Cours de physique
Classes 1B et 1C
Table des matières
1 Cinématique et Dynamique
1.1 Grandeurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Base cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Base de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mouvement dans un champ de force constant . . . . . . . .
1.2.1 Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme . .
1.2.2 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme
1.3 Mouvement des planètes et des satellites . . . . . . . . . . .
1.3.1 Champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Étude dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Satellite géostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Mouvement dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Mouvement dans un champ uniforme . . . . . . . . .
1.4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Oscillateurs
2.1 Systèmes oscillants . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Exemples d’oscillateurs . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mise en évidence expérimentale . . . . . .
2.1.3 Définitions d’oscillateurs . . . . . . . . . .
2.1.4 Grandeurs caractéristiques des oscillateurs
2.2 Oscillateurs mécaniques . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rappels sur le ressort . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Équation différentielle du mouvement . . .
2.2.3 Solution de l’équation différentielle . . . .
2.2.4 Oscillations amorties . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Le phénomène de résonance . . . . . . . .
2.3 Oscillateurs électriques . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Loi d’Ohm pour une bobine . . . . . . . .
2.3.2 Énergie magnétique d’une bobine . . . . .
2.3.3 Rappel sur le condensateur . . . . . . . . .
2.3.4 Oscillations dans un dipôle RLC . . . . .
2.3.5 Équation différentielle pour un circuit LC
2.3.6 Solution de l’équation différentielle . . . .
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1BC - AL
2.3.7
2.3.8
3
Table des matières
Oscillations amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Le phénomène de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Ondes et lumière
3.1 Propagation d’une onde mécanique . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Signal transversal, signal longitudinal, onde . . . . . .
3.1.2 Célérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Propagation d’une onde sinusoïdale le long d’une corde
3.1.4 Double périodicité du phénomène de propagation . . .
3.1.5 Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Interférences mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Conditions d’interférences . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Superposition de petits mouvements . . . . . . . . . .
3.2.3 Interférences dans un milieu à une dimension . . . . . .
3.2.4 Interférences dans un milieu à deux dimensions . . . .
3.2.5 Interférences dans un milieu à trois dimensions . . . . .
3.2.6 Le phénomène de diffraction . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Interférences lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Expérience des fentes de Young . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Calcul de la différence de marche . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Position des maxima et des minima . . . . . . . . . . .
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4 Relativité restreinte
4.1 Les postulats d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Premier postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Deuxième postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Relativité de la simultanéité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Dilatation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Expérience des muons (Frisch et Smith 1963) . . . . . . . . .
4.6.1 Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Explication à l’aide de la dilatation du temps . . . .
4.6.3 Explication à l’aide de la contraction des longueurs .
4.7 Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Énergie d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Énergie au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3 Équivalence énergie-masse . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.4 Masse et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.5 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.6 Relation entre l’énergie et la quantité de mouvement
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5 Dualité onde-corpuscule
5.1 Aspect corpusculaire de la lumière . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Expérience de Hertz (1887) . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Comment peut-on extraire un électron d’un métal ?
5.1.3 Insuffisance du modèle ondulatoire . . . . . . . . .
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4
1BC - AL
Table des matières
5.2
5.1.4 Modèle corpusculaire de la lumière . . . . . . .
5.1.5 Les propriétés du photon . . . . . . . . . . . . .
5.1.6 Interprétation de l’effet photoélectrique . . . . .
5.1.7 Propriétés d’un rayonnement électromagnétique
Aspect ondulatoire des particules . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Quantité de mouvement du photon . . . . . . .
5.2.2 Longueur d’onde d’une particule matérielle . . .
5.2.3 Caractère ondulatoire des particules matérielles
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6 Atome de Bohr
6.1 Étude expérimentale du spectre d’émission de l’atome d’hydrogène
6.1.1 Spectre continu et spectre discontinu . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Spectre d’émission et spectre d’absorption . . . . . . . . .
6.2 Étude théorique semi-classique de l’atome d’hydrogène . . . . . .
6.2.1 Postulats de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Étude des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Étude énergétique de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . .
6.3 Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . .
6.4 Transitions électroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Émission et absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Énergie du photon émise ou absorbée . . . . . . . . . . . .
6.5 Les limites du modèle de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Réactions nucléaires
7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Lois de conservation . . . . . . . . . .
7.2 La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Ce qu’on entend par radioactivité . . .
7.2.2 Les différents modes de désintégration
7.2.3 La décroissance radioactive . . . . . . .
7.2.4 Utilisation de la loi de décroissance . .
7.3 Réactions nucléaires . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Énergie de liaison . . . . . . . . . . . .
7.3.2 La fission nucléaire . . . . . . . . . . .
7.3.3 Fusion nucléaire . . . . . . . . . . . . .
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. 135
Chapitre 1
Cinématique et Dynamique
1.1
Grandeurs cinématiques
En classe de 2e nous avons introduit les grandeurs cinématiques utilisées pour décrire
le mouvement d’un point matériel : l’abscisse curviligne, les vecteurs position, vitesse et
accélération. Les vecteurs sont exprimés dans la base d’un repère, le plus souvent orthonormée. Le choix de la base est arbitraire mais, en pratique, est guidé par la trajectoire
et les forces qui agissent sur le mobile ; nous allons utiliser la base cartésienne et la base
de Frenet.
1.1.1
Base cartésienne
À un référentiel galiléen (par exemple le référentiel terrestre) nous pouvons attacher un
repère cartésien (O, ~ı, ~, ~k) dont les vecteurs unitaires de base sont fixes par rapport au
référentiel (figure 1.1a).
(a) Base cartésienne
(b) Vecteur position
Figure 1.1 – Repère orthonormé à 3 dimensions
6
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
Position d’un mobile
Dans la base cartésienne, le vecteur position du point mobile M s’exprime (figure 1.1b) :
−−→
OM = x~ı + y ~ + z ~k
(1.1)
−−→
Dans le cas d’une trajectoire plane dans le plan Oxy : OM = x~ı + y ~.
Une autre façon de repérer la position d’un mobile M sur sa trajectoire est d’utiliser
l’abscisse curviligne. Pour cela, on choisit arbitrairement (figure 1.2) :
• un point A sur la trajectoire (l’origine),
• un sens positif.
Figure 1.2 – Abscisse curviligne
˘. Il est à noter que pour
L’abscisse curviligne s est la mesure algébrique de l’arc AM
pouvoir utiliser l’abscisse curviligne, il faut connaître la trajectoire du mobile.
Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse ~v du mobile M à l’instant t nous renseigne sur la rapidité du changement
du vecteur position à cet instant. Il est défini par (figure 1.3) :
−−−→0
−−→
MM
dOM
~v = lim
=
t0 →t t0 − t
dt
Figure 1.3 – Vecteur vitesse
En effet :
−−−→0 −−→ −−→0 −−→0 −−→
−−→
M M = M O + OM = OM − OM = ∆OM
(1.2)
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
et
7
−−→
−−→
∆OM
dOM
lim
=
.
t0 →t t0 − t
dt
Le vecteur vitesse en M est tangent à la trajectoire en ce point et orienté dans le sens du
mouvement.
L’expression du vecteur vitesse dans la base cartésienne se déduit des relations (1.1) et
(1.2) :
−−→
dOM
d(x~ı + y ~ + z ~k)
~v =
=
dt
dt
et comme les vecteurs de base sont constants :
~v =
dy
dz ~
dx
~ı +
~ +
k
dt
dt
dt
de sorte qu’on puisse écrire :
~v
(1.3)
dx
dt
dy
vy =
dt
dz
vz =
dt
vx =
Remarque : on utilise souvent les notations x,
˙ y,
˙ z˙ qui représentent exclusivement des
dérivations par rapport au temps. Ainsi :
~v = x~
˙ ı + y˙ ~ + z˙ ~k.
Vecteur accélération
Le vecteur accélération ~a à l’instant t indique la rapidité de variation du vecteur vitesse.
Il est défini par (figure 1.4) :
v~0 − ~v
d~v
=
t →t t0 − t
dt
~a = lim
0
Figure 1.4 – Vecteur accélération
De la relation (1.3) il vient :
~a =
dvx
dvy
dvz ~
~ı +
~ +
k
dt
dt
dt
8
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
d’où :
~a =
d2 x
d2 y
d2 z ~
~
ı
+
~

+
k
dt2
dt2
dt2
puisque les vecteurs de base sont constants.
On peut alors écrire :
~a
dvx
d2 x
= 2
ax =
dt
dt
d2 y
dvy
= 2
ay =
dt
dt
d2 z
dvz
= 2
az =
dt
dt
Remarque : avec la notation pour les dérivations par rapport au temps, l’accélération
s’écrit :
~a = v˙ x ~ı + v˙ y ~ + v˙ z ~k = x¨ ~ı + y¨ ~ + z¨ ~k.
1.1.2
Base de Frenet
Dans la suite nous allons nous limiter à une trajectoire plane. Le repère cartésien sera
utilisé par exemple dans le cas d’une force constante. Dans d’autres situations on utilise
~ ) appelé repère de Frenet (figure 1.5).
également le repère (M, T~ , N
Figure 1.5 – Repère de Frenet
Il s’agit d’un repère qui se déplace avec le mobile M ; les vecteurs de base varient par
rapport au référentiel galiléen lors du déplacement du point mobile. Les caractéristiques
du repère de Frenet sont :
• son origine est le point mobile M ;
• le vecteur unitaire T~ est tangent en M à la trajectoire et orienté dans le sens positif ;
~ est orthogonal en M à la trajectoire (et donc aussi à T~ ) et
• le vecteur unitaire N
orienté vers l’intérieur de la courbure de celle-ci.
Comme le vecteur vitesse ~v est tangent à la trajectoire, son expression dans la base de
Frenet est :
~
~v = vT T~ + 0 N
où vT est la valeur algébrique de la vitesse en M . Ainsi :
• vT > 0 si le mobile se déplace dans le sens positif ;
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
9
• vT < 0 si le mobile se déplace en sens contraire.
La norme du vecteur vitesse est donnée par :
MM0
|s0 − s|
=
lim
t →t t0 − t
t0 →t t0 − t
v = |vT | = lim
0
dont on peut déduire la vitesse algébrique :
ds
s0 − s
=
t →t t0 − t
dt
vT = lim
0
où s est l’abscisse curviligne. Ainsi, dans la base de Frenet :
ds ~
~v = vT T~ =
T = s˙ T~
dt
1.1.3
(1.4)
Mouvement circulaire
Un mobile décrit un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle. Le mouvement
est circulaire uniforme si en plus la norme du vecteur vitesse reste constante. Par contre,
la direction du vecteur vitesse change constamment.
Abscisse angulaire
Dans le cas d’un mouvement circulaire, la position d’un mobile M peut être repérée par
−→ −−→
l’angle θ = (OA, OM ), appelé abscisse angulaire (figure 1.6). Le choix de l’origine A est
arbitraire.
Figure 1.6 – Abscisse angulaire
Les coordonnées cartésiennes de la position du mobile sont :
x = R cos(θ) ; y = R sin(θ)
où R est le rayon de la trajectoire circulaire.
(1.5)
10
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
L’abscisse curviligne s est, pour une trajectoire de rayon R donné, proportionnelle à l’angle
θ. On peut alors déduire d’une « règle de trois » la relation entre s et θ :
2π rad −→ s = 2π R
1 rad −→ s = 2π R/2π = R
θ rad −→ s = θ R.
Finalement :
s = Rθ
(1.6)
où l’angle θ est exprimé en radian.
Vitesse angulaire
La relation (1.4) donne la vitesse algébrique comme la dérivée de l’abscisse curviligne par
rapport au temps. En utilisant la relation (1.6), nous pouvons faire apparaître l’abscisse
angulaire :
d(R θ)
dθ
ds
=
=R
= R θ˙
(1.7)
v=
dt
dt
dt
car le rayon R de la trajectoire circulaire est constant.
Remarque : puisque vT est la seule coordonnée du vecteur vitesse dans la base de Frenet,
nous allons poser v = vT . Rappelons que v est alors une valeur algébrique.
La dérivée de l’abscisse angulaire par rapport au temps est, par définition, la vitesse
angulaire de rotation du point mobile M sur le cercle :
ω=
dθ
= θ˙
dt
Elle s’exprime en radian par seconde (rad/s). Une vitesse angulaire de 1 rad/s signifie que
l’abscisse angulaire varie de 1 rad en 1 s.
En utilisant la relation (1.7), nous pouvons maintenant exprimer la vitesse v, appelée
vitesse linéaire, en fonction de ω :
v = Rω
(1.8)
Accélération centripète
Puisque le vecteur vitesse change constamment de direction, le mobile en mouvement
circulaire est accéléré, même si v est constant ! Calculons son accélération :
d~v
d(v T~ )
=
dt
dt
dv ~
dT~
=
T +v
dt
dt
~a =
Le premier terme correspond à l’accélération tangentielle aT T~ et est due à la variation de
la valeur de la vitesse linéaire. Ce terme s’annule dans le cas d’un mouvement circulaire
1BC - AL
11
Cinématique et Dynamique
uniforme.
Le deuxième terme est une conséquence du changement de direction du vecteur vitesse.
Nous allons établir l’expression du deuxième terme dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme. Exprimons le vecteur position en coordonnées cartésiennes dans le plan Oxy
(figure 1.6) :
−−→ x = R cos(θ)
OM (1.9)
y = R sin(θ)
Le vecteur vitesse est obtenu en dérivant le vecteur position par rapport au temps :
−−→
dOM
~v =
dt
x˙ = −R θ˙ sin(θ) = −R ω sin(θ)
y˙ = R θ˙ cos(θ) = R ω cos(θ)
Comme le mouvement est uniforme, la vitesse linéaire est constante ; d’après la relation
(1.8), la vitesse angulaire ω est également constante. L’accélération est obtenue en dérivant
la vitesse par rapport au temps :
d~v
~a =
dt
x¨ = −R ω θ˙ cos(θ) = −R ω 2 cos(θ)
y¨ = −R ω θ˙ sin(θ) = −R ω 2 sin(θ)
−−→
La comparaison avec l’expression (1.9) du vecteur position permet d’écrire : ~a = −ω 2 OM .
−−→
~ , il
En exprimant le vecteur position dans la base de Frenet (figure 1.7a), OM = −R N
vient :
~ = aN N
~.
~a = ω 2 R N
En utilisant la relation (1.8), nous pouvons également exprimer la coordonnée normale de
l’accélération en fonction de la vitesse linéaire :
aN = R ω 2 =
v2
R
La figure 1.7b montre les vecteurs vitesse et accélération dans le cas d’un mouvement
circulaire uniforme. Dans ce cas, l’accélération est orientée vers le centre du cercle ; on dit
qu’elle est centripète.
L’expression pour la coordonnée normale de l’accélération reste valable dans le cas d’un
mouvement circulaire non uniforme. Dans le cas général d’un mouvement circulaire, le
vecteur accélération est :
2
~ = dv T~ + v N
~
~a = aT T~ + aN N
dt
R
(1.10)
Cette expression reste même valable pour un mouvement plan quelconque. Le rayon R
désigne alors le rayon de courbure de la trajectoire et peut varier durant le mouvement.
Ce n’est que pour un mouvement circulaire que le rayon de courbure est constant.
12
Cinématique et Dynamique
(a) Base de Frenet
1BC - AL
(b) Vitesse et accélération
Figure 1.7 – Mouvement circulaire uniforme
Mouvement circulaire uniforme
Le mouvement circulaire est uniforme si la vitesse linéaire est constante ; il en suit que la
vitesse angulaire est également constante :
dθ
= ω = constante.
dt
En intégrant cette relation par rapport au temps on obtient l’abscisse angulaire en fonction
du temps :
Z
θ = ω dt = ω t + cte.
Si à l’instant t = 0 nous avons θ = θ0 , l’équation horaire du mouvement circulaire uniforme
s’écrit :
θ = ω t + θ0
Le mouvement circulaire uniforme est périodique de période T . La période est le temps
pour décrire un tour complet et s’exprime en seconde (s). Nous avons :
T =
2π R
périmètre du cercle
=
.
vitesse linéaire
v
La vitesse linéaire peut s’exprimer en fonction de la période :
v=
2π R
.
T
En utilisant la relation (1.8), la vitesse angulaire est :
ω=
2π
.
T
La fréquence N du mouvement circulaire uniforme est le nombre de tours effectués par
seconde. La distance parcourue par seconde étant la vitesse linéaire v, nous avons :
N=
vitesse linéaire
v
=
.
périmètre du cercle
2π R
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
13
Ainsi, la fréquence est l’inverse de la période :
N=
1
T
La fréquence est exprimée en hertz (Hz) : 1 Hz = 1 s−1 . Finalement :
ω=
2π
= 2π N
T
(1.11)
Comme la vitesse linéaire est constante, aT = 0 et l’accélération du mobile est centripète :
~ . D’après la relation fondamentale de la dynamique, la résultante des forces doit
~a = aN N
également être centripète ; on l’appelle force centripète notée F~c :
F~c =
X
~.
F~i = m ~a = m aN N
i
Il en suit :
Énoncé Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un
mobile en mouvement circulaire uniforme est dirigée vers le centre de la trajectoire :
2
X
i
v ~
~
= m ω2 R N
F~i = m N
R
Remarque : la force centripète est la résultante des forces appliquées au mobile, ce n’est
pas une nouvelle force qui doit être ajoutée au bilan des forces !
1.1.4
Exercices
Exercice 1.1 Un point mobile a comme coordonnées cartésiennes dans un repère
(O,~ı, ~ ) :
−−→ x = 2t − 2
OM y = 3t2
Calculer les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération de ce point mobile.
Exercice 1.2 La position d’un enfant sur un manège est repérée par rapport à un
référentiel terrestre, en coordonnées cartésiennes, dans le repère (O,~ı, ~ ) par :
−−→ x = a cos(ω t)
OM y = a sin(ω t)
où a et ω sont des constantes positives.
1. Déterminer, dans le même système de coordonnées cartésiennes, les coordonnées du
vecteur vitesse et du vecteur accélération de l’enfant.
14
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
−−→
2. Exprimer le vecteur accélération en fonction du vecteur position OM .
Exercice 1.3 Un CD tourne à raison de 8000 tours par minute ; son diamètre est 11,8 cm.
1. Calculer sa vitesse angulaire de rotation en rad/s.
2. Calculer la vitesse linéaire d’un point situé à la périphérie du disque.
3. Quelle est l’accélération de ce même point dans le repère de Frenet ?
Exercice 1.4 Avec quelle fréquence en Hz dois-tu tourner un seau rempli d’eau dans un
plan vertical pour que l’eau ne te tombe pas sur la tête ?
1BC - AL
1.2
Cinématique et Dynamique
15
Mouvement dans un champ de force constant
Considérons un point mobile M sur lequel agit, en tout point de l’espace, une force F~ .
On parle d’un champ de force agissant à distance. Si en tout point de l’espace le vecteur
force est le même, le champ de force est dit constant.
Nous allons établir les équations horaires du mouvement dans les deux cas suivants :
• mouvement d’une masse ponctuelle dans un champ de pesanteur uniforme ;
• mouvement d’une charge ponctuelle dans un champ électrique uniforme.
1.2.1
Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Le champ de pesanteur terrestre est caractérisé par le vecteur champ de pesanteur ~g dirigé
vers le centre de la terre.
Il n’est pas uniforme globalement mais peut être considéré comme tel dans une région
limitée de l’espace. Pour deux points situés à la même altitude et distants de 100 km, la
direction de ~g varie de moins de 1◦ et pour une différence d’altitude de 100 km, la norme
de ~g varie de 3 % environ.
À l’intérieur d’un cube de 100 km de côtés, le champ de pesanteur peut donc être considéré
comme uniforme.
Étude dynamique
Le mouvement du point mobile de masse m sera repéré par rapport au référentiel terrestre
supposé galiléen.
La seule force appliquée est le poids P~ = m ~g du point mobile. Nous négligeons ici le
frottement de l’air et la poussée d’Archimède.
Dans le référentiel terrestre, la relation fondamentale de la dynamique s’applique :
X
F~i = P~ = m ~a.
i
L’accélération d’un projectile ponctuel est donnée par :
~a =
m ~g
P~
=
= ~g .
m
m
Le vecteur accélération est indépendant de la masse du projectile et égal au vecteur champ
de pesanteur. C’est un vecteur constant.
Étude cinématique
Nous allons choisir le repère cartésien le plus adapté à l’étude du mouvement (figure 1.8) :
• l’axe Oz est est vertical et dirigé vers le haut ;
• la position M0 du mobile à l’instant t = 0 est sur l’axe Oz ;
16
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
Figure 1.8 – Conditions initiales
• le vecteur vitesse ~v0 du mobile à l’instant t = 0 est contenu dans le plan Oxz et fait
l’angle α avec l’axe Ox ;
• le plan Oxy est un plan horizontal.
Les coordonnées du vecteur accélération dans la base cartésienne sont :
dvx
ax =
=0
dt
dv
~a ay = y = 0
dt
dv
z
az =
= −g
dt
La vitesse est obtenue en intégrant l’accélération par rapport au temps :
~v
vx = cte
vy = cte0
vz = −g t + cte00
Les constantes d’intégration sont déterminées en considérant la vitesse initiale :
~v (t = 0)
= ~v0 v0x = v0 cos α = cte
v0y = 0 = cte0
v0z = v0 sin α = cte00
Le vecteur vitesse à l’instant t s’écrit donc :
dx
vx =
= v0 cos α
dt
dy
~v vy =
=0
dt
dz
vz =
= −g t + v0 sin α
dt
La position est obtenue en intégrant la vitesse par rapport au temps :
−−→
OM
x = v0 cos α t + cte
y = cte0
1
z = − g t2 + v0 sin α t + cte00
2
(1.12)
1BC - AL
17
Cinématique et Dynamique
Les constantes d’intégration sont déterminées en considérant la position initiale :
−−→
OM (t = 0) =
−−−→ OM0 0 = cte
0 = cte0
z0 = cte00
Nous obtenons finalement les équations paramétriques ou horaires du mouvement :
−−→
OM
x = v0 cos α t
y=0
(1.13)
1
z = − g t2 + v0 sin α t + z0
2
Remarques :
• le mouvement suivant l’axe Ox est uniforme ;
• il n’y a pas de mouvement suivant l’axe Oy ; le mouvement s’effectue donc dans le
plan Oxz ;
• le mouvement suivant l’axe Oz est uniformément varié ;
• Le mouvement est indépendant de la masse m du projectile et ne dépend que des
conditions initiales.
Équation de la trajectoire
L’équation de la trajectoire ou équation cartésienne est obtenue en éliminant le temps t
entre x(t) et z(t). L’expression (1.13) permet d’écrire :
x
1
=⇒ z = − g
t=
v0 cos α
2
Ç
x
v0 cos α
å2
+ v0 sin α
Ç
å
x
+ z0 .
v0 cos α
Finalement :
z=−
g
1
x2 + tan α x + z0
2 (v0 cos α)2
(1.14)
La trajectoire du mobile est une parabole d’axe vertical contenue dans le plan Oxz et dont
la concavité est orientée vers le bas.
La figure 1.9 montre les vecteurs vitesse et accélération en différents points de la trajectoire.
Calcul de la portée
La portée horizontale est la distance horizontale entre le point de lancement M0 du projectile et le point d’impact P (figure 1.10).
18
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
Figure 1.9 – Trajectoire du mobile dans le champ de pesanteur
Dans le plan vertical Oxz, les coordonnées cartésiennes de ces deux points sont :
M0 0
z0
;
P
xportée
zP
On applique l’équation de la trajectoire (1.14) au point P :
zP = −
1
g
xportée 2 + tan α xportée + z0 .
2
2 (v0 cos α)
Figure 1.10 – Portée horizontale d’un projectile
La portée horizontale est la seule solution acceptable de cette équation du second degré.
Calcul de la flèche
La flèche est l’altitude maximale atteinte par le projectile. On peut la déterminer par les
deux méthodes suivantes.
• Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale est nulle : vz = 0. La relation (1.12)
donne :
v0 sin α
vz = −g t + v0 sin α = 0 =⇒ tzmax =
.
g
On obtient la flèche en substituant tzmax dans l’équation horaire (1.13) de z :
zmax = z(tzmax ).
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
19
• Le sommet de la trajectoire est un maximum de l’équation de la trajectoire (1.14) ;
la dérivée de z par rapport à x s’annule en xzmax :
Ç
dz
dx
å
= 0.
xzmax
Cette équation permet de déterminer l’abscisse du sommet de la parabole. Il reste
à substituer xzmax dans l’équation de la trajectoire pour obtenir la flèche.
1.2.2
Mouvement dans un champ électrostatique uniforme
Le deuxième cas qui va nous intéresser est le mouvement d’une particule de charge q et
~ uniforme. Un tel champ règne par exemple
de masse m dans un champ électrostatique E
entre les armatures d’un condensateur plan.
Étude dynamique
Les forces exercées sur la particule chargée sont le poids et la force électrostatique. Nous
pouvons en général négliger les effets du poids devant ceux de la force électrostatique.
Exercice : comparer ces deux forces dans le cas d’un électron dans un champ électrique
d’intensité E = 106 V/m.
La résultante des forces extérieures se réduit à la force électrostatique :
~
F~ = q E.
L’accélération de la particule est donnée par : ~a =
~
F~
qE
=
.
m
m
Étude cinématique
Supposons qu’à l’instant t = 0 la particule pénètre dans le champ électrostatique uniforme
avec une vitesse ~v0 . Le vecteur champ est parallèle à l’axe Oz :
Fz = q Ez =⇒ az =
Fz
q Ez
=
.
m
m
Remarque : le signe de az dépend des signes de q et de Ez !
