水理学2 管路の非定常流（その2） Water Hammer （水撃）階下の住人が水道栓を急開閉めすると、水道管がカーン、カーンと撃音を出すことがある。 Water Hammer (水撃）で壊れたポンプ Question The problem we have is our water pipes bang very loudly when we shut off a faucet or flush the toilet--basically, every time we use the water for anything. Advice? Answer What you are describing sounds like water hammer, which can be the bane of an older plumbing system. It does with sudden changes in water pressure. When you shut off a faucet, all the water that has been pouring into the sink or tub suddenly has nowhere to go. It just stops. That "hammer" creates a shock wave, causing a momentary spike in water pressure and making an unsettling bang that reverberates through your plumbing. bane 【名】，破壊・破滅・苦しみ・悩み－の元，原因－簡単に言うと、 Water Hammer (水撃現象）とは、バルブの閉塞により行き場を失った水が圧縮され、それに対応した圧縮応力（＝圧力）が水に生ずることである。この水の圧縮によって生ずる圧力変化は、一管全体に瞬時に伝播するわけでなく、バルブの部分から上流に向かってある一定の速度で伝播してゆく。水と空気の違いはあるが、長細いゴム風船が末端から膨らんでいく現象は水撃現象（＝弾性波伝播）の一種である。ジューコフスキーの公式 ct 圧力変動（弾性波）の伝播速度 c バルブ閉塞開始前のエネルギー線 v v  v y  p ρg y  p ρg v  v L バルブバルブを操作して管から出る水の流速を v から v ー v に変化させると、次式で示される水頭 ys の水撃圧が発生する。 ys  p c   v ρg g この圧力の変動は、伝播速度 c で上流（水槽流出口）側に伝わって行く。証明 c 検査空間 ρ ρ  ρ v  v p  p v p A 圧力上昇部の前線が進行する速度観察者が静止座標系にいる場合 ρ cv p   ρ  c  v  A   ρ  ρ  c  v  v  A m 運動量則を検査空間座標系に適用すると   c  v  v   m  c  v p A   p  p  A  m  v  ρ  c  v  v A p A  m p  ρg ys  ρ  c  v  v なので ys  c  v g p  p c  v  v 観察者が検査空間と一緒に移動している場合検査空間への質量流入速度 c v ρ  ρ v  c v g 余談ジューコフスキーの公式は、ロシアの航空流体力学者 Zhukovsky によって提案されたことになっているが、最近の研究によれば、それ以前に、 Rankine や von Kries によって発見されていたらしい。 Nikolai E. Zhukovskii (1847-1921) ロシアの航空力学者 Johannes von Kreis (1853-1928) ドイツの生理医学者 William J. M. Rankine (1820-1872) 英国の技術・物理学者圧力伝播速度 c の大きさ水中の圧力伝播速度 c の値は次式から得られる（導き方は後述する）  1 ρ K D    1    c E b  K   K：水の体積弾性率　Ｅ：管材のヤング率　D：管径　b：管の肉厚＊例題＋内径 D=2.5 m、肉厚 b=25 mm の円形鉄管を伝わる圧力伝播速度を求めなさい。ただし、水の体積弾性率は、2 GPa (=２×109 N/m2)、鉄管のヤング率を200 GPa (=200×109 N/m2) とする。＊解答＋ 1N=1kg∙m/s２、水の密度 =1×103 kg/m3 なので      1  103  1 ρ KD  2  2.5  1  1    1     1   (m/s)   9  c E b  200  0.025  K  103  2  10  従って、c = 1000 m/s 。（註：実際にはガスの混入があるので、この値を下回る。最大可能水撃圧バルブの完全閉塞によって流速 v0 の流れを完全に止めるとすれば、閉塞終了時にバルブ部で発生し得ると想定される最大可能水撃圧は、 c y s  v g c ym  g  v0 0 dv  c v g 0 となる。＊例題＋ v0＝3.0 m/s で流れている管の流れをバルブで完全に止めた場合に発生し得る最大可能水撃圧を求めよ。