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
b−a
2. Fonction décroissante.
Définition :
Dire qu’une fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I
signifie que l’une des deux propositions suivantes est vérifiée :
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
a f (b ) .
f (b) − f (a )
• Pour tous réels a et b (a ≠ b ) de I,
< 0.
b−a
3. Extremum.
Définition :
• Dire que la fonction f admet un maximum en a sur l'intervalle I signifie que, pour tout réel
x de I, on a : f ( x) ≤ f (a ) .
• Dire que la fonction f admet un minimum en b sur l'intervalle I signifie que, pour tout réel x
de I, on a : f ( x) ≥ f (b) .
• La fonction f admet un extremum sur l'intervalle I si elle admet un minimum ou un
maximum sur I.
Exercice n°1 :
On admet que la fonction f définie sur [0 ; 4] par f ( x) = x 2 − 2 x + 2 est strictement
décroissante sur [0 ; 1] et strictement croissante sur [1 ; 4] .
1) Dresser son tableau de variations. Quels sont le maximum et le minimum de f sur [0 ; 4] ?
2) Tracer la courbe représentative de f .
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B) Fonctions carrée.
1. Définition de la fonction carrée.
Définition :
La fonction carrée est la fonction f définie par : f ( x) = x 2 .
1) La fonction carrée est définie sur IR.
2) La fonction carrée est décroissante sur IR- et croissante sur IR+.
2. Variations de la fonction carrée.
3. Représentation graphique de la fonction carrée : Parabole.
Remarque : La représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Exercice n°2 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) = x 2 .
f (b) − f (a )
> 0.
b−a
f (b) − f (a )
2) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b ) appartenant à IR-, on a :
< 0.
b−a
3) En déduire le tableau de variations de f sur IR.
1) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b ) appartenant à IR+, on a :
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C) Fonctions inverse.
1. Définition de la fonction inverse.
Définition :
1
.
x
1) La fonction inverse est définie sur IR* = ]− ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[ .
2) La fonction inverse est décroissante sur ]− ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[ .
La fonction inverse est la fonction f définie par : f ( x) =
2. Variations de la fonction inverse.
La double barre dans ce
tableau signifie que 0 est une
valeur interdite pour cette
fonction.
3. Représentation graphique de la fonction inverse : Hyperbole.
Remarque : La représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exercice n°3 :
Soit f la fonction définie sur IR* par : f ( x ) =
1
.
x
f (b) − f (a )
< 0.
b−a
f (b) − f (a )
2) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b ) appartenant à IR+* :
< 0.
b−a
3) En déduire le tableau de variations de f sur IR*.
1) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b ) appartenant à IR-* :
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Exercice n°4 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) = mx + p .
1) Comment s’appelle cette famille de fonctions et quelle est sa représentation graphique ?
f (b) − f (a )
= m.
2) Montrer que pour tout a et b (a ≠ b ) appartenant à IR :
b−a
3) En déduire que les variations de f sur IR dépendent uniquement du signe de m .
Exercice n°5 :
1) Représenter graphiquement la fonction f définie sur IR par : f ( x) = x 2 .
2) Résoudre graphiquement les équations et les inéquations suivantes :
a) x 2 = 4 .
b) x 2 ≤ 1 .
3) En utilisant les variations de la fonction carrée, compléter :
• Si x > 2 alors x 2 .......4 car la fonction carrée est…..…………………. sur [0 ; + ∞[ .
•
Si x < −1 alors x 2 .......1 car la fonction carrée est…..…………………. sur ]− ∞ ; 0] .
•
Si − 3 ≤ x ≤ 2 alors ...... ≤ x 2 ≤ ......
Exercice n°6 :
En utilisant la représentation graphique de la fonction inverse donnée ci-après, résoudre
graphiquement les équations et les inéquations suivantes :
1
1
= x.
3) 0 < ≤ 2 .
1)
x
x
1
2)
≥ 1.
x
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D) Fonctions polynômes de degré deux.
Définition :
f est une fonction polynôme de degré deux si, et seulement si, il existe trois nombres réels a ,
b et c , avec a ≠ 0 , tels que : pour tout x ∈ IR, on a : f ( x) = ax 2 + bx + c .
Les nombres a , b et c sont appelés les coefficients du polynôme.
Ensemble de définition :
Toutes les fonctions polynômes de degré deux sont définies sur IR.
