1 第１回博士の愛した数式君たちはフェルメールという画家を知っていますか．１７世紀オランダの画家ですが，最近「真珠の耳飾りの少女」という映画が公開されましたが，この映画の原作はフェルメールの絵に基づくものです．私はこの画家のことを以前から知っており，海外に出たときに，フェルメールの絵のある美術館があれば行って見たりしています．フェルメールの絵は現存数が三十数点という数の少なさで，私はそのうち二十点くらいは見ていると思いますが，中でもアムステルダムのオランダ国立美術館にある「牛乳をそそぐ女」という絵に現在興味をひかれています．それほど大きな絵でもなく，日の光が淡く白い壁に反射している台所で，白いズキンを被ったどっしりした感じの女性が壺から別の入れ物に牛乳をそそいでいるという絵です．そのなんの変哲もない平凡な光景ながら，この絵は不思議に人を引き付けるものをもっています．私の場合はこの絵を見るたびに ’It is no use crying over spilt milk.’ ということわざを連想してしまいます． ‘ 覆水盆に返らず ’というところですか．このことわざの重みがあるせいでしょうか，この絵には静寂の中にきりっとした緊張感がかすかに張り詰めています． ‘ 覆水盆に返らず ’というのは現象としては疑いのないことです．誰もが，こぼした牛乳を，一部は可能かもしれませんが，すべてを元通りに戻すことはできないということを知っています．しかし，それが牛乳ではなく，もう少し我々の生活の上で大切なものでもあったりすると，完全には元に戻らないと知っていながら，元に戻そうとむだな労力を払ったりするものです．むだとわかっていても何とか努力してみるということも，ときにはたいせつでしょう．走り去る電車やバスを追いかける．これは明らかにばかげています．しかし，少し設定を変えて，何かの理由で自分のもとから去って行く恋人を，追いかけずにそのまま去らせてしまう．これはどうでしょうか．去って行く恋人をそのままにしていくか，そのうしろ姿に向ってなり振りかまわず追いかけるか，君だったらどちらの行動を取りますか．一瞬の躊躇があるかも知れませんが，「卒業」のダスティン・ホフマンのようになり振りかまわず追いかけ，結婚式の行われている教会から彼女を連れ出しますか．それとも「カサブランカ」のハンフリー・ボガートのように a lot of water under the bridge とつぶやいて，静かに去らせますか．今はＤＶＤで見ようと思えば見られますが，引き合いに出した映画がずいぶん古いものですから，ぴんとこないかもしれません．いずれにしても，どのような行動をとるかはその原因によっても違うでしょうから，映画の内容は忘れてもう少し問題点をはっきりさせましょう．私がこれから問題にするのは，自分が何かドジをやってしまったとき，君あるいは，あなただったらその後どのような行動をとりますかということです．たとえば，君の落ち度が原因で恋人が君あるいは，あなたのもとから去ってしまった．そのとき，君あるいはあなたは恋人を去るがままにするか，追かけるかどちらですかということです．去り行く人は去るがままにして，自分は他の道に向って歩き始める，いかにもかっこうよく見えることもありますし，逆にその行動に歯がゆさを感じたり，冷たさが感じられたりすることもあると思います．また，去り行こうとしているのは一つの策略で，実は追かけてくることを相手が期待していることもあります．ですから，だれもが納得する正解などというものはないのですが， ‘ 数学的な思考法 ’で考えていくと，spilt milk はどうしようも 2 ないことであり，恋人が立ち去るのをそのまま見送ることが私の取るべき行為ということになるのです．私はこれから君たちに spilt milk は spilt milk として受け入れていくという‘ 数学的な行動の仕方 ’を話してみたいと思います．ただし，この行動様式のすすめや推奨ではありません．とてもこのような行動様式はとれないと感じる人たちもたくさんいると思われますし，これが誰にでも有効な正しい行動様式だなどと，私には主張できないからです．まあ，取る取らないは別にして‘ 数学的な行動様式 ’や思考法の利点やおかしなところを見ていきましょうということです．