ただし、ｃ＝1000 m/s とする。＊解答＋ c 1000 v0   3.0  306 m g 9.8 2 v02  3.0  バルブ閉塞前の速度水頭 hv    0.46 m に比べると 2g 2  9.8 ym  ym が非常に大きな値であることがわる。最大可能水撃圧が実際に発生するか否か、あるいは、発生したとしてもそれが管のどの範囲まで到達するかは、バルブ閉塞に要する時間と管長の比率に依存する。瞬間閉塞の場合の水撃現象 (1) 第１四半周期 0t L c 第２四半周期 L L t2 c c ys ym c ym 0  ym v v0 0 v 0 簡単のために、瞬間的にバルブを閉じたとする。そのことによって生じた正圧前進波は水槽流の流出口に向かって進む。前進波が通過した部分での流速は、0 になる。正圧前進波が水槽に到達すると、反射波として負圧後退波が発生する。 ys c 0  ym v0 0 v 0 負圧後退波がバルブに向かって進む。この負圧後退波は前進波の水撃正圧を打ち消していく。この後退波が通過した部分の流速は –v0 になる。負圧後退波がバルブに到達すると、圧力を維持したまま負圧前進波になる。瞬間閉塞の水撃現象(２) 第３四半周期 L L 2 t3 c c 第４四半周期 L L 3 t4 c c ys ym c c 0  ym v0 0 v 0 負圧前進波が水槽流出口に向かって進む。第２四半周期で管内の圧力は原状に戻されているので、負圧前進波が通過した部分での圧力は – ym になり、流速は 0 に戻される。負圧前進波が水槽流出口に到達すると、反射波として正圧後退波が発生する。 ys ym 0  ym v0 0 v 0 正圧後退波がバルブに向かって進む。この正圧後退波は前進波の負圧を打ち消して行くが、この後退波が通過した部分の流速は v0 になる。正圧後退波がバルブに到達すると、圧力を維持したまま正圧前進波として反射し、第１四半周期に戻る。負圧と Cavitation 数理的な解析では、水撃現象では非常に大きな負圧が発生することになるが、圧力は絶対圧で０（水理学的に言えば、水頭で –10.34 m）以下にはなりえない。実際には、常温での水蒸気圧は、水頭で 0.24 m であるので、水は、水頭で - 10.1 m以下になると液体としては存在できず、一部がガス状の水、すなはち水蒸気になる。このような水蒸気ガスは合体して比較的に大きな気泡を形成して管上壁近辺に集まり、液体の水の流れを妨げる（この現象を“水柱分離”という）。次ぎの周期の大きな正圧状態で水がこの気泡を押しつぶすときに、水が集中的に壁面に衝突し、ちょうど鋭い針が刺すように大きな応力をもたらして管材を痛める。このような気泡発生による材料の損傷を空洞現象(cavitation：中国語では気穴現象) という。ポンプ羽車の負圧部に出来た気泡気泡が潰れるときに出来た羽表面の傷有限時間閉塞の水撃現象(1) 右図のように、バルブを時間 tc をかけて閉じ、出口流速を v0 から 0 に直線的に低減してゆく場合を考える。 v0 v t v   1  tc  v  0  0 (1) 急閉塞（ ctc<2L ）の場合 t 閉塞時間 t c 正圧前進波 ym xct t tc ym x  c tc ym L L (イ) t<tc での水撃圧分布 (ロ) t＝tc での水撃圧分布 (ハ) t＝L/c での水撃圧分布有限時間閉塞の水撃現象(2) 負圧後退波 ym ym ym xct (ニ) tc<t<tL での分布 x L ct c 2 (ホ) tL＝L/c + tc/2 での分布 (へ) t>tc での分布水槽からの距離が xL=ctc/2 以内の範囲は、負圧後退波の影響を受けて、水撃圧は可能最大水撃圧 ym には到達しない。 2L y ct c m (2) 緩閉塞（ ctc>2L ）の場合閉塞が終了する前に、負圧後退波がバルブに到着し、バルブ部位においても、可能最大水撃圧 ym は実現しない。 L ＊例題＋ 30 m 動水勾配線 A A～B B～C C～D D～E E～F 750 500 800 150 350 30 m 30 m C m m m m m 100 m 60 m D F E B 上図のような動水勾配線をもつ管径が 3.0 m、管肉厚が 15 mm の管からなる総延長 2550 m の管路の末端 F にあるバルブを絞り、４秒間で流速を 3 m/s から 0.5 m/s へ減少させた。この際に管路で生ずる最大の総水力（＝静圧〒水撃圧）を求めなさい。ただし、水の体積弾性率を 2 GPa、管材料のヤング率を 200 Pa とする。＊解答＋    1  103  1 2  3.0  1 1   1   (m/s)    9 c 200  0.015  816  2  10  ゆえに c  816 m/s 可能最大水撃圧 c 816 ym   v0  v    3.0  0.5   208 m g 9.8 可能最大水撃圧はＡ点からの距離が xL  c t c 816  4   1632 m 以上の部分に伝播する。 