Théorème :
Il sera démontré en classe de Première que tout trinôme du second degré : f ( x) = ax 2 + bx + c
peut s’écrire sous une forme, dite canonique : f ( x) = a ( x − α ) + β .
2
Propriété :
Dans un repère orthonormé du plan (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction polynôme
de degré deux définie sur IR par : f ( x) = ax 2 + bx + c , est une parabole de sommet S d'abscisse
b
α et cette parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation x = α = − .
2a
Conséquence :
2
Lorsqu’un trinôme du second degré est écrit sous sa forme canonique : f ( x) = a ( x − α ) + β
on peut trouver son extremum S (α ; β ) et son axe de symétrie x = α .
Tableau de variation :
1er Cas : a > 0
2ème Cas : a < 0
Remarque : Une fonction polynôme du degré deux admet un minimum ou un maximum en α.
Représentation graphique : Parabole
1er Cas : a > 0
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2ème Cas : a < 0
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Exercice n°7 : Bénéfices optimum
Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de vases.
Il en fabrique entre 0 et 30 et estime que le coût de production de x vases fabriqués est modélisé
par la fonction C donnée par : C ( x ) = x 2 − 20 x + 115 . On note R( x ) la recette, en euros,
correspondant à la vente de x vases fabriqués. Un vase est vendu à 8€.
Partie A : Lectures graphiques.
On donne, sur la page suivante, les courbes, C C et C R , des fonctions C et R définies sur
[0 ; 30] .
1) Identifier la courbe correspondant à la fonction C et celle correspondant à R .
2) Donner le tableau de variations de la fonction C .
3) Déterminer, graphiquement, les solutions de l’inéquation : C ( x ) < R(x ) .
4) En déduire les positions relatives de C C et C R .
5) Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
Partie B : En utilisant le cours.
1) Exprimer R( x ) en fonction de x .
2) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan vend 20 vases.
3) Vérifier que le bénéfice, en euros, réalisé l’artisan est donné par la fonction B dont
l’expression est : B ( x ) = − x 2 + 28 x − 115 .
4) Justifier que pour tout x ∈ [0 ; 30] on a : B( x ) = −( x − 14 ) + 81 .
De quelle forme de B s’agit-il ?
5) Justifier que pour tout x ∈ [0 ; 30] on a : B( x ) = −( x − 23)( x − 5) .
De quelle forme de B s’agit-il ?
6) En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
7) Dresser le tableau de variations de B sur [0 ; 30] .
8) Résoudre l’équation : B( x ) ≥ 0 . Interpréter graphiquement ce résultat.
9) Résoudre l’inéquation : B( x ) < 32 .
2
Partie C : Sans utiliser le cours.
Soient a et b deux réels distincts de [0 ; 30] .
1) Montrer que : B(b) − B(a) = −(b − a )(a + b − 28) .
B (b) − B (a )
2) En déduire que :
= −(a + b − 28) .
b−a
3) En déduire que B est croissante sur [0 ; 14] et décroissante sur [14 ; 30] .
Partie D : Sans utiliser le cours.
Montrer que B est croissante sur [0 ; 14] et décroissante sur [14 ; 30] en comparant les images
de deux réels a et b tels que a < b .
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Exercice n°8 : Le Fou de Bassan
C’est un oiseau qui se nourrit de poissons en plongeant dans l’eau depuis les falaises de l’île de
Bass. Soit h( x ) la hauteur de l’oiseau au dessus du niveau de l’eau en fonction de la distance x ,
à l’horizontale, le séparant de la rive. L’oiseau décrit une parabole représentative de la fonction
définie par : h( x ) = x 2 − 6 x + 5 pour x ∈ [0 ; 6] .
Partie A : Lectures graphiques
1) Dresser un tableau de valeur sur le domaine de définition de h avec un pas de 0,5.
2) Tracer la courbe représentative de h dans le repère ci-dessous :
3) A quelle hauteur l’oiseau commence-t-il son plongeon ?
4) Donner le tableau de variation de h sur [0 ; 6] .
5) Donner la distance de la rive où la hauteur de l’oiseau est minimale.
6) Donner la distance de la rive où l’oiseau rentre et sort de l’eau.
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Partie B : En utilisant le cours.
1) A quelle famille de courbes appartient C h ?
2) Justifier que pour tout réel x on a : h( x ) = ( x − 3) − 4 .