私の印象では，まず数学的な行動・思考様式には男性的あるいは武士道的，騎士道的な側面があると思います．それは何も女性がとるにはふさわしくない，女性はまねすべきではないという意味ではありません．「キル・ビル」のユマ・サーマンを見てください．「ラスト・サムライ」の渡辺謙よりはるかに武士道に沿った行動を取っていながら，これには異論があるかもしれませんが，まさしく女性です．しかし，この行動様式は奇妙に社会通念からずれてしまって，何かこっけいに見える場合もあります．ときには，うまく難局を乗り越えることができる場合もありますが，傍目から見ると単なる変わり者に見えるということもあります．このように‘ 数学的な行動・思考様式 ’には，とてもかっこうよく見える側面と，思わず吹き出してしまうような間抜けな部分が同居しており，それをこれから語っていきましょうというわけなのです．私は最近，小川洋子の「博士の愛した数式」という小説1 を読みました．私は，本を小説を含めてけっこう購入するのですが，読むのが遅くて読まれないままという状態の本がたくさんたまっています．いわゆる‘ つん読 ’というやつですね．今読んでいる本は２０年前，つまり君たちが生まれた頃に買った本なんていうことがよくあります．そして，ほとんど日本の現代小説を読んだという記憶がありません．ではなぜ最近出版されたばかりのこの本を，他の本を差し置いて読んでみようという気になったかというと，確かに新聞の書評は好評で，「まさに正真正銘の（小川洋子の）最高傑作2 」という言葉につい引かれてしまったのも事実ですが，本屋でぱらぱらめくってみると，野球の江夏のことが出てきたりして，引き込まれ，立ち読みしながら，これだったらすぐ読めてしまいそうで，他の本を読むじゃまにはならないなと思ったからで，それと数学の教師として，博士の愛した数式が何なのか興味があったからです．小川洋子なる作家については私はそれまでぜんぜん知らず，何年か前に芥川賞を受賞した作家であるということを本の奥付で初めて知った程度で，他の作品も読んだことはありません． ‘ 数式 ’という言葉につられて，本屋でその本をめくったとき，オイラーの名前が目につきました．オイラー（1707 ∼ 1783）はスイス生れの１８世紀の数学者です．ひょっとしたら，博士の愛した式は，多面体の頂点，辺，面の数に関するオイラーの公式のことかなとも思いましたが，それではなく微分積分で出てくるオイラーの関係式のことならたいしたものだなと思いました．どうしてかというと，私の今までの経験では，数学といえば，普通の人にとっては代数学，その中でも自然数（正の整数および０を含むこともある）や 1 2 [Ｏ] 小川洋子，博士の愛した数式，新潮社，(2003). 朝日新聞 2003 年 12 月 28 日号 3 整数の演算を扱い，その間の関係を見出す数論という分野だけを頭に思い浮かべる傾向があり，他にはせいぜい初等幾何学であって，微分や積分の出てくる解析学を思い浮かべる人はそんなにいないからです．微分積分は当然，高校数学でも出てくるわけですから，知っている人はたくさんいますが，むしろ物理学という印象の方が強いのではないでしょうか．もちろんこの見方は的外れではありません．しかし私は解析学を勉強していますが，物理学はほとんど知りません．つまり，物理学をそんなに知らなくても，もちろん知っていた方がよいしその必要が出てくる場合もありますが，解析学は勉強できます．まあ，いずれにしても小説でマクローリン展開なんて出てきたら私でなくても驚くはずです．マクローリン展開も「微分積分」の講義で勉強することができますが，興味のある方のために多面体に関するオイラーの公式と解析学に出てくるオイラーの関係式を書いておきましょう．定理 1.1 （Euler の公式) 多面体の頂点の個数を T ，稜線の数を S ，面の数を m とすると，いかなる多面体でも T +m=S+2 が成り立つ．この公式のことをある人に話したら，その人は数学が専門というわけではないのですが，小学生のときにこの事実に独力で気がつき，自分は天才だとそのとき思ったとのことです．