2. A l’instant t = 0, on déplace la masse M d’une longueur x0 vers le bas et on la TD M0 (révisions PCSI) lâche sans vitesse initiale. Décrire le mouvement. M ÉCANIQUE Exercice d’entraînement M0.1 : Projectile dans un champ de pesanteur uniforme ¨ Rép. : 1. l1 = l0 + mg k ; 2. PFD sur Ox : ml = −k(l(t) − l0 ) + mg ; poser X = l(t) − l1 k ¨ X = 0 ; oscillateur harmonique, poser pour se ramener à une équation simple : X + m q k ω0 = m et alors X(t) = x0 cos ω0 t. Par l’énergie : Ep = −mgx + 21 k(x − l0 )2 + C, sans résistance de l’air m trouver le minimum de Ep puis utiliser la conservation de l’énergie méca ( dE dt = 0). On considère un repère cartésien lié au sol terrestre, dont l’axe (Oz) est vertical, Exercice M0 .3 : Piste circulaire orienté vers le haut. A l’instant t = 0, on lance un projectile M supposé ponctuel et de Le point matériel M de masse m = 2 kg est lâché sans vitesse depuis le point A d’une masse m à partir du point O. On suppose que la vitesse du projectile à l’instant t = 0 − est → v 0 , que ce vecteur est situé dans le plan (Oxz) et qu’il fait un angle α avec le sol. − − On suppose, par ailleurs, que le champ de pesanteur est uniforme (→ g = −g → u ) et que piste formée du quart de cercle AB de rayon R = 0, 4 m et de la portion horizontale BC = 0, 9 m. Passant en B avec la vitesse vB = 1, 2 m/s, il arrive en C sans vitesse. z la résistance de l’air est négligeable. 1. Donner les équations paramétriques, puis l’équation cartésienne de la trajectoire dans un référentiel que l’on précisera. Tracer cette trajectoire. 2. A quel instant ts le projectile atteint-il son altitude maximale ? Quelle sont alors les coordonnées de sa position (xs , ys , zs ) ? On appelle ce point la flèche de la 1. Calculer le coefficient de frottement sur la piste horizontale. trajectoire. A.N. α = 45°, v0 = 30 m/s, m = 1kg. 2. Calculer le travail des forces de frottement sur le quart de cercle. 3. Quelle est la portée du projectile pour une vitesse donnée. A quelle condition sur α la portée est-elle maximale ? Exercice d’entraînement M0.4 : Oscilloscope Un condensateur plan possède deux armatures de largeur D placées sur les plans Rép. : 1. x(t) = v0 cos αt ; z(t) = − 12 gt2 + v0 sin αt ; trajectoire parabolique ; 2. lorsque sa vitesse verticale s’annule : ts = v0 sin α g z = −d/2 et z = d/2. La première est reliée à la masse et la seconde à la voie X de ; AN : xs = 46 m, zs = 23 m ; 3. calculer maximum lorsque α = 45°. l’oscilloscope (par l’intérieur). On néglige les effets de bord. Des électrons arrivent en − − O avec une vitesse → v =v → u . Ils subissent l’influence du champ électrique E tant Exercice d’entraînement M0.2 : Masse attachée à un ressort vertical luminescent, placé à la distance D0 du centre du condensateur. Calculer l’ordonnée à l’instant tel que z = 0 : tm = 2ts ; xm = 2v02 g sin α cos α ; on dérive pour trouver le 0 0 y qu’ils se trouvent entre les deux plaques déflectrices puis arrivent sur un écran (E) On attache à un ressort vertical de raideur k et de longueur à vide l0 une masse laquelle les électrons frappent l’écran, appelée déviation zD0 et conclure. ponctuelle m. La masse attachée au ressort se trouve en équilibre lorsque le ressort atteint la longueur l1 . On ne s’intéressera qu’au mouvement selon l’axe vertical (noté Ox, orienté vers le bas, l’origine étant prise au point de fixation du ressort sur le bâti). Résoudre cet exercice par 2 méthodes : PFS/PFD puis méthode énergétique (recherche de la position d’équilibre par analyse de l’énergie potentielle et TEM) 1. Exprimer l1 . PC - Lycée François 1er - Le Havre 1/5 2014 / 2015 −eE 2 Rép. : entre mes armatures, trajectoire parabolique z(x) = 2mv 2 x , puis trajectoire 0 0 eED D eEDD rectiligne d’équation z(x) = 2mv2 x − 2 donc zD0 = mv2 . 