Fiches de physique Samuel MIMRAM 2000-2001 Table des matières 0.1 Valeurs numériques π ≈ 3.1416 ln 2 ≈ 0.693 √ 2 ≈ 1.414 e ≈ 2.718 ln 3 ≈ 1.1 √ 3 ≈ 1.732 ln 10 ≈ 2.3 me ≈ 9.1 · 10−31 kg e ≈ 1.302 · 10−19 C mn ≈ m p ≈ 1.67 · 10−27 kg Na ≈ 6.02 · 1023 −11 G ≈ 6.67 · 10 SI MTerre ≈ 6 · 1024 kg MSoleil ≈ 2 · 1030 kg T S ≈ 86164 s RS ≈ 42220 km vS ≈ 3079 m/s 9 rT−S = 1 ua ≈ 150 · 10 m T T = 1 an ≈ 365.25 × 86400 s 1 cal = 4.18 J : permet d’élever d’1 K 1 kg d’eau 0.2 Analyse vectorielle → − dl = (h1 (q1 , q2 , q3 ) dq1 , h2 (q1 , q2 , q3 ) dq2 , h3 (q1 , q2 , q3 ) dq3 ) cyl : h1 = 1 h2 = r h3 = 1 sph : h1 = 1 h2 = r h3 = r sin θ ~ = ∂. , ∂. , ∂. Nabla : ∇ ∂x ∂y ∂z −−−→ → − d f = grad f · dl −−−→ ~ f = 1 ( ∂ f ), 1 ( ∂ f ), 1 ( ∂ f ) grad f = ∇ h1 ∂q1 h2 ∂q2 h2 ∂q2 −−−→ = ∂∂rf , 1r ∂∂θf , ∂∂zf grad f = ∂∂xf , ∂∂yf , ∂∂zf ~ = lim 1 div A V ~= div A cyl cart → ~ ~ ~·− A dS = ∇ ·A= Σ V→0 ∂Ay ∂A x ∂x + ∂y + ∂Az ∂z = 1 ∂(rAr ) r ∂r ∂ f ∂r 1 ∂f , 1r ∂∂θf , r sin θ ∂φ ∂ ∂q1 (h2 h3 A1 ) ∂Az 1 ∂Aθ r ∂θ + ∂z 1 h1 h2 h3 + h = + sph ∂ ∂q2 (h1 h3 A2 ) + ∂ ∂q3 (h1 h2 A3 ) H − −→ ~ ~ ∧A ~ ·→ ~ rot A = lim Σ1 C A dl ~n = ∇ Σ→0 h ~u h2~u2 h3~u3 1 1 −→ ~ ∂. ∂. rot A = h1 h12 h3 ∂q∂.1 ∂q2 ∂q3 h A h A h A 1 1 2 2 3 3 −→ ~ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax rot A = ∂y − ∂z , ∂z − ∂x , ∂x − ∂y −−−→ ~2 ∆f = ∇ grad f ) 2 f = div( 2 2 ∆ f = ∂∂x2f + ∂∂y2f + ∂∂z2f = 1r ∂r∂ (r ∂∂rf ) + ~ Σ) = Flux : φ(A, ! cart → ~·− A dS Σ 1 ∂2 f r2 ∂θ2 + ∂2 f ∂z2 = cyl −→ (surf fermée : dS vers l’ext) 1 ∂ (r2 ∂∂rf r2 ∂r ) +... → # ~·− ~ dτ Th de Green-Ostrogradsky : Σ A dS = V div A RQ → − ~ · dl Circulation : CPQ,A~ = P A H ! −→ −→ → − ~ · dl = ~ · dS Th de Stokes : C A rot A Σ − → # −−−→ Formule du gradient : Σ f dS = V grad f dτ # −→ → ~ dτ = − ~∧− ~ ∧ B) ~ Formule de Kelvin : rot A A dS démo : avec div( A Σ −−−→ −−−→ −−−→ grad( f g) = f grad g + g grad f −−−→ ~ =A ~ · grad ~ div( f A) f + f div A 1 sph i −−−→ −→ ~ →~ ~+ f − rot( f A) = grad f ∧ A rot A − → →~ ~ ∧ B) ~ =B ~ · rot A ~−A ~·− div(A rot B −−→ ~ −−→ ~ −→ ~ ~ ~ ·− ~·− ~ ·A ~ − (div A) ~ ·B ~ rot(A ∧ B) = ( B grad)A − (A grad) B + (div B) − − − → −→ −→ ~ ~ ~ ~ rot(rot A) = grad div A − ∆A −−−→ ~ ~ −−→ ~ −−−→ ~ ~ −→ ~ ~ −→ ~ ~ ·− ~ · grad) grad(A · B) = ( B grad)A + (A B + B ∧ rot A + A ∧ rot B −→ −−−→ rot grad f = ~0 −→ ~ div rot A =0 −−−→ 1 grad( r ) = −~r r3 = −~ur r2 Vecteur surface : S~ = H −−→ −−−−→ OM ∧ dOM 1 2 Σ −→ θ Angle solide (en stéradians) : dΩ = ~u·rdS = dS rcos = sin θ dθdϕ 2 2 Au sommet de mesure α d’un cône : Ω = 2π(1 − cos α) < cos2 t >t =< sin2 t >t = 1 2 sphère : 4π st < cos t sin t >t = 0 [ Approximation des grandes distances M “loin” de A et B : r B − rA = −a cos θ avec a = AB et θ = BOM démo : r2B − rA2 ≈ −2ar cos θ et rA + rB ≈ 2a Conservation de l’énergie, homogénéité de l’espace, isotropie de l’espace Conservation locale : δχ = δχe + δχc (échange création) # −→ δχe = −( J~χ · dS )dt avec J~χ = ρχ~v δχc = V σχ dτdt ∂ρ conservation : χ + div J~χ = σχ ∂t 1 Mécanique ˙ z˙) et ~a = (¨r − r θ˙2 , rθ¨ + 2˙rθ, ˙ z¨) Coordonnées cylindriques : ~v = (˙r, r θ, on a : rθ¨ + 2˙rθ˙ = → − → − → − → − 0 0 (ur ) = θ˙ uθ et (uθ ) = −θ˙ ur 2 ~ Coordonnées curvilignes : ~v = s˙T~ et ~a = s¨T~ + ˙ρs N (on a : s˙ = k~vk et T~ = k~~vvk ) 2 − a→ = ~a·~v ~v (d’où ρ = v avec ~a = ~a − ~a ) T dA~ dt v2 = R k~aN k dA~ dt R0 N ˙ 1 ∂(r2 θ) r ∂t T ~ R0 /R ∧ A ~ +Ω −−→ − − ~ ∧− ~v = → vr + → ve (vitesse d’entrainement / relative) avec ~ve = ~v(O0 ) + Ω O0 M → − → − → − ~a = ar + ae + ac (accélération relative / d’entrainement / complémentaire (de Coriolis)) −−−→ ~ −−→ ~ → − ~ ∧− a = dΩ ∧ O 0 M + Ω ∧ (Ω O0 M) e dt R → − − ~ ∧→ ac = 2 Ω vr −−−→ −→ Pour un mouvement de rotation : Fie = −m~ae = mω2 HM −→ − ~ ∧→ vr Fic = −2mΩ Force dérivant d’un potentiel ⇔ conservative −−−→ F~ = − grad E p → − dE dW = F~ · dl = −dE p P = F~ · ~v = − dtp −−→ ~ −−→ Moment cinétique : ~L = OM ∧ P = mOM ∧ ~v − → ~ dL −−→ ~ Moment d’une force : MO (F = dt = OM ∧ F (= ~0 si le mouvement est plan) ~ Théorème de l’énergie cinétique : ∆Ec = WAB (F) P~ ~ dE p d2 E Position d’équilibre : F = 0 ou dx = 0 stable : dx2p > 0 / sinon : instable (repos : ~v = ~0) stabilité : poser x = xéq + ε → du Frottement solide : RT = kRN ou RT ≤ kRN si x˙ = 0 Frottement fluide : F~ = −k~v Ressort : F~ = −k(~l − ~l0 ) E p = 12 k(l − l0 )2 −−→ −−→ P Centre de masse G : M OG = i (mi OAi ) Référentiel barycentrique : centré sur G − → → −∗ P∗ = ~0 L est le même en tout point → ~=M− P VG 2 − −−→ ~ −−→ → Théorème de Kœnig : L/O = L∗ + OG ∧ P et Ec/O = E∗c + 12 MVG2 m2 Deux points : masse réduite du système : M = µ = mm11+m 2 1.1 Forces centrales K = GmM 2˙ ~ − − Constante des aires : C = r 2 θ˙ = k→ r0 ∧ → v0 k = kmLk démo : aθ = 0 = 1r d(rdt θ) ou bien 1 → période Loi des aires (surface balayée) : dS = 2 Cdt (⇐ dS = 12 r2 dθ) Etablir la loi du mouvement : poser u = 1r Formules de Binet : 2 2 v2 = r˙2 + (rθ˙2 )2 = C 2 [( du dθ ) + u ] (⇒ Ec ) 2 2 ar = r¨ − rθ˙2 = −C [ d u + u] r2 dθ2 éliminer θ˙ avec θ˙ = - E∗m < 0 : e < 1 : ellipse E∗m = 0 : e = 1 : parabole E∗m > 0 : e > 1 : hyperbole car a = µar = −K r2 E p = −K r E∗m = 21 µv20 − rK0 = −K démo : Em = 12 (˙r2 + r2 θ˙2 ) − 2a K r éliminer θ˙avec C C r2 - d~L dt −−→ = MO (O) = ~0) calculer r˙ et r¨ avec du dt = θ˙ du dθ calculer Em en r = a + c et en r = a − c (où ˙r = 0) 2 p = µCK = ±a(1 − e2 ) (⇒ a avec Em ) 2 e = ac a2 = b 2 + c2 p = ba − → − ~ =P ~ ∧ ~L − µK→ U er = cst direction : grand axe, sens foyer → périastre ; ϕ = arg(U r + iUθ ) R 2 2 4π2 e 3 loi de Kepler : période : Ta3 = 4π2 Kµ ≈ GM démo : dS = 21 CT = πab → au carré puis C 2 = baµK car p = q √ 2 T Vitesses de libération : v1 = GM 2v1 (car m rv0 = cst) r0 et v2 = −→ − ~ =→ ~ = −e Vecteur excentricité : A e − C ~v = cst kAk θ GM Éllipse : 2 2 p équation pol : r = 1+e cos(θ−θ cart : ax2 + by2 = 1 0) OF = c FP = a − c OC = b F M + F 0 M = 2a 0 la bissectrice de F[ MF est normale à l’ellipse FA = a + c Conservation : du moment cinétique et de E∗m 1.2 Oscillateurs F = −kX E p(X) ≈ E p(x0 ) + kX 2 2 avec X = x − x0 Harmonique : Isochronisme : ω0 indépendant de X0 Em = 21 KX02 + E p(x0 ) Énergie moyenne : Ec = E p = E2m avec x0 : puits de potentiel T= 2π ω0 = 2π pm K ω0 h (Ffrott = −h ˙x) Amorti : ω20 = Km Q = m ω0 2 x¨ + Q x˙ + ω0 x = 0 Q < 12 : régime apériodique, Q = 12 : critique, Q > 12 : pseudo-périodique, Q → ∞ : périodique Décrément logarithmique (rapport entre deux max successifs) constant Plan de phase : x˙ en fonction de x dE p dt = (−h x˙) x˙ = Pfrott < 0 Frottement solide : F~ = −h × sgn x˙ s’il y a mouvement, F~ = ~0 sinon oscillations centrés sur ± Kh Oscillateur harmonique forcé : poser X B = xB − xBéq Résoudre en posant X0 = X0 e jϕ et q = ωω0 = ff0 Oscillations autour de la pos d’équilibre : intégrer Em = cst avec un de l’E p 2 dr 1 dr 1 d2 U (r − r ) = 0 → multiplier par m + éq 2 2 dt 2 dt dt ... 