複雑系による『発見』と金融時系列川崎能典統計数理研究所モデリング研究系 2009年11月7日(土) 於・インターネット総合研究所 (日本行動計量学会複雑系データ解析研究会) 本日のお話のスコープ • 「複雑系科学」の定義は容易でない – カオス、フラクタル、ネットワーク、カタストロフ、エンタングルメント…（研究会HPより） – 全てを語る能力は、私にはない • 本日の話は、主にフラクタル理論を中心としたeconophysics（経済物理）が提示する論点の幾つかを、統計的時系列解析の立場から論評することに限定。 1 構成 1. 自分の研究とフラクタルとの接点 • Motivationとしてはやや特殊 2. フラクタル理論、経済物理から経済学、ファイナンス理論に寄せられる批判の検討 • 今後の研究方向に関する含意を探る Long Memory Process • Fractional ARIMA (ARFIMA)モデル – Fractional Brownian Motionの離散時間時系列版 – 1980年代中盤から研究が進む • 分数階差 • 長記憶過程、強従属定常過程 0 < d < 1/ 2 φ ( L)(1 − L) d yt = θ ( L)ε t 2 過剰階差 • 階差、季節階差による定常化 • 差分後の系列は、ゼロ周波数と季節周波数でパワースペクトルに深い溝が生じる。これは過剰階差と言えるのではないか? – Nerlove (1964) Econometrica – Granger (1976) NBER/NSF Conference “Seasonal Dip” 月次時系列の例季節調整前の原系列（左）のパワースペクトルのピークは、季調済系列では季節周波数で深い溝(dip)になっている。 3 1989年：当時M2の院生の考え • Random Walkタイプのモデルは、スペクトルのピークのモデリングという意味ではpeakyすぎるのではないか? • Long memory モデルは seasonal dip に対するひとつのcureとなるかもしれない。 – 後にこれらが見当違いであると知るのだが… – まずは通常の階差についてlong memoryを勉強することにした。この問題を再び真剣に考えたのは1997年になってから。最適季節調整の特徴付け • 最小MSEを達成する季節調整にはseasonal dipが必ず伴う。 – Grether and Nerlove (1970) Econometrica • 季調済系列の標本スペクトルに溝が生じないような季節調整法を考えることは可能だが、その場合はMSEが劣化する。 – Ansley and Wecker (1984) JBES 4 歴史は繰り返す • Proceedings on the conference on the seasonal analysis of economic time series, Washington D.C., Sept. 9‐10, 1976. • Granger (1976) Property 2’ (p. 41) • Sims (1976) 指定討論者として、Grether and Nerloveの結果に言及。歴史は繰り返す２ • 「X‐12‐ARIMAはseasonal dipが経験的に生じにくいので、良い季節調整法である」木村(1997)統計数理 – え? でもそれってむしろダメってことじゃ… • 季調済系列に少しでもノイズが混じるとdipは消えることがある。 – 北川(1997)統計数理 • X‐12‐ARIMAはノイズ過多な季節調整になっているケースが多い。 – 川崎・佐藤(1997)統計数理 5 Long memory: fact or artifact?～前半のまとめ • データの長さを超えた周期がある、ということの含意や如何に。 – Naïve forecastより長期予測が良い、ということの経験的事実の提供が必要。 • 有限データではARMA(1,1)と区別できない(だろう)。 • 母平均に意味を与えにくいプロセスに対するモデルか? (ex. インフレ率) • 外れ値的な変動に影響される。それも込みで説明したいのかどうか。（この論点は後述） The (Mis)Behavior of Markets • 金融リスクに関するフラクタル的視点を啓蒙する書 • ウォール街で受け入れられている金融工学理論に対する批判 • 「投機的な市場の価格変動の理論において最も革命的な展開」だがその「救世主のような語調」はいかがなものか。‐‐‐P. Cootner (MIT), 1960 年代のMandelbrotの業績を評して 6 主要な論点 1. 2. 3. 4. 5. 正規分布からべき乗分布へ価格の不連続なジャンプボラティリティクラスタリングタイミングの重要性、時間リスク実時間とトレーダー時間 1. 正規分布からべき乗分布へ • 長期収益時系列における巨額損失の経験頻度は、明らかに正規分布の裾確率とは整合的でない→べき乗則 – サイコロ振りと同じと思って定式化したが、経済状況が極端になると、サイコロ自体がいびつになってしまう。（サブプライム問題然り） • しかし、80年代中盤から非線形・非ガウス時系列の推定論は大きく発達しており、fat tail な分布が利用可能な方法論はあった。 7 2. 価格の不連続なジャンプ • Black‐Scholesモデルが想定する世界と、現実の価格のサンプルパスとの不整合、「価格の連続性」を仮定する事への批判 • しかし対案はなし? • ファイナンスの側での動向：Wiener過程から Levy過程へ。 3. ボラティリティクラスタリング 5. 実時間とトレーダー時間 • 収益率は無相関も2乗プロセスに自己相関 – 後のARCH/GARCHにつながる経験知 • 実時間とトレーダー時間の違い：トレードを点過程として考えたときの強度のクラスター性。 