Devoirs - Algorithmique, travail à faire

D evoirs
E 1à5
Devoirs – MA02-12
307
D evoir 1
Attention
E
Important
E
E
Exercice 1
à envoyer à la correction
ollez l’étiquette codée MA02 – DEVOIR 01 sur la 1re page
C
de votre devoir. Si vous ne l’avez pas reçue, écrivez le code
MA02 – DEVOIR 01, ainsi que vos nom et prénom.
La saisie informatisée des devoirs ne permet aucune erreur
de code.
Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié la séquence 1.
(3,5 points)
1 Restitution organisée des connaissances
( )
( )
On considère un et v n
que lim v n = +∞ .
deux suites telles qu’à partir d’un certain rang N, un ≥ v n et
n →+∞
a) Que signifie, par définition, que lim v n = +∞ ?
n →+∞
( )
b) Que peut-on dire de la limite de un ? Prouver le résultat annoncé.
( ) définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ ,
2 On considère la suite u
n
un +1 = −un + 2n + 1.
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un = n + ( −1)n .
( )
b) Déterminer alors la limite de un .
Exercice 2
(7,5 points)
3u + 2
Soit (un ) la suite définie par u 0 = 6 et un +1 = n
pour n ≥ 0.
un + 4
3x + 2
1 Démontrer que la fonction f définie sur  0 ; + ∞  par f (x ) =
est croissante sur 0 ; +∞  .
x +4
2 a) D
ans le plan rapporté à un repère orthonormé, on dispose page suivante de la représentation
graphique de la fonction f. En laissant apparent les traits de construction, construire en abscisse
les quatre premiers termes de la suite (un ).
Devoir 1 – MA02-12
309
2
1
j
0
0
i
1
2
3
4
5
6
7
b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variations et à l’éventuelle convergence de la suite
(un ) ?
3 a) Démontrer que, pour tout n ≥ 0, on a 0 ≤ u
n +1 ≤ un ≤ 6.
b) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (un ) ?
u −1
4 Soit (v ) la suite définie par v = n
n
n u + 2 pour n ≥ 0.
n
a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Pour tout n ≥ 0, exprimer un en fonction de v n .
c) Déterminer la limite de la suite (v n ) puis conclure
quant à la limite de un .
( )
5 On dispose de l’algorithme ci-contre.
a) Q
ue fait l’algorithme ci-contre ? Autrement dit, que
représente le nombre obtenu en sortie ? Pourquoi
peut-on affirmer que la boucle « tant que » ne tourne
pas indéfiniment ?
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre renvoyé par l’algorithme.
Exercice 3
N ←0
U ←6
Tant que U − 1 ≥ 0, 001 faire
3U + 2
U +4
U←
N ←N +1
Fin Tant que
Afficher N
(4 points)
x3
≤ sin x ≤ x  ».
6
1
2
n
1 2
n
et v n = + + .... + .
On pose pour tout n ∈* , un = sin + sin + .... + sin
2
2
2
2
2
n
n
n
n n
n2
L’objectif est d’étudier la convergence de la suite (un ).
On admet l’encadrement (E) : « pour tout réel x ∈0,π  , x −
310
Devoir 1 – MA02-12
1 Déduire de l’encadrement (E) que, pour tout n ∈* , u ≤ v .
n
n
2 a) Justifier que pour tout n ∈* , 13 + 23 + .... + n 3 ≤ n 4 .
b) En déduire, à l’aide de l’encadrement (E), que , pour tout n ∈* , v n −
3 Montrer que
précisera..
1
6n 2
≤ un .
1
lim v n = . En déduire que la suite (un ) est convergente vers un réel que l’on
2
n →+∞
Exercice 4
(5 points)
On considère l’algorithme de construction dont les premières étapes sont donnés par les figures cidessous.
A
A1 A2
A
A1 A2 A3
A
A1 A2 A3 A4
A
A1 A2 A3 A4 A5
On convient d’appeler « points de base » les points A1 , A2 , A3 , etc.
On s’interroge sur le nombre total t n de triangles que comporte la figure lorsque l’on considère n
points de base où n ≥ 2.
1 a) D
énombrer les triangles obtenus lorsque la figure comporte deux, trois puis quatre points de
base.
b) Montrer que, pour tout n ≥ 2, t n +1 = t n + n .
