Analyse documentaire sismomètre :

Analyse documentaire sismomètre :
Quelques éléments sur les ondes sismiques
Les ondes de volume :
L'onde P comprime et étire alternativement les roches.
L'onde S se propage en cisaillant les roches latéralement à angle droit par rapport à sa direction de propagation.
Les ondes de source
L'onde de Love L : elle déplace le sol d'un côté à l'autre dans un plan horizontal perpendiculairement à sa
direction de propagation.
© D'après Les ondes sismiques, documents pédagogiques de l'EOST.
Question 0 : Les forces qu’une des deux lames de la cisaille exercent sur l’autre lame sont dirigées dans quelle
direction ? Les ondes sismiques se propagent-elles dans toute la structure de la terre ?
Extrait de l’encyclopédie Larousse, (paix aux âmes des encyclopédies papier) :
Question 1 : Quelle est l’ordre de grandeur de la fréquence de ces ondes sismiques ?
Question 2 : La trajectoire des ondes sismiques est-elle une ligne droite ?
Question 3 : Le fait que les ondes P sont plus marquées sur l’axe des z donne-t-il une
indication sur l’arrivée du rai sismique ?
Question 4 : Compte tenu de la vitesse des ondes P (6 km/s) et des ondes S (4 km/s), quelle
est la distance de la station à l’épicentre ?
Document de l’université de Strasbourg:
Période en secondes
0,01
Vibrations
0,1
Agitation
1
10
Explosions Ondes de
100
Ondes
1000
Ondes
superficielles
Industrielles Industrielle Lointaines Volume (P Superficielles indirectes
(ondes du
séismes
et S) des
manteau)
très
séismes
Directes
proches
Agitation (Rayleigh et
naturelle
Love)
Explosions
permanente
rapprochées
Vibrations
Propres
de la
Terre
Le domaine observable des périodes des ondes sismiques est très large (de 0.1 seconde à plus de 1000 secondes),
trop large pour qu'un seul sismomètre puisse les enregistrer correctement. Pour couvrir toute cette bande de
périodes, on utilisera deux types de capteurs :
le sismomètre courte période "CP" dont la période propre est centrée sur une seconde approximativement. le
sismomètre longue période ou large bande, "LP" ou "LB", dont la période propre est centrée sur 20 ou 30
secondes, voire beaucoup plus en utilisant des techniques d'asservissement.
Principe d’un sismographe
Question 5 : Le principe d’un sismographe, c’est que la masse ne bouge pas quand le sol
bouge, le bâti et le tambour suivent eux le mouvement du sol. Le ressort fait la liaison entre
le bâti et la masse et encaisse le mouvement du sol, permettant ainsi à la masse de rester
immobile. Le stylet solidaire de la masse inscrit sur le tambour en rotation une courbe qui
retranscrit ainsi le mouvement du sol. On place aussi un amortisseur qui exercera une force
sensible à la variation de longueur du ressort ; Les équations qui décrivent le système sont
posées et résolues ci-dessous. Montrer qu’on a bien affaire à un filtre passe-haut.
Document exercice avec corrigé :sismographe vertical
0
A
x1= A cos t
l(t) = x2(t)-x1(t)
x2(t)
m
x
d ² x2
m
dt ²
mg
k ( x2
x1
d ²x
dt ²
dx
dt
kx
m
m
On pose X
m
m
d²X
dt ²
x
dX
dt
² X max e j
xeq
kX
l0 )
d
( x2
dt
x1 )
m
d ² x2
dt ²
x1
m
d ² x1
dt ²
d ² x xeq
mg
k ( x2
x1 l0 )
d
( x2
dt
x1 )
d x xeq
d ² x1
mg
mg kl0
xeq
l0 et m
k x xeq
m
dt ²
k
dt ²
dt
dt ²
d² X
d X
d ² A cos t
m
k X
m
dt ²
dt
dt ²
d ² Ae j t
j t
m
si on pose X X max e
l'équation du mouvement donne donc
dt ²
d ² x1
( j ) X max e j
kX max e j
mA ²
dont la norme donne X max m
²
(j ) k
mA ² soit X max
m
²
m ²
A
(j ) k
Remarque : Dans les sismomètres, l’acquisition du mouvement se fait grâce à un effet d’induction (étudié à la fin de l’année) qui
entraine un amortissement et l’amortisseur mécanique est alors inutile.
