後期確率論 ÁÎ（４年）・確率論概論 ÁÎ（大学院）メモ洞彰人（大学院多元数理科学研究科）測度論と確率論の基礎事項基本用語加法族部分加法族可測空間測度空間確率空間確率変数平均（期待値）像測度分布分布関数密度関数結合分布（同時分布）変数変換置換積分確率変数に対して可測関数可測空間の直積、準有界測度の直積確率測度の無限直積が一意的に存在独立性（事象部分加法族確率変数）実確率変数が独立の証明の定理と条件つき平均（期待値）測度の絶対連続性と特異性実測度測度に関する測度の分解は存在すれば一意的が準有界ならばの分解が存在 ! の定理測度がともに準有界で絶対連続性が成り立てばをみたす !"#$%"&' "! が ! に一意的に存在かつ ( 実測度 ( は有界測度の差に分解される ( ( 実測度 ( と準有界測度についても ( ( ならば ( ( このとき ( ならば !"#$%"&' の定理が成り立ち " この節の結果の多くは「最大法」（かくかくしかじかの性質をみたす最大の可測集合や可測関数の存在を確認すること）によって示される !"#$%"&' の定理で準有界性の仮定をはずした場合の反例の考察 # の有限分割から生成される部分加法族 $ の可算分割から生成される部分加法族ととおくただしに対しは可測が有界で可測ならば % の部分加法族と変数が ! に一意的に存在に対し )''! * の２つの条件をみたす確率 ' のをのによる条件つき平均または条件つき期待値といいを条件つき確率というはに依存する零集合を除いて定まる確率変数なのでが確率測度であるとは結論できないとに対しはに関して線形正値単位的が可測ならば ! + がと独立ならば ! & の不等式と凸関数 ! に対し実確率変数列の収束の階層：確率空間：,- 可測空間距離空間上の確率分布列の弱収束（詳しい性質は次節で）実確率変数列の概収束確率収束法則収束平均収束実確率変数すなわち値の場合に述べるが値に拡張するのは容易（絶対値を ./-" ノルムに置き換えればよい） '() (( の補題実確率変数列のへの収束について概収束確率収束平均収束確率収束確率収束法則収束確率収束概収束する部分列が存在 + 確率収束かつ一様可積分平均収束 ' +0の一部の証明反例の考察確率収束の位相に関する距離空間は有界連続凹非減少の近傍で真に増加ただし " は距離実確率変数列について距離に関する収束確率収束 # 実確率変数列の概収束は何らかの位相に関する収束ではない分布族の位相の定理距離空間における用語の復習：コンパクト相対コンパクト全有界完備可分が可分距離空間ならばと同値な距離 1 で 1 が全有界になるものが存在がコンパクト距離空間ならばは一様ノルムに関して完備可分距離空間 * の表現定理がコンパクト距離空間ならば上の有界正値線形汎関数と上の有界測度とが次式で１対１に対応する 2 の表現定理およびをもっと一般化したバージョンの証明がコンパクト距離空間ならば上の確率測度全体は弱収束の位相でコンパクト距離空間になる + 分布の弱収束の特徴づけ距離空間上の有界連続関数全体れで表すに対して -' -' -' . の閉集合 -' 3 の開集合 -' ! ! ! "! 特にの場合の分布関数をそれぞれとすると次も同値 -' がで連続 ' 45の一部の証明 " 可分距離空間上の一様連続関数全体をそれぞは自明なので除くただしにおける弱収束を記述する距離 )''! 4 ' 45 # + の定理可分距離空間上のの部分集合に対する２つの条件 6 がで相対コンパクトが緊密 , すなわち # $ コンパクト # について 6 さらにが完備ならば 6 $ ! 77 の次元 , 運動の構成において 8 のときに % の定理を適用したい次節の '!% 0* も援用特性関数まず . 変換の復習の . 変換 % 9/!2 の急減少関数の空間 Ê % .Ê & ' （等長性）に対し Ê 反転公式）に対し + & ( : Ê Ê % % % % % はの元で )''! 0 の一部の証明 4 & % : ( % に対し % % が原点において連続で正定値すなわちをみたせば % % を値確率変数の特性関数と言うをの特性関数と言い Ê % ' ' % ) ' % は % をみたしかつ一様連続特性関数の性質については連続正定値 % % すなわち確率変数が独立ならば + ならば 4 でがに弱収束すればがに各点収束 $ に対して " -+! の連続性定理で % % が原点で連続な関数に各点収束すれば -' 弱収束 )((! # .