数学的概念の理解に関する背景的・根源的要素についての研究〜文字式の理解過程を中心にして〜教科・領域教育専攻自然系コース(数学) 古川真哉１．本論文の動機と目的数学的概念を，その有用性とともに実感を伴移行には単なる数や式から文字への置き換って理解することや使いこなせるようになるこえではなく，生徒にとってみれば大きな壁が存とは重要である。特に，その表現方法の１つで在するものと考えることができ，そこに文字式ある文字式の理解はその鍵である。文字式は数理解の背景的・根源的要素に着目する必要性がや式からの一般化であり，抽象である。したがあることを指摘した。って，文字式の指導においては数や式の理解をそこで第２章では，平林(1987)の「命題の体背景として文字式が導入されている。しかし，系と表記の体系」の数学の２つの側面から文字数や式を十分に理解できるようにみえる生徒で式理解を捉え直すことを試みた。文字式理解のも文字式を理解できるとは限らない。文字式理背景的・根源的要素にもこの２つの側面があり，解には数や式の理解を含め，もっと根源的な要特に，表記の理解が先にあるべきではなく，表素があるのではないかと考える。これが本論文記の対象となる命題の理解が先にあり，理解しの動機である。た命題をよりよく表現する手段として表記を理本論文ではこのような要素を，数学的概念，解する必要があるということを述べた。次に，特に「文字式理解の背景的・根源的要素」と呼 Herscovics＆Bergeron(1988)の理解の二層モび，それらの解明と，そこから文字式指導を改デルを考察した。二層モデルは生徒の実際的な善するための示唆を得ることを目的とする。理解を物理的概念および数学的概念の二層から２．本論文の概要捉えることができる枠組みであり，文字式理解第１章では「理解」について考察し，文字式の背景的・根源的要素を捉える枠組みとしても理解を捉えるために文字式に関する歴史的背景，有効であった。表記としての文字式理解は二層および文字式理解に関する先行研究を概観した。モデルでいう形式化として捉えることができ，文字式はある側面では意味を捨象でき，形式的形式化に至る過程を命題の体系の理解と捉えるな機械操作で数学的処理が可能で，思考を発展ことができる。これにより，文字式理解の背景させる優れた数学的表記(道具)である。一方で，的・根源的要素とは数や式の理解を含め，二層学校数学の立場では，文字式使用の際には単なモデルでいう物理的概念をも含めた数学的概念る形式的処理に終始しないよう，意味や目的にの理解であると捉えることができ，文字式は理留意した指導を心がけるべきである。中学校数解した数学的概念を形式的に表現するための表学の文字式指導において，数や式から文字への記として捉えることができる。また，生徒が文概要字式を理解するために背景的・根源的要素をど次に，文字式を「読む」過程において Sfard のように取り入れるべきであるかを三輪(1996) の観点を用いて生徒が文字式理解をどのようにの文字式利用の図式から探った。その中で特に発展させうるかを分析し，その可能性について「表す」「読む」過程に焦点をあて，文字式理解考察した。生徒は文字式２（ｍ＋ｎ）＋１を解の背景的・根源的要素を取り入れることとした。釈する場面においてはじめは操作的な見方で扱第３章では，文字式理解の背景的・根源的要っていた文字式に対して，その解釈を深めなが素を積極的に取り入れることが生徒の文字式のら，次に利用する場面ではその文字式自体を対理解過程にどのような効果をもたらすかを明ら象として扱う構造的な見方が次第に備わっていかにするために計画・実施した実験授業とそのく様子がみられた。これは，生徒がスパイラル分析結果について述べた。単元は『中学校２学的に文字式理解を深化させうる可能性を示唆し年，文字式を利用した説明』を取り上げ，中でており，この背景にも論理-物理的抽象が機能しも偶数や奇数に関する内容に焦点をあてた。ていることが明らかになった。まず，理解の二層モデルを用いて生徒の物理また，生徒は偶数を「２でわれるもの」とい的概念を確認した。生徒は偶数や奇数に関してう概念で考えた場合にはｍ/２と表す傾向があ物理的概念を有していたが，数学的には「２でる。これは命題の体系と表記の体系とが一致しわれる数」という手続き的な理解が強い傾向にない場面である。単に表すだけでなく，その表あった。そこで，マグネットを用いた物理的表したものが自分が表したいものをきちんと表現現と数式表現とを関連付けながら数値を徐々にできているかどうかというチェックする能力大きくする一般化のプロセスを経た。その結果が必要である。生徒は偶数を（＊）×２とする数学的一般化を本論文の主要な結論は次の２点である。実現し，偶数をよりよく表現するための手段と ①論理‑物理的抽象は文字式理解において有して生徒が自ら□×２という記号的表現を創効な背景的・根源的要素を構成する，とい出した。この表現にクラスの生徒が「いいねぇ」うことと共感したことは文字式の実感を伴った理解が ②その指導にあたっては，文字式が数学的概実現したことを示している。この場面で重要な念をよりよく表現するための数学的表記役割を果たしたものが論理-物理的抽象の理解 (道具)であることを意識し，表現の対象とであった。生徒は物理的に抽象された理解や言なる‑命題の体系としての‑数学的概念の理語的に抽象された理解という論理-物理的抽象解を発達させることが不可欠である，といを背景にもちながら，数学的概念を一般的な記うこと号的表現を用いて表そうと試みた。これは生徒また今後，論理-物理的抽象の可能性についてが物理的表現や数式的表現から言語的表現を介実証的に検証するとともに，文字式の適切な使しながら一般的な記号的表現へと翻訳すること用においてはチェックする能力が重要であができたことを示している。論理-物理的抽象はり，この指導法の開発は今後の課題である。数式表現や中間的表現から一般的な記号的表現への翻訳の仲介的役割を果たしたと考えること指導：岩崎浩ができる。概要