KumaNote Documentation
リリース 0.1.1
Shota Takahashi
8 月 25, 2016
Contents
I
相対性理論：杉山直
1
1
k 計算法を用いた特殊相対性理論の解法
1.1 k 計算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2
不変間隔とローレンツ変換
2.1 不変間隔 . . . . . . . .
2.2 時間的、空間的 . . . .
2.3 時間の延びと固有時間
2.4 ローレンツ変換 . . . .
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5
5
5
5
5
3
４元ベクトルと特殊相対論的運動論
3.1 ニュートン力学とベクトル、スカラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
4
テンソル解析
4.1 一般座標変換 . . . . . . . . . .
4.2 スカラー・ベクトル・テンソル
4.3 （共変）微分 . . . . . . . . . .
4.4 曲率 . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 メトリック (計量) . . . . . . . .
4.6 測地線方程式 . . . . . . . . . .
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19
19
21
21
24
25
31
5
アインシュタイン方程式
5.1 アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 一般相対性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
35
6
球対称時空
6.1 アインシュタイン方程式を解く . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 シュヴァルツシルト解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
38
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II A Supersymmetry Primer : Stephen P. Martin
41
III 素粒子の物理
45
7
ゲージ理論と電弱統一理論
7.1 ウィークゲージボゾンの生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 グローバル対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
47
i
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
ローカル対称性 . . . . . . . . .
ラグランジアン . . . . . . . . .
U(1) ゲージ理論 . . . . . . . . .
ワインバーグ・サラム理論 . . .
ゲージボゾンどうしの相互作用
IV Indices and tables
ii
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47
47
47
47
47
49
Part I
相対性理論：杉山直
1
Chapter 1
k 計算法を用いた特殊相対性理論の解法
ハーマン・ボンディが考案した k 計算法 (k-calculus) を使って、特殊相対性理論の諸問題
を、簡単かつ直感的に理解する。
1.1 k 計算法
• ２つの慣性系 S と S ′ を考える
• この慣性系は、相対速度が v の関係にある
• 観測者 A(S(x = 0)) から観測者 B(S ′ (x′ = 0)) に向けて、光の信号を時間 T の間、継
続して送信する
• このとき、B は A からの信号を kT という継続時間で受け取ると 仮定する
• 対称性から、B から A に送った信号の継続時間もまた k 倍になる（これも 仮定 )
3
Chapter 2
不変間隔とローレンツ変換
前の章とは反対のアプローチで、 不変間隔一定 の条件からローレンツ変換を求めてみる
2.1 不変間隔
不変間隔 :s12 は以下のように定義する。距離 を、この不変間隔で定義した 時空 を ミン
コフスキー時空 と呼ぶ。
s212 ≡ −c2 (t2 − t1 )2 + (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
(2.1)
不変間隔の微小量は以下のように表すことができる。
ds2 = −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2
(2.2)
2.2 時間的、空間的
2.3 時間の延びと固有時間
2.4 ローレンツ変換
5
Chapter 3
４元ベクトルと特殊相対論的運動論
3.1 ニュートン力学とベクトル、スカラー
3.1.1 ３次元のベクトル量
３次元のベクトル量 は 座標回転に対する変換性 で定義する。
ところで、教科書 p.61 の（5.1）式は間違ってる。正しくは、
2
d ⃗x
F⃗ = m 2
dt
(3.1)
のように、右辺は距離を時間で２階微分した形のはず。
3.1.2 座標回転
3.1.3 回転行列
3.1.4 アインシュタインの規約（縮約記法）
上付きの添字と下付きの添字が同じ記号ででてきたときは、座標の全成分について和を
とる、というルール。
この書き方のルールに従うと、上の式は短く省略した形で書くことができる。
′i
x =
毎回
∑
3
∑
aij xj ≡ aij xj
(3.2)
j=1
記号を書くのはいささかめんどくさいので省略しちゃいましょう、ということ。
3.1.5 ダミー添字
アインシュタインの規約 を使って書いたときに、最終的に左辺に現れない添字を ダミー
と呼ぶ。上の場合だと j のことである。
7
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
ダミー添字は、好きな記号に置き換えても OK である。例えば、
aij xj = aik xk = ail xl = aim xm = ain xn = ...
(3.3)
3.2 ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー
• ローレンツ変換を使ったベクトル・スカラーの定義
• その過程で ミンコフスキー計量 を導入
3.2.1 ４元位置ベクトルの定義
x0
x1
x2
x3
= ct
=x
=y
=z
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
３次元のベクトルに、時間成分を加えたもの。次元を合わせるために x0 = ct で定義され
ている。
3.2.2 ４元位置ベクトルとローレンツ変換
教科書 p.56 のローレンツ変換の式を４元位置ベクトルを使って表す。
(
v )
x′0 = γ x0 − x1 = γx0 − γβx1
c )
(
v
x′1 = γ x1 − x0 = −γβx0 + γx1
c
(3.8)
(3.9)
これを行列で表すと、
( ′0 ) (
) ( 0)
x
γ
−γβ
x
=
x′1
−γβ
γ
x1
(3.10)
また、最初の式をアインシュタインの規約を使って１行で表すと、
′µ
x =
3
∑
Lµν xν ≡ Lµν xν
(3.11)
ν=0
この時、ローレンツ変換を表す行列 Lµν は次のようになっている
γ
−γβ 0 0
−γβ −γ 0 0
Lµν ≡
0
0
1 0
0
0
0 1
8
(3.12)
Chapter 3. ４元ベクトルと特殊相対論的運動論
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3.2.3 ４元位置ベクトルの不変間隔とミンコフスキー計量
４元位置ベクトルの微小変分を dxµ を使って不変間隔 ds2 を表す。
ds2 = −(dx0 )2 + (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2
(3.13)
不変間隔をもっと簡潔に書くために ミンコフスキー計量 という行列を定義する。
ds2 = ηµν dxµ dxν
ミンコフスキー計量の中身は次のように定義している。
−1 0 0 0
0 1 0 0
ηµν ≡
0 0 1 0
0 0 0 1
(3.14)
(3.15)
上の書き方もアインシュタインの規約を使って書かれているので、きちんと書くと
2
ds =
3 ∑
3
∑
ηµν dxµ dxν
µ=0 ν=0
= η00 dx0 dx0 + η01 dx0 dx1 + η02 dx0 dx2 + η03 dx0 dx3
+ η10 dx1 dx0 + η11 dx1 dx1 + η12 dx1 dx2 + η13 dx1 dx3
+ η20 dx2 dx0 + η21 dx2 dx1 + η22 dx2 dx2 + η23 dx2 dx3