2 2 Ｅ点では、ym が 100 % 実現する (yt )E  (yn )E  ym  60  208  268 m Ｂ点では、ym の 750/1632 の割合でしか実現しない。 (y t )B  (yn )B  x AB 750 ym  100   208   196 m xL 1632 よって、静圧を含めた最大総水圧は、E 点で生ずる。水撃現象の数理的な解析 Δx 連続の式水撃現象のような水圧変化が大きな管路流の非定常現象では、水はもはや非圧縮性流体としては扱えず、また管断面積も変化するものと考えなければならない。 A：管断面積質量流束（入） ρAv  ρAv   ρAv  Δx x 質量流束（出）   ρA  Δx t 右上図のような検査空間について、質量の収支をとると、質量蓄積速度    ρA    ρAv   0 t x   v  ρA   v  ρA   ρA  0 t x x A 従って dρ dA v ρ  ρA 0 dt dt x 1 dρ 1 dA v   0 ρ dt A dt x d v  ρA   ρA  0 dt x 水圧増加による管断面積の増加量管厚ｂ円形管に作用する力の平衡式： 2ζｂ  pD δp の水圧増加にともなう歪み率の増加 δε は δε  δζ δp  D   Ｅ E  2b  ζｂＥ：管材のヤング率水圧合力　pD 一方、歪み率の定義から円周増加量管径増加量 δＤ   管円周管径Ｄ δp  D2  ∴ δD  Dδε  E  2b  δＤの管径増加にともなう円面積の増加 δＡは πD δD δA   2π r  δ r  2  πD2  δp  D  δp  D    A   b E b 4 E       δε  ∴ δA δp  D     A Eb ζｂ管肉張力連続の式（続き）一方、体積弾性率の定義から δρ δΩ δp   ρ Ω K K：水の体積弾性率 1 dρ 1 dA v    0 を水圧と流速を変数とする式にすると、 ρ dt A dt x 1 1  D  dp v   0 K E  b  dt x 従って   さらに、水圧 p をピエゾ水頭 y に置き換えると y  p z ρg 1 ρ D K  1    c K  b E p yz ρg    dp dy dｚ  ρg   0　dt dt dt ρ D K dy 1 v 1     0 K  b  E dt g x とすれば dy c 2 v  0 dt g x 連続の式（続き）全頁までの結論 dy c 2 v  0 dt g x dy ここで　は実質微分であるので次のように分解できる dt dy y y  v dt t x しかし、水撃現象では、現象が進行する速度 c が流速 v に比べてはるか大きいので、上式の第２項は無視しても良い。すなはち dy y y y δt y v y   v   1  v    1    dt t x t  δx  t  c  t 結局、水撃現象での連続の式は次式で表現される y c 2 v  0 t g x 運動方程式水撃現象の運動方程式には、非定常のべルヌーイ式がそのまま使える  h 1 v H hL 1 v   v 2  p        z    L  0 g t x x g t x  2 g  ρg   x   1 v v y λ v v v   0 g t x x D 2 g y p z ρg ここでもなので v v v  δt v v v v   1  v    1    t x t  δx  t  c  t 1 v y λ v v   0 g t x D 2 g λ  0 の場合は、 1 v y  0 g t x 水撃圧は波である y c 2 v  0 t g x (1) v y g 0 t x (2) (1)と(2)から v を消去すると 2  2 y c 2   v   2 y 2 y  0  t   2  c 2 2 g  x   t t x また、y を消去すると 2 2v   y   2 v 2 v g   c 0 x  t  t 2 t 2 x 2 波動方程式 2 2y 2 y c 0 2 2 t x 2 2v 2 v c 0 2 2 t x 波動方程式の解法例として 2 2v 2 v c 0 t 2 x 2 ξ  ξ  x, t   x  ct 2v 1 2v  0 x 2 c 2 t 2 を解いてみる。という関数を考えると dξ 1 dx dξ  c dt d dx  dt   1     従って dξ dξ x dξ t x c t 同様に η  η  x, t   x  ct という関数を考えると d dx  dt   1     dη dη x dη t x c t d  1   dξ x c t 波動方程式および 2v 1 2v  2 2 0 2 x c t  2v 1 2v  1    x c t x 2 c 2 t 2 d d  v 0 dη  dξ  d  1   dη x c t  という演算子を使うと、は次のように書き換えられる       1  v  d d v  0  x c t  dη dξ   の一般解は v  F (ξ)  G (η)  定数定数を v0 とおけば v  v0  F (ξ)  G (η) すなはち v  v0  F (x  ct)  G (x  ct) なので＊補足＋一般論として y= F(x - ct) と表される関数を前進波、あるいは進行波と言う。