Les équations horaires du mouvement de la particule dans le champ électrostatique uniforme sont (voir relations 1.13) :
−−→
OM
x = v0 cos α t
y=0
z=
1 q Ez 2
t + v0 sin α t + z0
2 m
Exercice : établir ces équations en partant du vecteur accélération !
20
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
Équation de la trajectoire
L’équation de la trajectoire devient (voir relation 1.14) :
z=
1
q Ez
x2 + tan α x + z0
2 m (v0 cos α)2
Remarque : dans la plupart des situations la particule pénètre dans le champ à l’origine
du repère ; dans ces conditions z0 = 0.
La trajectoire est une parabole contenue dans le plan Oxz. L’orientation de la concavité
dépend du signe de q Ez . Il importe de remarquer que q et Ez sont des valeurs algébriques.
La figure 1.11 montre la trajectoire d’une charge négative dans le champ électrostatique
uniforme d’un condensateur plan avec Ez < 0.
Figure 1.11 – Trajectoire d’une charge négative dans un champ électrostatique
1BC - AL
1.3
Cinématique et Dynamique
21
Mouvement des planètes et des satellites
Pour étudier les mouvements des planètes et des satellites, un référentiel terrestre ne peut
plus être considéré comme galiléen et, par conséquent, les lois de la dynamique n’y sont
plus applicables.
Ces mouvements seront donc décrits :
• dans le référentiel héliocentrique (ou de Copernic) pour les planètes ;
• dans le référentiel géocentrique pour les satellites de la Terre.
1.3.1
Champ de gravitation
La force d’interaction gravitationnelle
Selon la loi de gravitation de Newton, deux corps A et B quasi ponctuels ou à symétrie
sphérique, de masses M et m et dont les centres OA et OB sont distants de r, exercent
l’un sur l’autre des forces attractives F~A/B et F~B/A de même direction OA OB , de même
valeur mais de sens opposés (figure 1.12) :
FA/B = FB/A = F = K
mM
r2
Figure 1.12 – Forces d’interaction gravitationnelle
La constante K est appelée constante de gravitation. Sa valeur dans le Système international d’unités est :
K = 6,67 · 10−11 N kg−2 m2 .
Une expression vectorielle de la force gravitationnelle s’obtient en définissant un vecteur
unitaire ~u, directeur de la droite OA OB et orienté de OA vers OB (figure 1.12). Ce vecteur
ne sert qu’à indiquer la direction et le sens de la force. Sa valeur est égale à 1. On a :
mM
F~A/B = −F~B/A = −K 2 ~u = −F ~u.
r
22
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
Définition du champ de gravitation
Lorsqu’une masse ponctuelle m subit les forces d’attraction d’un ensemble de masses,
chaque terme de la somme vectorielle qui représente la résultante F~ est proportionnelle à
m ; il en suit que la résultante est également proportionnelle à m.
La grandeur vectorielle F~ /m est donc indépendante de m et appelée vecteur champ de
gravitation.
Définition Il existe un champ de gravitation en un point de l’espace si une particule de
masse m, placée en ce point est soumise à une force d’interaction gravitationnelle F~ . Le
~ est défini par :
vecteur champ de gravitation G
~
~ = F
G
m
L’intensité du champ de gravitation s’exprime en N/kg.
Le champ de gravitation dépend de la position du point de l’espace considéré ainsi que
des positions et des valeurs des masses qui le créent.
Champ créé par une masse ponctuelle
Considérons une masse ponctuelle M située en un point O de l’espace. On place une masse
« d’essai » ponctuelle m en un point P à une une distance r = OP de la masse M . La loi
de Newton donne la force exercée sur la masse m :
mM
F~ = −K 2 ~u
r
où le vecteur unitaire ~u est dirigé de M vers m. Le champ de gravitation créé par la masse
M au point P est obtenu en divisant la force par m :
~
~ = F = −K M ~u
G
m
r2
(1.15)
Le vecteur champ de gravitation est dirigé vers la masse M (figure 1.13).
Figure 1.13 – Champ de gravitation créé par une masse ponctuelle
Une masse m placée à une distance r de M est alors soumise à la force gravitationnelle :
~
F~ = m G.
Comme la force est attractive, elle est dirigée vers la masse qui crée le champ.
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
23
Champ créé par un corps à symétrie sphérique
Considérons une planète (ou le Soleil, . . .) que nous représentons par une boule de masse
M , de rayon R et de centre O. Supposons qu’elle soit à symétrie sphérique, c’est-à-dire
que la matière est distribuée identiquement dans toutes les directions.
Figure 1.14 – Champ de gravitation créé par un corps à symétrie sphérique
Dans un tel cas on peut montrer que si le point P est extérieur à la distribution (fi~ créé en P est égal au champ qui serait créé par une
gure 1.14), le champ de gravitation G
masse ponctuelle M située en O :
~ = −K M ~u
G
r2
On exprime souvent l’intensité du champ de gravitation d’une planète en fonction de
l’altitude z du point P (figure 1.14). Avec r = R + z on obtient :
KM
(R + z)2
G=
(1.16)
Si le point P est situé à la surface de la planète, donc z = 0, l’intensité du champ
vaut :
KM
.
G0 =
R2
Cette relation donne K M = G0 R2 . Remplaçons K M dans l’expression (1.16) :
G=
G0 R2
.
(R + z)2
L’intensité G du champ de gravitation créé par une planète de rayon R à une altitude z,
en fonction de l’intensité G0 à la surface de la planète s’écrit finalement :
G = G0
Ç
R
R+z
å2
Exemple : la valeur du champ à la surface de la Terre est G0 = 9,834 N/kg.
Différence entre champ de pesanteur et champ de gravitation
Le champ de pesanteur ~g est défini par la relation P~ = m ~g dans le référentiel terrestre
~ par contre est défini par la relation F~ = m G
~
non-galiléen. Le champ de gravitation G
24
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
dans le référentiel géocentrique, qui est un référentiel galiléen (en tout cas « plus galiléen »
que le référentiel terrestre).
Considérons l’exemple d’une boule suspendue à un ressort en un point de l’équateur
terrestre (figure 1.15). Nous allons négliger l’influence de l’air.
Figure 1.15 – Boule suspendue à un ressort dans le champ terrestre
Dans le référentiel terrestre, la boule est en équilibre : T = P .
Dans le référentiel géocentrique, la boule effectue un mouvement circulaire uniforme. La
projection sur la direction normale donne : m aN = F − T ⇒ T < F .
Il en suit que P < F et donc g < G. La valeur du champ de pesanteur est inférieure à la
valeur du champ de gravitation.
Application numérique : avec G = 9,834 N/kg, aN = 0,034 m/s2 et g = G − aN on obtient
g = 9,8 N/kg.
1.3.2
Lois de Kepler
Tycho Brahé et ses assistants, parmi lesquels se trouvait Kepler, consignèrent de très
nombreuses valeurs de positions de planètes dans le ciel au cours du temps. Kepler établit,
à partir de ces observations très précises, trois lois qui régissent le mouvement des planètes.
À l’époque, ces lois étaient donc purement expérimentales.
Première loi de Kepler ou loi des orbites elliptiques (1609)
Énoncé Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des
foyers.
Une ellipse est une courbe bien précise. De même qu’un cercle est caractérisé par un
point, son centre et une distance, son rayon, une ellipse est caractérisée par deux points,
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
25
Figure 1.16 – Une ellipse et ses caractéristiques
ses foyers F et F 0 , et une distance a nommée demi-grand axe (figure 1.16). Un point M
de l’ellipse vérifie : F M + M F 0 = 2a.
Le cercle est un cas particulier d’ellipse dont les foyers sont confondus. Le demi-grand axe
est alors le rayon du cercle.
Seconde loi ou loi des aires (1609)
La seconde observation que fit Kepler fut que les planètes ne tournent pas avec une vitesse
constante autour du Soleil. Il observa qu’elles ont une vitesse plus grande lorsqu’elles sont
plus proches du Soleil.
Figure 1.17 – Les aires A et A0 des surfaces coloriées sont égales
−→
Précisément, cette vitesse varie de façon que l’aire balayée par le rayon vecteur SP pendant
un intervalle de temps déterminé (un mois, par exemple) reste constante quelle que soit
la position de la planète sur son orbite (figure 1.17).
−→
Énoncé Le rayon vecteur SP allant du Soleil à la planète balaye des surfaces égales
pendant des intervalles de temps égaux.
Dans le cas d’une trajectoire circulaire, le mouvement est donc uniforme.
26
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
Troisième loi de Kepler ou loi des périodes (1618)
La troisième loi de Kepler est de nature différente des deux précédentes : elle unifie le
mouvement de toutes les planètes en une loi universelle. Pour cette raison, on l’appelle
aussi loi harmonique.
Si on appelle T le temps mis par une planète pour faire complètement le tour de son orbite
(T définit alors la période de révolution de la planète autour du Soleil) et a la longueur
du demi-grand axe de l’ellipse (ou son rayon si la trajectoire est circulaire), on a alors la
relation suivante :
Énoncé Le carré de la période de révolution d’une planète autour du Soleil est proportionnel au cube de la demi-longueur de l’axe principal de son orbite.
Quelles que soient les deux planètes (1) et (2) choisies, ont peut écrire :
T2 2
T1 2
=
= constante.
a1 3
a2 3
Ce rapport ne dépend pas de la planète mais uniquement des caractéristiques du Soleil.
1.3.3
Étude dynamique
Nous allons appliquer les lois de la dynamique au mouvement d’une masse m dans un
champ de gravitation. Cette masse peut être par exemple un satellite dans le champ de
la Terre ou encore la Terre dans le champ du Soleil. Dans le premier cas le référentiel
que nous allons choisir est le référentiel géocentrique, dans le deuxième cas c’est celui de
Copernic (référentiel héliocentrique).
Figure 1.18 – Vecteurs unitaires et force de gravitation
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
27
~ (figure 1.18). La loi fondamentale de
La seule force est la force de gravitation F~ = m G
la dynamique permet d’obtenir l’accélération de la masse m :
X
~ = m ~a
F~i = F~ = m G
i
et en utilisant la relation (1.15) :
~ = −K M ~u
~a = G
r2
où M est la masse du corps qui crée le champ de gravitation. On remarque que l’accélération ne dépend pas de la masse m en mouvement.
La plupart des trajectoires des planètes du système solaire (à l’exception de Mercure) et
des satellites de la Terre sont des ellipses faiblement excentriques. Une telle trajectoire
peut être considérée, en première approximation, comme circulaire de rayon r.
Nous allons utiliser, dans le plan de la trajectoire, le repère de Frenet dont l’origine est le
centre d’inertie de la masse m (figure 1.18).
Dans le cas d’un mouvement circulaire, le vecteur unitaire ~u est parallèle au vecteur
~ de la base de Frenet et orienté dans le sens contraire de N
~ . Il en suit que
unitaire N
~
~u = −N et l’expression de l’accélération dans la base de Frenet est :
M ~
.
~a = 0 T~ + K 2 N
r
(1.17)
La relation (1.10) donne l’expression générale de l’accélération dans la base de Frenet en
fonction des grandeurs cinématiques :
~a =
dv ~ v 2 ~
T + N.
dt
r
En identifiant les deux expressions de l’accélération, relations (1.17) et (1.10), l’égalité
des coordonnées tangentielles donne :
dv
= 0 =⇒ v = constante
dt
(1.18)
alors que l’égalité des coordonnées normales permet d’écrire :
v2
M
M
= K 2 =⇒ v 2 = K .
r
r
r
(1.19)
On déduit de la relation (1.18) que le mouvement est uniforme. La relation (1.19) permet
d’obtenir l’expression pour la vitesse linéaire constante :
v=
K
M
.
r
En utilisant la relation (1.8) on obtient l’expression pour la vitesse angulaire :
v
ω= =
r
Remarques :
K
M
r3
28
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
• Les vitesses linéaire et angulaire sont indépendantes de la masse en mouvement.
• Quand le rayon de la trajectoire augmente, les vitesses linéaire et angulaire diminuent.
La relation (1.11) permet d’obtenir la période du mouvement circulaire uniforme :
2π
T =
= 2π
ω
s
3
r3
2π
=√
r2
KM
KM
(1.20)
On peut en déduire la 3e loi de Kepler dans le cas particulier du mouvement circulaire.
En effet :
T2
(2π)2
.
=
r3
KM
Ce rapport est le même pour toute planète du système solaire ou pour tout satellite de la
Terre.
1.3.4
Satellite géostationnaire
Définition
Un satellite est dit géostationnaire s’il reste en permanence à la verticale d’un point de la
surface terrestre. Il occupe une position fixe dans le référentiel terrestre.
Conditions de stationnarité
Quelles conditions doit vérifier un satellite pour être géostationnaire ?
• Lorsque la Terre tourne autour de l’axe des pôles, les satellites stationnaires tournent
également avec elle. La trajectoire d’un satellite qui serait stationnaire au-dessus
de Paris est circulaire dans un plan qui ne passe pas par le centre de la Terre
(figure 1.19). Cela est impossible. En effet, la trajectoire d’un satellite est dans un
plan passant par le centre de la Terre. Ce n’est donc le cas que si le satellite est
stationnaire au-dessus d’un point de l’équateur.
Figure 1.19 – Trajectoires de deux satellites « stationnaires »
Un satellite ne peut être géostationnaire que si le plan de son orbite est confondu
avec le plan de l’équateur. Tout satellite géostationnaire se trouve à la verticale d’un
point de l’équateur terrestre.
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
29
• Cette condition étant réalisée, la période de révolution du satellite doit être la même
que la période de rotation de la Terre autour de son axe polaire.
La période de révolution d’un satellite géostationnaire est égale à un jour sidéral. Sa
valeur, notée TS , est égale à : TS = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s.
Figure 1.20 – Mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique
Considérons le mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique (figure 1.20).
Pendant un jour solaire d’une durée de 24 h, la Terre tourne d’un angle d’environ
361◦ . La durée d’une rotation de 360◦ , appelée jour sidéral, est inférieure à 24 h.
• Pour rester à la verticale du même point :
Le sens de rotation du satellite autour de la Terre et celui de la Terre autour de
l’axe des pôles doivent être identiques.
Ces trois conditions étant réalisées, on peut désormais déterminer les caractéristiques
cinématiques d’un satellite géostationnaire.
Altitude et vitesse
Calculons l’altitude d’un satellite géostationnaire. En utilisant la relation (1.20), avec
r = RT + zS , on obtient une expression reliant période et altitude :
3
2π
TS = √
(RT + zS ) 2
K MT
d’où :
TS 2 K MT
(RT + zS ) =
(2π)2
3
et finalement :
Ã
zS =
3
TS 2 K MT
− RT .
(2π)2
L’altitude d’un satellite géostationnaire est indépendante de sa masse !
Avec RT = 6,4 · 106 m, MT = 5,98 · 1024 kg et TS = 86 164 s, l’altitude d’un satellite
géostationnaire vaut zS = 3,58 · 107 m = 35 800 km.
30
Cinématique et Dynamique
La vitesse linéaire en orbite géostationnaire est :
vS =
MT
K
=
r
s
K
MT
= 3,08 km/s.
RT + zS
1BC - AL
1BC - AL
1.4
Cinématique et Dynamique
31
Mouvement dans un champ magnétique
L’action d’un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement et le mouvement
qui en résulte est à la base de nombreuses applications : tube de télévision, spectrographe
de masse, cyclotron pour n’en citer que quelques unes.
Avant d’étudier ce mouvement, nous allons rappeler les propriétés de la force magnétique
subie par une particule chargée : la force de Lorentz.
1.4.1
Force de Lorentz
Définition La force magnétique subie par une particule de charge q et de vitesse ~v dans
~ s’écrit :
un champ magnétique B
~
f~ = q ~v × B
Cette force est appelée force de Lorentz.
L’intensité de f~ s’exprime en newtons (N) lorsque la charge est donnée en coulombs
(C), la vitesse en mètres par seconde (m/s) et l’intensité du champ magnétique en teslas
(T).
Les caractéristiques de la force de Lorentz sont :
~ et donc au plan défini par ~v et B
~;
• f~ est perpendiculaire à ~v et B,
• le sens de f~ est donné par la règle de la main droite : le pouce indique le sens de q ~v ,
~ le majeur donne alors le sens de la force f~ ;
l’index celui du champ magnétique B,
~
• l’intensité de f~ est f = |q sin α| v B, où α est l’angle formé par ~v et B.
Remarques :
• La force de Lorentz est nulle si la charge est au repos ou si son vecteur vitesse est
parallèle au vecteur champ.
• Un vecteur perpendiculaire au plan d’étude sera convenablement représenté par :
lorsque le vecteur est dirigé vers l’avant du plan ;
⊗ lorsque le vecteur est dirigé vers l’arrière du plan.
1.4.2
Mouvement dans un champ uniforme
Nous allons considérer une particule (ou un faisceau de particules) de charge q, de masse
~ uniforme.
m et de vitesse initiale ~v0 , évoluant dans un champ magnétique B
~ ou ~v0 k B.
~
Dans la suite nous allons nous limiter aux cas où ~v0 ⊥ B
32
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
Étude expérimentale
Nous rappelons ici les résultats d’une expérience réalisée en classe de 2e.
Expérience 1.1 Un faisceau d’électrons pénètre avec la vitesse initiale ~v0 dans une
~
ampoule contenant un gaz raréfié dans laquelle règne un champ magnétique uniforme B
créé par des bobines de Helmholtz.
Observations :
~ la trajectoire est circulaire. Le rayon de la trajectoire diminue quand
• si ~v0 ⊥ B,
~ augmente. Lorsque la vitesse des électrons croît, le rayon augmente.
l’intensité de B
~ le faisceau n’est pas dévié.
• si ~v0 k B,
Interprétation : la modification de la trajectoire du faisceau d’électrons est due à la présence de la force de Lorentz.
Étude dynamique
Nous allons déterminer les caractéristiques du mouvement de la particule chargée dans le
référentiel terrestre considéré comme galiléen.
Les forces appliquées à la particule chargée sont :
~ en un point de la trajectoire où la vitesse de la
• la force de Lorentz f~ = q ~v × B
particule est ~v ;
• le poids de la particule P~ = m ~g .
Exercice : comparer ces deux forces dans le cas d’un électron se déplaçant à la vitesse
v = 106 m/s dans un champ magnétique d’intensité B = 10−3 T.
Dans la suite nous allons négliger les effets du poids. Le principe fondamental de la
dynamique permet d’écrire :
X
~ = m ~a
F~i = f~ = q ~v × B
i
ce qui donne pour l’accélération de la particule :
~a =
~
q ~v × B
.
m
(1.21)
L’accélération est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs vitesse et champ magnétique.
Au cours du mouvement de la particule dans le champ magnétique, la force de Lorentz est
à tout instant perpendiculaire au vecteur vitesse. Elle est donc normale à la trajectoire et
ne travaille pas ! Le théorème de l’énergie cinétique permet alors de conclure que l’intensité
de la vitesse de la particule est constante :
∆EC = W (f~) = 0 =⇒ EC = cte =⇒ v = cte.
Le mouvement de la particule est uniforme.
1BC - AL
33
Cinématique et Dynamique
Étude cinématique
Nous venons de montrer que la valeur de la vitesse de la particule reste constante au cours
du mouvement :
v = v0 = constante
~ La figure 1.21 montre le repère orthonormé utilisé ;
Considérons d’abord le cas ~v0 ⊥ B.
son origine coïncide avec la position M0 de la particule M à l’instant t = 0.
Figure 1.21 – Orientation du repère orthonormé
L’accélération est à tout instant perpendiculaire au vecteur champ, donc :
ay =
dvy
= 0 =⇒ vy = constante.
dt
Comme v0y = 0 à l’instant t = 0, nous avons à tout instant :
vy =
dy
= 0 =⇒ y = constante.
dt
En considérant les conditions initiales, il vient y = 0. Le mouvement est décrit dans le
~ ; à tout instant, ~v est perpendiculaire à B.
~
plan y = 0 perpendiculaire à B
La relation (1.21) montre que le vecteur accélération est à tout instant perpendiculaire à
~ et est donc contenu dans le plan Oxz. Dans ce plan, nous allons exprimer le vecteur
B
accélération dans la base de Frenet.
La coordonnée tangentielle aT est nulle car le mouvement est uniforme :
aT =
dv
= 0.
dt
La coordonnée normale est positive et égale à la valeur de l’accélération :
aN =
f
|q| v B
=
.
m
m
En remplaçant v par v0 . le vecteur accélération s’écrit :
~a =
|q| v0 B ~
N.
m
(1.22)
Identifions les expressions (1.22) et (1.10) de la composante normale de l’accélération :
aN =
v2
v0 2
|q| v0 B
=
=
r
r
m
34
Cinématique et Dynamique
1BC - AL
où r est le rayon de courbure de la trajectoire. On a :
r=
m v0
|q| B
Comme les grandeurs m, v0 , |q| et B sont constantes, le rayon de courbure est constant.
Le mouvement de la particule chargée est donc circulaire.
Énoncé Lorsque la vitesse initiale ~v0 de la particule chargée est perpendiculaire au
~ la trajectoire est un cercle de rayon
champ magnétique B,
r=
m v0
|q| B
~
décrit à vitesse constante dans un plan perpendiculaire à B.
Le temps mis par la particule pour réaliser un tour complet est la période T du mouvement circulaire. On l’obtient en divisant le périmètre du cercle par la vitesse de la
particule :
2π m
2π r
=
.
T =
v0
|q| B
La période est indépendante de la vitesse de la particule et ne dépend que de sa nature
et de l’intensité du champ magnétique.
~ l’accélération à t = 0 est nulle. La vitesse ~v à l’instant t = δt
Dans le cas où ~v0 k B,
est :
~v − ~v0 ~
δ~v
=
= 0 =⇒ ~v = ~v0
~a =
δt
δt
où δt est un intervalle de temps très petit. Il n’y a donc pas de variation de vitesse, le
vecteur vitesse à l’instant t = δt est ~v0 et l’accélération reste nulle. On recommence le
raisonnement pour t = 2 δt, . . . Le vecteur vitesse étant un vecteur constant, le mouvement
est rectiligne et uniforme.
Énoncé Lorsque la vitesse initiale ~v0 de la particule chargée est parallèle au champ
~ le mouvement est rectiligne uniforme.
magnétique B,
1.4.3
Applications
Spectrographe de masse
Les physiciens et les chimistes utilisent quotidiennement une application importante de
la déviation des particules dans un champ magnétique : le spectrographe de masse (figure 1.22). Cet appareil permet de séparer des ions de masses différentes et donc d’analyser
la composition atomique et isotopique de la matière.
Les ions, de vitesse initiale quasi nulle, sont tout d’abord accélérés par une tension U
jusqu’à une vitesse ~v0 telle que : 21 m v0 2 = |q| U (théorème de l’énergie cinétique).
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
35
Figure 1.22 – Schéma d’un spectrographe de masse
~
Ils pénètrent ensuite dans une zone semi-circulaire où règne un champ magnétique B
uniforme perpendiculaire à ~v0 . Leur trajectoire constitue alors un arc de cercle de rayon
m v0
|q| B 2 R2
. On obtient m =
en remplaçant v0 en fonction de U , q, et
R tel que R =
|q| B
2U
m.
Les ions sont enfin recueillis sur un détecteur (plaque photographique, capteur électronique, . . .) où la position du point d’impact permet de mesurer le rayon R de la trajectoire.
|q|
:
On en déduit le rapport
m
2U
|q|
= 2 2
m
B R
Il est ainsi possible de mesurer la masse des ions incidents, mais aussi d’analyser des
mélanges, de séparer des isotopes, de déterminer des abondances isotopiques et de dater
des échantillons de matière.
Cyclotron
Le cyclotron est un accélérateur de particules chargées comme des protons (noyaux d’hydrogène) ou des deutérons (noyaux d’hydrogène lourd formés d’un proton et d’un neutron).
Ces particules sont accélérées à grande vitesse dans le vide et servent de projectiles que
l’on envoie sur des cibles de matière. Les collisions qui en résultent permettent d’étudier la
structure de la matière. Le premier cyclotron a été mis en service en 1932 ; son inventeur
est le physicien américain Ernest Orlando Lawrence (1901–1958) qui reçut le prix Nobel
en 1938.
Un cyclotron est constitué de deux parties creuses demi-cylindriques (figure 1.23a) dont
la forme rappelle celle de la lettre D ; en raison de cette forme particulière, on les appelle
« dés ».
~ perpendiculaire. On établit un champ
Les dés sont placés dans un champ magnétique B
électrique entre les dés en leur appliquant une différence de potentiel de l’ordre de 10 kV.
La source S de particules à accélérer est placée près du centre de l’appareil.
36
Cinématique et Dynamique
(a) Schéma d’ensemble
1BC - AL
(b) Émission des particules
Figure 1.23 – Cyclotron
• Les particules de charge q et de masse m sont émises à la vitesse ~v1 par la source.
Sous l’effet du champ magnétique, elles parcourent un demi-cercle de rayon r1 , dans
le premier dé :
m v1
r1 =
.
|q| B
• Elles sont ensuite accélérées par le champ électrique (figure 1.23b) et pénètrent dans
le second dé à la vitesse ~v2 .
• Leur trajectoire dans le second dé est un demi-cercle de rayon r2 :
r2 =
m v2
.
|q| B
Comme v2 > v1 , le rayon dans le second dé est plus grand : r2 > r1 .
(a) Inversion du champ
(b) Sortie des particules
Figure 1.24 – Trajectoire des particules
• Lorsque les particules pénètrent pour la seconde fois dans l’espace entre les dés, il
faut, pour qu’elles soient à nouveau accélérées, changer le sens du champ électrique
(figure 1.24a). Comme la période de rotation des particules est indépendante de leur
vitesse, on inverse le champ électrique en appliquant aux dés une tension alternative
qui varie suivant la même période.