2 a) É
crire un algorithme donnant le nombre de triangles que comporte la figure lorsque l’on consi-
dère N points de base.
b) En implémentant cet algorithme sur la calculatrice, donner la valeur de t 100 .
3 Dans cette partie, on souhaite déterminer l’expression de t en fonction de n.
n
a) Représenter graphiquement les 10 premiers termes de la suite (t n ).
b) Expliquer en quoi l’allure du nuage de points obtenu permet de conjecturer que, pour tout n ≥ 1,
t n = an 2 + bn + c où a, b et c sont des réels.
c) Déterminer les réels a, b et c puis démontrer la formule obtenue par récurrence.
n
N’oubliez pas de joindre la notice individuelle que vous trouverez dans ce livret, avec la
1re évaluation, pour le professeur correcteur. Elle est également téléchargeable sur votre
site de formation.
Devoir 1 – MA02-12
311
D evoir 2
Attention
E
Important
E
E
Exercice 1
à envoyer à la correction
ollez l’étiquette codée MA02 – DEVOIR 02
C
01 sur la 1re page
de votre devoir. Si vous ne l’avez pas reçue, écrivez le code
MA02 – DEVOIR 02,
01, ainsi que vos nom et prénom.
La saisie informatisée des devoirs ne permet aucune erreur
de code.
1.
Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié la séquence 2.
(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Vous noterez le numéro de la question, la réponse choisie ainsi qu’une justification de la réponse
choisie.
Pour chaque question :
E
il est attribué un point si la réponse est exacte avec une justification correcte ;
E
il est attribué 0,5 point si la réponse est exacte avec une justification correcte mais incomplète ;
E
une réponse inexacte enlève 0,5 point ;
E
e nfin une absence de réponse, une réponse exacte mais non justifiée ou une réponse exacte avec
une justification fausse ou erronée est noté 0.
x2 +2
1 Que vaut lim
?
x →1 x 2 − 3 x + 2
x >1
a) 1
b)  −∞
2 Soit f la fonction définie par f ( x ) =
a) f n’a pas de limite en −∞ c)  +∞
sin x + 2x
et
x − 3 cos x
f sa courbe représentative.
2
b) lim f ( x ) = − 3
x →−∞
c) f admet la droite d’équation
y = 2 comme asymptote en −∞
3 Soit g la fonction définie par g ( x ) = x 2x − 4
a) g ′(2) = 0 b) g n’est pas dérivable en 2 c) g n’est pas continue en 2.
Devoir 2 – MA02-12
313
4 Soit h la fonction définie par h ( x ) = x 2 cos( 2x )
a) h ′( x ) = −2x sin(2x ) Exercice 2
b) h ( x ) = 2x cos(2x ) − x 2 sin(2x ) c) h ( x ) = 2x (cos(2x ) − x sin(2x )) .
(4 points)
Un artisan se voit confier la construction d’un abreuvoir
de forme simple. Il opte pour un prisme droit à base trapézoïdale représenté ci-contre en le choisissant tel que
et DCB
aient
AB = BC = CD et tel que les angles ABC
π 
même mesure α où α est un réel de  ; π  . On pren2 
dra la longueur AB comme unité de longueur.
D
A
B
C
On cherche à déterminer les valeurs de α maximisant la capacité de l’abreuvoir.
π 
; π .
2 
1 Démontrer que l’aire f ( α ) du trapèze ABCD s’écrit f ( α ) = (1− cos α )sin α où α ∈ 
2 Déterminer les valeurs de α pour lesquels le trapèze ABCD a une aire maximale puis conclure.
Exercice 3
(6 points)
Soit (un ) la suite définie sur
1+ un
tout n ∈ , un +1 =
.
2
par u0 = a où a est un réel de l’intervalle  −1 ; 1 et, pour
1 À l’aide de la calculatrice, quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation, sur la
convergence et sur l’éventuel limite de la suite (un ) ?
Vous ne vous contenterez pas de donner les conjectures mais vous préciserez la démarche suivie
pour les obtenir et complèterez la réponse par d’éventuels tableaux ou schémas obtenus à l’aide
de la calculatrice.
2 a) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ , −1 ≤ u ≤ 1.
n
b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1.
3 Dans cette question, on se propose de déterminer une expression de u en fonction de n afin
n
d’étudier la suite (un ) par une autre méthode.
314
Devoir 2 – MA02-12
a) Justifier qu’il existe un unique réel θ de l’intervalle 0 ; π  tel que u 0 = cos θ.
