Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Exercice 1
Partie A
1. a) Résoudre l’équation −3x2 + 96x + 555 = 0.
Exercice 5
On donne ci-dessous le tableau de variations sur [0; +∞[
d’une fonction f définie par f (x) = ax4 + bx2 + c où a, b et
c sont trois constantes réelles inconnues.
b) Dresser le tableau de signe de (−3x2 + 96x + 555)
sur R .
2. Soit f la fonction définie sur [0; 50] par :
f (x) = −x3 + 48x2 + 555x − 16000
x
0
Var.
f
3
1
+∞
2
a) Calculer f ′ (x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f .
b) Étudier soigneusement les variations de f .
Partie B
Une entreprise fabrique et vend chaque mois entre 0 et 50
tonnes d’un désinfectant utilisé en milieu hospitalier.
Le coût total de fabrication, en euros, de la production
mensuelle de x tonnes de ce produit est donné par :
En exploitant les informations contenues dans ce tableau,
retrouver les valeurs respectives de a, b et c.
Exercice 6
Partie A
On considère la fonction f définie sur I =]4; +∞[ par :
f (x) =
P (x) = x3 − 48x2 + 1045x + 16000
On suppose que toute la production mensuelle est vendue
au prix de 1600e la tonne.
1. Calculer la recette, les coûts et le bénéfice lorsque la
production mensuelle est de 40 tonnes.
2. Exprimer la recette mensuelle R(x) puis le bénéfice mensuel B(x) en fonction de x.
3. En déduire le bénéfice mensuel maximal que l’entreprise
peut réaliser ainsi que la production correspondante.
Exercice 2
Un chaudronnier dispose d’une plaque de tôle carrée de 90
centimètres de côté, avec laquelle il doit fabriquer une boîte
parallélépipédique, sans couvercle, de volume maximal.
Pour cela, il découpe dans les angles, quatre carrés identiques de côté x centimètres comme l’indique la figure.
x2 + 96x
x−4
1. Établir que f ′ , la fonction dérivée de f , est définie sur
x2 − 8x − 384
I par f ′ (x) =
.
(x − 4)2
2. Dresser le tableau de signe sur R de x2 − 8x − 384.
3. Déduire des questions précédentes les variations de f sur
I puis dresser son tableau de variations en y indiquant
la valeur de l’extremum mis en évidence.
Partie B
Pour la fabrication d’un livre, on doit respecter sur chaque
page des marges de 2 cm à droite et à gauche, 3 cm en
bas et en haut. Soit x et y les deux dimensions en centimètres d’une page respectivement horizontalement et verticalement.
x
3
90
zone d’impression
x
y
x
x
90
x
Par pliage suivant les pointillés, puis soudures, il fabrique
une boîte qui a la forme voulue.
Déterminer les dimensions de la boîte de volume maximal.
Exercice 3
1
1. Soit f la fonction définie par f (x) = x + .
x
Étudier les variations de f sur ]0; +∞[.
2. Soient a, b et c trois réels strictement positifs.
c
a c
b
a b
+ + + + + >6
Établir que :
b
c a
c
b a
Exercice 4
Déterminer les réels a et b pour que la fonction f définie par
x2 +ax+b
f (x) =
admette un extremum local égal à 5 en 1
x2 + 1
puis préciser s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum.
3
2
2
1. Exprimer en fonction de x et y l’aire de la partie disponible pour l’impression.
2. On désire que l’aire de la partie disponible pour l’impression soit de 600 cm2 .
a) Prouver que cette contrainte se traduit par l’égalité
6x + 576
.
y=
x−4
b) En déduire que l’aire A(x) de la page est alors donnée
par A(x) = 6 × f (x).
c) En vous aidant de l’étude de f réalisée dans la première partie, déterminer les dimensions de la page
permettant de minimiser la consommation de papier.
Exercice 7
Dans cet exercice, l’unité de longueur est le centimètre.
Soient ABC un triangle rectangle en A de périmètre égal
à 16 et x et y les longueurs respectives des segments [AB]
et [AC].
1. Justifier soigneusement que 0 < x < 8.
16(x − 8)
.