• Le processus se répète jusqu’à ce que le rayon de la trajectoire des particules soit
maximal, c’est-à-dire égal au rayon R des dés (figure 1.24b). La vitesse maximale
1BC - AL
Cinématique et Dynamique
des particules à la sortie de l’appareil vaut :
vmax =
|q| B R
.
m
37
Chapitre 2
Oscillateurs
2.1
2.1.1
Systèmes oscillants
Exemples d’oscillateurs
Les systèmes oscillants sont d’une variété impressionnante et rares sont les domaines de
la physique dans lesquels ils ne jouent pas un rôle important. En voici quelques exemples :
la corde vocale, le cœur humain, la balançoire, le circuit électrique oscillant, les électrons
dans les atomes, les cordes en physique des particules . . .
Nous allons étudier les oscillations de quelques systèmes oscillants simples, mécaniques
et électriques. La figure 2.1 montre quelques oscillateurs mécaniques.
Figure 2.1 – Oscillateurs mécaniques
2.1.2
Mise en évidence expérimentale
Expérience 2.1 Sur un banc à coussin d’air, un chariot est accroché à deux ressorts
identiques (figure 2.2). Les autres extrémités des ressorts sont fixes et distantes d’une
longueur suffisante pour que les ressorts soient toujours tendus.
1BC - AL
39
Oscillateurs
Un potentiomètre à eau traduit la position du chariot en une tension qui est ensuite visualisée à l’aide d’un oscilloscope. La tension est mesurée entre le pôle négatif du générateur
et la pointe de contact fixée au chariot.
La variation de la tension est proportionnelle à la position du chariot mesurée par rapport
à sa position d’équilibre. Nous pouvons ainsi observer à l’oscilloscope une représentation
à l’échelle de la position du chariot en fonction du temps.
Figure 2.2 – Schéma du dispositif expérimental
Observations :
Si les amortissements sont négligeables, on obtient une sinusoïde (figure 2.3a). En
diminuant la puissance de la soufflerie, l’épaisseur du coussin d’air est réduit ce qui
fait augmenter la force de frottement ; on obtient des oscillations amorties (figure
2.3b).
(a) Sinusoïde
(b) Oscillations amorties
Figure 2.3 – Variations de la position au cours du temps
2.1.3
Définitions d’oscillateurs
Dans l’expérience précédente, le chariot effectue des déplacements périodiques (pseudopériodiques dans le cas des oscillations amorties) de part et d’autre de sa position d’équilibre.
Définition Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d’une grandeur physique de part et d’autre d’un état d’équilibre. Si les variation se reproduisent
identiques à elles-mêmes, l’oscillateur est dit périodique.
40
Oscillateurs
1BC - AL
Un oscillateur mécanique effectue un mouvement d’aller-retour de part et d’autre de sa
position d’équilibre. En électricité, un circuit dans lequel circule un courant alternatif est
un oscillateur électrique.
Un oscillateur est harmonique si la variation de la grandeur physique est une fonction
sinusoïdale du temps.
Exemples : pendule élastique, pendule pesant, . . .
Un oscillateur libre effectue des oscillations correspondant à ses propres caractéristiques.
Un oscillateur est forcé s’il est soumis à un autre système oscillant qui essaie de lui imposer
ses oscillations.
Exemple : un ressort vertical effectue des oscillations libres quand il est tenu par une
main immobile ; quand la main effectue un mouvement oscillant vertical on obtient des
oscillations forcées.
Un oscillateur amorti effectue des oscillations dont l’amplitude diminue avec le temps.
Pratiquement tous les oscillateurs observés sont plus ou moins amortis à cause des frottements. Un oscillateur est entretenu si l’amplitude reste constante grâce à un apport
extérieur d’énergie.
Exemple : le pendule d’une montre.
2.1.4
Grandeurs caractéristiques des oscillateurs
Période et fréquence
Certaines grandeurs sont communes à tous les phénomènes périodiques, comme la période
et la fréquence. Ces grandeurs ont été introduites dans l’étude du mouvement circulaire
uniforme, qui est un exemple de mouvement périodique.
Dans le cas des oscillations, la période T est la durée d’une oscillation. C’est la plus courte
durée après laquelle le phénomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même. L’unité
de la période est la seconde (s).
La fréquence f est le nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde.
L’unité de la fréquence est le hertz (Hz).
La période et la fréquence sont reliées par : f =
1
.
T
Équation horaire
Considérons les oscillations d’un oscillateur harmonique. La variation d’une grandeur x
du système est sinusoïdale. Cette grandeur est par exemple :
• la mesure algébrique de l’écart par rapport à la position d’équilibre, appelée élongation, du chariot sur le banc à coussin d’air de l’expérience précédente ;
• l’intensité du courant électrique dans le cas d’un oscillateur électrique.
1BC - AL
41
Oscillateurs
La forme la plus générale de l’équation horaire d’un oscillateur harmonique est :
x(t) = xm sin(ω t + ϕ)
(2.1)
où les constantes xm , ω et ϕ sont les paramètres de l’oscillation qui dépendent du système
considéré. Les constantes xm et ω sont choisies positives. L’argument du sinus, ω t + ϕ,
est la phase de l’oscillation à l’instant t.
Remarque : on peut également remplacer le sinus par un cosinus !
La grandeur x prend des valeurs entre −xm et +xm ; la constante xm est la valeur maximale
de x, appelée amplitude. L’unité de l’amplitude est égale à celle de x.
La valeur de x à l’instant t = 0 est donnée par :
x(t = 0) = xm sin(ϕ).
La constante ϕ, appelée phase initiale, tient compte de la valeur initiale de la grandeur x
et du sens initial de sa variation.
Il reste à déterminer la constante ω. Elle s’exprime en fonction de la période T de sorte que
la condition de périodicité pour la grandeur x soit vérifiée. Lorsque le temps t augmente
d’une période T :
x(t + T ) = xm sin(ω t + ϕ + ω T )
l’argument du sinus augmente de 2π de sorte que :
xm sin(ω t + ϕ + ω T ) = xm sin(ω t + ϕ + 2π) = x(t).
Pour que cette condition soit vérifiée à tout instant, ω doit vérifier la relation :
ω T = 2π =⇒ ω =
2π
.
T
La constante ω et est appelée pulsation :
ω=
2π
= 2π f
T
(2.2)
L’unité de la pulsation est le hertz (Hz).
Remarque : tandis que l’amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditions
initiales, la pulsation dépend uniquement des caractéristiques de l’oscillateur.
2.2
Oscillateurs mécaniques
Comme exemple type d’un oscillateur mécanique, nous allons étudier en détail les oscillations d’un pendule élastique horizontal (figure 2.4).
Ce système oscillant simple est composé d’un solide de masse m accroché à un ressort
à spires non jointives de raideur k. Le solide peut se déplacer sans frottements sur un
support horizontal.
42
Oscillateurs
1BC - AL
Figure 2.4 – Pendule élastique horizontal
2.2.1
Rappels sur le ressort
La figure 2.5 montre un ressort de raideur k sur lequel un opérateur exerce une force F~ à
l’extrémité M du ressort.
La position du point M est repérée par l’abscisse x. La position x = 0 correspond à un
ressort non tendu. La variation de la longueur du ressort est alors égale à x ; l’allongement
correspond à des valeurs positives de x, la compression à des valeurs négatives.
Figure 2.5 – Ressort soumis à une force F~
Au point M le ressort exerce la tension T~ , avec T~ = −F~ . La force F~ vérifie donc la loi de
Hooke ; sa seule composante est :
Fx = k x.
Cette composante est positive dans le cas d’un allongement et négative dans le cas d’une
compression.
L’énergie potentielle élastique Ep d’un ressort tendu est égale au travail W effectué par
la force F~ pour allonger (ou comprimer) le ressort d’une longueur x. Comme la force
varie au cours du déplacement du point d’application M , il faut diviser le déplacement
en déplacements élémentaires dx et calculer le travail élémentaire :
δW = Fx dx = k x dx.
Ce travail élémentaire est égal à la variation de l’énergie potentielle élastique :
dEp = k x dx ⇒
dEp
= k x.
dx
L’énergie élastique est donc une primitive par rapport à x de k x. Nous avons :
Ep = 12 k x2 + constante.
La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie élastique d’un ressort non
tendu, c’est-à-dire quand x = 0, soit nulle. Un ressort de raideur k étiré ou comprimé de
x possède donc l’énergie :
Ep = 12 k x2
(2.3)
1BC - AL
2.2.2
Oscillateurs
43
Équation différentielle du mouvement
Nous allons maintenant établir l’équation différentielle qui régit le mouvement de l’oscillateur élastique horizontal. Nous allons d’abord nous servir de la relation fondamentale de
la dynamique et puis aboutir au même résultat par des considérations énergétiques.
Pour simplifier la première approche, nous allons négliger toute force de frottement.
Relation fondamentale de la dynamique
La position du solide de masse m est repérée par l’abscisse x de son centre d’inertie. On
écarte le solide de sa position d’équilibre O et on le lâche ; il effectue ensuite des oscillations
~ du
autour de O. Les forces qui s’appliquent au solide sont son poids P~ , la réaction R
~
support horizontal et la tension T du ressort de raideur k (figure 2.6).
Figure 2.6 – Bilan des forces du pendule élastique horizontal
Appliquons le principe fondamental de la dynamique au solide de masse m :
m ~a =
X
~ + T~ .
F~i = P~ + R
i
Considérons la projection de cette équation vectorielle dans la direction du mouvement :
m ax = Px + Rx + Tx .
Comme le mouvement est horizontal, le poids est perpendiculaire à la direction du mouvement : Px = 0.
La réaction étant perpendiculaire au support, sa projection dans la direction du mouvement est nulle : Rx = 0.
L’abscisse x appelée élongation est la valeur algébrique de l’écart par rapport à la position
d’équilibre O. La coordonnée Tx de la tension du ressort vérifie la loi de Hooke et est de
signe opposé à celui de l’élongation :
Tx = −k x.
L’équation se réduit à :
m ax = −k x.
Avec ax = v˙ x = x¨ et en divisant par m, on obtient l’équation différentielle du mouvement :
k
x¨ = − x
m
La solution de cette équation différentielle est l’équation horaire x(t).
44
1BC - AL
Oscillateurs
Conservation de l’énergie
On peut établir l’équation différentielle du mouvement au moyen de considérations énergétiques en remarquant que l’énergie mécanique du système est conservée en absence de
frottements. L’énergie mécanique E est la somme de l’énergie cinétique Ec du solide et
de l’énergie potentielle élastique Ep du ressort (relation 2.3) :
E = Ec + Ep = 12 m vx 2 + 21 k x2 .
La conservation de l’énergie mécanique se traduit par :
d
dE
E = constante =⇒
=
dt
d’où :
1
2
Avec
m 2 vx
Ä
1
2
m vx 2 + 12 k x2
=0
dt
ä
dvx 1
dx
+ 2 k2x
= 0.
dt
dt
dvx
dx
= ax = x¨ et
= vx l’expression devient :
dt
dt
m vx x¨ + k x vx = 0.
En divisant par m vx et en réarrangeant les termes on obtient :
x¨ = −
k
x.
m
On a ainsi retrouvé l’équation différentielle du mouvement.
2.2.3
Solution de l’équation différentielle
Solution sinusoïdale
Une solution de l’équation différentielle est une fonction du temps ; c’est l’équation horaire
x(t) de l’oscillateur.
L’expérience 2.1 a montré que l’équation horaire du pendule élastique horizontal est une
sinusoïde de la forme (relation 2.1) :
x(t) = xm sin(ω0 t + ϕ).
Vérifions qu’une expression sinusoïdale est effectivement solution de l’équation différentielle du mouvement. En dérivant une première fois par rapport à t :
x˙ = xm ω0 cos(ω0 t + ϕ)
(2.4)
x¨ = −xm ω0 2 sin(ω0 t + ϕ) = −ω0 2 xm sin(ω0 t + ϕ) = −ω0 2 x
(2.5)
et une deuxième fois :
on constate que l’équation différentielle du mouvement est vérifiée par l’expression sinusoïdale sous condition que :
k
ω0 2 = .
m
1BC - AL
Oscillateurs
45
Exercice 2.1 Montrer que x(t) = xm cos(ω0 t + ϕ) est également solution de l’équation
différentielle du mouvement.
Après avoir lâché le solide, le pendule effectue des oscillations sans aucune influence de
l’extérieur ; c’est donc un oscillateur libre. Pour cette raison la constante ω0 est appelée
pulsation propre de l’oscillateur.
La pulsation propre est déterminée par les grandeurs caractéristiques de l’oscillateur, dans
notre cas la raideur du ressort et la masse du solide. L’amplitude xm et la phase initiale
ϕ sont déterminées par les conditions initiales.
Période propre
L’équation (2.2) relie la pulsation à la période des oscillations. La pulsation propre du
pendule élastique est :
ω0 =
k
m
ce qui donne pour la période propre du pendule élastique :
2π
T0 =
= 2π
ω0
m
k
Vitesse et accélération instantanées
En utilisant les relations (2.4) et (2.5) on obtient la vitesse :
vx = x˙ = xm ω0 cos(ω0 t + ϕ)
et l’accélération du solide :
ax = x¨ = −xm ω0 2 sin(ω0 t + ϕ) = −ω0 2 x.
Les facteurs qui multiplient les fonctions trigonométriques sont les valeurs maximales de
la vitesse :
vmax = xm ω0
et de l’accélération :
amax = xm ω0 2 .
L’accélération est toujours de signe opposé à celui de x. Le vecteur accélération est toujours
dirigé vers la position d’équilibre.
Quand l’oscillateur s’écarte de sa position d’équilibre, les vecteurs ~v et ~a sont opposés : le
mouvement est freiné. Lorsqu’il se rapproche de la position d’équilibre, les deux vecteurs
ont même sens : le mouvement est accéléré.
Exemple : voir figure 2.7.
46
1BC - AL
Oscillateurs
Conditions initiales
Quelle est la valeur qu’il faudra donner à la constante ϕ pour tenir compte de l’état
initial du mouvement de l’oscillateur à l’instant t = 0 ? À cet instant, la position est
x0 = xm sin(ϕ) et la vitesse vx0 = vmax cos(ϕ). Nous allons considérer uniquement les cas
particuliers suivants :
• x0 = ± xm et vx0 = 0.
Le solide est écarté de sa position d’équilibre de l’amplitude xm et puis lâché sans
vitesse initiale. La phase initiale est ϕ = π/2 si l’élongation initiale est positive et
ϕ = −π/2 si elle est négative.
• x0 = 0 et vx0 = ± vmax .
Le solide est lancé depuis sa position d’équilibre avec la vitesse vmax . La phase initiale
est ϕ = 0 si cette vitesse est positive et ϕ = π si elle est négative. L’amplitude est
alors donnée par xm = vmax /ω0 .
Exercice 2.2 Reprendre cette discussion avec x(t) = xm cos(ω0 t + ϕ).
Représentation graphique
Considérons le cas où la phase initiale est ϕ = π/2. Le solide est lâché sans vitesse initiale
depuis la position x0 = xm . La position à l’instant t est donnée par :
x = xm sin(ω0 t + π/2) = xm cos(ω0 t).
L’expression pour la vitesse devient :
vx = vmax cos(ω0 t + π/2) = −vmax sin(ω0 t).
L’accélération s’exprime en fonction de la position :
ax = −ω0 2 x = −xm ω0 2 cos(ω0 t).
Le tableau 2.1 reprend les valeurs des grandeurs cinématiques à des instants particuliers.
t
ω0 t = (2π/T0 ) t
sin(ω0 t)
cos(ω0 t)
x
vx
ax
0
0
0
1
xm
0
−xm ω0 2
T0 /4
π/2
1
0
0
−xm ω0
0
T0 /2
π
0
-1
−xm
0
xm ω0 2
3 T0 /4
3π/2
-1
0
0
xm ω0
0
T0
2π
0
1
xm
0
−xm ω0 2
Table 2.1 – Grandeurs cinématiques à des instants particuliers
La figure 2.7 montre la représentation graphique de x(t), vx (t) et ax (t).
1BC - AL
47
Oscillateurs
Figure 2.7 – Représentation graphique de x(t), vx (t) et ax (t)
2.2.4
Oscillations amorties
L’expérience avec le pendule élastique a montré qu’une augmentation progressive de la
force de frottement provoque une diminution de l’amplitude à chaque aller retour (figure
2.8a). Les oscillations du pendule sont amorties et le mouvement n’est pas périodique
au sens strict. On le qualifie de pseudo-périodique et on appelle pseudo-période la durée
d’une oscillation. Dans le cas d’un faible amortissement, la pseudo-période est légèrement
supérieure à la période propre du pendule. La valeur de la pseudo-période, donc le temps
pour un aller-retour, ne change pas durant le mouvement.
(a) pseudo-périodique
(b) apériodique
Figure 2.8 – Régimes oscillatoires en cas de frottements
Lorsque l’intensité de la force de frottement dépasse une valeur critique, il n’y a plus
d’oscillations. Écarté de sa position d’équilibre, le pendule y revient lentement sans osciller
(figure 2.8b). On qualifie alors le mouvement d’apériodique.
Exemples : les aiguilles d’instruments à cadre mobile et les amortisseurs d’automobile
effectuent des mouvements apériodiques.
2.2.5
Le phénomène de résonance
Étude expérimentale
Expérience 2.2 On utilise le dispositif solide-ressort de l’expérience 2.1 auquel on adjoint un moteur électrique dont la fréquence de rotation est variable et dont l’axe de
48
Oscillateurs
1BC - AL
rotation supporte un excentrique (figure 2.9). Un des deux ressorts a maintenant une extrémité fixée à l’excentrique, son autre extrémité est reliée au solide. Des potentiomètres
à eau traduisent les positions du chariot et de l’extrémité du ressort fixée à l’excentrique
en deux tensions qui sont ensuite visualisées à l’aide d’un oscilloscope. Les variations
des tensions sont proportionnelles aux élongations respectivement de l’excentrique et du
solide.
Figure 2.9 – Schéma du dispositif expérimental
La soufflerie étant à pleine puissance, on met en marche le moteur avec une fréquence
de rotation très petite. On observe qu’après quelques instants le mouvement du mobile
devient régulier. Le mouvement observé est alors d’allure sinusoïdale.
Nous allons faire varier la fréquence f de rotation du moteur de part et d’autre de la
fréquence propre f0 de l’oscillateur et étudier l’évolution de l’amplitude des oscillations
du solide.
Description du mouvement
Les figures 2.10a à 2.10d montrent les oscillogrammes du pendule élastique horizontal. Les
échelles de temps et d’allongement du ressort sont les mêmes sur toutes les figures.
Observations :
• En régime établi, le pendule élastique oscille avec la même fréquence que celle de
rotation du moteur.
• L’amplitude des oscillations est maximale si la fréquence du moteur est sensiblement
égale à la fréquence propre du pendule élastique (figure 2.10c).
Les oscillations du système solide-ressort sont dites forcées par le mouvement du point
d’accrochage du ressort à l’excentrique, lui-même lié au moteur.
Lorsqu’un oscillateur est en oscillations forcées, sa fréquence est imposée par un dispositif
extérieur, appelé l’excitateur.
Énoncé Pour une fréquence d’excitation égale à la fréquence propre de l’oscillateur,
l’amplitude des oscillations est maximale ; c’est le phénomène de résonance.
1BC - AL
49
Oscillateurs
(a) Oscillations libres, f0
(b) Oscillations forcées, f < f0
(c) Résonance, f = f0
(d) Oscillations forcées, f > f0
Figure 2.10 – Oscillogrammes du pendule élastique horizontal
C’est pourquoi un oscillateur en oscillations forcées est aussi appelé résonateur.
Influence de l’amortissement
On recommence l’expérience en excitant le résonateur au voisinage de sa fréquence propre,
puis on règle la puissance de la soufflerie à des valeurs de plus en plus faibles. On constate
alors que l’amplitude du mouvement diminue lorsque la puissance de la soufflerie diminue,
c’est-à-dire lorsque l’amortissement augmente.
Énoncé L’amplitude du mouvement diminue d’autant plus à la résonance que l’amortissement est important.
Courbe de résonance
En représentant l’amplitude xm des oscillations en fonction de la fréquence f , on obtient la
courbe de résonance. La figure 2.11 montre deux courbes pour des frottements d’intensités
50
Oscillateurs
1BC - AL
différentes.
Figure 2.11 – Courbe de résonance amplitude en fonction de la fréquence
Les courbes présentent des maxima de valeurs respectivement xm1 et xm2 . Ces maxima
d’amplitude sont obtenus pour une fréquence de résonance fr égale la fréquence propre f0
du système oscillant :
1
1
k
fr = f0 =
=
.
T0
2π m
Suivant l’intensité des frottements, la résonance peut être :
• aiguë (courbe pointue avec un maximum xm1 ) lorsque l’amortissement est faible ;
• floue (courbe aplatie avec un maximum xm2 ) lorsque l’amortissement est plus important.
L’amplitude des oscillations diminue d’autant plus à la résonance que les frottements sont
importants.
Exemples de résonances mécaniques
Le phénomène de résonance peut être utile ou destructif, comme le montrent les exemples
suivants :
• La suspension d’une automobile peut être modélisée par un ressort vertical fixé entre
le châssis et l’axe, ce qui constitue un oscillateur. Il arrivait, sur les modèles anciens,
que pour certaines vitesses et certaines irrégularités dans la chaussée, l’oscillateur
entre en résonance. Cela se traduisait par une forte augmentation de l’amplitude
verticale du mouvement de la caisse et pouvait présenter des dangers : les roues décollaient de la route et perdaient toute adhérence. Afin de limiter cet effet, on ajoute
des amortisseurs, généralement à huile, qui permettent de diminuer l’amplitude du
mouvement en cas de résonance.
• Le pont de Tacoma aux États-Unis s’effondra en 1940 après être entré en résonance sous l’action de bourrasques de vent périodiques jouant le rôle d’excitateur.
De même, en 1850, le tablier d’un pont suspendu sur la Maine à Angers se rompit
1BC - AL
Oscillateurs
51
au passage d’une troupe marchant au pas cadencé. Le tablier du pont et ses cibles
de suspension, présentant une certaine élasticité, constituaient un oscillateur mécanique. L’excitation provoquée par les pas cadencés de la troupe l’avait fait entrer
en résonance, provoquant sa rupture. Les tabliers des ponts actuels sont tous arrimés au sol par l’intermédiaire de vérins amortisseurs qui permettent de limiter le
phénomène de résonance.
• La caisse de résonance d’un violon permet de renforcer les notes produites par
la vibration des cordes. L’âme est la pièce qui lie les cordes et la caisse de résonance. Elle doit être placée sous le chevalet. La caisse de résonance et la masse
d’air qu’elle contient constituent un oscillateur mécanique. Ce dernier possède des
périodes propres de vibration qui dépendent de la forme de la caisse. Les cordes du
violon jouent le rôle de l’excitateur, la caisse de résonance celui du résonateur.
52
Oscillateurs
2.3
2.3.1
1BC - AL
Oscillateurs électriques
Loi d’Ohm pour une bobine
Description d’une bobine
On obtient un solénoïde ou bobine en bobinant un fil conducteur électrique sur un support isolant. Le fil doit toujours être enroulé dans le même sens autour de l’axe du support.
La bobine crée un champ magnétique notable lorsqu’elle est parcourue par un courant
électrique.
L’étude du phénomène de l’induction magnétique en classe de 2e a montré qu’une bobine
ne se réduit pas, d’un point de vue électrique, à la résistance du fil qui la constitue. Elle
s’oppose aussi aux variations du courant.
Comportement d’une bobine
Lorsqu’une bobine est parcourue par un courant électrique i variable, une tension uB
apparaît à ses bornes. Quand le courant varie rapidement, cette tension est proportionnelle
au taux de variation du courant électrique :
uB ∼
di
.
dt
En introduisant un coefficient de proportionnalité en en adoptant la convention récepteur
pour la définition de la tension uB , il vient :
uB = L
di
dt
où L est appelée inductance de la bobine ; elle s’exprime en henrys (H).
Remarques :
• L’intensité i du courant peut être positive ou négative. On définit un sens positif du
courant qui est représenté par une flèche. Lorsque i > 0, le courant circule dans le
sens indiqué par la flèche ; lorsque i < 0, le courant circule dans le sens opposé.
• En convention récepteur, la flèche représentant la tension est en sens inverse de celle
choisie pour le sens positif du courant.
Les oscillogrammes de la figure 2.12 représentent la tension aux bornes de la bobine (voie
1) pour différents courants variables (voie 2).
Modélisation du comportement d’une bobine
Pour une variation quelconque de l’intensité au cours du temps, la tension est la somme
de deux termes liés respectivement à la résistance et à l’inductance de la bobine.
1BC - AL
53
Oscillateurs
(a) Courant en dents de scie
(b) Courant sinusoïdal
(c) Courant rectangulaire
Figure 2.12 – Tension aux bornes de la bobine pour différents courants
En adoptant la convention récepteur, la tension uB et l’intensité i du courant sont reliées
par :
uB = r i + L
di
dt
(2.6)
Cette relation, appelée loi d’Ohm pour une bobine, est l’équivalent pour une bobine de la
relation uR = R i pour une résistance R. Elle relie, dans toutes les situations, la tension
aux bornes de la bobine et l’intensité du courant qui la traverse.
Remarque : lorsque la fréquence est largement supérieure à une certaine fréquence limite,
l’amplitude du 1er terme devient négligeable devant celle du 2e terme.
Le symbole d’une bobine représente les deux paramètres caractéristiques de la bobine :
sa résistance et son inductance (figure 2.13).