3 µC2 K = b2 a Période des oscillations : Em = R θ0 dθ √2 2 =π −θ 0 1 2 2 m x˙ + E p (x) → dx = q 2(Em −E p (x)) dt m → T 4 = R T /4 0 dt = . . . θ0 −θ 1.3 Chocs Quantités de mouvement : P1 + P2 = cst Élastique : Ec = cst (Ffrott ≈ 0) mou : Ec , cst → − → − − − Cœfficient de restitution : v01 − v02 = −e(→ v1 − → v2 ) 0<e<1 e = 1 : élastique e = 0 : parfaitement mou −→ Sur une surface dure : F~ frott = ~0 ⇒ ~vT = cst ; si élastique : ~v0T = ~vT et ~v0N = −~vN Choc élastique : ∆~p = 2~p⊥ Il y a conservation : de la quantité de mvt ; si le choc est élastique : de l’E c du syst 1.4 Mécanique du solide Formule de Gibbs : (~u ∧ ~v) ∧ w ~ = (~u · w ~ )~v − (~v · w ~ )~u Champ équiprojectif ⇔ antisymétrique (~u · L(~v) = −~v · L(~u)) ⇒ : − → − → → − −−→ Torseur : MP = MQ + R ∧ QP → − −−→ Vecteur lié : (A, ~u) ⇒ glisseur : G P = ~u ∧ AP couple : torseur uniforme − → − →0 − → ~0 − → ~ Comoment (ici noté ⊗) (indép de M) : M ⊗ M = M M · R + M0M · R R −−→ −−→ R −−→ Centre d’inertie G : GM dm = ~0 et mOG = OM dm Théorèmes de Guldin : – Asurf engendrée par la courbe = Lcourbe × Lcercle engendré par G – Vengendrée par la suf = Asurf × Lcercle engendré par G −→ ~ ∧− Torseur cinématique (des vitesses) : ~v B = ~vA + Ω AB R −−→ ~ c = ~p = m~vG Torseur cinétique : σ ~ A = AM ∧ ~v M dm R R −−→ ~ d = m~aG R Torseur dynamique : ~δA = AM ∧ ~a M dm ~ 1 /R) = Ω(R d~j1 dt R ~k1 ~i1 + d~k1 ~i1 ~j1 + d~i1 ~j1 ~k1 dt dt R R σ ~A = σ ~ ∗A ~ ∧ ~i1 = ⇒Ω d~i1 dt ... R −−→ −−→ ω ∧ OM) dm Opérateur d’inertie R: σ ~ O = J(O) ω ~ = R OM ∧ (~ R coef diag : I xx = (y2 + z2 ) dm = d∆2 dm I xy = − S xy dm Moment d’inertie : J∆ = ~u · J(O)~u rotation autour d’un axe : σ∆ = J∆ ω Th d’Huygens : J∆ = J∆G + md2 (∆//∆G ) Moments d’inertie : – sphère : J∆G = 32 mR2 – boule : J∆G = 52 mR2 – disque : J∆G = 12 mR2 – cylindre [creux] : J∆G = [ 21 ]mR2 1 – barre : J∆G = 12 ml2 Calcul de J pour une sphère : # d∆2 dm = 2 3 # r2 dm ∗ −−→ −→ −−→ ~δA = ~δ∗ + − Th de Kœnig : σ ~A = σ ~ ∗ + AG ∧ m~vG AG ∧ m~aG = d~dtσ + AG ∧ m~aG σA si A fixe (ds R galil) ou A = G ou ~vA /~vG : ~δA = d~dt dσA svt : δA = dt = J ω ˙ = J θ¨ ~c + ω ~ ·σ ~ G ) = 12 (~v ⊗ σ ~ ) = 12 mvG2 + 21 J∆ ω2 = 12 mvG2 + ECK Th de Kœnig (att : l’Ec dépend du réftl) : Ec = 21 (~vG · R −−→ −−→ Th de Kœnig : J (O) ω ~ = J(G) ω ~ + mOG ∧ (~ ω ∧ OG) p Th de la résultante cinétique () : d~ dt = − → Th du moment cinétique () : ~δ = Mext A P~ fext 4 Th de l’énergie mécanique () : dEc dt = P = Pint + Pext (ds un réftl galil ou barycentrq) − → ~ Écrire le au point d’application des forces de frottement (→ M(R) = ~0) Ds un réftl galil : ∆Em = WNC syst conservatif : Em = Ec + E p = cst −−−→ ~ dV = grad V · dl dW = −dV ∆W = −∆V La puiss des actions int est indép du réftl choisi R −−→ R − → ~ − → −→ ~ ∧− Moment d’une force : MA (F) = AM ∧ dF~ = MO + ( dF) OA − → ~ − → ~ Puissance (dépend du réftl) : P ~ = F~ · ~v M + M M (F) ·ω ~ = ~v ⊗ M(F) F − → −−→ Champ de pesanteur : MO = m~g ∧ GO −−−→ −−−→ g = MP g Force pressante : d f~ = − grad Pdτ svt : grad P = ρ~g = M V~ RT ~ Condition de roulement sans glissement : ~v I = ~0 → ˙x + rθ˙= 0 ~ t k ≤ f kR ~ n k) : Lois de Coulomb (kR ~ t opposé à ~v ~ t k = f d kR ~nk – si glissement : R kR ~ t k = f s kR ~nk – sinon : kR Liaison parfaite : puiss des actions de contact = 0 2 Électrocinétique Densité particulaire de porteurs de charge : nm = Densité de charge mobile : ρm = qnm Densité de courant en un point : J~ = ρm~v −→ Charge : dQ = ( J~ · dS )dt ~ −→ Intensité : dI = dQ dt = J · dS dN dτ Conservation de la charge : div J~ + dρdtm = 0 Loi d’Ohm locale : J~ = γ E~ γ : conductivité I = JΣ = γΣE U = El = RI avec R = γSl = ρl ρ = γ1 : résistivité S démo : U = R R −−−→ → − R ~ → − dV = − grad V · dl = E · dl = 1 R γS l 1 γ R → − J~ · dl = 1 γS Il Conductance : G = = ∆V = RI Résistances : série (R = R1 + R2 ) / parallèle (G = G 1 + G2 ) 2.1 Réseaux linéaires Lois de Kirchhoff : P – loi des nœuds : i εi Ii = 0 P P – loi des mailles : i εi Ri Ii = k εk ek Théorème de superposition : la solution du système global est égale à la somme des solutions à un générateur (+ générateurs dépendants) P P VAi /Ri V /R +I Pi i j ) Théorème de Millman : VN = Pi i 1/R (V = N 1/Ri i Équivalence triangle-étoile : R0A = RB RC RA +RB +RC démo : considérer les cas où i = 0 ds une branche de l’étoile Symétrie : un point et son symétrique sont au même potentiel → il ne passe pas de courant entre entre eux Antisymétrie : deux points sur l’axe sont au même potentiel... Théorème de Thévenin : – eth : U en sortie ouverte – Rth : Réq , générateurs éteints (sauf commandés) r Pont diviseur de tension : U AB = e R+r 5 Matrice de transfert : (u s , i s ) = M(ue , ie ) matrice impédance : (u s, ue ) = M(i s , ie ) 2.2 Réseaux linéaires en régime variable du Condensateurs : q = Cu i = dq WE = 21 CU 2 dt = C dt di 1 2 Bobines : U = L dt WB = 2 LI En régime continu C ⇔ -/- et L ⇔ — ,ω→∞ Continuité de la tension aux bornes de C et du courant qui traverse L 2 di Régime variable : ddi2i + ωQ0 dt + ω20 = 0 Q < 21 : apériodique, Q = 12 : critique, Q > Décrément logarithmique constant 1 2 : pseudo-périodique, Q → ∞ : périodique 2.3 Régime sinusoidal forcé Impédances : R C: 1 jCω L : jLω dU dt = jωU Forme canonique : I = E 1 1+ jQ(x− 1x ) et U = 1+ jQ(x− 1 ) x q Q = RL ω0 = R1 CL avec x = svt : ω0 = √1LC Q : facteur de qualité Fonction de transfert (gain en tension à i s = 0) : H = Gain : GdB = 20 log kHk phase : ϕ = arg(H) Bande passante : G (−3 dB) = G√max (20 log( 21 ) ≈ −3) P∞ k=0 [an bn = cn = = = ∆F F0 F F0 Us Ue ∆ω ω0 2 Séries de Fourier : f (t) = a20 + RT an = T2 0 f (t) cos(nωt)dt P i nωx cplx : f (x) = ∞ −∞ cn e ω ω0 = 1 Q cos(nωt) + bn sin(nωt)] R 2 T T 0 1 2 (an f (t) sin(nωt)dt (parité !) − i bn ) et c−n = 12 (an + i bn ) ω= ck = 2π TR 1 T T 0 f (t) e− i kωt dt √ √ U = U eff 2 cos(ωt + ϕ) I = Ieff 2 cos(ωt + ϕ) RT Puissance moyenne : P = T1 0 ui dt = Ieff Ueff cos ϕ Puissance complexe : P = 12 U · I ∗ (puissance active : P = <(P), puissance réactive : =(P)) Amplificateur opérationnel : i+e ≈ i−e ≈ 0 v s = µ(v+e − v−e ) = µε µ : gain v s ≤ v smax ⇒ v+e − v−e ≈ 0 dv s fonctionnement linéaire : τ dt + v s = µε appliquer le th de Millman aux bornes d’entrée rétroaction : tjrs sur la borne pour être stable µ ≈ 105 τ ≈ 10−2 s Re ≈ 1011 Ω Rs ≈ 1 Ω Vsat ≈ 15 V imax ≈ 10 m V ... 