0 Exercice M0 .6 : Un glaçon On modélise un glaçon par un cube de côté a = 3 cm qui flotte à la surface d’un 0 verre d’eau. Exercice M0 .5 : Looping On donne ρglace = 920 kg.m−3 et ρeau = 1000 kg.m−3 Un chariot M de masse m et de dimensions négli- 1. Déterminer la hauteur h qui dépasse de la surface de l’eau. geables est assimilable à un point matériel. Ce chariot 2. Quelle force doit-on exercer avec l’extrémité d’une paille pour maintenir le glaçon est posé sur deux rails parallèles et il glisse sans frotte- totalement immergé, juste sous la surface de l’eau ? ment sur ces rails. Chaque rail est situé dans un plan vertical et se compose des trois parties suivantes : 3. A partir de cette position, on enlève brusquement la paille. Déterminer le mouvement ultérieur du glaçon. • la partie AB, • le cercle BCDEF de centre O et de rayon a (en réalité, une spire d’hélice très aplatie que l’on assimile à un cercle), Exercice d’entraînement M0.7 : Oscillateur amorti par frottement solide • la partie rectiligne et horizontale F G. On appelle → − g l’accélération de la pesanteur. Une particule M de masse m peut glisser sur un rail horizontal X 0 X fixe dans le référentiel terrestre R supposé galiléen. − On donne : m = 24 kg, a = 4, 7 m et k→ g k = 9, 81 m.s−2 . M est fixée à l’extrémité d’un ressort de raideur k dont l’autre extrémité est fixe dans Le chariot est abandonné avec une vitesse nulle au point A situé à une hauteur h R. La position de M est repérée par son abscisse x, la position x = 0 correspondant au-dessus du point B le plus bas du cercle. au ressort détendu. 1. On suppose que la hauteur h est suffisamment grande pour que le chariot reste constamment en contact avec les rails. (a) Déterminer la vitesse vB du chariot quand il se trouve en B, en fonction des données du problème. (b) Déterminer la vitesse vM du chariot quand il se trouve au point M repéré par l’angle θ. 2. On cherche maintenant une condition pour que le chariot reste en contact avec la piste. 1. M est soumise, de la part du rail, à une force de frottement (frottement solide) f~ norme constante f quand M est en mouvement et comprise entre 0 et f quand → − (a) Donner l’expression de la réaction R exercée par les rails sur le chariot lors- M est immobile. Grâce à un schéma des forces quand M est en mouvement, et en qu’il se trouve au point M repéré par l’angle θ. précisant le sens du mouvement, déterminer l’angle ϕ entre la réaction du support → − (b) Déterminer le point du cercle pour lequel la norme de R est minimale. et la verticale en fonction de m, g, f . (c) Déterminer sous forme littérale puis calculer numériquement la hauteur mi- 2. On donne à M l’élongation (l’abscisse) x0 , positive ou négative, et on l’abandonne nimale hmin du point A à laquelle il faut lâcher le chariot pour que celui-ci sans vitesse. A quelles conditions sur x0 , M démarrera-t-elle ? Entre quelles limites reste sur les rails. PC - Lycée François 1er - Le Havre 2/5 2014 / 2015 de x se situera donc la position d’équilibre finale de M ? (Réponse en fonction de f et k). 3. Du fait que les frottements n’ont pas toujours le même sens, montrer que la force de frottement f~ peut s’écrire : f~ = −εf u~x , où le coefficient ε est tel que ε = +1 dx dx si > 0 et ε = −1 si < 0. Écrire alors l’équation différentielle en x du dt dt mouvement de M (Paramètres : m, k, f , ε. Ne pas la résoudre). 