54
Oscillateurs
1BC - AL
Figure 2.13 – Symbole de la bobine
2.3.2
Énergie magnétique d’une bobine
Mise en évidence expérimentale
Expérience 2.3 Un générateur de tension continue alimente une bobine à noyau de fer
par l’intermédiaire de l’interrupteur S. La diode D permet le passage du courant dans le
moteur dans un seul sens (figure 2.14).
L’axe du moteur M peut entraîner un tambour sur lequel est fixé un fil. À l’extrémité de
ce fil, un petit objet est attaché.
L’interrupteur S est ouvert depuis une assez longue durée, le moteur est au repos. On
ferme S, un courant s’établit dans la bobine. Le moteur ne tourne pas, la diode empêchant
le courant de le traverser.
Après quelques instants, on ouvre S. Le moteur se met en rotation entraînant vers le haut
l’objet attaché au bout du fil.
Figure 2.14 – Mise en évidence de l’énergie magnétique
Interprétation :
Lorsque le moteur se met à tourner, il n’est plus connecté au générateur qui ne peut donc
pas lui fournir de l’énergie. Le courant ne traverse que le moteur, la diode et la bobine
dans le sens permis par la diode. Seule la bobine peut donc fournir de l’énergie au moteur.
L’énergie restituée pendant cette phase de l’expérience a été stockée dans la bobine lors
de l’établissement du courant, à la fermeture de l’interrupteur S.
Expression de l’énergie magnétique
La bobine possède de l’énergie magnétique EL lorsqu’elle est parcourue par un courant
électrique. Cette énergie est égale au travail électrique W que doit effectuer le générateur
lors de l’établissement de ce courant.
1BC - AL
Oscillateurs
55
Figure 2.15 – Bobine traversée par un courant
La puissance électrique P fournie par le générateur pour faire circuler un courant d’intensité i de A vers B (figure 2.15) à travers la bobine est :
P = uAB i.
Avec la loi d’Ohm pour une bobine :
uAB = r i + L
di
dt
P = r i2 + L i
di
.
dt
la puissance s’écrit :
Le 1er terme correspond à la puissance dissipée par effet Joule et ne contribue pas à
l’énergie magnétique de la bobine. Le 2e terme est égal au taux de variation de l’énergie
magnétique :
di
dEL
= Li .
dt
dt
di
L’énergie magnétique est donc une primitive par rapport au temps de l’expression L i .
dt
Nous avons :
EL = 12 L i2 + constante.
La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie d’une bobine qui n’est pas
parcourue par un courant, c’est-à-dire lorsque i = 0, soit nulle.
L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine d’inductance L parcourue par un
courant d’intensité i est :
EL = 12 L i2
2.3.3
Rappel sur le condensateur
Les armatures d’un condensateur portent des charges opposées. La tension uAB entre les
armatures A et B est reliée à la charge q de l’armature A par :
uAB =
q
C
(2.7)
où C est la capacité du condensateur.
La variation de la charge du condensateur est due à un courant électrique d’intensité i.
Avec les conventions de la figure 2.16 nous avons :
i=
dq
.
dt
(2.8)
56
Oscillateurs
1BC - AL
Figure 2.16 – Conventions pour le condensateur
L’énergie potentielle électrique EC d’un condensateur chargé est égale au travail électrique
effectué pour charger le condensateur.
La puissance électrique fournie au condensateur est :
P = uAB i.
Elle est égale au taux de variation de l’énergie électrique. En utilisant les relations (2.7)
et (2.8) on a :
dEC
q dq
=
.
dt
C dt
q dq
L’énergie électrique est une primitive par rapport au temps de l’expression
. Nous
C dt
avons :
q2
EC = 12
+ constante.
C
La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie d’un condensateur non chargé,
c’est-à-dire lorsque q = 0, soit nulle. L’énergie électrique emmagasinée dans un condensateur de capacité C portant la charge q est :
EC =
2.3.4
1
2
q2
C
Oscillations dans un dipôle RLC
Expérience 2.4 Le circuit (figure 2.17) comporte un générateur de tension continue,
un condensateur de capacité C, une bobine et une résistance variable R. Lorsque l’interrupteur S est basculé dans la position 1, le condensateur se charge jusqu’à ce que la
tension à ses bornes uC soit égale à la f.é.m. E du générateur.
En basculant S en position 2, on isole le générateur, le condensateur se décharge dans la
bobine et dans la résistance montées en série. L’oscilloscope enregistre les variations de
uC au cours de la décharge.
On choisit initialement pour R la valeur R = 0,1 kΩ. On observe (figure 2.18a) que la
décharge du condensateur est oscillante amortie. Elle n’est pas périodique puisque uC ne
reprend pas la même valeur à des intervalles de temps égaux ; l’amplitude des oscillations
décroît au cours du temps. La tension uC s’annule à des instants séparés par des intervalles
de temps égaux ; la décharge est dite pseudo-périodique. La pseudo-période est la durée
qui sépare deux passages successifs de uC par 0 dans le même sens.
1BC - AL
Oscillateurs
Figure 2.17 – Décharge d’un condensateur dans une bobine
(a) Oscillations amorties, R = 0,1 kΩ
(b) Oscillations amorties, R = 1 kΩ
(c) Décharge apériodique, R = 10 kΩ
Figure 2.18 – Oscillogrammes des oscillations libres d’un circuit RLC
57
58
1BC - AL
Oscillateurs
L’expérience est répétée avec des valeurs de résistance plus grandes. Avec R = 1 kΩ la
décharge est toujours oscillante amortie, mais l’amortissement se fait plus rapidement
(figure 2.18b).
Lorsque la résistance est très importante, par exemple pour R = 10 kΩ, les oscillations
disparaissent (figure 2.18c). La tension décroît sans changer de signe. La décharge est
apériodique.
En annulant R, l’amortissement, bien que plus faible, n’est pas nul. La résistance de la
bobine est la cause de cet amortissement.
Énoncé Lorsque la résistance du circuit RLC est faible, la décharge du condensateur
dans la bobine est oscillante amortie. L’amortissement augmente avec la résistance totale
du circuit. Au-delà d’une valeur limite, la décharge devient apériodique.
2.3.5
Équation différentielle pour un circuit LC
Nous allons maintenant établir l’équation différentielle qui régit les oscillations d’un circuit LC ; la résistance totale du circuit est supposée négligeable. Nous allons d’abord
nous servir de la loi des mailles et puis aboutir au même résultat par des considérations
énergétiques.
Loi des mailles
Considérons le circuit LC de la figure 2.19 constitué d’une bobine d’inductance L et de
résistance négligeable et d’un condensateur de capacité C.
Figure 2.19 – Circuit oscillant LC
L’application de la loi des mailles donne : uAB + uBA = 0. Avec les relations (2.6) et (2.7)
et en prenant r = 0 :
uAB = uL = L
cette équation s’écrit :
L
di
dt
et uBA = uC =
di
q
+ = 0.
dt C
q
C
(2.9)
En utilisant la relation (2.8) entre charge et intensité du courant, la dérivée par rapport
au temps de l’intensité est :
di
d2 q
= 2 = q¨.
dt
dt
1BC - AL
Oscillateurs
59
En divisant l’équation (2.9) par L et en réarrangeant les termes, l’équation différentielle
pour le circuit LC devient :
q¨ = −
1
q
LC
Remarques :
• En remplaçant dans l’équation différentielle q par C uC (relation 2.7) et en divisant
ensuite par C on obtient l’équation différentielle :
u¨C = −
1
uC .
LC
Pour dériver par rapport au temps, on remarque que C est une constante et donc
q¨ = C u¨C .
• L’équation différentielle pour la charge a la même forme que celle pour l’élongation
d’un oscillateur mécanique.
Conservation de l’énergie
Nous allons établir cette même équation différentielle à partir de considérations énergétiques. L’énergie E du système est la somme de l’énergie électrique EC du condensateur
et de l’énergie magnétique EL de la bobine :
E = EC + EL =
1
2
q2 1 2
+ 2 Li .
C
Lorsque la dissipation d’énergie par effet Joule peut être négligée, l’énergie du système
reste constante :
2
d 12 qC + 12 L i2
dE
=
=0
E = constante =⇒
dt
dt
d’où :
1
2
2
q dq 1
di
+ 2 L2i
= 0.
C dt
dt
dq
di
d2 q
Avec les conventions de la figure 2.19 nous avons i =
et
= 2 = q¨. L’expression
dt
dt
dt
devient :
q
i + L i q¨ = 0.
C
En divisant par L i et en réarrangeant les termes on obtient finalement :
q¨ = −
1
q.
LC
On a ainsi retrouvé l’équation différentielle du circuit LC.
60
2.3.6
Oscillateurs
1BC - AL
Solution de l’équation différentielle
Solution sinusoïdale
Une solution de l’équation différentielle est une fonction du temps ; c’est l’équation horaire
q(t) de l’oscillateur électrique.
Les résultats expérimentaux et la forme de l’équation différentielle suggèrent une solution
sinusoïdale de la forme :
q(t) = Qm cos(ω0 t + ϕ)
où Qm > 0 est la charge maximale de l’armature positive du condensateur.
Vérifions que cette fonction est effectivement solution de l’équation différentielle du circuit.
En dérivant une première fois par rapport à t :
q˙ = −Qm ω0 sin(ω0 t + ϕ)
(2.10)
et une deuxième fois :
q¨ = −Qm ω0 2 cos(ω0 t + ϕ) = −ω0 2 Qm cos(ω0 t + ϕ) = −ω0 2 q
on constate que l’équation différentielle est vérifiée par la fonction sinusoïdale sous condition que :
1
ω0 2 =
.
LC
Exercice 2.3 Montrer que q(t) = Qm sin(ω0 t + ϕ) est également solution de l’équation
différentielle.
Lorsqu’une bobine est branchée aux bornes d’un condensateur chargé, le condensateur va
se décharger et se charger périodiquement sans aucune influence de l’extérieur ; le circuit
LC est donc un oscillateur libre. Pour cette raison la constante ω0 est appelée pulsation
propre de l’oscillateur.
La pulsation propre est déterminée par les grandeurs caractéristiques de l’oscillateur.
Dans le cas du circuit LC ce sont la capacité C du condensateur et l’inductance L de la
bobine. La charge maximale Qm et la phase initiale ϕ sont déterminées par les conditions
initiales.
Période propre
La pulsation propre des oscillations libres du circuit LC est :
ω0 = √
1
LC
La relation (2.2) permet d’obtenir la période propre :
T0 =
√
2π
= 2π L C
ω0
(2.11)
1BC - AL
Oscillateurs
61
Tensions et intensité du courant
La tension aux bornes du condensateur est donnée par la relation (2.7) :
uC =
q
= Um cos(ω0 t + ϕ)
C
Qm
est l’amplitude de la tension uC .
C
La loi des mailles permet d’obtenir la tension aux bornes de la bobine :
où Um =
uL = −uC = −Um cos(ω0 t + ϕ).
L’intensité du courant est obtenue à l’aide des relations (2.8) et (2.10) :
i = q˙ = −Im sin(ω0 t + ϕ)
où Im = Qm ω0 est l’amplitude de l’intensité i. Le circuit LC est donc traversé par un
courant alternatif sinusoïdal.
Conditions initiales
Les grandeurs Qm et ϕ sont déterminées par les conditions initiales, c’est-à-dire par les
valeurs de uC et i à l’instant t = 0.
Supposons que le condensateur fut chargé à l’aide d’un générateur de tension continue de
f.é.m. E. Lorsqu’on branche la bobine sur ce condensateur chargé, la tension initiale au
bornes du condensateur est E et sa charge initiale vaut Qm = C E. Nous avons à l’instant
t = 0 : E = Um cos(ϕ). L’intensité du courant doit être nulle initialement car le courant
ne peut pas s’établir de façon instantanée dans la bobine : 0 = −Im sin(ϕ). Il résulte de
ces deux conditions que ϕ = 0 et Um = E, et ainsi :
uC = Um cos(ω0 t) = E cos(ω0 t)
uL = −Um cos(ω0 t) = −E cos(ω0 t)
i = −Im sin(ω0 t) = −C E ω0 sin(ω0 t)
En utilisant les relations trigonométriques :
cos(x + π/2) = − sin(x) ;
cos(x + π) = − cos(x)
nous pouvons réécrire ces expressions :
uC = Um cos(ω0 t)
uL = Um cos(ω0 t + π)
i = Um
C
cos(ω0 t + π/2)
L
Exercice 2.4 Reprendre cette discussion si q(t) = Qm sin(ω0 t + ϕ).
62
1BC - AL
Oscillateurs
t
ω0 t = (2π/T0 ) t
sin(ω0 t)
cos(ω0 t)
uC
uL
i
0
0
0
1
Um
−Um
0
T0 /4
π/2
1
0
0
0
−C Um ω0
T0 /2
π
0
-1
−Um
Um
0
3 T0 /4
3π/2
-1
0
0
0
C Um ω0
T0
2π
0
1
Um
−Um
0
Table 2.2 – Tensions et intensité à des instants particuliers
Représentation graphique
Le tableau 2.2 reprend les valeurs des tensions et de l’intensité du courant à des instants
particuliers.
La figure 2.20 montre la représentation graphique de uC (t), uL (t) et i(t).
Figure 2.20 – Représentation graphique de uC (t), uL (t) et i(t)
On constate que uC et i sont déphasées de π/2.
2.3.7
Oscillations amorties
L’expérience 2.4 a montré que si la résistance totale du circuit n’est pas négligeable, les
oscillations sont amorties : l’amplitude diminue. L’effet de la résistance est comparable à
celui d’une force de frottement dans le cas d’oscillations mécaniques.
Pour une discussion de l’influence de la résistance sur l’amortissement, voir la section
2.3.4.
L’énergie du système électrique n’est plus constante mais elle est dissipée progressivement
par effet joule. L’équation différentielle et sa solution ne sont plus valables.
1BC - AL
2.3.8
Oscillateurs
63
Le phénomène de résonance
Étude expérimentale qualitative
Un circuit LC livré à lui-même constitue un oscillateur libre de fréquence propre f0 . Que
va-t-il se passer si nous allons forcer des oscillations dans un tel circuit ?
Expérience 2.5 Considérons le cas d’un dipôle RLC série branché aux bornes d’un
générateur de tension alternative sinusoïdale. Nous allons utiliser le montage de la figure
2.21. La capacité du condensateur vaut C = 18 µF, l’inductance de la bobine est L = 9 mH.
La fréquence propre est obtenue à l’aide de la relation (2.11) et vaut f0 = T0 −1 = 395 Hz.
Figure 2.21 – Circuit RLC en régime forcé
Les figures 2.22a à 2.22c montrent les oscillogrammes du circuit RLC en régime forcé.
Les échelles de temps et de tension sont les mêmes sur toutes les figures. L’amplitude de
la tension aux bornes du générateur (voie 1) est gardée constante. D’après la loi d’Ohm,
l’intensité i(t) circulant dans le circuit est proportionnelle à la tension aux bornes de la
résistance (voie 2).
Observations :
• En régime établi, la fréquence des oscillations du courant électrique est égale à celle
du générateur de tension.
• L’amplitude de l’intensité est maximale si la fréquence du générateur est égale à la
fréquence propre du circuit LC (figure 2.22c).
Le générateur de tension joue le rôle de l’excitateur et impose sa fréquence aux oscillations
du circuit RLC ; ces oscillations sont dites forcées par le générateur de tension.
Énoncé Pour une fréquence d’excitation égale à la fréquence propre du circuit LC, l’amplitude des oscillations du courant électrique devient maximale, c’est le phénomène de
résonance.
C’est pourquoi un circuit RLC en oscillations forcées est aussi appelé résonateur.
Courbe de résonance
Expérience 2.6 Nous mesurons à l’aide d’un ampèremètre l’amplitude I du courant
électrique. La figure 2.23 montre le montage utilisé. Le voltmètre sert à vérifier que l’amplitude de la tension du générateur reste constante lors des mesures.
64
1BC - AL
Oscillateurs
(a) Oscillations forcées, f < f0
(b) Oscillations forcées, f > f0
(c) Oscillations forcées, f = f0
Figure 2.22 – Oscillogrammes du circuit RLC en régime forcé
Les résultats des mesures sont représentés à l’aide de la courbe amplitude I en fonction
de la fréquence f . La figure 2.24 représente deux courbes pour des valeurs différentes R1
et R2 de la résistance du circuit.
Les courbes présentent des maxima de valeurs respectivement I1 et I2 . Ces maxima d’amplitude sont obtenus pour une fréquence de résonance fr égale à la fréquence propre f0
du circuit oscillant non-amorti :
fr = f0 =
1
1
√
=
.
T0
2π L C
Suivant les valeurs de la résistance, la résonance peut être :
• aiguë (courbe pointue de maximum I1 ) lorsque la résistance est faible ;
• floue (courbe aplatie de maximum I2 ) lorsque la résistance est plus importante.
L’amplitude de l’intensité du courant électrique diminue d’autant plus à la résonance que
la résistance du circuit est importante.
1BC - AL
Oscillateurs
Figure 2.23 – Montage utilisé pour déterminer la courbe de résonance
Figure 2.24 – Courbe de résonance amplitude en fonction de la fréquence
65
Chapitre 3
Ondes et lumière
3.1
Propagation d’une onde mécanique
3.1.1
Signal transversal, signal longitudinal, onde
Un signal mécanique est une déformation de courte durée d’un milieu élastique. Cette
déformation ne reste pas localisée à l’endroit où elle est produite, mais elle se déplace
dans le milieu élastique : elle se propage. Après le passage du signal le milieu reprend son
état initial.
Le point de départ du signal est la source S ; la direction et le sens dans lesquels le signal
se déplace constituent la direction et le sens de propagation.
(a) t = t1
(a) t = t1
(b) t = t2
(b) t = t2
(c) t = t3
(c) t = t3
Figure 3.1 – Signal transversal
Figure 3.2 – Signal longitudinal
Définition Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation (figure 3.1), la déformation est
un signal transversal.
1BC - AL
Ondes et lumière
67
Définition Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent dans la direction de propagation (figure 3.2), la déformation est un signal longitudinal.
Définition Une onde est une série de signaux qui se suivent à des intervalles de temps
réguliers ; elle peut être transversale ou longitudinale.
3.1.2
Célérité
Définition On appelle célérité c la vitesse de propagation d’un signal ou d’une onde.
Propriétés :
• La célérité c ne dépend pas de la forme du signal.
• Dans un milieu homogène donné la célérité c est constante.
• Pour atteindre le point M (figure 3.3a), le sugnal met un temps ∆t tel que
OM = c ∆t. Le point M reproduit le mouvement de la source avec un retard :
∆t =
OM
c
c’est-à-dire le mouvement de M à la date t est identique au mouvement de S à la
date t − ∆t.
(a) milieu à une dimension
(b) milieu à deux dimensions
Figure 3.3 – Célérité d’un signal
• Dans un milieu homogène à 2 (figure 3.3b) ou à 3 dimensions, la célérité c est la
même dans toutes les directions.
• La célérité c dépend de la nature et de l’état du milieu de propagation.
68
Ondes et lumière
Signal
son
lumière
3.1.3
Milieu de propagation
air à 0 ◦C
air à 20 ◦C
air à 40 ◦C
eau de mer à 15 ◦C
acier
hydrogène à 20 ◦C
vide
eau
verre ordinaire
1BC - AL
Célérité en m/s
330,7
342,6
354,1
1500
5000
1300
3 · 108
2,25 · 108
2 · 108
Propagation d’une onde sinusoïdale le long d’une corde
Célérité le long d’une corde
Le long d’une corde tendue, la célérité augmente avec la tension FT de la corde et diminue
avec la masse linéaire µ (ou masse linéique : masse par unité de longueur) suivant la
relation :
s
c=
FT
µ
(3.1)
Longueur d’onde et période
Nous considérons une source S dont le mouvement est sinusoïdal de période T .
Pour comprendre comment la corde se déforme progressivement, il est commode de la
représenter à différentes dates :
• t = 0 : la source commence son mouvement (figure 3.4a) ;
• t = T /4 : la source a fait un quart d’oscillation (figure 3.4b) ; le front d’onde atteint
le point M1 , tel que OM1 = c T /4 ;
• t = T /2 : la source a fait une demi-oscillation (figure 3.4c) ; le front d’onde atteint
le point M2 , tel que OM2 = c T /2 ;
• t = 3 T /4 : la source a fait trois quarts d’oscillation (figure 3.4d) ; le front d’onde
atteint le point M3 , tel que OM3 = c 3 T /4 ;
• t = T : la source a effectué une oscillation complète (figure 3.4e) ; la déformation
atteint une longueur de corde qu’on appelle longueur d’onde : λ = c T ;
• t = 2 T : la source a effectué deux oscillations complètes (figure 3.4f) ; la déformation
atteint une longueur de corde 2 λ = c 2 T = 2 c T .
Définition La longueur d’onde λ est la distance parcourue par l’onde en une période T .
La longueur d’onde dépend à la fois de la période T , donc de la source, et de la célérité
c, donc du milieu de propagation.
λ = cT
(3.2)
1BC - AL
69
Ondes et lumière
(a) t = 0
(b) t = T /4
(c) t = T /2
(d) t = 3 T /4
(e) t = T
(f) t = 2 T
Figure 3.4 – Propagation d’un signal sinusoïdal
La fréquence f =
3.1.4
1
c
de la source permet d’écrire l’expression (3.2) : λ = .
T
f
Double périodicité du phénomène de propagation
Périodicité temporelle
Un point M donné du milieu exécute, comme la source, une vibration sinusoïdale qui se reproduit identiquement à elle-même après le temps T : T est la période dans le temps.
La sinusoïde qui représente les variations de l’élongation d’un point en fonction du temps
est appelée sinusoïde des temps. Elle est représentée dans le repère (O, t, y) (figure
3.5).
La projection du point S sur Oy (figure 3.5a) est appelée élongation de la source S et est
notée yS .
La projection du point M sur Oy (figure 3.5b) est appelée élongation du point M et est
notée yM .
La sinusoïde des temps du point M d’abscisse x se déduit de la sinusoïde des temps de la
source par une translation ∆t = x/c le long de l’axe des temps.
Périodicité dans l’espace
À un instant t donné on retrouve le même état vibratoire le long de la corde à une distance
égale à la longueur d’onde λ : λ est la période dans l’espace.
70
1BC - AL
Ondes et lumière
(a) yS (t)
(b) yM (t)
Figure 3.5 – Sinusoïdes des temps
La sinusoïde qui représente les variations de l’élongation dans l’espace, à un instant donné,
est appelée sinusoïde des espaces. Elle se confond avec l’image qu’on obtiendrait en photographiant la corde à l’instant t considéré. Elle est représentée dans le repère (O, x, y)
(figure 3.6).
(a) yt (x)
(b) yt+T /4 (x)
(c) yt+T /2 (x)
(d) yt+3 T /4 (x)
(e) yt+T (x)
Figure 3.6 – Sinusoïdes des espaces
La sinusoïde des espaces progresse au cours du temps, avec une vitesse c égale à la célérité :
la vibration de la source engendre dans le milieu une onde progressive.
Deux points M et N de la corde, séparés des distances λ, 2 λ, . . ., n λ (n ∈ Z), ont à tout
instant même élongation : ils vibrent en phase.
∆x = xN − xM = n λ = 2n
λ
2
(3.3)
La longueur d’onde λ représente donc aussi la distance entre 2 points voisins qui vibrent
en phase, en particulier la distance entre 2 crêtes voisines.
1BC - AL
71
Ondes et lumière
Deux points M et P de la corde, séparés des distances λ/2, 3 λ/2, . . ., (2n+1) λ/2 (n ∈ Z),
ont à tout instant des élongations opposées : ils vibrent en opposition de phase.
∆x = xP − xN = (2n + 1)
3.1.5
λ
2
(3.4)
Équation d’onde
Équation horaire d’un point quelconque
L’équation horaire de la source S peut s’écrire sous la forme :
yS (t) = Y0 sin(ω t + ϕ)
(3.5)
où yS (t) est l’élongation de la source S à la date t, Y0 est l’amplitude de la source et ω
la pulsation de la source (figure 3.5). La période T et la pulsation ω sont reliées par la
relation :
2π
.
ω=
T
Nous supposons que la propagation se fait sans amortissement dans le sens des x positifs.
Pour atteindre le point M situé à la distance x de la source S, l’onde met le temps :
∆t =
x
.
c
L’élongation yM du point M à la date t est la même que l’élongation yS de la source à la
date antérieure t − ∆t :
yM (t) = yS (t − ∆t)
= Y0 sin [ω (t − ∆t) + ϕ]
ï Å
ò
xã
= Y0 sin ω t −
+ϕ
c ã
ï
ò
2π Å
x
= Y0 sin
t−
+ϕ
T
c ã
ò
ï Å
x
t
−
+ϕ
= Y0 sin 2π
T
c Tã
ò
ï Å
t
x
−
+ϕ
yM (t) = Y0 sin 2π
T
λ
où x est l’abscisse du point M .
Tous les points ont même amplitude et même pulsation que la source, mais ils n’effectuent
pas le même mouvement en même temps. Ainsi :
ï
y(x, t) = Y0 sin 2π
Å
ò
t
xã
−
+ϕ
T
λ
est l’équation de l’onde progressive en fonction des variables x et t.
(3.6)
72
Ondes et lumière
1BC - AL
Calculs des périodes spatiale et temporelle
t
xã
L’élongation y(x, t) reprend la même valeur chaque fois que l’argument 2π
−
T
λ
change d’un multiple entier de 2π (expression 3.6).
Å
De combien faut-il augmenter t pour qu’en un point M (x) donné, l’argument augmente
de 2π ?
