米田の補題 alg-d http://alg-d.com/math/kan_extension/ 2016 年 9 月 13 日 C を圏とする．a, b ∈ C に対して HomC (a, b) ∈ Set だった．よって関数 ∈ Ob(Set) ∈ F : Ob(C) b HomC (a, b) を考えることができる．これは実は関手になるのである．その為には C の射 g : b −→ b′ に対して写像 F (g) : HomC (a, b) −→ HomC (a, b′ ) を HomC (a, b′ ) ∈ ∈ F (g) : HomC (a, b) h (a − →b− → b′ ) h (a − → b) g で定めればよい． . . . ) この F が関手になっていることを示すには b ∈ C に対して F (idb ) = idF b と， g g′ b− → b′ −→ b′′ に対して F (g ′ ◦ g) = F g ′ ◦ F g を示せばよい． h ∈ HomC (a, b) とする．定義より F (idb )(h) = idb ◦ h = h だから F (idb ) = idF b である．また (F g ′ ◦ F g)(h) = F g ′ (F g(h)) = F g ′ (g ◦ h) = g ′ ◦ (g ◦ h) = (g ′ ◦ g) ◦ h = F (g ′ ◦ g)(h) だから F (g ′ ◦ g) = F g ′ ◦ F g である．この関手 F を Hom 関手といい，HomC (a, −) で表す．この記号を使えば HomC (a, g) は写像 HomC (a, b) −→ HomC (a, b′ ) であって HomC (a, g)(h) = g ◦ h となる．そこで写像 HomC (a, g) を単に g ◦ − とも書くことにする． 1 同様にして関手 HomC (−, b) : C op −→ Set を考えることもできる．つまり f : a′ −→ a に対して HomC (a′ , b) ∈ ∈ HomC (f, b) : HomC (a, b) h (a′ − →a− → b) f (a − → b) h と定めるのである．この HomC (−, b) も Hom 関手という．先の場合と同様，HomC (f, b) を単に − ◦ f とも書くことにする．更に，この二つを組み合わせて考えれば，二変数の関手 HomC : C op × C −→ Set を考えることもできる．つまり，f : a′ −→ a と g : b −→ b′ に対して HomC (a′ , b′ ) ∈ ∈ HomC (f, g) : HomC (a, b) h (a′ − →a− →b− → b′ ) f (a − → b) h g である． b := SetC 圏 C に対して C op と書く．対象 a ∈ C に対して y(a) := HomC (−, a) とすれ b である．よって y は関数 Ob(C) −→ Ob(C) b を与える．実はこの y も関手ば y(a) ∈ C になる．それを示すためには，まず f : a −→ b に対して自然変換 y(f ) : y(a) =⇒ y(b) を定義しなければならない．そこで c ∈ C に対して y(f )c := Hom(c, f ) と定義する．この y(f )c が自然変換 y(f ) を与える． . . . ) g : c −→ d に対して，次の図式が可換であることを示せばよい． c HomC (c, a) g y(f )c HomC (g,a) HomC (d, a) d HomC (c, b) HomC (g,b) y(f )d HomC (d, b) これは HomC (−, a) や y(f ) の定義を使って書きなおすと次のようになる． c HomC (c, a) f ◦− −◦g g d HomC (c, b) −◦g HomC (d, a) 2 f ◦− HomC (d, b) つまり h ∈ HomC (d, a) に対して f ◦ (h ◦ g) = (f ◦ h) ◦ g を示せばよいが，それは圏の定義から成り立つ．あとは y が関手であることを示す為，y(id) = id と y(g ◦ f ) = y(g) ◦ y(f ) を示せばよいが，それは容易であろう．この関手 y は圏論で重要な役割を持つが，まず基本的な性質として次の定理がある．定理 1 (米田の補題). C を圏，a ∈ C を対象，P : C op −→ Set を関手とする．このとき (Set の) 同型射 φa : HomCb(y(a), P ) −→ P (a) が存在する．証明. α ∈ HomC b(y(a), P ) とすれば，αa は写像 HomC (a, a) −→ P (a) である．そこで写像 φa : HomC b(y(a), P ) −→ P (a) を φa (α) := αa (ida ) で定める．これが同型であることを示すため，逆写像 ψa : P (a) −→ HomC b(y(a), P ) を定義する． ※ そのためには ψa をどのように定義すればよいか，考察してみる．x ∈ P (a) に対して β = ψa (x) : y(a) =⇒ P が定義できたとする．β はどのような自然変換だろうか．まず φa ◦ ψa = id とならないといけないので，x = φa ◦ ψa (x) = φa (β) = βa (ida ) である．これで ida ∈ HomC (a, a) の行き先 βa (ida ) は定まった．他の f ∈ HomC (a, a) の行き先はどうなるであろうか．