De plus, dans les sismomètres modernes, un dispositif électronique d’asservissement en injectant du courant dans la bobine permet
de se dispenser de masses importantes.
Document sur le site du musée de séismologie de l’université de Strasbourg toujours
http://musee-sismologie.unistra.fr/comprendre-les-seismes/notions-pour-petits-et-grands/les-sismometres/sismometres-longueperiode/
Le ressort de longueur nulle
Pour un ressort quelconque, de longueur effective l et de longueur à vide l 0, la force de tension T est
proportionnelle à l-l0 selon la loi :
Lorsque l'on applique en revanche une force aux ressort dit « de longueur nulle », la force de tension est
directement proportionnelle à la longueur effective l, en vertu de la loi :
Cette particularité simplifie considérablement les équations du sismomètre, c'est pour cela que ce système est très
utilisé en sismologie.
Le ressort de longueur nulle est fabriqué en appliquant une torsion au fil de manière à rendre les spires jointives
(le ressort ne peut évidemment pas être contracté jusqu'à avoir une vraie longueur nulle). Il possède donc une
tension résiduelle qu'il faut dépasser pour provoquer son allongement : il existe donc des forces non mesurables.
Un sismomètre vertical « longue période »
On considère une masse m reliée à un support vertical par une tige rigide de longueur R et par un ressort de
longueur nulle et de constante k. On note r la distance entre les points d'ancrage de la tige et du ressort, et l la
longueur du ressort.
La tige rigide tourne autour d'un axe de rotation horizontal repéré par un petit cercle sur la figure ci-dessous. Le
mouvement de la masse est mesuré par l'angle β entre le support et la tige. L'angle entre la tige et le ressort est
appelé α.
Le bilan des forces s'exerçant sur la masse est le suivant :
le poids :
la tension du ressort :
On projette ces forces sur la tangente à la trajectoire :
Le bilan des forces devient :
À l'équilibre, cela donne :
ou encore :
D'après la relation des sinus dans un triangle, on a aussi la relation suivante :
L'équation précédente devient :
Dans cette relation n'interviennent que des constantes. L'angle β n'apparaît plus dans l'équation, donc la position
d'équilibre ne dépend pas de β. Chaque valeur correspond à une position d'équilibre : il s'agit d'un équilibre
indifférent. Si on bouge la masse, elle passe d'une position d'équilibre à une autre, ce qui signifie que l'on a
théoriquement construit un sismomètre de période infinie.
Le ressort de longueur nulle permet donc, en plus d'une simplification dans les calculs (la longueur à vide du
ressort disparaît), de construire des appareils ayant une période infinie. En revanche, si la longueur du ressort est
petite mais non nulle, alors la période de l'appareil n'est plus infinie mais longue. En modifiant légèrement le
système précédent, il est possible de construire des sismomètres verticaux de période non plus infinie, mais
longue.
Système ancré sur une autre tige
On utilise donc un dispositif similaire mais ici, le système masse-ressort-tige est ancré sur une autre tige qui
s'écarte de la verticale d'un angle δ.
Le bilan des forces s'exerçant sur la masse est le suivant :
le poids :
la tension du ressort :
On projette ces forces sur la tangente à la trajectoire :
ou encore :
(1)
Soient β0 et α0 les angles et l0 la longueur du ressort dans la position d'équilibre de la masse. On a alors:
D'après la relation des sinus dans un triangle, on a aussi :
La relation précédente devient :
ou encore :
(2)
De plus, d'après la relation des sinus, on a à tout instant :
En remplaçant kr à partir de la relation (2) dans la relation (1), l'équation du mouvement donne :
Soit encore :
En sismologie on s'intéresse à de petits mouvements du sol, donc β 0 ≈ β. Au premier ordre, on a donc sin(β0 - β)
≈ β0 - β. L'équation s'écrit alors :
On introduit la pulsation propre ω0 de l'appareil en posant :
Alors la période propre de l'oscillateur s'exprime par :
Il est ainsi possible de construire des appareils de très longue période, pourvu que l'on choisisse δ suffisamment
petit.