Cette question se traduit par :
t + t0 x
2π
−
T
λ
0
t+t
x
2π
− 2π
T
λ
t0
t
2π + 2π
T
T
t0
2π
T
t0
Ç
å
t
xã
= 2π
−
+ 2π
T
λ
t
x
= 2π − 2π + 2π
T
λ
t
= 2π + 2π
T
Å
= 2π
=T
T est appelé période temporelle.
De combien faut-il augmenter x pour qu’à un instant t donné, l’argument diminue de 2π ?
Cette question se traduit par :
t
x + x0
2π
−
T
λ
t
x
x0
2π − 2π − 2π
T
λ
λ
x0
−2π
λ
x0
Ç
λ est appelé période spatiale.
å
xã
t
−
− 2π
T
λ
t
x
= 2π − 2π − 2π
T
λ
= 2π
Å
= −2π
=λ
1BC - AL
3.2
73
Ondes et lumière
Interférences mécaniques
3.2.1
Conditions d’interférences
L’interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de deux ondes de même
nature et de même fréquence. Les sources émettrices de ces ondes doivent être cohérentes,
c’est-a-dire, présenter l’une sur l’autre un déphasage constant et avoir même fréquence.
Si le déphasage est nul, donc si les sources sont en phase, on dit que les sources sont
synchrones.
3.2.2
Superposition de petits mouvements
Quand deux signaux se rencontrent, ils se croisent sans se gêner ; leur propagation et leur
forme ne sont pas modifiées après le croisement.
(a) avant croisement
(b) pendant croisement
(c) après croisement
Figure 3.7 – Signaux de même signe
(a) avant croisement
(b) pendant croisement
(c) après croisement
Figure 3.8 – Signaux de signes opposés
Pendant le croisement l’élongation résultante est donnée par la règle de superposition des
petits mouvements.
Énoncé Lorsque deux signaux colinéaires de faible amplitude se superposent en un point
M , l’élongation résultante y est égale à la somme algébrique des élongations y1 et y2 que
provoqueraient en M les deux signaux en se propageant seuls :
y = y1 + y2 .
Les deux signaux peuvent ainsi se renforcer (figure 3.7) lors de leur croisement ou bien se
détruire (figure 3.8).
74
3.2.3
1BC - AL
Ondes et lumière
Interférences dans un milieu à une dimension
Réflexion d’un signal à l’extrémité du milieu
Lors de la réflexion sur une extrémité fixe (figure 3.9), l’élongation change de signe.
(a) signal incident
(b) signal réfléchi
Figure 3.9 – Extrémité fixe
(a) signal incident
(b) signal réfléchi
Figure 3.10 – Extrémité libre
La réflexion à l’extrémité libre (figure 3.10) se fait sans changement de signe.
Expérience de Melde
Expérience 3.1 Un vibreur anime l’extrémité S d’une corde tendue d’un mouvement
vibratoire sinusoïdal (figure 3.11).
Figure 3.11 – Dispositif expérimental
À l’extrémité E, au contact de la poulie, une onde réfléchie de même fréquence prend
naissance et se propage en sens inverse.
On peut varier la longueur utile SE = ` de la corde, la tension FT de la corde mesurée
par un dynamomètre et la fréquence f du vibreur.
1BC - AL
75
Ondes et lumière
Le stroboscope
Le stroboscope est un appareil qui permet d’émettre des flash lumineux à une fréquence
donnée. Si cette fréquence des éclairs est égale à la fréquence de l’oscillateur, alors entre deux
éclairs successifs l’oscillateur fait exactement une oscillation ; à chaque éclair on l’observe
exactement dans la même position : on observe un repos apparent.
Si la fréquence des éclairs est égale à un sous-multiple de la fréquence de l’oscillateur, alors
entre deux éclairs successifs l’oscillateur fait un nombre entier d’oscillations ; à chaque éclair
il se retrouve dans la même position : on observe un repos apparent.
Si la fréquence des éclairs est légèrement inférieure à la fréquence de l’oscillateur, alors
entre deux éclairs successifs l’oscillateur fait un peu plus d’une oscillation : on observe un
mouvement ralenti apparent.
Observations :
Pour un réglage convenable, la corde vibre en plusieurs fuseaux d’égale longueur (figure 3.12).
(a) t = 0
(b) t = T /4
(c) t = T /2
(d) t = 3 T /4
(e) t = T
Figure 3.12 – Aspect stroboscopique de la corde
Les extrémités des fuseaux sont appelés nœuds Ni (i ∈ N), les milieux des fuseaux sont
appelés ventres de vibration Vi (i ∈ N).
L’extrémité E fixe est un nœud ; en première approximation l’extrémité S fixée au vibreur
peut être assimilée à un nœud.
Vu de loin, le système paraît immobile ; il n’y a pas de progression le long de la corde : le
phénomène est appelé onde stationnaire.
L’éclairage stroboscopique permet de voir que la corde se déforme sur place. L’amplitude
de vibration est nulle aux nœuds, elle est maximale aux ventres.
La longueur d’un fuseau est égale à λ/2.
76
1BC - AL
Ondes et lumière
L’aspect de la corde dépend
• de la tension FT de la corde ;
• de la longueur ` la corde ;
• de la fréquence f du vibreur.
L’apparence en fuseaux n’est obtenue que pour des valeurs discrètes de ces paramètres.
Le nombre n de fuseaux
• diminue quand on augmente la tension FT de la corde (sans modifier sa longueur `
ni la fréquence f ) ;
• augmente quand on augmente la longueur ` utile de la corde (sans modifier sa tension
FT ni la fréquence f ) ;
• augmente lorsqu’on augmente la fréquence f du vibreur (sans modifier ni la longueur
` ni la tension FT ).
Interprétation :
Une onde stationnaire résulte de l’interférence de deux ondes qui se propagent suivant la
même direction, mais en sens contraires : l’onde incidente y1 (x, t) issue de la source en S
et l’onde réfléchie y2 (x, t) qui prend naissance à l’extrémité fixe E. Ces deux ondes ont
même fréquence et même amplitude.
Aux ventres ces deux ondes arrivent à tout instant en phase, il y a interférence constructive. D’après le principe de superposition, l’amplitude résultante est égale à la somme des
amplitudes des ondes composantes.
Aux nœuds ces deux ondes arrivent à tout instant en opposition de phase, il y a interférence destructive. D’après le principe de superposition, l’amplitude résultante est
nulle.
Étude théorique des ondes stationnaires
Soit T la période du vibreur. En tenant compte de l’expression (3.5) et de la figure 3.12,
la vibration de la source S est décrite par l’équation :
2π ã
yS (t) = Y0 sin
t .
T
Å
Le point M se trouvant à l’abscisse x est sollicité à la fois par deux ondes : l’onde incidente
y1 (x, t) issue de S et l’onde y2 (x, t) réfléchie en E.
En adaptant maintenant l’équation horaire (3.6) à l’onde incidente y1 (x,t) :
t
x ãò
y1 (x, t) = Y0 sin 2π
−
.
T
λ
ï
Å
En adaptant l’équation horaire (3.6) à l’onde réfléchie y2 (x,t) et puisque le signal qui a
parcouru la distance 2` − x subit un saut de phase en E :
t
2` − x
y2 (x, t) = Y0 sin 2π
−
+π .
T
λ
ñ
Ç
å
ô
1BC - AL
77
Ondes et lumière
Le mouvement résultant de M sera calculé en appliquant la relation trigonométrique :
sin p + sin q = 2 sin
p+q
p−q
cos
.
2
2
D’où :
yM = y1 + y2
t
x ãò
t
2` − x
= Y0 sin 2π
−
+ Y0 sin 2π
−
+π
T
λ
T
λ
ñ Ç
å
ô
ñ Ç
å
ô
2t 2`
π
2` − 2x
π
= 2 Y0 sin π
−
+
cos π
−
T
λ
2
λ
2
ñ Ç
åô
ñ Ç
å
ô
2` − 2x
2t 2`
π
= 2 Y0 sin π
sin π
−
+
λ
T
λ
2
Ç
å
Ç
å
`−x
t
2π ` π
= 2 Y0 sin 2π
sin 2π −
+
λ
T
λ
2
ã
Å
t
= AM sin 2π + Φ .
T
ï
ñ
Å
Ç
å
ô
L’amplitude résultante AM , indépendante de t, vaut :
`−x
= 2 Y0 sin 2π
λ
Ç
AM
å
(3.7)
Le point M d’abscisse x suit un mouvement de période T , de phase Φ et d’amplitude
AM .
Si M est situé sur un nœud, l’amplitude AM est 0, donc :
2π
`−x
= 0 + k0 π, k0 ∈ Z
λ
k0 λ
`−x=
2
k0 λ
x=`−
2
λ
Puisque ` = n , l’abscisse du k-ième nœud s’écrit (avec k = n − k0 ) :
2
xNk = k
λ
(k ∈ Z)
2
Si M est situé sur un ventre, l’amplitude AM est maximale donc :
2π
`−x
π
= (2k1 + 1) , k1 ∈ Z
λ
2
λ
` − x = (2k1 + 1)
4
λ
x = ` − (2k1 + 1)
4
(3.8)
78
1BC - AL
Ondes et lumière
λ
Puisque ` = n , l’abscisse du k’-ième ventre s’écrit (avec k 0 = n − k1 ) :
2
xVk = (2k 0 + 1)
λ
(k 0 ∈ Z)
4
(3.9)
Application aux instruments à cordes
La corde, tendue entre deux points fixes, vibre en un nombre entier de fuseaux, donc sa
longueur est égale à un multiple de la demi-longueur d’onde :
λ
c
n
`=n =n
=
2
2f
2f
avec : n
FT
µ
f
c
nombre de fuseaux
tension de la corde
masse linéaire de la corde
fréquence de la vibration
f=
c
λ
s
célérité le long de la corde c =
s
FT
µ
(3.10)
FT
µ
Énoncé Pour FT , µ et ` donnés, on obtient une onde stationnaire seulement pour les
fréquences vérifiant la relation :
n
f=
2`
s
FT
µ
(n ∈ N∗ )
(3.11)
Ces fréquences sont appelées fréquences propres de la corde vibrante.
La valeur n = 1 correspond au son le plus grave que la corde puisse émettre : c’est le son
fondamental. La corde vibre alors en un seul fuseau.
Aux valeurs n = 2, 3, . . . correspondent des sons plus aigus, appelés harmoniques.
La formule des cordes vibrantes montre que :
• la fréquence du son fondamental augmente avec la tension de la corde, propriété
utilisée pour accorder les instruments ;
• plus la masse linéaire est grande, plus la fréquence du son émis est faible, donc plus
le son est grave, pour une tension et une longueur données ;
• plus la corde est courte, plus la fréquence est élevée, donc plus le son émis est aigu,
pour une tension et une masse linéaire données.
1BC - AL
3.2.4
Ondes et lumière
79
Interférences dans un milieu à deux dimensions
Mise en évidence expérimentale
Expérience 3.2 Une fourche munie de deux pointes est fixée à l’extrémité d’un vibreur
(figure 3.13). Les pointes O1 et O2 ont ainsi même fréquence et constituent deux sources
cohérentes. Elles font naître à la surface de l’eau des ondes circulaires.
Figure 3.13 – Dispositif expérimental
Observations :
À la surface libre du liquide on observe des rides fixes, bien nettes entre O1 et O2 . Elles
ont la forme d’arcs d’hyperboles dont les foyers sont O1 et O2 . On les appelle des lignes
ou des franges d’interférences (figure 3.14). Elles disparaissent si l’une des pointes vibre
sans toucher l’eau.
Figure 3.14 – Franges d’interférences
80
1BC - AL
Ondes et lumière
Interprétation
Supposons que les deux pointes frappent l’eau exactement au même instant. O1 et O2
constituent alors deux sources non seulement cohérentes, mais synchrones. Supposons de
plus qu’elles pénètrent à la même profondeur dans l’eau : O1 et O2 constituent alors deux
sources synchrones de même amplitude. Avec un choix convenable de l’origine des temps
leur équation horaire est du type y = Y0 sin ω t.
Figure 3.15 – Distances entre sources et point d’observation
Soit M un point de la surface de l’eau (figure 3.15) situé à la distance d1 de O1 et à la
distance d2 de O2 .
L’onde venant de O1 impose au point M le mouvement d’équation :
ñ
Ç
t
d1
−
y1 = Y0 sin 2π
T
λ
åô
.
L’onde venant de O2 impose au point M le mouvement d’équation :
ñ
Ç
d2
t
−
y2 = Y0 sin 2π
T
λ
åô
.
Le mouvement résultant en M est y = y1 + y2 .
Interférence constructive :
L’amplitude du mouvement résultant est maximale et égale à 2Y0 aux points où les 2
vibrations y1 et y2 sont en phase. L’application de la relation :
sin a = sin b ⇔ a = b + n 2π, n ∈ Z
donne :
Ç
d1
t
−
y1 = y2 ⇔ 2π
T
λ
å
Ç
t
d2
−
= 2π
T
λ
å
+ n 2π.
D’où la condition que doit vérifier un point d’une frange d’amplitude maximale :
d2 − d1 = 2n
λ
(n ∈ Z)
2
(3.12)
À chaque valeur de n correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à la condition
n = 0 sont ceux appartenant à la médiatrice de [O1 O2 ]. Les points qui obéissent à la
condition n 6= 0 appartiennent à une famille d’hyperboles de foyers O1 et O2 .
Interférences destructive :
L’amplitude du mouvement résultant est minimale et nulle aux points où les 2 vibrations
y1 et y2 sont en opposition de phase. L’application de la relation :
sin a = − sin b ⇔ a = b + (2n0 + 1) π, n ∈ Z
1BC - AL
donne :
81
Ondes et lumière
Ç
t
d1
y1 = −y2 ⇔ 2π
−
T
λ
å
Ç
t
d2
= 2π
−
T
λ
å
+ (2n0 + 1) π.
D’où la condition que doit vérifier un point d’une frange d’amplitude minimale :
d2 − d1 = (2n0 + 1)
λ
(n0 ∈ Z)
2
(3.13)
À chaque valeur de n0 correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à cette condition
appartiennent à une autre famille d’hyperboles de foyers O1 et O2 qui s’intercalent entre
celles des interférences constructives.
Points intermédiaires :
L’état vibratoire en un point M dépend donc de la différence des distances de ce point
aux deux sources : δ = d2 − d1 est appelée différence de marche.
Figure 3.16 – Construction des franges d’interférences
Conclusions
Les conditions d’interférences constructives ou destructives peuvent se résumer comme
suit :
82
Ondes et lumière
1BC - AL
• Si la différence de marche en M est égale à un nombre pair de demi-longueurs
d’onde, c’est-à-dire la différence de marche est un nombre entier de longueurs d’onde,
l’amplitude en M est maximale de valeur 2Y0 .
• Si la différence de marche en M est égale à un nombre impair de demi-longueurs
d’onde, l’amplitude en M est nulle.
• Si aucune de ces conditions n’est remplie, l’amplitude en M est comprise entre 0 et
2Y0 .
3.2.5
Interférences dans un milieu à trois dimensions
Détection des ondes acoustiques
Les ondes sonores ou acoustiques sont des ondes longitudinales qui se propagent dans tout
milieu élastique, en particulier dans l’air. L’onde se propage dans toutes les directions de
l’espace à partir de la source.
L’oreille mise à part, le détecteur de choix est le microphone. Sa pièce maîtresse est une
membrane élastique que l’onde sonore met en vibration. Les vibrations mécaniques de
la membrane sont ensuite transformées en vibrations électriques, c’est-à-dire en tension
alternative qu’on peut visualiser sur l’écran d’un oscilloscope.
Interférence de deux ondes acoustiques
Expérience 3.3 Deux haut-parleurs P1 et P2 (figure 3.17), alimentés par un même générateur basse fréquence (f = 1500 Hz), sont placés l’un à côté de l’autre. Un microphone
mobile est relié à un oscilloscope.
Figure 3.17 – Interférence d’ondes acoustiques
Observations :
Quand on déplace le microphone parallèlement à l’alignement des deux haut-parleurs,
l’amplitude de la vibration sonore qu’il détecte passe alternativement par un minimum
et par un maximum. Ces variations de l’amplitude du son détecté peuvent être observées
non seulement dans le plan des deux haut-parleurs, mais dans tout l’espace compris entre
eux.
1BC - AL
Ondes et lumière
83
Interprétation :
L’onde sonore détectée résulte de l’interférence des deux ondes acoustiques cohérentes
émises par les deux haut-parleurs.
En tout point M où l’amplitude est maximale, la différence de marche des deux ondes
acoustiques est telle que :
λ
P1 M − P2 M = n λ = 2n , n ∈ Z.
2
En tout point N où l’amplitude est minimale, la différence de marche des deux ondes
acoustiques est telle que :
λ
P1 N − P2 N = (2n0 + 1) , n0 ∈ Z.
2
3.2.6
Le phénomène de diffraction
Comment se comporte une onde lorsqu’elle rencontre un obstacle ?
Expérience 3.4 À l’aide d’une lame rectiligne on crée une onde progressive rectiligne
à la surface de l’eau dans une cuve à ondes. On interpose sur le parcours de l’onde un
écran muni d’une fente étroite ou un obstacle étroit.
(a) Photographie
(b) Croquis
Figure 3.18 – Diffraction d’une onde rectiligne par une fente étroite
La photographie 3.18a montre l’onde après le passage d’une fente de largeur inférieure à
la longueur d’onde. On remarque que l’onde pénètre dans la « zone d’ombre » de l’écran :
la fente se comporte comme une source secondaire d’ondes circulaires. On dit qu’il y a
diffraction de l’onde rectiligne par la fente.
Le phénomène de diffraction est également observé lorsqu’une onde rencontre un obstacle
étroit. Des ondes circulaires pénètrent dans la « zone d’ombre » de l’obstacle (photographie
3.19a).
Définition La diffraction est le phénomène par lequel une onde est déviée de sa trajectoire initiale lorsqu’elle rencontre une ouverture ou un obstacle dont la dimension est de
l’ordre de la longueur d’onde.
84
Ondes et lumière
(a) Photographie
1BC - AL
(b) Croquis
Figure 3.19 – Diffraction d’une onde rectiligne par un obstacle étroit
1BC - AL
3.3
3.3.1
Ondes et lumière
85
Interférences lumineuses
Expérience des fentes de Young
Expérience 3.5 Une source monochromatique intense éclaire un écran percé d’une
fente O. Cette fente donne naissance à un faisceau divergeant qui éclaire un second écran
percé de deux fentes très fines et parallèles, O1 et O2 , distantes de quelques millimètres
(figure 3.20). En tenant compte du phénomène de diffraction les deux fentes O1 et O2 sont
des sources identiques divergentes. Un écran E, placé parallèlement au plan des fentes,
recueille la lumière issue de O1 et O2 .
Figure 3.20 – Expérience des fentes de Young
Ce dispositif a permis au physicien britannique Thomas Young (1773–1829) de démontrer
la nature ondulatoire de la lumière.
Observations :
Sur l’écran on observe une série de raies parallèles, de même largeur, alternativement
brillantes et sombres : ce sont des franges d’interférences. Elles ne sont observables que si
l’écran E est placé dans la zone de recouvrement des faisceaux issus de O1 et O2 .
3.3.2
Interprétation
Il est surprenant de voir qu’en certains points de l’espace :
lumière + lumière → obscurité.
Cette expérience rappelle l’expérience des interférences mécaniques où en certains points
de l’espace :
mouvement + mouvement → immobilité;
son + son → silence.
Par analogie, il faut admettre qu’une lumière monochromatique est une vibration sinusoïdale qui se propage à partir de la source lumineuse. La fréquence de l’onde lumineuse
est caractéristique de la couleur de la lumière.
La lumière issue de O éclaire les deux fentes fines O1 et O2 . Celles-ci se comportent
comme deux nouvelles sources identiques de lumière. Dans la région où les deux faisceaux
divergents se superposent, les ondes lumineuses interfèrent :
86
Ondes et lumière
1BC - AL
• il y a lumière en M si l’interférence y est constructive ;
• il y a obscurité en M si l’interférence y est destructive.
3.3.3
Calcul de la différence de marche
L’état vibratoire en un point M dépend de la différence de marche de ce point aux deux
sources O1 et O2 :
δ = d2 − d1 = O2 M − O1 M
Soit D la distance séparant le plan des fentes du plan de l’écran,
d1 et d2 les distances séparant un point M des sources O1 et O2 ,
a la distance séparant les deux fentes et
x l’abscisse du point M de l’écran repéré par rapport à la médiatrice (IJ) de [O1 O2 ].
Figure 3.21 – Différence de marche
Le triangle O1 M K est rectangle en K : O1 M 2 = O1 K 2 + KM 2 .
Le triangle O2 M L est rectangle en L : O2 M 2 = O2 L2 + LM 2 .
Avec :
O1 K = O2 L = D
a
KM = x −
2
a
LM = x +
2
O1 M = d1
O2 M = d2
ces expressions s’écrivent :
d1
2
et :
d2
2
a ã2
=D + x−
2
2
Å
a ã2
.
=D + x+
2
2
Å
1BC - AL
87
Ondes et lumière
Calculons la différence d2 2 − d1 2 :
2
d2 − d1
2
Å
a ã2
a ã2
2
=D + x+
−D − x−
2
2
Å
a ã2
a ã2 Å
− x−
= x+
2
2
Å ã2
a
a
a Å a ã2
= x2 + 2x +
− x2 + 2x −
2
2
2
2
a
a
= 2x + 2x
2
2
= 2a x
2
Å
En appliquant la différence de deux carrés :
(d2 − d1 )(d2 + d1 ) = d2 2 − d1 2
(d2 − d1 )(d2 + d1 ) = 2a x
2a x
d2 − d1 =
d2 + d1
Les distances a et x sont très faibles devant D (a et x sont de l’ordre du mm, tandis que
D est de l’ordre du m). Les rayons O1 M et O2 M sont donc peu inclinés par rapport à la
médiatrice IJ. On pourra faire l’approximation suivante : d2 + d1 ≈ 2D (mais d1 6= D et
d2 6= D, c’est-à-dire d1 − d2 6= 0).
Finalement :
2a x
2a x
=
d2 + d1
2D
on obtient l’expression de la différence de marche :
δ = d2 − d1 =
δ=
3.3.4
ax
D
(3.14)
Position des maxima et des minima
Positions des franges brillantes
On observe une frange brillante en M si l’interférence y est constructive, c’est-à-dire
si :
λ
δ = 2n , n ∈ Z
2
en tenant compte de la relation (3.14) :
ax
= nλ
D
λD
x=n
.
a
λD
λD
λD
Les abscisses des franges brillantes sont donc : 0, ±
, ±2
, ±3
, ...
a
a
a
La frange centrale est brillante.
Deux franges brillantes voisines sont séparées par la distance constante
λD
.
a
88
Ondes et lumière
1BC - AL
Positions des franges obscures
On observe une frange obscure en M si l’interférence y est destructive, c’est-à-dire si :
λ
δ = (2n0 + 1) , n0 ∈ Z
2
en tenant compte de la relation (3.14) :
λ
ax
= (2n0 + 1)
D
2
2n0 + 1 λ D
x=
.
2
a
3 λD
5 λD
1 λD
, ±
, ±
, ...
2 a
2 a
2 a
λD
Deux franges obscures voisines sont séparées par la distance constante
.
a
Les abscisses des franges obscures sont donc : ±
Figure 3.22 – Positions et numéros des franges
Interfrange et longueur d’onde de la lumière
Définition L’interfrange i est la distance constante qui sépare deux franges voisines de
même nature.
λD
i=
(3.15)
a
Pour une lumière monochromatique donnée les franges sont d’autant moins serrées que
les fentes sont rapprochées ou que l’écran se trouve loin des fentes. L’interfrange dépend
de la longueur d’onde de la lumière. La mesure de l’interfrange permet de déterminer la
longueur d’onde de la lumière utilisée. On trouve des longueurs d’onde comprises entre
0,40 µm (lumière bleue) et 0,80 µm (lumière rouge).
Chapitre 4
Relativité restreinte
« Je n’ai aucun talent particulier. Je suis simplement curieux. » (Albert Einstein)
4.1
Les postulats d’Einstein
En 1905, Albert Einstein (1879–1955) publie un article qui allait révolutionner le monde de
la physique, intitulé « Zur Elektrodynamik bewegter Körper » (Einstein A. 1905 Annalen
der Physik1 17 : 891–921). Il y expose une nouvelle théorie en remplaçant les conceptions de
l’espace et du temps absolu de Newton par des conceptions relativistes sur ces grandeurs.
Pour cela il se fonde sur deux hypothèses dont il étudie de façon théorique les conséquences
logiques. Il pense que les résultats pourraient éventuellement être vérifiés ultérieurement
par l’expérience.
4.1.1
Premier postulat
Le principe de la relativité Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tous
les référentiels d’inertie.
Autrement dit, des expériences identiques menées à l’intérieur de n’importe quel référentiel d’inertie (référentiel galiléen) donneront toutes les mêmes résultats. La vitesse d’un
référentiel d’inertie est sans effet. Il est impossible de trancher la question : sommes-nous
au repos ou en mouvement rectiligne uniforme ?
Exemple 4.1 Le café que vous versez dans votre
tasse s’écoule exactement de la même manière, que
vous vous trouviez au repos dans votre salon, ou dans le
compartiment d’un train animé d’une vitesse constante
sur un tronçon rectiligne, ou encore dans un avion en
mouvement rectiligne et uniforme.
1
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34462944f/date.r=Annalen+der+Physik.langFR
90
Relativité restreinte
1BC - AL
Exemple 4.2 Un vaisseau spatial B se déplace d’un mouvement rectiligne uniforme
par rapport à un autre vaisseau A au repos
par rapport à la Terre. A et B constituent
des référentiels d’inertie. Dans chacun des
vaisseaux les astronautes effectuent la même
expérience qui consiste à allumer une lampe
à l’avant du vaisseau et à mesurer la vitesse
de la lumière émise.
