材料科学基礎Ⅰ基礎編2

材料科学基礎Ⅰ
• 材料科学の枠組み
• 基礎編
–
–
–
–
–
元素の結晶構造
いろいろな金属間化合物，合金の結晶
いろいろなセラミックスの結晶とイオン結晶
格子，晶系，点群
Ｘ線と結晶
• 応用編
– 電子顕微鏡、放射光、中性子線
– 結晶の格子定数
– 結晶の欠陥と組織
1
格子（Lattice）
• ３次元の周期的な点の配列
• 点のまわりの環境が同一である，空間の
点の無限の配列
c
R  n1a  n2 b  n3c
• 格子定数
（Lattice parameters
or Lattice constants）
a, b, c, , , 

a


b
• 単位胞（unit cell）
2
５つの二次元格子（5 two dimensional lattice）
対称性を考える
60°回転すると元の
図形と重なる
→6回回転対称軸（6）
180°回転すると元の
図形と重なる
→2回回転対称軸（2）
90°回転すると元の
図形と重なる
3
→4回回転対称軸（4）
５つの二次元格子にみるその他の対称性
この面を鏡と考えると
元の図形と重なる
→鏡面対称（m）
4
５つの二次元格子にみる
Primitive and Non Primitive Lattice
この二つはともに
２回回転対称を持ち
同じ鏡面を持つ
格子点は単位胞に１個
→単純格子
（Primitive Lattice）
さらに格子定数を示すa, b, 
は同じ →同じ晶系
格子点が単位胞に２個
→
（Non Primitive Lattice）
5
三次元の結晶に許される対称操作
•
•
•
•
•
恒等
反転対称
回転
鏡面
回反
1
1
2 3 4 6
m
2 3 4 6
6
対称性
晶系
単位胞に求められ
る格子定数の条件
ブラベー格子の形
1 or 1
Triclinic（三斜晶）
2 or 2
Monoclinic （単斜晶）
==90º *
P, C
3つの垂直な
2回軸 or 鏡面
Orthorhombic
（斜方晶，直方晶）
===90º
P, I, F, C
4 or 4
Tetragonal （正方晶）
a=b
===90º
P, I
Trigonal （三方晶）
a=b
==90º
=120º
P
Rhombohedral （菱面体晶）
a=b=c
==**
R
6 or 6
Hexagonal （六方晶）
a=b
==90º
=120º
P
4つの3回軸
Cubic （立方晶）
a=b=c
===90º
P, I, F
3 or 3
P
* 2 nd setting, 1 st settingでは==90º ととる
** Hexagonalの軸をとって表現することもある
7
c
a
c
c
14のBravais Lattice
b
a
Triclinic
b
Monoclinic
b
a
Monoclinic-C
c
b
単位胞に格子点が一つしかないものを
Primitive格子という
a
Orthorhombic Orthorhombic-C Orthorhombic-F Orthorhombic-I
c
c
c
a
b
Tetragonal
Tetragonal-I
a
b
Trigonal-R
a
b
Hexagonal
c
a
b
Cubic
Cubic-I
Cubic-F
8
c
a
c
c
14のBravais Lattice
b
a
Triclinic
b
Monoclinic
b
a
Monoclinic-C
c
b
a
Orthorhombic Orthorhombic-C Orthorhombic-F Orthorhombic-I
c 単位胞に複数の格子点があるものは
c
a
b
Tetragonal
Tetragonal-I
b
Cubic
Cubic-I
b
Trigonal-R
c
a
a
c
Cubic-F
a
b
Hexagonal
その格子の形を示す
F：面心格子
I：体心格子
C：C底面心
9
Point Group（点群）
3
6
C3 3
C6 6
2
m
m
C2v mm2
10
Point Group（点群）
3
6
C3 3
C6 6
2
m
→32個の結晶学的点群
m
C2v mm2
11
Point Group
12
結晶構造（Crystal Structure）
+
=
Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造）
Orthogonal
(Ortho-primitive)
1 /unit
3 atoms
(A, B, C)
3 /basis