確かに，この事実に気がついていたという人がたくさんいても不思議はない定理だと思いますが，ではこの事実を証明できますか？それが小学生でできたら確かにすごいと思います．一般に示そうとするときは，多面体の定義をきちんとすることから始めないといけませんが，特別な知識を使わずに証明することはできますし，君たちにも理解できます．ただし，ある程度の辛抱が必要です．また，この公式を用いると，正多面体には正四面体，正八面体，正六面体（立方体），正十二面体，正二十面体の５種類しかないということも証明できます3 ．解析学，おもに微分積分で出てくるオイラーの公式は，次のようなものです．定理 1.2 （Euler の関係式) i を虚数単位，すなわち，i2 = −1 とすると， eix = cos x + i sin x が，すべての実数 x に対して成り立つ．実際には x が複素数でも成り立ちますし，複素変数の指数関数や３角関数はどのように考えるのだろうとか，いろいろ疑問が出てくると思いますが，それは「微分積分」や「複素関数論」で勉強してみてください．また，数学者が登場する小説はそんなにないのではないかと考えていましたが，けっこう最近の小説や映画には出てきているみたいです．マイケル・クライトンの「ジュラシッ 3 これらのことは，たとえば‘ 高木貞治，数学小景，岩波現代文庫 ’に書かれています． 4 ク・パーク」や「ロストワールド」にはイアン・マルカムという名の数学者が出てきます．そのまま科学者といっても差し支えないかもしれない役割ですが，この小説ではカオスやフラクタルなどの数学に関わる事実を説明してくれます．映画では「ジュラシック・パーク」もそうですが，数年前に公開されたもので「ビューティフル・マインド」という映画があって，ラッセル・クロウが実在の数学者ジョン・ナッシュを演じていました．私も見ましたが講義をするときに，突然数式を黒板に殴り書きしており，私がここであのような書き方をしたら，君たちの授業アンケートでさんざんに書かれるだろうと思わず苦笑いをしてしまいました．その他にもアラン・チューリングというイギリスの数学者がモデルだという第２次大戦のときの暗号解読にまつわる物語「エニグマ」などという映画も私は最近見ました．「ビューティフル・マインド」などは実話が元になっているだけに，数学者の内面の葛藤がかなりの真実味をおびた調子で描かれていると思うのですが（ただこれは見た人なら分かると思いますが，映画ならではの仕掛けがあります），たいていは数学者というと，日常生活とは全く縁のないどうでもよいことに苦しみ悩む変人という扱いで，一般の人には理解できそうもな人生を送っている人というのが普通にもたれている印象ではないでしょうか．「博士の愛した数式」を実際に読んでみると，博士はたしかに数学者ですが，そんなことが実際にあるのかどうかは別にして，何年か前の交通事故が原因で８０分しか記憶の持続ができなくなり，研究者としての職を失い，義姉の家の離れの家にこもりっきりで，数学の懸賞問題を解いている隠生者です．これはいつものパターンでしかも語り手の小学生の子供をかかえる２０代後半の家政婦と交わされる数学の話は，素数，友愛数，完全数，あげくの果てにルース・アーロン＝ペアまで出てくるはたして代数の話です．そして博士のラマヌジャン4 並みの具体的な数字に対する関心と執着は，トム・クルーズとダスティン・ホフマンの出ていた「レインマン」という映画の中で自閉症役のダスティン・ホフマンが見せるやや誇張された数字に対する記憶力と計算力を思い出させます．この講義は一応数学の講義ですから，ここで数学の言葉は説明しておきましょう．ただし，私もルース・アーロン＝ペアなんて知りませんでしたら，以下の説明は受け売りです．定義 1.1 １より大きい整数のうち，１とそれ自身のほかに正の約数を持たない数を素数 prime number といいます．２，３，５，７，１１，１３，１７，．．．が素数になります．後で，素数は無数にあるという事実のユークリッドによる証明というのを紹介します．定義 1.2 正の整数 n に対してその正の約数（１およびそれ自身を含む）すべての和を σ(n) で表すこことにします．