Résultat : ils trouvent tous les deux la même
valeur c = 300 000 km/s.
4.1.2
Deuxième postulat
Le principe de la constance de la vitesse de la lumière La vitesse de la lumière
dans le vide est la même dans tous les référentiels d’inertie. Elle est indépendante du
mouvement de sa source ou de l’observateur.
Exemple 4.3 Reprenons les vaisseaux A et B de l’exemple 4.2 avec en plus une étoile
lointaine double envoyant ses ondes lumineuses vers les deux vaisseaux (figure 4.1). Les
astronautes de A et de B mesurent la vitesse de la lumière issue de chacune des deux
étoiles, ainsi que celle de la lumière issue d’une lampe se trouvant à bord de leur vaisseau :
ils trouvent pour toutes ces vitesses le même résultat c = 300 000 km/s.
Figure 4.1 – Constance de la vitesse de la lumière
Remarque :
Ce postulat est difficile à admettre. Si la lumière est une onde mécanique on s’attend à
ce que sa vitesse soit mesurée par rapport à un certain milieu de propagation. Mais on
n’a pas pu trouver un tel milieu. Si la lumière est constituée de particules, sa vitesse
1BC - AL
Relativité restreinte
91
devrait être mesurée par rapport à sa source. L’expérience montre qu’il n’est pas ainsi.
La théorie de l’électromagnétisme prévoit l’existence d’ondes se propageant dans le
vide à une vitesse constante, indépendante du référentiel d’étude et dont la valeur est
c = 300 000 km/s. Ce résultat fut confirmé par l’expérience de Michelson et Morley et
conduisit Einstein à formuler son deuxième postulat.
4.2
Définitions
Événement Un événement est un phénomène qui se produit en un point de l’espace et
à un instant unique dans le temps.
Observateur Un observateur est une personne ou un dispositif automatique pourvu
d’une horloge et d’une règle. Chaque observateur ne peut relever que les événements
de son entourage immédiat et doit s’en remettre à des collègues pour relever les
instants correspondants à des événements distants.
Référentiel Un référentiel est un ensemble d’observateurs répartis dans l’espace. Un
seul observateur est en fait assez proche d’un événement pour l’enregistrer, mais les
données pourront être communiquées plus tard aux autres observateurs.
4.3
Relativité de la simultanéité
Faisons « l’expérience par la pensée » (« Gedankenexperiment ») suivante :
Trois astronautes se déplacent à travers l’espace, d’un mouvement rectiligne et uniforme
par rapport à la Terre, au moyen des vaisseaux spatiaux A, C et B (figure 4.2). Les
vaisseaux se suivent à des distances rigoureusement égales. C porte le commandement
pour l’ensemble de la flotte. Les ordres sont transmis aux vaisseaux A et B au moyen
d’ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse c.
Figure 4.2 – Relativité de la simultanéité de deux événements
Afin de synchroniser les horloges de A et de B, C émet l’information : « Il est midi pile ! »
Les événements « A capte l’information » et « B capte l’information » sont observés d’une
part par les astronautes et d’autre part par un observateur terrestre (nous-mêmes par
exemple).
92
Relativité restreinte
1BC - AL
Qu’observent les astronautes ?
Les astronautes se voient mutuellement au repos. Les distances de A et de B par rapport à
C sont identiques. Le signal électromagnétique transmettant l’information à la vitesse c est
reçu simultanément par A et B, qui vont ainsi pouvoir synchroniser leurs horloges.
Qu’observons-nous ?
A va à la rencontre du signal, tandis que B fuit le signal. Comme la vitesse de propagation
du signal vaut également c pour nous, l’information est captée d’abord par A, et puis,
un peu plus tard seulement, par B. Pour nous, les deux événements ne sont donc pas
simultanés.
Conclusion Deux événements séparés dans l’espace qui ont lieu simultanément dans un
référentiel ne se produisent pas simultanément dans un autre référentiel en mouvement
rectiligne uniforme par rapport au premier.
4.4
Dilatation du temps
Considérons une « horloge à lumière », où une impulsion lumineuse
effectue des va-et-vient dans un tube entre deux miroirs parallèles
distants d’une longueur L (figure ci-contre). Un mécanisme compte
le nombre d’allers et retours comme dans les horloges mécaniques
normales.
Embarquons cette horloge dans un vaisseau en mouvement rectiligne
uniforme de vitesse v par rapport à la Terre. Supposons en plus
que la vitesse soit perpendiculaire au tube de l’horloge. Mesurons
l’intervalle de temps entre les événements « le signal part du miroir
inférieur » et « le signal est reçu par le miroir inférieur » !
Que mesure l’astronaute ?
Pour l’astronaute, l’horloge est au repos. Le signal lumineux parcourt une distance 2L = c T0 entre les deux miroirs. L’intervalle de
temps T0 mesuré entre les deux événements vaut dans le référentiel
des astronautes :
2L
.
T0 =
c
Que mesurons-nous ?
Pour nous, l’horloge est en mouvement uniforme de vitesse v et le signal parcourt une
distance plus longue. D’après le second postulat, la vitesse du signal lumineux est pour
nous également c. Il met donc un temps T /2 > T0 /2 pour parcourir la distance AB > L
entre les deux miroirs (figure 4.3).
Déterminons la relation entre T et T0 . Le théorème de Pythagore appliqué au triangle
rectangle (ABC) permet d’écrire :
Ç
T
c
2
å2
Ç
T
= v
2
å2
+ L2 .
1BC - AL
93
Relativité restreinte
Figure 4.3 – Trajectoire de la lumière dans le référentiel terrestre
Comme L = c
T0
, il vient :
2
Ç
T
c
2
En simplifiant :
å2
Ç
T
= v
2
å2
Ç
T0
+ c
2
å2
.
(c T )2 − (v T )2 = (c T0 )2
d’où :
T2 =
T0 2
(c T0 )2
=
2
c2 − v 2
1 − vc2
et finalement :
T =q
T0
1−
v2
c2
.
(4.1)
Comme le dénominateur est inférieur à 1, T > T0 .
Dans le référentiel terrestre, où on a disposé deux horloges séparées dans l’espace, l’intervalle de temps est supérieur à celui enregistré dans le référentiel de l’astronaute, à l’aide
d’une seule horloge.
Définition La durée entre deux événements se produisant au même lieu de l’espace est
appelée intervalle de temps propre. Cet intervalle est mesuré par une seule horloge se
trouvant à l’endroit où les événements se produisent.
Définition La durée entre deux événements se produisant en des lieux différents de
l’espace est appelée intervalle de temps impropre. Cet intervalle ne peut être mesuré que
par deux horloges se trouvant aux deux endroits où les événements se produisent.
94
Relativité restreinte
1BC - AL
Conclusion Deux horloges A et B séparées dans l’espace, enregistrent entre deux événements un intervalle de temps impropre ∆timpropre plus grand que l’intervalle propre ∆tpropre
enregistré par une seule horloge se déplaçant de A vers B, et qui est présente aux deux
événements.
∆tpropre
∆timpropre = q
2
1 − vc2
La figure 4.4 représente les intervalles de temps impropre et propre en fonction de la
vitesse.
Figure 4.4 – Relation entre intervalles de temps impropre et propre
Discussion :
• Pour les faibles vitesses, inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière, il n’y a
pratiquement pas de différence entre les indications des horloges en mouvement
et de celles au repos. L’idée du temps absolu de la mécanique classique reste une
approximation valable.
• Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, le temps doit être considéré
comme une grandeur relative, dépendant de l’observateur qui le mesure.
Remarque : les horloges en mouvement retardent !
• Si, dans l’expérience par la pensée précédente, nous nous équipons également d’une
« horloge à lumière » (au repos), nous mesurons sur elle, pour un aller et retour
du signal, la durée propre T0 (la même que l’astronaute mesure sur son horloge au
repos, à cause du premier postulat).
Nous constatons : pendant que sur l’horloge de l’astronaute, en mouvement, le signal
a parcouru un aller et retour, celui sur notre horloge au repos a parcouru plus d’un
aller et retour.
1BC - AL
Relativité restreinte
95
Nous concluons : l’horloge de l’astronaute (en mouvement) marche plus lentement
que notre horloge (au repos). En termes simples : l’horloge en mouvement retarde.
• Si, dans l’expérience par la pensée précédente, l’astronaute examine notre « horloge
à lumière » (en mouvement pour lui), il doit aboutir à la même conclusion, c.-à-d.
que notre horloge en mouvement marche plus lentement que la sienne au repos.
Conséquence :
Pour l’observateur terrestre, tout ce qui se passe dans le vaisseau spatial (gestes quotidiens, mouvements de machines, battements du cœur et autres phénomènes physiologiques, . . .), se déroule au ralenti. De même pour l’astronaute observant l’observateur
terrestre !
4.5
Contraction des longueurs
Considérons un vaisseau en train de se déplacer de la Terre vers Jupiter en ligne droite
et à vitesse v constante, par rapport à la Terre et à Jupiter (figure 4.5). Admettons également que cette distance reste rigoureusement constante de sorte que l’ensemble « Terre
+ Jupiter » constitue un référentiel d’inertie, de même que le vaisseau en mouvement par
rapport au référentiel « Terre + Jupiter ».
Figure 4.5 – Mesure de la distance Terre-Jupiter
Mesurons la distance Terre-Jupiter dans les deux référentiels.
Connaissant la valeur v de la vitesse du vaisseau, il suffit de mesurer la durée du voyage,
c’est-à-dire la durée entre les événements « le vaisseau passe à la hauteur de la Terre » et
« le vaisseau passe à la hauteur de Jupiter », et de calculer la distance cherchée.
Que mesure l’astronaute ?
Pour l’astronaute, les deux événements se passent tout près de son vaisseau, donc au
même endroit. Une seule horloge lui suffit. Il mesure la durée propre T0 .
96
1BC - AL
Relativité restreinte
Dans le référentiel de l’astronaute, la distance Terre-Jupiter est une longueur en mouvement. Elle est notée L et vaut :
L = v T0 .
(4.2)
Que mesurons-nous ?
Pour nous, les deux événements ne se passent pas au même endroit. Nous devons installer
deux horloges synchronisées, une première horloge sur Terre afin de repérer la date du
premier événement, et une autre sur Jupiter pour celle du deuxième événement. Nous
mesurons manifestement une durée impropre T .
Par contre dans notre référentiel, la distance Terre-Jupiter est une longueur au repos. Elle
est notée L0 et vaut :
L0 = v T.
(4.3)
En divisant membre par membre les équations (4.2) et (4.3) en en simplifiant par v on
obtient :
L
T0
= .
L0
T
D’après l’équation (4.1) on a :
L
=
L0
s
v2
1 − 2 ⇒ L = L0
c
s
1−
v2
.
c2
Comme la racine carrée est inférieure à 1, L < L0 . Dans le référentiel de l’astronaute,
la longueur (L en mouvement) est plus courte que dans le référentiel terrestre (L0 au
repos).
Conclusion Une longueur est plus courte dans un référentiel par rapport auquel elle est
en mouvement (Lmouvement ), que dans un référentiel par rapport auquel elle est au repos
(Lrepos ).
s
Lmouvement = Lrepos
1−
v2
c2
La figure 4.6 représente les longueurs en mouvement et au repos en fonction de la vitesse.
Discussion :
• Il n’y a que les longueurs parallèles au vecteur vitesse qui dépendent du référentiel dans lequel on les mesure. (La longueur L de l’horloge lumineuse du chapitre
précédent était la même dans les deux référentiels !)
• Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), il n’y a
pratiquement pas de différence entre les longueurs en mouvement et celles au repos.
L’idée de l’espace absolu de la mécanique classique reste une approximation valable.
• Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, la longueur doit être considérée
comme une grandeur relative, dépendant de l’observateur qui la mesure.
1BC - AL
Relativité restreinte
97
Figure 4.6 – Relation entre longueurs en mouvement et au repos
• Pour les photons dont la vitesse est c, la dimension spatiale parallèle à leur déplacement a complètement disparue.
Remarque : les longueurs en mouvement raccourcissent !
• Considérons le référentiel terrestre, où se trouve une règle graduée au repos, et un
vaisseau spatial, de vitesse ~v par rapport à la Terre, muni également d’une même
règle graduée. L’observateur terrestre aussi bien que l’astronaute voient leur règle
au repos, de longueur L0 .
L’observateur terrestre mesure, pour la longueur de la règle du vaisseau en mouvement par rapport à lui, une longueur raccourcie L < L0 .
• De même, l’astronaute mesure la longueur L < L0 pour la règle terrestre.
Conséquence :
Si un corps initialement au repos est mis en mouvement il raccourcit suivant la direction
parallèle au mouvement.
4.6
4.6.1
Expérience des muons (Frisch et Smith 1963)
Description de l’expérience
L’expérience des muons est une preuve expérimentale de la dilatation du temps et de
la contraction des longueurs. Les muons sont des particules élémentaires produites dans
la haute atmosphère par bombardement avec les protons du rayonnement cosmique, et
qui se désintègrent spontanément pour donner d’autres particules. Si on a N0 muons à
l’instant t = 0, on observe qu’à un instant ultérieur t il en reste N :
− ln 2
N = N0 e
t
T0
.
où T0 = 1,5 µs est la demi-vie des muons mesurée dans un référentiel où les muons sont
au repos.
98
Relativité restreinte
1BC - AL
L’expérience de Frisch et Smith (figure 4.7) consistait à compter le nombre N1 de muons
détectés par heure au sommet du Mount Washington (New Hampshire, altitude 1910 m)
ainsi que celui N2 détecté au niveau de la mer (altitude 3 m). Le compteur fut réglé pour
compter les muons ayant une vitesse égale à 0,995 c. Les résultats furent les suivants :
N1 = 563 ± 10 muons et N2 = 408 ± 9 muons.
Figure 4.7 – Expérience des muons de Frisch et Smith
Un calcul simple montre qu’en absence de considérations relativistes, il n’y a pas moyen
d’expliquer que les muons atteignent en nombre tellement élevé le niveau de la mer. En
effet, les muons mettraient 6,4 µs pour parcourir les 1907 m et le nombre de muons qui
atteindraient le niveau de la mer serait seulement de :
6,4
N2 = N1 e− ln 2 1,5 = 29.
La dilatation du temps et la contraction des longueurs nous fournissent l’explication correcte.
4.6.2
Explication à l’aide de la dilatation du temps
L’intervalle de temps entre les événements « le muon passe au Mount Washington » et
« le muon passe au niveau de la mer » est un intervalle de temps propre ∆t0 pour le
muon et un intervalle de temps impropre ∆t, beaucoup plus grand, pour l’observateur
terrestre.
Comme ∆t = 6,4 µs et v = 0,995 c on obtient pour la durée du parcours vue par le
muon :
s
v2
∆t0 = ∆t 1 − 2 = 0,64 µs.
c
1BC - AL
Relativité restreinte
99
De même, la demi-vie de 1,5 µs est un intervalle de temps propre pour le muon et un intervalle de temps impropre T , considérablement allongé, pour l’observateur terrestre :
T =q
T0
1−
= 15 µs.
v2
c2
Dans le référentiel du muon, la demi-vie vaut 1,5 µs et la durée du parcours 0,64 µs. Le
nombre de muons atteignant le niveau de la mer vaut donc :
0,64
1,5
N2 = N1 e− ln 2
= 419
ce qui est une bonne concordance compte tenu des erreurs expérimentales.
Dans le référentiel terrestre, la durée de vie moyenne vaut 15 µs et la durée du parcours
6,4 µs. On trouve le même nombre N2 .
4.6.3
Explication à l’aide de la contraction des longueurs
Dans le référentiel du muon, la distance à parcourir du sommet du Mount Washington au
niveau de la mer est une longueur en mouvement, beaucoup plus courte que la longueur
Lrepos = 1907 m mesurée dans le référentiel terrestre :
s
Lmouvement = Lrepos
1−
v2
= 191 m.
c2
Cette faible distance sera parcourue en 0,64 µs. On retrouve le résultat précédent !
Remarque :
L’effet mesuré dans cette expérience est loin d’être négligeable ! La désintégration des
muons s’est faite à un rythme 10 fois plus lent qu’au repos. Tous les jours, les physiciens
qui étudient les particules de haute énergie, travaillant sur des accélérateurs de grande
puissance, ont affaire à des particules qui se désintègrent spontanément plus de 100
fois plus rapidement que les muons. Si la dilatation du temps ne jouait pas, elles se
désintégreraient et disparaîtraient avant d’avoir parcouru plusieurs mètres, même en
se déplaçant presque à la vitesse de la lumière. C’est parce que leur désintégration est
ralentie qu’on peut les observer à plus de 100 mètres du point où ils sont produits
dans l’accélérateur. On peut, en conséquence, les utiliser dans d’autres expériences. La
dilatation du temps devient ainsi une affaire quotidienne pour ces physiciens.
4.7
Quantité de mouvement
Selon le premier postulat d’Einstein, les lois physiques sont les mêmes dans tous les
référentiels d’inertie. Les trois principes de Newton, la conservation de la quantité de
mouvement ainsi que la conservation de l’énergie s’appliquent toujours et dans tous les
référentiels d’inertie.
100
Relativité restreinte
1BC - AL
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
X
i
d~p
F~i =
dt
où p~ est le vecteur quantité de mouvement. Pour que cette loi fondamentale vérifie le
premier postulat d’Einstein, il faut donner une nouvelle définition au vecteur p~.
Définition La quantité de mouvement relativiste d’une particule, de masse au repos m0 ,
animée d’une vitesse ~v , est définie par :
m0 ~v
p~ = m ~v = q
2
1 − vc2
où m est la masse relativiste définie par :
m= q
m0
1−
v2
c2
La figure 4.8 représente la quantité de mouvement par unité de masse en fonction de la
vitesse :
• en rouge la quantité de mouvement relativiste par unité de masse ;
• en bleu la quantité de mouvement classique (pclassique = m0 v) par unité de masse.
Figure 4.8 – Quantité de mouvement par unité de masse
Discussion :
1BC - AL
Relativité restreinte
101
• Si v = 0 alors m = m0 qui est la masse au repos de la particule. Elle est égale à la
masse en mécanique classique.
• Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), la quantité
de mouvement est pratiquement égale à son expression en mécanique classique :
p ≈ m0 v. L’expression classique reste donc une approximation valable.
• Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, la quantité de mouvement
doit être considérée comme grandeur relativiste, dépendant de l’observateur qui la
mesure.
4.8
4.8.1
Énergie
Énergie d’un corps
Définition L’énergie totale d’un corps de masse au repos m0 et de vitesse v s’écrit :
m 0 c2
E = m c2 = q
2
1 − vc2
(4.4)
Pour un corps de vitesse nulle : E0 = m0 c2 .
La formule E = m c2 , la plus célèbre de la physique probablement, traduit l’équivalence
entre l’énergie et la masse.
Note historique :
Albert Einstein a démontré incorrectement la formule dans son article « Ist die Trägheit
eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig ? » (Einstein A. 1905 Annalen der
Physik 18, 639–643). La formule fut établie correctement pour la première fois par Max
Planck (« Zur Dynamik bewegter Systeme », Planck M. 1908 Annalen der Physik 26,
1–34).
4.8.2
Énergie au repos
La quantité E0 = m0 c2 est l’énergie totale d’un corps au repos. Elle représente la somme
de toutes les énergies internes (thermique, nucléaire, chimique), et des énergies potentielles
(électrique, gravitationnelle, élastique).
Exemple 4.4 Pour m0 = 1 g, on obtient E0 = 9 · 1013 J (énergie énorme !).
Exemple 4.5 Pour un électron de masse au repos m0 = 9,1 · 10−31 kg, on obtient
E0 = 8,19 · 10−14 J = 511 keV.
102
Relativité restreinte
1BC - AL
Remarque : en utilisant l’expression de l’énergie au repos, l’expression pour l’énergie totale
peut s’écrire :
E0
E=q
.
(4.5)
2
1 − vc2
4.8.3
Équivalence énergie-masse
L’équivalence entre l’énergie et la masse constitue l’un des aspects les plus célèbres de
la théorie de la relativité restreinte : si l’énergie d’un corps varie, alors sa masse varie
également. Ainsi, la libération d’énergie ∆E0 lors de la fusion ou de la fission nucléaire
(noyaux pratiquement au repos) s’accompagne d’une diminution de masse au repos ∆m0 ,
d’après ∆E0 = ∆m0 c2 .
De même, dans toute réaction chimique libérant de la chaleur ou de la lumière, la masse
au repos totale des constituants diminue. La loi de la conservation de la masse (loi de
Lavoisier) doit être remplacée par la loi de la conservation de l’énergie.
Par ailleurs, un photon d’énergie E, entrant en interaction avec une autre particule (ou
avec un champ électromagnétique assez fort), peut se matérialiser en une paire électronpositron (positron = anti-électron) où chacune des deux particules (de masse au repos
m0 ) créées acquiert l’énergie E/2 = m c2 (où m est la masse relativiste). L’énergie du
photon doit donc être supérieure à 2 m0 c2 .
L’équivalence entre l’énergie et la masse amène les physiciens à exprimer la masse au
repos d’une particule en unités d’énergie.
Exemple 4.6 La masse au repos du proton m0 = 1,673 · 10−27 kg correspond à l’énergie
m0 c2 = 1,504 · 10−10 J. Il serait possible, mais on ne le fait pratiquement jamais, de dire
qu’un proton a une masse au repos m0 = 1,504 · 10−10 J/c2 . L’énergie est plutôt exprimée
en électron-volts (eV) :
1,504 · 10−10
eV = 9,38 · 108 eV = 938 MeV.
1,602 · 10−19
Ainsi on dira que la masse au repos du proton est m0p = 938 MeV/c2 .
Exemple 4.7 Pour la masse au repos du neutron on trouve m0n = 940 MeV/c2 , celle
de l’électron est m0e = 0,511 MeV/c2 .
4.8.4
Masse et inertie
La théorie de la relativité révèle que l’inertie d’un corps de masse au repos m0 et de vitesse
v est exprimée par la masse relativiste :
m= q
m0
1−
v2
c2
=
E
.
c2
1BC - AL
Relativité restreinte
103
Lorsque la vitesse est faible (inférieure à 10 % de la vitesse de la lumière), on retrouve
le résultat de la physique classique, à savoir que l’inertie est exprimée par la masse au
repos :
E
m0 = 2 .
c
En physique classique, la masse d’un corps est indépendante de sa température, de son
énergie potentielle etc.
Pourtant, selon la relativité restreinte, la masse au repos dépend de la température :
une tarte chaude a plus d’énergie, plus de masse au repos et donc plus d’inertie qu’une
tarte identique froide. De même lorsqu’on comprime un ressort, le supplément d’énergie
élastique accroît sa masse au repos, et donc son inertie. Pour une lampe de poche allumée,
la masse au repos et l’inertie diminuent. (Les très faibles variations de la masse au repos
des corps macroscopiques ne sont pourtant pas mesurables !)
4.8.5
Énergie cinétique
Si v 6= 0 alors le corps possède l’énergie E = m c2 qui est la somme de l’énergie au repos
E0 et de l’énergie cinétique Ec .
Définition L’énergie cinétique relativiste d’une particule de masse au repos m0 et de
vitesse v est définie par :
m0 c2
− m0 c2 .
Ec = E − E0 = m c2 − m0 c2 = q
v2
1 − c2
Discussion :
• Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), on peut
utiliser le développement limité d’ordre un :
√
1
≈ 1 + 21 x2 , pour x . 0,1
1 − x2
pour montrer que l’énergie cinétique Ec est pratiquement égale à son expression
classique 12 m0 v 2 .
• Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, l’énergie cinétique doit être
considérée comme grandeur relativiste, dépendant de l’observateur qui la mesure.
• Lorsque v → c, alors Ec → ∞.
• Lorsque v → c, alors E → ∞. Or une particule d’énergie infinie n’existe pas. Donc
v = c est impossible pour une particule matérielle. Voilà un résultat surprenant de
la relativité restreinte.
Aucune particule de masse au repos non nulle ne peut atteindre et donc dépasser la
vitesse de la lumière.
104
Relativité restreinte
4.8.6
1BC - AL
Relation entre l’énergie et la quantité de mouvement
En élevant au carré l’expression (4.5) de l’énergie totale on obtient :
E2 =
d’où :
E
2
v2
1− 2
c
Ç
å
E0 2
2
1 − vc2
= E0 2 ⇒ E 2 − E 2
v2
= E0 2 .
c2
En utilisant l’expression (4.4) pour remplacer E dans le deuxième terme :
E 2 − m2 c4
v2
= E0 2 ⇒ E 2 = m2 v 2 c2 + E0 2 .
2
c
L’expression m v correspond à la valeur p de la quantité de mouvement. On obtient
finalement une relation entre l’énergie totale d’une particule, sa quantité de mouvement
et son énergie au repos :
E 2 = p 2 c2 + E 0 2
(4.6)
Discussion :
• Les expériences en physique des particules donnent des informations sur l’énergie
totale et sur la quantité de mouvement d’une particule détectée. L’expression (4.6)
permet alors de calculer l’énergie au repos et donc la masse au repos de la particule.
• Pour des particules matérielles de très grande vitesse, E est largement supérieur à
E0 , et on obtient :
E ≈ p c.
• Les photons sont des particules qui se déplacent à la vitesse de la lumière. Leur
masse au repos est par conséquent nulle et l’expression (4.6) peut être simplifiée :
E = p c.
Même si la masse au repos d’un photon est nulle, il transporte de la quantité de
mouvement dont il faut tenir compte lors de collisions avec d’autres particules !
