Koosis 先生の古典解析９ Quasi-analitic pp.38-40 擬解析的 Carleman-Ostrowski の基準定義： I を空でない開区間、 {M n } を正数列、 f ( x) Î C ¥ ( I ) とする。このとき、 f に依存する C > 0 、 r > 0 が存在して f (n) (l ) £ C r n M n , n = 0,1, , "l Î I が成り立つとき f Î CI ({M n }) という記号を使う。定義： "f Î CI ({M n }) に対してある l0 が存在して、 f (n) (l0 ) = 0 n = 0,1, が成立するとき、（定義  f (l ) = 0 "l Î I CI ({M n }) は quasi analytic といわれる。 f が解析的ならこの条件はいつでも満たされている。） CI ({M n }) において、 r > 0 の関数 T (r ) = sup (n log r - log M n ) n³0 は Ostrowski 基準と呼ばれる。これは T (r ) ³ - log M 0 を満たす r の増加関数である。しばらく次の仮定をおく（あとで取り除く）。仮定 A すべての n ³ 0 で M n ³ 1 Ostrowski 基準 T (r ) の増大速度がかなり速いと quasi analytic となる。 ¥ 定理 13 ò 1 T (r ) dr = ¥  CI ({M n }) r2 証明） f Î CI ({M n }) とすると、あるすべての n ³ 0 、すべての l Î I は quasi analytic C > 0 とある r > 0 があって、に対して f (n) (l ) £ C r n M n ある l0 Î I が存在して、 f (n) (l0 ) = 0 n = 0,1, が成り立つ。とせよ。 l0 がある有限区間 J Í I の端点になっている場合、 f (l ) = 0 , l Î J を示せば、そのような J を I の中でうごかしていけば I に含まれる l 全体で f (l ) = 0 となる。さらに、 l  al + b, a ¹ 0 なる変換を行うことによって、J = [0,1] , l0 = 1 として一般性を失わない。すなわち、 f (n) (1) = 0 n = 0,1, とおき、 f (l ) = 0 , l Î [0,1] を示 1 す。 Âz > -1 なる半平面で、 F ( z ) = ò l z f (l ) dl とおく。この積分が絶対収束 0 していることから F ( z ) は Âz > -1 という半平面で解析的である。また、 1 ¥ f (l ) £ CM 0 より F (iy ) £ ò f (l ) dl £ CM 0 であるから、 ò 0 ¥ となる。いま、 ò -¥ log- F (iy ) 1+ y 2 矛盾してしまう。ところで、定理１２とは -¥ log + F (iy ) 1+ y 2 dy < ¥ dy = ¥ がいえたとしよう。これは、定理１２に定理 12. f  z  を恒等的にはゼロでない関数で z  0 で連続、z  0 で解析的な関数で、z  0 において   仮定すると log  f  t   1 t2 z   とするとき、log f  z   O  z  を  dt      log  f  t  1 t2 dt   この黄色で書かれた仮定は重要で、定理１２の証明を読み直すと“ f ( z ) = 0 となる z は孤立点をなすので、 f (iy ) ¹ 0 となる y をえらぶことができる。そこで、 f (iy0 ) ¹ 0 なる y0 > 0 を一つ固定する。”というくだりで黄色の仮定を使っていた。すなわち、 ¥ ò -¥ log + F (iy ) 1+ y 2 ¥ dy < ¥ ò -¥ log- F (iy ) 1+ y 2 dy = ¥  F ( z ) = 0 z  0 で成り立たねばならないことになる。そして、 F ( z ) は Âz > -1 という半平面で解析的であったからさらに広い範囲 z  1 で、 F ( z ) = 0 が結論される。とく 1 に F (k ) = ò l k f (l ) dl = 0 、 k ³ 0 となっている。このことから任意の多項式 0 1 p (l ) について、 ò p (l ) f (l ) dl = 0 となる。閉区間で連続な関数は多項式で一 0 様近似されるというワイエルストラスの多項式近似の定理により、。 1 p (l )  f (l ) としてやると ò f 2 (l )dl = 0 が言えて、f (l ) = 0 a.e.となる。f (l) 0 の連続性から f (l ) = 0 , "l Î [0,1] が結論される。すなわち定理１３の証明を完 ¥ 結するためには、 ò -¥ log- F (iy ) 1+ y 2 dy = ¥ を示せばよいことがわかった。部分積分と f (n) (1) = 0 n = 0,1, の仮定を使うと、 1 1 1 1 1 1 l iy+1 F (iy ) = ò l f (l ) dl = f (l ) l iy+1 f '(l ) dl = l iy+1 f '(l ) dl ò ò iy +1 iy +1 0 iy +1 0 0 0 iy 1 (-1) n l iy+n f ( ) (l ) dl が得らこれをくりかえすことにより、 F (iy ) = ò iy iy n + 1 +  ( ) ( )0 n れる。そこで、 y ¹ 0 のとき、 F (iy ) £ y n ò 0 ærö (l ) dl £ C ççç ÷÷÷÷ M n を得る。対 èç y ø n 1 1 f ( n) æ ö y 数をとると、 log F (iy ) £ log C -çççn log - log M n ÷÷÷ となる。左辺は n に無関係で ÷ø çè r あるから ¥ と ò -¥ ¥ ò r æ yö log F (iy ) £ log C - T ççç ÷÷÷ が得られる。両辺を 1 + y 2 で割り積分する çè r ÷ø log F (iy ) 1+ y 2 T ( y / r) dy を得る。ところが定理の仮定は、 1+ y 2 -¥ ¥ dy £ p log C - ò ¥ T ( y / r) 1 T (r ) dy = ò 2 dr = ¥ を意味し、 T (r ) ³ - log M 0 から y2 r 1 r T ( y / r) ò 1+ y 2 dy ³ -p log M 0 であるから y £r ¥ の右辺は -¥ となり、 ò -¥ ¥ あったことから ò -¥ log F (iy ) 1+ y2 log- F (iy ) 1+ y 2 ¥ ò -¥ log F (iy ) 1+ y 2 T ( y / r) dy 1+ y 2 -¥ ¥ dy £ p log C - ò ¥ dy = -¥ となる。 ò -¥ log + F (iy ) 1+ y 2 dy < ¥ で dy = ¥ でなければならない。証明終わり▆