このように表される関数では、 ( x, t ) 座標上の直線 x=ct + a （a は定数）に沿っては、 y の値は常に、 t y=F(a)=一定値になる。逆に y= F(x + ct) と表される関数を後進波、あるいは後退波と言う。 1 t0 y= F(x - ct) という関係式は、移流方程式 y y +c = 0 t x からも得られる。 c x = ct0 + a x= a 2 2  y  y 2 波動方程式  c = 0 の解は 2 2 t x y y y y + c = 0 の解と  c = 0 の解を重ね合わせたものとも言える t x t x x バルブの瞬間閉塞で生ずる水撃波の解析（摩擦損失が無視できる場合）右図のようなバルブの上流での摩擦損失が無視できる水平管において、バルブを瞬時に閉塞したときに発生する水撃波を考えてみる。動水勾配線 U0 H0 y0 閉塞前（t<0）の条件 v(x, t)  U0 y(x, t)  y 0  H0  2 U0 2g x0 前に解いた結果を使えば v  U0  U0 F  x  ct   G  x  ct  F  x  ct  、 G  x  ct  ：無次元の関数 x x L v  U0  cF  x  ct   cG  x  ct   t 1 v y  0 g t x より y 1  v  ｄｘ g  t   従って c U F  x  ct   G  x  ct    定数 g 0  ym  F  x  ct   G  x  ct   ＋定数 y 閉塞前には F  x  ct   0 G  x  ct   0 y( x, t )  y 0 なので y  y0  ym F  x  ct   G  x  ct  となる。境界条件 t > 0 で常に F(x  ct)  G(x  ct)  0 y(L, t )  H0 このことは、水槽出口部で生ずる後退波Ｇの値は到着する前進波Ｆの値と同じであることを意味する。 F(x  ct)  G(x  ct)  1 v(0, t)  0 このことは、バルブ部で生ずる前進波Ｆの値と到着するＧの値とは、Ｆ〒Ｇ＝１の関係があることを意味する。結局、v と y とは、この２つの境界条件を満たすように、F と G の値を変えながら、周期変動する。周期 ct/L 1 0→１ 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 7→8 8→9 9→10 10→11 11→12 2 3 前進後退前進後退前進後退前進後退前進後退前進後退管内バルブ条件水槽側条件 F + G = 1 F - G = 0 水撃圧比流速比 F値 G値 F-G F+G-1 1 1 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 -1 1 1 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 -1 1 1 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 -1 バルブでの水圧変動 y0  ym y0 0 y0  ym 8L / c G0 F0 FG0 F  G  1 G 1 F 1 FG0 F  G 1 F0 FG0 F  G  1 6L / c 4L / c FG0 2L / c F 1 t F  G 1 F0 G0 G0 0 2L / c 4L / c 6L / c 8L / c 管中央での水圧変動 y0  ym G 1 y0 0 y0  ym x 0 2L / c 4L / c 6L / c 8L / c 特性曲線法による偏微分方程式の解法 F F  p ( x, t ) =q (x, t) t x (1) という偏微分方程式で表される関数 F = F (ｘ, ｔ ) の解法を考えてみる。一般的に言えば、このような偏微分方程式は解けない。しかし、曲線 dx この関係式を  p ( x, t) (2) 特性曲線とい dt うの上の点に限定すれば、上記の方程式は、 F dx F dF    q ( x, t) (3) t dt x dt となるので、解くことが可能になる。このように、 (1) の形式の偏微分方程式を２つの常微分方程式 (2), (3) に還元して解く方法を特性曲線法という。水撃波の場合には、特性曲線が”特性直線”になるので、特性曲線法は有効な解析方法である。