De quelle forme de h s’agit-il ?
3) Montrer que pour tout réel x on a : h( x ) = ( x − 2)( x − 5) .
De quelle forme de h s’agit-il ?
4) Préciser la nature et les coordonnées de l’extremum de h sur IR ainsi que l’équation de l’axe
de symétrie de C h .
5) Dresser le tableau de variations de h sur IR.
6) Donner un encadrement de h quand :
a) 1,5 ≤ x ≤ 2 .
b) 3 ≤ x ≤ 4 .
7) Écrire l’équation qui détermine à quelles distances du rivage l’oiseau est entré puis sorti de
l’eau et résoudre cette équation.
8) Résoudre l’inéquation : h( x ) < 0 . Interpréter ce résultat dans le contexte.
2
Partie C : Sans utiliser le cours.
Soient a et b deux réels distincts de [0 ; 6] .
1) Montrer que : h(b) − h(a) = (b − a )(a + b − 6) .
h(b) − h(a )
2) En déduire que :
= (a + b − 6 ) .
b−a
3) En déduire que h est décroissante sur [0 ; 3] et croissante sur [3 ; 6] .
Partie D : Sans utiliser le cours.
Montrer que h est décroissante sur [0 ; 3] et croissante sur [3 ; 6] en comparant les images de
deux réels a et b tels que a < b .
Exercice n°9 :
Les paraboles ci-dessous représentent des fonctions f et g définies sur IR par :
Déterminer les expressions de f ( x ) et de g ( x ) .
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E) Fonctions homographiques.
Définition :
f est une fonction homographique si, et seulement si, il existe quatre nombres réels a , b , c et
d
ax + b
d (avec c ≠ 0 ) et tels que, pour tout x ≠ − : f ( x) =
.
c
cx + d
Ensemble de définition :
Une fonction homographique est définie si, et seulement si, son dénominateur est non nul.
ax + b
d  d


La fonction x a
est définie sur  − ∞ ; −  ∪  − ; + ∞  .
cx + d
c  c


Représentation graphique : Hyperbole
Exercice n°10 : Etude d’une fonction homographique.
Soit f la fonction définie par sa courbe représentative C f donnée sur la page suivante.
Partie A : Lectures graphiques.
1) Dresser le tableau de variations de f .
2) Déterminer, l’(es) image(s) de 0 par f .
3) Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < −1 .
4) Déterminer, le (ou les) antécédent(s) de –4 par f .
5) Tracer, dans le repère donné ci-dessus , la droite D représentative de la fonction g définie
sur IR par : g ( x ) = −2 x + 4 .
6) Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < −2 x + 4 .
La fonction f représentée en Partie A est la fonction définie par : f ( x) =
− 2x + 4
.
x−3
Partie B :
1) A quelle famille de courbes appartient la courbe représentative C f de f ?
2) Donner le domaine de définition, D f , de f .
3) Montrer que pour tout x ∈ D f on a : f ( x) = −2 +
−2
.
x−3
4) Etude des variations de f .
a) Soient a et b deux réels tels que : 3 < a < b . Montrer que : f (a ) < f (b) .
Que peut-on en déduire ?
b) Soient a et b deux réels tels que : a < b < 3 . Montrer que : f (a ) < f (b) .
Que peut-on en déduire ?
5) Dresser le tableau de variations de f sur D f .
6) Déterminer, algébriquement, le(s) antécédents de –4 par f .
7) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C f et de l’axe des ordonnées.
8) Le point A(9 ; − 2) appartient-il à C f ?
9) Résoudre l’inéquation : f ( x ) ≤ 0 .
Interpréter graphiquement ce résultat.
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10) Soit g la fonction affine telle que : g (2) = 0 et g (− 1) = 6 .
→
→
On note C g sa courbe représentative dans (O ; i ; j ).
a) Démontrer que l’expression de g ( x ) = −2 x + 4 .
b) Résoudre dans IR l’inéquation f ( x) ≤ g ( x) .
c) Interpréter graphiquement ce résultat.
Partie C :
Soient a et b (a ≠ b ) deux réels de D f .
2(b − a )
.
(a − 3)(b − 3)
f (b) − f (a )
2
=
2) En déduire que :
.
b−a
(a − 3)(b − 3)
3) En déduire que f est croissante sur ]− ∞ ; 3[ et sur ]3 ; + ∞[ .