2. Établir que : ∀x ∈]0; 8[ y =
x − 16
3. Exprimer l’aire S(x) du triangle ABC en fonction de x
puis étudier le sens de variation de la fonction S : x 7→
S(x) sur l’intervalle ]0; 8[.
Pour modéliser la situation, considérons un carré ABCD
tel que AB = 4 et I et J les milieux respectifs des segments
[CD] et [AB].
M est un point de la médiatrice du segment [CD], n’appartenant pas à la demi-doite [IJ).
Les droites (M C) et (M D) coupent la droite (AB) respectivement en E et F .
M
4. En déduire l’existence, parmi tous les triangles rectangles de périmètre égal à 16, d’un triangle ABC d’aire
maximale et caractériser ce triangle.
D
I
C
Exercice 8
On considère un carré ABCD de côté unité, E un point
libre sur [BC], F le point de la demi-droite [Dy) vérifiant
BE = DF et H le point d’intersection de (AD) et (EF ).
E
C
F
B
A
J
B
E
On pose IM = x et on nomme f la fonction qui à x associe
l’aire du triangle M EF .
1. À quel ensemble E appartient la variable x ?
D
F
H
A
y
1. a) On pose BE = x. Dans quel intervalle varie x ?
x − x2
.
1+x
2. Soit g la fonction définie sur I = [0; 1] par :
2. Après avoir exprimé F A en fonction de x, établir successivement que, pour tout x appartenant à E , EF =
4(x + 4)
2(x + 4)2
et f (x) =
.
x
x
3. Étudier soigneusement les variations de f sur E puis
conclure.
b) Établir que DH =
x − x2
1+x
1 − 2x − x2
g ′ (x) =
(1 + x)2
g(x) =
a) Établir que : ∀x ∈ I
Exercice 10
Dans cet exercice, l’unité de longueur est le centimètre.
Sur la figure ci-dessous, OBAC est un carré de côté 3, M
un point libre sur la demi-droite [Bu) et distinct de B, et
N le point d’intersection des droites (AM ) et (OC).
b) Étudier le signe de (1 − 2x − x2 ) sur R.
N
c) Étudier les variations de g et en déduire la valeur de
x pour laquelle la distance DH est maximale.
C
Exercice 9
Un architecte doit décider des dimensions de la façade d’un
chalet. Il estime que la partie « utilisable » (pour placer des
fenêtres, une porte, . . . ) est un carré de côté 4 m.
Pour des raisons esthétiques, la façade est choisie isocèle en
son sommet le plus haut.
Problème : Où faut-il placer le sommet du toit de façon à
obtenir une surface totale de la façade minimale et réduire
ainsi les coûts de fabrication du chalet ?
A
y
3
M
O
3
u
B
x
On pose OM = x et ON = y.
1. Dans quel intervalle varie x ?
3x
2. Établir que : ∀x > 3 y =
x−3
En déduire l’expression de l’aire du triangle OM N en
fonction de x.
3. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire du triangle OM N
est-elle minimale ?
Quelle est alors la nature du triangle ?
1. Une première méthode :
Exercice 11
ABCD est un carré de côté 4 cm.
Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d’intersection de [DM ] et [AC], x la longueur AM et a(x) l’aire
totale des deux triangles AIM et CDI.
D
a) Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AIM .
4x
Prouver que h =
.
x+4
2(x2 + 16)
b) En déduire que : ∀x ∈ [0; 4] a(x) =
x+4
c) Étudier soigneusement les variations de la fonction a
sur [0; 4] et conclure quant au problème posé.
C
2. Une seconde méthode :
a) Vérifier que la somme des aires des triangles CDI,
AIM et BIM est constante.
I
b) Expliquer pourquoi répondre au problème posé revient à déterminer la position de M qui maximise
l’aire b(x) du triangle IM B.
h
A
M
x
2(4x − x2 )
x+4
d) Étudier soigneusement les variations de la fonction b
sur [0; 4] et conclure quant au problème posé.
B
c) Établir que : ∀x ∈ [0; 4] b(x) =
Le but de l’exercice est de déterminer la position du point
M assurant une aire totale minimale.
Exercice 12
À l’instant t = 0, un malade absorbe un médicament.