Remarques
Dans cet exemple, nous avons négligé toutes les forces de frottements pouvant agir sur la masse, notamment au
niveau de l'axe de rotation. Par ailleurs, pour construire un sismomètre performant, il faudrait ajouter au
dispositif un système d'amortissement, dont on n'a ici pas tenu compte dans les calculs. Le deuxième dispositif se
ramène facilement au premier. Il suffit de poser δ = 0 dans les équations et on retrouve les relations établies dans
le premier exemple. Les appareils construits sur ce principe ont généralement des périodes propres allant de 15 à
30s, et la plus longue période propre obtenue avec ce système est de 80s.
Sismomètre vertical LPZA-12S
Il est construit par le Laboratoire de Géophysique de Strasbourg. Le ressort utilisé pour sa fabrication est de
longueur nulle. (On devrait dire de longueur à vide nulle) Il permet d’atteindre de très petites pulsations de
coupure
Le ressort de longueur à vide nulle est fabriqué en appliquant une torsion au fil de manière à rendre les spires jointives (le
ressort ne peut évidemment pas être contracté jusqu'à avoir une vraie longueur nulle). Il possède donc une tension
résiduelle qu'il faut dépasser pour provoquer son allongement : il existe donc des forces non mesurables.
Remarque : dans un ressort hélicoïdal classique quand on le comprime cela tord le fil et en fait la force de rappel linéaire découle d’un couple de rappel angulaire.
Question 6 : Connaissez-vous d’autres types de ressorts que les ressorts hélicoïdaux ?
Question 7 : Les fréquences sismiques sont basses, la pulsation de coupure du sismomètre
passe haut doit être très basse afin que les fréquences sismiques ne soient pas éliminées, la
lecture du document ci-dessus doit vous permettre de dire comment cela est rendu possible.
Suit l’énoncé d’un exercice reprenant le dispositif précédent, avec des calculs qui nécessitent des projections de forces comme cidessus et la connaissance des forces d’inerties qui seront étudiées en seconde année. Dans cet exercice, on demande de démontrer
un certain nombre de résultats annoncés. Le corrigé est fourni aussi, mais n’a pas à être lu, on va juste répondre à la question 8 qui
suit l’exercice en s’appuyant sur l’énoncé de l’exercice.
Sismomètre de la Coste
A
A
l
r
l
r
O
O
M
R
M
uR
m
m
R
u
uR
u
On considère le sismomètre à suspension de La Coste. Dans ce dispositif un ressort de fabrication spéciale dit ressort de
longueur à vide nulle exerce une tension T = -k.l l étant la longueur vraie du ressort et k sa constante de raideur. On
considère un point M de masse m relié à un support vertical par une tige rigide et sans masse de longueur R et par le
ressort. On note r la distance (constante) entre le point d'ancrage O de la tige et le point d'ancrage A du ressort.
La tige tourne en O autour d'un axe de rotation horizontal perpendiculaire au plan de la figure (liaison pivot parfaite) de
même que le ressort autour de A. Le mouvement de la masse m est repéré par l'angle entre le support et la tige noté .
L'angle entre la tige et le ressort est repéré par
1) Caractériser les forces s'exerçant sur M. Soit le repère (uR , u ) . u étant tangent à la trajectoire de M et dirigé vers le
bas. Montrer que la condition d'équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et vertical est indépendante de
et s'écrit m g = k r. Comment caractériser cet équilibre. On pourra se servir de la relation
l
sin
r
sin
que l’on
admettra.
2) On écarte maintenant la tige OA très légèrement de la verticale d’un angle fixe . Montrer que la position d'équilibre
est maintenant kr
mg
sin( 0
)
sin( 0 )
3) Montrer que l'équation du mouvement en fonction de la variable
mR
d²
dt ²
puis compte tenu de sin( + )= sin( ) cos
d²
dt ²
enfin compte tenu de kr
mg
sin( 0
)
sin( 0 )
mg sin(
cos sin
g
sin( ) cos
R
mg
sin(
0
s'écrit comme :
) kl sin
et de
cos sin
) cos( ) cos(
sin( 0 )
0
)
l
sin
r
sin
kl
sin
mR
)sin( )
, comme:
)
mg cos( )
cos( 0 )sin( )
comme :
sin( 0 )
d²
dt ²
g sin
R sin
sin(
)
0
0
4) Quelle est la période des oscillations pour les petits mouvements ?