このとき， σ(n) − n = m, 4 σ(m) − m = n ２０世紀初めのインドの天才的数学者， ‘ 藤原正彦，天才と栄光と挫折，新潮選書，(2002)’ を読まれるとよい． 5 となる２つの数を友数，友愛数または親和数 amicable numbers といいます．このとき，σ(n) = σ(m) = n + m となりますから，友愛数はその約数の和が等しい２つの数ということになります．このような友愛数の例には，「博士の愛した数式」にも出てき 5 ますが，220 と 284 が友愛数です．オイラーはこの友愛数を６１組見つけたそうで，また 152 桁の友愛数なんてのもあるそうです．定義 1.3 σ(n) = 2n となる正の整数 n を完全数 perfect number という． n が完全数なら，σ(n) − n = n ですから，自分自身以外のすべての約数を加えると自分自身になるというわけです．これも「博士の愛した数式」にも出てきます6 ．定義 1.4 ２つの連続する正の整数 n, n + 1 の組で，その積 n(n + 1) が最初の素数の連続した積になっていて，それぞれの素因数（素数の約数）の和が等しいものをルース＝アーロン・ペア Ruth-Aaron Pairs という．７１４と７１５の数字の組がルース＝アーロン・ペアであり，実際 714 = 2 · 3 · 7 · 17, 715 = 5 · 11 · 13 であり， 714 · 715 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17, 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 となります．もちろん，実際は７１４と７１５というベーブ・ルースとハンク・アーロンのホームランの数があって，それから逆にこのような奇妙な性質が見出されているわけです7 ．確かにこのような事実はおもしろいけど，ルース＝アーロン・ペアが新たに見つかったとしても，だからそれがどうなのと数学の教師である私でも思ってしまいます．これはたぶん君たちも同様の感想だと思います．そんな感じも受けましたが読みつづけていくと，私はだんだん，作者はこの小説を書くためにけっこう数学を自分なりに勉強したんだなという印象をもつようになりました．それはたとえば，博士が懸賞問題を解いて，懸賞金をもらうなんてすごいですねとほめられたときに，「必ず答えがあると保証された問題を解くのは，そこに見えている頂上へ向って，ガイド付きの登山道をハイキングするようなものだよ8 」と答えるところに表れていると思います．数学の本を読んだり，問題を解いたりすることをハイキングにたとえることは，実はけっこうあるのですが，この言葉の後に続く博士のせりふがなかなかうがっていてるのです．それはぜひ小説の方を読んでもらいたい 5 6 7 8 [Ｏ，p.27.] [Ｏ，p.60.] [Ｏ，pp.125-126.] [Ｏ，p.47.］ 6 と思います．これは，数学は答えが１つに決まっていて，合っているかまちがっているかはっきりしているから好きと答える人たちには，たぶん思いもよらない答えだと思います．もう１つこの小説を読んでいて予想外だったのは，博士から１から１０までの自然数を全部たすといくつになるかという宿題を出されて，語り手の女性がこの問題を解くところです．もちろんそのまま加えていってもすぐ答えが出るわけですが，これにはそうしなくてもよい方法があり，君たちの中にも知っている人がたくさんいると思いますが，ドイツの数学者ガウス（1777 ∼ 1855）が少年時代に独力で見出したといわれている方法が有名で 9 ，私は当然この方法でこの女性は解くのだと思っていましたが，彼女は意外な方法を見つけ出します．そのときの‘ 発見 ’のありさまの描写がなかなかのものなのです．数学的発見の瞬間がどのようなものかというのは，それこそ経験者でないとなかなか分からないものですが，特にフランスの数学者アンリー・ポアンカレ（1854 ∼ 1912）の随筆の中に書かれているエピソードが有名です．たとえばこうです．「クータンスに着いたとき，どこかへ散歩に出かけるために乗合馬車に乗った．