1) Montrer que : f (b) − f (a ) =
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Exercice n°11 : Résistance du dipôle ?
Pour deux résistances R1 et R2 montées en parallèle, la résistance R du dipôle vérifie la
1
1
1
relation : =
+
.
R R1 R2
Les résistances sont exprimées en ohms (W). On donne : R1 = 4 et R2 = x .
Partie A : Modélisation du problème.
4x
1) Montrer que : R =
.
x+4
4x
2) Soit f la fonction définie par : f ( x ) =
.
x+4
a) Pourquoi peut-on limiter le domaine de définition, D f , de f à ]0 ; + ∞[ ?
b) Montrer que pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ on a : f ( x ) = 4 +
− 16
.
x+4
Partie B : Lectures graphiques.
On donne, ci-dessous, la courbe, C f , de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ .
1)
2)
3)
4)
Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ; + ∞[ .
Déterminer, l’(es) image(s) de 4 par f .
Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < 3 .
4 semble-t-il admettre des antécédents par f .
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Partie C :
1) A quelle famille de courbes appartient la courbe représentative C f de f ?
2) Soient a et b deux réels tels que : 0 < a < b . Montrer que : f (a ) < f (b) .
Que peut-on en déduire ?
3) Dresser le tableau de variations de f sur D f .
4) Déterminer, algébriquement, le(s) antécédents de 0,75 par f .
5) Le point A(6 ; 2,4) appartient-il à C f ?
6) Résoudre l’équation : f ( x ) = 4 . Interpréter graphiquement ce résultat.
7) Déterminer la résistance R2 pour que la résistance R du dipôle soit supérieure ou égale à
3W.
Partie D :
Soient a et b (a ≠ b ) deux réels de ]0 ; + ∞[ .
16(b − a )
1) Montrer que : f (b) − f (a ) =
.
(a + 4 )(b + 4)
f (b) − f (a )
16
2) En déduire que :
=
.
b−a
(a + 4)(b + 4 )
3) En déduire que f est croissante sur ]0 ; + ∞[ .
Exercice n°12 :
f est une fonction définie sur IR.
Les variations de cette fonction sont données par le tableau de variations suivant :
x
-∞
∞
–3
1
2
3
+∞
∞
–2
f(x)
–2,8
1
1) La courbe représentative de cette fonction peut-elle être une droite ? une parabole ? une
hyperbole ? Justifier vos réponses.
2) A partir de ce tableau de variations, tracez une courbe représentative susceptible de
représenter f .
3) En vous aidant du graphique et du tableau de variations, justifier que l’équation f ( x ) = 0
admet une solution unique entre –3 et 1.
4) A l’aide des variations de f , prouver que si x < −3 alors f ( x ) < −2 .
5) En déduire que l’équation f ( x ) = 0 n’admet pas de solution sur ]− ∞ ; − 3].
6) Utiliser les variations de f sur [1 ; 3] pour encadrer f ( x ) lorsque x ∈ [1 ; 3] .
7) En déduire que l’équation f ( x ) = 0 n’admet pas de solution dans [1 ; 3] .
8) Utiliser la même méthode pour prouver que l’équation f ( x ) = 0 n’admet pas de solution
dans l’intervalle [3 ; + ∞[ et conclure.
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Exercice n°13 : Etude d’une parabole.
Soit f la fonction définie sur IR par sa courbe représentative C f donnée sur la page suivante.
Partie A : Lectures graphiques.
1) Dresser le tableau de variations de f sur IR.
2) Déterminer, l’(es) image(s) de 6 par f .
3) Déterminer la nature et les coordonnées de l’extremum de f .
4) Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < 6 .
5) Déterminer, le (ou les) antécédent(s) de 0 par f .
6) Tracer, dans le repère donné sur la page suivante, la droite D représentative de la fonction g
définie sur IR par : g ( x ) = 2 x − 2 .
7) Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < 2 x − 2 .
La fonction f représentée en Partie A est la fonction définie sur IR par : f ( x ) = a ( x − α ) + β .
2
Partie B : En utilisant le cours.
1) A quelle famille de courbes appartient C f ?
2) Justifier que pour tout réel x on a : f ( x ) = −2(x − 3) + 8 . De quelle forme de f s’agit-il ?
3) En déduire que pour tout réel x on a : f ( x ) = −2 x 2 + 12 x − 10 .