5) Dans le cas du système de la question 1) montrer que la période des oscillations devient infinie ?
6) On suppose maintenant que le sol vibre selon la verticale et que le point O oscille selon
z(O) = A cos( t), le référentiel lié au point O du sismomètre n'est plus galiléen écrire l'équation du mouvement dans ce
référentiel. En posant B e
de
0.
t
la représentation complexe de -
déterminer B pour les petites oscillations au voisinage
0
Montrer que dans ce modèle, une divergence de l’amplitude apparait selon la formule
A
² sin( 0
R
A
² cos
0²- ² +
R
B
i
)
0
x²
7) Si on rajoute de la dissipation, la fonction de transfert mécanique trouvée est du type
1 x²
jx
Q
. De quel type de
filtre s'agit-il ?
1) (2) à l'équilibre mg cos(
2) (2) à l'équilibre mg cos(
2
)
kl cos(
0
2
)
kl0 cos(
3) (3) l'équation du mouvement est mR
mR
d²
dt ²
mg sin( ) cos
l
compte tenu de
sin
et de kr
d²
dt ²
mg
sin( 0
)
sin( 0 )
g
sin( ) cos
R
d²
dt ²
d²
dt ²
mg
sin(
kl sin
) cos( ) cos(
sin( 0 )
or
kl0
g sin
R sin
(
0
r
sin
0
)
)
2
0
) sin( )
) et T0
2
0
mR
d²
dt ²
mg sin(
l0
sin
g
sin( ) cos
R
r
sin
0
) kl sin
kl
sin
mR
cos sin
g sin
R
R sin
g sin
kr
kr
mg
sin(
0
0
sin( 0
)
sin( 0 )
)
)
k
r sin
mR
cos sin
cos( 0 ) sin( )
sin( 0 )
mg cos( )
sin
donc mg
qui donne compte tenu de
g
sin( ) cos
R
kl r sin
cos sin
mR l
R
d²
dt ²
sin
sin( 0
) kl cos(
cos( 0 ) sin( )
sin( 0 )
cos sin
l
sin
d²
dt ²
)
g cos( )
4) (1) pour les petits mouvements
2
g
sin( ) cos
R
0
sin
sin
) soit mg
0
2
kl
mg cos(
cos sin
r
sin
) soit mg
2
0
cos
cos( 0 ) sin
sin( 0 )
d²
dt ²
on trouve
la période est d'autant plus longue que
g sin
R sin
)
0
est petit
5) (1) pour un système isostatique on a une période infinie
6) (3) la force d'inertie d'entrainement -ma e
l'équation du mouvement devient mR
au voisinage de la position d'équilibre
en posant ei
t
d²
dt ²
0
m
d ² z (O )
uz
dt ²
mg cos(
m
2
d ²( A cos t )
uz
dt ²
) kl cos(
2
mA ² cos( t )u z doit etre projetée sur la direction du mouvement u
) mA ² cos( t ) cos(
on trouve par développement limité au premier ordre :
la représentation complexe de
0
- ²B
0 ²B
A
² sin(
R
0
2
d²
dt ²
) Bcos
0
d²
dt ²
)
g sin
R sin
(
0
g sin
R sin
)
0
qui donne B
sin(
0
)
0
A ² cos( t ) sin(
R
A ² cos( t )
sin(
R
A
² sin( 0
R
A
² cos
0²- ² +
R
) cos
0
0
)
(
0
)
)
0
0
à cause de la non prise en compte de frottements
A
cos 0
R
7) (2) on a affaire à un filtre passe-haut du second ordre
références : eost.u-strasbourg.fr/pedago/fiche3/sismo_lp.htm ou Perez de mécanique
susceptible de diverger pour
1-
Question 8 :
La fonction de transfert proposée correspond-t-elle toujours à un filtre passe-haut ?
Un caractère passe bande peut-il apparaitre ? A quelle condition sur le facteur de
qualité ?Comment est définie la bande passante d’un filtre passe- haut ? Comment est définie
la bande passante d’un filtre passe bande ?

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