4. Pour toute la suite du problème, on prendra x0 positive et très supérieure à la limite de démarrage de M , de telle façon que M effectue plusieurs oscillations. Écrire puis résoudre l’équation sur l’intervalle x0 , x1 où x1 est l’abscisse de M − → → − − → → − − → → − − − Rép : 1. MO ( F ) = −lF sin θ0 → e z ; MB ( F ) = −lF sin θ0 → e z ; MC ( F ) = → − → − − − − lF sin θ0 → e z . 2. M(O,→ e z ) ( F ) = −lF sin θ0 ; M(O,→ e x)( F ) = 0 ; → − → − → − − − − M(C,→ e z ) ( F ) = lF sin θ0 ; M(B,−→ e z ) ( F ) = lF sin θ0 ; M(A,→ e z ) ( F ) = 0. quand M s’arrête pour la première fois. Quelle est la durée de cette première étape ? Trouver la valeur de x1 . 5. Le phénomène se reproduisant de x1 à x2 où M s’arrête à nouveau, etc., le mouvement de M est pseudo-périodique. Déterminer la pseudo-période T des oscillations. Exercice M0 .9 : Pendule amorti On considère un pendule constitué d’une masse m suspendue au bout d’un fil (inex- 6. Exprimer le travail de f~ sur le parcours x1 , x2 en fonction de f , x1 et x2 . Sans re- tensible et de masse négligeable) de longueur l, dans le champ de pesanteur g. On note chercher à nouveau l’équation horaire du mouvement de M , déterminer alors grâce θ l’angle du pendule avec la verticale. Le pendule est freiné par une force de frottement − fluide f~ = −k → v. à un théorème énergétique, l’élongation x2 quand M s’arrête pour la deuxième fois. (En fonction de x0 , f et k) 1. Déterminer l’équation du mouvement du mouvement par 3 méthodes différentes 7. De l’étude qui précède, déduire la nature de la décroissance de l’amplitude du (PFD, TPC, TMC). mouvement au cours du temps. Déterminer l’équation xM ax (t) de la courbe reliant 2. On écarte le fil de sa position verticale d’un angle θ 1 et on le lâche sans vitesse les maxima de x. initiale. Déterminer le mouvement du pendule en fonction de la longueur du fil. f f ; 2. la masse démarre si |x0 | > fk et − < xe < fk ; 3. Rép. : 1. ϕ = ± arctan mg k p f m¨ x = −kx − εf ; 4. x1 = −x0 + 2 fk ; 5. T = 2π m k ; 6. x2 = x0 − 4 k ; 7. xM ax = Exercice M0 .10 : Freinage d’un moteur Un moteur qui entraine une machine avec une vitesse de rotation en charge de − π√2fmk .t + x0 . Ω0 = 1430 tr/min. A sa mise hors tension, un dispositif de freinage doit pouvoir arrêter les éléments tournants en τ = 0, 5 s dans un mouvement supposé uniformément décéléré. On note θ la position angulaire du moteur dans sa rotation autour de l’axe Exercice d’entraînement M0.8 : Calcul de moments de forces → − − Le point matériel M est soumis à une force F = F → e constante. Oz. Compte-tenu de l’ensemble de la machine, le moment d’inertie équivalent de l’arbre x moteur par rapport à son axe est J = 0, 3 kg.m2 . Exprimer et calculer les moments suivants : − → → − − → → − − → → − 1. MO ( F ) ; MB ( F ) ; MC ( F ). → − → − → − → − → − − − − − − 2. M(O,→ e z ) ( F ) ; M(O,→ e x ) ( F ) ; M(C,→ e z ) ( F ) ; M(B,−→ e z ) ( F ) ; M(A,→ e z ) ( F ). PC - Lycée François 1er - Le Havre L’action mécanique du dispositif de freinage sur l’arbre moteur est modélisée par ~ f = Mf u~z . On néglige tous les frottements en dehors du un couple de moment M dispositif de freinage. 3/5 2014 / 2015 1. Déterminer l’accélération angulaire θ¨ de l’arbre moteur puis l’angle total θmax 3. On mesure la période des oscillations pour différentes valeurs de la distance d. Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous : dont a tourné le moteur pendant la phase de freinage. ~ f en fonction des caractéristiques du moteur et des 2. Déterminer le moment M données de l’énoncé. d 10,0 cm 15,0 cm 18,0 cm T0 10,8 s 13,3 s 15,1 s ~ f au cours de la phase de freinage. 