+ η30 dx3 dx0 + η31 dx3 dx1 + η32 dx3 dx2 + η33 dx3 dx3
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
の形をしていてミンコフスキー計量の成分を代入すると、最初に書いた不変間隔の表式
に戻る。（というか、そうなるように定義したので当たり前）
3.2.4 ローレンツ変換とミンコフスキー計量の関係式
不変間隔 が ローレンツ不変 であることを使ってミンコフスキー計量とローレンツ変換
の関係式 を求める。
４元位置ベクトル xµ のローレンツ変換は次の形をしていた。
x′µ = Lµν xν
(3.21)
その微小変分 dxµ も同じ形でローレンツ変換するので、
dx′µ = Lµν dxν
(3.22)
のように書くことができる。
不変間隔がローレンツ不変 ということは、次の式が常に成り立つということ、
ds′2 = ds2
3.2. ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー
(3.23)
9
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なので、左辺と右辺をそれぞれ定義にしたがって計算し、両辺の係数を比較することで、
目的の関係式を求めることができる。
the left side = ds′2 = ηµν dx′µ dx′ν
=
=
the right side = ds2 =
ηµν Lµκ dxκ Lνλ dxλ
ηµν Lµκ Lνλ dxκ dxλ
ηκλ dxκ dxλ
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
両辺の係数を比較すると、次の関係式が得られる
ηµν Lµκ Lνλ = ηκλ
(3.28)
3.2.5 ローレンツ変換と４元ベクトル・スカラー
ここまで ４元位置ベクトルや不変間隔のローレンツ変換に対する変換性 を読んできた。
これを一般化して、以下のように呼ぶことにする。
４元（ローレンツ）ベクトル ローレンツ変換に対して４元位置ベクトルと同
じ変換性を持つ物理量
（４元ローレンツ）スカラー ローレンツ変換に対して不変な物理量
相対論の話をしているとき ローレンツ変換 は暗黙の了解的な部分があるので、（ローレ
ンツ） の部分は省略することが多い。また、スカラーにはバランスを取るために （４元
ローレンツ） と付けてみたが、実際に聞いたことがなく、単にスカラーと呼ぶ。
まとめると、４元ベクトルを V µ と書くことにして、次のように表す。
V ′µ = Lµν V ν
(3.29)
これを行列の形に展開して書くと次のようになっている（教科書 p.66 の（5.22）∼（5.25）
式をまとめて書いたもの）。
0
′0
γ
−γβ 0 0
V
V
V ′1 −γβ
γ
0 0 V 1
′1 =
(3.30)
V 0
0
1 0 V 1
V3
V ′3
0
0
0 1
3.2.6 【例題 5.2】４元ベクトルの内積（教科書 p.67）
課題
４元ベクトル V µ と W µ の内積がスカラーであることを示せ。
注釈: つまり、
V ′µ · W ′µ = V µ · W µ
10
(3.31)
Chapter 3. ４元ベクトルと特殊相対論的運動論
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
となるかどうかを確かめる。
まず、左辺を計算するために V µ と W µ をローレンツ変換する
V ′µ = Lµν V ν
W ′µ = Lµν W ν
(3.32)
(3.33)
上の変換式を内積の定義に代入すればいいのだが ν が ダミー添字 であることに気をつけ
る。具体的には次のように書きなおして、代入に使うとよい。
V ′µ = Lµκ V κ
W
′ν
=
(3.34)
Lνλ W λ
(3.35)
内積の定義は V µ · W µ ≡ ηµν V µ W ν なので、
V ′µ · W ′µ ≡ ηµν V ′µ W ′ν = ηµν (Lµκ V κ )(Lνλ W λ )
=
=
∴
V
′µ
·W
′µ
ηµν Lµκ Lνλ V κ W λ
ηκλ V κ W λ
(3.36)
(3.37)
(3.38)
≡ V κ · Wλ = V µ · Wν
= V µ · Wµ
(3.39)
(3.40)
ということで、内積はスカラーであることが分かった。
最後の行の１つ前で κ → µ, λ → ν という添字の置き換えを行っているが V κ · W λ が表す
内容は変わらないので OK である。
どういうことかというと、アインシュタインの規約を展開して、次の計算をしていると
いうこと。
V · W = ηκλ V W =
κ
λ
κ
λ
3
∑
(
ηκλ V κ W λ
)
κ,λ=0
1
1
= −V 0 W 0 + V W + V 2 W 2 + V 3 W 3
V µ · W ν = ηµν V µ W ν =
3
∑
(ηµν V µ W ν )
µ,ν=0
1
1
= −V 0 W 0 + V W + V 2 W 2 + V 3 W 3
∴
V ·W =V ·W
κ
λ
µ
ν
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
3.2.7 【章末問題 5.1】（教科書 p.79）
課題
ローレンツ変換によって、２つのベクトル V µ , W µ の内積が不変に保たれることを、ロー
レンツ変換の成分を具体的に用いて示せ。
3.2. ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー
11
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
注釈: 上の例題 5.2 の計算の途中に出てくる以下の式に、ローレンツ変換の成分を具体的
に代入して計算する。
ηµν V ′µ W ′ν = ηµν Lµκ Lνλ V κ W λ
(3.46)
(3.47)
ηµν Lµκ Lνλ V κ W λ = η00 L0κ L0λ V κ W λ + η11 L1κ L1λ V κ W λ + η22 L2κ L2λ V κ W λ + η33 L3κ L3λ V κ W λ
(3.48)
= −L0κ L0λ V κ W λ + L1κ L1λ V κ W λ + L2κ L2λ V κ W λ + L3κ L3λ V κ W λ
ローレンツ変換 Lµν の行列の成分は、
0
L0 L01 L02
L10 L11 L12
Lµν =
L20 L21 L22
L30 L31 L32
γ
−γβ 0 0
L03
γ
0 0
L13
−γβ
2 =
0
0
1 0
L3
0
0
0 1
L33
(3.49)
(3.50)
第１項の計算
とりあえず、マイナスを取った部分を計算する。
L20 = 0, L03 = 0 なので、それを含む項はなくなることを考えると、左上の４つの項だけが
残る。
L0κ L0λ V κ W λ =
L00 L00 V 0 W 0 + L00 L01 V 0 W 1 + L00 L02 V 0 W 2 + L00 L03 V 0 W 3
+ L01 L00 V 1 W 0 + L01 L01 V 1 W 1 + L01 L02 V 1 W 2 + L01 L03 V 1 W 3
+ L02 L00 V 2 W 0 + L02 L01 V 2 W 1 + L02 L02 V 2 W 2 + L02 L03 V 2 W 3
+ L03 L00 V 3 W 0 + L03 L01 V 3 W 1 + L03 L02 V 3 W 2 + L03 L03 V 3 W 3
= (γ)(γ)V 0 W 0 + (γ)(−γβ)V 0 W 1
+ (−γβ)(γ)V 1 W 0 + (−γβ)(−γβ)V 1 W 1
= γ 2 V 0 W 0 + −γ 2 βV 0 W 1 + −γ 2 βV 1 W 0 + γ 2 β 2 V 1 W 1
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
忘れないうちに、マイナスを付けておく、
−L0κ L0λ V κ W λ =
12
−γ 2 V 0 W 0 + γ 2 βV 0 W 1 + γ 2 βV 1 W 0 + −γ 2 β 2 V 1 W 1
(3.58)
Chapter 3. ４元ベクトルと特殊相対論的運動論
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第２項
同様に L12 = 0, L13 = 0 なので、それを含む項はなくなることを考えると、４つの項だけ
が残る。
L1κ L1λ V κ W λ =
L10 L10 V 0 W 0 + L10 L11 V 0 W 1 + L10 L12 V 0 W 2 + L10 L13 V 0 W 3
+ L11 L10 V 1 W 0 + L11 L11 V 1 W 1 + L11 L12 V 1 W 2 + L11 L13 V 1 W 3
