DS8 13-14

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10/05/2014
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées.
Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le
barème d'évaluation.
Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3; 2/3; 3/3.
Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui seront traités sur des copies séparées.
I Changements d’état du mercure (environ 50% du total des points)
On se propose, ici, d'étudier quelques aspects thermodynamiques du changement d'état du corps pur mercure.
Données générales
R = 8,31 J.mol-1.K-1 : constante du gaz parfait.
M(Hg) = 200.10-3 kg.mol-1 : masse molaire du mercure.
Données relatives à la vapeur sèche du mercure
Ce fluide sera considéré comme un gaz parfait.
C pm
5
γ=
= : rapport (constant) des capacités thermiques molaires, respectivement à pression constante et à volume constant.
C vm
3
Données relatives à l'équilibre diphasé liquide-vapeur du mercure
Pression de vapeur saturante Ps à différentes températures :
€
€
T (K)
Ps (bar)
373
473
8,00.10-4
2,80.10-2
573
0,330
673
2,10
Enthalpie massique de vaporisation Lv et volume massique de la vapeur saturante vv à différentes températures :
T (K)
Lv (kJ.kg-1)
vv (m3.kg-1)
573
297
673
294
0,700
0,128
vl = 7,70.10-5 m3.kg-1 : volume massique du mercure liquide que l'on considérera comme incompressible.
Cl = 0,135 kJ.kg-1.K-1 : capacité thermique (constante) du mercure liquide (y compris le long de la courbe de saturation).
Partie A : Transformation d'une vapeur sèche de mercure
Un récipient, de volume invariable Vo, contient à la température T1 et à la pression P1, de la vapeur sèche de mercure.
Le gaz, noté S, est porté rapidement à la température T2 et à la pression P2 grâce à un thermostat (source) de température constante T3.
On suppose que l'équilibre diphasé liquide-vapeur du mercure n'intervient pas dans cette transformation.
Données : T1 = 573 K;
T2 = 673 K;
T3 = 800 K;
P1 = 0,300 bar;
Vo = 1,00 m3.
1) Généralités
a) La transformation est-elle réversible ou irréversible ? Justifier.
b) Calculer les valeurs de Cpm et Cvm (capacités thermiques molaires à pression et à volume constant).
2) Bilan énergétique de la transformation
a) Quel est le travail Ws échangé par le gaz S ?
b) Calculer le transfert thermique Qs, ainsi que la variation d'énergie interne ΔUs mis en jeu au cours de cette transformation.
c) Calculer la variation d’enthalpie ΔHs.
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d) Y-a-t-il création d'entropie ? Si oui, calculer la valeur de l’entropie de création σ. Commenter.
On donne l’entropie du gaz parfait en variables (T, V) : S = n Cvm Ln T + n R Ln V + cte.
Partie B : Etude de la vapeur saturante du mercure
Soit l'équilibre liquide-vapeur de changement d'état du mercure : Hg(l) = Hg(v).
La mesure de la pression de vapeur saturante, notée Ps, à différentes températures, a permis d'établir la loi expérimentale de Dupré
(avec Ps en bar, T en Kelvin, A une constante et log le logarithme décimal) :
2010
log Ps = A + 3,88 log T
T
1) A partir des données, déterminer la valeur moyenne de la constante A.
2) Etude de la courbe Ps(T)
a) Donner l'allure de la courbe donnant l'évolution de Ps avec la température.
€
b) Exprimer, en fonction de T, le coefficient directeur de la tangente à la courbe de l'équilibre liquide-vapeur du mercure.
c) Le coefficient directeur peut être exprimé en fonction de l’enthalpie massique de vaporisation Lv(T) et des volumes
massiques vv(T) et vl(T) du mercure. On se sert pour cela de la relation de Clapeyron donnant l’enthalpie massique de
vaporisation à la température T :
dP
Lv(T) = T s ( v v (T ) − v l (T ))
dT
Calculer ce coefficient, à la température T = 573 K, par les deux méthodes précédentes. Comparer les deux valeurs.
€
Partie C : Augmentation
de la pression de vapeur
Un récipient, de volume Vo constant, contient initialement une masse mo de mercure.
Les parois sont parfaitement calorifugées mais un résistor, parcouru par un courant électrique, permet un apport d’énergie par transfert
thermique. La capacité thermique du récipient ainsi que celle du résistor seront négligées.
Le résistor chauffant sera considéré comme un thermostat à la température T3. Cette source est capable d'apporter une puissance
thermique constante Po pendant la durée Δt de chauffage nécessaire au passage du corps pur de la température T1 à la température T2.
On appelle x la fraction massique de la vapeur dans le récipient.
Données : T1 = 573 K;
T2 = 673 K;
Vo = 1,00 m3;
T3 = 800 K;
mo = 8,00 kg;
Po = 10,0 kW.
1) Etude de l'équilibre liquide-vapeur à la température T1
Calculer le titre massique en vapeur initial x1 ainsi que la masse initiale mv1 de vapeur.