θ
b) Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ , un = cos( ).
2n
2 x
On rappelle que pour tout x ∈ , 1+ cos x = 2cos ( )
2
c) En déduire la limite de la suite (un ).
Exercice 4
(6 points)
L’objectif est de démontrer que, pour tout réel x positif, on a 1+
x x2
x x2 x3
−
≤ x + 1 ≤ 1+ −
+ .
2 8
2 8 16
Soient f, g et h les fonctions définies sur 0 ; + ∞  respectivement par f ( x ) = x + 1,
x x2
x3
g ( x ) = f ( x ) − 1− +
et h ( x ) = g ( x ) − .
2 8
16
Dans l’exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives
sur 0 ; + ∞  .
1 a) C
alculer f ′′′( x ) puis démontrer que, pour tout x ≥ 0, g ′′′( x ) =
alors les variations de g ′′ sur 0 ; + ∞  .
3
8( x + 1)2 x + 1
. Déterminer
b) Calculer g ′′(0 ) et déterminer le signe de g ′′( x ) puis les variations de g ′ et enfin le signe
de g ( x ) sur 0 ; + ∞  .
2 Déterminer le signe de h ( x ) sur  0 ; + ∞  .
3 Conclure.
4 Application
a a2
Justifier qu’une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+ −
comme valeur du
2 8
nombre a + 1 lorsque le nombre a est inférieur à 2, 5 × 10−5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.
n
N’oubliez pas d’envoyer la notice individuelle si vous ne l’avez pas jointe avec la 1re
évaluation
Devoir 2 – MA02-12
315
D evoir 3
Attention
E
Important
E
E
Exercice 1
à envoyer à la correction
ollez l’étiquette codée MA02 – DEVOIR 03
C
01 sur la 1re page
de votre devoir. Si vous ne l’avez pas reçue, écrivez le code
MA02 – DEVOIR 03,
01, ainsi que vos nom et prénom.
La saisie informatisée des devoirs ne permet aucune erreur
de code.
1.
Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié la séquence 3.
(2 points)
Dans une population, un habitant sur dix est atteint d’une maladie contre laquelle la moitié des habitants sont vaccinés. Un vaccin n’étant pas totalement efficace, on observe qu’un malade sur 20 a été
vacciné. Quelle est la probabilité d’être malade pour une personne qui a été vacciné ?
Exercice 2
(4 points)
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. On demande d’écrire sur
la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Pour chaque question,
la bonne réponse rapporte un point, une absence de réponse est notée 0, une réponse fausse enlève
0,5 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1 Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 sont rouges et 4 sont jaunes. On tire une
boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne. On procède ainsi à 6 tirages successifs avec
remise. La probabilité d’avoir obtenu 2 boules rouges et 4 boules jaunes est égale à :
a) 0,13824
b) 0,31104 c) 0,3856
d) 0,4132
2 De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est rouge, on lance un dé cubique (dont les faces
sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est jaune, on lance un dé tétraédrique dont les faces sont
numérotées 1, 1, 2 et 3. On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro
1. Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule rouge est égale à :
2
1
2
1
a) b) c) d) .
3
2
5
3
3 On désigne par A et B deux événements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité P.
On sait que P ( A ∪ B ) =
()
2
et P B = 0, 8. La probabilité de l’évènement A est égale à :
3
Devoir 3 – MA02-12
317
a)
7
15
b)
7
12
c)
8
15
d)
5
.
12
4 Une urne contient 4 boules blanches et 4 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard,
n fois de suite (avec n > 1) .
Quelle est la probabilité d’obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?
1
1
1
n
b) 1−
c) 1−
d) 1− .
a) 1− n
n −1
2n
2
2
2
2n
Exercice 3
(5 points)
Une urne contient trois boules blanches, deux boules rouges et une boule verte. Les boules sont indiscernables au toucher.
On extrait au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l’urne.
1 Faire un arbre de probabilité représentant la situation.
2 Déterminer la probabilité des événements suivants :
B1  : « la première boule tirée est blanche » ;
C : « les deux boules tirées sont de la même couleur ».
Les événements B1 et C sont-ils indépendants ?
3 On sait que la seconde boule tirée est blanche. Quelle est la probabilité que la première boule aussi
soit blanche ?