• L’énergie E et la quantité de mouvement p d’une particule dépendent du référentiel
dans lequel on les mesure. Par contre la quantité E 2 − p2 c2 ne dépend pas du
référentiel. C’est une quantité invariante. On l’appelle invariant relativiste.
Chapitre 5
Dualité onde-corpuscule
5.1
5.1.1
Aspect corpusculaire de la lumière
Expérience de Hertz (1887)
Une plaque de zinc montée sur un électroscope est chargée, puis éclairée par la lumière
émise par une lampe à vapeur de Hg (figure 5.1).
Figure 5.1 – Dispositif de l’expérience de Hertz
Observations :
L’expérience comporte trois étapes :
1. Initialement la plaque de zinc et l’électroscope sont chargés négativement : l’aiguille
de l’électroscope dévie.
Puis la plaque de zinc est éclairée : l’électroscope se décharge.
2. La plaque de zinc est rechargée négativement et une plaque de verre est interposée
entre la lampe et le zinc : il n’y a plus de décharge bien que le zinc soit toujours
éclairé à travers le verre. Même en rapprochant davantage la lampe de la plaque, la
décharge n’a pas lieu.
La plaque de verre est enlevée : la décharge s’effectue immédiatement.
106
Dualité onde-corpuscule
1BC - AL
3. La plaque de zinc est chargée positivement, puis éclairée : la décharge ne se produit
pas.
Interprétation :
La lumière, éclairant la plaque de zinc, permet d’extraire des électrons du métal.
• À l’étape 1, les électrons, une fois extraits, sont repoussés par la charge négative de
la plaque : la décharge s’effectue.
• À l’étape 2, la lumière ayant traversé le verre n’a plus l’énergie « adéquate » pour
sortir des électrons du zinc, malgré le fait qu’en approchant la lampe on ait augmenté
l’énergie captée.
La lumière émise par la lampe à Hg est riche en rayonnement ultraviolet. Or le verre
arrête le rayonnement ultraviolet (fréquence ν > 7,5 · 1014 Hz). Il laisse par contre
passer le rayonnement visible et infrarouge lequel ne permet donc pas d’obtenir
l’effet photoélectrique même s’il est très intense !
• À l’étape 3, la plaque de zinc, chargée positivement, rappelle les électrons émis : la
décharge n’est pas observée.
Définition On appelle effet photoélectrique l’extraction d’électrons de la matière par un
rayonnement électromagnétique.
5.1.2
Comment peut-on extraire un électron d’un métal ?
Un métal est constitué par un réseau cristallin d’ions positifs entre lesquels circulent des
électrons liés au réseau mais libres de se déplacer à l’intérieur de ce réseau.
Pour extraire un électron, il faut lui fournir une énergie Ws , appelée travail de sortie
ou travail d’extraction. Elle représente l’énergie de liaison de l’électron au réseau métallique.
Figure 5.2 – Diagramme énergétique pour un électron
Le diagramme énergétique de la figure 5.2 illustre que :
• à l’intérieur du métal, l’électron a le moins d’énergie, car il est lié au réseau ;
• lorsque l’électron a capté l’énergie E = Ws , il est sorti du métal et est au repos
(Ec = 0) ;
1BC - AL
Dualité onde-corpuscule
107
• lorsque l’électron a capté une énergie E > Ws , il est sorti du métal et a une énergie
cinétique Ec = E − Ws .
5.1.3
Insuffisance du modèle ondulatoire
Dans le cadre du modèle ondulatoire, un rayonnement lumineux est considéré comme une
onde électromagnétique. Comme toute onde, une onde électromagnétique transporte de
l’énergie de façon continue. L’énergie transportée par unité de temps à travers une surface
est :
• proportionnelle à l’intensité de la lumière (égale au carré de l’amplitude de l’onde) ;
• indépendante de la fréquence de l’onde.
Ce modèle n’arrive pas à expliquer certains résultats de l’expérience de Hertz :
• un rayonnement UV peut extraire des électrons du métal alors qu’un rayonnement
du domaine visible de même intensité n’y arrive pas ;
• un rayonnement visible de forte intensité n’apporte pas, même après une durée
considérable, l’énergie nécessaire pour extraire des électrons du métal.
5.1.4
Modèle corpusculaire de la lumière
L’expérience de Hertz permet de conclure que l’énergie apportée par un rayonnement lumineux, bien que quantitativement suffisante, ne l’est pas toujours qualitativement.
Pour expliquer l’effet photoélectrique, nous devons renoncer au modèle ondulatoire et
recourir au modèle corpusculaire de la lumière. L’hypothèse suivante fut formulée par
Einstein en 1905.
Modèle corpusculaire de la lumière Un rayonnement électromagnétique de fréquence
ν peut être considéré comme un faisceau de particules indivisibles : les photons. Chaque
photon transporte un quantum d’énergie :
E = hν
où h représente la constante de Planck.
5.1.5
Les propriétés du photon
Le photon (ou grain de lumière) est une particule élémentaire relativiste associée à une
onde électromagnétique de fréquence ν. Cette coexistence de propriétés corpusculaires et
ondulatoires est appelée dualité onde-corpuscule.
Les principales propriétés du photon sont :
• On lui attribue une masse au repos nulle. Sa masse relativiste n’est pas nulle et vaut
E/c2 .
108
Dualité onde-corpuscule
1BC - AL
• Il a une charge électrique nulle.
• Il se déplace dans le vide à la vitesse c = 3 · 108 m/s.
• Son énergie est E = h ν avec h = 6,63 · 10−34 J s.
c
hc
Comme ν = la relation précédente peut également s’écrire : E =
.
λ
λ
5.1.6
Interprétation de l’effet photoélectrique
Considérons un photon d’énergie E = h ν pénétrant dans un métal. Sur son parcours, il
peut éventuellement rencontrer un électron et lui céder quasi instantanément toute son
énergie. Le photon est complètement absorbé, il disparaît.
Ainsi, contrairement aux phénomènes ondulatoires, l’énergie n’est pas échangée de façon
continue, mais de façon discontinue par paquets indivisibles, de contenu E = h ν chacun.
Ces paquets représentent la plus petite quantité d’énergie échangée et sont appelés quanta
d’énergie.
Énoncé L’effet photoélectrique est une interaction entre un photon et un électron, où le
photon cède toute son énergie.
Lorsqu’un électron absorbe un photon, trois cas sont envisageables :
• h ν = Ws
L’énergie du photon est égale au travail de sortie de l’électron et suffit tout juste à
expulser l’électron hors du métal ! La fréquence correspond alors à la fréquence seuil
du métal :
Ws
.
ν = νs =
h
• h ν < Ws ⇔ ν < νs
L’énergie du photon est inférieure au travail de sortie et donc insuffisante pour
extraire un électron du métal : l’effet photoélectrique ne se produit pas et l’électron
reste prisonnier du réseau métallique.
• h ν > Ws ⇔ ν > νs
L’énergie du photon est supérieure au travail de sortie. L’électron capte l’énergie
h ν. La partie Ws de cette énergie sert à libérer l’électron du réseau métallique ;
l’électron conserve l’excédent sous forme d’énergie cinétique Ec :
Ec = h ν − Ws = h ν − h νs = h (ν − νs )
ce qui est la relation d’Einstein pour l’effet photoélectrique (prix Nobel 1921).
1BC - AL
5.1.7
Dualité onde-corpuscule
109
Propriétés d’un rayonnement électromagnétique
Un rayonnement électromagnétique est caractérisée par sa fréquence ν et sa puissance P .
La puissance d’un rayonnement électromagnétique éclairant une surface s’écrit :
P =
N
hν
∆t
où N est le nombre de photons frappant la surface pendant l’intervalle de temps ∆t.
Remarque :
L’augmentation de la puissance d’une source de lumière monochromatique de fréquence
donnée fait augmenter le nombre de photons émis par seconde.
5.2
5.2.1
Aspect ondulatoire des particules
Quantité de mouvement du photon
On a vu que le photon est une particule associée à une onde électromagnétique. L’énergie
E de la particule est liée à la fréquence ν de l’onde par la relation :
hc
.
(5.1)
λ
où h est la constante de Planck, c la vitesse de la lumière et λ la longueur d’onde.
E = hν =
L’étude de la relativité restreinte a montré que l’énergie du photon peut aussi être exprimée en fonction de sa quantité de mouvement p :
E = p c.
(5.2)
Les relations (5.1) et (5.2) donnent :
hc
= pc
λ
et finalement :
λ=
5.2.2
h
.
p
(5.3)
Longueur d’onde d’une particule matérielle
En considérant les analogies entre onde et particule d’une part et entre onde électromagnétique et photon d’autre part, Louis de Broglie présenta en 1924 (prix Nobel en 1929)
la théorie suivante :
Énoncé À toute particule de quantité de mouvement p est associée une onde de longueur
d’onde λ avec :
h
λ=
p
110
Dualité onde-corpuscule
1BC - AL
Davisson et Germer ont réalisé en 1927 une expérience (la figure 5.3 montre le schéma
du dispositif) mettant en évidence le comportement ondulatoire des électrons. Ils ont pu
vérifier expérimentalement la formule de De Broglie pour les électrons.
Figure 5.3 – Schéma du dispositif utilisé par Davisson et Germer
(a) photons
(b) électrons
Figure 5.4 – Diffraction par une feuille d’aluminium
5.2.3
Caractère ondulatoire des particules matérielles
D’autres expériences de diffraction par un cristal (figure 5.4) ou d’interférences par une
double fente (figure 5.5) ont confirmé les hypothèses de De Broglie.
Dualité onde-corpuscule Toutes les particules présentent un caractère ondulatoire.
Le caractère ondulatoire des particules est d’autant plus prononcé que la longueur d’onde
associée à la particule est grande, c’est-à-dire que la quantité de mouvement de la particule
est faible (relation 5.3).
Ceci explique pourquoi il est impossible de mettre en évidence le caractère ondulatoire
d’un corps macroscopique. Il faudrait utiliser des obstacles de diffraction d’une dimension
largement inférieure à la taille des protons.
1BC - AL
Dualité onde-corpuscule
Figure 5.5 – Interférences d’électrons par une double fente
111
Chapitre 6
Atome de Bohr
6.1
6.1.1
Étude expérimentale du spectre d’émission de
l’atome d’hydrogène
Spectre continu et spectre discontinu
En comparant le spectre du rayonnement thermique émis par les corps denses (Soleil, arc
électrique, filament incandescent, . . .) et le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène, on
constate que :
• Le spectre du rayonnement thermique (figure 6.1a) est continu ce qui veut dire que
toutes les couleurs, c.-à-d. les longueurs d’ondes correspondantes, y sont représentées.
(a) émis par un corps dense
(b) émis par l’atome d’hydrogène
Figure 6.1 – Spectres de rayonnements électromagnétiques
• Le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène (figure 6.1b) est discontinu. On ne
peut distinguer que quelques raies colorées auxquelles correspondent des longueurs
d’ondes discrètes que l’on peut mesurer à l’aide d’un spectromètre adéquat.
En 1885, Johann Jacob Balmer publia une formule empirique permettant de calculer les
longueurs d’onde du spectre de l’atome d’hydrogène. Cette formule, que Johannes Robert
Rydberg généralisa en 1890, peut s’écrire pour la partie visible du spectre de l’atome
d’hydrogène :
Å
1
1
1ã
= RH
−
(6.1)
λ
22 n2
1BC - AL
Atome de Bohr
113
où n est un nombre entier avec n > 2. C’est la formule de Balmer-Rydberg.
Le terme 1/λ est souvent employé en spectroscopie. On l’appelle nombre d’onde (« Wellenzahl »). Sa valeur, en unités SI, est égale au nombre de longueurs d’onde comprises
dans un mètre.
RH est une constante appelée constante de Rydberg. Sa valeur expérimentale vaut :
RH = 1,096 776 · 107 m−1 .
Exercice 6.1
1. Pour les quatre raies bien visibles Hα (n = 3) ; Hβ (n = 4) ; Hγ (n = 5) et Hδ (n = 6)
du spectre d’émission de l’atome d’hydrogène, calculer λ.
2. Quelles sont les couleurs de ces raies ?
3. Montrer, en calculant sa longueur d’onde, qu’il est possible de prédire l’existence
d’une 5e raie dans le spectre visible (390 nm < λ < 780 nm) de l’atome H.
À cause de sa faible intensité, cette raie est difficilement observable à l’aide de
spectroscopes ordinaires.
6.1.2
Spectre d’émission et spectre d’absorption
Un spectre d’émission (figure 6.2) s’obtient en faisant traverser la lumière émise par une
source à travers un spectroscope. On obtient un spectre continu ou des raies colorées sur
un fond noir.
Figure 6.2 – Spectre d’émission de l’atome d’hydrogène
Un spectre d’absorption (figure 6.3) s’obtient en interposant sur la trajectoire de la lumière
blanche l’élément absorbant. On obtient des raies (ou des bandes) noires sur fond arc-enciel.
Figure 6.3 – Spectre d’absorption de l’atome d’hydrogène
114
6.2
6.2.1
Atome de Bohr
1BC - AL
Étude théorique semi-classique de l’atome d’hydrogène
Postulats de Bohr
En 1913, Niels Bohr propose son modèle atomique basé sur des principes classiques (2e
principe de Newton) mais aussi sur des principes de la physique moderne (transport de
l’énergie rayonnée par paquets indivisibles : les photons). Son modèle remplaçait celui de
Rutherford (modèle planétaire) qui, à cause de son approche purement classique, n’était
pas dans la mesure d’interpréter l’émission discontinue des spectres atomiques.
D’autre part, selon la théorie classique de l’émission électromagnétique, toute charge accélérée émet un rayonnement et perd ainsi de l’énergie. Vu qu’un électron qui tourne autour
d’un noyau est une charge accélérée, le système noyau-électron devrait perdre continuellement de l’énergie ce qui signifie que l’électron devrait tôt ou tard finir sa course dans le
noyau. Mais ce n’est pas le cas.
Pour expliquer les spectres discontinus et, en même temps, contourner le problème de la
perte continuelle d’énergie de l’électron accéléré, Bohr, dans son modèle, eut recours à des
postulats.
Postulat des orbites (1er postulat) Sans émission de rayonnement, les électrons
ne peuvent graviter autour du noyau que sur certaines orbites permises. Celles-ci sont
déterminées par la condition de quantification suivante :
m vn rn = n
avec : n
m
rn
vn
h
h
2π
(6.2)
nombre quantique principal, n ∈ N∗
masse de l’électron
rayon de l’orbite de l’électron autour du noyau
vitesse linéaire de l’électron sur son orbite
constante de Planck
Postulat des émissions et absorptions d’énergie (2e postulat) À chaque orbite
permise correspond un niveau énergétique déterminé. Les transitions électroniques d’une
orbite vers une autre se font par sauts (« Quantensprünge ») et sont accompagnées de
l’émission ou de l’absorption d’un photon d’énergie E :
E = |Ef − Ei | = h ν
avec : Ei
Ef
ν
(6.3)
énergie correspondant à l’orbite de départ
énergie correspondant à l’orbite d’arrivée
fréquence du rayonnement émis ou absorbé
Exercice 6.2 Sur le schéma de gauche, représenter une transition électronique de l’orbite
extérieure vers une orbite plus proche du noyau. Le photon correspondant est-il émis ou
1BC - AL
Atome de Bohr
115
absorbé ? Dessiner le train d’onde représentant ce photon et indiquer avec une flèche son
sens de propagation.
Sur l’autre figure représenter une transition d’une orbite interne vers l’orbite externe.
(Attention ! Vos schémas ne traduisent pas la réalité physique. En effet, d’après la mécanique ondulatoire un électron ne peut pas être localisé sur une orbite. Soyez en conscients.)
6.2.2
Étude des orbites
Modèle classique de Rutherford
Considérons un atome d’hydrogène et admettons que, conformément au modèle planétaire
de Rutherford, l’électron de charge qe = −e et de masse m tourne avec une vitesse linéaire
v autour du proton de charge qp = e et de masse mp m.
L’électron est soumis à la force de Coulomb
d’intensité :
FC =
1 |qe qp |
.
4π0 r2
La relation fondamentale de la dynamique
s’écrit :
F~C = m ~a.
Les vecteurs, exprimés dans la base de Frenet, ont des coordonnées tangentielles nulles. Selon la normale :
FC = m aN
ce qui devient, en remplaçant :
v2
1 |qe qp |
=
m
.
4π0 r2
r
Après simplification :
1 e2
= m v2
4π0 r
(6.4)
116
Atome de Bohr
et finalement :
r=
1BC - AL
e2
.
4π0 m v 2
Conclusion :
D’après la théorie classique, tous les rayons sont permis car il n’existe aucune condition
limitant les valeurs possibles de v.
Modèle de Bohr
D’après le premier postulat de Bohr, seules les orbites dont les rayons sont définis par
l’expression (6.2) permettent à l’électron de graviter sans émission de rayonnement autour
du proton. Les vitesses possibles sont ainsi données par :
vn =
nh
2π m rn
En remplaçant vn dans l’expression obtenue à l’aide du modèle classique on trouve :
rn =
0 h2 2
n.
π m e2
(6.5)
Conclusions :
• En tenant compte du premier postulat de Bohr, on constate que rn ne peut pas
prendre n’importe quelle valeur. Les orbites permises sont situées sur des couches
sphériques et concentriques (« Schalen ») de rayons discrets r1 ; r2 ; r3 ; etc. autour
du noyau. Pour cette raison, le modèle de Bohr est encore appelé « modèle des
couches » (« Schalenmodell »).
n=1
n=2
n=3
..
.
couche K
couche L
couche M
..
.
Table 6.1 – Les différentes couches de l’atome d’hydrogène
• Les rayons des différentes couches K, L, M, . . . sont proportionnels au carré du
nombre quantique principal n : rn ∼ n2 .
L’orbite la plus proche du proton est celle correspondant à la couche K (n = 1). Le
rayon de cette orbite vaut :
r1 =
0 h2
= 0,529 · 10−10 m.
π m e2
On l’appelle rayon de Bohr. D’où :
rn = r1 n2
(6.6)
1BC - AL
117
Atome de Bohr
Exercice 6.3 En choisissant r1 7→ 0,5 cm, dessiner à l’échelle les quatre premières
couches d’un atome d’hydrogène. Marquer sur la figure la lettre de chaque couche, son
nombre quantique principal et son rayon exprimé à l’aide de r1 .
6.2.3
Étude énergétique de l’atome d’hydrogène
Énergie potentielle du système proton-électron
Considérons un système conservatif évoluant à énergie cinétique constante et soumis à
une force extérieure. Rappelons-nous que la variation de l’énergie potentielle du système
est alors égale au travail de la force extérieure :
∆Ep = W (F~ext ).
Appliquons cette relation à l’atome d’hydrogène. Soit F~ext la force à exercer pour sortir
(r → ∞), à vitesse constante, l’électron de l’atome. Soit r0 le rayon de l’orbite de laquelle
l’électron est retiré. La relation précédente s’écrit :
Ep (∞) − Ep (r0 ) = Wr0 →∞ (F~ext ).
Attribuons arbitrairement l’état de référence des énergies potentielles à l’électron libre,
c.-à-d. à l’électron sorti entièrement de l’atome (r → ∞). Vu que dans ce cas Ep (∞) = 0
on obtient :
− Ep (r0 ) = Wr0 →∞ (F~ext ).
(6.7)
La force extérieure doit être à chaque instant opposée à la force de Coulomb :
F~ext = −F~C ⇒ Fext = FC =
1 e2
.
4π0 r2
Comme celle-ci n’est pas constante au cours du déplacement, il faut déterminer le travail élémentaire dW (F~ext )
et utiliser le calcul intégral pour obtenir le travail total.
La force effectue un travail élémentaire pour un éloignement infinitésimal d~r de l’électron du proton :
dW (F~ext ) = F~ext · d~r = Fext dr =
1 e2
dr.
4π0 r2
En remplaçant dans l’expression (6.7) on obtient :
1 e2
dr
r0
r0 4π0 r 2
Z ∞
e2
1
e2 ï 1 ò∞
=
dr =
−
4π0 r0 r2
4π0
r r0
Ç
å
e2
1
e2 1
−Ep (r0 ) =
0+
=
.
4π0
r0
4π0 r0
−Ep (r0 ) = Wr0 →∞ (F~ext ) =
Z ∞
dW (F~ext ) =
Z ∞
L’énergie potentielle du système proton-électron correspondant au rayon orbital r vaut
donc :
e2 1
Ep (r) = −
.
4π0 r
118
Atome de Bohr
1BC - AL
Énergie cinétique du système
La masse du proton est si grande, comparée à celle de l’électron, qu’en première approximation on peut considérer le proton comme restant immobile. Toute l’énergie cinétique
est ainsi attribuée au mouvement de l’électron autour du proton. La relation (6.4) permet
de l’exprimer en fonction du rayon r de l’orbite :
1 1 e2
1 e2
Ec (r) = m v =
=
= − 12 Ep (r).
2 4π0 r
8π0 r
1
2
2
Énergie de l’atome d’hydrogène
L’énergie d’un atome d’hydrogène est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie
potentielle :
1 e2
.
E(r) = Ec (r) + Ep (r) = −
8π0 r
Vu que les rayons sont quantifiés, l’énergie l’est certainement aussi :
E(rn ) = −
1 e2
.
8π0 rn
(6.8)
Conclusions :
• L’énergie de l’atome d’hydrogène est négative. Cela est dû à notre choix arbitraire
du niveau de référence de l’énergie potentielle, à savoir : Ep (∞) = 0. Ce choix est
judicieux car le bon sens nous suggère d’attribuer à un électron libre au repos une
énergie nulle.
• L’énergie de l’atome d’hydrogène ne peut pas prendre n’importe quelle valeur. Seules
les énergies remplissant la condition (6.8) sont permises. À chaque couche correspond
une énergie bien déterminée.
• Il faut fournir à l’atome d’hydrogène au moins le travail W = |E(rn )| positif pour
libérer l’électron circulant sur l’orbite n.
Si n = 1, ce travail porte le nom de travail de sortie ou travail d’extraction. On l’a
déjà rencontré lors de l’étude de l’effet photoélectrique. Il est numériquement égal
à l’énergie de liaison de l’électron à l’atome.
6.3
Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
En remplaçant l’expression (6.5) du rayon de l’orbite dans l’expression (6.8) de l’énergie
totale, cette dernière s’écrit en fonction du nombre quantique principal :
En = −
m e4 1
.
8 0 2 h2 n2
(6.9)
Si n = 1, l’énergie de l’atome d’hydrogène vaut : E1 = −21,8 · 10−19 J = −13,6 eV. C’est
l’énergie d’un atome d’hydrogène dans lequel l’électron se trouve sur la couche K.
1BC - AL
Atome de Bohr
119
E1
|E1 |
=− 2
2
n
n
(6.10)
La relation (6.9) devient :
En =
Le tableau 6.2 donne les énergies des premiers états énergétiques de l’atome d’hydrogène.
Couche
K
L
M
N
n
1
2
3
4
r (nm)
0,0529
0,2116
0,4761
0,8467
En (eV)
-13,6
-3,40
-1,51
-0,85
Table 6.2 – Énergies des premiers états de l’atome d’hydrogène
Exercice 6.4 Sur un axe vertical représentant l’énergie de l’atome d’hydrogène, représenter à l’échelle 1 eV 7→ 0,5 cm les niveaux d’énergie des quatre premières couches de
l’atome d’hydrogène par des traits horizontaux.
Annoter le schéma en marquant à côté de chaque couche son énergie, son nombre quantique principal et la lettre qui la détermine.
Remarque :
À chaque couche permise correspond un niveau d’énergie déterminé. Cependant, de
larges intervalles d’énergie sont défendus pour l’atome. Voilà ce qui distingue le modèle
de Bohr du modèle planétaire de Rutherford.
Conclusions :
• L’expression (6.10) montre que les couches correspondant à un nombre quantique n
élevé sont les couches les plus énergétiques.
• Plus n augmente, plus rn augmente et moins l’électron est lié au noyau. À la limite
quand n → ∞, l’électron est sorti de l’atome. Ce dernier est alors ionisé.
• Si n augmente, les niveaux énergétiques se rapprochent de plus en plus.
• Le niveau d’énergie le plus bas correspond à n = 1 (couche K). C’est l’état fondamental de l’atome. Si n > 1, l’atome se trouve dans un état excité.
• L’énergie d’ionisation Eion de l’atome d’hydrogène est l’énergie minimale qu’il faut
lui fournir pour arracher l’électron à partir de l’état fondamental.
On voit que Eion = |E1 | = 13,6 eV.
6.4
6.4.1
Transitions électroniques
Émission et absorption
D’après le 2e postulat de Bohr, si un électron passe d’un état initial ni vers un état final
nf , un photon est émis ou absorbé. Ce photon emporte (s’il est émis) ou apporte (s’il est
120
1BC - AL
Atome de Bohr
absorbé) la différence d’énergie entre les deux états de l’atome.
Si ni > nf :
émission d’un photon d’énergie h ν. L’atome se désexcite, il perd de l’énergie. On obtient un spectre d’émission formé par des raies colorées sur fond
noir.
Si ni < nf :
absorption d’un photon d’énergie h ν. L’atome est excité, il gagne de
l’énergie. On obtient un spectre d’absorption formé par des raies noires
sur fond arc-en-ciel.
6.4.2
Énergie du photon émise ou absorbée
D’après le principe de la conservation de l’énergie, il faut que, en valeur absolue, la variation d’énergie entre les deux états atomiques i et f soit égale à l’énergie du photon émis
ou absorbé.