3 /unit
13
結晶構造
＋
＝
Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造）
Cubic-B
(Cubic-body center)
2 /unit
1 atoms
(White)
1 /basis
BCC str. A2, cI2
Im3m
2 /unit
14
結晶構造
＋
＝
Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造）
Simple Cubic
(Cubic-primitive)
1 /unit
2 atoms
(Yellow, White)
2 /basis
CsCl str. B2, cP2
Pm3m
2 /unit
15
BCCの格子を持つ結晶の構造
＋
Lattice
＝
Basis
Crystal Structure
16
らせん（Screw）とグライド（Glide）
17
三次元の結晶に許される対称操作
• 回転
1, 2, 3, 4, 6回回転軸
• 鏡面（m）
• 反転対称（ 1 ）
• 回反（ 1, 2, 3, 4, 6 ）
• これらの対称操作を組み合わせてすべての点群
の対称操作がでてくる
• さらに並進の対称操作（らせん、映進）を加え空
間群の対称操作を表すことが出来る
18
Space Group
空間群
結晶は対称性をもとに230種の空間群に分類できる
最初の記号は格子の形を示している
19
結晶を対称性で分類
• 結晶を対称性によって分類する
•
•
•
•
7つの晶系
14のブラベー格子
32の結晶学的点群
230の結晶学的空間群
• 世の中の結晶は230の空間群のどれかに
分類できる
20
Typical Crystal Structures (1)
BCC
A2, cI2
Im3m
Fe, Na, Mo, V
FCC
A1, cF4
Fm3m
Cu, Ag, Au, Al, Ni
HCP
A3, hP2
P63/mmc
Mg, Zn, Cd
21
Typical Crystal Structures (2)
Diamond Str.
A4, cF8
Fd3m
C, Si, Ge
Graphite type Str.
A9, hP4
P6m2
C
22
Typical Crystal Structures (3)
cI58
I 4 3m
-Mn
Centered atom+
Truncated tetrahedron+
4 atoms+cuboctahedron
23
Typical Crystal Structures (4)
L21, cF16
Fm 3 m
Heusler type str.
Ni2MnGa, Cu2MnAl
D03, cF16
Fm3 m
Fe3Al, Fe3Si, Cu3Al
24
Typical Crystal Structures (4’)
L21, cF16
Fm 3 m
Heusler type str.
Ni2MnGa, Cu2MnAl
D03, cF16
Fm3 m
Fe3Al, Fe3Si, Cu3Al
25
Typical Crystal Structures (5)
L12, cP4
Pm3m
Cu3Au, Ni3Al
L10, tP4
P 4 / mmm
AuCu, FePt
26
Typical Crystal Structures (6)
-brass
I43m
Cu5Zn8
D82, cI52
Two tetrahedra+
Cuboctahedron+6 atoms
27
Typical Crystal Structures (7)
Rutile Str.
C4, tP6
P42/mnm
TiO2, GeO2, SnO2
28
Typical Crystal Structures (8)
SiO2 (cristobalite)
type Str.
C9, cF24
Fd3m
SiO2
ZnS type Str.,
B3, cF8
F43m
ZnS, ZnSe
Wurztite Str. (ZnS),
B4, hP4
P63mc
ZnS, ZnO
29
Typical Crystal Structures (8’)
ZnS type Str.,
B3, cF8
F43m
ZnS, ZnSe
30
Typical Crystal Structures (8’)
ZnS type Str.,
B3, cF8
F43m
ZnS, ZnSe
31
Typical Crystal Structures (8’)
ZnS (cubic)
ZnO (hex.)