De quelle forme de f s’agit-il ?
4) Montrer que pour tout réel x on a : f ( x ) = (− 2 x + 2)( x − 5) . De quelle forme de f s’agit-il ?
5) Préciser la nature et les coordonnées de l’extremum de f sur IR ainsi que l’équation de l’axe
de symétrie de C f .
2
6) Dresser le tableau de variations de f sur IR.
7) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C f et de l’axe des ordonnées.
8) Le point A(6,5 ; − 12) appartient-il à C f ?
9) Résoudre l’équation : f ( x ) = 0 . Interpréter graphiquement ce résultat.
10) Résoudre l’inéquation : f ( x ) < 6 .
11) Soit g la fonction affine telle que : g (1) = 0 et g (4) = 6 .
→
→
On note C g sa courbe représentative dans (O ; i ; j ).
a) Démontrer que l’expression de g ( x ) = 2 x − 2 .
b) Résoudre dans IR l’inéquation f ( x) ≤ g ( x) .
c) Interpréter graphiquement ce résultat.
Partie C : Sans utiliser le cours.
Soient a et b deux réels distincts de IR.
1) Montrer que : f (b) − f (a) = −2(b − a )(a + b − 6) .
f (b) − f (a )
2) En déduire que :
= −2(a + b − 6 ) .
b−a
3) En déduire que f est croissante sur ]− ∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; + ∞[ .
Partie D : Sans utiliser le cours.
Montrer que f est croissante sur ]− ∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; + ∞[ en comparant les images
de deux réels a et b tels que a < b .
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Exercice n°14 : Positions relatives
Voici la droite (d ) d’équation y = 6 x + 30 et la parabole P représentant la fonction f définie
par : f ( x ) = −4 x 2 + 30 x + 10 .
1) Déterminer, graphiquement, les positions relatives de la droite d et de la parabole P .
2) Démontrer, qu’étudier les positions relatives de la droite d et de la parabole P revient à
résoudre l’inéquation : − 4 x 2 + 24 x − 20 ≥ 0 .
2
3) Vérifier que, pour tout réel x : − 4 x 2 + 24 x − 20 = −4( x − 3) + 16 .
4) Résoudre alors l’inéquation : − 4 x 2 + 24 x − 20 ≥ 0 . Conclure.
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Exercice n°15 : Etude d’une fonction.
4 − 2x
.
x +1
On donne, sur la page suivante, la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un
repère orthogonal.
Soit f la fonction définie par : f ( x ) =
Partie A : Lectures graphiques.
1) Dresser le tableau de variations de f .
2) Déterminer, l’(es) image(s) de 0 par f .
3) Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < −5 .
4) Déterminer, le (ou les) antécédent(s) de 0 par f .
5) Tracer, dans le repère donné ci-dessus, la droite D représentative de la fonction g définie
1
sur IR par : g ( x ) = x − 2 .
2
1
6) Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < x − 2 .
2
Partie B :
1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
2) A quelle famille de courbes appartient la courbe représentative C f de f ?
3) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C f avec les axes du repère.
4) Déterminer les réels a , b et c tels que : f ( x ) = a +
b
.
x+c
5) Etude des variations de f .
a) Soient a et b deux réels tels que : −1 < a f (b) .
Que peut-on en déduire ?
b) Soient a et b deux réels tels que : a f (b) .
Que peut-on en déduire ?
6) Dresser le tableau de variations de f sur D f .
7) En déduire un encadrement de f ( x ) si x ∈ [− 1201 ; − 1001].
8) Déterminer, algébriquement, le(s) antécédents de –1 par f .
9) Le point A(9 ; − 2) appartient-il à C f ?
10) Résoudre l’inéquation : f ( x ) ≤ 0 . Interpréter graphiquement ce résultat.
11) Soit g la fonction affine telle que : g (− 8) = −6 et g (6) = 1 .
→
→
On note C g sa courbe représentative dans (O ; i ; j ).
a) Démontrer que l’expression de g ( x ) =
1
x − 2.
2
b) Montrer que pour tout réel x ≠ −1 , on a : f ( x ) − g ( x ) =
(3 − x )(x + 4) .
2x + 2
c) Calculer les coordonnées des points d’intersection des deux courbes C f et D .
d) Etudier les positions relatives des courbes C f et D .
e) Interpréter graphiquement ce résultat.