3. En déduire le travail effectué par M Trouver la valeur de C sachant que m = 50 g au moyen d’une régression linéaire 4. Retrouver ce résultat par une méthode énergétique. réalisée sur votre copie. Rép. : K = C/2 ; T0 = 2π Exercice d’entraînement M0.11 : Étude d’un pendule de torsion Un pendule de torsion est constitué par une barre horizontale suspendue en son q J C ; Tracer T02 en fonction de d2 : C = 8.10−4 USI. Exercice M0 .12 : Satellite terrestre centre O à l’extrémité inférieure d’un fil métallique dont l’extrémité supérieure est Un satellite de masse m est en orbite autour de la Terre à une altitude h par rapport reliée à un support fixe. La barre peut donc tourner autour de l’axe Oz matérialisé au sol. On note r(t) = RT + h(t) sa distance par rapport au centre de la Terre. par le fil. Cet axe vertical est orienté vers le haut. Le fil exerce sur la barre une action 1. Mettre en évidence 2 intégrales premières du mouvement et montrer que le mou- mécanique de rappel dont le moment part rapport à Oz est −Cθ où θ est l’angle de vement du satellite est plan. torsion et C la constante de raideur du fil. 2. Calculer l’énergie mécanique du satellite et montrer qu’elle peut s’exprimer uni- On ajoute à la barre deux surcharges identiques, de masse m chacune, que l’on place quement en fonction de r et r˙ en coordonnées cylindriques. En déduire, par une symétriquement par rapport à O. La distance variable entre les centres d’inertie des analyse énergétique, l’énergie maximale du satellite pour qu’il reste en orbite au- surcharges et O est notée d. tour de la Terre. Le moment d’inertie d’inertie par rapport à l’axe Oz de l’ensemble "barre + sur- 3. On suppose désormais que le satellite est en orbite circulaire autour de la Terre. charges" est noté J. On admet qu’il est de la forme J = J0 + 2md2 . Le système étant au repos (le fil ayant donc une union nulle) on fait tourner l’en- (a) Exprimer sa vitesse v et sa période de révolution T en fonction de l’intensité semble "barre + surcharges" d’un angle θ0 autour de Oz puis on le lâche sans vitesse du champ de gravitation au sol g0 = 9, 81 m/s2 et du rayon terrestre RT = initiale Le mouvement est repéré par l’angle θ entre la direction de la barre au repos 6370 km. Applications numériques pour h = 500 km. et à l’instant t. (b) En déduire la troisième loi de Kepler dans ce cas particulier. 1. Montrer que le couple de torsion dérive d’une énergie potentielle de la forme Ep = (c) On veut que le satellite soit géostationnaire, ie qu’il soit toujours à la verticale Kθ2 . Exprimer K en fonction de C. Exprimer l’énergie mécanique du système en ˙ fonction de C, J, θ et θ. du même point. Quelle doit être son altitude ? Application numérique. 2. On fait l’hypothèse qu’il n’y a aucun frottement. Déterminer, par une méthode Exercice d’entraînement M0.13 : Nucléon dans un potentiel de Y UKAWA énergétique, la loi horaire θ(t) du mouvement de la barre et exprimer la période Le physicien japonais Yukawa Hideki (prix Nobel 1949) a proposé en 1935 une T0 de son mouvement en fonction de C et J. interprétation des interactions nucléaires. On en donne ici quelques éléments simplifiés. En pratique, des frottements dus à l’air finissent par arrêter les oscillations et faibles pour pouvoir assimiler la période propre T0 à la pseudo-période T avec une Dans un référentiel R galiléen lié au repère (Oxyz), un nucléon M de masse m est soumis uniquement à une force centrale F~ dérivant de l’énergie potentielle Ep (r) = r K r exp − a où K et a sont deux constantes (avec a positive) et r la distance OM . précision supérieure à 1 %. Cette énergie potentielle a pour origine les autres nucléons du noyau atomique. le mouvement pseudopériodique. On admet que les frottements sont suffisamment PC - Lycée François 1er - Le Havre 4/5 2014 / 2015 1. Quelles sont les dimensions des constantes K et a ? 