数学，情報を読むために I 練習問題 4 学部｜学科｜学生証番号｜氏名問題１．ある学校の進級制度が下図のようになっているとする． ␃Ꮫ ␃ᖺ 㐍⣭ 㸯ヨ㦂㐍⣭ 㸰㐍⣭ 㸱㸦༞ᴗ㸧㸲㣕ࡧ⣭ ヨ㦂白点は各学年を表し，学年 a になった人が 1 年後に学年 b となる可能性がある時，それらを a −→ b のように矢印で結んでいる．また，各矢印にはその理由と確率を書いている．例えば，3 年生になった人が試験によって 1 年後に 1 年生に戻される確率は 0.2 で，卒業する確率は 0.8 となっている．（一旦卒業すると，1 年後も確実に卒業扱いとなるので，確率 1.0 で卒業に戻ってくる矢印も存在している．）この図をもとにして以下の問いに答えよ： (1) 上の進級図に対して隣接行列 A と確率行列 P を答えよ． A= P = (2) 隣接行列 A と確率行列 P について，各々A4 と P 2 を計算せよ．（A4 を求めるには A を 4 回掛けるよりも，A2 を求めて，A2 · A2 を計算する方が掛算の回数が少なく済む．） A2 = A · A = P2 = P · P = A4 = A2 · A2 = (3) 上で求めた A4 をみて，2 年生になった人が 4 年後に 1 年生になっているパターン（つまり，上の図で矢印を 4 回通って点 2 から点 1 に到達する道順の総数）が何通りあるか答えよ．道順の総数：通りまた，P 2 をみて，2 年生になった人が 2 年後に「1 年生となっている確率」「2 年生のままでいる確率」「3 年生となっている確率」「4 年生となっている確率」を各々求めよ． 1 年生の確率： 2 年生の確率： 3 年生の確率： 4 年生の確率：問題２．容器 1 と容器 2 にそれぞれ濃度不明の食塩水が 100 g 入っていたとする．これらに対して，「それぞれの容器から，40 g の食塩水を同時に取り出して入れ替える」作業を 2 回繰り返した結果，容器 1 の食塩水の濃度は 16 % となり，容器 2 の食塩水の濃度は 15 % となったとする．この時，それぞれの容器の最初の濃度を求めたい．（なお，濃度 x % の食塩水とは，100 g の食塩水中に食塩が x g 含まれていることを意味する．）以下の空欄を埋めて答えを計算せよ: 先ず，一般的に，容器 1 と容器 2 の濃度が x % と y % の時に，「40 g の食塩水を同時に取り出して入れ替える」作業を 1 回行うことで，濃度がどのように変化するか調べる．容器 1 は濃度 x % の食塩水が 60 g 残り，そこに濃度 y % の食塩水が 40 g 入ってくるので，食塩水全体の質量は 100g のままであるが，その中の食塩の質量は x y 60 · + 40 · = 0.6 x + 0.4 y 100 100 に変化する．つまり容器 1 の塩分濃度は 0.6 x + 0.4 y % に変化するわけである．同様に，容器 2 の塩分濃度を計算すると x+ y % となる．従って，容器 1 の濃度 x，容器 2 の濃度 y の組 ( ) x が入力として与えられた時，「40g の食塩水を同時に取り出して入れ替える」作業を 1 回施し y   ( ) 0.6 x + 0.4 y x のた後の容器 1 の濃度，容器 2 の濃度の組を出力する関数は −→  x+ y y ように線形写像となる．更に，これを行列の掛算を用いて書き直すと ( )  ( ) 0.6 0.4 x  x −→  y y となる．この 2 次正方行列を A と略記することにすると，「2 回入れ替え作業を行った結果，濃度が ) ( 16 となる」ことから 15 ( ) ( ) ( x ) 16 A A = (1) y 15 を満たす x, y を計算すれば，最初の濃度が分かる．あとは，行列の割算によって (1) を満たす x, y を求める作業を行う．   A −1  =  − −    であり，この A−1 を (1) の両辺に左から 2 回掛ける（A で 2 回割算する）と ( ) ( ) ( ( ( ))) ( ) x 16 A−1 A−1 A A = A−1 A−1 y 15 ( ) x となる．この左辺は，（A−1 · A が単位行列となることから）明らかにと等しい．従って， y   ( ) ( )  ( x 16 )   = A−1 A−1 =   y 15 である．締切は 7 月 18 日 (金) として，毎回の講義後に提出を受け付けます．BT0712 室前の封筒に提出しても構いません．採点作業のため期限後の提出は受け付けません．また，成績管理の必要性から提出物は全て 2 年間保管していて，その間の返却はできません．申し訳ありませんが，御了承ください．解答例は http://www.i.hosei.ac.jp/~kurata/lecture/ に置く予定です．