(+ の定理で $ がに各点収束すればがに弱収束 % の定理をで適用一般に点列の収束を示すのに相対コンパクト性集積点の一意性の２つをチェックする方法は汎用的距離空間における点列の点に収束する % が連続正定値かつ ' の定理 Æ が相対コンパクトで集積点が高々１つしかなければならばかつ ½ が連続正定値かつ % % Ê ならば % 正規分布 & との畳み込みに相当すべき確率測度を捉えるが Æ に弱収束することを用い ); & の連続性定理に持ち込む 0 のときに * と正定値実対称行列に対し :+* % にもつ , * を次元正規分布または <!. 分布と言う % % を特性関数が非退化ならば , * は次の密度関数をもつ ( " ¾ ½ ½ , * の平均ベクトルは * 共分散行列は + , * の台は= 大数の法則中心極限定理値 //0 確率変数（正定値実対称）大数の強法則1 , (2 3 (, 45 -' ) ! 大数の弱 !% 法則は確率収束を主張分散の評価と 6>& の不等式から容易中心極限定理1 ( ( -' ) -' ) ) 特性関数を用いた ' 5+ の証明 5 , 法則収束運動確率過程関数空間上の測度 " - が可測パラメータ集合 - は一般でよいが具体的には時間を表すことが多い - このように - が自然な ,- 集合族 - をもつときが可測過程とは - - が可測確率過程とは確率過程の法則同等・同等・強同等 " 上の有限次元射影 & が生成する加法族 - . の積位相に関する ,- 集合族上ではなく上で考える " の分布は - の有限部分集合全体を添字にもつ確率測度の族 ¼ は射影矛盾性 //& & ¼ ¼ ただし & ¼ " 6(,+ の拡張定理が一意的に存在 " 因子空間が無矛盾ならば & の無をみたすの良い性質すなわちその上の ,- 測度がコンパクト正則であるという事実が鍵コンパクト集合に帰着して 73 の拡張定理を適用 " が連続過程で広義一様収束の位相を備えた - 8 ! に対して - - - ,- 集合族 - " - が可算集合ならば - が非可算集合ならば１点部分集合はに属さないもちろんには属す + - が非可算集合ならば - はに属さない 4 - が非可算集合ならば "" - - - すなわち - 上の有限次元射影全体が生成する加法族は - の ,- 集合族に一致 "# 以上のことは値確率過程についてもそのまま成り立つ - 8 "$ - 8 の中でがに ) で弱収束すれば - . に対しが & に弱収束するの中で & ? 系 # # - は任意の集合が <!. 系とは ) 次元 <!. 分布退化していてもよい ) - <!. 分布は特性関数を経由して定義された @A 0+ 以下の結果も主として特性関数の計算により得られる # ) 次元 <!. の任意の実線形結合次元 <!. # .4 系の存在と一意性がともに <!. 系で平均と共分散が等しければすなわち 6 6 ならばとが法則同等 - - 正定値実対称行列が与えられれば - に対して関数 * - に対してと対称正定値関数 * ) - が 6 をみたす <!. 系が存在 # <!. 系は「１点および２点関数」のみで全体の構造つまり高次の相関までもが決まると # 実確率変数いうこと ' 4 のではが定義される土台の確率空間は異なっていてよい , * / の ) 次モーメントを * と / の多項式で表示 # .4 系での独立性が <!. 系で - - - - 0 1 のとき Æ が独立 6 - - 0 1 )((! #" 平均の <!. 系では ½ と ¾ が独立 ! ½ ! ¾ ## <!. 系の実線形結合全体をとする )''! + よりも <!. 系がに ) で確率収束すれば <!. 分布 & に対してがに & 次平均収束が成り立つしたがって # の確率収束の位相に関する閉包も <!. 系実確率変数 ) について -' >!>-& かつ . ! Æ -' & 2 ! 運動 "## 測度 , 運動の構成法その一 <!. 系の存在と一意性 ' 4 を用いてまず然るべき平均と共分散をもつ <!. 系として広義の , 運動を導入その後に同等な連続過程連続変形が取れることを示す $ において , が <!. 系 , かつは正定値実対称行列値確率過程がみたされるときを共分散行列の広義の , 運動 B 過程と呼ぶさらに ,+ ! に対して 8 をみたせば共分散行列の '2 運動 8 過程と呼ぶ可測写像 8 の像測度を共分散行列の 8 測度と呼ぶ 8 上の ,- 構造についての :/ ?4 に留意特に共分散行列が単位行列のとき単に次元 , 運動と言う各時点で次元 , 運動の個の成分は独立による $ 正定値実対称行列 + 8 0 は正定値 $ と - に対し - - 上の関数共分散行列の広義の , 運動が存在し次をみたす , + 独立増分性が独立逆に値確率過程が + をみたせば共分散行列の広義の , 運動である値確率変数 $ , ならば $ 6(,+ の連続変形定理 ' 3 $ ) C )C 値確率過程 " がをみたせばと同等で次をみたす確率過程がとれる 4 3' , -' . # $ # * ! に % $ $ が , 進有理数に対して * をみたせば 4 3' Æ Æ' 3 4 5 5' 3 4 Æ $ * %Æ + , % 8 , % & & Æ $" 共分散行列の , 運動 ! が存在し ! に ! はにいくらでも近い -" 連続性をもつ /3 次数の DE '!