Self‐exciting processということ? – 特に異論はないが、新しい発見は? – Clark (1973) Econometrica 8 4. タイミングの重要性、時間リスク • ファイナンスで最大のリスクは時間。時間リスクをどう分散するか。この点は異論なし。 • しかし、数理ファイナンスの理論や計量ファイナンスのモデル同様、いつクラッシュが起こるかを予想できないことではフラクタル理論とて同じ穴の狢。 • せいぜい「べき乗則で広めに構えて準備しておけ」という程度? 時系列モデルの「記憶」 • 滅多に起きないと思っていたこと（外れ値）が起きたら、十分に長い「記憶」を取っておかないとまずい、と判断する。→long memory (fractal), perfect memory (random walk) • でも、その「希な事象」も唯一不変の同じ確率構造からのrealizationとして捉えないと気が済まないのか? いつそれが起きるかも所詮当てられないのに… 9 移動平均表現 ∞ ∞ yt = φyt −1 + ε t ⇒ yt = ∑ φ ε t − j = ∑ψ j ε t − j j j =0 ∞ j =0 Short Memory ∑ |ψ j |< ∞ 過去の変動の影響は指数的に減衰 Long Memory ∑ψ 2 j <∞ 過去の変動の影響はべき乗で減衰 Random Walk ∑ψ j = ∞ なぜなら j =0 ∞ j =0 ∞ j =0 ψ j ≡1 過去の変動の影響は恒久的に現在に影響単位根か構造変化か構造の類似した問題（その１） • Nelson and Plosser (1982) JME:多くのマクロ経済時系列は単位根を持つ。（平均非定常） • (トレンド)定常系列に加法的に外れ値を加えるだけで、単位根仮説を棄却しにくくなる。 • Perron (1989) Econometrica: 構造変化を考慮すれば、決定論的なトレンド周りの定常変動と見なせる。 10 ロバスト推定か外れ値除去か構造の類似した問題（その２） • 外れ値に引きずられない頑健（ロバスト）な推論方式を用いるべきか、除外して普通の方法を使えば済む話か。 – 「エンドユーザーの誤用を可能な限り事前に防ぐべき」 – 『でも外れ値の背後の特殊事情は普通想像がつくし、その意味で除外できる。ビルトインの安全装置にここまで手間をかけるのは馬鹿げている。』経済学者からの期待 • 概して、新古典派（市場万能主義、均衡論者）に疑念・反感を抱く経済学者は、現状に econophysicsが風穴を開けてくれるかも、と期待している節がある。 – 経済を決めるのは、供給サイドか需要サイドか。価格調整か数量調整か。生産性のばらつき。 • ティックデータ、個票データが利用可能な時代。仮説に縛られない「データベースからの知識発見」という力業への協力者として期待? 11 しぼむ期待 • 「経済学者の中には、物理学者が主流派経済学が典型的に奉じている厳格な理論を揺さぶってくれると期待を寄せる者もいた。しかしこれまでのところ経済学者は、物理学者がデータを取り扱うやりかたに、取り立てて感心するような点を見いだせないでいるようだ。」 • Ball, P. (2006). “Culture Crash” (News Feature), Nature, Vol. 441, No. 8, 686‐688. 気がかりな点 • データ量さえ確保できれば、法則の発見は容易? – 大量データに分布をあてはめてtailの挙動を調べただけの研究では、人を感心させるにも限界が… • 「先験的仮定・仮説」にとらわれないモデル化という意味では、サイバネティクスや時系列解析のfollower? 思想的な新規性はどこに? – 「理論なき計測」批判から学ぶところがある? • その一方、実は隠れ演繹至上主義? 12 2008年秋の金融危機 • 使われなかったツール – べき乗則は認知されてはいたが使われなかったと理解し、その理由を考えるべき。Scienceとpolicy のinteraction。 • 評価システムの問題 • 経営判断とリスクマネージャの職分 • CDO等の証券化証券に関しては格付け機関のあり方の問題匣に残ったものは… • Good sideより先にbad sideが出てしまったかも知れないが、証券化は社会的なリスク分散、リスクテイクの実現を通じた、明るい未来への鍵である。 • Shiller, R. (2004). The New Financial Order: Risk in the 21st Century, Princeton Univ. Pr. 13 注目される研究分野 • ネットワーク理論 – 後述の流動性リスクやcontagionのモデル化という観点から – 恐らくはeconophysicsの一部やagent‐baseのAIもこの流れでの貢献できる可能性 • 合理性の限界への（再度の）着目 – Adaptive Market Hypothesis (Andrew Lo) – Behavioral Finance, Behavioral Economics – Neuroeconomics 最大の課題：流動性リスク • 買いたいときに買えない、売りたいときに売れない、counterpartyの破産 – 必要性は認識されていたが、難しさ故に後回しにされてきた。 • 経済や投資行動のマイクロプロセスを記述するシミュレーションモデルの開発が重要。 – Social network, Agent‐based approachへの期待 • もちろん、数理的なモデルだけでなく社会的・制度的要因も重要。 14 結語 • フラクタル理論からimplyされる拡張方向、更には後年econophysicsとしてsocietyが大きくなる過程で指摘されてきた経験的fact finding は、時系列モデル、計量経済モデルの拡張に大きな影響を及ぼしたといえる。 • 流動性リスクのモデル化には、今後専門分野の垣根を越えて、さまざまな取り組みが行われるべき。 15