On admet, qu’au cours des douze heures qui suivent, la
concentration du médicament dans le sang (exprimée en
milligramme par litre) en fonction du temps t (exprimé en
heures) est donnée par f (t) où f désigne la fonction dont
on donne ci-dessous la courbe représentative Cf .
[0; 12] et que, pour tout t appartenant à cet intervalle,
le nombre dérivé f ′ (t) représente la vitesse d’évolution
de la concentration du médicament à l’instant t.
Après avoir effectué les tracés nécessaires, déterminer
graphiquement la valeur de f ′ (7) puis donner une interprétation concrète du résultat obtenu.
Partie A
Étude graphique
Pour cette partie, on se reportera à la courbe représentative
Cf de la fonction f .
Les tracés réalisés feront office de justification.
Partie B
Étude théorique
On admet maintenant que la fonction f de la première partie est définie par f (t) = t3 − 24t2 + 144t.
1. Au bout de combien de temps la concentration du médicament est-elle maximale ?
Estimer la valeur de cette concentration maximale.
1. Calculer f ′ (t) puis vérifier que, pour tout t appartenant
à l’intervalle [0; 12], f ′ (t) = (3t − 12)(t − 12).
2. Étudier soigneusement le signe de f ′ (t) pour t appartenant à l’intervalle [0; 12].
2. La phase d’efficacité du médicament correpond à la période au cours de laquelle la concentration est supérieure
ou égale à 125 mg.L−1 .
Estimer graphiquement la durée de la phase d’efficacité.
3. En déduire les variations de f puis dresser son tableau
de variations sur [0; 12].
4. Retrouver algébriquement le résultat de la question 1
de la première partie.
3. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle
400
350
300
250
200
150
100
50
Cf
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
L’aire de la section intérieure de ce canal doit être de 0,5 m2 .
On désigne par h la hauteur et par l la largeur (toutes deux
exprimées en mètres) de cette section.
On admettra que le frottement est minimal lorsque la longueur AB + BC + CD est minimale.
Exercice 13
On veut rendre minimal le frottement d’un fluide contre les
parois d’un canal ouvert. Ce canal est de section intérieure
rectangulaire ABCD.
l
A
D
1. Écrire l en fonction de h puis établir que :
AB + BC + CD = 2h +
h
B
1
2h
2. Étudier les variations de la fonction f définie sur ]0; +∞[
1
par f (x) = 2x +
.
2x
C
3. En déduire une réponse au problème posé.
Exercice 14
Partie A
Dresser le tableau de signe sur R de P (x) = x2 + 4x − 5.
Partie B
On donne ci-contre la courbe représentative Cg d’une fonction
g définie et dérivable sur l’intervalle ] − 2; +∞[.
Cg
#»

1
•
−1
O
•
7
#»
ı
1. Donner la valeur de g ′ (1), où g ′ désigne la fonction dérivée
de la fonction g. Justifier.
2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g ′ sur ] − 2; 5].
−2
•
−4
Déterminer de quelle courbe il s’agit et justifier soigneusement la réponse donnée.
2
2
2
1
1
1
1
−1
2
3
4
5
−2
1
−1
2
3
4
5
−2
1
−1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
2
3
4
5
Courbe C1
Courbe C2
Courbe C3
3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique, sur ] − 2; 10], d’une fonction G dont g est la fonction
dérivée. Déterminer de quelle courbe il s’agit et justifier soigneusement la réponse donnée.
12
12
12
8
8
8
4
4
4
2
−2
4
6
8
10
2
−2
4
6
8
10
2
−2
−4
−4
−4
−8
−8
−8
−12
−12
Courbe C4
4
−12
Courbe C5
Courbe C6
Partie C
x2 − 6x − 7
.
On admet maintenant que la fonction g de la première partie est définie par g(x) =
x+2
P (x)
1. Établir que : ∀x ∈] − 2; +∞[ g ′ (x) =
(x + 2)2
où P (x) désigne le polynôme défini dans la première partie.
2. Étudier soigneusement les variations de g puis dresser son tableau de variations sur ] − 2; +∞[.
6
8
10

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