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Partie C :
Soient a et b (a ≠ b ) deux réels de D f .
− 6(b − a )
.
(a + 1)(b + 1)
f (b) − f (a )
−6
2) En déduire que :
=
.
b−a
(a + 1)(b + 1)
3) En déduire que f est décroissante sur ]− ∞ ; − 1[ et sur ]− 1 ; + ∞[ .
1) Montrer que : f (b) − f (a ) =
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Exercice n°16 : Distance d’un point à une droite.
On considère la droite d d’équation y = 2 x + 3 et A le point de coordonnées (1 ; 1) .
M est un point quelconque de la droite d et on note x l’abscisse de M .
Partie A : Modélisation du problème.
1) On définit la fonction f par : f ( x ) = AM 2 .
a) Justifier que l’ordonnée de M est : y M = 2 x + 3 .
b) En déduire que : f ( x ) = 5 x 2 + 6 x + 5 .
Partie B : Lectures graphiques.
On donne, sur la page suivante, la courbe, C f , de la fonction f définie sur IR.
1)
2)
3)
4)
5)
En déduire le tableau de variation de la fonction f .
Déterminer, l’(es) image(s) de 0,8 par f .
Déterminer la nature et les coordonnées de l’extremum de f .
Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < 5 .
Déterminer, le (ou les) antécédent(s) de 23 par f .
Partie C : En utilisant le cours.
2
1) Justifier que pour tout x ∈ IR on a : f ( x ) = 5( x + 0,6 ) + 3,2 .
De quelle forme de f s’agit-il ?
2) Dresser le tableau de variations de f sur IR.
3) Pour quelle valeur x0 la fonction atteint-elle son extremum ?
4) M 0 est le point de la droite d tel que la distance AM 2 soit minimale.
Justifier que les coordonnées de M 0 sont (− 0,6 ; 1,8) .
5) On considère le point B de coordonnées (0 ; 3) .
a) Vérifier que B est un point de la droite d .
b) Déterminer la nature du triangle ABM 0 .
c) Que peut-on dire des droites ( AM 0 ) et d ?
d) En déduire une définition de la distance entre un point et une droite.
Partie D : Sans utiliser le cours.
Soient a et b deux réels distincts de IR.
1) Montrer que : f (b) − f (a) = 5(b − a )(a + b + 1,2) .
f (b) − f (a )
2) En déduire que :
= 5(a + b + 1,2 ) .
b−a
3) En déduire que f est décroissante sur ]− ∞ ; − 0,6] et croissante sur [− 0,6 ; + ∞[ .
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Partie E : Sans utiliser le cours.
Montrer que f est décroissante sur ]− ∞ ; − 0,6] et croissante sur [− 0,6 ; + ∞[ en comparant les
images de deux réels a et b tels que a < b .
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Exercice n°17 : Match de volley-ball
Lors d'un match de volley-ball, l'un des joueurs saute pour smasher. Il est à un mètre du filet, et
lorsque sa main percute le ballon, celle-ci est à une hauteur h (en mètre). On suppose que la
trajectoire du ballon est rectiligne, et qu'elle se fait dans un plan vertical perpendiculaire au filet.
On note d la distance horizontale (en mètre) parcourue par la balle avant de toucher le sol.
Partie A : Modélisation du problème.
1 h − 2,43
1) Démontrer que : =
.
d
h
2) En déduire que la longueur d est reliée à h par l'égalité : d = f (h ) =
h
.
h − 2,43
3) Justifier le fait que le domaine de définition D f de f soit restreint à ]2,43 ; + ∞[ .
Partie B : Lectures graphiques.
On donne, sur la page suivante, la représentation graphique de f .
1) Dresser le tableau de variations de f .
2) Déterminer, l’(es) image(s) de 3,4 par f .
3) Résoudre graphiquement l’inéquation : f (h ) ≤ 8,5 .
4) Déterminer, le (ou les) antécédent(s) de 7,5 par f .
4) Déterminer à quelle hauteur le joueur doit frapper la balle pour que :
a) la balle atterrisse dans le camp adverse ?
b) la balle atterrisse dans la partie bleu foncé du camp adverse ?
Partie C :
1) A quelle famille de courbes appartient la courbe représentative C f de f ?
2,43
.
h − 2,43
3) Soient a et b deux réels tels que : 2,43 < a f (b) .