Exercice 4
(5 points)
Dans un sac se trouvent trois jetons bien équilibrés. Deux jetons ont une face noire et une face blanche,
le troisième possède deux faces noires.
On prend un jeton au hasard et on le lance n fois de façon indépendante.
On considère les événements suivants :
N : « le jeton choisi a deux faces noires » ;
B : « on obtient une face blanche au premier lancer » ;
Ln  : « on obtient une face noire aux n premiers lancers ».
1 Calculer la probabilité des événements B ∩ N , B ∩ N et B.
(
) (
)
2 En remarquant que L = L ∩ N ∪ L ∩ N , montrer que la probabilité de l’événement L est
n
n
n
n
égale à
318
  n −1
1
1
 1+    .
3   2 


Devoir 3 – MA02-12
3 a) Sachant que l’on a obtenu une face noire pour les n premiers lancers quelle est la probabilité
d’avoir pris le jeton dont les deux faces sont noires ?
b) Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers +∞ ?
Exercice 5
(4 points)
Dans une entreprise où sont fabriqués des moteurs de vélos à assistance électrique, un premier test
est fait à la fin de la chaîne de fabrication.
Si le test est positif (c’est-à-dire si le moteur fonctionne normalement), le moteur est envoyé chez
l’assembleur de vélos.
Sinon le moteur retourne sur la chaîne de fabrication pour être réglé de nouveau. Il est ensuite testé
une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, le moteur est envoyé à l’assembleur de vélos, sinon
il est détruit.
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 95% des moteurs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que, parmi les moteurs retournés sur la chaîne de fabrication,
seulement 75% d’entre eux passent le second test avec succès.
On note T1 l’événement : « le premier test est positif » et on note A l’événement : « le moteur est
envoyé chez l’assembleur ».
1 On choisit un moteur au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication.
Déterminer les probabilités des événements T1 et A.
2 La fabrication d’un moteur revient à 150 € si le moteur n’est testé qu’une fois.
Cela lui coûte 50 € de plus si le moteur doit être réglé une seconde fois et de nouveau testé.
Un moteur est facturé a euros (a étant un réel positif) à l’assembleur.
On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque moteur fabriqué, associe le « gain » (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a) Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.
b) Exprimer l’espérance de X en fonction de a.
c) À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
d) Déterminer a pour que le bénéfice du fabricant soit égal à 30% du coût moyen de fabrication.
n
Devoir 3 – MA02-12
319
D evoir 4
Attention
E
Important
E
E
Exercice 1
à envoyer à la correction
ollez l’étiquette codée MA02 – DEVOIR 04
C
01 sur la 1re page
de votre devoir. Si vous ne l’avez pas reçue, écrivez le code
MA02 – DEVOIR 04,
01, ainsi que vos nom et prénom.
La saisie informatisée des devoirs ne permet aucune erreur
de code.
1.
Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié la séquence 4.
(3 points)
Déterminer les limites suivantes :
1
)
(
lim e −2x − e − x x →−∞
Exercice 2
Partie I
2
lim x
x →+∞ e x + 1
3


lim  e2x + 1 − e x  .

x →+∞ 
(9 points)
Restitution Organisée de Connaissances
On suppose qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur telle que, pour tout réel x, f '( x ) = 2f ( x )
1
et f (0 ) = .
e2
En suivant une démarche analogue à celle du cours, montrer que :
1 f ne peut pas s’annuler ;
2 si la fonction g est définie et dérivable sur
g (0) =
telle que, pour tout réel x, g '( x ) = 2g ( x ) et
1
, alors f = g .
e2
On a donc montré qu’il existe une unique fonction f définie et dérivable sur
1
réel x, f '( x ) = 2f ( x ) et f (0 ) = .
e2
telle que, pour tout
Partie 2
Soit f la fonction définie et dérivable sur
telle que, pour tout réel x, f ( x ) = e 2x − 2.
Devoir 4 – MA02-12
321
1 Vérifier que la fonction f que l’on vient de définir vérifie les conditions de la partie I.
2 Résoudre dans
 :
a) f ( x ) = e b) f ( x ) = 1
c) f ( x ) = 0, 5 1
d) f ( x ) > .
e
Partie 3
On s’intéresse à l’équation e2x − 2 = x sur l’intervalle 0 ; 0, 5  (nombre de solutions, valeurs approchées).