+ L12 L10 V 2 W 0 + L12 L11 V 2 W 1 + L12 L12 V 2 W 2 + L12 L13 V 2 W 3
+ L13 L10 V 3 W 0 + L13 L11 V 3 W 1 + L13 L12 V 3 W 2 + L13 L13 V 3 W 3
= (−γβ)(−γβ)V 0 W 0 + (−γβ)(γ)V 0 W 1
+ (γ)(−γβ)V 1 W 0 + (γ)(γ)V 1 W 1
= γ 2 β 2 V 0 W 0 + −γ 2 βV 0 W 1 + −γ 2 βV 1 W 0 + γ 2 V 1 W 1
(3.59)
(3.60)
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
第３項
L02 = 0, L21 = 0, L23 = 0 なので、L22 だけの項が残る
L20 L20 V 0 W 0 + L20 L21 V 0 W 1 + L02 L22 V 0 W 2 + L20 L23 V 0 W 3
+ L21 L20 V 1 W 0 + L21 L21 V 1 W 1 + L21 L22 V 1 W 2 + L21 L23 V 1 W 3
+ L22 L20 V 2 W 0 + L22 L21 V 2 W 1 + L22 L22 V 2 W 2 + L22 L23 V 2 W 3
+ L23 L20 V 3 W 0 + L23 L21 V 3 W 1 + L23 L22 V 3 W 2 + L23 L23 V 3 W 3
= V 2W 2
L2κ L2λ V κ W λ =
(3.66)
(3.67)
(3.68)
(3.69)
(3.70)
第４項
第３項と同様に L30 = 0, L31 = 0, L32 = 0 なので、L33 だけの項が残る
L3κ L3λ V κ W λ =
L30 L30 V 0 W 0 + L30 L31 V 0 W 1 + L03 L32 V 0 W 2 + L30 L33 V 0 W 3
+ L31 L30 V 1 W 0 + L31 L31 V 1 W 1 + L31 L32 V 1 W 2 + L31 L33 V 1 W 3
+ L32 L30 V 2 W 0 + L32 L31 V 2 W 1 + L32 L32 V 2 W 2 + L32 L33 V 2 W 3
+ L33 L30 V 3 W 0 + L33 L31 V 3 W 1 + L33 L32 V 3 W 2 + L33 L33 V 3 W 3
= V 3W 3
3.2. ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー
(3.71)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
(3.75)
13
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全部足し合わせる
−L0κ L0λ V κ W λ =
−γ 2 V 0 W 0 + γ 2 βV 0 W 1 + γ 2 βV 1 W 0 + −γ 2 β 2 V 1 W 1
(3.76)
L1κ L1λ V κ W λ =
γ 2 β 2 V 0 W 0 + −γ 2 βV 0 W 1 + −γ 2 βV 1 W 0 + γ 2 V 1 W 1
(3.77)
L2κ L2λ V κ W λ =
V 2W 2
(3.78)
L3κ L3λ V κ W λ
∴
ηµν V ′µ W ′ν
3
3
= V W
= (−γ 2 + γ 2 β 2 )V 0 W 0 + (−γ 2 β 2 + γ 2 )V 1 W 1 + V 2 W 2 + V 3 W 3
= −γ 2 (1 − β 2 )V 0 W 0 + γ 2 (1 − β 2 )V 1 W 1 + V 2 W 2 + V 3 W 3
= −V 0 W 0 + V 1 W 1 + V 2 W 2 + V 3 W 3
= ηµν V µ W ν
= ηµν V µ W ν
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
(3.83)
(3.84)
ということで、ローレンツ変換の成分を使った具体的な計算で、内積がローレンツ不変
であることを確認できた。（労力に見合う計算だったかはともかく）
3.2.8 共変ベクトルの導入
共変ベクトル を Vµ のように 下付き添え字のベクトル で書くことにして、これまで使っ
てきた 上付き添字のベクトル と ミンコフスキー計量 を使って、次のように定義する。
Vµ ≡ ηµν V ν
(3.85)
これからは、添字の上下で、反変ベクトルと共変ベクトルを区別して書くことにする。
反変ベクトル 上付き添字
共変ベクトル 下付き添字
上下の添字で区別するのは慣習なので 習うより慣れろ としか言えない。反変／共変 には
物理学的・数学的な意味がもちろんあるのだけど、現段階では「そいういう区別がある
のかぁ」という認識で特に問題ない。
3.2.9 反変ベクトルと共変ベクトルの関係
共変ベクトルの定義を行列で表してみる
V0
−1 0
V 1 0 1
≡
V 2 0 0
V3
0 0
0
0
1
0
0
−V 0
0
V
1 1
0
V 2 = V 2
0 V V
V3
V3
1
(3.86)
よって、共変ベクトルは反変ベクトルの時間成分をマイナスにしたもの。
また、前の段落ではミンコフスキー計量の行列 を使って 反変ベクトルを共変ベクトルに
変換 したが、ミンコフスキー計量の逆行列 を使って 共変ベクトルを反変ベクトルに変換
することもできる。
Vµ = ηµν V ν
V µ = η µν Vν
14
(3.87)
(3.88)
Chapter 3. ４元ベクトルと特殊相対論的運動論
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
上付きの η µν は、下付きの ηµν の逆行列を表していて、以下の関係がある（＝逆行列の
定義）
η µν ηνλ = δλµ
(3.89)
これの成分を計算すると、実は逆行列は、元の行列と同じ形になっている。
η µν = ηµν
(3.90)
3.2.10 共変ベクトルを使った内積の定義
共変ベクトルを使うと、内積の定義をより簡潔に書くことができる
V µ · W µ ≡ ηµν V µ W ν
⇒ V µ Wµ
(3.91)
(3.92)
なので、これからは内積を V µ Wµ で表すことにする。
ちなみに V µ Wµ = Vµ W µ なので、反変ベクトル、共変ベクトルをどの順番で書いても問
題ないが、内積は反変ベクトルと共変ベクトルの組である ことは覚えておく。
3.2.11 共変ベクトルのローレンツ変換に対する変換性
ここまでで、反変ベクトルの変換性は習ったので、それを元に共変ベクトルの変換性を
確認してみる。
反変ベクトルの変換性
V ′µ = Lµν V ν
(3.93)
共変ベクトルの定義に、上の変換式を代入する
Vµ′ ≡ ηµν V ′ν
= ηµν Lνλ V λ
(3.94)
(3.95)
ここで V λ を共変ベクトルに変換する
Vµ′ = ηµν Lνλ η λκ Vλ
(3.96)
この係数部分 ηµν Lνλ η λκ が、共変ベクトルのローレンツ変換に対する変換性を表す行列で
ある。実はこの部分は、ローレンツ変換 Lµν の逆行列になっているので、上にバーを付け
て Lµν で表すことにする。
Lκµ = ηµν Lνλ η λκ
(3.97)
上の式の右辺に２回ずつでてくる ν, λ はダミー添字なので、左辺では消えている。
また、ここで注目すべきは元の ローレンツ変換の行列を２つのミンコフスキー計量で挟
むと逆行列が得られる こと。
3.2. ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー
15
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
3.2.12 ローレンツ変換の逆変換
共変ベクトルの変換性は、ローレンツ変換の逆行列で定義できることが分かった。では
ローレンツ変換の逆行列（＝逆変換） とはどいうことなのか。
ローレンツ変換の逆変換はブーストの方向（慣性系が動く方向）を反対向きにすること
に相当する。
（これまで考えていた）ローレンツ変換 x 方向に速度 v でブースト
その逆変換 x 方向に速度-v でブースト
3.2.13 章末問題 5.2（教科書 p.79）
課題
（１） ローレンツ変換を表す行列は (Lµν ) である。これを用いて、ローレン
ツ変換の逆変換を与える行列を表わせ。
（２） ローレンツ変換が x1 方向のブーストで与えられるとき、逆変換を具
体的に行列で書き表わせ。
3.2.14 反変ベクトルと共変ベクトルのまとめ
ローレンツ変換 Lµν に対する反変ベクトル、共変ベクトルはそれぞれ以下のように定義
する
ν
V ′µ = Lmu
ν V
Vµ′ =
Lµν Vν
(3.98)
(3.99)
反変ベクトルと共変ベクトルは計量でお互いに変換できる
Vµ = ηµν V ν
V µ = η µν Vν
ηµν = η µν
(3.100)
(3.101)
(3.102)