その階段に足を触れたその瞬間，それまでかかる考えのおこる準備となるようなことを何も考えてもいなかったのに，突然わたくしがフックス函数（関数）を定義するに用いた変換は非ユークリッド幾何学の変換とまったく同じであるという考えがうかんで来た．」10 馬車の階段に足をかけたとたんに，それまでとくに考えていたわけではなかった問題の解決がひらめくなんて，とにかくかっこういいではないですか，私たち数学教師の中にはこのような体験を自分もしてみたいという思いから数学に志したという人がいても不思議ではありません．日本の数学者でも岡潔（1901 ∼ 1978）の随筆があり，そこでも数学的発見のありさまがやはり印象深く描かれています11 ．これらは大数学者による大発見のときの描写ですから，我々からかけ離れてしまいますが，それほど大げさではありませんが，自然数の和の公式をみずから見いだすくだりは，小説に描かれた発見の描写としてはよく書かれていると思いました． ‘ 発見 ’の体験は中身の程度に差はありますが，我々平凡な者たちにも十分体験できるものだということが，この描写から納得できます．自然数の和の問題はこの講義でも後に取り上げて詳しく説明します．私が受けた感じでは，この博士には世間知らずの子供のような純粋さがあって，なんだか手塚治虫の鉄腕アトムに出てくる‘ お茶の水博士 ’をつい連想してしまいます．また，何となくこの本の巻末の文献にあげられている‘ ポール・ホフマン，放浪の天才数学者エルデシュ，草思社，(2000) ’の登場人物ポール・エルデシュを連想させるところもありますが，少なくとも私のまわりには，このように世俗にそまらない純粋さを保っている数学者は存在しません．しかし，何か桁外れの人物というものはいることはいるもので，たとえば，このエルデシュは１９９６年に８３歳で亡くなった数学者ですが，大学や研究所にはどこにも所属せず，家はもちろん家族ももたず飛行機で世界中を放浪し続けた人物で，その実際に語り継がれている様々なエピソードは小説よりもおもしろく，ホフマンの本を読 9 ‘ Ｅ・Ｔ・ベル，数学をつくった人びと，ハヤカワ・ノンフィクション文庫 ’によると，実際にガウスに出された問題はもう少しむずかしい． 10 ポアンカレ，科学と方法，岩波文庫，(1953) p.58． 11 岡潔，春宵十話，毎日新聞社，(1963). 7 むとこのような人物が本当にいたのかという驚きを多くの人たちがもつと思います．ところで小説の中の博士は自分の成したことに対する他人の評価には全く無頓着なのです．それとは違うかもしれませんが，いわゆる物欲のない人間というのは，表面上だけのことになるかもしれませんが，けっこういるのかもしれません．お金がなくなっても，あるいはたいせつにしている物をなくしても無頓着な人というのはいるものです．そのような人に私はあきれると同時に感心してしまいますが，私がさらに驚いてしまうのは嫉妬心のない人です．嫉妬心がないというより，その気持ちを押さえるなり，あるいは受け流してしまう術を心得ている人と言った方が正確でしょうか．哲学者のサルトルは，自分の伴侶のボーヴォワールに別の恋人ができても頓着しなかったそうです．もっとも，サルトル自身にもボーヴォワール以外に女性が随時いたそうですから，どっちもどっちですが，ともかくこれもサルトル流の spilt milk の対処の仕方だと思います．それから，人から誉められてもそれに左右されない人たちにも私は感心します．サルトルはノーベル文学賞の受賞を拒否しました．これは我々には簡単には分からない理由があってのことでしょうが，このように賞を受けたときの態度によっても，その人の行動様式がある程度分かるものです．人がたとえば数学的な成果を誉める場合は，その得られた結果や事実を賞賛するのであって，その人物の人格を誉めているわけではないのですが，たいていの人は自分が誉められていると錯覚してしまうのではないでしょうか． ‘ 博士 ’はそのことをわきまえているように見えます．人からの賞賛をまともに受けることを拒否する人たちは一見，社会の流れから離れたところにいて，自分の価値判断だけでやっているように見えるので，それは単なる‘ オタク ’ではないかと考える人もいると思います．まあ，オタクといってもいいかもしれませんが，この人種は確かに少ない．