1 Soit g la fonction définie et dérivable sur  0 ; 0, 5  par : g ( x ) = e2x − 2 − x .
a) Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle 0 ; 0, 5  et donner son tableau de
variation.
b) Que peut-on en déduire pour l’équation e2x − 2 = x sur l’intervalle 0 ; 0, 5   ?
( )
2 On définit la suite u
n
définie par : u 0 = 0 et un +1 = f (un ) pour tout entier naturel n.
a) Montrer que, pour tout n de
, un ∈0 ; 0,5 .
( )
2x − 2
=x
c) Justifier que la suite (un ) converge et que sa limite est solution de l’équation e
b) Montrer que la suite un est croissante.
sur
l’intervalle 0 ; 0, 5  . Donner une valeur approchée à 10−4 près de u 8 .
Exercice 3
(8 points)
Soient α et β deux nombres réels. On note fα ; β la fonction définie sur  −5 ; 5 
1 αx
par fα ; β ( x ) =
e + e − αx + β où α ∈0, 2 ; 1 .
2α
(
)
1 Étudier les variations de la fonction f
α ; β et donner son tableau de variation sur  −5 ; 5  .
2 Une corde pend entre deux points de même altitude.
S
j
i
–3
322
Devoir 4 – MA02-12
Une étude physique montre que la courbe décrite par la corde représente la fonction fα ; β sur
 −5 ; 5  , cette fonction vérifiant :
fα ; β (0 ) = −3
.

fα ; β (5) = 0
 5α -5α
 e + e − 6α − 2 = 0
a) Montrer que α et β vérifient : 
.
1
β= − −3

α

b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Montrer que la fonction g définie sur [0,2 ; 1] par g ( x ) = e 5x + e -5x − 6 x − 2 est strictement croissante sur [0,2 ; 1].
c) En déduire que l’équation e5x + e −5x − 6 x − 2 = 0 admet une unique solution dans [0,2 ; 1]. Par
balayage, donner une valeur approchée de α à 10−3 près.
3 On suppose que : α = 0, 218 et β = −7, 59 . On note f la fonction correspondante. On désire obtenir
une valeur approchée de la longueur de la corde. Pour cela, on approche la corde par une ligne
brisée de n segments obtenue en partageant  −5 ; 5  en n intervalles.
Les cas n = 2 et n = 4 sont dessinés sur le figure suivante.
n=2
n=4
j
i
a) Dans le but de programmer ce calcul à l’aide de la calculatrice, on entre la fonction f dans la calculatrice. M et N sont deux points de la corde d’abscisses respectives a et b. Exprimer la longueur du
segment MN en fonction de a, b et f.
b) L’algorithme suivant (incomplet) nous permet le calcul dans le cas où n = 100 (c’est-à-dire, on partage  −5 ; 5  en intervalles de longueur 0,1).
A, B, C, D, L sont des nombres réels.
Devoir 4 – MA02-12
323
−5 → A
−4 , 9 → B
f (A) → C
f (B ) → D
0→L
Tant que……..
L + (B - A )2 + (D − C )2 → ........
…..
…..
…..
Fin de la boucle tant que
Afficher L.
Compléter cet algorithme.
c) Implémenter cet algorithme sur calculatrice et déterminer ainsi une valeur approchée de la longueur
de la corde.
n
324
Devoir 4 – MA02-12
D evoir 5
Attention
E
Important
E
E
Exercice 1
à envoyer à la correction
ollez l’étiquette codée MA02 – DEVOIR 05
C
01 sur la 1re page
de votre devoir. Si vous ne l’avez pas reçue, écrivez le code
MA02 – DEVOIR 05,
01, ainsi que vos nom et prénom.
La saisie informatisée des devoirs ne permet aucune erreur
de code.
1.
Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié la séquence 5.
(6 points)
Soit k un nombre réel fixé, on considère la fonction fk définie sur 0 ; + ∞  par  fk (0 ) = 0
et fk ( x ) = x (k − ln x ) si x > 0.
Soit k la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormé.
Dans l’annexe 1, plusieurs courbes fk sont données pour différentes valeurs de k.
Partie A
Étude de la fonction f2
1 Déterminer la limite de la fonction f en +∞ .
2
2 Démontrer que la fonction f est continue en 0.
2
3 La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Que peut-on en déduire pour la courbe  ?
2
2
4 Déterminer f '( x ) pour x strictement positif et étudier les variations de la fonction f .
2
2
5 Déterminer le signe de f ( x ) suivant les valeurs de x.
2
Partie B
Deux propriétés des courbes
k
k . Montrer que, pour tout réel k, le
indépendante de k, que l’on précisera.