ローレンツ変換 Lνµ とローレンツ逆変換 :math:‘overline{L^{mu}_{nu}}‘は、計量を使って
変換できる。
Lkappa
= ηµν Lνλ η λκ
λ
(3.103)
3.2.15 【例 5.2】共変ベクトルの例（教科書 p.68）
反変ベクトルで微分した微分記号 は 共変ベクトル である。ということを、計算して確か
めておく。
16
Chapter 3. ４元ベクトルと特殊相対論的運動論
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
ある関数 u を x′µ で微分する。
微分のルールを使うと以下のようになる。
∂u
∂xν ∂u
=
∂x′µ
∂x′µ ∂xν
(3.104)
右辺の係数部分が変換性を表す行列である。これが Lµν なのか Lµν なのかを確かめれば
よい。
共変ベクトルの変換性とその微小変分の変換性を考える
xµ = Lµν x′µ
(3.105)
dxµ = Lµν dx′µ
(3.106)
割り算（のようなこと）をして、
⇒
dxµ
= Lµν
dx′µ
∂xµ
= Lµν
′µ
∂x
(3.107)
(3.108)
ということで、係数は Lµν 、つまり 共変ベクトルの変換性と同じ なことが分かった。
注釈: 数学の先達に聞いたら 微分記号は共変 だが、 微分して得られた量は元と同じ変
換性 らしい。つまり、この場合、関数 u がスカラーなら ∂u/∂x′µ はスカラーになるとい
うこと。
3.2.16 テンソルとスカラー／ベクトル
テンソル はベクトルやスカラーを一般化した概念。添字の数を テンソルのランク（階）
と呼ぶ。
スカラー ランク０のテンソル
共変ベクトル ランク１の共変テンソル
反変ベクトル ランク１の反変テンソル
3.2.17 特殊相対性理論とローレンツ共変
特殊相対論では、運動方程式をローレンツ変換に対して同じランクのテンソルで書かな
いといけない。これを ローレンツ共変 と呼ぶ。
つまり、ローレンツ共変であれば、ローレンツ変換をしても、方程式が同じ形になる。つ
まりつまり、ローレンツ共変＝特殊相対性原理
3.2. ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー
17
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
3.2.18 【例 5.3】４元速度（教科書 p.70）
４次元座標の他の４元ベクトルを考えてよう、ということで３次元の速度を拡張して４
元速度を定義する。
まず、３次元の速度は、距離を時間で割ればいいので、以下のようになる。
vi =
dxi
dt
(3.109)
これを、単純に４次元に拡張、つまり第０成分も含めて書く。つまり、 i → µ にする。
dxµ
v =
dt
µ
(3.110)
(3.111)
ただし、ローレンツ変換によって分母の dt （＝言ってみれば t の関数なので）も変換さ
れてしまうため、うまくいかない（共変性がなくなる）。計算結果は 第 4.4 節 【例 4.3】
（教科書 p.58）になる。
そこで ローレンツ不変な時間：固有時間 τ を導入する。
uµ =
18
dxµ
dτ
(3.112)
Chapter 3. ４元ベクトルと特殊相対論的運動論
Chapter 4
テンソル解析
4.1 一般座標変換
4.1.1 一般座標変換とローレンツ変換
一般座標変換を数式で表すと以下のようになる。
xµ −→ x̃µ = f µ (x0 , x1 , x2 , x3 )
= x̃µ (x0 , x1 , x2 , x3 )
= x̃µ (xν )
(4.1)
(4.2)
(4.3)
これまで通り xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) の４成分を表していて、一般座標変換した後の座標も
同じように x̃µ = (x̃0 , x̃1 , x̃2 , x̃3 ) の４成分ある。変換後の座標の成分は、元の座標の関数
になっているところが、ローレンツ変換と大きく違う。
x0
x1
x2
x3
−→ x̃0
−→ x̃1
−→ x̃2
−→ x̃3
= f 0 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = x̃0 (x0 , x1 , x2 , x3 )
= f 1 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = x̃1 (x0 , x1 , x2 , x3 )
= f 2 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = x̃2 (x0 , x1 , x2 , x3 )
= f 3 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = x̃3 (x0 , x1 , x2 , x3 )
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
分かりやすくなるかと思って各成分を書いてみたが、思いの外見づらくなってしまった。
真ん中の項では「 (x0 , x1 , x2 , x3 ) の関数（function）ですよ」ということを明示していて、
１番右側の項で「これからは f µ を x̃µ と書くことにします」という気持ち。
ここで、ローレンツ変換は以下の形をしていたが、
xµ −→ x′µ = Lµν xν
(4.9)
同じように各成分を書いてみると、以下のように書ける。
x0
x1
x2
x3
−→ x′0
−→ x′1
−→ x′2
−→ x′3
= f 0 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = L0 (x0 , x1 , x2 , x3 )
= f 1 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = L1 (x0 , x1 , x2 , x3 )
= f 2 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = L2 (x0 , x1 , x2 , x3 )
= f 3 (x0 , x1 , x2 , x3 ) = L3 (x0 , x1 , x2 , x3 )
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
19
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
まぁ、ローレンツ変換の場合、各成分の形は決まっているので、こういう風に抽象化し
て書くよりも、具体的に書いた方が分かりやすいと思う。
ただ、遠目に眺めると、両者の形が似ているのが分かる。
「 ′ （ダッシュ／プライム）」が
「˜（チルダ）」になって、「 L 」が「 x̃ 」になってるだけ。なので、以降もローレンツ変
換でやったことを思い出しながら読み進めればよい。
ローレンツ変換との違いは、一般座標変換の各成分が元の時空の関数になっている点な
ので、次にやる微小変分を求める際の微分で注意が必要。
4.1.2 微小変分
一般座標変換した時の微小変分がどうなるかを求める。前節で比較したことと踏まえて、
ローレンツ変換の時と同じように、以下のように記述できたらいいのだが、
dx −→ dx′ = Ldx
dx −→ dx̃ = x̃dx
(4.15)
(4.16)
(4.17)
ここで、x̃ が (x0 , x1 , x2 , x3 ) の関数であることが効いてくる。つまり、上の計算はダメ。
それをに気をつけると 全微分のルール に沿って微分を計算することになる。ちなみに、数
式中の 微分（differential）の d はローマン体で書くことが多い（決まりなのかな？LaTeX
だとすごくめんどくさい・
・
・）。
全微分のルールにしたがって書き下すと次のようになる。
(
)
3
µ
µ
µ
µ
µ
∑
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
dx0 +
dx1 +
dx2 +
dx3
=
dxν
dx̃µ =
ν
∂x0
∂x1
∂x2
∂x3
∂x
ν=0
(
)
3
µ
µ
µ
µ
µ
∑
∂ x̃
∂
x̃
∂
x̃
∂
x̃
∂
x̃
=
dx0 + 1 dx1 + 2 dx2 + 3 dx3
=
dxν
ν
∂x0
∂x
∂x
∂x
∂x
ν=0
(4.18)
(4.19)
これを アインシュタインの規約 を使って書くと、次のようになる。
dxµ −→ dx̃µ =
∂ x̃µ ν
dx
∂xν
(4.20)
これも、微小変化分に対するローレンツ変換と形は似ている。
dxµ −→ dx′µ = Lµν dxν
(4.21)
4.1.3 微分演算子
ついでに、微分演算子の変換も書いておく。
∂
∂
∂xν ∂
−→
=
∂xµ
∂ x̃µ
∂ x̃µ ∂xν
20
(4.22)
Chapter 4. テンソル解析
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
4.2 スカラー・ベクトル・テンソル
