TD n°3 : intégrales de Riemann à paramètre

Université Pierre et Marie Curie - Paris 6
Licence de Mathématiques
U.E 2M261 : Séries et intégrales généralisées - Approfondissement
Feuille 3 : Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
Exercice 1. On pose F (x) =
Z
+⇡
ln 1 + x2
2x cos ✓ d✓ pour x 2 R tel que cela a un sens.
⇡
1. Montrer que F est continue et dérivable sur l’intervalle ]
2. Calculer
F0
sur l’intervalle ]
1, +1[.
1, +1[. (On pourra effectuer le changement de variable t = tan ✓/2).
3. En déduire F sur l’intervalle ]
1, +1[.
Exercice 2. Pour x 2 R, on définit
f (x) =
Z
⇡
0
p
|1
x cos t| dt.
1. Vérifier que f est bien définie et continue sur R.
2. Montrer que f est une fonction paire.
3. Montrer que f est 2 fois dérivable sur ]
1)f 00 (x) + 4(x2
⇣
⌘
@
p 2 sin t
où l’on a posé : R(t, x) = @t
.
1 x cos t
4x(x2
1 ; 1[ et qu’elle vérifie la relation :
Z ⇡
0
1)f (x) xf (x)
R(t, x) dt
0
4. En déduire que f vérifie l’équation différentielle :
4x(x2
1)f 00 (x) + 4(x2
1)f 0 (x)
Exercice 3. On définit la fonction f par :
8x 2 R
f (x) =
Z
+ ⇡2
⇡
2
e
xf (x) = 0.
x sin t
dt.
1. Vérifier que f est bien définie et continue sur R.
2. Montrer que f est dérivable sur R et que :
8x 2 R
Z
0
f (x) =
+ ⇡2
⇡
2
e
x sin t
sin t dt.
3. De même, montrer que f est 2 fois dérivable et, à l’aide d’une intégation par parties dans l’intégrale
définissant f 0 , qu’elle vérifie la relation :
8x 2 R
xf 00 (x) + f 0 (x)
4. Résoudre les mêmes questions avec la fonction :
Z ⇡
g:x7 !
e
0
1
x cos t
xf (x) = 0.
dt.
2
Exercice 4. Pour x 2 [0 ; 1] et t 2 [0 ; 1], on définit la fonction de deux variables f par : f (t, x) = gx (t),
où la fonction gx est définie par
• g0 (t) = 0 ;
• si x 6= 0 alors gx (t) = 0 pour t > x ;
• gx (x/2) = 2/x ;
• gx (0) = 0 ;
• gx est affine continue sur [0 ; x/2] et sur
[x/2 ; x].
1. Pour x 6= 0 fixé, expliciter les fonctions t 7! gx (t) pour t 2 [0 ; x] et les représenter sur un graphe.
2. Vérifier que f est séparément continue par rapport à chacune des variables sur [0 ; 1] ⇥ [0 ; 1].
Montrer en particulier que pour tout t 2 [0 ; 1], f (t, x) !x!0 0.
3. Montrer que pour tout x 2 [0 ; 1] :
Z
1
f (t, x) dt = 1
0
4. Pourquoi le théorème de continuité de l’intégrale ne s’applique t-il pas ?
1
Z b
n
nt2
e
dt = e
Exercice 5. Pour a, b 2 R avec a < b, montrer que : lim
n!+1
a
a2
.

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