32
Typical Crystal Structures (9)
NaCl type Str.,
B1, cF8
Fm3m
NaCl, KCl, LiF
Fluorite type Str.,
C1, cF12
Fm3m
CaF2, CdF2
CsCl type Str.,
B2, cP2
Pm3m
CsCl, CsBr
33
Typical Crystal Structures (10)
BCC Str.,
A2, cI2
Im3m
Fe, Na, Mo, V
CsCl type Str.,
B2, cP2
Pm3m
CsCl, CsBr,
Perovkite Str.,
E21, cP5
Pm3m
BaTiO3, SrTiO3
34
Typical Crystal Structures (11)
Quart (high temp phase)
C8, hP9
P6422
SiO2
35
Group （群）
• 任意の二つの操作の積はセットの要素である
PQ=R
• その要素の中に恒等要素 1 をもっている。そして
P1=1P=P
• ある要素 R に対してその逆の操作がありR1 ，
RR1=1 となる。
• 操作の積は結合則を満たす。 (PQ)R=P(QR)
36
Quasicrystal （準結晶の発見）
37
Quasicrystal
準結晶の発見により D. Shechtman 、2011年ノーベル化学賞受賞
→ 1992年に国際結晶学会により「結晶」の定義が
回折図形を考慮した考え方に変更された
これまでの考え方が否定されたわけではない
38
面（Miller index）
c/l
(hkl)
c
d 010
b/k
d 020
(010)
(020)
(110)
(012)
b
a/h
a
等価な面 {hkl}
39
面（Miller index）
c/l
(hkl)
c
(120)
(100)
b/k
b
a/h
a
等価な面 {hkl}
(1 1 1)
40
c
Cubicの(100)と等価な面
b
a
対称性
(100)
{100}
41
Cubicの(110)と等価な面
c
対称性
b
{110}
a
( 1 1 0)
( 1 10)
( 1 01)
(0 1 1)
(101)
(110)
(1 0 1)
(10 1 )
(0 1 1 )
(011)
(01 1 )
(1 1 0)
42
Tetragonalの(100)と等価な面
対称性
{100}
c
(100)
b
a
43
Hexagonalの場合
( 0 1 0)
( 1 00)
c
(1 1 0)
( 1 10)
(010)
等価な面 {100}
わかりやすくするため
i  ( h  k )
として
(hkil ) と表すことがある
b
a
(100)
(10 1 0) (01 1 0) ( 1 100)
( 1 010) (0 1 10) (1 1 00)
44
(210)
(1 1 2)
(002)
45
c
c
b
b
a
a
(002)
(112)
46
方向
c
[uvw]
[120]
[0 1 1]
b
a
[1 1 1]
等価な方向 <uvw>
47
Cubicの[100]と等価な方向
c
対称性
 100 
b
a
48
Cubicの[100]と等価な方向
c
対称性
[001]
 100 
b
a
[ 1 00]
[0 1 0]
[010]
[100]
[00 1 ]
49
Cubicの[110]と等価な方向
対称性
 110 
c
b
a
50
Tetragonalの[100]と等価な方向
対称性
 100 
c
b
a
51
等価な面と方向
• 対称性によって等価な面の数は異なる
• 面によって等価な面の数は異なる
同様に
• 対称性によって等価な方向の数は異なる
• 方向によって等価な方向の数は異なる
52
面と方向
c/l
(hkl)
c
c
b/k
b
[uvw]
b
a/h
a
等価な面 {hkl}
等価な方向 <uvw>
53
ステレオ投影
（Stereo Projection）
Sylvite (KCl)
Mineral Data Base
54
ステレオ投影
（Stereo Projection）
55
ステレオ投影
（Stereo Projection）
３次元の情報を２次元に表す方法
56
Stereo Projection
57
ウルフネット（Wulff Net）
58
Stereo Projection
経線が１、２を通るようにする
１、２を通る大円から９０°の点が面法線
59
Stereo Projection
二つの面のなす角
二つの面法線のなす角 
60
ステレオ投影
（Stereo Projection）
３次元の情報を２次元に表す方法
61

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