教科書 p.118 の１段落目に以下のように書いてある
すべての物理量が、一般座標変換に対して同じ変換性をもっているわけでは
ない。実際には、物理量ごとに, スカラー量やベクトル量などに分類 するこ
とができる。各々、 スカラーやベクトルという一般座標変換に対する変換性
を持っている量である。
３次元空間の場合は 座標回転 、特殊相対論の場合は ローレンツ変換 に対する 変換性 で
スカラー・ベクトルを定義したように、一般相対論の場合は 一般座標変換 に対する変換
性で定義する。
テンソルはまだ良くわからないが、ぱっと思いつく物理量をベクトルとスカラーに分類
してみた。
ベクトル
スカラー
位置、速度、力、運動量、など
距離、エネルギー、質量、など
もしかしたら、間違っているかもしれない
4.2.1 【例 9.2】曲線の接ベクトル（教科書 p.118）
xµ (u) は曲線を表す。u は適当なパラメータ（＝変数）。なんでもよいのだが、時間だと
思うと曲線（＝軌跡）を描くイメージがしやすい。
ちょうど y = f (x) の関数が描く曲線の、f → xµ , x → u と記号を変えただけ。
この曲線の接線方向のベクトルを 接ベクトル と呼び、その名前の通り （反変）ベクトル
である。
4.3 （共変）微分
節タイトルを勝手に補ってみた。この節は通常の微分が適用できない ベクトル場の微分
をするため、共変微分 という新しい微分を定義する話
4.3.1 微分記号の表し方
第 5.2 節 のローレンツ変換のところ（教科書 p.68）で、スカラー場の微分は共変ベクト
ルであることを示した。その微分記号を以下のように簡略化して書くことにする。
∂ϕ
≡ ∂µ ϕ ≡ ϕ,µ
∂xµ
(4.23)
簡略化した微分記号の添字の位置に注目すると、微分記号は共変ベクトル（＝下付き添
字）であることが分かるようになってる。ただし、微分をするときには反変ベクトル（＝
上付き添字）ですることは覚えておく。
4.2. スカラー・ベクトル・テンソル
21
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
4.3.2 ベクトル場
ベクトル場 とは、天気図で例えると、各地点での風向きを表した図のことである。
ちなみに スカラー場 は、各地点での気温とか気圧とかを表した図である。各地点のスカ
ラー値を結ぶと等高線が引ける（気圧配置とか、登山に使う地図とか）
今度は ベクトル場 V µ (x) の微分を計算する。上で定義した簡略記号を早速使ってみると、
以下のように書くことができる。
∂V µ
≡ ∂ν V µ
ν
∂x
(4.24)
一般座標変換した後の ∂˜ν V˜µ の変換性を調べてみる。必要な要素の一般座標変換を先に
計算しておく。
∂ x̃µ λ
V
∂xλ
∂xκ
∂ν → ∂˜ν =
∂κ
∂ x̃ν
V µ → Ṽ µ =
(4.25)
(4.26)
(4.27)
微分演算子の簡略を積極的に使ったので、教科書（p.120）の計算式と少し形が違うが、
やってることは同じ。
( µ )
∂xκ
∂ x̃ λ
µ
˜
˜
∂ν V =
∂κ
V
(4.28)
ν
∂ x̃
∂xλ
( µ)
)
∂xκ
∂ x̃
∂xκ ∂ x̃µ (
λ
(4.29)
=
∂
V
+
∂κ V λ
κ
ν
λ
ν
λ
∂ x̃
∂x
∂ x̃ ∂x
( µ)
)
∂xκ ∂
∂ x̃
∂xκ ∂ x̃µ (
λ
λ
=
V
+
∂
V
(4.30)
κ
∂ x̃ν ∂xκ ∂xλ
∂ x̃ν ∂xλ
∂xκ ∂ x̃µ
∂xκ ∂ 2 x̃µ
λ
=
∂
V
+
Vλ
(4.31)
κ
ν
λ
ν
κ
λ
∂ x̃ ∂x
∂ x̃ ∂x ∂x
• １行目に、上で計算しておいた要素を代入
• １行目から２行目では、積の微分をしている
• ２行目から３行目で、第１項の微分記号を展開
• ３行目から４行目で、第１項の微分係数をまとめた後、第１項と第２項を入れ替え
教科書（p.121）の２行目あたりに「余分なおつり」と書いてあるように、第２項が存在
するため ベクトル場の微分はテンソルにならない
4.3.3 新しい微分の方法：共変微分
ベクトル場の微分はテンソルにならないが、やっぱりテンソルになってくれた方が嬉し
い（物理法則の共変性）。ということで、ベクトル場の微分がテンソルになるように新し
い微分方法を編み出した。それが 共変微分 と呼ばれるもの。
22
Chapter 4. テンソル解析
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
まず、共変微分の定義を書いておく。
∇ν V µ ≡ ∂ν V µ + Γµλν V λ
κ
µ
˜ ν Ṽ µ = ∂ x̃ ∂x ∇κ V λ
∇ν V µ → ∇
∂xλ ∂ x̃ν
(4.32)
(4.33)
4.3.4 接続の一般座標変換に対する変換性
Γµνλ → Γ̃µνλ =
∂ x̃µ ∂xτ ∂xη κ
∂ x̃µ ∂ 2 xκ
Γ
+
∂xκ ∂ x̃ν ∂ x̃λ λν ∂xκ ∂ x̃ν ∂ x̃λ
(4.34)
第２項におつりがあるので、テンソルではない。
もともと テンソルではなかったベクトル場の微分 を 共変微分を使って（むりやり）テン
ソルにした 。そのしわ寄せが 接続 に押し込まれている、と考えたらそりゃそうか。
本当にこの形になるのかは章末問題 9.1 をやれば分かる。教科書 p.196 に回答が載ってる。
4.3.5 共変微分のまとめ
スカラーの共変微分
∇µ ϕ = ∂µ ϕ
(4.35)
反変ベクトルと共変ベクトルの共変微分
∇ν V µ = ∂ν V µ + Γµλν V λ
(4.36)
∇ν Vµ = ∂ν Vµ −
(4.37)
Γλµν Vλ
(4.38)
ランク２のテンソルの共変微分
∇η T µν = ∂η T µν + Γµκη T κν + Γνκη T µκ
(4.39)
∇η Tµν = ∂η Tµν − Γκµη Tκν − Γκνη Tµκ
(4.40)
∇η Tνµ
=
∂η Tνµ
+
Γµκη Tνκ
−
Γκνη Tκµ
(4.41)
ランク３のテンソルの共変微分
∇η Tλµν = ∂η T µν + Γµκη T κν + Γνκη T µκ − Γκλη Tκµν
4.3. （共変）微分
(4.42)
23
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
4.3.6 共変微分のライプニッツ則
ライプニッツ則 とは 積の微分の規則 のこと。積の共変微分も、高校数学でならった通り
の規則でできますよ、ということ。
∇λ (Vµ W ν ) = (∇λ Vµ ) W ν + Vµ (∇λ W ν )
(4.43)
共変微分という新しい微分法を考えたのに、従来の規則をそのまま適用できなんてよく
出来てる。
4.4 曲率
空間の曲がり方は、ベクトルを別の経路で平行移動させたときの 差 として定量化できる。
その差を リーマン曲率テンソル と呼ぶ。
空間が平坦な場合、リーマン曲率テンソル＝０になる。
（正の場合は山に、負の場合は谷
になってるのかな？）
4.4.1 リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルは 空間（時空）の曲がり具合を表す指標 となる値である。これは
ベクトルを平行移動させたときに、空間が曲がっていると移動の順番によって差が生じ
るよ、ということ。どうしてこで生じるかのイメージは 杉山本 p.123 図 9.2 を見ながら
考えるとよい。空間が平坦であれば、差は生じないので、リーマン曲率テンソルは常に
０である。
ランク４のテンソルで、上付き添字が１つ、下付き添字が３つである。３階共変・１階
反変テンソル、というらしい。クリストッフェル記号 を使って以下のように表すことが
できる。
µ
Rνλκ
= ∂λ Γµνκ − ∂κ Γµνλ + Γµηλ Γηνκ − Γµηκ Γηνλ
(4.44)
４階のテンソル。添字の位置を見ると、１階の反変成分と３階の共変成分を持っている。
µ, ν, λ, κ = ０∼３（＝４成分）なので、単純に考えると、リーマン曲率テンソルの成分は
4 × 4 × 4 × 4 = 246 個ある。ただし、以下の対称性とかを考慮することで 独立な成分は
20 個 まで減少する。（対称性については 第 9.5 節 を参照）
4.4.2 平行移動の経路１（ x + dx + δx ）
まず、 x → x + dx への平行移動
µ
V (x + dx) = V µ (x) − Γµνλ (x)V ν (x)dxλ
(4.45)
次に x + dx → x + dx + δx への平行移動。上の式を見ながら、以下の置換えを考えれば
よい
x → x + dx
dx → δx
24
(4.46)
(4.47)
Chapter 4. テンソル解析
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
µ
V ((x + dx) + δx) = V µ (x + dx) − Γµνλ (x + dx)V ν (x + dx)δxλ
(4.48)
と思ったんだけど、教科書（p.124）の式（9.23）を見ると、右辺の V が V なってるのは