特性曲線法を利用した水撃圧の数値解析法摩擦を考慮する場合の水撃圧伝播の基本式は運動方程式 1 v y λ v v   0 g t x D 2 g 連続の式 y c 2 v  0 t g x u gy c r λ v v 2D v  gy  λ v v  c    t x  c  D 2 c v   g y    0  x t  c  (3)ー(4)； (2) とおくと、(1) と (2) は、それぞれ v u c  r (3) t x (3)〒(4)； (1)   (v  u)  c (v  u)  r t x   (v  u)  c (v  u)  r t x c v u  0 x t (5) (6) (4) 特性曲線法を利用した水撃圧の数値解析法（続き） t(新)  t (現)  Δt  t (現)  Δx c t(新) Δt t (現) 時間軸右図のように、空間軸 x を横軸とし、時間軸 t を縦軸とする座標を考え、それぞれ間隔Ｌ Δx Δx  Δt  ｎ c で格子分割する（n は任意の整数）とバルブ Δx 空間軸 L   (v  u)  c (v  u)  r t x (5) d (v  u)  r dt on dx c dt すなはち、 x (新)  x (現)  cΔt の軌跡上では、点(x, t) は (v  u)(新)  (v  u)(現)  r (現) Δt の関係の物理量 u, v を維持しながら移動する。水槽特性曲線法を利用した水撃圧の数値解析法（続き）同様に   (v  u)  c (v  u)  r t x (6) d (v  u)  r dt dx  c dt on x (新)  x (現)  cΔt の軌跡上では (v  u)(新)  (v  u)(現)  r (現) Δt の関係がある。従って Δx x中(新)  x左(現)  Δx  x左(現)  cΔt x中(新)  x 右(現)  Δx  x 右(現)  cΔt の関係がある場合には、 (v  u)中(新)  (v  u)左(現)  r左(現) Δt Δx t(新) t Δt (現) x左 x中 (v  u)中(新)  (v  u)右(現)  r右(現) Δt よって、空間ｘ中の時間ｔ (新) における v (新) および u(新) は 1 1 1 v中(新)  (v  u)左(現)  (v  u)右(現)  (r左(現)  r右(現) )Δt 2 2 2 1 1 1 u中(新)  (v  u)左(現)  (v  u)右(現)  (r左(現)  r右(現) )Δt 2 2 2 x右特性曲線法を利用した水撃圧の数値解析法（続き）境界条件の処理バルブ側（＝節点 0）新しく求める時間 t でのバルブ開口面積を a(t) とするとｖ（0 新） a(t) 2 g y0(新) u0(新) (1)   φ(t) （ 0） (0) (0) a(0) 2 g y0 ｖ0 u0 a(t) φ(t )  は開度と呼ばれ、時間 t と閉塞時間 t の関数である。 a(0) v0(新)  u0(新)  v1(現)  u1(現)  r1(現) Δt (1) と(2) を連立して v0(新)、 u0(新) (2) を求める水槽出口側（= 節点 n）ｖ（ｎ新）2 ｖ（ｎ新）2 c (新) ( 新)  yn   uｎ H 2g 2g g vn(新)  un(新)  vn1(現)  un1(現)  r(現)n1Δt この２式を連立して vn(新)、 un(新) を求める特性曲線法による水撃波伝播の数値解析例（エクセルＶＢＡ）計算与件 L  1000 m エネルギー勾配線　D  0.5 m H0  5 m x の正方向摩擦損失係数　λ  0.012 水撃伝播速度　c  1000 m/s バルブ閉塞時間　ｔ c  4 s 開度 φ(t)  1  t ｔc ( t<t c ) φ(t)  0 ( t  t c ) H  100 m エクセルの表に出力されたデータ時間変化を調べる場合は、このようなデータを「散布図」にしてグラフ化する。 t 開度関数が φ(t)  1 - で、 t c  4 s の場合 tc 水頭の時間変化 1000 800 ピエゾ水頭 (m) 600 400 200 0 -200 -400 -600 -800 流速の時間変化流速(m/s) 10.0 5.0 0.0 -5.0 -10.0 0 5 10 15 20 経過時間(s) 前のグラフと上のグラフを比較してわかるように、圧力の時間変化と流速時間変化は対象的になっていて、圧力の変化はバルブ近傍（0.0 km、0.2 km ）で 0.0 km 0.2 km 0.8 km 1.0 km 大きく、流速の変化は水槽出口近傍（1.0 km 、0.8 km ）で大きい。どの場所においても最高点に達した以降の圧力や流速の変化は、閉塞時間や損失係数の大きさに関係なく、4L/C （この例題では、4 s）の周期で行われる。どの時点で最高点に達するかは、閉塞時間と開度の関数形によって異なる。 2 t 開度関数が φ(t)  1 - で、 t c  1 s の場合 tc 水頭の時間変化 1000 800 ピエゾ水頭 (m) 600 400 200 0 -200 -400 t 開度関数が φ(t)  1 - で、 t c  10 s の場合 tc 水頭の時間変化 1000 800 ピエゾ水頭 (m) 600 400 200 0 -200 -400 -600 -800 0 5 10 15 20 経過時間 (s) 0.0 km 0.2 km 0.8 km 1.0 km 25