小説などに出てくると新鮮な感じがしますが．数学者の中でも少ない部類の人たちでしょうし，この人種は残念ながら今の世の中では Endangered Species 絶滅危惧種です．私は何とかシマフクロウと同様に絶滅させたくないと考えていますが，遺伝子の優遇には合わないだろうなと思います．この小川洋子の小説を読み，数学あるいは数学者というものに興味を掻き立てられた人たちも出てきているのではないかと思いますし，我々数学に携わるものとしては，多くの人たちに数学に関心を持ってもらうことを期待しています．それは学んでいる分野が文系あるいは理系であるということに関係ありません．文系と理系という分野についても，後に考察してみます．この講義ではこれから私の考える数学というもの，数学的な考え方について話していきます．そして，それを実践する形で，算数の問題を，場合によっては数学の問題を考えてみようと思っています．それと私が見聞した，数学者と呼ばれる人たちの行動をいくつか紹介していきますが，それは‘ 数学者 ’がいつも同じように行動するというわけではなく，ほかの分野と同様に，個人個人によって違うことは言うまでもないことだと思います．また，オイラーとかガウスといった歴史上著名な数学者の生涯を知りたいという人にはすでに挙げてある‘ Ｅ・Ｔ・ベル，数学をつくった人びと，ハヤカワ・ノンフィクション文庫 ’ （全３冊）を参考にあげておきますので読まれてみるとよいでしょう．この本は最近文庫本として刊行されました．また，最近の数学者のものでは，やはりすでに挙げてある‘ 放浪の天才数学者エルデシュ ’と‘ 藤原正彦，天才の栄光と挫折 ’がとてもおもしろく読めます．ただし，これからこの講義で述べる数学者たちの話は，これらの 8 歴史に残る天才達の話ではなく，能力も才能も平凡な人間が数学的に独自に考えていくとはどういうことなのかという観点から述べていきます．これまで断りもなく， ‘ 数学 ’という言葉を使ってきましたが， ‘ 数学 ’というのはもちろん数字を扱う学問の分野ですが，必ずしも数字だけを扱っているのではないことは君たちは十分ご存知だと思います．整数の性質をあつかう数論，代数という分野があることはすでに述べていますが，それだけではありません．大雑把に言えば，代数学の他に幾何学，解析学という分野があり，対象は数字そのものではありませんが，これらの分野においても数字から逃れることは厳密な意味ではできないでしょう．私が考える‘ 数学 ’という言葉の意味はこの講義の中で徐々に述べていくことになると思いますが，それまでの間‘ 数学 ’と‘ 算数 ’という言葉を便宜的に使い分けることにします．そしてこの講義では暫定的に次のように定義をしておきましょう．私たちが実生活の中で実際に出会うおもに数量に関する問題に対する対処の仕方を考える分野をこの講義では算数といいます．対象は現実に存在するもので，普通の意味で見たり触れたりすることのできるものです．現実には見たり触れたりすることのできないものを対象としており，論理と計算だけを手段にして，真か偽かを見きわめていく分野をこの講義では数学といいます．このような定義をすると他の数学の先生に怒られるかもしれませんが，算数は現実生活で使われる計算であり，ふつう私たちは逃れることができません．むかし風にいうと， ‘算術 ’ですか． ‘ 数学 ’は知らなくても現実生活ではなんら差し支えないものです．そして， ‘ 数学 ’は必ずしも私たちの現実，日常生活に則しているというわけではありません．小学校や中学校で学ぶものが‘ 算数 ’ ，高校，大学で学ぶものが‘ 数学 ’と言ってもいいのですが，私の定義では，高校からは算数も数学も行いますし，小学校にも数学的要素は当然入ってきています．海洋学部の各学科で数学を使うときは，たいていは目に見えるもの，現実に存在するものが対象ですから，実は‘ 算数 ’なのだと思うのですが，そう言いきってしまうと，身も蓋もなくなってしまうのですが，さらに言えば，物理も算数です．ただこれは‘ 算数 ’がやさしくて， ‘ 数学 ’が高級でむずかしいものという意味ではないことは断るまでもないでしょう． ‘ 数学 ’ができれば， ‘ 算数 ’もできるのが普通でしょう．