なんでだっけ？
4.4.3 テイラー展開
YouTube にて解説動画を発見（https://www.youtube.com/watch?v=3AbiJ8cMVtU）
ある関数を べき級数 で近似する方法。つまり、（１乗の項）＋（２乗の項）＋（３乗の
項）＋・
・
・、という風に足し算で近似していく方法。ａ＝０の時を、特別に マクローリ
ン展開 と呼ぶ。
f (x) =
∞
∑
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n
(4.49)
Γµνλ (x + dx) をテイラー展開する場合、a = dx と置いて、上のテイラー展開の式に当て
はめる。
f (x) =
∞
∑
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n
(4.50)
4.4.4 平行移動の経路２（ x + dx + δx ）
4.5 メトリック (計量)
メトリック (計量) は 距離を決める基本要素 のこと。つまり 距離や長さを定義するのに
必要なテンソル ってこと。
数学的に書くと ２点間の距離 や ベクトルの長さ を定義するために導入する ランク２ の
対称共変テンソル 。
gµν (x) と表記する。(x) と付けてあるのは、計量が時空（の点）の関数であることを意味
していて、つまり場所場所で異なった値になってるということ。つまり、平坦ではなく、
ぐにゃぐにゃしている面を想像すればよい。
計算の際は、毎回書くと煩雑なので省略して書かれることが多く、気がついた時に思い
出す程度で良い。
4.5.1 ランク２の対称共変テンソル
この言葉から分かること：
1. ランク２ なので、添字は µ, ν の２つ
2. 共変 なので添字は下につける。
3. 対称テンソル なので gµν = gνµ
4.5. メトリック (計量)
25
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
4. µ = 0 − 3, ν = 0 − 3 なので、成分の数としては 4 × 4 ＝ 16 個だが、対称テンソル
なので、変数 (パラメータ) としては 10 個
4.5.2 メトリックと不変距離
xµ と xµ + dxµ の距離 ds
ds2 = gµν dxµ dxν
(4.51)
V 2 = gµν V µ V ν
(4.52)
4.5.3 反変ベクトルの長さ
反変ベクトル V µ の長さ V
4.5.4 反変ベクトルの内積
２つの反変ベクトル V µ , W ν の内積 V · W (教科書に特に記号がないので、ベクトルの内
積の書き方で書いておく)。内積の値が０であれば、２つのベクトルは直交している。
V · W = gµν V µ W ν
(4.53)
4.5.5 反変ベクトルと共変ベクトルへの変換
添字を、上付きから下付きに変換する
V µ → Vµ = gµν V ν
(4.54)
添字を、下付きから上付きに変換する
Vµ → V µ = g µν Vν
(4.55)
4.5.6 計量 (＝共変テンソル) とその反変テンソルの関係
計量 gµν は 共変テンソル (下付き) だった。その 反変テンソル (上付き) g µν とは、逆行列
みたいな関係がある
gµν g νλ = δµλ
26
(4.56)
Chapter 4. テンソル解析
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
4.5.7 メトリックと接続の関係式（クリストッフェル記号）
平行移動してもベクトルの長さは変わらないことから、メトリックを使って接続を表す
ことができる。上に書いたように、ベクトルの長さにはメトリックが関係していて、前
節で書いたように接続には平行移動が関係しているため。
結論を先に書いておくと、
1
Γµνλ = g µκ (∂λ gκν + ∂ν gκλ − ∂κ gλν )
2
(4.57)
上記のようにメトリックから導かれる接続のことを クリストッフェル記号 と呼ぶ。具体
的なメトリックが分かれば、接続はメトリックの１階微分から求めることができる。
4.5.8 上の関係式の計算
警告: ちょっと長くなるけれど、頑張ればできるはず。
前節で、ベクトル場の平行移動は V で書くことにしたことを思い出しながら、平行移動
の前後でベクトルの長さが変わらないことを数式で表す。
xµ → xµ + dxµ への平行移動であることが分かるように書いておく。
|V (x)|2 = |V (x + dx)|2
(4.58)
µ
ν
gµν (x)V µ (x)V ν (x) = gµν (x + dx)V (x + dx)V (x + dx)
(4.59)
以下の関係式を使って、右辺を計算する。４番目は、教科書に明記されてないけれど、使っ
てるはず。
1. gµν (x + dx) = gµν (x) + ∂λ gµν (x)dxλ
µ
2. V (x + dx) = V µ (x) − Γµκλ V κ (x)dxλ
ν
ν
3. V (x + dx) = V ν (x) − Γκλ
V κ (x)dxλ
4. (dxλ )2 以上は、微小量なので無視する
まず、２と３の掛け算から計算する。(x) は省略してる。
µ
ν
V (x + dx)V (x + dx)
)
)(
(
= V µ − Γµκλ V κ dxλ V ν − Γνκλ V κ dxλ
= V µV ν
(
)
− V µ Γνκλ V κ dxλ
)
(
− V ν Γµκλ V κ dxλ
(4.60)
+ Γµκλ V κ dxλ Γνκλ V κ dxλ
∼ V µ V ν − (V µ Γνκλ ) V κ dxλ − (V ν Γµκλ ) V κ dxλ
= V µ V ν − (V µ Γνκλ + V ν Γµκλ ) V κ dxλ
µ ν
κ
λ
(4.65)
= V V − (イ) V dx
4.5. メトリック (計量)
(4.61)
(4.62)
(4.63)
(4.64)
+ ignored
(4.66)
(4.67)
(4.68)
27
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
次の計算をするために括弧の中を適当に (イ) と置き換えた。
１との掛け算をする。ここも (x) は省略した。
µ
ν
gµν (x + dx)V (x + dx)V (x + dx)
)
(
= gµν (x + dx) V µ V ν − (イ)V κ dxλ
)
(
)(
= gµν + ∂λ gµν dxλ V µ V ν − (イ)V κ dxλ
= gµν V µ V ν
(4.69)
(4.70)
(4.71)
(4.72)
− gµν (イ)V κ dxλ
(4.73)
+ ∂λ gµν dxλ V µ V ν
(4.74)
− ∂λ gµν dx (イ)V dx
λ
κ
λ
(4.75)
∼ gµν V µ V ν − gµν (イ)V κ dxλ + ∂λ gµν dxλ V µ V ν + ignored
(4.76)
= gµν V µ V ν − gµν (イ)V κ dxλ + ∂λ gµν dxλ V µ V ν
(4.77)
さて、ここで最初の ベクトルの長さは平行移動しても変わらない という条件に戻って、
左辺＝右辺、の形を整理していく。すると、条件式の新しい形を得ることができる。
µ
ν
gµν V µ V ν = gµν (x + dx)V (x + dx)V (x + dx)
= (上でやってきた右辺の計算)
(4.78)
(4.79)
= gµν V µ V ν − gµν (イ)V κ dxλ + ∂λ gµν dxλ V µ V ν
⇒ 0 = −gµν (イ)V dx + ∂λ gµν dx V V
κ
λ
λ
µ
ν
(4.80)
(4.81)
(イ) を代入して、 V µ V ν dxλ の形になるように整理する。
−gµν (イ)V κ dxλ + ∂λ gµν dxλ V µ V ν = 0
−gµν (V µ Γνκλ + V ν Γµκλ ) V κ dxλ
−gµν V µ Γνκλ V κ dxλ − gµν V ν Γµκλ V κ dxλ
−gµν Γνκλ V µ V κ dxλ − gµν Γµκλ V ν V κ dxλ
λ
µ
ν
(4.82)
+ ∂λ gµν dx V V = 0
(4.83)
+ ∂λ gµν dxλ V µ V ν = 0
(4.84)
λ
(4.85)
µ
ν
+ ∂λ gµν dx V V = 0
ここで、第１項では κ ↔ ν の入れ替え、第２項では κ ↔ µ の入れ替え、を行う。
−gµν Γνκλ V µ V κ dxλ − gµν Γµκλ V ν V κ dxλ + ∂λ gµν dxλ V µ V ν = 0
(4.86)
−gµκ Γκνλ V µ V ν dxλ
=0
(4.87)
=0
(4.88)
=0
(4.89)
κ
− gκν Γµλ
V ν V µ dxλ + ∂λ gµν dxλ V µ V ν
(
)
−gµκ Γκνλ − gκν Γκµλ + ∂λ gµν dxλ V µ V ν
∴ ∂λ gµν − gµκ Γκνλ − gκν Γκµλ