2) Etude de l'équilibre à la température T2
Calculer le titre massique en vapeur final x2 ainsi que la masse finale mv2 de vapeur.
3) Diagrammes du corps pur
a) Représenter la transformation du corps pur, de l'état initial à l'état final, dans le diagramme P = f(V) (diagramme des
isothermes d'Andrews).
b) Même question dans le diagramme P = f(T).
4) Bilan thermique
a) Calculer la variation d’enthalpie ΔHs lors de la transformation, puis le transfert thermique Qs échangé par le corps pur au
cours cette même transformation.
b) Calculer la durée Δt de fonctionnement du thermostat.
5) Bilan entropique
a) Calculer la variation d'entropie du corps pur (mercure liquide-mercure vapeur).
On donne l’entropie d’une phase condensée de capacité thermique C : S ≈ CLnT + cte .
b) Y-a-t-il création d'entropie ? Si oui, calculer sa valeur σ'. Commenter.
II Résolution de problème : chauffe-eau électrique (environ 20%€du total des points)
Toute contribution à la résolution, même inaboutie, sera prise en compte.
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On travaillera dans tout l’exercice sur le modèle de volume 150 L.
On cherche à vérifier ou à exploiter certaines indications fournies sur la notice d’un chauffe-eau électrique destiné à alimenter une
installation sanitaire en eau chaude (document n°1). On utilisera pour cela certaines données des documents fournis en annexe,
document n°1 compris.
1) Temps de chauffe réel
Il s’agit du temps nécessaire pour chauffer la totalité de l’eau du ballon initialement froide après installation ou une longue
période d’inutilisation. A l’aide d’un modèle très simple que l’on précisera, vérifier l’ordre de grandeur de la valeur fournie du
temps de chauffe réel fournie sur le document n°1. Commenter.
2) Consommation d’entretien
La consommation d'entretien d'un chauffe-eau à accumulation est celle qui est observée même en l'absence de soutirage d'eau
chaude. Cette énergie est utilisée pour maintenir le stock d'eau à sa température de consigne, et vient compenser les pertes
thermiques à travers les parois (pertes thermiques dans le milieu ambiant extérieur).
En supposant que ces pertes thermiques sont données par la loi de Newton, déterminer la résistance thermique des parois de
l’appareil. Quelle épaisseur de polystyrène expansé permet-elle d’obtenir le résultat souhaité ? Commenter.
Données :
Document n°1 : extrait de la notice de l’appareil
(modèle « PRODIGIO » de la marque « SAUTER »)
Document n°2 : données physico-chimiques
sur l’eau (source Wikipédia)
Document n°3 : loi de Newton
La loi de Newton permet de calculer la puissance thermique à travers une paroi en fonction de la différence de température entre ses
S
deux faces. Elle s’écrit : Pth = ΔT .
R
Pth est la puissance thermique à travers la paroi, ici celle du chauffe-eau (transfert thermique par unité de temps) ;
S est la surface de la paroi, ici celle de l’appareil ;
ΔT est la différence de température entre les deux faces de la paroi, ici entre l’eau à l’intérieur du ballon et l’air ambiant à
€
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l’extérieur ;
R est la résistance thermique de la paroi, d’autant plus grande que la paroi est un bon isolant thermique et s’exprime en m 2.K.W-1.
Document n°4 : aires d’un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h
Aire de la base (disque) : πr2
Aire latérale : elle correspond au produit entre le périmètre de la base et la hauteur : 2πrh
Document n°5 : définition du kWh = kilowatt-heure (source Wikipédia)
Le kilowatt-heure est une unité de mesure d'énergie correspondant à l'énergie consommée par un appareil de 1000 watt (1 kW) de
puissance pendant une durée d'une heure. Elle vaut 3,6 mégajoules (MJ). Elle est surtout utilisée pour mesurer l'énergie électrique,
aussi bien générée (générateur électrique…) que consommée (plaque de cuisson…).
Document n°6 : résistances thermiques du polystyrène expansé
III Moteur de scooter (environ 30% du total des points)
Les scooters de cylindrée inférieure à 50 cm3 sont équipés d'un moteur à explosion à deux temps. Celui-ci existe sous plusieurs formes.
Le type le plus répandu (surtout dans le domaine des petites puissances) est celui qui comporte trois lumières; celles-ci sont destinées
à assurer l'aspiration, l'échappement et la communication entre le carter et le cylindre. Le mélange carburé (air - essence - huile)
provenant du carburateur pénètre dans le carter pendant le mouvement du piston du P.M.B (point mort bas) au P.M.H (point mort
haut). Au cours de la descente, cet air est comprimé et dirigé vers le cylindre par le canal de transfert. La légère compression du
mélange carburé permet l'évacuation du gaz de combustion. Le graissage des parties mobiles, assuré par de l'huile que l'on mélange à
l'essence, permet de réduire les frottements.