3 Ondes életromagnétiques 3.1 Équations de Maxwell −→ ~ −→ ~ ~ ~ ~=0 ~= ρ div B rot E = − ∂∂tB rot B = µ0 ( J~ + ε0 ∂∂tE ) div E ε0 µ 0 ε0 c2 = 1 µ0 = 4π · 10−7 SI P Vecteur densité de courant : J~ = ρ~v = ni qi~v (ρ : densité volumique de charge) Conservation locale de la charge : div J~ + ∂ρ ∂t →~ ~:B ~=− Potentiel vecteur associé à B rot A − − − → ~ Potentiel associé à E~ : E~ = − grad V − ∂∂tA ~ ∆V = − div ∂∂tA − =0 ⇐ ∂Q ∂t =− −→ ~ car div rot A =0 −→ −−−→ car rot grad V = 0 ρ ε0 ~=0 Jauge de Coulomb (→ statique) : div A ~+ Jauge de Lorentz (→ propagation) : div A 1 ∂V c2 ∂t =0 6 Σ −→ J~ · dS = ∂ ( ∂t # V ρ dτ) ou −→ ~ div rot B =0 −→ ~ =∇ ~0 Par une transfo de Galilée (~v = cst coli à ~i) : ∇ − − − → d. ∂. v · grad) or dt = dt0 donc ∂t∂.0 = dt = ∂t + (~ 0 ρ : invariant f~ = f~ ∂. ∂t ~ avec V ~ ·∇ ~ = ~v − ~v0 +V −→ Maxwell-Gauss : div E~ = ερ0 ⇒ th de Gauss : Σ E~ · dS = Qεint0 → ~ ·− ~ =0⇒B ~ à flux conservatif : B dS Maxwell-Flux : div B Σ ! H → → − −→ ~ ~ ·− Maxwell-Faraday : rot E~ = − ∂∂tB ⇒ loi de Lenz : C E~ · dl = − ∂t∂ Σ B dS H − −→ ~ ~ ~ ·→ dl = µ0 I Maxwell-Ampère : rot B = µ0 ( J~ + ε0 ∂∂tE ) ⇒ th d’Ampère : C B ~ 2 − E~ 1 = À travers une surface chargée : E ~2 − B ~ 1 = µ0 J~S ∧ ~n12 B σ n12 ε0 ~ 3.2 Phénomènes vibratoires Onde monochromatique : V(t) = V0 cos(ωt + ϕ) (quasi : A0 (t) ≈ cst sur une période) Addition de 2 ondes isochrones : V 2 = VV ∗ = V021 + V022 + 2V01 V02 cos ∆ϕ Onde progressive : dépend de t ± cx h i Onde plane progressive : ψ(t − ~uc·~r ) monochromatique : ψ = ψ0 cos ω t − ~uc·~r = ψ0 cos(ωt − ~k · ~r) les ondes planes se mettent ss la forme : ψ(x, t) = f (t − cx ) + g(t + cx ) Onde sphérique : ψ(r, t) = ψr0 cos[ω(t − cr )] Onde stationnaire : ψ(x, t) = f (x)g(t) Sont solution de l’éq des ondes : ∆ψ = démo : mq ∆ψ = 1 r ∂2 (rψ) ∂r2 1 ∂2 ψ c2 ∂t2 ⇒ φ = (rψ) sol de l’éq en dim 1 −→ ~ −→ ~ ~ ~ ~ = ~0 Éq de Maxwell ds le vide : div E~ = ~0 div B rot E = − ∂∂tB rot B = µ0 ε0 ∂∂tE 2~ 2~ − − − → −→ −→ ~B ~E ~ = 12 ∂ E2 ~ = 12 ∂ E2 ~ F) ~ ∆ µ 0 ε0 c2 = 1 (avec rot rot F~ = grad div F~ − ∆ On en déduit : ∆ c ∂t c ∂t ω ~k : vecteur d’onde ; coli à la direction de propagation k = 2π λ = c 1 c : célérité ds le vide : c = √ε0 µ0 Vitesse de phase : vϕ = E = hν = hc λ ω k vitesse de groupe : vg = dω dk = kB T Milieu homogène : ε = εr ε0 µ = µ r µ0 c0 = √εcr µr √ λ0 Indice de réfraction : n = εr µr λ= n n = vc > 1 2~ E ∂ 1 1 ~B ~ E~ = 2 2 ~ = 2 ∂2 B2~ ∆ v(~r) Milieu non homogène : ∆ v ∂t air : n = 1, verre : n ≈ 1, 5 v ∂t Sols ss la forme ψ(~r, t) = A(~r) exp[i(ωt − ϕ(~r))] −−−→ Approximation de l’optique géom : k grad ϕk = ωv −−−→ −−−→ d’où : ~k = grad ϕ k~kk = k grad ϕk = ω = 2π avec A(~r) ≈ cst devant ϕ(~r) (phase) : λ v −−−→ grad ϕ ⊥ surf équiphases Th de Malus : les rayons sont perpendiculaires aux surfaces d’onde Principe du retour inverse de la lumière Chemin optique : dL = n ds (AB) = c ∆t Principe de Fermat : la lumière emprunte le plus court trajet possible −−−→ u) Éq des rayons lumineux d(n~ ds = grad n −−−→ −−−→ démo : mq grad L = n~u avec dL = grad L d~r et d~r = ~u ds puis Repère de Frénet : 1 R ∆A A −−→ ~ ·− =N grad n −−→ d − (grad L) ds (dL = 0) −−−→ = grad( dL ) ds Polarisation () : ϕ = ϕy − ϕz avec E x = E x0 cos(ωt − kz) et Ey = Ey 0 cos(ωt − kz − ϕ) : – sin ϕ > 0 : polarisation elliptique gauche (sens trigo) , sin ϕ < 0 : droite – ϕ = ± π2 et E x0 = Ey0 : polarisation circulaire gauche (+) / droite (−) – ϕ = 0 ou π : polarisation rectiligne ~ = Vecteur de Poynting : Π 1 ~ µ0 E ~ ∧B m Bilan énergétique : − dW dt = Pcédée ds V ~ + ∂Wm local : − J~ · E = div Π → ~ ·− ~ > dS Π dS < P >= <Π # → ~ ·− dS + Pcédée à l’ext = V J~ · E~ dτ + Σ Π P= ∂t 7 −−−→ k grad ϕk2 Pression électrostatique : σ2 2ε0 −→ dS Pression magnétostatique : J~S ∧ ~E = démo : Π ~ B 2 dq E~ ( ) ds 2 −→ dS = − 21 µ0 JS2 dS = σ× → 1 σ− dS 2 ε0 = → σ2 − dS 2ε0 ~ B = J~S ∧ démo : Π ~ B 2 = µ0 2 −→ −→ J~S ∧ ( J~S ∧ dS ) = − µ20 JS2 dS 3.2.1 Réflexion ~ = 2E0 sin kx sin ωt ~ey Sur un métal ⊥ : E (onde stationnaire) démo : E/ = 0 E 0 ~ = 2 cos kx cos ωt ~ez : B c < Wem >t = ε0 E 2 (onde incidente : Wem = 12 ε0 E02 ) démo : Wem = 12 ε0 E2 + 2µ10 B2 2E 0 σ=0 J~S = cos ωt ~ey µ0 ~ ~ 0 = B ) : Pm = ε0 E 2 ~e x pression de radiation ( B 2 Corpusculaire : photon : E = hν hν n c~ ~p = Wem = Nhν ∆~p = hν n2 c (~ d~p dt − ~n1 ) ∼ force ~ et B ~ Isolant : σ = 0 et J~S = ~0 à l’interface → continuité de E →~ ~ ~ à partir de E~ : : − Calcul de B rot E = − ∂∂tB et vice versa avec σ ~ ~ ~ ~ Calcul de JS et σ : avec E = ε0 ~n et B = µ0 JS ∧ ~n 3.2.2 Propagation −→ −→ ~ −−−→ ~A ~ −∆ ~ démo : rot rot A = grad(div A) ~B ~ E~ − 12 ∂2 E2~ = ~0 ~ − 12 ∂2 B2~ = ~0 ∆ ∆ c ∂t c ∂t −−→ →~ ~ ~ =− ~ = −− B rot A E grad V − ∂∂tA ~ + 12 ∂V = 0 Jauge de Lorentz : div A c ∂t −→ ~ ~ avec rot B = µ0 ε0 ∂∂tE 2 2 ∂. ∂. 1 ∂. ∂. − 1c ∂t : F(u, v) = f (x, t) ; ∂∂x2f − c12 ∂∂t2f = 0 ⇔ ∂x ∂x + c ∂t f = 0 ⇔ ~ 0, B ~ 0 ) : trièdre direct : (~k, E ~ ~ = 1 ~n ∧ E Structure locale d’ : la norme est ≈ indép de r et B c ∂f ∂f V ~ ~ : ∂t = −c ∂x A x = c + cst (jauge de L) E⊥B B = Ec 1 c EB 2 2 2 ~ = n = cε0 E ~n = µ0 B ~n Π µ0 = cµ0 E ~ δ~p δt énergie Wem ∼ volume ∼ π = ε0 E 2 (pression) 2 ~ = cWm~n Wm = ε0 E 2 = Bµ0 Π −4 ∂2 F c2 ∂u∂v = 0 avec u = t − x c et v = t + x c = π dΣ ~n ~ Densité volumique de quantité de mvt : ~g = ε0 E~ ∧ B ~ = E~ 0 exp[i(ωt − ~k · ~r)] : E ~ < Π >t = 2µ1 0 E0 B0 = 21 cε0 E02 ∂. ∂. ∂. ~ = − i ~k = −1 ∇ démo : ∂x c ∂t ∂t = i ω ~ Revenir en notation réelle pour calculer Π Milieux isolants : ε = εr ε0 et µ = µr µ0 Dispersion : c0 = nc avec n(ω) q ~ = ε E 2 ~n : Π ~ >t = < ou bien : < Π n= √ 1 ~ 2µ E ~∗ ∧B ε r µr µ Loi d’Ohm locale : J~ = γ E~ ~ − µ0 γ ∂ E~ − ε0 µ0 ∂2 E2~ = ~0 Éq de propagation : ∆E ∂t ∂t →~ −→ −→ ~ −→ ~ ~ − démo : J~ = γ E, rot B = . . ., rot rot B = . . ., rot E~ = − ∂∂tB Relation de dispersion : k = f (ω) γ k2 = εµω2 (1 − i εµ ) ~ − µ0 γ ∂ B~ − ε0 µ0 ∂2 B2~ = ~0 ∆B ∂t ∂t avec l’éq de propagation en cplx ~ |ε ∂ E | de déplacement| ∂t k2 = k02 (εr µr )(1 − Qi ) facteur de qualité : Q = |courant |courant de conduction| = | J| ~ ω att : a priori, c , k Onde évanescente : q onde stationnaire atténuée (⇔ k ∈ i R) ~ 2 Effet de peau : δ = µ0 ωγ démo : relation de dispersion en négligeant le courant de déplacement en ( ∂∂tE ) → E = . . . × e x/δ P Ds un plasma, γ avec : J~ = γ E~ = qi vi 8 3.2.3 Rayonnement ~ + 12 ∂V = 0 Jauge de Lorentz : div A c ∂t ~A ~ = 12 ∂2 A2~ ∆V = Éq des potentls : ∆ c ∂t Solution des potentiels retardés : 1 ∂2 V c2 ∂t2 1 V(~r 0 , t) = 4πε 0 −−−−→ Dipôle oscillant : q = q0 ei ωt ~s = O− O+ θ p ~ r, t) = µ0 ~p˙ (déf) V(~r, t) = cos A(~ 4πr 4πε0 r2 + →~ ~ r, t) = µ0 sin θ ˙2p + ¨p ~eϕ (avec B ~ =− rot A) B(~ 4π r # V ρ(t− rc ) r dτ i ωt ~p = q0 e ~s ˙p rc (avec Lorentz et Eθ = rc sin θ 4πε0 p r3 + ~ r0 , t) = A(~ µ0 4π ∂. ∂r ∂r ∂z = ∂. ∂z ˙p r2 c = + ¨p rc2 # V ~ r) J(t− c r dτ ∂. ∂r cos θ ou déf) −−→ ~ = −− (avec E grad V − ~ ∂A ) ∂t 3.2.4 Propagation guidée ~ = E~ 0 (x, y) exp[i(ωt − kz)] ~=B ~ 0 (x, y) exp[i(ωt − kz)] À l’intérieur du guide d’ondes : E B ρ = 0, J~ = ~0 ∂. ∂. ~ ∇ = ∂x , ∂y , − i k Mq E0 x , E0y , B0 x , B0y s’expriment en fonction de E 0z et B0z et de leurs dérivées spaciales avec et Écrire les éq de propagation (∆E z − 2 ∂2 E 0 z ∂2 E + ∂y20 z = k2 − ωc2 E0z ... ∂x2 1 ∂2 E z c2 ∂t2 = 0 et en Bz) en cplx Ondes transversales électriques : E 0 z = 0 ; chercher une sol de l’éq de propagation ss la forme B0 z = B0 0 X(x)Y(y) 2 2 2 2 2 1 d2 X + Y1 ddyY2 = −( ωc2 − k2 ) ⇒ X1 ddxX2 = χ2x et Y1 ddyY2 = χ2y avec χ2x + χ2y = ωc2 − k2 ... χ x = nπ X dx2 a ... σ 1 ~ n = ~0, E~ ∧ ~n = , B ~ = J~s ∧ ~n Conditions aux limites : E~ t = ~0, B ε0 Modes propres : l = p µ0 ~ = ~0 ⇒ E(x, y) = E(x) div E E~ = E(x, y) ei(ωt−kz) λp 2 d’où k p = éq de propagation → solution pπ l 3.3 Optique Suivant λ(nm) : 0.4 (violet) – 0.56 (jaune) – 0.6 (rouge) – 0.8 : visible γ – rayons X (10−10 m) – ultraviolet . . . infrarouge – microondes Réflexion : θi = θr – centimétrq réfraction (loi de Descartes) : n1 sin i2 = n2 sin i2 continuité des composantes T et N ← Maxwell Incidence Brewster : tan i B = n2 n1 : seule la composante de E~ ⊥ au plan d’incidence est transmise par réflexion ~ Principe de Frénet → n1~u1 − n2~u2 coli à N 0 démo : introduire O origine ds dL = 0 entre A1 et A2 grandissement : γ = Grossissement : G = αα 0 Relation de Lagrange-Helmotz : γG = nn Stigmatisme : deux rayons entrant / sortent / A0 B0 AB −−−→ −−−→ pr deux rayons / : L(B0 Bi) − L(A0 Ai ) = cst = ni~ui · Ai Bi − n0~u0 · A0 B0 Sinus d’Abbe (aplanétisme, vertical) : n AB sin α = n0 A0 B0 sin α0 Condition de Hershell (stigmatisme longitudinal) : n AC sin2 α2 = n0 A0C 0 sin2 Objet / image réel / virtuel focale, plan focal α0 2 Lorsqu’on entre ds un milieux plus réfringeant, le rayon se rapproche de la normale Dioptre plan : A0 H = – radio (> 1 km) tan i tan r AH 0 ≈ n2 n1AH 0 e n n−n 0 Lame à faces parallèles : AA = Prisme : A = r + r0 [ sortant) déviation : (rayon entrant, D = A − (i + i0 ) angles faibles : D = (n − 1)A condition d’émergence : A − λ ≤ r ≤ λ avec sin λ = 1n et A ≤ 2λ Penser à : aa0 = bb0 = aa−b 0 −b0 Focale : f = HF et f 0 = HF 0 x = FA, x0 = F 0 A0 p = HA = f + x 0 Vergence : V = −nf = nf 0 (convergente : V > 0) Dioptre sphérique : 0 n0 n n0 −n γ = − xf = − xf 0 = S A0 − S A = S C n S A0 n0 S A xx0 = f f 0 f0 = 9 n0 n0 −n S C f f0 0 = − nn n0 CA0 0 0 n − CA = nCS−n γ = nn0 CA CA Lentille mince (S 1 ≈ S 2 ≈ S ) : 1 1 1 1 1 p0 − p = f 0 = (n − 1)( R1 − R2 ) γ= −f x = Formule de Gullstrand : V = V1 + V2 − dV1 V2 −x0 f0 xx0 = f f 0 = − f 02 f = −f0 1 f0 = (n − 1)( S 1C1 − n0 n) (⇐ γG = Tracé des rayons : – entre / à l’axe → sort en passant par F 0 et vice-versa – les rayons passant par O ne sont pas déviés – des rayons / focalisent sur le plan focal image Lunette réglée à l’infini : entre / → sort / f0 f0 Doublet (a, b, c) : deux lentilles : a1 = be = c2 Plan principal objet : rayon horizontal ∩ le rayon émergeant Points principaux (H) : γ = 1, antiprincipaux (H ∗ ) : γ = −1, nodaux : G = 1 Mirroir : n0 = −n plan : R = S C = ∞ 3.4 Interférences lumineuses ˆ source et δ L (L : lg de cohérence) Source cohérente : ∆ϕ = cst m I = 21 < ψψ∗ > √ ˆ I0 : I = 2I0 (1 + cos ϕ) 2 sources cohérentes : I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ m −Imin Visibilité (contraste) : V = IImax max +Imin Interfrange : ϕ = 2π ou δ = λ Ordre d’interférence : p = λδ0 −−−−→ Onde sphérique : ϕ = 2π δ ∆ϕ = ~k · S 1 S 2 λ0 ~ = ~k2 − ~k1 ˆ amplitude : vecteur interférence : K de m Utiliser le th de Malus ~ · ~r ϕ=K interfrange : i = λ 2 sin( α2 ) Loi de Malus : I ∝ cos2 θ (intensité lumineuse transmise) Trous d’Young : δ = sX i = λD (D “assez grand”) D s h i δ ˆ amplitude : I = Imax 1 + cos(2π ) Interférence à 2 ondes de m 2 λ R l/2 Fente de largeur l : I(M) = Il0 −l/2 Idy R νsup Avec spectre : I = ν kIν (ν)[1 + cos( 2πcδν )]dν inf caractère non monochromatique insensible si : 2πδ ∆ν1/2 c 2π ∆ν1/2 c δ λ2 ∆λ1/2 δ Modélisations du spectre de raies (dI = kIν (ν)dν) : – rectangle – lorentzienne : Iν (ν) = 1+[2πτc1(ν−ν0 )]2 (gaz à haute pression) (ν−ν )2 0 (effet Doppler) – gaussienne : Iν (ν) = exp − 2σ2 1 sinc : x 7→ sinx x poser σ = λ1 = νc (nombre d’onde) fonction d’Airy : x 7→ 1+M sin 2 x (2) h i kx ia Ra = 2a sinc ka faire des changements de var pr s’y ramener max pour x ≈ (2p + 1) π2 ei kx dx = ei k −a −a Longueur de cohérence temporelle lt : D qui annule la première fois la visibilité 2 transmission : t12 = Coef de réflexion (reste ds 1) : r12 = ψψ0r = nn11 −n +n2 2 2 T =t R=r pas de pertes : T + R = 1 ⇒ attention au déphasage de π si r12 < 0 (ex : air / verre) Michelson : lame d’air (à l’infini) / coin d’air Ondes transmises à travers une lame pleine : δ = 2ne cos r Lame pleine à l’infini : I = 1+MImax ϕ = 2π λ 2ne cos r sin2 ϕ 2 2n1 n1 +n2 lame d’air : δ ≈ 2e ≈ 2αx pλ anneaux : cos r = 2ne figures d’interférence : avec i ≈ nr r p avec cos r p ≈ 1 − x2 2e + π e ≈ Anneaux de Newton : ϕ = 2π λ 2R r2p 2 10 dans ϕ = 2pπ 1 S C2 ) Réseau de N fentes en incidence normale à l’infini : I(M) = NI0 Pouvoir de résolution (sépare les lg d’onde) : PR = Dispersion en différence de phase : Dϕ = dϕ dλ sin(N ϕ2 ) N sin( ϕ2 ) 2 λ ∆λ a−b Battements en intensité : utiliser cos a + cos b = 2 cos( a+b 2 ) cos( 2 ) Principe de Huygens-Fresnel : diffraction : chaque pt atteint par une onde se comporte comme une src secondaire d’onde ˆ pulsation que l’onde incidente et d’amplitude proportionnelle ; rapidement ≈ plane sphérique ! de m ψ(P) = Σ ψ(M)Q exp(iR kR) dS [Q] = L−1 Diffraction de Fraunhoffer : à l’infini + dioptre plan −−→ −−→ ) r = kOMk M(x, y) P(X, Y) Q indép de R (car R grand) R = k MPk ≈ r(1 − xX+yY r2 ψ(M) Transmittance du diaphragme : t(x, y) = ψ0 ! → − −−→ ψ(P) = QR Σ ψ0 t(x, y) exp(− i k · OM) dx dy → − −−→ 2π ~k = 2π ( X ~e x + Y ~ey + Z ~ez ) k · OM = (ux + vy) avec u = X et v = Y λ r r Max relatif de lumière : u p = p λa Réseau la transmittance (∈ C) varie périodiquement → − −−→ Déphasage de rayons arrivant / : ϕ = k0 · OM λ r r r Fente rectangulaire en diffraction : I(M) = KI0 (ab)2 sinc2 [ λπ (α − α0 )a] sinc2 [ λπ (β − β0 )b] ! −−→ Réseau de fentes / en transmission : ψ(P) = Kψ0 t(x, y) exp[− i(~k − ~k0 ) · OM] dx dy Nφ 2 sin( 2 ) (sin α − sin α )] I = I0 sinc2 [ πε 0 λ sin( φ ) 2 Formule des réseaux (ϕ = 2πp) : – en transmission : sin α − sin α0 = p λa = pnλ – en réflexion : sin α + sin α0 = p λa a : distance entre 2 fentes n : nb de fentes par unité de lg Dispersion angulaire : D = dα dλ Angle de déviation max : D(α0 ) = α − α0 maximal knλ = 2 sin( D2m ) 4 Champs en 1 r2 ~ F~ = q(E~ + ~v ∧ B) 4.1 Électrostatique 1 −12 SI ε0 ≈ 36π10 9 SI ≈ 8.85 · 10 dq Charge volumique : ρ = dτ Densité surfacique de charge : σ = dq ds Densité linéique de charge : λ = dq dl Conductivité γ : J~ = γ E~ (loi d’Ohm locale) Utiliser les symétries / antisymétries Champ électrique : E~ = th de superposition q − u−→ 4πε0 r2 AB Plan infini : E~ = 2εσ0 ~n Disque : E = 2εσ0 (1 − cos α) Le champ dérive d’un potentiel / la force dérive de l’énergie potentielle −−→ ~ = −− E grad V (exprimé ds