% 0 有限時区間の , 運動の独立コピーをつなぐ * $ % # の不変原理 , 運動の構成法その二ランダムウォークからできる確率過程の時空に関するスケーリング極限として , 運動を構成する単に , 運動の有限時刻での同時分布やそれがみたす方程式のレベルでの極限ではなく経路の空間上での極限である % 8 ! 6 6 6 6 6 . 6 は完備可分距離空間（広義一様収束の位相） % 9(9*(: の定理ア）が全有界イ）が広義一様有界かつ同程度連続すなわち , .' . $ 6 # $ Æ $ % % が完備距離空間だから Æ .' 6 についてが全有界 6 # が相対コンパクト簡単なコンパクト性の議論よりイ）のでは任意有界区間上で同程度一様連続 % についてならばについて , '$ 3$ $ 7 $ 6 ( 6 6 6 6 $ " , は緊密 F % % % 上の値 77@ 確率変数列ランダムウォークの値を線分で補間して折れ線をつくる ) " % % ) 次元 ) に時空のスケール変換を施す ) ) ) すなわちに対して ! 6 6 6 ! 値確率変数の分布 ! %" 0 の不変原理 @A 5 の記号のもとで % % とし % の共分散行列をとするこのときは ) で共分散行列の B 測度に弱収束する %# % % ) 運動とランダム級数 , 運動の構成法その三標準正規分布にしたがう 77@ 列を係数にもつ「ランダム . 級数」によって , 運動を導入するまずは逆の考察から次元 , 運動 ! が張る実 D-> 空間 # すなわち # は ! の実線型結合全体の確率収束位相に関する閉包で内積は 8 # を 8 4 ·½ 4 ! ! 4 --"A" の等長拡大で定義される同型とする )''! 8 を B#角谷積分と言う 8 ! で定まる 8 は線型かつ等長したがってまで等長に拡大される 8 # は全射 + の正規直交基底 Æ に対して ! とおくと Æ は標準正規分布にしたがう 77@ 列で ! によって , 運動を構成する 9 : 上の実数値絶対連続関数 : : 6!'#G! 空間 9 は内積 : : ) : : に関して D-> 空間 :Æ が 9 の正規直交基底 :Æ がの正規直交基底標準正規分布にしたがう 77@ 列 % Æ と 9 の正規直交基底 : Æ をとって : % -' ! について一様収束したがっては連続関数は次元 , 運動 ' 4 で作った上の , 運動を独立につないで上の , 運動を構成できるすなわち可算個の独立なコピーを同一確率空間上にとって ! とおくと ! は次元 , 運動運動と & 過程 , 運動の構成法その四 1 1 1 レポート問題１問題 ; < 次の定理のどれか定理つの条件の同値性を示しなさいただし上の有界連続関数全体一様連続関数全体をそれぞれに対して次の条件が同値 -' Ê Ê -' Ê Ê -' . がの閉集合 -' 3 がの開集合 -' ! ! ! "! -' がで連続は簡単すぎるので除くで表すそれぞれの分布関数問題 ;< 実確率変数列が確率収束すれば法則収束する（つまり上の定理の条件をみたす）ことを示しなさい問題 ;< 注意上の具体的な分布の特性関数を自分で適宜選んで）計算しなさい提出は講義時に限定（レポート提出ボックスは設けない）期限は１１月２８日金レポート問題２問題 ; < % % が 77@ 実確率変数列であって % かつ % % % % はをみたすとき ) の増大度をもつことを示しなさい問題 ;< ! がを出発する , 運動であるとき正定数 ; に対して ; ! ; もを出発する , 運動であることを示しなさい注意提出は講義時に限定（レポート提出ボックスは設けない）期限は１月２２日木試験問題問題 9 またはのどちらかを選択しなさいを出発する次元 , 運動 ! と < ! 上の有界連続関数に対して次式で < を定める < が < < および < をみたすことを示しなさい問題 ' なるべく数式を用いずに , 運動の構成のあらすじを述べなさいただし解答欄におさまる程度の字数で HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH# 解答 +