しかし， ‘ 数学 ’の深い理論を理解できる人でも， ‘ 算数 ’の計算能力は一般の人より悪いという人もいます．私も実はそうなのですが，数学者の中には物理の理論が理解できなかったり，苦手だという人がけっこういます．これも私の定義による‘ 算数 ’が理解できない例になると思います．ともかく世の中には算数はできるが，数学はできないという人もいれば，逆に数学はできるが，算数はだめという人もいて，さらには両方ともだめ，両方ともできるという人もいるわけです．この事実は，私にはとても奇妙に感じられることですが，そういうものなのかもしれません．自分はどこに属するのだろうかと考えてみてください．両方できればよいのかもしれませんが，それほど話は単純ではなさそうな気が私にはしています． ‘算 9 数 ’と‘ 数学 ’の違い，これもこの講義の中で考えられていく主題の１つです．さて，小説の題の‘ 博士の愛した数式 ’とは何か？それは，どうやら eπi + 1 = 0 というオイラーの関係式の特別の場合らしいのです．指数関数の値が出て来ていますが，残念ながら３角関数はさすがに出て来ていませんでした．オイラーの関係式については，「微分積分」の講義の方にまかすとして，この講義では数学的な考え方についての私の考えを述べていきますが，このときデカルトおよびパスカルという１７世紀の哲学者の言葉や様々の本からの引用が出てきますが，もちろんデカルトやパスカルの哲学理論を論じようというわけではありませんし，そのような能力は私にはありません．これら先人の残している言葉の一般的な解釈はともかくとし，これらの言葉を借りて，私の自己流の数学的な考え方をいろいろな角度から説明することを試みていきます．その後，天秤の問題，３平方の定理，数列の和，アキレスとカメの逆理，フィボナッチ数列，パスカルの３角形等の，算数あるいは，算数と数学の間にある項目を取り上げて，それを‘ 実験的に ’考察するということを行います．これらのことは私がすべて独力で考えたことではありません．私が実際に他の先生の話を聞き，学びそして考えたものです．個々のものに対しては，その都度出所を明らかにしていきます．岡潔がこのようにいっています．「数学的な行動様式とは，物事を十分に考えて，迷わず行動すること」．どこに書いてあったか忘れてしまいましたので引用はなしです．ですから正確ではないかもしれませんが，何か別にたいしたことでもなさそうですね．言われなくてもそんなことなら自分はいつもそうしていると思う人もいるでしょうし，こんなことで数学のむずかしい問題が解たりするのだろうかと疑問に思う人もいるでしょう．もちろんこれで問題が即座に解けるわけではありませんし，実践しようとするとけっこうむずかしいのです．やはり，このように行動している人は Endangered Species かもしれません．次回の講義では，私の経験した日常的なものから，後に算数的あるいは数学的な例により‘ 数学的な考え方 ’の一部を説明していきますが，私自身，この考え方で数学の問題にきちんと対処しているかというと，はなはだあやしいものです．また，こんなことは知らなくても問題を解くことはできると考えておられる方もあると思います．それはそれで正しいです．私自身が数学的な考え方をあらためて考え直していこうというのが実はこの講義の目的です．さて，最後に宿題を出しておきます．次回までに考えてきてみてください．宿題 1.1 君はいま岩山を登っています．崩れやすい１本道をおそるおそる通っています．先をを見ますと，上から大きな岩がときおり道の上に転がり落ちてきています．それにぶつかったらまちがいなく大けがをするか，悪くすると死んでしまいます．うまく岩の転がり落ちてくる間隙を縫って，この危険な場所を通過しなければなりません．ところが 10 君は突然，靴のひもがほどけていることに気がつきました．そこで止まって，靴のひもを結んでいると，転がってくる岩の直撃を受けるかもしれません．でも，ひもをほどけたままにして，急いで通っていくと非常に危険です．また，ひもを結ぶために留まっていたおかげで，逆に岩の直撃を避けることができるかもしれません．このようなとき，君ならどのような行動をとりますか？