D’après l’expression (6.3) :
E = |∆i→f E| = |Enf − Eni | =
6.5
1
|E1 | 2
nf
1 − 2 = h ν.
ni
Les limites du modèle de Bohr
Le modèle de Bohr permet de prédire correctement les niveaux énergétiques de l’atome
d’hydrogène et d’autres systèmes à un seul électron.
La représentation d’un électron sur des orbites bien définies d’un « système solaire miniature » n’est pas compatible avec le caractère ondulatoire de l’électron. Or, le fait que
l’électron soit confiné dans un espace dont les dimensions sont de l’ordre de grandeur de
sa longueur d’onde fait apparaître son caractère ondulatoire. C’est la nature ondulatoire
de la matière qui conduit aux orbitales atomiques et qui permet d’expliquer la structure
géométrique de l’atome.
Chapitre 7
Réactions nucléaires
7.1
7.1.1
Généralités
Définitions
Un atome est constitué d’électrons et d’un noyau, lui-même constitué de nucléons (protons
et neutrons). Le nombre de masse, noté A, est le nombre de nucléons d’un noyau. Le
nombre de charge, noté Z, est le nombre de protons de ce noyau.
Le nombre de neutrons est donc N = A − Z. L’atome étant électriquement neutre, Z
désigne également le nombre de ses électrons ; il est aussi appelé numéro atomique de
l’atome.
Un élément chimique est l’ensemble des atomes de même numéro atomique Z. On connaît
actuellement une centaine d’éléments chimiques.
Un nucléide est l’ensemble des atomes de noyau identique, ou l’ensemble de ces noyaux.
Deux atomes ou deux noyaux d’un même nucléide ont même nombre de charge Z et
même nombre de masse A. On représente un nucléide de l’élément X par l’écriture : A
Z X.
Actuellement, on connaît environ 1500 nucléides naturels ou artificiels. Ils se distinguent
les uns des autres soit par leur nombre de masse, soit par leur nombre de charge, soit par
les deux à la fois.
Les différents nucléides d’un même élément chimique sont dits isotopes. Deux isotopes ont
même nombre de charge Z mais un nombre de masse A différent. Les noyaux des isotopes
diffèrent par leur nombre de neutrons N .
Exemple 7.1 Les nucléides 126 C et
chimique carbone, ils sont isotopes.
7.1.2
14
6C
sont deux nucléides différents du même élément
Lois de conservation
Lors des réactions nucléaires, les grandeurs suivantes sont conservées :
• Le nombre de nucléons A.
122
Réactions nucléaires
1BC - AL
• La charge électrique et donc aussi le nombre de charge Z.
• L’énergie des particules participant à la réaction et formant un système isolé. On
rappelle que l’énergie totale E d’une particule est la somme de l’énergie cinétique
EC et de l’énergie au repos E0 :
E = EC + E0 .
Il est important d’inclure l’énergie au repos dans le bilan énergétique car elle tient
compte de l’énergie de liaison d’un noyau atomique.
• La quantité de mouvement.
7.2
7.2.1
La radioactivité
Ce qu’on entend par radioactivité
En 1896, Henri Becquerel découvrit que l’uranium et ses composés émettent continuellement un rayonnement. Pierre et Marie Curie poursuivant les travaux commencés par
Becquerel ont donné à ce phénomène le nom de radioactivité.
Définition On appelle radioactivité la transformation d’un noyau atomique au cours de
laquelle un rayonnement est émis.
On rencontre de nombreux éléments radioactifs naturels.
• L’uranium 238 ou 235 est un des éléments radioactifs naturels les plus importants.
• Le radon 222 est un gaz radioactif naturel, issu des roches et terrains contenant de
l’uranium.
• Le corps humain contient également des éléments radioactifs : le potassium 40 et le
carbone 14.
Parmi les 1500 nucléides connus, il en existe environ 325 naturels :
• 274 sont stables, leur noyau ne se modifie pas spontanément au cours du temps ;
• 51 sont instables car ils sont radioactifs, leur noyau est susceptible à tout moment de
subir un changement pouvant porter sur le nombre de masse A et/ou sur le nombre
de charge Z.
Si on classe ces nucléides stables en fonction des nombres qui les caractérisent, A et Z,
on peut tracer une courbe de stabilité (figure 7.1).
Les noyaux instables radioactifs se situent :
• de part et d’autre de la courbe de stabilité ; ces nucléides possèdent un excès ou un
défaut de neutrons ;
• au-delà du dernier nucléide stable (Z = 82), ces nucléides possèdent un excès de
nucléons. Ce sont les noyaux lourds.
1BC - AL
123
Réactions nucléaires
(a) réelle
(b) schématique
Figure 7.1 – Courbe de stabilité
7.2.2
Les différents modes de désintégration
La radioactivité α
Définition La radioactivité α est l’émission de noyaux d’hélium 42 He par certains noyaux. Les noyaux d’hélium sont aussi appelés particules ou rayons α.
Les noyaux émetteurs α ont des nombres de masse et de charge élevés (A > 200 ; Z > 82) ;
ce sont des noyaux trop lourds et donc instables.
La radioactivité α se traduit par une réaction nucléaire représentée par l’équation :
A
ZX
0
∗
→ 42 He + A
Z0 Y .
A0 et Z 0 sont reliés à A et à Z par les règles de conservation du nombre de nucléons et de
la charge électrique :
A = A0 + 4
Z = Z 0 + 2.
On obtient alors :
A
ZX
Exemple :
226
88 Ra
∗
→ 42 He + 222
86 Rn .
∗
→ 42 He + A−4
Z−2 Y
124
1BC - AL
Réactions nucléaires
(a) transition
(b) schéma
Figure 7.2 – Désintégration α d’un noyau lourd
Le nucléide X est appelé le noyau « père », Y est le noyau « fils ». La particule α est
éjectée du noyau avec une certaine énergie cinétique. La désintégration du noyau lourd
rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 7.2).
L’astérisque (∗ ) indique que le noyau fils peut être émis dans un état excité, qui donne
lieu ultérieurement à un rayonnement γ.
Remarque : pour un atome radioactif, la réaction nucléaire de désintégration ne porte
que sur les noyaux. Le cortège électronique de l’atome n’est pas modifié. De ce fait, dans
l’écriture de la réaction nucléaire, X est un noyau. Sinon, on écrirait par exemple, pour
les atomes et les ions :
2+
2−
226
4
+ 222
88 Ra → 2 He
86 Rn .
La radioactivité β −
La radioactivité β − , encore appelée rayonnement β − , est l’émission d’électrons par certains
noyaux.
La désintégration β − se produit pour des nucléides instables trop riches en neutrons ; elle
résulte de la désintégration, dans le noyau, d’un neutron qui se transforme en un proton
avec émission d’un électron et d’un antineutrino :
1
0n
→ 11 p + −10 e + 00 ν¯.
La réaction nucléaire β − est représentée par l’équation :
A
ZX
0
∗
→ −10 e + 00 ν¯ + A
Z0 Y .
L’existence de l’antineutrino fut postulée par Wolfgang Pauli pour rétablir la conservation
de l’énergie lors de la désintégration β − . En effet, l’étude du bilan énergétique de cette
réaction nucléaire montre que l’énergie du noyau père est toujours supérieure à la somme
des énergies du noyau fils et de l’électron ; l’antineutrino emporte une partie de l’énergie
initiale.
1BC - AL
125
Réactions nucléaires
L’antineutrino est une particule sans charge, sa masse au repos est quasiment nulle. Il est
très difficile de le détecter car il n’interagit que très faiblement avec la matière.
La conservation du nombre de nucléons et de la charge électrique relient respectivement
A à A0 et Z à Z 0 :
A = A0
Z = Z 0 − 1.
On obtient alors :
A
ZX
A ∗
Y
→ −10 e + 00 ν¯ + Z+1
(a) transition
(b) schéma
Figure 7.3 – Désintégration β −
Exemple :
14
6C
→ −10 e + 00 ν¯ + 147 N∗ .
Les noyaux situés à gauche de la courbe de stabilité se désintègrent par émission β − ; cette
désintégration rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 7.3).
Le noyau fils peut être émis dans un état excité et l’électron est éjecté avec une énergie
cinétique plus ou moins importante.
La radioactivité β +
La radioactivité β + se produit avec des nucléides obtenus artificiellement au laboratoire.
C’est pourquoi on la qualifie de radioactivité artificielle, elle est caractéristique des noyaux
trop riches en protons. Elle résulte de la désintégration, dans le noyau, d’un proton qui
se transforme en un neutron avec émission d’un positron et d’un neutrino :
1
1p
→ 10 n + 01 e + 00 ν.
La réaction nucléaire β + est représentée par l’équation :
A
ZX
0
∗
0
→ +10 e + A
Z 0 Y + 0 ν.
126
1BC - AL
Réactions nucléaires
Le positron est une particule de masse égale à celle de l’électron mais de charge opposée.
L’existence du neutrino fut postulée pour rétablir la conservation de l’énergie lors de
la désintégration β + . Le neutrino est une particule sans charge, sa masse au repos est
quasiment nulle. Il est très difficile de le détecter car il n’interagit que très faiblement
avec la matière.
Remarque : le neutrino et l’antineutrino de même que l’électron et le positron forment des
couples particule-antiparticule.
En tenant compte de la conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge, on
obtient les relations suivantes :
A = A0
Z = Z 0 + 1.
D’où l’équation de la réaction :
A
ZX
A ∗
→ +10 e + Z−1
Y + 00 ν
(a) transition
(b) schéma
Figure 7.4 – Désintégration β +
Exemple :
30
15 P
∗
→ 01 e + 00 ν + 30
14 Si .
Les noyaux situés à droite de la courbe de stabilité se désintègrent par émission β + ; cette
désintégration rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 7.4).
Le noyau fils est émis ou non dans un état excité ; le positron est éjecté avec une énergie
cinétique plus ou moins importante.
L’émission γ
Définition L’émission γ est une émission de rayonnements électromagnétiques très
énergétiques.
1BC - AL
Réactions nucléaires
127
À la suite d’une désintégration α, β − ou β + , le noyau fils est émis dans un état excité. Il
retrouve son état fondamental en émettant un ou plusieurs photons de haute énergie. Un
photon n’a ni charge ni masse au repos ; il est caractérisé par Z = 0 et A = 0.
Au cours de l’émission γ, le nucléide se conserve :
A ∗
ZY
→A
Z Y + un ou plusieurs γ
Le rayonnement γ est très pénétrant. Il peut traverser plusieurs dizaines de centimètres
de plomb, ou plusieurs mètres de béton. Dans le langage courant, il est souvent nommé
rayon X.
7.2.3
La décroissance radioactive
Désintégration d’un noyau radioactif
La transformation d’un noyau instable en un autre noyau n’est pas un processus de
« vieillissement » continu mais se passe d’un seul coup ; une telle transformation nucléaire
est appelée désintégration.
Il est impossible de prévoir la date de la désintégration d’un noyau particulier. Sur un
ensemble de noyaux instables identiques, il est impossible de prévoir lesquels de ces noyaux
vont se désintégrer à une date donnée. Le phénomène de la désintégration d’un noyau
radioactif est donc imprévisible et aléatoire.
Vu le caractère aléatoire de la désintégration, il est impossible de trouver une loi qui
décrirait le comportement d’un seul noyau. On peut cependant prévoir avec précision
l’évolution statistique d’un grand nombre de noyaux identiques.
La loi de décroissance radioactive
Considérons un échantillon contenant N noyaux radioactifs d’un nucléide donné à la date t.
Le phénomène de désintégration va provoquer la décroissance du nombre de noyaux.
Pendant un très court intervalle de temps ∆t, le nombre de noyaux varie de ∆N . Le
nombre de noyaux ayant subit une désintégration pendant cet intervalle de temps est
donc égal à −∆N . Le signe moins est nécessaire car ∆N est négatif.
La probabilité de désintégration pendant l’intervalle de temps ∆t est :
probabilité = −
∆N
.
N
Comme la désintégration n’est pas un processus de « vieillissement » , cette probabilité
ne varie pas au cours du temps et est proportionnelle à l’intervalle de temps ∆t :
−
∆N
∆N
∼ ∆t ⇒ −
= λ ∆t
N
N
128
Réactions nucléaires
1BC - AL
où λ est un coefficient de proportionnalité appelée constante radioactive. Elle représente
la probabilité de désintégration par unité de temps, s’exprime en s−1 et ne dépend que du
nucléide. On obtient ainsi :
∆N
= −λ N
∆t
et à la limite ∆t → 0 :
dN
= −λ N.
(7.1)
dt
Cette relation est une équation différentielle qu’on peut résoudre en écrivant :
1 dN
= −λ
N dt
et en introduisant la fonction logarithme naturel (ou népérien) :
d ln N
= −λ.
dt
Cette équation différentielle admet comme solution :
ln N = −λ t + c
où c est une constante d’intégration déterminée par les conditions initiales. Si à l’instant
t = 0 le nombre de noyaux est N0 , la constante vaut c = ln N0 . D’où :
ln N − ln N0 = −λ t ⇒ ln
N
= −λ t.
N0
En appliquant à cette relation la fonction exponentielle, on obtient la loi de décroissance
radioactive :
N
= e−λ t .
N0
Énoncé Le nombre N (t) de noyaux radioactifs contenus dans un échantillon varie suivant la loi :
N (t) = N0 e−λ t
où λ est la constante radioactive du nucléide et N0 le nombre de noyaux initialement
présents.
La demi-vie d’un nucléide
Un nucléide radioactif est le plus souvent caractérisé par sa demi-vie t1/2 (ou période
radioactive) préférablement à λ.
Définition La demi-vie (ou période radioactive) d’un nucléide est l’intervalle de temps
au bout duquel la moitié des noyaux initialement présents ont subi une désintégration.
La demi-vie varie d’une fraction de seconde jusqu’à des milliards d’années selon le nucléide
considéré.
1BC - AL
Réactions nucléaires
129
Pour trouver une relation entre la demi-vie t1/2 et la constante radioactive λ, on écrit,
pour t = t1/2 :
N0
2
N0
=
2
1
=
2
1
= ln = − ln 2
2
N (t1/2 ) =
N0 e−λ t1/2
e−λ t1/2
−λ t1/2
et finalement :
t1/2 =
ln 2
λ
Pour chaque intervalle de temps correspondant à une demi-vie, le nombre de noyaux est
divisé par deux (figure 7.5).
Figure 7.5 – Loi de décroissance radioactive
7.2.4
Utilisation de la loi de décroissance
Activité d’un échantillon radioactif
Définition L’activité A à une date t d’un échantillon contenant N noyaux radioactifs
est définie comme étant le nombre de noyaux qui se désintègrent par seconde :
A(t) = −
dN
.
dt
En utilisant la relation (7.1), on peut écrire :
A(t) = λ N (t)
130
Réactions nucléaires
1BC - AL
L’activité est proportionnelle au nombre de noyaux présents et varie donc suivant la même
loi exponentielle :
A(t) = λ N0 e−λ t
et en définissant l’activité initiale A0 = λ N0 on a :
A(t) = A0 e−λ t
Dans le système international, l’unité d’activité est le becquerel (Bq). Un becquerel correspond à une désintégration par seconde.
L’activité d’un échantillon de masse m, de masse molaire atomique M et de demi-vie t1/2
peut être calculée en utilisant :
ln 2
λ=
t1/2
et :
N = NA
ce qui permet d’écrire :
A=
m
M
ln 2 NA m
M t1/2
où NA est le nombre d’Avogadro.
Exemple 7.2 Le calcul de l’activité de 1 g de 226
88 Ra de masse molaire 226 g/mol et de
demi-vie 1600 ans donne A = 3,7 · 1010 Bq. Cette valeur correspond au curie (Ci), ancienne
unité de l’activité.
La datation en géologie
Plusieurs éléments radioactifs peuvent être utilisés pour dater les roches. On considère ici
l’exemple de la datation par le plomb.
Le plomb ordinaire d’origine non radioactive est un mélange des isotopes 204 Pb, 206 Pb,
Pb et 208 Pb. Les différentes désintégrations radioactives des isotopes de l’uranium et
du thorium produisent tous les isotopes du plomb à l’exception de l’isotope 204 Pb.
207
Si le plomb d’un échantillon ne contient pas 204 Pb, cela indique que le plomb présent a été
produit par désintégration radioactive. L’échantillon peut alors servir à la datation.
Par application de la relation N (t) = N0 e−λt , concernant l’uranium, on peut trouver la
date de début de désintégration, donc de formation de l’échantillon. Pour cela, il suffit de
connaître le rapport r = N 0 /N entre le nombre N de noyaux d’uranium et le nombre N 0
de noyaux de plomb à un instant donné.
Le bilan de toutes les désintégrations successives permet de dire que la disparition d’un
noyau d’uranium correspond à l’apparition d’un noyau de plomb. Cela permet de déterminer N0 :
N0 = N + N 0 = (1 + r) N = (1 + r) N0 e−λt
et on a alors :
(1 + r) = eλt .
1BC - AL
La demi-vie de l’uranium
partir de r.
Réactions nucléaires
238
131
U est 4,5 · 109 années, λ est donc connu. On peut calculer t à
Exemple 7.3 Pour un échantillon on mesure r = 0,8. Un calcul permet de conclure
qu’il s’est écoulé 3,8 · 109 années depuis la formation de l’échantillon.
La datation en archéologie
On peut aussi dater l’âge d’une matière animale ou végétale grâce aux éléments radioactifs.
L’isotope 146 C du carbone, radioactif β − , de demi-vie t1/2 = 5730 ans, est présent dans
l’atmosphère sous forme de dioxyde de carbone, en proportion infime mais constante par
rapport à l’isotope 126 C :
N (146 C)
' 10−12 .
r0 =
12
N ( 6 C)
Les végétaux absorbent le dioxyde de carbone atmosphérique et fixent l’isotope 14 du
carbone dans leur tissu. Tous les êtres vivants consommant des plantes absorbent également cet isotope. Au cours de leur vie, végétaux, animaux et humains en contiennent
une proportion constante (r0 = 10−12 ). Après la mort, l’isotope 146 C n’est plus absorbé.
Sa teneur diminue au rythme des désintégrations radioactives.
La mesure de l’activité d’un échantillon permet d’évaluer le rapport r, donc la date de sa
mort. En effet :
r = r0 e−λt .
La mesure de ce rapport r sur un objet ancien permet de dater cet objet.
Exemple 7.4 La mesure de l’activité d’une momie dans un sarcophage donne un rapport
r = 6 · 10−13 . Un calcul donne t = 4222 ans. La momie est dans le sarcophage depuis 4222
ans.
7.3
7.3.1
Réactions nucléaires
Énergie de liaison
À l’intérieur d’un noyau, les nucléons, protons et neutrons, sont confinés dans un très petit
volume. La répulsion électromagnétique intense des protons devrait faire éclater le noyau,
mais les nucléons s’attirent par interaction forte. Cette interaction, dont la portée n’excède
pas la taille du noyau, est identique entre nucléons qu’ils soient protons ou neutrons.
Énergie de liaison d’un noyau
Les nucléons d’un noyau sont fortement liés de sorte qu’il faut fournir de l’énergie pour
les séparer, c’est-à-dire pour « casser » leurs liaisons.
132
Réactions nucléaires
1BC - AL
Définition L’énergie de liaison d’un noyau, que l’on note E` , est l’énergie qu’il faut
fournir au noyau pris au repos pour le dissocier en ses différents nucléons obtenus isolés
et immobiles.
On peut donc écrire l’énergie de liaison d’un noyau A
ZX :
E` =
X
Enucléon − EX
= Z · Eproton + (A − Z) · Eneutron − EX .
Les énergies du noyau et de ses constituants sont des énergies au repos. En utilisant la
relation d’Einstein, l’expression devient :
E` = Z mp c2 + (A − Z) mn c2 − mX c2
où mX , mp et mn sont les masses au repos respectivement du noyau, d’un proton et d’un
neutron. Ainsi :
E` = [Z mp + (A − Z) mn − mX ] c2 .
L’expression entre crochets est la différence entre la masse au repos des nucléons et la
masse au repos du noyau, différence appelée défaut de masse.
Définition Pour un noyau A
Z X, on constate un défaut de masse ∆m positif :
∆m = Z mp + (A − Z) mn − mX
En valeur relative, le défaut de masse est de l’ordre du pourcent. L’énergie s’exprime à
l’aide du défaut de masse :
E` = ∆m c2
Exemple 7.5 La masse d’un noyau d’hélium est mX = 6,6446 · 10−27 kg, celle de ses
nucléons est 2 mp + 2 mn = 6,6951 · 10−27 kg. Le défaut de masse d’un noyau de hélium
est ∆m = 5,05 · 10−29 kg, soit 0,8 % de la masse du noyau. L’énergie de liaison vaut
E` = 4,54 · 10−12 J.
Énergie de liaison par nucléon
E`
en fonction du nombre de
La figure 7.6 représente l’énergie de liaison par nucléon
A
masse.
On constate que les noyaux légers et lourds présentent une énergie de liaison par nucléon
plus faible que les noyaux moyens.
Une réaction nucléaire libère de l’énergie si l’énergie de liaison des produits est supérieure
à celle des réactifs (figure 7.7). De ce fait, si deux noyaux légers se soudent pour former
un noyau moyen, la réaction, appelée réaction de fusion, libère de l’énergie. De même,
lors de la réaction, appelée fission nucléaire, au cours de laquelle un noyau lourd se casse
en deux noyaux moyens, il y a libération d’énergie.
1BC - AL
Réactions nucléaires
Figure 7.6 – Énergie de liaison par nucléon
Figure 7.7 – Fusion de noyaux légers et fission d’un noyau lourd
133
134
Réactions nucléaires
7.3.2
1BC - AL
La fission nucléaire
Principe et intérêt de la fission
La fission est la cassure d’un noyau lourd en noyaux plus légers. Nous allons nous intéresser ici au cas de l’uranium 235. Sous l’impact d’un neutron, le noyau d’uranium 235 se
brise en deux noyaux plus légers et deux ou trois neutrons, tout en libérant une énergie
importante.
Bilan d’une réaction de fission
Une réaction possible de la fission du noyau d’uranium 235 est :
1
0n
94
140
1
+ 235
92 U → 38 Sr + 54 Xe + 2 0 n
Comme pour toute autre transformation nucléaire, il y a conservation du nombre de masse
et du nombre de charge.
L’énergie libérée par cette réaction est considérable :
E = Eréactifs − Eproduits = (mn c2 + mU c2 ) − (mSr c2 + mXe c2 + 2 mn c2 ).
Remarque : un gramme d’uranium libère la même énergie que la combustion de 1,8 tonnes
de pétrole.
Figure 7.8 – Exemple d’une fission d’un noyau d’uranium
La fission d’un noyau d’uranium peut donner différents noyaux plus légers (figure 7.8).
L’équation générale d’une fission est :
1
0n
A
234−A
1
+ 235
92 U → Z X + 92−Z Y + 2 0 n
1
0n
A
233−A
1
+ 235
92 U → Z X + 92−Z Y + 3 0 n.
ou bien :
Remarque : les noyaux X et Y sont souvent radioactifs β − et émis dans un état excité et
donnent alors lieu à l’émission de rayons γ.
1BC - AL
Réactions nucléaires
135
La réaction en chaîne
À la suite de la capture d’un neutron, un noyau fissile d’uranium 235 ou de plutonium 239 a
subi une fission. Plusieurs neutrons accompagnent les produits de fission. Dans l’exemple
de la figure 7.9, les trois neutrons secondaires provoquent trois nouvelles fissions, qui
génèrent trois neutrons de seconde génération, qui déclenchent à leur tour neuf fissions
tertiaires. La réaction en chaîne prend un tour explosif, ce qui arrive dans une bombe
atomique où la proportion de noyaux fissiles est très élevée.
Figure 7.9 – Réaction en chaîne incontrôlée
Dans le cœur d’un réacteur où les noyaux fissiles ne dépassent pas 4 % et où beaucoup de
neutrons se perdent en route, le nombre de neutrons entretenant la fission est exactement
un et la réaction en chaîne s’entretient sans se développer.
7.3.3
Fusion nucléaire
Principe de la fusion
Une fusion nucléaire est une réaction au cours de laquelle deux noyaux légers s’unissent,
c’est-à-dire fusionnent, pour en former un plus lourd, tout en libérant une énergie importante. Les principales réactions de fusion se font à partir de l’hydrogène 11 H et de ses deux
isotopes, le deutérium 21 H et le tritium 31 H.
Bilan d’une réaction de fusion
Les figures 7.10 et 7.11 montrent deux exemples de réactions de fusion.
Comme pour toute autre transformation nucléaire, il y a conservation du nombre de masse
et du nombre de charge.
136
1BC - AL
Réactions nucléaires
2
1H
+ 21 H → 31 H + 11 p
Figure 7.10 – Fusion nucléaire donnant du tritium
2
1H
+ 21 H → 32 He + 10 n.
Figure 7.11 – Fusion nucléaire donnant un isotope de l’hélium
Pour la réaction de fusion :
2
1H
+ 31 H → 42 He + 10 n
l’énergie libérée est :
E = Eréactifs − Eproduits = (m 2 H c2 + m 3 H c2 ) − (m 4 He c2 + mn c2 ).
Remarque : la fusion d’un gramme de tritium libère la même énergie que la combustion
de 13,5 tonnes de pétrole.

4.3 Atome de Bohr

= v C . v v m 2 = H kg 700,0 m cm 8,3 r kg 058,0 m cm 35,3 r 44,0 = C

Toutes les solutions sont prises à 25 °C, température à laquelle Ke

semaine 04 - XPC Daudet

TD M0

TD 2014 - LOLB - Physique Chimie au lycée par Wahab Diop LSLL

TD Méca5 : - Physique en PCSI

modou diouf lycee jules sagna de thies terminales - juufpc