8. Pour les interactions gravitationnelle et électromagnétique, simplifier l’expression de F~ en tenant compte de la valeur trouvée pour a : montrer qu’on retrouve alors 2. Déterminer l’expression de la force centrale F~ subie par le nucléon. Quel doit être une forme connue. le signe de K pour que cette force soit attractive ? Rép. : 1. K en J.m et a en m ; F~ = K exp − ar 1r + a1 u~r , K < 0 ; 4. C = r0 v2 ; r r mC 2 −15 5. Ep,ef f = K m, faible : r exp − a + 2r 2 , Em = cste ; 7. forte : a = 1, 5.10 3. Démontrer que la trajectoire de M se situe dans un plan que l’on précisera. 4. On choisit ce plan comme plan (Oxy) du repère, et on utilise maintenant les coordonnées polaires de M dans ce plan. Montrer que r2 θ˙ est une constante du a = 2, 5.10−18 m, EM et gravitation : a = ∞ ; 8. force coulombienne/newtonienne. mouvement, notée C, et donner sa valeur à partir des conditions initiales : position −−−→ − OM0 = r0 u~x ; vitesse → v0 = v1 u~x + v2 u~y . Exercice M0 .14 : Trois liquides Un système de trois liquides non miscibles et incompressibles (eau, mercure, alcool) est en équilibre dans 5. Montrer que l’énergie mécanique de M peut s’écrire sous la forme : Em = 12 mr˙ 2 + Ep,ef f (r). avec une fonction Ep,ef f (r) à préciser. Em est-elle constante au cours un tube en U ouvert à l’air libre. Les données sont indiquées sur la figure ci-contre. On donne : h1 = 0, 8 du mouvement ? m, h2 = 0, 05 m, h3 = 0, 2 m, ρeau = 103 kg.m−3 6. Si la valeur de C est suffisamment faible, la courbe représentative de Ep,ef f (r) et ρmercure = 1, 36.104 kg.m−3 . Exprimer et calculer a l’allure ci-dessous. Déterminer alors, en fonction des conditions initiales, si le ρalcool . nucléon est dans un état lié ou dans un état de diffusion. Lequel de ces deux cas correspond à la situation usuelle d’un nucléon ? Exercice d’entraînement M0.15 : Calcul de la poussée d’A RCHIMÈDE dans un cas L’utilisation de ce type de potentiel a été simple envisagée pour décrire les quatre interactions On considère un bloc rectangulaire de dimensions L × ` × h, de masse m, plongé fondamentales. Yukawa a également proposé dans un liquide de masse volumique ρ, sa face supérieure étant à la profondeur Z sous de les interpréter comme des échanges de parti- la surface du liquide. cules (bosons vecteurs) de masses très diverses : 1. Exprimer la force de pression qui s’exerce sur chacune de ses faces. Attention, on la portée a de chaque interaction, intervenant ne peut pas, a priori, négliger les variations de la pression avec la profondeur le dans l’expression du potentiel, est alors liée à la h avec les constantes universelles c = 3, 0.108 masse mb d’un boson vecteur par a = 2πm bc m.s −1 (célérité de la lumière dans le vide) et h = 6, 6.10 −34 long des faces latérales ! J.s (constante de Planck). 2. En déduire l’expression de la résultante de ces forces, qui n’est autre que la poussée Les bosons vecteurs envisagés par Yukawa sont les suivants : d’Archimède. interaction forte pion π mb = 2, 4.10−28 kg interaction faible boson intermédiaire W ± mb = 1, 4.10−25 kg interaction électromagnétique photon γ mb = 0 interaction gravitationnelle graviton (hypothétique) g mb = 0 Rép. : les forces latérales se compensent, mais l’écart entre les forces du haut et du bas vaut ρgh`L. 7. Calculer la portée a des quatre interactions et commenter les valeurs obtenues. PC - Lycée François 1er - Le Havre 5/5 2014 / 2015