1 On appelle S le point d’ordonnée maximum sur la courbe
k
point Sk est situé sur une droite
2 Soit T la tangente à la courbe
k
k au point d’abscisse 3.
Montrer que toutes les droites Tk coupent l’axe des ordonnées en un point A indépendant de la
valeur de k.
Devoir 5 – MA02-12
325
Déterminer pour quelle valeur de k la tangente à la courbe
k au point Sk passe par A.
3 Compléter la figure de l’annexe 1.
Exercice 2
(6 points)
Partie A
Soit f la fonction définie sur
 x 2 + 1
.
 2 
par f ( x ) = x − ln 
Sa courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée à l’annexe 2.
1 Étudier le sens de variation de la fonction f sur . Montrer que, si −1 ≤ x ≤ 1, alors −1 ≤ f ( x ) ≤ 1.
2 Résoudre dans l’équation f ( x ) = x .
3 Montrer que, pour tout x de  −1; 1 , on a f ( x ) ≥ x .
Partie B
( )
Soit un la suite définie par son premier terme u 0 = −0, 8 et, pour tout n de
1 Représenter graphiquement les premiers termes de cette suite.
2 Démontrer par récurrence que, pour tout entier n de
( )
, un +1 = f (un ).
, un ∈  −1; 1 .
3 Etudier le sens de variation de la suite u .
n
4 Démontrer que la suite u
n est convergente. Déterminer sa limite.
( )
Exercice 3
Partie A
(8 points)
Question préliminaire
On définit la fonction d sur 1; + ∞  par d ( x ) = ln x − ( x − 1) +
( x − 1)2
.
2
1 Étudier les variations de la fonction d sur 1; + ∞  et en déduire le signe de d ( x ).
2 Procéder de même avec la fonction δ définie sur 1; + ∞  par δ( x ) = ln x − ( x − 1).
3 En déduire que, pour tout x supérieurs à 1, −
( x − 1)2
( x − 1)2
≤ ln x − ( x − 1) ≤ 0 et ln x − ( x − 1) ≤
.
2
2
4 Il en résulte que, par exemple, 0,00001 est une valeur approchée de ln1, 00001. Dans cet exemple,
donner un majorant de l’erreur c’est-à-dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.
326
Devoir 5 – MA02-12
Partie B 
On considère l’algorithme suivant :
Entrée a (1 < a < 20)
Entrée n (entier naturel)
Dans U mettre a
Pour I de 1 à n
Dans U mettre racine carré de U
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U − 1
Pour I de 1 à n
Dans V mettre 2 × V
Fin de la boucle Pour
Afficher V
1 Faire fonctionner cet algorithme « à la main » pour a = 16 et n = 4.
2 Implémenter cet algorithme sur une calculatrice (ou un tableur). Le faire fonctionner pour n = 10
avec a = 8 puis avec a = 1, 234. Comparer avec ln a. Qu’observe-ton ?
3 Exprimer ln U en fonction de ln a. En utilisant le résultat de la question A 3, en déduire que
ln a − V ≤ (U − 1)2 × 2n −1. Ici, U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1re boucle et V le
contenu de V à la fin de la 2e boucle.
4 Avec n = 15 et a = 2, l’algorithme donne U − 1 ≈ 0, 0000211534 à la fin de la première boucle et la
partie A prouve que ln U − (U − 1) < 3 × 10−10. Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie
de l’algorithme vérifie alors l’inégalité ln 2 − V < 10−5. Donner V et une valeur approchée de ln 2
donnée par une calculatrice.
5 Le nombre a, supérieur à 1, étant donné, on peut considérer que les variables U de cet algorithme
sont les premiers termes d’une suite et démontrer qu’elle converge vers 1, on l’admet ici. On peut
donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l’on souhaite.
Modifier l’algorithme en rajoutant une condition pour que 0 ≤ U − 1 ≤ 10−8 et simplifier-le en évitant d’utiliser la deuxième boucle.
Annexes page suivante EE
Devoir 5 – MA02-12
327
ANNEXE 1
k=3
k=2
k=1
j
O
i
k = –1
k=0
ANNEXE 2
j
O
i
n
328
Devoir 5 – MA02-12

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