こうして、やっと教科書 p.125 の式 (9.29) が得られた。
注釈: ちなみに、ここまでで、目的の３分の２くらい。あともう少し。
接続 Γ をメトリック gµν を使って表したいので、上で求めた式を以下のように工夫して
組み合わせる。
(この式) + (ν ↔ λ した式) - (µ ↔ λ した式) の計算をする。
∂λ gµν − gµκ Γκνλ − gκν Γκµλ = 0
28
∂ν gµλ − gµκ Γκλν − gκλ Γκµν = 0
(ν ↔ λ)
+(
(µ ↔ λ)
− ( ∂µ gλν −
gλκ Γκνµ
−
gκν Γκλµ
=0
(4.90)
)
(4.91)
)
(4.92)
Chapter 4. テンソル解析
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
各式の第１項はそのまま計算するしかない。第２項と第３項は、同じ添字のメトリック
で括るようにする。（メトリックは対称テンソルなので gκλ = gλκ ）
このとき、接続 Γ も ν ↔ λ に対して対称（ Γµνλ = Γµλν ）であることを利用する。
∂λ gµν + ∂ν gµλ − ∂µ gλν
∂λ gµν + ∂ν gµλ − ∂µ gλν
− gµκ Γκνλ − gµκ Γκλν
− gκν Γκµλ + gκν Γκλµ
(4.93)
(4.94)
− gκλ Γκµν + gλκ Γκνµ = 0
(4.95)
−
(4.96)
−
−
∂λ gµν + ∂ν gµλ − ∂µ gλν
−
−
−
∂λ gµν + ∂ν gµλ − ∂µ gλν
−
gµκ (Γκνλ + Γκλν )
)
(
gκν Γκµλ − Γκλµ
)
(
gκλ Γκµν − Γκνµ
gµκ (Γκνλ + Γκνλ )
)
(
gκν Γκµλ − Γκµλ
(
)
gκλ Γκµν − Γκµν
2gµκ Γκνλ = 0
(4.97)
=0
(4.98)
(4.99)
(4.100)
=0
(4.101)
(4.102)
いよいよ、最後、 Γ = の形に整理する。
左辺のメトリック gµκ を消去するには、その逆テンソル g µκ を、両辺の左から掛ける（行
列の割り算みたいなもの）。
最後は、教科書に合わせるために µ ↔ κ を入れ替えている。
∂λ gµν + ∂ν gµλ − ∂µ gλν − 2gµκ Γκνλ = 0
2gµκ Γκνλ = ∂λ gµν + ∂ν gµλ − ∂µ gλν
1
Γκνλ = g µκ (∂λ gµν + ∂ν gµλ − ∂µ gλν )
2
1
(µ ↔ κ)
Γµνλ = g µκ (∂λ gκν + ∂ν gκλ − ∂κ gλν )
2
(4.103)
(4.104)
(4.105)
(4.106)
これで、教科書 p.126 の式 (9.33) が計算できた。
4.5.9 メトリックとリーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルの定義式（教科書 p.124 式（9.26）参照）を思い出してみる。
µ
Rνλκ
= ∂λ Γµνκ − ∂κ Γµνλ + Γµηλ Γηνκ − Γµηκ Γηνλ
(4.107)
クリストッフェル記号の１階微分が含まれているので、メトリックの２階微分が出てく
ることが分かる。
つまり
メトリック →（微分）→ 接続（クリストッフェル記号）→（微分）→ リーマン曲率テン
ソル
4.5. メトリック (計量)
29
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
4.5.10 リーマン曲率テンソルの式からの対称性
κ ↔ λ を入れ替えた成分は 符号が反対 になってる。
µ
µ
Rνλκ
= −Rνκλ
(4.108)
クリストッフェル記号の対称性からくる対称性
ぱっと見ると違いが分からないが、上の添字 µ はそのままで、下の添字の ν, λ, κ が順番
に入れ替わっている（たしか、これを巡回置換と言ったような）。これらを足し合わせる
と０なる。
µ
µ
µ
+ Rκνλ
+ Rλκν
=0
Rνλκ
(4.109)
４階共変テンソル
反変成分（上付き添字１個）を、計量テンソルをつかって下に降ろして、４階共変テン
ソルを計算してみる。
τ
Rµνλκ = gµτ Rνλκ
1
= (∂ν ∂λ gµκ + ∂µ ∂κ gνλ − ∂µ ∂λ gνκ − ∂ν ∂κ gµλ ) + gητ (Γηµκ Γτνλ − Γηµλ Γτνκ )
2
(4.110)
(4.111)
上の式から、以下のような関係式が得られるらしい。
Rµνλκ + Rµκλν
Rµνλκ
Rµνλκ
Rµνλκ
+ Rµλκν
= Rλκµν
= −Rνµλκ
= −Rµνκλ
=0
(4.112)
(4.113)
(4.114)
(4.115)
上の３つの式に関しては、下添字の移動に注目して眺める。左辺の添字の中身を何回移
動させれば、右辺の添字と同じ順番になるかを考える。移動回数が偶数回であればプラ
ス、奇数回であればマイナスになる。
計算はめんどくさそうなので、後回しにする（もしくはやらない）けど、関係式として
大事なのはそこ。
4.5.11 リッチ・テンソル
リッチ・テンソルはランク２のリーマン曲率テンソル。
（なので、リッチ・テンソルの R
は リーマン（Riemann）の R だと思われる）
k
Rµν ≡ Rµκν
= g κη Rηµκν
(4.116)
上の式は、たぶん、右から読むと、きちんと読める。
まず、リーマン曲率テンソル Rηµκν の 縮約をとる という計算式が、右辺のように計量テ
ンソル g κη を掛けるという形になっている。なぜ、この形になのかは、いま読んだとこ
ろでは理解できてないので置いておく。とりあえずこうなる！
30
Chapter 4. テンソル解析
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
計量テンソルは 添字の文字を置き換えて、更に上下を入れ替える 性質を持っているので、
Rηµκν に付いている η が κ に置き換わったのち（ Rηµκν → Rκµκν ）、その κ が上に移動し
κ
てる（ Rκµκν → Rµκν
）。このとき、計量 g κη は役目を終えたので消えている。
κ
さらに Rµκν
の添字をみると κ が上下に存在するので、（これを毎回書くのがめんどくさ
いから） Rµν と定義してリッチ・テンソル と呼ぶことにしまーす、と言っている。
4.6 測地線方程式
測地線 は ２点を結ぶ最短距離となる経路 のこと。
測地線方程式 は、重力場が存在する場合に、質点や光が重力の影響を受けてどのような
経路を取るのかを表す方程式。
まず、空間的（space-like）に離れている２点間の不変間隔が、最短となる条件を 最小作
用の原理 を使って求める。
課題
最小作用の原理について、別項目にまとめる
その条件（オイラー・ラグランジュ方程式）をこちょこちょ変形すると次の式になる。こ
れが測地線方程式。
ẍµ + Γµνλ ẋν ẋλ = 0
(4.117)
課題
測地線方程式を求める計算過程を別項目にまとめる
測地線方程式を、空間的（）、時間的（）、ヌル（）な場合に分けて書くと、以下のよう
になる。
λ
ν
d2 xµ
µ dx dx
=0
+
Γ
νλ
ds2
ds ds
ν
λ
d2 xµ
µ dx dx
=0
+
Γ
νλ
dτ 2
dτ dτ
κ
ν
d2 xµ
µ dx dx
=0
+
Γ
κν
dλ2
dλ dλ
(space-like)
(4.118)
(time-like)
(4.119)
(null)
(4.120)
課題
ヌル、の測地線方程式を求める計算過程・思考の過程を別項目にまとめる
4.6. 測地線方程式
31
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
与えられた重力場中の テスト粒子の運動 を記述する方程式なので、重力場の理論にしな
きゃいけない。
4.6.1 10 分補講：測地線方程式を用いたクリストッフェル記号の計算
測地線方程式には、質点や光の経路を決めるという物理的な意味の他に、 クリストッフェ
ル記号の成分で０でないもの／０であるものを簡単に計算できる というご利益があるら
しい。補講にある ２次元球面（＝３次元球の表面）の例題 に沿って実際に計算をしてみ
て、体感する。
注釈: 一般相対性理論で対象とする時空は、高い対称性を持っているため、クリストッ
フェル記号の成分の多くは０になるそう。対称性を仮定しないと解けないらしい。
３次元空間の不変間隔を極座標を使って表すと以下のようになる
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
⇒ ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2
(4.121)
(4.122)
課題
極座標変換の計算を別項目にまとめる
３次元球とは、半径 r = a と一定の値を取る場合のことなので、 dr = 0 となる。これら
を代入すると、
ds2 = a2 dθ2 + a2 sin2 θdϕ2