le repère local en cyl) → − Circulation : dC = E~ · dl = −dV C = −∆V diverge lorsqu’il y a des charges à l’infini Potentiel électrostatique : V = 4πεq 0 r + cst Énergie potentielle électrostatique : E p = qV δW = −dE p = −q dV 11 ~ −−→ car ψ(M) = ψ0 ei k0 ·OM Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles, dans le sens des potentiels décroissants −→ Flux de E~ : dΦ = E~ · dS Q Pour une charge ponctuelle : dΦ = 4πε dΩ 0 (ΦG~ = 4πGMint ) Théorème de Gauss : flux à travers une surface fermée : Φ = Qεint0 H −→ Q ~ ⇒ Σ dS · E = ε0 → E → V + cst (cst : par continuité / par le potentiel en O) Théorème de Gauss local (éq de Poisson) : div E~ = ερ0 Unicité la solution à l’éq de Laplace (∆V 2= 0) 2 de ∂2 f ∂2 f ∂2 f = 1r ∂r∂ (r ∂∂rf ) + r12 ∂∂θ2f + ∂∂z2f ∆ f = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 cart chercher les sol ss la forme : V(r, θ) = f (r)g(θ) ρ ε0 ∆V + =0 cyl svt : f (r) = Cr α Méthode des images électriques : placer des autres charges pour “simuler” une équipot (métal) R2 charge q en B, sphère (O, R) V = 0 ⇔ −λq placée en A tq : d = OA = OB et λ = Rd − ~ = K→ Lignes de champ : E dl ⇔ dr Er = rdθ Eθ → − Équipotentielles : V = cst ou E~ · dl = 0 ~2 − E ~2 = Lorsqu’on traverse une surface chargée, discontinuité du champ normal : E − σ→ → − ~ ~ Th de Coulomb : E = n (⇒ σ = ε E · n ) ε0 e 0 e Positions de Gauss : intersection avec les axes (θ = nπ 2 ) 1 Taylor de PM au voisinnage de O : ~ = Q 2− – distribution pôlaire : V = 4πεQ0 r et E u−−→ 4πε0 r GM → − −−→ P 1 P ·OM – distribution dipôlaire ( i pi = 0 et G− , G+ ) : V = 4πε 3 0 OM P – distribution quadripôlaire ( i pi = 0 et G− = G+ ) : calculer AM 2 puis Énergie potentielle (W pr amener # # les charges à l’∞) : Wélec = E 2 dτ Wélec = 21 V ρV dτ = ε20 1 2 P i 1 AM q i Vi −−→ −1/2 = AM 2 , faire un (Vi : V en i par les qi, j ) Dipôles électrostatiques : −−−−→ ~ = QG Moment dipôlaire : P − G+ ~r Q G− G+ cos θ P·~ cos θ P sin θ V = 4πε E~ = 2P = 3 2 3 , 4πε r3 4πε0 r 4πε r 0r 0 0 ~ r)~r−Pr ~ 2 3(P·~ 1 Écriture intrinsèque : E~ = 4πε 5 r 0 ~ · E~ Énergie potentielle du dipôle : Wd = Q(VA − VB) = −P − − − → ~ · grad)E~ Force exercée par le champ sur le dipôle : F~ = (P −Q2 Énergie propre (de formation) : W = 4πε0 AB Champ électrique sur le dipôle : − − → − → → – force résultante nulle : F~ = qE0 − qE0 = 0 ~ sur E~ : ~Γ = P ~∧E ~ – couple de moment qui tend à aligner P −→ Pression électrostatique : dF = → σ2 − 2ε0 dS Capacité d’un condensateur : C = Condensateur plan : C = ε0dS P Association de C : série : C = k Ep = 1 Q2 2 C = 1 2 QV = 1 2 2 CV (~Γ → 0) −→ ~ (car dF = dq E) Q U (U = ∆V) 1 Ck (car dE p = / /:C = qdq ) C avec V1 − V2 = P R r2 r1 − ~ ·→ E dr k Ck 4.2 Magnétostatique ~ =0 div B σ n12 ε0 ~ −→ ~ ~ rot B = µ0 ( J~ + ε0 ∂∂tE ) ~=0 Jauge de Coulomb : div A ~A ~ + µ0 J~ = ~0 ⇒ éq de Laplace : ∆ # J(P) ~ µ0 ~ diverge lorsqu’il y a des courants à l’infini Potentiel vecteur : A(M) = 4π −−→ dτ kPMk R → − − ~ µ0 I dl ~ → I→ Circuit filiforme ( Jdτ dl) : A(M) = 4π C −−→ kPMk 12 ~ −−→ ~ est uniforme : A(M) ~ Si B = B∧2OM ! → ! −→ ~ −→ H ~ → − ~ avec ~ ·− Calculer A B dS = Σ rot A · dS = A · dl Σ →~ ~ =− B rot A = µ0 4π # sur (r → r + dr) × h ~ J(P)∧~ u dτ r2 R → − dl∧~u ~ = µ0 I filiforme : relation de Biot et Savart : B 4π C r2 ~e − B ~ i = µ0 J~S ∧ ~ne B Perpendiculaire au plans de sym, / aux plans d’antisym R Pour les poser : xz = tan α Utiliser des syst équivalents pour les conducteurs (images magnétiques) →~ ~ : parité, div B ~ = 0 (calculer le flux de B) ~ et − de B rot B = µ0 J~ = 0 −→ ~ ~I, − Trièdre direct : B, AM règle de la main droite ! H −→ − ~ ·→ dl = µ0 Σ J~ · dS = µ0 I Théorème d’Ampère : C B ~ = 0 ⇒ flux conservatif div B µ0 I Fil rectiligne infini : B = 2πr µ0 I Segment : B = 4πr (sin αB − sin αA ) 0I Spire de courant : B = µ2R sin3 α (pt d’inflexion à ± R2 ) µ0 IN Solénoide : B = 2 (cos α1 − cos α2 ) infini : B = µ0 IN µ0 JS Ruban : B = πD sin α ~ = 1 µ0 J~S ∧ ~n Plan infini : B 2 ω En rotation : dI = dq 2π Dipôles magnétiques : − → − → ! −→ P M = 21 i ~ri ∧ (qi~vi ) Moment magnétique : M = Σ I dS − −−→ → − → −−→ ~ −→ −−→ −−−→ dl dM = OP∧2 Jdτ = OP∧I démo : dS = 12 OP ∧ dOP 2 − → µ0 M∧~r ~ (avec la formule de Kelvin) A(M) = 4π r3 → → − → −−−→ µ0 −M·~ θ µ0 M sin θ r ~ ~ = µ0 5 [3(− ~ = 2µ0 M cos B = − grad( 4π r3 ) B M · ~r )~r − Mr2 ] B , 3 3 4πr 4πr 4πr cyl − → ~ − → −−−→ ~ −−−→ E p = U L = −M · B force : F~ = − grad UL = (M · grad) B ~ ∧B ~ Moment sur le dipôle : ~Γ = M dPL ~ ~ ~ Force de Lorentz : F~ = q(E~ + ~v ∧ B) dτ = J · E ~ ~ ~ Wem : densité volumq d’énergie magnétq Éq locale de Poynting : ∂Wem ∂t + div Π = − J · E → ~ ~ −→ ~ 1 1 1 2 2 ~ = E ~∧B ~ ~ =B ~ ·− Π avec div( E~ ∧ B) rot E − E · rot B Wem = 2 ε0 E + 2µ0 B µ0 ! − → ~ · dS P= Π ~ : vecteur de Poynting Π Penser à : J~ = γ E~ Énergie magnétique : Wm = 1 2µ0 # B2 dτ = 1 2 # − → − ~ ~ dτ = I→ Force de Laplace : d f = J~ ∧ B dl ∧ B − → − → −−−−−→ H H −−−−→ µ0 I 1 I 2 (dl1 ·dl2 ) M1 M2 2 circuits : F1→2 = − 4π C C −−−−−→ 3 2 1 k M1 M2 k −−−→ µ0 2 fils infinis / : f1→2 = − 4πR I1 I2 ~er ~ dτ J~ · A ~ ∧ B) ~ = ... avec div( A → − att : orientation de dl −−−→ déf de l’Ampère : lorsque R = 1 m et I1 = I2 = 1 A, f1→2 = 10−7 N Pression magnétostatique : Pm = 1 2 2µ0 B ⇒ µ0 = 4π · 10−7 SI = 21 µ0 J~S2 ~ 00 − B ~ 00 = µ0 J~S ∧ ~n, B ~ 00 = − B ~ 00 , B ~=B ~0 + B ~ 00 , ~0 = B ~0 + B ~ 00 , B ~ 0 = 1 µ0 J~S ∧ ~n démo : B 2 1 2 1 2 1 2 ! → → −→ → − → − ~ ·− ~ ·− Travail des forces de Laplace : WL = IφC = I B dS φC : flux coupé dφC = B dS dS = (dr ∧ dl) ~ =0 Théorème de Maxwell : WL = I(φ2 − φ1 ) démo : div B att : orientation de la normale # ~ dτ Énergie potentielle : U L = −Iφ volumique : U L = − J~ · A − → ~ → ~ ~Γ = − dWL = −dUL U L = −M · B M∧B ∂φ ∂φ ∂W ∂W Γ = ∂θ = I ∂θ Fx = ∂x = I ∂x H H −dl→·−dl→ µ0 1 2 Coef d’inductance mutuelle M : φ1→2 = MI1 UL = −MI1 I2 M = 4π r12 C C 1 13 2 H − ~ ·→ Force électromotrice : e = E dl ~ C fixe dans B variable (induction de Neumann) : loi de Lenz : e = − dφ dt ~ uniforme (induction de Lorentz) : e = − dφC C mobile dans B dt H − ~ m = ~v ∧ B ~ − ∂ A~ ~m · → Cas général : champ électromoteur : E e= E dl démo : ∂t Coefficient d’autoinductance : φp = LI circuit infini, etc : L avec Wm = 21 LI 2 = 2µ1 0 P Wm = 21 i Ii φ j→i Pr un circuit filiforme : Wm = 21 φI M Deux circuits couplés : k = √L L −1 < k < 1 démo : Wm = 21 φ1 I1 + 12 φ2 I2 ≥ 0 # B2 dτ 1 2 Couplage électromécanique : 1 éq électrique (U = RI) + 1 éq mécanique (, ) éq méca avec la puiss : J ω ˙ × ω = Pc = −ei Quantité d’électricité induite : qind = − R1 (φ2 − φ1 ) 5 Atomistique Énergie d’un photon : w = hν = h Longueur d’onde : λ = hp = mv hc λ quantité de mvt : p = hν c 2 2 −e Force exercée sur l’e- : F = ma = m vr → Em = Ec + E p = 8πε 0r Condition de quantification (sur le moment cinétique) : L = mvr = n~ ε 0 h2 2 rayon de Bohr : r0 ≈ 5 · 10−11 m Rayon de l’orbite n : r = n2 πme 2 = n r0 Relation de Rydberg : σ = λ1 = Ry n12 − m12 4 Ry = 8εme ≈ 1.1 · 10−7 m−1 2 3 0h c E0 = hcRy ≈ 13.6 eV Règle de Slater : énergie de l’électron : E = 2 n Zeff a0 rayon de l’orbitale : r = 0 si n2 > n1 0.35 si n2 = n1 σ21 ≈ 0.85 si n2 = n1 − 1 1 si n2 n1 P (z− σ)2 E0 n2 a0 ≈ 53pm = −13.6 Z 2 eff n eV Principe d’incertitude d’Heisenberg : ∆x∆p x ≥ ~ 2 ∂· (Em = Ec + E p avec x ↔ ·x et px ↔ i ~ ∂x ) Équation de Schrödinger : HΨ = −~ 2m ∆Ψ + E p Ψ = Em Ψ 2 ∗ Quantité d’énergie (probabilité de présence) : E = |Ψ| = ΨΨ n : nb quantique principal l : nb quantique orbital m : nb quantique magnétique √ Énergie : E = En20 moment cinétique : L = ~ l(l + 1) n≥1 0≤l<n −l≤m≤l spin des e- : 12 ou − 12 Couche : suivant l : S P D F (ex : n = 3, l = 1 : couche 3p) Remplissage suivant les niveaux d’énergie : règle de Klechkowski e- de valence : e- de n max + couches incomplètes 2 premières exceptions : Cr (Z = 24, . . . 