Lycée Monod, Devoir Commun de Mathématiques des Secondes, 2014, Sujet A NOM : ….............. 1/4 Classe : 2... Exercice 1 (fonctions, algèbre, mise en équation à partir d'une situation géométrique) Les parties A et B sont indépendantes. 12 points sur 40 ACD est un triangle rectangle en A tel que AD = 4 cm et AC = 3 cm. M est un point variable du segment [AD] ; la parallèle à la droite (AC) passant par M coupe le segment [CD] au point P. On désigne par x la longueur AM en centimètre. Le réel x varie donc dans l'intervalle [ 0 ; 4]. On va étudier dans cet exercice la fonction longueur x . f qui donne en cm2 l'aire du trapèze CAMP en fonction de la Exercice 1 - Partie A (6 points) 1. Justifier que la longueur CD mesure 5 cm 2. Lorsque x =4 , le point M est confondu avec le point D et le trapèze CAMP est égal au triangle ACD. Calculer dans ce cas son aire f (4) . 3. Lorsque f (x) = x est un réel quelconque de ]0 ; 4[, on obtient que : 24 x – 3 x 8 2 . Une démonstration « à trous » en est proposée ci-dessous. La compléter sur la feuille d'énoncé directement. Exprimons les dimensions du trapèze en fonction de x : La hauteur h de CAMP vaut : La grande base vaut : h = ... B = ... Pour calculer la petite base b = MP, on applique le théorème de Thalès : Dans le triangle ACD, M∈[ AD] , P∈[CD] et les segments [MP] et [AC] sont parallèles. Les rapports de longueur suivants sont donc égaux : MP DM = ... ... donc MP . . . . . = 3 4 On peut alors calculer l'aire du trapèze et MP = 3(4− x) 4 f ( x )= ACAMP f ( x ) = ... ... Conclusion : f (x) = 24 x−3 x 2 , pour tout réel x de l'intervalle ] 0 ; 4[ 8 Lycée Monod, Devoir Commun de Mathématiques des Secondes, 2014, Sujet A NOM : ….............. 2/4 Classe : 2... Exercice 1 - Partie B (6 points) 24 x – 3 x 8 f (x) = On étudie ici la fonction f qui à tout réel x associe 2 . 4. Dans cette question, on étudie la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4] à l'aide de la calculatrice : (a) Programmer la table de valeurs de la fonction f avec un pas de calcul de 0,5 et compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs au centième. x 0 0,5 f(x) 1 1,5 2,63 3,66 2 2,5 3 3,5 4 5,16 (b) Représenter la courbe de la fonction f à l'écran de la calculatrice, sur l'intervalle [ 0 ; 4]. Estimer graphiquement la valeur, arrondie au centième, de x pour laquelle l'aire du trapèze CAMP est égale à 3 cm2. 5. Dans cette question, il s'agit de résoudre algébriquement l'équation (a) Justifier que les équations (1) f ( x) = 3 sur ℝ . (1) f ( x) = 3 et (2) x 2 – 8 x+8 = 0 sont équivalentes. (b) Vérifier que pour tout réel x, on a l'égalité : (c) En déduire les solutions de l'équation 2 2 ( x−4) −8 = x – 8 x+8 . (2) x 2−8 x+8 = 0 . (d) Quelle solution permet de valider la réponse graphique apportée à la question 4(b) ? Exercice 2 (algorithme et études de fonction) On considère la fonction quotient g définie par Question 1 : g (x) = 7 points sur 40 x+5 . 4−2 x L'algorithme ci-dessous (colonne de gauche) permet d'étudier la fonction g. Saisir un réel X Répondre aux questions suivantes (justifier les réponses) U prend la valeur X + 5 V prend la valeur 4 - 2X Si la valeur saisie est X = 2, qu'affiche l'algorithme ? Si la valeur saisie est X = ─1, qu'affiche l'algorithme ? Si V = 0 Alors Afficher « NON DEFINI » Sinon Si UV >= 0 Alors Afficher « POSITIF » Sinon Afficher « NEGATIF » Fin de si Fin de si Si la valeur saisie est X = 7/2, qu'affiche l'algorithme ? Parmi les conditions suivantes, lesquelles sont suffisantes pour que l'algorithme affiche « NEGATIF » ? (a) U > 0 ou V > 0 (c) U > 0 et V < 0 (b) U < 0 et V > 0 (d) U > 0 ou V < 0 Question 2 : Dresser le tableau de signes de la fonction g en fonction de x. Lycée Monod, Devoir Commun de Mathématiques des Secondes, 2014, Sujet A NOM : ….............. Classe : 2... Exercice 3 (Géométrie analytique) 13 points sur 40 Dans un repère orthonormé du plan (O, I, J), on considère les points A(−3 ; 2) ; B (4 ;−3) et C (1 ; 4) . 1) Faire une figure sur le graphique ci-dessous, que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice. 2) a) b) Calculer la valeur exacte des longueurs AB, BC et AC. Le triangle ABC est-il rectangle (justifier la réponse) ? 3) a) b) c) Calculer les coordonnées du milieu K du segment [AC]. D est le symétrique du point B par rapport au point K. Calculer les coordonnées du point D. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 4) Montrer que l'équation réduite de la droite (BK) est : 5) a) On appelle L le milieu de [AB]. Déterminer l'équation réduite de la droite (CL). b) Justifier que les droites (BK) et (CL) sont sécantes en un point G, dont on déterminera par le calcul les coordonnées. Que représente le point G pour le triangle ABC ? c) 6 9 y = − x+ 5 5 3/4 Lycée Monod, Devoir Commun de Mathématiques des Secondes, 2014, Sujet A NOM : ….............. 4/4 Classe : 2... Exercice 4 (Statistiques) 8 points sur 40 Sur une portion d'autoroute, on effectue un contrôle de vitesse. Sur un échantillon de 360 véhicules, on a relevé la vitesse (en kilomètres par heure) et on en a déduit les résultats suivants (en particulier, les effectifs cumulés croissants) : Vitesses (en km/h) Effectifs cumulés croissants [90 ; 100] ]100 ;110] ]110 ; 120] 5 19 50 Effectifs 5 14 Fréquences cumulées croissantes 0,01 0,05 ]120 ; 130] ]130 ; 140] 174 280 ]140 ; 150] 331 ]150 ; 160] ]160 ; 170] 353 360 0,14 1) a) Combien d'automobilistes roulent à une vitesse v telle que, en kilomètres par heure, 120 < v ≤ 130 ? b) La vitesse est limitée à 130 km/h. Quel est le pourcentage d'automobilistes en infraction ? Arrondir le résultat au centième. 2) Calculer la vitesse moyenne des véhicules contrôlés. Justifier par un calcul. (Arrondir à 1 km/h). 3) a) Compléter la ligne des fréquences cumulées croissantes du tableau. (Arrondir au centième). b) Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes sur le graphique ci-dessous . c) Par lecture graphique, déterminer les valeurs de la médiane, du premier quartile Q 1 ainsi que du troisième quartile Q 3 .