(4.123)
(4.124)
このときの２次元座標を (x1 , x2 ) = (θ, ϕ) とすると、メトリック gij は次の成分を持つこ
とになる。
( 2
)
a
0
(gij ) =
(4.125)
0 a2 sin2 θ
注釈: これは不変間隔の定義式から逆算する感じ
さて、測地線方程式を導出するときに、オイラー・ラグランジュ方程式も使ったが、この
オイラー・ラグランジュ方程式を成分ごとに計算し、その独立な方程式が与える係数か
ら０でないクリストッフェル記号を求めることができる。
まず、ラグランジアンを計算する。ただし、ここで使うラグランジアンは L̃ ≡ L2 と、 L
（＝不変間隔）の２乗で置き換えたもの。これは、不変間隔のままだと二乗根が付いてき
32
Chapter 4. テンソル解析
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
て、計算がめんどくさいため。
dxµ dxν
dλ dλ
∑ ∑
dxi dxj
=
gij
dλ dλ
i=1,2 j=1,2
L̃ ≡ L2 = gµν
dx1 dx1
dx1 dx2
dx2 dx1
dx2 dx2
+ g12
+ g21
+ g22
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
1
1
1
2
2
1
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx2 dx2
= a2
+0
+0
+ a2 sin2 θ
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dλ dλ
dθ
dθ
dϕ
dϕ
= a2
+ a2 sin2 θ
dλ dλ
dλ dλ
2 2
2
2
2
L̃ = a θ̇ + a sin θϕ̇
= g11
∴
(4.126)
(4.127)
(4.128)
(4.129)
(4.130)
(4.131)
これをオイラー・ラグランジュ方程式に代入して、 µ = 1, 2 の２成分を計算していくん
だけど、上で求めたように L̃ には三角関数も入っているので、各成分についてゆっくり
計算していく。
∂ L̃
d ∂ L̃
−
=0
dλ ∂ ẋµ ∂xµ
d ∂ L̃ ∂ L̃
=0
µ=1
−
dλ ∂ θ̇
∂θ
d ∂ L̃ ∂ L̃
µ=2
−
=0
dλ ∂ ϕ̇
∂ϕ
(4.132)
(4.133)
(4.134)
(4.135)
4.6. 測地線方程式
33
Chapter 5
アインシュタイン方程式
5.1 アインシュタイン方程式
一般相対性理論の基礎方程式
1
8πG
Rµν − Rg µν = 4 T µν
2
c
(5.1)
• Rµν ： リッチ テンソル
• g µν ： 計量 テンソル
• T µν ： エネルギー・運動量 テンソル
5.2 一般相対性原理
一般相対性原理 を数学の言葉で言うと 一般共変性 になる。
一般相対性原理 すべての物理法則は どのような座標系 を基準にとっても 同
じ形 で表される
一般共変性 すべての物理法則は 任意の座標変換 に対して 共変な形式 で書き
表される
この一般共変性は テンソル解析の言葉 で表現される。なので、アインシュタイン方程式
はテンソルを使って表されているし、方程式を読み解くにはテンソル解析の知識が必要
になってくる。
35
Chapter 6
球対称時空
6.1 アインシュタイン方程式を解く
6.1.1 方針
1. 物質の分布を指定（仮定）する ⇒
T µν を指定すること
2. g µν (x) について書き下す ⇒ 連立微分方程式を Get できる
3. g µν (x) が求まる ⇒ 時空の構造が分かる
6.1.2 難しい点
2 番目で得られるのは、10 個の非線形な連立偏微分方程式。聞いただけで解くのが大変
そう・
・
・。
6.1.3 解くポイント
真っ向から立ち向かうのはなかなか難しいので、状況に応じてモデル化・理想化する。具
体的には、様々な 対称性 を課すことで方程式を簡単な形にする。
6.1.4 解の例
フリードマン解 一様等方性
シュバルツシルト解 球対称性
成相解
冨松・佐藤解
37
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
6.2 シュヴァルツシルト解
1915 年に、カール・シュヴァルツシルトが求めた解。歴史上、最初に求められたアイン
シュタイン方程式の厳密解。
静止しているブラックホールを表している。
6.2.1 シュバルツシルト解の条件
1. 静止している質量Ｍの物体
2. 球対称な時空
3. 静的なメトリック
6.2.2 極座標
球対称な時空を表すのに便利な座標の取り方。その微小要素は、直交座標と少し異なっ
ているので、計算するときには気をつける。
x = r sin ϕ cos θ
y = r sin ϕ sin θ
z = r cos ϕ
(6.1)
(6.2)
(6.3)
４次元時空の極座標は、以下のようにおけばよい
xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 )
= (ct, r, θ, ϕ)
(6.4)
(6.5)
微小要素も計算しておく。ちなみに三角関数の微分は以下のよう。
d(sin θ) = cos θdθ
d(cos θ) = − sin θdθ
(6.6)
(6.7)
まず、dx から。
⇒
x = x(r, θ, ϕ)
∂x
∂x
∂x
dr +
dθ +
dϕ
dx =
∂r
∂θ
∂ϕ
dr
d cos θ
d sin ϕ
=
sin ϕ cos θdr + r sin ϕ
dθ + r
cos θdϕ
dr
dθ
dϕ
= (sin ϕ cos θ) dr + (−r sin ϕ sin θ) dθ + (r cos ϕ cos θ) dϕ
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
次に、dy 。
⇒
38
y = y(r, θ, ϕ)
∂y
∂y
∂y
dy =
dr +
dθ +
dϕ
∂r
∂θ
∂ϕ
dr
d sin θ
d sin ϕ
=
sin ϕ sin θdr + r sin ϕ
dθ + r
sin θdϕ
dr
dθ
dϕ
= (sin ϕ sin θ) dr + (r sin ϕ cos θ) dθ + (r cos ϕ cos θ) dϕ
(6.12)
(6.13)
(6.14)
(6.15)
Chapter 6. 球対称時空
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
最後に、dz 。
⇒
z = z(r, ϕ)
∂z
∂z
dz =
dr +
dϕ
∂r
∂ϕ
dr
d cos ϕ
=
cos ϕdr + r
dϕ
dr
dϕ
= (cos ϕ) dr + (−r sin ϕ) dϕ
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
6.2.3 極座標の不変間隔
重力場がない場合、直交座標での不変間隔とメトリックはそれぞれ以下のようだった。
(gµν ) = (−1, 1, 1, 1)
ds2 = −(cdt)2 + dx2 + dy 2 + dz 2
(6.20)
(6.21)
それが、極座標表示の場合、以下のようになる。
(gµν ) = (−1, 1, r2 , r2 sin2 θ)
ds2 = −(cdt)2 + dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2
(6.22)
(6.23)
重力場がある場合、最も単純な変更はメトリックの成分のうち、定数であるものを r の関
数とすること。静的であり、球対称ということから r のみの関数になる。
(gµν ) = (g00 (r), g11 (r), r2 , r2 sin2 θ)
ds2 = g00 (r)(cdt)2 + g11 (r)dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2
6.2. シュヴァルツシルト解
(6.24)
(6.25)
39
Part II
A Supersymmetry Primer : Stephen P.
Martin
41
KumaNote Documentation, リリース 0.1.1
• arXiv
2016-03-30 v7 を読み始める
43
Part III
素粒子の物理
45
Chapter 7
ゲージ理論と電弱統一理論
7.1 ウィークゲージボゾンの生成
7.2 グローバル対称性
7.3 ローカル対称性
7.4 ラグランジアン
7.5 U(1) ゲージ理論
7.6 ワインバーグ・サラム理論
7.7 ゲージボゾンどうしの相互作用
47
Part IV
Indices and tables
49
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• modindex
• search
51
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