Figure 1
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PRINCIPE GÉNÉRAL : Il est rappelé que les quatre phases (admission, compression, combustion et détente), qui sont réparties sur
deux tours de vilebrequin dans un quatre temps (deux allers et deux retours de piston) se succèdent dans un deux temps sur un seul
tour de vilebrequin (un aller et un retour de piston). Cela est possible parce que les phases échappement et admission ont lieu très
rapidement et sensiblement au moment où le piston se trouve au point mort bas (P.M.B).
Pratiquement le diagramme de Watt (pression en ordonnées, volume en abscisses) a l'allure représentée sur la figure 2. On y distingue
les deux temps :
• 1er temps : compression du mélange carburé (FB), combustion (BC).
• 2ème temps : détente (CD), échappement des gaz de combustion et admission d'une nouvelle charge de mélange carburé
(DHF).
Le diagramme théorique (B ' C ' D ' F ') s'identifie au cycle de Beau de Rochas. Il est établi avec les hypothèses suivantes :
• la combustion (B ' C ') est instantanée et se produit lorsque le volume du cylindre vaut VC (piston au point mort haut).
• la détente (C ' D ') et la compression (F ' B ') du mélange sont adiabatiques réversibles.
• lors de l'échappement et de l'admission (D ' F ') quasi instantanées, le volume du cylindre est considéré constant égal à VD.
La cylindrée du moteur est VD - VC.
V
Le taux de compression est égal au rapport volumétrique a = D .
VC
Dans la notice technique d'un scooter (Spacer 50 Kymco), on lit les indications suivantes :
vitesse maximale : 45 km.h-1
-1
régime de puissance maximale : 7000 tours.min
€ (vitesse angulaire du vilebrequin)
puissance maximale : 4,40 kW
cylindrée : 49,5 cm3
course du piston : 39,2 mm.
On donne :
-1 -1
* la constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol .K
5
* la température et la pression du point F ' : TF = 300 K , PF = 1,00.10 Pa
On fera d'autre part l'approximation suivante : l'air étant en grand excès par rapport au mélange (huile + carburant), on assimilera le
Cp
mélange carburé à un gaz parfait unique, de coefficient γ = 1,40 ( γ =
rapport de capacités thermiques molaires à pression
Cv
constante et à volume constant), de masse molaire 29,0 g.mol-1.
€
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On définit le pouvoir calorifique du carburant, noté q, supposé indépendant de la température, comme l’énergie libérée par la
combustion d'une unité de volume d'essence. On prendra q = 30,0 kJ.cm-3.
DÉTERMINATION DE LA CONSOMMATION D'ESSENCE DU SCOOTER
1- Tracer l'allure du cycle (F ' B ' C ' D ' F ') dans un diagramme de Watt (P, V).
2- Lorsque le scooter roule à 45 km.h-1 à son régime maximal de 7000 tours.min-1, quelle est la durée d'un cycle ?
En déduire la vitesse moyenne du piston sur un cycle.
5RT F
Comparer cette vitesse à l’ordre de grandeur
de la vitesse quadratique moyenne des molécules en F '. Peut-on en déduire une
M
caractéristique des transformations (C ' D ') et (F ' B ') ?
γ
3- Rappeler pour quel type de
€système et pour quel type de transformation, la loi de Laplace PV = cte est applicable.
Pourquoi dit-on qu'une transformation adiabatique réversible est isentropique ?
Est-ce que cela dépend de la nature du système ?
4- La pression en fin de compression est de 6,00.105 Pa. En déduire le taux de compression a =
VD
.
VC
5- Exprimer le travail fourni par le moteur au cours d'un cycle en fonction de γ, PF, VD et des températures TF, TB, TC, TD des
points F ', B ', C ', D '.
€
On rappelle que pour un gaz parfait la capacité thermique molaire à volume constant est : Cv =
R
γ −1
6- Exprimer le transfert thermique libéré par la combustion en fonction de γ, PF, VD, TC, TB, TF.
€ a et γ.
7- Définir le rendement thermodynamique η du cycle et l'exprimer en fonction de
8- En prenant η = 0,4, calculer le transfert thermique libéré par la combustion à chaque cycle lorsque le scooter roule à son
régime de puissance maximale P = 4,4 kW à la vitesse de à 45 km.h-1.
9- Quelle est la consommation d'essence pour parcourir 100 km ? Que pensez-vous de la valeur trouvée ?
10- Un modèle un peu plus précis détaille la phase d'admission et d'échappement, comme cela est représenté sur le diagramme
figure 3.
E : ouverture de l'échappement
I : fermeture de l'échappement
E ' : ouverture de l'admission
G : fermeture de l'admission
F ' : P.M.B
Figure 3
Quelle est la conséquence pour le travail effectivement fourni par le moteur sur un cycle et pour la consommation ?
11- Pourquoi peut-on dire qu'a priori un moteur à deux temps, de même cylindrée et de même régime est deux fois plus puissant
qu'un moteur à quatre temps ? En réalité, la puissance n'est que 1,5 fois plus grande. Pourquoi ?
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