ここで β が自然変換であることを考えると，次の図式が可換でなければならない． a HomC (a, a) βa −◦f f f Pa Pf βa βa (f ) P f (x) −◦f Pf a HomC (a, a) βa Pa ida βa x よって βa (f ) = P f (x) でなければならない．こうして βa は確定した．他の b ∈ C ， f ∈ Hom(b, a) に対しても同様にして，βb が以下の可換図式により定まる． b HomC (b, a) βb −◦f f f Pb Pf βb βb (f ) P f (x) −◦f Pf a HomC (a, a) βa Pa 3 ida βa x 即ち βb (f ) = P f (x) である． x ∈ P (a) に対して ψa (x)b : HomC (b, a) −→ P (b) を ψa (x)b (f ) := P f (x) で定める．このとき ψa (x) は自然変換 HomC (−, a) =⇒ P である． . . . ) f : b −→ c に対して次が可換であることを示せばよい． b HomC (b, a) ψa (x)b −◦f f c HomC (c, a) g◦f Pb Pf ψa (x)c ψa (x)b −◦f Pf g Pc P (g ◦ f )(x) P f (P g(x)) ψa (x)c P g(x) しかしそれは P が関手だから P (g ◦ f )(x) = (P f ◦ P g)(x) = P f (P g(x)) となり明らか．後は φa ◦ ψa = id と ψa ◦ φa = id を示せばよい．前者は x ∈ P (a) に対して φa ◦ ψa (x) = φa (ψa (x)) = ψa (x)a (ida ) = P (ida )(x) = id(x) = x だからよい．後者は α : y(a) =⇒ P を自然変換とすると，ψa ◦ φa (α) = ψa (αa (ida )) だから ψa (αa (ida )) = α を示せばよい．その為には b ∈ C に対して ψa (αa (ida ))b = αb を示せばよい．α が自然変換だから，f ∈ HomC (b, a) に対して次が可換である． b HomC (b, a) αb −◦f f a HomC (a, a) f Pb Pf αa −◦f ida Pa αb αb (f ) P f (αa (ida )) Pf αa αa (ida ) 故に ψa (αa (ida ))b (f ) = P f (αa (ida )) = αb (f ) となることが分かり，ψa (αa (ida ))b = αb である． C として C op を考えれば，P : C −→ Set に対して HomSetC (HomC (a, −), P ) ∼ = P (a) も分かる．定理 2. 定理 1 で得られた同型射 φa : HomC b(y(a), P ) −→ P (a) は a に関して自然である．即ち，φa は自然同型 φ : HomC b(y(−), P ) =⇒ P を与える． 4 証明. C の射 f : a −→ b に対して，次が可換になればよい． a HomCb(y(a), P ) φa −◦y(f ) f b Pa Pf HomCb(y(b), P ) φb Pb よって α ∈ HomC b(y(b), P ) に対して P f (φb (α)) = φa (α ◦ y(f )) を示せばよい．まず φb の定義から P f (φb (α)) = P f (αb (idb )) である．一方 ( ) ( ) φa (α ◦ y(f )) = (α ◦ y(f ))a (ida ) = αa ◦ y(f )a (ida ) = αa y(f )a (ida ) ( ) = αa HomC (a, f )(ida ) = αa (f ) となる．ここで α : y(b) =⇒ P が自然変換であるから，次が可換である． a HomC (a, b) αa −◦f f b HomC (b, b) f Pa Pf αb −◦f idb Pb αa αa (f ) P f (αb (idb )) Pf αb αb (idb ) よって αa (f ) = P f (αb (idb )) となり，P f (φb (α)) = φa (α ◦ y(f )) が分かった． b は忠実充満である．系 3. 米田埋込 y : C −→ C ∼ 証明. 米田の補題により a, b ∈ C に対して HomC b(y(a), y(b)) = HomC (a, b) であるが，証明から分かるようにこの同型 HomC (a, b) ∼ = HomCb(y(a), y(b)) は f 7−→ y(f ) で与えられる． b は埋込になっていることが分かる．この y を米田埋込と呼ぶ．また即ち，y : C −→ C 忠実充満関手の性質から次が分かる．系 4. y(a) ∼ = y(b) ならば a ∼ = b である．ここで，y(a) ∼ = y(b) というのは勿論自然同型を表している．そこで，自然同型であるという条件を具体的に書き下すと次の定理が得られる．定理 5. C を圏，a, b ∈ C とする．x ∈ C について自然に HomC (x, a) ∼ = HomC (x, b) ならば，a ∼ = b である． 5 双対を考えれば次の定理も得られる．定理 6. C を圏，a, b ∈ C とする．x ∈ C について自然に HomC (a, x) ∼ = HomC (b, x) ならば，a ∼ = b である．即ち，圏の対象が同型であるかどうかは，射の集合によって決定されるのである．(これは非常に良く使う重要な事実である．) 6