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バラツキの尺度 分布の特徴 データの順位を利用した尺度

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分布の特徴
代表値だけで十分か?
バラツキの尺度
値の広がり方が異なる
バラツキも分布の特徴
同じ平均、中央値、最頻値を持つ分布
平均からの偏差
データの順位を利用した尺度
観測値: x1, x2, ・・・ xn
 範囲=最大値-最小値
最小値から最大値までの幅
 平均: x 
 四分位範囲=Q3-Q1
上位25%と下位25%を除いた中央部50%の幅
 四分位偏差= ( Q3-Q1 )/2
1 n
1
 xi  n ( x1  x2 
n i 1
 偏差 = 観測値-平均値 =
四分位範囲の半分
n
偏差の和:
範囲
四分位範囲
最小値
Q1 M:中位点
Q3
第1四分位点
第3四分位点
平均を中心としたバラツキの尺度
平均偏差の絶対値の平均
1 n
1
| xi  x |  n  x1  x  x2  x 
n i 1
 xn  x 
分散・・・偏差平方の平均
S x2 
1 n
1
 ( xi  x )2  n ( x1  x )2 
n i 1
標準偏差・・・分散の平方根
 ( xn  x )2 
x1  x ,
n
, xn  x
n
 ( x  x )  x   x nx  nx  0
i 1
最大値
 xn )
x3
i
i 1
x1
i
i 1
x
x2
標準偏差とデータ補足率
データの区間
対称単峰分布
一般の分布
 x  Sx , x  Sx 
約2/3
-
 x  2S x , x  2S x 
約95%
3/4以上
 x  3Sx , x  3Sx 
99%以上
8/9以上
S x  S x2
1
例1
例2
{ 1, 5, 2, 8, 4 }の平均、分散、標準偏差
那覇と札幌、気温のバラツキが少ないのはどちら?
1  5  2  8  4 20
 平均値: x 

4
5
5
(1  4) 2  (5  4) 2  (2  4) 2  (8  4) 2  (4  4) 2
5
30

6
5
 分散: S x2 
 標準偏差: s  6  2.449
問 { 2, 3, 4, 5, 6 }の平均、分散、標準偏差を求めよ
日付 那覇 札幌
1
29.2
・・・
31
・・・
30.2
平均 29.2
那覇偏差 札幌偏差 那覇偏
絶対値
絶対値
差平方
19.4
0.0
0.3
0.0
・・・
22.0
19.7
・・・
1.0
0.6
・・・
2.3
1.6
・・・
1.0
0.81
札幌偏
差平方
0.09
・・・
5.29
3.31
偏差絶対値の平均・・・那覇:0.6 vs 札幌:1.6
分散・・・那覇:0.81 vs 札幌:3.31
標準偏差・・・那覇:0.90 vs 札幌:1.82
⇒ いづれの指標からも那覇の方が気温のバラツキは少ない
線形変換と平均・分散・標準偏差
標準化
{ x1, x2, ・・・ xn}は、平均 x 分散 Sx2 標準偏差 Sx を持つ
データxは平均 x 分散 Sx2 標準偏差 Sx
yi=axi+b により { x1, x2, ・・・ xn}を{ y1, y2, ・・・ yn} に変換
zi 
このとき、 { y1, y2, ・・・ yn} の平均、分散、標準偏差は
1 n
1 n
1 n

yi   (axi  b)   a xi  nb   ax  b

n i 1
n i 1
n  i 1

1 n
1 n
2
分散: S y2   ( yi  y ) 2   (axi  b)  (ax  b)
n i 1
n i 1
平均: y 

1 n
a2
2
  axi  ax   n
n i 1
n
 (x  x )
i 1
i
2
 a 2 S x2
偏差値
平均、標準偏差が異なる試験科目の得点を比較する
ときに用いる
得点  平均
10  50
標準偏差
例) 平均60点、標準偏差10点の試験で得点が55点であれ
ば偏差値は
偏差値 
zの平均、分散、標準偏差は
xx
0
Sx
1
分散: S z2  2 S x2  1
Sx
平均: z 
標準偏差: Sz = 1
標準化により平均0、分散1、標準偏差1に変換される
標準偏差: Sy= |a| Sx
偏差値 
xi  x
によりzに変換(標準化)
Sx
55  60
10  50  45
10
問 得点が80点であれば偏差値はいくつか
変動係数
単位の違うデータのバラツキの程度を直接比較できない
身長のバラツキ・・・長さの単位( cm )
体重のバラツキ・・・重さの単位( Kg )
平均が大きくなると標準偏差も大きくなる場合がある
単位の違うデータ、スケールの違うデータを比較するため
に標準偏差を平均で相対化する・・・変動係数
CVx 
Sx
x
2
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