4s1 3d5 ) Cu (Z = 29, . . . 4s1 3d10 ) 6 Chimie H Li Na Be Mg B Al C Si N P O S F Cl He Ne Ar aA + bB cC + dD ac ad Loi d’action de masse : aCa aDb = KT0 A B Activité : solide : 1, gaz : pression partielle en bars, liquide : concentration Air ≈ 45 N2 + 15 O2 ne pas oublier les gaz inertes ds les bilans Conductivité : γ = γ+ + γ− = (αa0 )F xp(k+ + k− ) (avec α : taux de dissociation, x : coefficient stœchiométrique, p : charge, k ± : mobilité) Conductivité équivalente : Λ∞ = F k 14 Conductance : σ = kγ ≈ γ Sl ∼ R1 P γ = λ i ci λi ≈ λ0i : conductivité molaire (Ω−1 cm−1 mol−1 ) Densité : d = ρ ρair = M Mair ≈ M 29 Volume molaire partiel : vi = 1 S = 1 Ω−1 (avec M en g · mol−1 ) ∂V ∂ni T,P,n j,i Mésomères (plusieurs struct de Lewis) : – règle de l’octet (8 e- max sur la couche périph) – charges formelles minimales Insaturation : 12 (2nIV + nIII − nI + 2 + z) AXn E p (n doublets liants, p doublets non liants) → linéaire, coudée, tétrahèdrique, bipyramidal À l’équivalence : [A] a = [B] b c d [C] [D] aA + bB → cC + dD produit ionique : K = [A] a [B]b + − ex : AgCl Ag + Cl Produit ionique (= cste d’équilibre de la réaction) : PI = [Ag+ ][Cl− ] Si précipité en solution : PI = K s , sinon : PI < K s Solubilité : s = − log K s 6.1 Cristallographie cubique p i f quadratique p i hexagonal orthorombique p c i f monoclinique p c rombohèdrique triclinique p : primitif c : 2 faces centrées i : centré f : faces centrées Cristaux : métallique ionique covalent moléculaire Coordinance : nb de voisins (12 max) par les atomes Compacité (τ ou C) : τ = vol occupé vol de la maille MZ V = (a × b)c ρ = VN a q τ = 0.74 c = 12 Hexagonal compact : h = a 23 Cubique à faces centrées : l = a Cubique centré : τ = 0.68 √ 2 4 τ = 0.74 c = 12 Sites : tétrahèdriques, octahèdriques 2r− ≤ a = k(r+ + r− ) Structures : – silicium et diamant : cfc + 1 site T sur 2 occupé – graphite : plans d’hexagones (2e décalé) – CsCl : Cl- cubique simple, Cs+ au centre du cube – NaCl : Cl- cfc, Na+ ds ts les sites O (ou vice versa) – blende (ZnS) : S2- cfc, Zn2+ ds 1 site T sur 2 – fluorine (CaF2 ) : Ca2+ cfc, F- ds ts les sites T 6.2 Cinétique chimique aA + bB → cC + dD Degré d’avancement du réacteur : dη = − dnaA = dncC Vitesse de réaction : R = dη dt Vitesse spécifique : r = VR d[A] Si V = cst, r = − 1a dt R η˙ = k · f ([A], [B], . . .) k : cste de vitesse −Ea Relation d’Arrhénius : k(T ) = Ae RT avec Ea : énergie d’activation (J · mol−1 ) et A : facteur de préexponentiel αA αB Réaction ordonnée : r = k[A] [B] avec αA : ordre partiel, αA + αB : ordre total 15 Si αA = a et αB = b, la réaction suit la règle de Vant’hoff (réaction élémentaire) α β Souvent : − a1 d[A] dt = k[A] [B] ] (principe de Bodenstein) : d[X dt = 0 Faire un bilan de matière Réaction rapide : équilibre atteint : K = ⇒ [X ] = . . . k1 k−1 Mesure de l’ordre total : – on se met ds les proportions stoech → r = k 0 [A]αA +αB – dégénerescence de l’ordre : [B] ≈ cst avec [B] [A], très concentré Ordre Évolution 0 [R] 1 √2 [R] 1 ln[R] 2 3 1 [R] 1 [R]2 6.3 Réaction acide-base − Ke = [H−3 O+ ][HO ] = 10−14 à 25 o C [A ][H3 O+ ] Ka = [AH] pKa = − log Ka Ke Kb = Ka Équations : conservation, équilibre, (électroneutralité,) zéro protonique h Monocaide : [AH] = a0 h+Ka 2 Diacide : [AH2 ] = a0 h2 +h·Ka1h+Ka1 ·Ka2 a0 ·Ka Acide fort : pH ≈ − log a0 / faible : h ≈ Ke h + h+Ka Prédominance : pH < pKa − 1 / pH > pKa + 1 6.4 Oxydo-réduction F = 96500 C Nombre d’oxydation : Σ n.o. = charge de la molécule, O : − (péroxydes -O-O- : − par O), H : + (hydrures : −) Oxydant : capte des électrons (grand n.o., grand E 0 ) 3+ − 14H+ + Cr2 O2− + 7H2 O 7 + 6e → 2Cr 3+ − + → + ; équilibrage : Cr , e , H+ , H2 O dU = T dS − PdV + φdq Potentiel électrochimique : µi = µi + φzF P Affinité électrochimique : A = − νi µi µ − −µ − φ2 − φ1 = e (2)F e (1) équilibre : A = 0 Électrodes : – 1re espèce : Ag / Ag+ – 2e espèce : Hg / Hg2 Cl2 / K+ , Cl- (au calomel : : E 0 = 241 mV) – 3e espèce : Pt / Fe2+ / Fe3+ Piles : Pt | Ox1 , Red1 : Ox2 , Red2 | Pt ⊕ E 0 (Ox/Réd) = K 0 (Ox/Réd) − K 0 (H3 O+ /H2 ) δWélec = ∆E dq dGT,P = −Edq αOx + ne- → βRéd Relation de Nernst α: a RT E = E 0 + nF ln βOx aRéd α aOx E = E 0 + 0.059 n log β aRéd ∆r g˜ 0 ∆r g˜ = −nF E 0 RT F convention : E 0 (H3 O+ /H2 ) = 0 ln 10 ≈ 0.059 = −nF E 0 ∆rG0 = ∆r (∆r g˜ 0i ) 0 0 ∆r H 0 = ∆r G0 + T ∆r S 0 ou avec : − ∆Tr H2 = ∆r S 0 = − d∆dTr G = nF dE dT dE0 Coefficient de température : dT 16 d ∆r G0 dT ( T ) n1 Red2 + n2 Ox1 n1 Ox2 + n2 Red1 dq = n1 n2 F dξ ∆r G = −n1 n2 F ∆E ∆r G0 = ∆r (∆r g˜ 0i ) = −RT ln KT0 Énergie récupérable : T = ∆r G0 Oxydation anodique () / réduction cathodique (⊕) Référence : EH0 + /H = 0 E 0 (H2 O/H2 ) = 1.23 V 2 Tous les couples d’une même solution sont, à l’équilibre, au même potentiel “Chasles” avec les E 0 : 6E 0 (/-) = 5E 0 (/) + E 0 (/-) (linéarité des ∆r g˜ 0 ) Pile ≈ générateur de tension Fém : E = E+ − E− = E+0 − E−0 − 0.06 n log Q où Q = Pile à l’équilibre : ∆E = 0 Cste d’équilibre : ∆r G0 + RT ln KT0 = 0 donc E 0 = pH = − log[H3 O+ ] Diagrammes E / pH : E = E 0 − 0.06 np pH + ˆ [c] convention 1 : m 0.06 n 0.06 n log aνi i Q log KT0 aαOx aβRéd convention 2 : équi-répartition att : ex : c0 = [Cl− ] + 2[Cl2 ] – immunité : H2 O n’oxyde pas le métal – corrosion : métal oxydé par H2 O – passivation : le métal est protégé par un oxyde ou un hydroxyde Dismutation : ex : X → X + X → stabilité avec KT0 Diagrammes E / pH : il ne peut y avoir de domaines disjoints Électrolyse : U ≥ U min = ∆r G nF 6.5 Diagrammes binaires g On représente : à P fixée : T = fl (xli ) et T = fg (xi ) à T fixée... Variance : v = 4 − ϕ Mélange parfait de gp : loi de Raoult : Pi = xli Psat A (T ) Coeff d’activité : – réf corps pur (x → 1) : P = γxPsat (loi de Raoult) – réf soluté infiniment dillué (x → 0) : P = γxk (k : cste d’Henry) Courbe