Que peut-on en déduire ?
4) Dresser le tableau de variations de f sur D f .
5) Déterminer, algébriquement, à quelle hauteur le joueur doit frapper la balle pour que :
a) la balle atterrisse dans le camp adverse ?
b) la balle atterrisse dans la partie bleu foncé du camp adverse ?
2) Montrer que pour tout x ∈ D f on a : f (h) = 1 +
Partie D :
Soient a et b (a ≠ b ) deux réels de D f .
− 2,43(b − a )
.
(a − 2,43)(b − 2,43)
f (b) − f (a )
− 2,43
2) En déduire que :
=
.
b−a
(a − 2,43)(b − 2,43)
3) En déduire que f est décroissante sur ]2,43 ; + ∞[ .
1) Montrer que : f (b) − f (a ) =
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Exercice n°18 : Vitesse moyenne du cycliste.
A l’occasion d’une randonnée, la vitesse moyenne d’un cycliste à l’aller est de 15 km / h .
Partie A : Modélisation du problème.
1) Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour lorsque la vitesse moyenne au retour
est de 21 km / h ?
2) On note x la vitesse moyenne exprimée en km / h du cycliste au retour et V ( x ) la vitesse
moyenne du cycliste sur le trajet aller-retour.
30 x
. On utilisera les formules ci-dessous :
a) Montrer que : V ( x ) =
x + 15
d
d
2d
t Aller =
; t Re tour =
et t Aller − Re tour =
.
15
x
t Aller + t Re tour
b) Pourquoi peut-on limiter le domaine de définition, DV , de V à [0 ; + ∞[ ?
− 450
.
c) Montrer que pour tout x ∈ [0 ; + ∞[ on a : V ( x ) = 30 +
x + 15
Partie B : Lectures graphiques.
On donne, sur la page suivante, la courbe, CV , de la fonction V définie sur [0 ; + ∞[ .
1)
2)
3)
4)
Dresser le tableau de variations de V sur ]0 ; + ∞[ .
Déterminer, l’(es) image(s) de 10 par V .
Résoudre graphiquement l’inéquation : V ( x ) > 20 .
30 semble-t-il admettre des antécédents par V ?
Partie C :
1) A quelle famille de courbes appartient la courbe représentative CV de V ?
2) Soient a et b deux réels tels que : 0 < a < b . Montrer que : V (a ) < V (b) .
Que peut-on en déduire ?
3) Dresser le tableau de variations de V sur DV .
4) Déterminer, algébriquement, le(s) antécédents de 12 par V .
5) Le point A(13 ; 14) appartient-il à CV ?
6) Résoudre l’équation : V ( x ) = 30 . Interpréter graphiquement ce résultat.
7) Déterminer la vitesse du cycliste au retour pour que la vitesse moyenne du cycliste sur le
trajet aller-retour soit supérieure ou égale à 20 km / h .
Partie D :
Soient a et b (a ≠ b ) deux réels de [0 ; + ∞[ .
450(b − a )
1) Montrer que : V (b) − V (a ) =
.
(a + 15)(b + 15)
V (b) − V (a )
450
2) En déduire que :
=
.
b−a
(a + 15)(b + 15)
3) En déduire que V est croissante sur [0 ; + ∞[ .
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Exercice n°19 : Vrai, Faux ou On ne peut pas savoir.
Pour chaque question, préciser laquelle des trois propositions (« Vrai », « Faux » ou « On ne
peut pas savoir ») est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de
réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Soit f une fonction définie sur IR telle que :
• f est décroissante sur ]− ∞ ; − 3] ∪ [1 ; + ∞[ .
• f est croissante sur [− 3 ; 1] .
• f ( x ) ≤ 0 sur [− 4 ; − 2] ∪ [2 ; + ∞[ .
f (b ) − f (a )
1) Si a ∈ [− 3 ; − 2] et b ∈ [− 3 ; − 2] (a ≠ b ) alors
≥ 0.
b−a
2) f (− 1,7 ) ≥ f (− 1,9) .
3) Si a f (b ) .
4) f (− 3) < f (− 1) .
5) Si a ∈ [− 3 ; 1] et b ∈ [− 3 ; 1] alors f (a ) > f (b ) .
6) Si a ∈ ]− ∞ ; − 3] et b ∈ [1 ; + ∞[ alors f (a ) < f (b ) .
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