d’ébullition : l sat sat l sat – iso-T : P = Psat loi de Raoult → P = xlA Psat A (T ) + xB PB (T ) B (T ) + xA [PA (T ) − PB (T )] : droite dP LP – iso-P : avec Clapeyron (hyp : g.p., vl vg , L(T ) = cst) : dT = RT 2 → P = . . . → T = . . . Courbe de rosée : g l re – iso-T : PA = xlA Psat A (T ) = xA P ⇒ xA → ds la 1 éq – iso-P : idem : xgA = xlA Psat A (T ) P Point homoazéotropique (Z) : T éb = T ros et Péb = Pros g Th de Gibbs-Konovalov : (sg − sl ) dT − (vg − vl ) dP = −(xA − xlA )(dµA − dµB ) P démo : Gibbs-Duhem ( ni dµi = −S dT + VdP) et, à l’équilibre, µlX = µgX donc pt Z : T g = T l Pg = P l dP dT = sg −sl vg −vl Th des moments chimiques : (x − xl )nl + (x − xg )ng = 0 Deux liquides non miscibles : pt hétéroazéotropique Courbe de rosée : avec µlA = µ∗A, l (T, P) (du corps pur) démo : µ0A, g (T ) + RT Aéb ln( PPtot0 ) = µ∗A, l (T, P) = µ0A, g (T ) + RT ln( g xA Ptot P0 ); d dT Lvap A 17 µ0A, g (T )−µ∗A, l (T,P) T ! = −R dTd (ln xgA ) ; puis d dT ( Tµ ) = − Th2 où h0A, g − h∗A, l = 7 Thermodynamique Gaz parf : 22.4 L à T = 273 K et P = 1 atm T = 273, 16 × limP→0 (PV)pointPV triple de l’eau t = T − 273, 15 E = kB T kB = NR g−g0 Échelle affine centésimale : θ(t) = 100 g100 −g0 Diagramme d’Amagat : PV / P Pression : 1 bar = 105 Pa 760 mm de Hg = 1 atm = 101325 Pa unité SI : Pa −→ −−−→ −→ dF = − grad P dτ = P dS P = −ρgz + P0 ∆P = ρgh PM Souvent : ρ = mV = nM V = RT −−−→ −−−→ Mz relation de la statique des fluides : grad P + grad(ρgz) = ~0 en dim 1 : dP = −ρg dz d’où P = P0 e− RT Poussée d’Archimède : ΠA = −ρvg = −Pfluide déplacé Gaz parfaits : On néglige les interactions entre les molécules (P doit être faible : 1 atm) et V molécules Vtot Loi des gaz parfaits : PV = nRT P = NkT R ≈ 8.314 J · K−1 · mol−1 a Loi de Van Der Waals : (P + V 2 )(V − b) = RT a : interaction entre molécules b : covolume, vol des particules 1 Coef de dilatation isobar : α = V1 ∂V ∂T P ≈ T ∂P ≈ 1 Coef de variation de pression à vol cst : β = P1 ∂T V T 1 Coef de compressibilité isotherme : χT = − V1 ∂V ∂P T ≈ P ∂P ∂V ∂T ∂V T ∂T P ∂P V = −1 α = βχT P 7.1 Premier principe Énergie interne : U = Wc(int) + W p(int) Travail échangé par les forces pressantes : dW = Pext dτ dW = −Pext dV C p , Cv : capaciés calorifiques à P / V constant C C Chaleur massique : c p = Mp chaleur molaire : C p = np dQrév = Cv dT + l dV dQrév = C p dT + h dP dQrév = λ dV + µ dP h : chaleur latente de variation de pression (m3 ) g p : h = −V l : chaleur latente de variation de volume (Pa) gp:l=P λ : capacité calorifique (Pa) 1er principe de la thermo : dU = δW + δQ Enthalpie : H = U + PV Loi de Joule : l’énergie interne d’un gaz parf ne dépend que de sa température (∆U = 0) Loi de Joule-Thomson : pour un gaz qui subit une détente de Joule-Thomson, ∆T = 0 (et ∆H = 0) ∆(H + 12 mv2 + mgh) = W 0 + Q (W 0 : travail des forces autres que pressantes) Transformations : C (monoatomique : γ ≈ 53 / diatomique γ ≈ 75 ≈ 1.4) γ = Cvp R g. p. : C p − Cv = R dU = Cv dT dH = C p dT Cv = γ−1 R Svt : W = −P dV = P1 V1 · ln VV12 = nRT · ln PP12 – isotherme : δU = 0 ∆H = 0 Q = −W – isobare : W = P ∆V ∆U = Cv ∆T Q p = ∆H = C p ∆T 2 −P1 V1 – isochore : W = 0 Qv = ∆U = P2 Vγ−1 18 Cp = γR γ−1 Transfo adiabatique : le syst n’échange pas de chaleur (δQ = 0) (svt réversible) Relations de Lapalce : PV γ = cst T V γ−1 = cst P1−γ T γ = cst démo : δQ = −δW + dU = 0 7.2 Second principe S : entropie ∆S = ∆S échange + ∆S création dS ≥ 0 (rév / irrév) Transfo rév : ∆S = 0 Tf −1 −1 dS = TδQ (→ ∆S = C ln ) (eau : C = 4186 J · kg · K ) p éch p Ti ext 3e principe : à 0 K, S = 0 P Machine thermique : i QT ii ≤ 0 : inégalité de Claussius Moteur : cyclique → ∆S = 0 et ∆U = 0 P P P Pour les machines thermiques (valable aussi pr les ∂) : i Qi + j W j = 0 et i S i = 0 (si réversible) fourni Rendement : ρ = | travail travail reçu | 2 réfrigérateur : ρ = T 1T−T pompe à chaleur : ρ = Moteur : ρ = 1 − TT 21 2 nR nR nR γ γ−1 S = γ−1 ln(PV ) + cst = γ−1 ln(T V ) + cst = γ−1 ln(P1−γ T γ ) + cst dU = δQ + δW = T dS − P dV Diagramme entropique : T / S Condition d’équilibre (⇐ dS = syst isolé (δQ = 0) → S et V fixés → S et P fixés → T et U fixés → T et P fixés → T1 T 1 −T 2 δQ T + δi S avec δi S ≥ 0) : −S décroît jusqu’à un minimum U H F G F ∗ = U − T ext S G∗ = U − T ext S + Pext V (exergie) (partir de U) ∗ Wf ≤ −∆F (pr une transfo monotherme) Wf, u ≤ −∆G∗ (pr une transfo monotherme monobare) is h Putile + Pthermq = dtd (E + Pext + V) + (h + ec + e p )qm e 7.3 Application différentielle des deux principes H = U + PV F = U − TS G = H − TS dU = T dS − PdV dH = VdP + T dS dF = −PdV − S dT dG = VdP − S dT ∂P Relations de Clapeyron : l = T ∂T h = −T ∂V (grâce à dU / dS et dH / dS et Schwartz ) ∂T P V ∂V ∂P C p − Cv = T ∂T = T αVβP ∂T P V Relation : de Gibbs-Helmholtz ∂ G − TH2 = ∂T car H = G + T S = G − T ∂G T P ∂T P U ∂ F − T 2 = ∂T T car U = F + T S = F − T ∂F ∂T V V 7.4 Changement d’état Point critique : L −−−−→ 0 T →T c Changement d’état : Q p = ∆H = mL L1→2 = h2 − h1 ∂P Formule de Clapeyron : L1→2 = T (u2 − u1 ) ∂T (où u : vol massique) V dP dT = Lα→β T (uβ −uα ) démo : µα = µβ donc dµα = dµβ donc vdP − sdT donc ∆Hcycle = LF + LV − LS = 0 m = u = x uv + (1 − x) ul avec x = vapeur m h i Psat (T ) = Psat (T 0 ) exp − RL T1 − T10 LM LV (idem pour h et s) démo : dP dT ≈ L T vg = LP RT 2 Diagramme de phases : P / T diagramme d’Andrews : P / v t(o C) 4 (pr 50 < t < 200 o C) Formule de Duperray (pr l’eau) : P(atm) = 100 ébullition 100 oC 1 atm 4 0, 01 oC 4 mm Hg= 760 atm Eau : τ C 374 K 218 atm 19 dT dP = vβ −vα sβ −sα et S = L T Machines : régime permanent : ∆H = 0 = P i mi hi 7.5 Théorie cinétique des gaz Hyp : P – U = i 21 mi v2i – homogénéité : dN dτ = cst – isotropie de l’espace Cste de Bolzmann : k B = R N ≈ 1.38 · 10−23 J · K−1 mv2 m 3/2 − 2kT dv x dvy dvz Nb de particules tq : v x < v < v x + dv, vy . . . : d3 n = N( 2πkT ) e q 2kT Vitesse la plus probable : v p = m q R 1 ∞ 3kT u = N v=0 v dn(v) = m R∞ √ 2 1 I0 = 21 πβ In = 0 e−βv vn dv I1 = 2β In = n−1 2β In−2 3m Vitesse quadratique moyenne : u2 = 4kT P P Méthode du viriel : dériver OM 2 = cst → Ec = 21 mv2 Chaque degré de liberté ajoute 21 kT à l’énergie Monoatomique : U = 23 RT / γ = 53 diatomique : γ = 75 3a−2 Polyatomique : γ = 6a−3 déformable : γ = 3a−3 6a−5 − ktE L’énergie est proportionnelle à e déformable : γ = (on a : dv x dvy dvz = 4πv2 dv) 9 7 7.6 Transferts thermiques Evib = (n + 12 )hν changemt de niv d’énerg : ∆n = ±1 ~q : vect densité de courant volumq d’énrg interne σu : terme de création d’énrg int par unité de vol − → dE = dEc − dEe échange : dEe = −( dΣ ~q · dΣ) δt création : dEu = σu dτ δt ! − → ∂E σu dτ − Σ ~q · dΣ ∂t = Rayonnement / conduction / convection (déplacemt de matière) : ~q = ~q R + ~qCd + ~qCv J~Th = ~qCd ≈ ~q : vect densité volumq de courant d’énrg int, non convectif (conduction) um : énrg int massq ρ : masse volumq (uv = ρum ) m) = σu Conservation locale de l’énrg : div J~Th + ∂(ρu ∂t div J~Th + ρcm ∂T = σ avec du = c dT m m u ∂t 2 pr une résistance : σu = J~ · E~ = Jσ −−−→ Loi de Fourier : J~Th = −λ grad T λ : conductivité themique (en W · m−1 · K−1 ) −−−→ ∂T Éq de la diffusion thermique : ρc ∂t = div(λ grad T ) + σu −−−→ σu en milieu homogène (grad λ ≈ 0) : ∂T ∂t = a∆T + ρcm a = ρcλm : diffusivité themique a en m2 · s−1 Svt : σu = 0 (pas de création d’énergie) En régime permanent, le flux thermique est constant ∆T = 0 Résistance themique : R = T 2 −T 1 P ~ −→ Entropie : dS = sv dτ = ρsm dτ δe S = −( Σ JThT·dΣ )δt J~S : densité de courant volumq d’entropie σS : création d’entropie ~ Éq de conservation locale de l’entropie : ρ cTm ∂T avec : ∂t + div JS = σS Avec A entropie volumique : ρ ∂∂ts + div J~S = A démo : dS = C p dT T A= −−−→ T 2 λ( grad T ) ∂ sv ∂t −−−→ −−−→ et grad( T1 ) = − T12 grad T et la conservation locale de l’énergie −−−→ grad T et J~Th st de sens contraire −−−→ démo : σS = grad T1 · J~Th ≥ 0 Convexion : χ : grandeur scalaire extensive 20 + div J~S = σS P Th = − − → J~Th · dΣ (reçue) J~χ = ρχm~v φχ = − → J~χ · dΣ Continuité de T donc de J~Th à l’interface Loi de Newton : δQ = −h(T − T ext ) dΣ δt Rayonnement thermique : φ : puiss totale rayonnée par la source (W) ϕ~u : fraction du flux surfacique émis ds l’angle solide dΩ ds la direction ~u (en W · m−2 · sr−1 ) dφ = ϕ~u dΣ dΩ ici : dΩ = sin θ dθ dϕ = cosrθ2 dS R dφ Émittance totale : M = dΣ flux surfacique : φ = surf M dΣ Luminance totale : dφ = L~u cos θ dΣ dΩ θ : angle fait avec la normale Loi de Lambert : L~u = L = ! cst M = πL démo : M = L cos θ dΩ R∞ R∞ Luminance, émittance monochromatiques : L~u = 0 L~u,λ dλ M = 0 Mλ dλ R dφ Éclairement total (d’une surface) : E = dΣ φ = surf E dΣ Corps noir : idéal, émet le maximum d’énergie par rayonnement 2πhc2 λ−5 Loi de Planck : Mλ0 = exp hc ]−1 [ λkT loi de Wien : λmax (T ) · T = cst ≈ 3 · 10−3 m · K 5 4 Loi de Stephan : M 0 = σT 4 avec σ = 2πc2 hhk4 Flux du Soleil sur la Terre : ϕS →T = σT S4 ( RDS )2 πR2T démo : ϕ = M × Émissivité : ε~u,λ = ∆Ω 4π × S (supposé isotrope) L~u,λ L0λ L~u,λ = ε~u,λ L0λ Mλ = ελ Mλ0 M = εM0 Corps gris : ε~u,λ = ε~u,λ0 Corps à émission diffuse : ε~u,λ = ε~u0 ,λ (suit la loi de Lambert) Loi de Kirchhoff : à l’équibre thermodynamq, ελ,~u = αλ,~u (coef d’absorption) 8 Thermochimie P Q p + Qv = RT i νi gaz Pour un corps simple : H 0 = 0 P ∆H = ∆U 0 + RT i νi gaz = Q p P (→ ∆U 0 ) dQv = ( i νi Cvi )dT P dQ p = ( i νiC p i )dT (→ ∆H 0 ) dQ p dQv dP = 0 dV = 0 P Enthalpie de formation (énergie de la réaction à 25 o C) : ∆H = i νi Hi0 ∆H 0 < 0 : exothermique (ne dépend pas du chemin suivi) Énergie de liaison : ∆r H 0 de la réaction (A − B)g → Ag + Bg 8.1 Thermodynamique chimique Pression partielle : pression qu’aurait le gaz s’il était seul Fraction molaire : xi = nni = PPi dU = T dS − PdV + µdn Potentiel chimique : µ = ∂U = g = Gn ∂n S ,V ∂G µ = ∂H = ∂F dµ = v dP − s dT ∂n T,V = ∂n T,P µ ∂µ ∂n S ,P ∂µ ∂ = −s =v µ = h− Ts − Th2 = ∂T ∂T ∂P T P T P (avec µ = g = h − T s = h + T ∂µ gaz parf : µ = µ0 (T ) + RT ln PP0 avec ∂P =v T 0 cas général : µ(T, P) = µ (T ) + RT ln f (T, P) f : fugacité f (T, P) ∼ P P→0 R ∂µ P V f V dP − d(ln P) = d(ln P ) f (T, P) = P exp 0 ( RT − P1 )dP f : avec ∂P = v RT T 21 ∂µ ∂T P ) Plusieurs constituants : P dU = T dS − P dV + µi dni µi = ∂U ∂ni −T δi S = S ,V,n j,i P i µi dni Théorème d’Euler : si f (x, y, z) est homogène, de degré 1, en x, y, z alors f (x, y, z) = x démo :dériver λ f = f (λx, λy, λz) par rapport à λ d’où, si λ = 1... si Y extensive alors : Y(T, P, ni) = P ⇒ G = ni µi P ni ∂f ∂x y,z +y ∂f ∂y x,z +z ∂f ∂z x,y ∂Y ∂ni T,P,n j,i P P P Équation de Gibbs-Duhem : V dP − S dT = ni dµi démo : dG = P dV − S dT + µi dni = d( ni µi ) P P à T et P fixés : xi dµi = 0 (permet de relier les µi ) aussi : xi = 1 Cœxistence de deux phases (pr un corps pur) : µα = µβ (si µα < µβ , seule α est stable) Lα→β dP Relation de Clausius-Clapeyron : dT = T (vβ −vα ) (loin du pt critq : vl vg ) Diagramme de phases : P / T isothermes d’Andews : P / v Mélange parf de g p (loi de Dalton) : Pi = xi Ptot µi = µ0i (T, P0) + RT ln PP0i g l Loi de Raoult (liq + gaz) : Pi = xli Psat alors : µli = µ0,l avec : µli,p,x = µi (T ) + RT ln xli i (T ) i,p,x (T ) + RT ln xi Mélange binaire : A ≈ pur : suit la loi de Raoult B ≈ pur : A suit la loi d’Henry (P A = xlA Kh(B/A) ) l sat coeff d’activité : ai = γi xi Activité : Pi = Pi ai 0,l l l µi = µi (T ) + RT ln ai l À dillution infinie (suit la loi d’Henry) : µlA = µ0,l A,∞,x (T ) + RT ln xA [A] Pr une concentration fixée : µlA = µ0,l A,∞,c (T ) + RT ln créf Avancement ξ : ni = n0i + νi ξ ξmax et ξmin : avec ni ≥ 0 P Opérateur de Lewis : ∆r Y = νi Yi = ∂Y ∂ξ si Y fonction d’état extensive = − ∂G dG = −S dT + VdP − Adξ A = − ∂U ∂ξ ∂ξ T,P Affinité chimique : T δi S = A dξ S ,V T,P P A = − νi µi = −∆rG Condition d’équilibre chimique : A = 0 Q éq Constante d’équilibre : KT0 = (ai )νi ∆r G0 = −RT ln KT0 (loi d’action de masse) Avec l’activité ai : – liquide pur (solvant) / solide pur : ai = 1 Préf = 1 bar – gaz (≈ parf) : ai = Pi = PPréfi en bar (att avec les Pa !) [Ai ] 0,l – soluté : ai = créf créf = 1 mol / L µi = µi,∞,c P aéq A = RT νi ln aii Évolution : A dξ ≥ 0 donc : A > 0 : → A<0:← A = 0 : éq g faire des bilans de matière (+ colonne ntot ) att : gaz inertes 2 réaction ∼ successives Q νi KT0 Quotient de réaction : Q = ai A = RT ln Q Relation de Van’t Hoff : démo : d dT d ln KT0 dT 0 = ∆r H 0 RT 2 (ln KT0 ) = − R1 dTd ( ∆rTG ) = − R1 ∆r G 0 = ∆ r H 0 − T ∆ r S 0 Relations de Kirchhoff : P µ0 i νi dTd ( Ti ) or d dT µ0 h0 ( Ti ) = − Ti2 d’où d dT (ln KT0 ) = P 0 i νi hi RT 2 = ∆r H 0 RT 2 approximation d’Ellingham : ∆r H 0 et ∆r S 0 indép de T d∆r HT0 dT = ∆rC 0p Relations de Gibbs-Helmholtz : ∆r S 0 = d∆r S 0T dT 0 − d(∆dTr G ) = ∆r C0p T 0 − ∆Tr H2 = d dT ∆ G0 r T Réaction de formation : produit 1 mol à P0 = 1 bar et à T = cst P P P ∆f Hi0 = ν j h0j h0i = ∆f Hi0 − corps ν j h0j loi de Hess : ∆r H 0 = i νi ∆f H 0 simple Variance : v = n − r + 2 − ϕ démo : Pn i=1 (n : nb d’espèces chimiques, r : nb de réactions, ϕ : nb de phases) xφi : ϕ, µ1i = µ2i = . . . = µϕi : ϕ − 1, A = 0 : r c0 = c − r : nb de réaction chimqmt indép att : aux relations entre P ⇒ v = v − 1 P g Q g Liq / gaz : A = RT ln KT0 − RT ( νi ) ln( N g PP ) − RT ln gaz (ni )νi tot réf P Q Solutés / solides : A = RT ln KT0 + RT ( soluté νsoluté ) ln(Créf V) − RT ln soluté nνi i i Endo/exothermique : ∆r H 0 > 0 ou < 0 ∆r H 0 dT dξ ≥ 0 Principe de Lechatelier : principe modération, le syst diminue les effets de la perturbation 22 Diagramme d’Elligham : 2x y M + O2 → 2 y M x Oy (oxyde) éq ∆rG0 = RT ln PO2 = f (T ) 23 haut : + oxydants
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